تجهیزات:

• یک کامپیوتر،
• پروژکتور چند رسانه ای
• صفحه نمایش،
• پیوست 1(ارائه اسلاید در پاورپوینت) "روش های حل معادلات نشانگر"
• ضمیمه 2 (حل معادله نوع "سه پایگاه مختلف درجه" در کلمه)
• ضمیمه 3. (مواد توزیع در کلمه برای کار عملی).
• ضمیمه 4. (مواد توزیع در کلمه برای تکالیف).

در طول کلاس ها

1. مرحله سازمانی

• موضوع موضوعات درس (ضبط شده در هیئت مدیره)،
• نیاز به یک درس عمومی در نمرات 10-11:

مرحله آموزش دانش آموزان برای دانش یادگیری فعال

تکرار

تعریف.

یک معادله نشانگر معادله ای است که حاوی یک متغیر در یک شاخص درجه (دانش آموز پاسخ داده شده است) نامیده می شود.

سخنان معلم معادلات نشانگر متعلق به کلاس معادلات متعالی است. این نام سخت افزاری نشان می دهد که چنین معادلات به طور کلی صحبت می کنند به عنوان یک فرمول حل نمی شوند.

آنها فقط می توانند با روش های تقریبا عددی در رایانه ها حل شوند. اما در مورد وظایف معاینه چیست؟ تمام ترفند این است که امتحان این وظیفه است که فقط یک راه حل تحلیلی را پذیرفته است. به عبارت دیگر، شما می توانید (و باید!) چنین تحولات مشابه را انجام دهید که این معادله نشان دهنده را به ساده ترین معادله نشان دهنده کاهش می دهد. این ساده ترین معادله به اصطلاح است: ساده ترین معادله نشانگر. حل شده است لگاریتم

وضعیت با راه حل معادله نشانگر شبیه به یک سفر از طریق یک دخمه پرپیچ و خم، که به خصوص توسط کامپایلر این کار اختراع شده است. از این استدلال بسیار رایج، توصیه های کاملا دقیق وجود دارد.

برای موفقیت حل معادلات نشانگر، لازم است:

1. نه تنها به طور فعال تمام هویت های تظاهرات را می داند، بلکه همچنین برای پیدا کردن بسیاری از مقادیر متغیر که این هویت ها تعیین می شود که هنگام استفاده از این هویت ها، ریشه های اضافی را به دست نمی آورند، و حتی بیشتر، راه حل های معادله را از دست ندهید.

2. به طور فعال تمام هویت های تظاهرات را می دانید.

3. به وضوح، به طور دقیق، به طور دقیق و بدون اشتباه برای انجام تحولات ریاضی معادلات (برای انتقال اجزای از یک بخش از معادله به دیگری، بدون فراموش کردن در مورد تغییر علامت، منجر به ژنراتور عمومی از کسری و غیره) . این فرهنگ ریاضی نامیده می شود. در عین حال، محاسبات خود باید به صورت خودکار با دستان خود ساخته شوند و سر باید در مورد موضوع کلی ردیابی راه حل فکر کند. تبدیل تبدیل باید تا حد ممکن نزدیک و بیشتر باشد. فقط این تضمین راه حل مناسب بی نظیر را ارائه می دهد. و به یاد داشته باشید: یک خطای ریاضی کوچک ممکن است به سادگی یک معادله متعالی را ایجاد کند، که در اصل تحلیلی حل نشده است. به نظر می رسد، شما از راه دور شدید و به دیوار دخمه پرپیچ و خم شد.

4. روش ها را برای حل مشکلات (یعنی همه راه های عبور از راه حل دخمه پرپیچ و خم) بدانید. برای جهت گیری مناسب در هر مرحله شما (آگاهانه یا بصری!):

• تعیین کردن نوع معادله;
• به یاد داشته باشید نوع مربوطه روش تصمیم گیری وظایف

مرحله تعمیم و سیستماتیک مواد مورد مطالعه.

یک معلم، همراه با دانش آموزان با دخالت یک کامپیوتر، بررسی کلیه انواع معادلات و روش های این راه حل آنها انجام می شود، یک طرح کلی کشیده شده است. (استفاده از برنامه آموزش کامپیوتری L.ya. Borevsky "دوره ریاضیات - 2000"، نویسنده ارائه در پاورپوینت - به اصطلاح. Motversova.)

شکل. یکیاین رقم نمودار عمومی تمام انواع معادلات نشانگر را نشان می دهد.

همانطور که از این طرح دیده می شود، استراتژی برای حل معادلات نشانگر این است که این معادله نشانگر را به معادله، اول از همه، با همان پایگاه های درجه و سپس - و با همان شاخص های درجه.

پس از دریافت معادله با همان پایگاه ها و شاخص های درجه، شما این درجه را به یک متغیر جدید جایگزین کنید و یک معادله جبری ساده (معمولا، منطقی یا مربع یا مربع) نسبت به این متغیر جدید دریافت کنید.

با تصمیم گیری این معادله و جایگزینی، شما به عنوان یک نتیجه به طور کلی از ساده ترین معادلات تظاهرات که به طور کلی با کمک لگاریتمی حل می شوند، به طور کلی حل می شود.

معادلات واقع شده اند، که در آن تنها درجه (خصوصی) درجه یافت می شود. با استفاده از هویت های نشانگر، این معادلات موفق به ایجاد بلافاصله به یک پایه، به ویژه، به ساده ترین معادله نشانگر می شود.

در نظر بگیرید که چگونه معادله نشانگر با سه مبنای مختلف درجه حل می شود.

(اگر معلم یک برنامه کامپیوتری آموزشی داشته باشد L.ya. Borevsky "ریاضیات - دوره 2000، ما به طور طبیعی با یک دیسک کار می کنیم اگر نه - شما می توانید یک چاپ از این نوع معادله از آن، ارائه شده در زیر.)

شکل. 2 راه حل راه حل برای معادله.

شکل. 3 آغاز راه حل معادله

شکل. چهار. از بین بردن راه حل معادله.

انجام کار عملی

نوع معادله را تعیین کنید و آن را حل کنید.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

خلاصه درس

نصب تخمین ها برای درس.

پایان درس

برای معلم

نمودار پاسخ های کار عملی.

وظیفه: از لیست معادلات، معادلات نوع مشخص شده را انتخاب کنید (№ پاسخ به جدول):

1. سه پایگاه مختلف درجه
2. دو پایگاه مختلف - شاخص های مختلف درجه
3. پایه های درجه - درجه یک عدد
4. همان پایگاه ها - شاخص های مختلف درجه
5. همان پایگاه های درجه - همان شاخص های درجه
6. کار درجه
7. دو مبنای مختلف درجه - همان شاخص ها
8. ساده ترین معادلات نشان دهنده

1. (کار درجه)

2. (همان پایه ها شاخص های مختلف درجه است)

این درس برای کسانی که فقط شروع به مطالعه معادلات شاخصی می کنند طراحی شده است. همانطور که همیشه، بیایید با تعریف و ساده ترین نمونه ها شروع کنیم.

