معادلات یافتن مقدار را آسان تر می کند. چگونه یک عبارت ریاضی را ساده کنیم

یک عبارت تحت اللفظی (یا یک عبارت با متغیرها) است بیان ریاضی، که از اعداد، حروف و نشانه های عملیات ریاضی تشکیل شده است. به عنوان مثال، عبارت زیر تحت اللفظی است:

a+b+4

با استفاده از عبارات تحت اللفظی، می توانید قوانین، فرمول ها، معادلات و توابع را یادداشت کنید. توانایی دستکاری عبارات تحت اللفظی کلید دانش خوب جبر و ریاضیات عالی است.

هر مشکل جدی در ریاضیات به حل معادلات ختم می شود. و برای اینکه بتوانید معادلات را حل کنید، باید بتوانید با عبارات تحت اللفظی کار کنید.

برای کار با عبارات تحت اللفظی، باید محاسبات پایه را به خوبی مطالعه کنید: جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، قوانین اساسی ریاضیات، کسرها، عملیات با کسری، نسبت. و نه فقط برای مطالعه، بلکه برای درک کامل.

محتوای درس

متغیرها

حروفی که در عبارات تحت اللفظی موجود است نامیده می شوند متغیرها. مثلاً در بیان a+b+4حروف متغیر هستند آو ب. اگر به جای این متغیرها هر عددی را جایگزین کنیم، عبارت تحت اللفظی a+b+4اعمال به بیان عددی، که ارزش آن را می توان یافت.

اعدادی که جایگزین متغیرها می شوند نامیده می شوند مقادیر متغیر. به عنوان مثال، بیایید مقادیر متغیرها را تغییر دهیم آو ب. برای تغییر مقادیر از علامت تساوی استفاده کنید

a = 2، b = 3

ما مقادیر متغیرها را تغییر داده ایم آو ب. متغیر آیک مقدار اختصاص داده است 2 ، متغیر بیک مقدار اختصاص داده است 3 . در نتیجه، عبارت تحت اللفظی a+b+4به یک عبارت عددی معمولی تبدیل می شود 2+3+4 که مقدار آن را می توان یافت:

2 + 3 + 4 = 9

وقتی متغیرها ضرب می شوند با هم نوشته می شوند. به عنوان مثال، ورودی abبه معنای همان مدخل است a×b. اگر به جای متغیرها را جایگزین کنیم آو بشماره 2 و 3 ، سپس 6 می گیریم

2 × 3 = 6

با هم می توانید ضرب یک عدد را در یک عبارت داخل پرانتز نیز بنویسید. به عنوان مثال، به جای a×(b + c)می توان نوشت a (b + c). با اعمال قانون توزیعی ضرب به دست می آوریم a(b + c)=ab+ac.

شانس

در عبارات تحت اللفظی، اغلب می توانید نمادی را بیابید که در آن یک عدد و یک متغیر با هم نوشته می شوند، برای مثال 3a. در واقع این مختصر برای ضرب عدد 3 در یک متغیر است. آو این ورودی به نظر می رسد 3×a .

به عبارت دیگر، بیان 3aحاصل ضرب عدد 3 و متغیر است آ. عدد 3 در این اثر نامیده می شود ضریب. این ضریب نشان می دهد که این متغیر چند برابر خواهد شد آ. این عبارت را می توان به صورت " آسه بار یا سه بار ولی"، یا "مقدار متغیر را افزایش دهید آسه بار، اما اغلب به عنوان "سه بار" خوانده می شود آ«

به عنوان مثال، اگر متغیر آبرابر است با 5 ، سپس مقدار عبارت 3aبرابر 15 خواهد بود.

3 × 5 = 15

صحبت کردن زبان ساده، ضریب عددی است که قبل از حرف (قبل از متغیر) می آید.

برای مثال ممکن است چندین حرف وجود داشته باشد 5abc. در اینجا ضریب عدد است 5 . این ضریب نشان می دهد که حاصل ضرب متغیرها abcپنج برابر افزایش می یابد. این عبارت را می توان به صورت " abcپنج برابر» یا «ارزش عبارت را افزایش دهید abcپنج بار" یا "پنج abc«.

اگر به جای متغیرها abcاعداد 2، 3 و 4 و سپس مقدار عبارت را جایگزین کنید 5abcبرابر خواهد بود 120

5 x 2 x 3 x 4 = 120

شما می توانید به صورت ذهنی تصور کنید که چگونه اعداد 2، 3 و 4 ابتدا ضرب شدند و مقدار حاصل پنج برابر شد:

علامت ضریب فقط به ضریب اشاره دارد و برای متغیرها صدق نمی کند.

بیان را در نظر بگیرید -6b. منهای جلوی ضریب 6 ، فقط برای ضریب اعمال می شود 6 ، و برای متغیر اعمال نمی شود ب. درک این واقعیت به شما امکان می دهد در آینده با علائم اشتباه نکنید.

مقدار عبارت را پیدا کنید -6bدر b = 3.

-6b −6×b. برای وضوح، عبارت را می نویسیم -6bبه شکل بسط داده شده و مقدار متغیر را جایگزین کنید ب

-6b = -6 × b = -6 × 3 = -18

مثال 2مقدار یک عبارت را پیدا کنید -6bدر b = -5

بیایید بیان را بنویسیم -6bبه شکل گسترش یافته

-6b = -6 × b = -6 × (-5) = 30

مثال 3مقدار یک عبارت را پیدا کنید −5a+bدر a = 3و b = 2

−5a+bفرم کوتاه برای است −5 × a + bبنابراین، برای وضوح، عبارت را می نویسیم −5×a+bبه صورت بسط داده شده و مقادیر متغیرها را جایگزین کنید آو ب

-5a + b = -5 × a + b = -5 × 3 + 2 = -15 + 2 = -13

گاهی اوقات حروف مثلاً بدون ضریب نوشته می شوند آیا ab. در این مورد، ضریب یک است:

اما واحد به طور سنتی یادداشت نمی شود، بنابراین آنها فقط می نویسند آیا ab

اگر قبل از حرف یک منهای وجود داشته باشد، ضریب یک عدد است −1 . مثلاً عبارت -آدر واقع به نظر می رسد -1a. این حاصل ضرب منهای یک و متغیر است آ.اینطور بیرون آمد:

−1 × a = −1a

در اینجا یک ترفند کوچک نهفته است. در بیان -آمنهای قبل از متغیر آدر واقع به "واحد نامرئی" اشاره دارد و نه متغیر آ. بنابراین، هنگام حل مشکلات، باید مراقب باشید.

به عنوان مثال، با توجه به عبارت -آو از ما خواسته می شود که ارزش آن را در پیدا کنیم a = 2، سپس در مدرسه به جای یک متغیر، یک Deuce را جایگزین کردیم آو جواب بگیرید −2 ، واقعاً روی چگونگی انجام آن تمرکز نمی کنیم. در واقع ضرب منهای یک در عدد مثبت 2 بود

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

اگر عبارتی داده شود -آو باید مقدار آن را در پیدا کرد a = -2، سپس جایگزین می کنیم −2 به جای متغیر آ

-a = -1 × a

-1 × a = -1 × (-2) = 2

برای جلوگیری از اشتباه، ابتدا واحدهای نامرئی را می توان به صراحت نوشت.

مثال 4مقدار یک عبارت را پیدا کنید abcدر a=2 , b=3و c=4

اصطلاح abc 1×a×b×c.برای وضوح، عبارت را می نویسیم abc الف، بو ج

1 x a x b x c = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

مثال 5مقدار یک عبارت را پیدا کنید abcدر a=−2، b=−3و c=-4

بیایید بیان را بنویسیم abcبه صورت بسط داده شده و مقادیر متغیرها را جایگزین کنید الف، بو ج

1 × a × b × c = 1 × (-2) × (-3) × (-4) = 24-

مثال 6مقدار یک عبارت را پیدا کنید − abcدر a=3، b=5 و c=7

اصطلاح − abcفرم کوتاه برای است −1×a×b×c.برای وضوح، عبارت را می نویسیم − abcبه صورت بسط داده شده و مقادیر متغیرها را جایگزین کنید الف، بو ج

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

مثال 7مقدار یک عبارت را پیدا کنید − abcدر a=−2، b=−4 و c=−3

بیایید بیان را بنویسیم − abcمنبسط:

−abc = −1 × a × b × c

مقدار متغیرها را جایگزین کنید آ , بو ج

-abc = -1 × a × b × c = -1 × (-2) × (-4) × (-3) = 24

نحوه تعیین ضریب

گاهی اوقات برای حل مسئله ای لازم است که در آن ضریب یک عبارت تعیین شود. در اصل، این کار بسیار ساده است. کافی است بتوانید اعداد را به درستی ضرب کنید.