اگر شما این درس را بخوانید، من معتقدم که شما در حال حاضر حداقل حداقل ایده ای از ساده ترین معادلات - خطی و مربع: $ 56X-11 \u003d 0 $؛ $ ((x) ^ (2)) + 5x + 4 \u003d 0 $؛ $ ((x) ^ (2)) - 12x + 32 \u003d 0 $، و غیره برای اینکه بتوانید چنین سازه هایی را حل کنید، به طور کامل لازم نیست که در مورد موضوع صحبت کنیم.

بنابراین معادلات نشانگر. بلافاصله چند نمونه را می دهم:

\\ [(2) ^ (x)) \u003d 4؛ \\ quad (((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25)؛ \\ Quad (9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

برخی از آنها ممکن است به نظر پیچیده تر، برخی از - برعکس، بیش از حد ساده است. اما همه آنها یک ویژگی مهم را ترکیب می کنند: در سوابق آنها یک تابع نشانگر $ f \\ left (x \\ right) \u003d ((a) ^ (x)) وجود دارد. بنابراین، ما تعریف را معرفی می کنیم:

معادله نشانگر هر معادله ای است که حاوی یک تابع نشانگر است، I.E. بیان نوع $ ((a) ^ (x)) $. علاوه بر این عملکرد، چنین معادلات ممکن است شامل هر طرح جبری دیگر - چندجملهای، ریشه، مثلثات، لگاریتم ها و غیره باشد.

آه خوب تعریف شده است. در حال حاضر سوال این است: چگونه به حل تمام این crap؟ پاسخ به طور همزمان ساده و پیچیده است.

بیایید با اخبار خوب شروع کنیم: در تجربه خود، کلاس ها با بسیاری از دانش آموزان می توانم بگویم که اکثر آنها معادلات نشانگر بسیار ساده تر از همان لگاریتم هستند و بیشتر مثلثاتی است.

اما اخبار بد نیز وجود دارد: گاهی اوقات وظایف الهام بخش برای انواع کتاب های درسی و امتحانات وجود دارد، و مغز التهابی آنها شروع به صدور چنین معادلات وحشیانه ای می کند که نه تنها به دانش آموزان تبدیل می شود - حتی بسیاری از معلمان به چنین وظایفی می اندیشند.

با این حال، ما در مورد غم و اندوه نخواهیم بود. و بازگشت به این سه معادلات که در ابتدای روایت ارائه شد. بیایید سعی کنیم هر یک از آنها را حل کنیم.

اولین معادله: $ ((2) ^ (x)) \u003d $ 4. خوب، چه میزان شما نیاز به ساخت شماره 2 برای دریافت شماره 4 دارید؟ احتمالا در دوم؟ پس از همه، $ ((2) ^ (2)) \u003d 2 \\ cdot 2 \u003d 4 $ - و ما برابری عددی راست را به دست آوردیم، به عنوان مثال واقعا $ x \u003d $ 2. خوب، متشکرم، کلاه، اما این معادله خیلی ساده بود که من حتی گربه من را حل می کردم. :)

بیایید به معادله زیر نگاه کنیم:

\\ [((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\]

و در اینجا در حال حاضر کمی مشکل تر است. بسیاری از دانش آموزان می دانند که $ ((5) ^ (2)) \u003d 25 دلار یک جدول ضرب است. برخی نیز معتقدند که $ ((5) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (5) $ اساسا تعریف درجه های منفی (به صورت مشابه با فرمول $ (a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n)))) $).

در نهایت، تنها علاقه مندی ها حدس می زنند که این حقایق را می توان ترکیب و در خروجی برای به دست آوردن نتیجه زیر:

\\ [\\ frac (1) (25) \u003d \\ frac (1) (((5) ^ (2))) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]

بنابراین، معادله اولیه ما به شرح زیر بازنویسی خواهد شد:

\\ [(((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\ rightarrow ((5) ^ (2x-3)) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]

اما این در حال حاضر کاملا حل شده است! در سمت چپ در معادله یک تابع نشانگر وجود دارد، درست در معادله، عملکرد نشانگر است، هیچ چیز جز آنها دیگر در هر نقطه نیست. در نتیجه، ممکن است مبانی را "دور بریزید" و احمقانه معادل شاخص ها:

ساده ترین معادله خطی را دریافت کرد، که هر دانش آموز به معنای واقعی کلمه در چند خط تصمیم می گیرد. خوب، در چهار خط:

\\ [\\ align) & 2x-3 \u003d -2 \\\\ & 2x \u003d 3-2 \\\\ & 2x \u003d 1 \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (2) \\\\ end (align) \\]

اگر شما نمی فهمید که اکنون در چهار خط آخر اتفاق افتاده است - مطمئن شوید که به موضوع "معادلات خطی" بازگردید و آن را تکرار کنید. از آنجا که بدون تثبیت روشن از این موضوع، برای معادلات نشانگر خیلی زود است.

\\ [((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

خوب، چگونه این را حل کنیم؟ اولین فکر: $ 9 \u003d 3 \\ CDOT 3 \u003d (((3) ^ (2)) $، بنابراین معادله اولیه را می توان بازنویسی کرد:

\\ [(\\ left ((((3) ^ (2)) \\ right)) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

سپس به یاد می آورید که زمانی که درجه به درجه افزایش می یابد، شاخص ها متغیر هستند:

\\ [((((((3) ^ (2)) \\ right)) ^ ((3) ^ (2x)) ^ rightarrow ((3) ^ (2x)) \u003d - (( 3) ^ (1)) \\]

\\ [\\ align) & 2x \u003d -1 \\\\ & x \u003d - \\ frac (1) (2) \\\\\\ end (align) \\]

و در اینجا برای چنین تصمیم گیری ما صادقانه به سزاوار دو. برای ما با آرامش Pokemon یک علامت "منهای" را فرستادیم، به سه درجه بالا، به درجه این Troika روبرو شد. و بنابراین این غیر ممکن است. و به همین دلیل. نگاهی به درجه های مختلف Troika:

\\ [\\ شروع (ماتریس) ((3) ^ (1)) \u003d 3 ° ((3) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (3) و (3) ^ (\\ frac (1) (2)) \u003d \\ sqrt (3) \\\\ ((3) ^ (2)) \u003d 9 Δ (3) ^ (- 2)) \u003d \\ frac (1) ((3) ^ ( \\ frac (1) (3))) \u003d \\ sqrt (3) \\\\ ((3) ^ (3)) \u003d 27 ° C ((3) ^ (- 3)) \u003d \\ frac (1) (27) & (3) ^ (- \\ fricac (1) (2)) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (3)) \\\\\\ end (ماتریس) \\]

با ایجاد این نشانه، من فقط منحرف نکردم: و درجه های مثبت و منفی و منفی و حتی کسری را در نظر گرفتم ... پس حداقل یک عدد منفی کجاست؟ او نه! و نمی تواند به این دلیل باشد که عملکرد نشانگر $ y \u003d (((a) ^ (x)) $، اول، همیشه تنها مقدار مثبت را می گیرد (چند واحد چند برابر نمی شود و یا به دو بار تحویل نمی شود - هنوز وجود خواهد داشت یک عدد مثبت باشد)، و در مرحله دوم، اساس چنین عملکرد، شماره $ a $ - تعریف یک عدد مثبت است!

خوب، چگونه برای حل معادله $ ((9) ^ (x)) \u003d - 3 دلار؟ اما به هیچ وجه: هیچ ریشه ای وجود ندارد. و به این معنا، معادلات نشانگر بسیار شبیه به مربع هستند - همچنین ممکن است ریشه وجود داشته باشد. اما اگر در معادلات مربع، تعداد ریشه ها توسط تشخیص (ریشه های مثبت مثبت - 2، بدون ریشه) تعیین می شود، سپس همه چیز بستگی به ارزش حق علامت برابری دارد.

بنابراین، ما نتیجه گیری کلیدی را تشکیل می دهیم: ساده ترین معادله نشانگر نوع $ ((a) ^ (x)) \u003d b $ یک ریشه دارد و تنها اگر $ b\u003e $ 0 باشد. دانستن این واقعیت ساده، شما به راحتی می توانید تعیین کنید: یک معادله ریشه برای شما پیشنهاد شده است یا نه. کسانی که. ارزش آن را دارد که آن را حل کند یا بلافاصله بنویسد که هیچ ریشه ای وجود ندارد.

این دانش بارها و بارها به ما کمک خواهد کرد تا زمانی که شما باید وظایف پیچیده تر را حل کنید. در عین حال، اشعار کافی است - وقت آن است که الگوریتم اصلی را برای حل معادلات نشان دهنده مطالعه کنید.

چگونه می توان معادلات نمایشی را حل کرد

بنابراین، ما این کار را فرموله می کنیم. لازم است معادله نشانگر را حل کنید:

\\ [((a) ^ (x)) \u003d b، \\ quad a، b\u003e 0 \\]

با توجه به الگوریتم "ساده لوح"، که از طریق آن ما قبلا، لازم است که شماره $ b $ را به عنوان درجه $ A $ ارائه دهیم:

علاوه بر این، اگر هر عبارتی به جای متغیر $ x $ وجود داشته باشد، یک معادله جدیدی دریافت می کنیم که می تواند قبلا حل شود. مثلا:

\\ [\\ align) & ((2) ^ (x)) \u003d 8 \\ rightarrow ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (3)) \\ rightarrow x \u003d 3؛ \\\\ & (3) ^ (- x)) \u003d 81 \\ rightarrow ((3) ^ (- x)) \u003d ((3) ^ (4)) \\ rightarrow -x \u003d 4 rightarrow x \u003d -4؛ \\\\ & (5) ^ (2x)) \u003d 125 \\ rightarrow ((5) ^ (2x)) \u003d ((5) ^ (3)) \\ rightarrow 2x \u003d 3 rightarrow x \u003d \\ frac (3) ( 2). \\\\\\ پایان (align) \\]

و به اندازه کافی عجیب و غریب، این طرح در حدود 90٪ موارد کار می کند. و سپس با بقیه 10٪؟ 10٪ باقی مانده کمی معادلات نشانگر "اسکیزوفرنیک" است:

\\ [(2) ^ (x)) \u003d 3؛ \\ quad ((5) ^ (x)) \u003d 15؛ \\ quad ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\]

خوب، چه میزان نیاز به ساخت 2 برای دریافت 3 دارید؟ اولین؟ و در اینجا نیست: $ ((2) ^ (1)) \u003d 2 $ - کافی نیست. در دوم؟ همچنین هیچ: $ ((2) ^ (2)) \u003d $ 4 - کمی بیش از حد وجود دارد. و در آن زمان؟

دانستن دانش آموزان در حال حاضر احتمالا حدس زده اند: در چنین مواردی، زمانی که "زیبایی" نمی تواند حل شود، "توپخانه سنگین" - LogaRithms متصل است. اجازه بدهید به شما یادآوری کنم که با کمک لگاریتم ها، هر تعداد مثبت را می توان به عنوان درجه ای از هر عدد مثبت دیگر نشان داد (به جز یکی):

به یاد داشته باشید این فرمول؟ وقتی که به دانش آموزانم در مورد لگاریتم می گویم، همیشه به آن هشدار می دهم: این فرمول (این نوع هویت لگاریتمی اصلی است یا اگر دوست دارید، تعریف لگاریتم) آن را برای مدت زمان بسیار طولانی تعقیب می کند و در بیشتر وقت آن را تعقیب می کند مکان های غیر منتظره خوب، او بلند می شود بیایید به معادله ما نگاه کنیم و برای این فرمول:

\\ [\\ align) & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\\\ & \u003d (((b) ^ (((\\ log) _ (b)) a) \\\\\\ end (align) \\]

اگر فرض کنیم که $ a \u003d $ 3 شماره اصلی ما است، که ارزش حق دارد، و $ b \u003d 2 $ بیشتر پایه تابع نشانگر است که ما می خواهیم بخش مناسب را به دست آوریم تا ما به دست آوریم:

\\ [\\ begin (align) & a \u003d ((b) ^ (((\\ log) _ (b)) a)) \\ rightarrow 3 \u003d (((2) ^ ((\\ log) _ (2)) 3)) \\\\ & (2) ^ (x)) \u003d 3 \\ rightarrow ((2) ^ (x)) \u003d (((2) ^ ((\\ log) _ (2)) 3)) \\ rightarrow x \u003d ((\\ log) _ (2)) 3. \\\\\\ پایان (align) \\]

دریافت پاسخ کمی عجیب و غریب: $ x \u003d ((\\ log) _ (2)) 3 دلار. در برخی از وظایف دیگر، بسیاری از آنها در چنین پاسخی خندید و شروع به محاکمه خود کردند: ناگهان یک اشتباه در جایی وجود داشت؟ من عجله دارم تا شما را بخوانم: هیچ خطایی اینجا نیست و لگاریتم در ریشه های معادلات نشانگر یک وضعیت کاملا معمول است. بنابراین استفاده می شود :)

حالا ما با تقلید از دو معادله باقی مانده تصمیم می گیریم:

\\ [\\ align) & ((5) ^ (x)) \u003d 15 \\ rightarrow ((5) ^ (x)) \u003d ((5) ^ ((\\ log) _ (5)) 15)) 15)) \\ rightarrow x \u003d ((\\ log) _ (5)) 15؛ \\\\ Δ ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\ rightarrow ((4) ^ (2x)) \u003d ((4) ^ ((\\ log) _ (4)) 11)) \\ rightarrow 2x \u003d ( (\\ log) _ (4)) 11 \\ rightarrow x \u003d \\ frac (1) (2) (\\ log) _ (4)) 11. \\\\\\ پایان (align) \\]

این همه! به هر حال، آخرین پاسخ را می توان در غیر این صورت نوشته شده است:

این ما چند برابر به استدلال لگاریتم ساخته شده است. اما هیچ کس مانع از ساختن این ضریب به زمین نمی شود:

در این مورد، هر سه گزینه درست هستند - اینها به سادگی شکل های مختلف ضبط از همان شماره هستند. کدام یک را انتخاب کنید و در تصمیم حاضر انتخاب کنید - فقط برای شما حل کنید.

بنابراین، ما یاد گرفتیم که چگونه هر معادله نشانگر نوع $ ((a) ^ (x)) \u003d b $ را حل کنیم) \u003d B $، جایی که اعداد $ A $ و $ b $ به شدت مثبت هستند. با این حال، واقعیت خشن دنیای ما چنین است که چنین وظایف ساده شما را بسیار و به ندرت ملاقات خواهد کرد. خیلی بیشتر شما چیزی شبیه به این وجود خواهید داشت:

\\ [\\ align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11؛ \\\\ & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x))؛ \\\\ & 100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09. \\\\\\ پایان (align) \\]

خوب، چگونه این را حل کنیم؟ آیا ممکن است حل شود؟ و اگر چنین است، چطور؟

بدون وحشت تمام این معادلات به سرعت و به سادگی فرمول های ساده را که قبلا در نظر گرفته اید را کاهش می دهد. فقط باید بدانید چند تکنیک از جبر را به یاد داشته باشید. و البته، در اینجا بدون قوانین برای کار با درجه هیچ جایی نیست. درباره این من اکنون به شما خواهم گفت. :)

تبدیل معادلات نشانگر

اولین چیزی که باید به یاد داشته باشید این است: هر معادله نشانگر، مهم نیست چقدر دشوار است، به هر حال، باید به ساده ترین معادلات کاهش یابد - به این ترتیب ما قبلا در نظر گرفته ایم و ما می دانیم که چگونه باید حل کنیم. به عبارت دیگر، طرح حل معادلات نشانگر به شرح زیر است:

1. معادله منبع را ثبت کنید. به عنوان مثال: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $؛
2. برخی از crap غیر قابل درک را ایجاد کنید. یا حتی چند اسب که به نام "معادله تبدیل" نامیده می شود؛
3. در خروجی برای به دست آوردن ساده ترین عبارات نوع $ ((4) ^ (x)) \u003d 4 دلار یا چیز دیگری در این روح. علاوه بر این، یک معادله اولیه می تواند چندین اصطلاح را در یک زمان ارائه دهد.

با اولین مورد، همه چیز روشن است - حتی گربه من قادر به ثبت معادله بر روی برگ است. با توجه به نقطه سوم، به نظر می رسد، به نظر می رسد، بیشتر یا کمتر به وضوح - ما قبلا چنین معادلات را از بین بردیم.

اما نحوه برخورد با دوم چیست؟ چه نوع تحول؟ چه باید بکنید؟ و چطور؟

خوب، بیایید درک کنیم. اول از همه، من زیر را ذکر خواهم کرد. تمام معادلات نشانگر به دو نوع تقسیم می شوند:

1. معادله از توابع نشانگر با همان پایه تشکیل شده است. به عنوان مثال: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $؛
2. فرمول دارای توابع تظاهرات با پایگاه های مختلف است. مثالها: $ ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)) $ و $ ((100) ^ (x-1) ) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09 $.

بیایید با معادلات نوع اول شروع کنیم - آنها ساده ترین را حل می کنند. و در راه حل آنها، ما به عنوان تخصیص عبارات پایدار به چنین پذیرایی کمک خواهیم کرد.

تخصیص یک عبارت پایدار

بیایید دوباره به این معادله نگاه کنیم:

\\ [((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 \\]

ما چه می بینیم؟ چهارمین در درجه های مختلف ساخته شده است. اما تمام این درجه ها مقادیر ساده متغیر $ x $ با اعداد دیگر است. بنابراین، لازم است که قوانین را برای کار با درجه ها به یاد بیاوریم:

\\ [\\ begin (align) & ((a) ^ (x + y)) \u003d ((a) ^ (x)) \\ cdot ((a) ^ (y))؛ \\\\ & (a) ^ (xy)) \u003d ((a) ^ (x)): ((a) ^ (y)) \u003d \\ frac ((a) ^ (x))) ((() ^ (y)))). \\\\\\ پایان (align) \\]

به سادگی قرار دادن، اضافه کردن شاخص ها را می توان به کار درجه تبدیل کرد، و تفریق به راحتی به بخش تبدیل می شود. بیایید سعی کنیم این فرمول ها را به درجه ای از معادله ما اعمال کنیم:

\\ [\\ align) & ((4) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (((4) ^ (x))) (((4) ^ (1))) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4)؛ \\\\ · ((4) ^ (x + 1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot ((4) ^ (1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4. \\ \\\\ end (align) \\]

من معادله اصلی را بازنویسی می کنم، با توجه به این واقعیت، و سپس تمام اجزای موجود در سمت چپ را جمع آوری می کنم:

\\ [\\ align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 -Eleven؛ \\\\ & (4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) - (4) ^ (x)) \\ cdot 4 + 11 \u003d 0. \\\\\\ پایان (align) \\]

در چهار جزء اول عنصر $ ((4) ^ (x)) $ - من آن را برای براکت به ارمغان می آورد:

\\ [\\ align) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (1+ \\ frac (1) (4) -4 \\ right) + 11 \u003d 0؛ \\\\ & (4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (4 + 1-16) (4) + 11 \u003d 0؛ \\\\ & (4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (- \\ frac (11) (4) \\ right) \u003d - 11. \\\\\\ پایان (align) \\]

این بقایای هر دو بخش معادله برای کسری از $ - \\ frac (11) (4) $، I.E. اساسا به کسر Overtook - $ - \\ frac (4) (11) $ ضرب کنید. ما گرفتیم:

\\ [\\ align) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (- \\ frac (11) (4) \\ right) \\ cdot \\ left (- \\ frac (4) (11) \\ right ) \u003d - 11 \\ CDOT \\ سمت چپ (- \\ frac (4) (11) \\ right)؛ \\\\ & (4) ^ (x)) \u003d 4؛ \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d ((4) ^ (1))؛ \\\\ & x \u003d 1. \\\\\\ پایان (align) \\]

این همه! ما معادله اولیه را به ساده ترین و پاسخ نهایی کاهش دادیم.