برای تعیین ضریب در یک عبارت، باید اعداد موجود در این عبارت را جداگانه ضرب کنید و حروف را جداگانه ضرب کنید. عامل عددی حاصل ضریب خواهد بود.

مثال 1 7m×5a×(-3)×n

بیان از عوامل متعددی تشکیل شده است. این را می توان به وضوح مشاهده کرد اگر عبارت به شکل بسط یافته نوشته شود. یعنی کار می کند 7 مترو 5aدر فرم بنویسید 7× مترو 5×a

7 × متر × 5 × a × (-3) × n

ما قانون تداعی ضرب را اعمال می کنیم که به ما امکان می دهد عوامل را به هر ترتیبی ضرب کنیم. یعنی اعداد را جداگانه ضرب و حروف (متغیرها) را جداگانه ضرب کنید:

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105 نفر

ضریب است −105 . پس از تکمیل، قسمت حروف ترجیحاً به ترتیب حروف الفبا مرتب می شود:

-105 صبح

مثال 2ضریب را در عبارت مشخص کنید: -a×(-3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

ضریب 6 است.

مثال 3ضریب را در عبارت مشخص کنید:

بیایید اعداد و حروف را جداگانه ضرب کنیم:

ضریب 1- است. لطفا توجه داشته باشید که واحد ثبت نمی شود، زیرا ضریب 1 معمولاً ثبت نمی شود.

این کارهای به ظاهر ساده می توانند شوخی بسیار بی رحمانه ای با ما داشته باشند. اغلب معلوم می شود که علامت ضریب به اشتباه تنظیم شده است: یا یک منهای حذف می شود یا برعکس، بیهوده تنظیم می شود. برای جلوگیری از این اشتباهات آزاردهنده باید در سطح خوبی مطالعه شود.

اصطلاحات در عبارات تحت اللفظی

وقتی چندین عدد را جمع کنید، مجموع آن اعداد را به دست می آورید. اعدادی که با هم جمع می شوند اصطلاح نامیده می شوند. چندین اصطلاح می تواند وجود داشته باشد، به عنوان مثال:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

وقتی یک عبارت از جمله تشکیل می شود، محاسبه آن بسیار آسان تر است، زیرا جمع کردن آن آسان تر از تفریق است. اما عبارت می تواند نه تنها شامل جمع، بلکه تفریق نیز باشد، به عنوان مثال:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

در این عبارت اعداد 3 و 5 کم می شوند نه اضافه. اما هیچ چیز مانع از جایگزینی تفریق با جمع نمی شود. سپس دوباره یک عبارت متشکل از اصطلاحات را دریافت می کنیم:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

مهم نیست که اعداد -3 و -5 اکنون با علامت منفی هستند. نکته اصلی این است که تمام اعداد در این عبارت با علامت جمع به هم متصل می شوند، یعنی عبارت یک جمع است.

هر دو عبارت 1 + 2 − 3 + 4 − 5 و 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) برابر با یک مقدار هستند - منهای یک

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

بنابراین، ارزش عبارت از این واقعیت آسیب نخواهد دید که در جایی جمع را با تفریق جایگزین کنیم.

شما همچنین می توانید تفریق را با جمع در عبارات تحت اللفظی جایگزین کنید. برای مثال عبارت زیر را در نظر بگیرید:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (-3c) + 2d + (-4s)

برای هر مقدار از متغیرها آ ب پ تو ساصطلاحات 7a + 6b - 3c + 2d - 4s و 7a + 6b + (-3c) + 2d + (-4s) برابر با همان مقدار خواهد بود.

شما باید برای این واقعیت آماده باشید که یک معلم در مدرسه یا یک معلم در یک مؤسسه می تواند اصطلاحات را حتی آن اعداد (یا متغیرهایی) را که آنها نیستند بخواند.

مثلاً اگر تفاوت روی تابلو نوشته شده باشد الف-ب، پس معلم این را نخواهد گفت آمینیوند است و ب- قابل کسر او هر دو متغیر را یک کلمه مشترک می نامد - مقررات. و همه به دلیل بیان فرم الف-بریاضیدان می بیند که چگونه مجموع a + (-b). در این حالت، عبارت به یک جمع تبدیل می شود و متغیرها آو (-b)به اجزا تبدیل شوند.

اصطلاحات مشابه

اصطلاحات مشابهاصطلاحاتی هستند که قسمت حروف یکسانی دارند. به عنوان مثال، عبارت را در نظر بگیرید 7a + 6b + 2a. مقررات 7aو 2aدارای همان قسمت حرف - متغیر است آ. بنابراین شرایط 7aو 2aشبیه هستند.

معمولاً برای ساده کردن یک عبارت یا حل یک معادله، عبارت‌های مشابهی اضافه می‌شوند. این عملیات نامیده می شود کاهش اصطلاحات مشابه.

برای آوردن عبارت های مشابه، باید ضرایب این عبارت ها را جمع کنید و حاصل را در قسمت حرف مشترک ضرب کنید.

به عنوان مثال، ما اصطلاحات مشابهی را در عبارت بیان می کنیم 3a + 4a + 5a. در این مورد، همه اصطلاحات مشابه هستند. ضرایب آنها را اضافه می کنیم و نتیجه را در قسمت حرف مشترک - در متغیر ضرب می کنیم آ

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

معمولاً چنین اصطلاحاتی در ذهن آورده می شود و نتیجه بلافاصله ثبت می شود:

3a + 4a + 5a = 12a

همچنین، می توانید اینگونه استدلال کنید:

3 متغیر a، 4 متغیر a و 5 متغیر a به آنها اضافه شد. در نتیجه 12 متغیر a بدست آوردیم

بیایید چندین مثال از کاهش اصطلاحات مشابه را در نظر بگیریم. با توجه به اینکه این موضوعبسیار مهم است، در ابتدا ما هر چیز کوچک را با جزئیات می نویسیم. با وجود این واقعیت که همه چیز در اینجا بسیار ساده است، اکثر مردم اشتباهات زیادی مرتکب می شوند. بیشتر به دلیل بی توجهی است نه ناآگاهی.

مثال 1 3a + 2a + 6a + 8آ

ضرایب را در این عبارت جمع می کنیم و حاصل را در قسمت حرف مشترک ضرب می کنیم:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

طرح (3 + 2 + 6 + 8)×aشما نمی توانید یادداشت کنید، بنابراین ما بلافاصله پاسخ را یادداشت می کنیم

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

مثال 2اصطلاحات مشابه را در بیان بیاورید 2a+a

ترم دوم آبدون ضریب نوشته می شود، اما در واقع قبل از آن یک ضریب وجود دارد 1 ، که به دلیل ثبت نشدن آن را نمی بینیم. بنابراین عبارت به صورت زیر است:

2a + 1a

اکنون اصطلاحات مشابهی را ارائه می کنیم. یعنی ضرایب را جمع می کنیم و حاصل را در قسمت حرف مشترک ضرب می کنیم:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

بیایید راه حل را به طور خلاصه بنویسیم:

2a + a = 3a

2a+a، می توانید به روش دیگری استدلال کنید:

مثال 3اصطلاحات مشابه را در بیان بیاورید 2a - a

جمع را جایگزین تفریق کنیم:

2a + (-a)

ترم دوم (-a)بدون ضریب نوشته شده است، اما در واقع به نظر می رسد (-1a).ضریب −1 به دلیل اینکه ضبط نشده است دوباره نامرئی است. بنابراین عبارت به صورت زیر است:

2a + (-1a)

اکنون اصطلاحات مشابهی را ارائه می کنیم. ضرایب را جمع می کنیم و حاصل را در قسمت حرف مشترک ضرب می کنیم:

2a + (-1a) = (2 + (-1)) × a = 1a = a

معمولا کوتاهتر نوشته می شود:

2a − a = a

آوردن اصطلاحات مشابه در بیان 2a-aشما همچنین می توانید به روش دیگری استدلال کنید:

2 متغیر a وجود داشت، یک متغیر a کم شد، در نتیجه فقط یک متغیر a وجود داشت.