در همان زمان، در فرآیند راه حل ها، ما یافتیم (و حتی برای براکت انجام شد) کل مبلغ $ ((4) ^ (x)) $ یک عبارت پایدار است. این را می توان با یک متغیر جدید نشان داد، و شما به راحتی می توانید به آرامی بیان کنید و پاسخ دهید. در هر صورت، اصل کلیدی حل زیر:

یک عبارت پایدار را در معادله منبع حاوی یک متغیر پیدا کنید که به راحتی از تمام توابع نشانگر برجسته شده است.

خبر خوب این است که تقریبا هر معادله نشانگر امکان تخصیص چنین بیان پایدار را فراهم می کند.

اما اخبار بد وجود دارد: چنین عباراتی ممکن است بسیار حیله گر باشد، و آنها را بسیار دشوار است. بنابراین، ما یک کار دیگر را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد:

\\ [(5) ^ (x + 2)) + ((0.2) ^ (- x - 1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2 \\]

شاید کسی در حال حاضر یک سوال داشته باشد: "پاشا، چه اتفاقی افتاد؟ در اینجا پایگاه های مختلف - 5 و 0.2 ". اما سعی کنید سعی کنید مدرک را با پایه ای از 0.2 تبدیل کنید. به عنوان مثال، خلاص شدن از کسرهای دهدهی، آوردن آن به حالت عادی:

\\ [((0.2) ^ (- x - 1)) \u003d ((0.2) ^ (- \\ سمت چپ (x + 1 \\ \\ right)) \u003d (\\ left (\\ left (\\ frac (2) (10) \\ right )) ^ (- \\ سمت چپ (x + 1 \\ right)) \u003d ((\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (- \\ سمت چپ (x + 1 \\ right))) \\]

همانطور که می بینید، شماره 5 پس از همه ظاهر شد، اجازه دهید آن را هر دو در نامزدی. در عین حال نشانگر را به صورت منفی بازنویسی کنید. و اکنون من یکی از مهمترین قوانین برای کار با درجه را به یاد می آورم:

\\ [(a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) ((a) ^ (n))) \\ rightarrow (\\ left (\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ ( - \\ left (x + 1 \\ \\ right)) \u003d ((\\ left (\\ frac (5) (1) \\ right)) ^ (x + 1)) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\ عقیده

در اینجا من، البته، کمی عجله. از آنجا که برای درک کامل از فرمول رستگاری از شاخص های منفی، لازم بود که اینگونه ثبت شود:

\\ [(a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) ((a) ^ (n))) \u003d (\\ left (\\ frac (1) (a) \\ right)) ^ (n ) \\ rightarrow (\\ leftarrow (\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (- \\ left (x + 1 \\ right)) \u003d (\\ left (\\ left (\\ frac (5) (1) \\ راست)) ^ (x + 1)) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\]

از سوی دیگر، هیچ چیز مانع ما نشد که با یک شات کار کنیم:

\\ [(\\ left (\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (- \\ سمت چپ (x + 1 \\ \\ right)) \u003d ((\\ (((5) ^ (- 1)) \\ راست)) ^ (- \\ سمت چپ (x + 1 \\ right)) \u003d ((5) ^ (\\ left (-1 \\ right) \\ cdot \\ left (- \\ left (x + 1 \\ right) \\ right) ) \u003d (((5) ^ (x + 1)) \\]

اما در این مورد، شما باید بتوانید درجه ای را به درجه دیگری بسازید (به شما یادآوری کنید: شاخص ها بسته بندی شده اند). اما من مجبور نیستم "فرایند" را عوض کنم - شاید برای کسی ساده تر شود. :)

در هر صورت، معادله اولیه اولیه بازنویسی خواهد شد:

\\ [\\ align) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2؛ \\\\ & (5) ^ (x + 2)) + 5 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2؛ \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2؛ \\\\ & (5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2؛ \\\\ & 2 \\ cdot ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2؛ \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) \u003d 1. \\\\\\ پایان (align) \\]

بنابراین معلوم می شود که معادله اولیه حتی ساده تر از قبلا در نظر گرفته شده است: نیازی به تخصیص یک بیان ثابت وجود ندارد - همه چیز خود را کاهش داده است. این تنها به یاد می آورد که $ 1 \u003d (((5) ^ (0)) $، از جایی که ما دریافت می کنیم:

\\ [\\ begin (align) & ((5) ^ (x + 2)) \u003d ((5) ^ (0))؛ \\\\ & x + 2 \u003d 0؛ \\\\ & x \u003d -2. \\\\\\ پایان (align) \\]

این همه تصمیم است! ما پاسخ نهایی را دریافت کردیم: $ x \u003d -2 $. در همان زمان من می خواهم به یاد داشته باشید یکی از پذیرش، که به طور قابل توجهی ما را به طور کامل تمام محاسبات را ساده کرده است:

در معادلات پایین تر، مطمئن شوید که از کسرهای دهدهی خلاص شوید، آنها را به طور عادی ترجمه کنید. این به شما این امکان را می دهد که همان پایه های درجه را ببینید و تصمیم را به طور قابل توجهی ساده تر کنید.

بگذارید اکنون به معادلات پیچیده تر تبدیل شویم که در آن پایه های مختلفی وجود دارد که با کمک درجه ها به یکدیگر کاهش نمی یابد.

از خواص درجه استفاده کنید

اجازه بدهید به شما یادآوری کنم که ما دو معادله بسیار سخت تر داریم:

\\ [\\ align) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x))؛ \\\\ & 100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09. \\\\\\ پایان (align) \\]

مشکل اصلی اینجا روشن نیست چه چیزی را به چه مبنایی برساند. عبارات پایدار کجا هستند؟ همان پایه ها کجا هستند؟ نیازی به این نیست.

اما سعی کنید به راه دیگری بروید. اگر ارزش های آماده ای وجود نداشته باشد، می توانید سعی کنید پیدا کنید، دلایل چندگانه را تعیین کنید.

بیایید با معادله اول شروع کنیم:

\\ [\\ align) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x))؛ \\\\ & 21 \u003d 7 \\ CDOT 3 \\ rightarrow ((21) ^ (3x)) \u003d ((\\ left (7 / cdot 3 \\ right)) ^ (3x)) \u003d ((7) ^ (3x)) \\ CDOT ((3) ^ (3x)). \\\\\\ پایان (align) \\]

اما پس از همه، شما می توانید بر خلاف آن را ادامه دهید - از شماره های 7 و 3 شماره 21 تشکیل شده است. به خصوص در سمت چپ آسان است، زیرا شاخص ها و هر دو درجه یکسان هستند:

\\ [\\ begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d (\\ left (7 \\ cdot 3 \\ right)) ^ (x + 6) \u003d ((21) ^ (x + 6))؛ \\\\ & (21) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x))؛ \\\\ & x + 6 \u003d 3x؛ \\\\ & 2x \u003d 6؛ \\\\ & x \u003d 3. \\\\\\ پایان (align) \\]

این همه! شما یک شاخص از درجه خارج از کار را ساخته اید و بلافاصله یک معادله زیبا دریافت کردید که در چند خط حل می شود.

حالا ما با معادله دوم مقابله خواهیم کرد. همه چیز در اینجا بسیار دشوار است:

\\ [((100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09 \\]

\\ [((100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((\\ left (\\ left (\\ frac (27) (10) \\ right)) ^ (1-x)) \u003d \\ frac (9) (100) \\]

در این مورد، کسرها مرتکب شدند، اما اگر چیزی می توانست کاهش یابد - مطمئن شوید که کاهش یابد. اغلب، در عین حال، زمینه های جالب به نظر می رسد که شما قبلا می توانید کار کنید.

همچنین، متاسفانه، هیچ چیز واقعا ظاهر نشد. اما ما می بینیم که شاخص های درجه ایستاده در کار در سمت چپ مخالف هستند:

اجازه دهید به شما یادآوری کنم: برای از بین بردن علامت "منهای" در این شاخص، به اندازه کافی برای "به نوبه خود" کسری است. خوب، معادله اصلی را بازنویسی کنید:

\\ [\\ align) & ((100) ^ (x - 1)) \\ cdot (\\ left (\\ left (\\ frac (10) (27) \\ right)) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (9 ) (100)؛ \\\\ \\ \\ left (100 \\ cdot \\ frac (10) (27) \\ right)) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (9) (100)؛ \\\\ & (\\ left (\\ frac (1000) (27) \\ right)) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (9) (100). \\\\\\ پایان (align) \\]

در خط دوم، ما به سادگی یک شخصیت عمومی را از کار برای یک براکت با توجه به قانون $ ((a) ^ (x)) \\ cdot ((b) ^ (x)) انجام دادیم \u003d ((\\ left \\ cdot b \\ right)) ^ (x)) $، و در دومی فقط تعداد 100 را با کسری ضرب کنید.

در حال حاضر ما یادآوری می کنیم که اعداد ایستاده در سمت چپ (در پایه) و در سمت راست، یکسان هستند. نسبت به. تا؟ بله، بدیهی است: آنها درجه ای از همان شماره هستند! ما داریم:

\\ [align) \\ frac (1000) (27) \u003d \\ frac ((10) ^ (3))) (((3) ^ (3))) \u003d (\\ left (\\ left (\\ frac) ) (3) \\ right)) ^ (3))؛ \\\\ \\ frac (9) (100) \u003d \\ frac (((3) ^ (2))) (((10) ^ (3))) \u003d ((\\ left (\\ frac (3) (10) \\ راست)) ^ (2)). \\\\\\ پایان (align) \\]

بنابراین، معادله ما به شرح زیر بازنویسی خواهد شد:

\\ [((\\ left (\\ left (\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3)) \\ right)) ^ (x - 1)) \u003d (\\ left (\\ left (\\ left (10) \\ right)) ^ (2)) \\]

\\ [((\\ left (((\\ left (\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3)) \\ right)) ^ (x - 1)) \u003d (\\ left (\\ left ) (3) \\ right)) ^ (3 \\ left (x - 1 \\ right)) \u003d ((\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3x-3)) \\]

در همان زمان، شما همچنین می توانید مدرک را با همان مبنای دریافت کنید، که به اندازه کافی برای "تبدیل شدن به" کسری است:

\\ [(\\ left (\\ left (\\ frac (3) (10) \\ right)) ^ (2)) \u003d ((\\ left (\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (- 2)) \\]

سرانجام، معادله ما فرم را می گیرد:

\\ [\\ align) & (\\ left (\\ left (\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3x-3)) \u003d ((\\ left (\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (- 2))؛ \\\\ & 3x-3 \u003d -2؛ \\\\ & 3x \u003d 1؛ \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (3). \\\\\\ پایان (align) \\]

این کل تصمیم است. ایده اصلی او به این واقعیت کاهش می یابد که حتی در دلایل مختلف، ما هر گونه حقایق و ناسازگاری را برای کاهش این زمینه ها تلاش می کنیم. این امر توسط تحولات ابتدایی معادلات و قوانین برای کار با درجه کمک می شود.

اما قوانین و زمان استفاده چیست؟ چگونه می توان درک کرد که در یک معادله شما نیاز به به اشتراک گذاشتن هر دو طرف برای چیزی، و در دیگری - بر اساس عملکرد نشانگر در ضرب کننده ها؟

پاسخ به این سوال با تجربه خواهد آمد. دست خود را در ابتدا بر روی معادلات عادی امتحان کنید، و سپس به تدریج وظایف را پیچیده تر کنید - و به زودی مهارت های خود را به اندازه کافی برای حل هر معادله نشانگر از همان استفاده یا هر کار مستقل / تست کافی خواهد بود.

و برای کمک به شما در این موضوع سخت، پیشنهاد می کنم مجموعه ای از معادلات را برای یک راه حل مستقل در سایت من دانلود کنم. به تمام معادلات پاسخ وجود دارد، بنابراین شما همیشه می توانید خود را بررسی کنید.

سخنرانی: "روش حل معادلات نشانگر".

1 . معادلات نشانگر

معادلات حاوی افراد ناشناخته معادلات شاخصی نامیده می شوند. ساده ترین آنها معادله AX \u003d B، جایی که A\u003e 0، و ≠ 1 است.

1) در ب< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) در B\u003e 0 با استفاده از یکنواختی عملکرد و قضیه ریشه، معادله تنها ریشه دارد. به منظور پیدا کردن آن، لازم است که در فرم B \u003d AX، AX \u003d BC Ó X \u003d C یا X \u003d LogB نمایش داده شود.

معادلات نشانگر تحولات جبری منجر به معادلات استاندارد می شود که با استفاده از روش های زیر حل می شوند:

1) روش آوردن به یک پایه؛

2) روش ارزیابی؛

3) روش گرافیکی؛

4) روش معرفی متغیرهای جدید؛

5) روش تجزیه چند ضلعی؛

6) به طور قابل توجهی - معادلات قدرت؛

7) نشانگر پارامتر.

2 . روش آوردن به یک پایه.