مثال 4اصطلاحات مشابه را در بیان بیاورید 6a - 3a + 4a - 8a

6a - 3a + 4a - 8a = 6a + (-3a) + 4a + (-8a)

اکنون اصطلاحات مشابهی را ارائه می کنیم. ضرایب را جمع می کنیم و حاصل را در قسمت حرف مشترک ضرب می کنیم

(6 + (-3) + 4 + (-8)) × a = -1a = -a

بیایید راه حل را به طور خلاصه بنویسیم:

6a - 3a + 4a - 8a = -a

عباراتی وجود دارد که شامل چندین گروه مختلف از اصطلاحات مشابه است. مثلا، 3a + 3b + 7a + 2b. برای چنین عباراتی، قوانین مشابه برای بقیه اعمال می شود، یعنی اضافه کردن ضرایب و ضرب نتیجه در قسمت حرف مشترک. اما برای جلوگیری از اشتباه، راحت است که زیر گروه های مختلف اصطلاحات با خطوط مختلف خط بکشید.

مثلاً در بیان 3a + 3b + 7a + 2bاصطلاحاتی که حاوی یک متغیر هستند آ، را می توان با یک خط و آن عباراتی که حاوی یک متغیر هستند خط کشید برا می توان با دو خط زیر خط کشید:

اکنون می‌توانیم شرایط مشابه را بیاوریم. یعنی ضرایب را جمع کنید و حاصل را در قسمت حرف مشترک ضرب کنید. این باید برای هر دو گروه از اصطلاحات انجام شود: برای عبارت های حاوی یک متغیر آو برای عبارت های حاوی متغیر ب.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

باز هم تکرار می کنیم، بیان ساده است و اصطلاحات مشابهی را می توان در ذهن بیان کرد:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

مثال 5اصطلاحات مشابه را در بیان بیاورید 5a - 6a - 7b + b

در صورت امکان، تفریق را با جمع جایگزین می کنیم:

5a - 6a -7b + b = 5a + (-6a) + (-7b) + b

زیر عبارات مشابه با خطوط مختلف خط بکشید. اصطلاحات حاوی متغیرها آبا یک خط زیر خط بکشید و اصطلاحات محتوا متغیر هستند ب، با دو خط زیر خط کشیده شده است:

اکنون می‌توانیم شرایط مشابه را بیاوریم. یعنی ضرایب را جمع کنید و حاصل را در قسمت حرف مشترک ضرب کنید:

5a + (-6a) + (-7b) + b = (5 + (-6))×a + ((-7) + 1)×b = -a + (-6b)

اگر عبارت حاوی اعداد معمولی و بدون فاکتورهای الفبایی باشد، آنها به طور جداگانه اضافه می شوند.

مثال 6اصطلاحات مشابه را در بیان بیاورید 4a + 3a − 5 + 2b + 7

بیایید در صورت امکان، تفریق را با جمع جایگزین کنیم:

4a + 3a - 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (-5) + 2b + 7

اجازه دهید اصطلاحات مشابهی را ارائه کنیم. شماره −5 و 7 فاکتورهای تحت اللفظی ندارند، اما اصطلاحات مشابهی هستند - فقط باید آنها را جمع کنید. و اصطلاح 2bبدون تغییر باقی خواهد ماند، زیرا تنها موردی است که در این عبارت دارای ضریب حرف است بو چیزی برای اضافه کردن آن وجود ندارد:

4a + 3a + (-5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (-5) + 7 = 7a + 2b + 2

بیایید راه حل را به طور خلاصه بنویسیم:

4a + 3a - 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

اصطلاحات را می توان به گونه ای مرتب کرد که آن عباراتی که دارای حروف یکسان هستند در همان قسمت عبارت قرار گیرند.

مثال 7اصطلاحات مشابه را در بیان بیاورید 5t+2x+3x+5t+x

از آنجایی که عبارت مجموع چند عبارت است، این به ما امکان می دهد آن را به هر ترتیبی ارزیابی کنیم. بنابراین، اصطلاحات حاوی متغیر تی، را می توان در ابتدای عبارت و عبارت های حاوی متغیر نوشت ایکسدر پایان عبارت:

5t+5t+2x+3x+x

اکنون می توانیم اصطلاحات مشابه را اضافه کنیم:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

بیایید راه حل را به طور خلاصه بنویسیم:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

مجموع اعداد مقابل صفر است. این قانون برای عبارات تحت اللفظی نیز کار می کند. اگر عبارت حاوی عبارات یکسان است، اما با علائم متضاد، می توانید در مرحله کاهش اصطلاحات مشابه از شر آنها خلاص شوید. به عبارت دیگر، آنها را از عبارت حذف کنید زیرا مجموع آنها صفر است.

مثال 8اصطلاحات مشابه را در بیان بیاورید 3t - 4t - 3t + 2t

بیایید در صورت امکان، تفریق را با جمع جایگزین کنیم:

3t - 4t - 3t + 2t = 3t + (-4t) + (-3t) + 2t

مقررات 3tو (-3t)مقابل هستند. مجموع جمله های مخالف برابر با صفر است. اگر این صفر را از عبارت حذف کنیم، مقدار عبارت تغییر نمی کند، بنابراین آن را حذف می کنیم. و با حذف معمول شرایط آن را حذف خواهیم کرد 3tو (-3t)

در نتیجه بیان را خواهیم داشت (-4t) + 2t. در این عبارت می توانید اصطلاحات مشابه اضافه کنید و پاسخ نهایی را دریافت کنید:

(-4t) + 2t = ((-4) + 2)×t = -2t

بیایید راه حل را به طور خلاصه بنویسیم:

ساده سازی بیان

"ساده سازی بیان" و عبارت زیر ساده شده است. ساده سازی بیانبه معنای ساده تر و کوتاه تر کردن آن است.

در واقع، ما قبلاً به ساده سازی عبارات هنگام کاهش کسرها پرداخته ایم. پس از کاهش، کسر کوتاه تر و خواندن آسان تر شد.

در نظر گرفتن مثال بعدی. بیان را ساده کنید.

این وظیفه را می توان به معنای واقعی کلمه به صورت زیر درک کرد: "هر کاری می توانید با این عبارت انجام دهید، اما آن را ساده تر کنید" .

در این صورت، می توانید کسر را کاهش دهید، یعنی صورت و مخرج کسر را بر 2 تقسیم کنید:

چه چیز دیگری می تواند انجام شود؟ می توانید کسر حاصل را محاسبه کنید. سپس اعشار 0.5 را بدست می آوریم

در نتیجه، کسر به 0.5 ساده شد.

اولین سوالی که در هنگام حل چنین مشکلاتی باید از خود بپرسید "چه کاری می توان انجام داد؟" . زیرا کارهایی هستند که می توانید انجام دهید و کارهایی هستند که نمی توانید انجام دهید.

یکی بیشتر نکته مهمنکته ای که باید در نظر داشت این است که ارزش یک عبارت نباید پس از ساده شدن عبارت تغییر کند. به بیان برگردیم. این عبارت تقسیمی است که می توان انجام داد. با انجام این تقسیم، مقدار این عبارت را بدست می آوریم که برابر با 0.5 است

اما ما عبارت را ساده کردیم و یک عبارت ساده شده جدید دریافت کردیم. مقدار عبارت ساده شده جدید همچنان 0.5 است

اما ما همچنین سعی کردیم با محاسبه بیان را ساده کنیم. در نتیجه، پاسخ نهایی 0.5 بود.

بنابراین، مهم نیست که چگونه عبارت را ساده کنیم، مقدار عبارات حاصل همچنان 0.5 است. این بدان معناست که ساده سازی در هر مرحله به درستی انجام شده است. این همان چیزی است که هنگام ساده کردن عبارات باید برای آن تلاش کنیم - معنای عبارت نباید از اعمال ما آسیب ببیند.

اغلب لازم است عبارات تحت اللفظی ساده شوند. برای آنها، همان قوانین ساده سازی مانند عبارات عددی اعمال می شود. شما می توانید هر عمل معتبری را انجام دهید، تا زمانی که مقدار عبارت تغییر نکند.

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 1ساده سازی بیان 5.21 ثانیه × t × 2.5

برای ساده سازی این عبارت می توانید اعداد را جداگانه ضرب و حروف را جداگانه ضرب کنید. این کار بسیار شبیه به کاری است که در هنگام یادگیری تعیین ضریب در نظر گرفتیم:

5.21 × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025st

پس بیان 5.21 ثانیه × t × 2.5ساده شده به 13.025.

مثال 2ساده سازی بیان -0.4×(-6.3b)×2

کار دوم (-6.3b)را می توان به شکل قابل فهم برای ما ترجمه کرد، یعنی به شکل ( −6.3)×b،سپس اعداد را جداگانه ضرب و حروف را جداگانه ضرب کنید:

− 0,4 × (-6.3b) × 2 = − 0,4 × (6.3-) × b × 2 = 5.04b

پس بیان -0.4×(-6.3b)×2 ساده شده به 5.04b

مثال 3ساده سازی بیان

بیایید این عبارت را با جزئیات بیشتری بنویسیم تا به وضوح ببینیم اعداد کجا هستند و حروف کجا هستند:

حالا اعداد را جداگانه ضرب و حروف را جداگانه ضرب می کنیم:

پس بیان ساده شده به -abc.این راه حل را می توان کوتاهتر نوشت:

هنگام ساده کردن عبارات، کسرها را می توان در فرآیند حل کاهش داد، و نه در پایان، همانطور که با این کار انجام دادیم. کسرهای رایج. به عنوان مثال، اگر در حین حل به عبارتی از شکل برخورد کنیم، اصلاً لازم نیست که صورت و مخرج را محاسبه کنیم و کاری مانند این انجام دهیم:

کسری را می توان با انتخاب هر دو عامل در صورت و مخرج و کاهش این ضرایب توسط بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها کاهش داد. به عبارت دیگر، از استفاده کنید، که در آن ما به طور دقیق توضیح نمی دهیم که صورت و مخرج به چه چیزهایی تقسیم می شوند.

مثلاً در صورت ضریب 12 و در مخرج ضریب 4 را می توان به 4 تقلیل داد، چهار را در ذهن خود نگه می داریم و با تقسیم 12 و 4 بر این چهار، پاسخ ها را در کنار این اعداد می نویسیم. قبلاً آنها را خط زده بودند

حالا می توانید فاکتورهای کوچک حاصل را ضرب کنید. در این صورت تعداد آنها زیاد نیست و می توانید آنها را در ذهن خود ضرب کنید:

با گذشت زمان، ممکن است متوجه شوید که هنگام حل یک مشکل خاص، عبارات شروع به چاق شدن می کنند، بنابراین توصیه می شود به محاسبات سریع عادت کنید. آنچه در ذهن قابل محاسبه است باید در ذهن محاسبه شود. آنچه را می توان به سرعت برش داد، باید سریع بریده شود.

مثال 4ساده سازی بیان

پس بیان ساده شده به

مثال 5ساده سازی بیان

اعداد را جداگانه و حروف را جداگانه ضرب می کنیم:

پس بیان ساده شده به دقیقه

مثال 6ساده سازی بیان

بیایید این عبارت را با جزئیات بیشتری بنویسیم تا به وضوح ببینیم اعداد کجا هستند و حروف کجا هستند:

حالا اعداد را جداگانه و حروف را جداگانه ضرب می کنیم. برای راحتی محاسبات، کسر اعشاری -6.4 و شماره های درهمرا می توان به کسرهای معمولی تبدیل کرد:

پس بیان ساده شده به

راه حل این مثال را می توان بسیار کوتاهتر نوشت. شبیه این خواهد شد:

مثال 7ساده سازی بیان

اعداد را جداگانه و حروف را جداگانه ضرب می کنیم. برای سهولت در محاسبه، عدد مختلط و اعداد اعشاری 0.1 و 0.6 را می توان به کسر معمولی تبدیل کرد:

پس بیان ساده شده به آ ب پ ت. اگر از جزئیات صرف نظر کنید، این راه حل را می توان بسیار کوتاهتر نوشت:

توجه کنید که چگونه کسر کاهش یافته است. ضریب های جدیدی که با کاهش ضرب های قبلی به دست می آیند نیز قابل کاهش هستند.

حالا بیایید در مورد کارهایی که نباید انجام دهیم صحبت کنیم. هنگام ساده سازی عبارات، ضرب اعداد و حروف در صورتی که عبارت یک جمع باشد و نه حاصل ضرب به شدت ممنوع است.

به عنوان مثال، اگر می خواهید عبارت را ساده کنید 5a + 4b، پس نمی توان آن را به صورت زیر نوشت:

این معادل این است که اگر از ما بخواهند دو عدد را جمع کنیم، به جای جمع کردن آنها، آنها را ضرب می کنیم.

هنگام جایگزینی هر مقدار از متغیرها آو باصطلاح 5a+4bبه یک عبارت عددی ساده تبدیل می شود. بیایید متغیرها را فرض کنیم آو بمعانی زیر را دارند:

a = 2، b = 3

سپس مقدار عبارت 22 خواهد بود

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

ابتدا ضرب انجام می شود و سپس نتایج جمع می شوند. و اگر بخواهیم این عبارت را با ضرب اعداد و حروف ساده کنیم، به صورت زیر می رسیم:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 x 2 x 3 = 120

به نظر می رسد معنای کاملاً متفاوتی از عبارت است. در مورد اول معلوم شد 22 ، در مورد دوم 120 . این به این معنی است که ساده سازی بیان 5a + 4bاشتباه انجام شد

پس از ساده کردن عبارت، مقدار آن نباید با مقادیر یکسان متغیرها تغییر کند. اگر هنگام جایگزینی هر یک از مقادیر متغیر به عبارت اصلی، یک مقدار به دست آید، پس از ساده سازی عبارت، باید همان مقدار قبل از ساده سازی به دست آید.

با بیان 5a + 4bدر واقع هیچ کاری نمی توان کرد راحت تر نمی شود.

اگر عبارت حاوی عبارات مشابه باشد، اگر هدف ما ساده کردن عبارت باشد، می توان آنها را اضافه کرد.

مثال 8ساده سازی بیان 0.3a-0.4a+a

0.3a - 0.4a + a = 0.3a + (-0.4a) + a = (0.3 + (0.4-) + 1)×a = 0.9a

یا کوتاهتر: 0.3a - 0.4a + a = 0.9a

پس بیان 0.3a-0.4a+aساده شده به 0.9a

مثال 9ساده سازی بیان −7.5a − 2.5b + 4a

برای ساده کردن این عبارت، می توانید عبارات مشابه اضافه کنید:

-7.5a - 2.5b + 4a = -7.5a + (2.5b) + 4a = ((-7.5) + 4)×a + (2.5b) = -3.5a + (2.5b)

یا کوتاهتر -7.5a - 2.5b + 4a = -3.5a + (-2.5b)

مدت، اصطلاح (-2.5b)بدون تغییر باقی ماند، زیرا چیزی برای تا زدن آن وجود نداشت.

مثال 10ساده سازی بیان

برای ساده کردن این عبارت، می توانید عبارات مشابه اضافه کنید:

ضریب برای راحتی محاسبه بود.

پس بیان ساده شده به

مثال 11.ساده سازی بیان

برای ساده کردن این عبارت، می توانید عبارات مشابه اضافه کنید:

پس بیان ساده شده به .

که در این مثالمنطقی تر است که ابتدا ضریب اول و آخر را اضافه کنیم. در این صورت یک راه حل کوتاه به دست می آوریم. به این شکل خواهد بود:

مثال 12.ساده سازی بیان

برای ساده کردن این عبارت، می توانید عبارات مشابه اضافه کنید:

پس بیان ساده شده به .

این اصطلاح بدون تغییر باقی ماند، زیرا چیزی برای اضافه کردن آن وجود نداشت.