این روش بر اساس ویژگی های زیر درجه است: اگر دو درجه برابر باشند و پایه های آنها برابر باشند، شاخص های آنها برابر هستند، به عنوان مثال، معادله باید سعی شود فرم را کاهش دهد

مثال ها. حل معادله:

1 . 3x \u003d 81؛

تصور کنید سمت راست معادله در فرم 81 \u003d 34 و معادله را نصب کنید، معادل 3 x \u003d 34؛ x \u003d 4. پاسخ: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png "width \u003d" 52 "ارتفاع \u003d" 49 "\u003e و حرکت به معادله برای شاخص های 3x + 1 \u003d 3 - 5x؛ 8x \u003d 4؛ x \u003d 0.5 پاسخ: 0.5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png "width \u003d" 105 "ارتفاع \u003d" 47 "\u003e

توجه داشته باشید که اعداد 0.2، 0.04، √5 و 25 درجه شماره 5 هستند. ما از این استفاده می کنیم و معادله اولیه را به صورت زیر تغییر می دهیم:

, از کجا 5-x-1 \u003d 5-2x-2 ó - x - 1 \u003d - 2x - 2، که ما راه حل x \u003d -1 را پیدا می کنیم. پاسخ 1.

5. 3x \u003d 5. با تعریف لگاریتم x \u003d log35. پاسخ: log35.

6. 62x + 4 \u003d 33x. 2x + 8.

من معادله را به صورت 32x + 4.22x + 4 \u003d 32x.2x + 8، t بازنویسی کردم. e..png "width \u003d" 181 "ارتفاع \u003d" 49 src \u003d "\u003e از اینجا x - 4 \u003d 0، x \u003d 4. پاسخ: چهار.

7 . 2 ∙ 3x + 1 - 6 ∙ 3x-2 - 3x \u003d 9. با استفاده از خواص درجه، معادله را در فرم 6 ∙ 3x - 2 ∙ 3x - 3x \u003d 9 بعدی 3 ∙ 3x \u003d 9، 3x + 1 \u003d 32، t. e x + 1 \u003d 2، x \u003d 1. پاسخ 1.

بانک وظایف شماره 1.

حل معادله:

تست شماره 1

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 \u003d √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3؛ 1 2) -3؛ -1 3) 0؛ 2 4) هیچ ریشه ای نیست
	1) 7؛ 1 2) بدون ریشه 3) -7؛ 1 4) -1؛ -7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

تست شماره 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2؛ -1 2) بدون ریشه 3) 0 4) -2؛ 1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 روش ارزیابی

قضیه ریشه: اگر تابع f (x) افزایش (کاهش) در فاصله I، مقدار A -Unote دریافت شده توسط F در این شکاف، سپس معادله f (x) \u003d A تنها ریشه در فاصله I.

هنگامی که حل معادلات، این قضیه و خواص مونوتونی عملکرد استفاده می شود.

مثال ها. حل معادلات: 1. 4x \u003d 5 - X.

تصمیم گیری من معادله را در فرم 4x + x \u003d 5 بازنویسی کردم.

1. اگر x \u003d 1، سپس 41 + 1 \u003d 5، 5 \u003d 5 درست است، به معنی 1 - ریشه معادله است.

تابع f (x) \u003d 4x - افزایش R، و g (x) \u003d x-invents بر روی r \u003d\u003e h (x) \u003d f (x) + g (x) بر روی R به عنوان مجموع توابع افزایش می یابد ، سپس x \u003d 1 - تنها ریشه معادله 4x \u003d 5 - x. پاسخ 1.

2.

تصمیم گیری معادله را در فرم بازنویسی کنید .

1. اگر x \u003d -1، سپس ، 3 \u003d 3، به معنی x \u003d -1 - ریشه معادله است.

2. ما ثابت می کنیم که او تنها یکی است.

3. تابع f (x) \u003d - کاهش R، و g (x) \u003d - x - کاهش در r \u003d\u003e h (x) \u003d f (x) + g (x) - کاهش در R، به عنوان مجموع از کاهش عملکرد. از این رو، قضیه ریشه، x \u003d -1 تنها ریشه معادله است. پاسخ 1.

بانک وظایف شماره 2. حل معادله

a) 4x + 1 \u003d 6 - x؛

ب)

ج) 2x - 2 \u003d 1 - x؛

4. روش معرفی متغیرهای جدید.

این روش در پاراگراف 2.1 شرح داده شده است. معرفی یک متغیر جدید (جایگزینی) معمولا پس از تحول (ساده سازی) اعضای معادله ساخته می شود. مثالها را در نظر بگیرید

مثال ها. rمعادله چوب: 1. .

من معادله را دوباره بازنویسی می کنم: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png "width \u003d" 128 "ارتفاع \u003d" 48 src \u003d "\u003e t. e..png" width \u003d "210 "ارتفاع \u003d" 45 "\u003e

تصمیم گیری من معادله را دوباره بازنویسی می کنم:

denote https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png "width \u003d" 245 "ارتفاع \u003d" 57 "\u003e مناسب نیست.

t \u003d 4 \u003d\u003e https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png "width \u003d" 268 "ارتفاع \u003d" 51 "\u003e - معادله غیر منطقی. ما این را یادآوری می کنیم

با حل معادله x \u003d 2.5 ≤ 4، به این معنی 2.5 - ریشه معادله است. پاسخ: 2.5.

تصمیم گیری ما معادله را در فرم بازنویسی می کنیم و هر دو بخش را با 56x + 6 ≠ 0 تقسیم می کنیم. ما معادله را به دست می آوریم

2x2-6x-7 \u003d 2x2-6x-8 +1 \u003d 2 (x2-3x-4) +1، t..png "عرض \u003d" 118 "ارتفاع \u003d" 56 "\u003e

ریشه های معادله مربع - T1 \u003d 1 و T2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

تصمیم . معادله را در فرم بازنویسی کنید

و ما توجه داریم که معادله همگن درجه دوم است.

ما معادله 42X را تقسیم می کنیم، ما دریافت می کنیم

جایگزین https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png "width \u003d" 16 "ارتفاع \u003d" 41 src \u003d "\u003e.

پاسخ: 0؛ 0.5

وظایف بانک شماره 3. حل معادله

ب)

د)

تست شماره 3 با انتخاب پاسخ. حداقل سطح.

A1	1) -0.2؛ 2 2) log52 3) -log52 4) 2
A2 0.52X - 3 0.5X +2 \u003d 0.	1) 2؛ 1 2) -1؛ 0 3) هیچ ریشه 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5X - 600 \u003d 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) بدون ریشه 2) 2؛ 4 3) 3 4) -1؛ 2

تست شماره 4 با انتخاب پاسخ. سطح مشترک

A1	1) 2؛ 1 2) ½؛ 0 3) 2؛ 0 4) 0
A2 2X - (0.5) 2X - (0.5) X + 1 \u003d 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0؛ 1 4) هیچ ریشه ای نیست

5. روش تجزیه بر ضریب ها.

1. معادله را تعیین کنید: 5x + 1 - 5x-1 \u003d 24.

راه حل ...png "عرض \u003d" 169 "ارتفاع \u003d" 69 "\u003e، از کجا

2. 6x + 6x + 1 \u003d 2x + 2x + 1 + 2x + 2.

تصمیم گیری من برای براکت ها در سمت چپ معادله 6X و در قسمت راست - 2X ارائه می دهم. ما معادله 6X (1 + 6) \u003d 2x (1 + 2 + 4) ó 6x \u003d 2x دریافت می کنیم.

از آنجا که 2X\u003e 0 برای همه X، هر دو بخش از این معادله را می توان با 2x تقسیم کرد، بدون ترس از از دست دادن راه حل. ما 3x \u003d 1 را دریافت می کنیم.

3.

تصمیم گیری معادله را با تجزیه توسط multipliers حل می کنم.

ما میدان میدان را برجسته می کنیم

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png "width \u003d" 500 "ارتفاع \u003d" 181 "\u003e

x \u003d -2 - ریشه معادله.

معادله x + 1 \u003d 0 "style \u003d" border-collapse: collapse؛ مرز: هیچ "\u003e

A1 5x-1 + 5x -5x + 1 \u003d -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x + 1 + 3x-1 \u003d 270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32X + 32X + 1 -108 \u003d 0. X \u003d 1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2X -2X-4 \u003d 15. X \u003d 4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

تست شماره 6 سطح مشترک

A1 (22x-1) (24x + 22x + 1) \u003d 7.	1) ½ 2) 2 3) -1؛ 3 4) 0،2
A2	1) 2.5 2) 3؛ 4 3) log43 / 2 4) 0
A3 2x-1-3x \u003d 3x-1-2x + 2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. اطمینان - معادلات قدرت.

معادلات نشانگر در مجاورت معادلات به اصطلاح قابل توجه هستند، I.E. معادلات فرم (f (x)) g (x) \u003d (f (x)) h (x).

اگر شناخته شده است که f (x)\u003e 0 و f (x) ≠ 1، معادله، به عنوان نشانگر، با معادله شاخص های g (x) \u003d f (x) حل می شود.

اگر وضعیت از امکان f (x) \u003d 0 و f (x) \u003d 1 تجاوز نمی کند، پس لازم است که این موارد را در هنگام حل معادله نشانگر قدرت مورد بررسی قرار دهیم.

1..Png "عرض \u003d" 182 "ارتفاع \u003d" 116 src \u003d "\u003e

2.

تصمیم گیری x2 + 2x-8 - در هر x حساس است، زیرا معادله چندجملهای معادل آن معادل کل است

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png "width \u003d" 137 "ارتفاع \u003d" 35 "\u003e

ب)

7. معادلات نشانگر با پارامترها.

1. در چه مقادیر پارامتر P، معادله 4 (5 - 3)  2 + 4P2-3P \u003d 0 (1) یک راه حل واحد دارد؟

تصمیم گیری ما جایگزینی 2x \u003d t، t\u003e 0 را معرفی می کنیم، سپس معادله (1) فرم T2 را تشکیل می دهد - (5P - 3) T + 4P2 - 3P \u003d 0. (2)

معادله تبعیض آمیز (2) D \u003d (5P - 3) 2 - 4 (4P2 - 3P) \u003d 9 (P - 1) 2.

معادله (1) یک راه حل واحد دارد اگر معادله (2) دارای یک ریشه مثبت باشد. این در موارد زیر امکان پذیر است.

1. اگر d \u003d 0، این، P \u003d 1، سپس معادله (2) فرم T2 - 2T + 1 \u003d 0، از این رو T \u003d 1، بنابراین، معادله (1) یک راه حل تنها X \u003d 0 است .

2. اگر P1، سپس 9 (P - 1) 2\u003e 0، معادله (2) دارای دو ریشه متفاوت T1 \u003d P، T2 \u003d 4P - 3. مشکل مشکل این مجموعه مجموعه سیستم ها را برآورده می کند

جایگزینی T1 و T2 در سیستم، ما داریم

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png "alt \u003d" (! lang: no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

تصمیم گیری بیایید سپس معادله (3) نوع T2 - 6T - a \u003d 0. (4)

پارامتر مقادیر A را پیدا کنید، که حداقل یک ریشه معادله (4) وضعیت T\u003e 0 را برآورده می کند.

ما تابع F (t) \u003d T2 - 6T - a را معرفی می کنیم. موارد زیر امکان پذیر است.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png "alt \u003d" (! lang: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png "alt \u003d" (! lang: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

مورد 2. معادله (4) یک تصمیم مثبت تنها در صورتی دارد

D \u003d 0، اگر a \u003d - 9، سپس معادله (4) فرم را (T-3) 2 \u003d 0، T \u003d 3، X \u003d - 1 دریافت کنید.

مورد 3. معادله (4) دارای دو ریشه است، اما یکی از آنها نابرابری T\u003e را برآورده نمی کند. این ممکن است

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png "alt \u003d" (! lang: no35_17" width="267" height="63">!}

بنابراین، با A 0، معادله (4) دارای یک ریشه مثبت است . سپس معادله (3) یک راه حل واحد دارد

با یک.< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

اگر یک.< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
اگر a \u003d - 9، سپس x \u003d - 1؛

اگر  0، پس از آن

مقایسه روش های حل معادلات (1) و (3). توجه داشته باشید که هنگام حل، معادله (1) به معادله مربع کاهش یافت، تشخیص آن یک مربع کامل است؛ بنابراین، ریشه های معادله (2) بلافاصله توسط فرمول ریشه های معادله مربع محاسبه شد و سپس نتیجه گیری های مربوط به این ریشه ها صورت گرفت. معادله (3) به معادله مربع کاهش یافت (4)، تبعیض آمیز آن یک مربع کامل نیست، بنابراین، در صورت حل معادله (3)، توصیه می شود از قضیه ها در محل ریشه های مربع سه استفاده کنید رد و مدل گرافیکی. توجه داشته باشید که معادله (4) را می توان با استفاده از قضیه Vieta حل کرد.

ما معادلات پیچیده تر را حل می کنیم.

وظیفه 3. معادله را تعیین کنید

تصمیم گیری OTZ: x1، x2.

ما جایگزینی را معرفی می کنیم. اجازه دهید 2x \u003d t، t\u003e 0، سپس به عنوان یک نتیجه از تحولات، معادله نوع T2 + 2T را به دست می آورد - a \u003d 0. (*) مقادیر a را پیدا کنید، که حداقل یک ریشه را پیدا کنید از معادله (*) وضعیت T\u003e را برآورده می کند.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png "alt \u003d" (! lang: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png "alt \u003d