این راه حل را می توان خیلی کوتاهتر نوشت. شبیه این خواهد شد:

که در تصمیم کوتاهمراحل جایگزینی تفریق با جمع و ثبت دقیق نحوه کاهش کسرها به مخرج مشترک حذف شد.

تفاوت دیگر این است که در راه حل دقیقپاسخ به نظر می رسد ، اما به طور خلاصه به عنوان . در واقع، این همان عبارت است. تفاوت این است که در حالت اول، تفریق با جمع جایگزین می شود، زیرا در ابتدا که حل را در نمای دقیق، هر جا که امکان داشته باشد جمع را جایگزین تفریق کرده ایم و این جایگزینی برای پاسخ حفظ شده است.

هویت ها عبارات مساوی یکسان

بعد از اینکه هر عبارتی را ساده کردیم، ساده تر و کوتاه تر می شود. برای بررسی اینکه آیا عبارت به درستی ساده شده است، کافی است هر مقدار از متغیرها را ابتدا به عبارت قبلی که باید ساده شده و سپس با عبارت جدید که ساده شده است جایگزین کنید. اگر مقدار در هر دو عبارت یکسان باشد، عبارت به درستی ساده شده است.

در نظر گرفتن ساده ترین مثال. اجازه دهید برای ساده کردن عبارت مورد نیاز باشد 2a × 7b. برای ساده کردن این عبارت، می توانید اعداد و حروف را جداگانه ضرب کنید:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

بیایید بررسی کنیم که آیا عبارت را به درستی ساده کرده ایم. برای انجام این کار، هر مقدار از متغیرها را جایگزین کنید آو بابتدا به عبارت اول که باید ساده می شد و سپس به دومی که ساده می شد.

مقادیر متغیرها را بگذارید آ , ببه شرح زیر خواهد بود:

a = 4، b = 5

آنها را در عبارت اول جایگزین کنید 2a × 7b

حال بیایید همان مقادیر متغیرها را در عبارتی که از ساده سازی به دست آمده است جایگزین کنیم. 2a×7b، یعنی در بیان 14ab

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

ما می بینیم که در a=4و b=5ارزش عبارت اول 2a×7bو مقدار عبارت دوم 14abبرابر

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

برای سایر مقادیر نیز همین اتفاق خواهد افتاد. به عنوان مثال، اجازه دهید a=1و b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 x 1 x 2 = 28

بنابراین، برای هر مقدار از متغیرها، عبارات 2a×7bو 14abبرابر با همان مقدار هستند. چنین عباراتی نامیده می شود یکسان برابر.

نتیجه می گیریم که بین عبارات 2a×7bو 14abمی توانید علامت مساوی قرار دهید، زیرا آنها با یک مقدار برابر هستند.

2a × 7b = 14ab

برابری هر عبارتی است که با علامت مساوی (=) به آن ملحق شود.

و برابری شکل 2a×7b = 14abتماس گرفت هویت.

هویت برابری است که برای هر مقدار از متغیرها صادق است.

نمونه های دیگر هویت:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

بله، قوانین ریاضیاتی که ما مطالعه کردیم، هویت هستند.

برابری های عددی واقعی نیز هویت هستند. مثلا:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

هنگام حل یک مسئله پیچیده، به منظور تسهیل در محاسبه، یک عبارت پیچیده با یک عبارت ساده تر که به طور یکسان برابر با قبلی است جایگزین می شود. چنین جایگزینی نامیده می شود تبدیل یکسان بیانیا به سادگی تبدیل بیان.

به عنوان مثال، ما عبارت را ساده کردیم 2a × 7b، و یک عبارت ساده تر دریافت کنید 14ab. این ساده سازی را می توان دگرگونی هویت نامید.

اغلب می توانید کاری را پیدا کنید که می گوید "ثابت کنید که برابری هویت است" و سپس برابری قابل اثبات داده می شود. معمولاً این برابری از دو قسمت تشکیل شده است: قسمت چپ و راست برابری. وظیفه ما این است که با یکی از قسمت های برابری تبدیل های یکسان انجام دهیم و قسمت دیگر را بدست آوریم. یا تبدیل‌های یکسانی را با هر دو قسمت برابری انجام دهید و مطمئن شوید که هر دو قسمت برابری دارای عبارات یکسان هستند.

به عنوان مثال، اجازه دهید ثابت کنیم که برابری 0.5a × 5b = 2.5abیک هویت است

سمت چپ این برابری را ساده کنید. برای این کار اعداد و حروف را جداگانه ضرب کنید:

0.5 × 5 × a × b = 2.5ab

2.5ab = 2.5ab

در نتیجه یک تغییر هویت کوچک، سمت چپ برابری با سمت راست برابری برابر شد. بنابراین ما ثابت کرده ایم که برابری 0.5a × 5b = 2.5abیک هویت است

از تبدیل‌های یکسان، جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد، کاهش کسرها، آوردن عبارت‌های مشابه و همچنین ساده کردن برخی عبارات را آموختیم.

اما اینها از همه تبدیل های یکسانی که در ریاضیات وجود دارد دور هستند. دگرگونی های مشابه بسیار بیشتری وجود دارد. ما این را بارها و بارها در آینده خواهیم دید.

وظایف برای راه حل مستقل:

آیا درس را دوست داشتید؟
به گروه جدید Vkontakte ما بپیوندید و شروع به دریافت اعلان های درس های جدید کنید

تبصره 1

یک تابع منطقی را می توان با استفاده از یک عبارت منطقی نوشت و سپس می توانید به مدار منطقی بروید. برای به دست آوردن مدار منطقی تا حد امکان ساده (و در نتیجه ارزانتر) باید عبارات منطقی را ساده کرد. در اصل، یک تابع منطقی، یک عبارت منطقی و یک مدار منطقی سه هستند زبانهای مختلف، درباره یک موجودیت می گوید.

برای ساده کردن عبارات منطقی، استفاده کنید قوانین جبر منطق.

برخی از تبدیل‌ها مشابه تبدیل فرمول‌ها در جبر کلاسیک (قرار دادن عامل مشترک، استفاده از قوانین جابجایی و انجمنی و غیره) هستند، در حالی که سایر تبدیل‌ها بر اساس ویژگی‌هایی هستند که عملیات جبر کلاسیک ندارند (استفاده از قانون توزیع برای پیوند، قوانین جذب، چسباندن، قوانین دو مورگان و غیره).

قوانین جبر منطق برای عملیات منطقی اساسی - "NOT" - وارونگی (نفی)، "AND" - ربط (ضرب منطقی) و "OR" - تفکیک (جمع منطقی) فرموله شده است.

قانون نفی مضاعف به این معنی است که عملیات "NOT" قابل برگشت است: اگر آن را دو بار اعمال کنید، در نهایت مقدار منطقی تغییر نخواهد کرد.

قانون وسط حذف شده بیان می کند که هر عبارت منطقی یا درست است یا نادرست ("سومی وجود ندارد"). بنابراین، اگر $A=1$، آنگاه $\bar(A)=0$ (و بالعکس)، یعنی پیوند این کمیت ها همیشه برابر با صفر و تفکیک برابر با یک است.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

بیایید این فرمول را ساده کنیم:

شکل 3

این بدان معناست که $A = 0$، $B = 1$، $C = 1$، $D = 1$.

پاسخ:دانش آموزان $B$، $C$ و $D$ شطرنج بازی می کنند، اما دانش آموز $A$ بازی نمی کند.

هنگام ساده سازی عبارات منطقی، می توانید دنباله ای از اقدامات زیر را انجام دهید:

1. تمام عملیات «غیر اساسی» (معادل، مفهوم، XOR، و غیره) را با عباراتشان از طریق عملیات اصلی وارونگی، پیوند و تفکیک جایگزین کنید.
2. وارونگی ها را کشف کنید عبارات پیچیدهطبق قوانین دو مورگان به گونه ای که عملیات نفی فقط برای متغیرهای منفرد باقی می ماند.
3. سپس عبارت را با استفاده از بسط پرانتز، براکت کردن عوامل مشترک و سایر قوانین جبر منطق ساده کنید.

مثال 2

در اینجا قاعده دو مورگان، قانون توزیع، قانون وسط حذف شده، قانون جابجایی، قانون تکرار، قانون جابجایی دوباره و قانون جذب به صورت متوالی استفاده می شود.

عبارت جبری که در رکورد آن به همراه عملیات جمع، تفریق و ضرب از تقسیم به عبارات تحت اللفظی نیز استفاده می شود، عبارت جبری کسری نامیده می شود. مثلاً عبارات از این قبیل هستند

کسری جبری را به عبارتی جبری می گوییم که از تقسیم دو عدد صحیح به شکل ضریب باشد. عبارات جبری(مثلاً تک جمله ها یا چندجمله ای ها). مثلاً عبارات از این قبیل هستند

سومین عبارات).

تبدیل هویت عبارات جبری کسری در بیشتر موارد به منظور نمایش آنها به عنوان یک کسر جبری است. برای یافتن مخرج مشترک، از فاکتورسازی مخرج کسری - اصطلاحات برای یافتن حداقل مضرب مشترک آنها استفاده می شود. هنگام کاهش کسرهای جبری، هویت دقیق عبارات را می توان نقض کرد: لازم است مقادیر مقادیری را که در آن عامل کاهش انجام می شود حذف شود.

اجازه دهید مثال هایی از تبدیل های یکسان عبارات جبری کسری را بیاوریم.

مثال 1: یک عبارت را ساده کنید

همه عبارت ها را می توان به یک مخرج مشترک کاهش داد (به راحتی می توان علامت را در مخرج آخرین جمله و علامت جلوی آن تغییر داد):

عبارت ما برای همه مقادیر به جز این مقادیر برابر با یک است، تعریف نشده است و کاهش کسری غیرقانونی است).

مثال 2. بیان را به صورت کسری جبری نشان دهید

راه حل. این عبارت را می توان به عنوان یک مخرج مشترک در نظر گرفت. پی در پی می یابیم:

تمرینات

1. مقادیر عبارات جبری را برای مقادیر مشخص شدهمولفه های:

2. فاکتورسازی کنید.

بیایید مبحث تبدیل عبارات با قدرت ها را در نظر بگیریم، اما ابتدا به تعدادی تبدیل می پردازیم که می توان با هر عبارتی، از جمله قدرت، انجام داد. ما یاد خواهیم گرفت که چگونه پرانتزها را باز کنیم، اصطلاحات مشابه بدهیم، با مبنا و توان کار کنیم، از خصوصیات درجه استفاده کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

عبارات قدرت چیست؟

در دوره مدرسه، افراد کمی از عبارت " عبارات قدرت"، اما این اصطلاح به طور مداوم در مجموعه هایی برای آمادگی برای امتحان یافت می شود. در بیشتر موارد، این عبارت عباراتی را نشان می‌دهد که دارای درجه‌هایی در مدخل‌های خود هستند. این همان چیزی است که ما در تعریف خود منعکس خواهیم کرد.

تعریف 1

بیان قدرتعبارتی است که دارای قدرت است.

ما چندین مثال از عبارات توان ارائه می دهیم که با درجه ای با توان طبیعی شروع می شود و با درجه ای با توان واقعی پایان می یابد.

ساده ترین عبارات توان را می توان توان های یک عدد با توان طبیعی در نظر گرفت: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . و همچنین توان های با توان صفر: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . و توان های با توان های عدد صحیح منفی: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

کار با مدرکی که دارای توانای منطقی و غیرمنطقی است کمی دشوارتر است: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

نشانگر می تواند یک متغیر 3 x - 54 - 7 3 x - 58 یا یک لگاریتم باشد. x 2 l g x − 5 x l g x.

ما به این سوال پرداخته ایم که عبارات قدرت چیست؟ حال بیایید نگاهی به تغییر شکل آنها بیندازیم.

انواع اصلی تبدیل عبارات قدرت

اول از همه، ما تغییرات هویتی اساسی عبارات را که می توان با عبارات قدرت انجام داد، در نظر خواهیم گرفت.

مثال 1

مقدار بیان قدرت را محاسبه کنید 2 3 (4 2 - 12).

راه حل

ما تمام تحولات را با رعایت ترتیب اقدامات انجام خواهیم داد. در این مورد، ما با انجام اقدامات داخل پرانتز شروع می کنیم: درجه را با یک مقدار دیجیتال جایگزین می کنیم و تفاوت بین دو عدد را محاسبه می کنیم. ما داریم 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

باقی می ماند که مدرک را جایگزین کنیم 2 3 معنای آن 8 و محصول را محاسبه کنید 8 4 = 32. پاسخ ما اینجاست.

پاسخ: 2 3 (4 2 − 12) = 32.

مثال 2

بیان را با قدرت ها ساده کنید 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

راه حل

عبارتی که در شرط مسئله به ما داده می شود شامل اصطلاحات مشابهی است که می توانیم آنها را بیاوریم: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

پاسخ: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

مثال 3

یک عبارت را با توان های 9 - b 3 · π - 1 2 به عنوان یک محصول بیان کنید.

راه حل

بیایید عدد 9 را به عنوان یک توان نشان دهیم 3 2 و از فرمول ضرب اختصاری استفاده کنید:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

پاسخ: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

و حالا بیایید به تحلیل تبدیل‌های یکسانی که می‌توانند به طور خاص برای عبارات قدرت اعمال شوند، برویم.

کار با پایه و توان

درجه در مبنا یا توان می تواند دارای اعداد، متغیرها و برخی عبارات باشد. مثلا، (2 + 0، 3 7) 5 − 3، 7و . کار با چنین رکوردهایی سخت است. جایگزین کردن عبارت در پایه درجه یا عبارت در توان با یک عبارت یکسان بسیار ساده تر است.

دگرگونی های درجه و شاخص طبق قوانینی که برای ما به طور جداگانه از یکدیگر شناخته شده است انجام می شود. مهمترین چیز این است که در نتیجه تبدیل ها، عبارتی مشابه با عبارت اصلی به دست می آید.

هدف از تبدیل ها ساده کردن عبارت اصلی یا به دست آوردن راه حلی برای مسئله است. به عنوان مثال، در مثالی که در بالا آوردیم، (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 می توانید عملیاتی را برای رفتن به درجه انجام دهید. 4 , 1 1 , 3 . با باز کردن پرانتزها، می‌توانیم عبارت‌های مشابهی را در پایه مدرک بیاوریم (a (a + 1) - a 2) 2 (x + 1)و یک عبارت قدرت را دریافت کنید فرم ساده a 2 (x + 1).

استفاده از Power Properties

خصوصیات درجه ها که به صورت تساوی نوشته می شوند، یکی از ابزارهای اصلی برای تبدیل عبارات با درجه هستند. ما در اینجا با توجه به آن موارد اصلی را ارائه می دهیم آو بهر عدد مثبتی هستند و rو س- اعداد واقعی دلخواه:

تعریف 2

• a r a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a ب) r = a r b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

در مواردی که با نماهای طبیعی، اعداد صحیح و مثبت سروکار داریم، محدودیت‌های اعداد a و b می‌تواند بسیار سخت‌گیرانه‌تر باشد. بنابراین، به عنوان مثال، اگر ما برابری را در نظر بگیریم a m a n = a m + n، جایی که مترو n – اعداد صحیح، آنگاه برای هر مقدار a اعم از مثبت و منفی و همچنین برای صادق خواهد بود a = 0.

در مواردی که پایه درجه ها مثبت هستند یا حاوی متغیرهایی هستند که دامنه مقادیر مجاز آنها به گونه ای است که بر اساس آن فقط پایه ها را می گیرند، می توانید ویژگی های درجه ها را بدون محدودیت اعمال کنید. ارزش های مثبت. در واقع، در داخل برنامه آموزشی مدرسهدر ریاضیات وظیفه دانش آموز این است که ویژگی مناسب را انتخاب کرده و آن را به درستی اعمال کند.

هنگام آماده شدن برای پذیرش در دانشگاه ها، ممکن است وظایفی وجود داشته باشد که در آنها استفاده نادرست از ویژگی ها منجر به باریک شدن ODZ و سایر مشکلات در راه حل شود. در این بخش تنها به دو مورد از این دست می پردازیم. اطلاعات بیشتردر مورد سوال را می توان در مبحث "تبدیل عبارات با استفاده از ویژگی های قدرت" یافت.

مثال 4

بیان را نشان دهید a 2، 5 (a 2) - 3: a - 5، 5به عنوان مدرک با پایه آ.

راه حل

برای شروع، از ویژگی توان استفاده می کنیم و عامل دوم را با استفاده از آن تبدیل می کنیم (a 2) - 3. سپس از خواص ضرب و تقسیم توان ها با پایه یکسان استفاده می کنیم:

a 2, 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 .

پاسخ: a 2, 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

تبدیل عبارات قدرت با توجه به خاصیت درجه می تواند هم از چپ به راست و هم در جهت مخالف انجام شود.

مثال 5

مقدار عبارت توان 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 را بیابید.

راه حل

اگر تساوی را اعمال کنیم (الف ب) r = a r b r، از راست به چپ، سپس حاصل ضربی به شکل 3 7 1 3 21 2 3 و سپس 21 1 3 21 2 3 به دست می آوریم. وقتی توان ها را با آن ضرب می کنیم، توان ها را جمع می کنیم همین زمینه ها: 21 1 3 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21 .

راه دیگری برای ایجاد تحول وجود دارد:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

پاسخ: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

مثال 6

با توجه به بیان قدرت a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6، یک متغیر جدید وارد کنید t = a 0، 5.

راه حل

مدرک تحصیلی را تصور کنید a 1، 5چگونه a 0, 5 3. استفاده از ویژگی درجه در یک درجه (a r) s = a r sاز راست به چپ و (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . در عبارت به دست آمده، می توانید به راحتی یک متغیر جدید معرفی کنید t = a 0، 5: گرفتن t 3 - t - 6.

پاسخ: t 3 − t − 6 .

تبدیل کسرهای حاوی توان

ما معمولاً با دو نوع عبارات توانی با کسر سروکار داریم: عبارت کسری با درجه است یا حاوی چنین کسری است. تمام تبدیل‌های کسری پایه برای چنین عباراتی بدون محدودیت قابل اعمال هستند. آنها را می توان کاهش داد، به یک مخرج جدید آورد، به طور جداگانه با صورت و مخرج کار کرد. بیایید این را با مثال هایی توضیح دهیم.

مثال 7

عبارت قدرت 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 را ساده کنید.

راه حل

ما با کسری سر و کار داریم، بنابراین تبدیل ها را هم در صورت و هم در مخرج انجام می دهیم:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

یک منهای جلوی کسر قرار دهید تا علامت مخرج را تغییر دهید: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

پاسخ: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

کسرهایی که دارای توان هستند همانند کسرهای گویا به مخرج جدیدی تقلیل می‌یابند. برای این کار باید یک عامل اضافی پیدا کنید و صورت و مخرج کسر را در آن ضرب کنید. لازم است یک عامل اضافی را به گونه ای انتخاب کنید که برای هیچ یک از مقادیر متغیرها از متغیرهای ODZ برای عبارت اصلی ناپدید نشود.

مثال 8

کسرها را به مخرج جدید بیاورید: الف) a + 1 a 0، 7 به مخرج آ، ب) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 به مخرج x + 8 y 1 2 .

راه حل

الف) عاملی را انتخاب می کنیم که به ما امکان می دهد به مخرج جدیدی تقلیل دهیم. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a ,بنابراین، به عنوان یک عامل اضافی، ما را a 0، 3. محدوده مقادیر قابل قبول متغیر a شامل مجموعه تمام اعداد حقیقی مثبت است. در این زمینه مدرک a 0، 3به صفر نمی رسد

بیایید صورت و مخرج کسری را در ضرب کنیم a 0، 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

ب) به مخرج توجه کنید:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

این عبارت را در x 1 3 + 2 · y 1 6 ضرب می کنیم، مجموع مکعب های x 1 3 و 2 · y 1 6 را بدست می آوریم، یعنی. x + 8 · y 1 2 . این مخرج جدید ما است که باید کسر اصلی را به آن بیاوریم.

بنابراین یک عامل اضافی x 1 3 + 2 · y 1 6 پیدا کردیم. در محدوده مقادیر قابل قبول متغیرها ایکسو yعبارت x 1 3 + 2 y 1 6 ناپدید نمی شود، بنابراین می توانیم صورت و مخرج کسری را در آن ضرب کنیم:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

پاسخ:الف) a + 1 a 0، 7 = a + 1 a 0، 3 a، b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

مثال 9

کسر را کاهش دهید: a) 30 x 0 (x 0، 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0، 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3، ب) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

راه حل

الف) از بزرگترین مخرج مشترک (GCD) استفاده کنید که با آن می توان صورت و مخرج را کاهش داد. برای اعداد 30 و 45 این عدد 15 است. همچنین می توانیم کاهش دهیم x 0، 5 + 1و روی x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

ما گرفتیم:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

ب) در اینجا وجود عوامل یکسان آشکار نیست. برای به دست آوردن فاکتورهای یکسان در صورت و مخرج، باید چند تبدیل انجام دهید. برای انجام این کار، مخرج را با استفاده از فرمول تفاضل مربعات گسترش می دهیم:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

پاسخ:الف) 30 x 3 (x 0، 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0، 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 ، 5 + 1) ، ب) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

عملیات اصلی با کسرها شامل کاهش به مخرج جدید و کاهش کسر است. هر دو عمل با رعایت تعدادی از قوانین انجام می شود. هنگام جمع و تفریق کسرها ابتدا کسرها به یک مخرج مشترک تقلیل می یابد و پس از آن عملیات (جمع یا تفریق) با اعداد انجام می شود. مخرج ثابت می ماند. حاصل اعمال ما کسری جدید است که صورت آن حاصل ضرب مصدرها و مخرج حاصلضرب مخرج هاست.

مثال 10

مراحل x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 را انجام دهید.

راه حل

بیایید با کم کردن کسری که در پرانتز هستند شروع کنیم. بیایید آنها را به یک مخرج مشترک بیاوریم:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

بیایید اعداد را کم کنیم:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

حالا کسرها را ضرب می کنیم:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

یک درجه کم کنیم x 1 2، ما 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 می گیریم.

علاوه بر این، می توانید بیان توان را در مخرج با استفاده از فرمول تفاوت مربع ها ساده کنید: مربع: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

پاسخ: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

مثال 11

عبارت قدرت x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 را ساده کنید.
راه حل

ما می توانیم کسر را کاهش دهیم (x 2 , 7 + 1) 2. ما یک کسری x 3 4 x - 5 8 x 2، 7 + 1 می گیریم.

اجازه دهید تبدیل های x توان x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2، 7 + 1 را ادامه دهیم. اکنون می توانید از ویژگی تقسیم توان با پایه های مشابه استفاده کنید: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

رفتن از آخرین کاربه کسر x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

پاسخ: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

در بیشتر موارد، انتقال ضرب‌کننده‌های دارای توان منفی از صورت به مخرج و بالعکس با تغییر علامت توان راحت‌تر است. این اقدام تصمیم گیری بیشتر را ساده می کند. بیایید مثالی بزنیم: عبارت توان (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 را می توان با x 3 · (x + 1) 0 , 2 جایگزین کرد.

تبدیل عبارات با ریشه و قدرت

در وظایف، عبارات قدرتی وجود دارد که نه تنها دارای درجه با توان کسری، بلکه ریشه نیز می باشد. مطلوب است که چنین عباراتی را فقط به ریشه یا فقط به قدرت تقلیل دهیم. انتقال به درجه ترجیح داده می شود، زیرا کار با آنها آسان تر است. چنین انتقالی به ویژه زمانی سودمند است که DPV متغیرها برای عبارت اصلی به شما امکان می‌دهد بدون نیاز به دسترسی به مدول یا تقسیم DPV به چندین بازه، ریشه‌ها را با قدرت‌ها جایگزین کنید.

مثال 12

عبارت x 1 9 x 3 6 را به صورت توان بیان کنید.

راه حل

محدوده معتبر یک متغیر ایکستوسط دو نابرابری تعیین می شود x ≥ 0و x · x 3 ≥ 0 که مجموعه را تعریف می کند [ 0 , + ∞) .

در این مجموعه، ما این حق را داریم که از ریشه به سمت قدرت حرکت کنیم:

x 1 9 x 3 6 = x 1 9 x 1 3 1 6

با استفاده از ویژگی های درجه، بیان قدرت حاصل را ساده می کنیم.

x 1 9 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

پاسخ: x 1 9 x 3 6 = x 1 3 .

تبدیل توان ها با متغیرها در توان

اگر به درستی از ویژگی های درجه استفاده کنید، انجام این تبدیل ها بسیار ساده است. مثلا، 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

می توانیم حاصل ضرب درجه ای را جایگزین کنیم که بر حسب آن مجموع چند متغیر و یک عدد پیدا می شود. در سمت چپ، این را می توان با اولین و آخرین عبارت در سمت چپ عبارت انجام داد:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

حالا بیایید هر دو طرف معادله را بر تقسیم کنیم 7 2 x. این عبارت در ODZ متغیر x فقط مقادیر مثبت را می گیرد:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

بیایید کسرها را با توان کاهش دهیم، به دست می آوریم: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

در نهایت، نسبت توان های با توان های یکسان با توان های نسبت ها جایگزین می شود که به معادله 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 منجر می شود که معادل 5 5 7 x 2 - 3 5 7 است. x - 2 = 0 .

اجازه دهید یک متغیر جدید t = 5 7 x را معرفی کنیم که حل اصلی را کاهش می دهد معادله نماییبه یک تصمیم معادله درجه دوم 5 t 2 − 3 t − 2 = 0 .

تبدیل عبارات با توان و لگاریتم

عبارات حاوی توان و لگاریتم نیز در مسائل یافت می شود. نمونه هایی از این عبارات عبارتند از: 1 4 1 - 5 log 2 3 یا log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . تبدیل چنین عباراتی با استفاده از رویکردهای مورد بحث در بالا و ویژگی های لگاریتم ها انجام می شود که در مبحث "تغییر عبارات لگاریتمی" به تفصیل آنها را تحلیل کرده ایم.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

§ 1 مفهوم ساده سازی یک عبارت تحت اللفظی

در این درس با مفهوم اصطلاحات مشابه آشنا می‌شویم و با استفاده از مثال‌ها یاد می‌گیریم که چگونه عبارات مشابه را کاهش دهیم و بدین ترتیب عبارات تحت اللفظی را ساده کنیم.

بیایید معنای مفهوم "ساده سازی" را دریابیم. کلمه «ساده سازی» از کلمه «ساده سازی» گرفته شده است. ساده کردن یعنی ساده کردن، ساده تر کردن. بنابراین، ساده کردن یک عبارت تحت اللفظی به معنای کوتاه کردن آن است، با حداقل مقداراقدامات.

عبارت 9x + 4x را در نظر بگیرید. این یک عبارت تحت اللفظی است که یک جمع است. اصطلاحات در اینجا به عنوان محصولات یک عدد و یک حرف ارائه می شوند. ضریب عددی چنین اصطلاحاتی را ضریب می گویند. در این عبارت، ضرایب اعداد 9 و 4 خواهند بود. لطفاً توجه داشته باشید که ضریب نمایش داده شده با حرف در هر دو عبارت این جمع یکسان است.

قانون توزیعی ضرب را به یاد بیاورید:

برای ضرب مجموع در یک عدد، می توانید هر جمله را در این عدد ضرب کنید و حاصل جمع آوری کنید.

که در نمای کلیبه صورت زیر نوشته شده است: (a + b) ∙ c \u003d ac + bc.

این قانون در هر دو جهت ac + bc = (a + b) ∙ c معتبر است

بیایید آن را به عبارت تحت اللفظی خود اعمال کنیم: مجموع حاصلضرب های 9x و 4x برابر با حاصلضرب است که اولین عامل آن مجموع 9 و 4 است، عامل دوم x است.

9 + 4 = 13 13 برابر می شود.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

به جای سه عمل در بیان، یک عمل باقی مانده است - ضرب. بنابراین، ما بیان تحت اللفظی خود را ساده تر کرده ایم، یعنی. آن را ساده کرد.

§ 2 کاهش اصطلاحات مشابه

اصطلاحات 9x و 4x فقط در ضرایب آنها متفاوت هستند - چنین اصطلاحاتی مشابه نامیده می شوند. قسمت حروف اصطلاحات مشابه یکسان است. اصطلاحات مشابه نیز شامل اعداد و عبارات مساوی است.

به عنوان مثال، در عبارت 9a + 12 - 15، اعداد 12 و -15 عبارت های مشابه خواهند بود و در مجموع حاصلضرب های 12 و 6a، اعداد 14 و حاصلضرب های 12 و 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a)، عبارت های مساوی که با حاصلضرب 12 و 6a نشان داده می شوند.

ذکر این نکته ضروری است که عبارات با ضرایب مساوی و ضرایب تحت اللفظی متفاوت مشابه نیستند، اگرچه گاهی اوقات اعمال قانون توزیعی ضرب در آنها مفید است، به عنوان مثال، مجموع حاصلضرب های 5x و 5y برابر حاصلضرب است. از عدد 5 و مجموع x و y

5x + 5y = 5 (x + y).

بیایید عبارت -9a + 15a - 4 + 10 را ساده کنیم.

در این مورد، عبارات -9a و 15a اصطلاحات مشابهی هستند، زیرا آنها فقط در ضرایب خود متفاوت هستند. آنها ضریب حروف یکسانی دارند و عبارات -4 و 10 نیز مشابه هستند، زیرا آنها اعداد هستند. اصطلاحات مشابه را اضافه می کنیم:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

دریافت می کنیم: 6a + 6.

با ساده سازی عبارت، مجموع عبارت های مشابه را یافتیم، در ریاضیات به این کاهش اصطلاحات مشابه می گویند.

اگر آوردن چنین اصطلاحاتی دشوار است، می توانید برای آنها کلماتی در نظر بگیرید و اشیا را اضافه کنید.

به عنوان مثال، عبارت را در نظر بگیرید:

برای هر حرف ما شیء خود را می گیریم: b-apple، c-pear، سپس معلوم می شود: 2 سیب منهای 5 گلابی به اضافه 8 گلابی.

آیا می توانیم گلابی را از سیب کم کنیم؟ البته که نه. اما می توانیم 8 گلابی را به منهای 5 گلابی اضافه کنیم.

ما مانند شرایط -5 گلابی + 8 گلابی می دهیم. عبارت‌های مشابه دارای قسمت تحت اللفظی یکسانی هستند، بنابراین هنگام کاهش عبارت‌های مشابه، کافی است ضرایب را جمع کرده و قسمت تحت اللفظی را به نتیجه اضافه کنید:

(-5 + 8) گلابی - شما 3 گلابی دریافت می کنید.

با بازگشت به عبارت تحت اللفظی خود، -5s + 8s = 3s داریم. بنابراین، پس از کاهش عبارت های مشابه، عبارت 2b + 3c را به دست می آوریم.

بنابراین، در این درس با مفهوم اصطلاحات مشابه آشنا شدید و یاد گرفتید که چگونه عبارات تحت اللفظی را با آوردن اصطلاحات مشابه ساده کنید.

فهرست ادبیات مورد استفاده:

1. ریاضی. کلاس ششم: طرح درس برای کتاب درسی توسط I.I. زوباروا، A.G. موردکوویچ // نویسنده-تدوین کننده L.A. توپیلین. Mnemosyne 2009.
2. ریاضی. کلاس ششم: کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی. I.I. Zubareva، A.G. موردکوویچ.- M.: Mnemozina، 2013.
3. ریاضی. کلاس ششم: کتاب درسی موسسات آموزشی / G.V. دوروفیف، I.F. شاریگین، س.ب. سووروف و دیگران / ویرایش شده توسط G.V. دوروفیوا، I.F. شاریگین; آکادمی علوم روسیه، آکادمی آموزش روسیه. م.: "روشنگری"، 2010.
4. ریاضی. کلاس ششم: کتاب درسی موسسات آموزشی عمومی / N.Ya. ویلنکین، وی.آی. ژخوف، A.S. چسنوکوف، S.I. شوارتزبرد. - M.: Mnemozina، 2013.
5. ریاضی. کلاس ششم: کتاب درسی / G.K. موراوین، O.V. مورچه - M.: Bustard، 2014.

تصاویر استفاده شده: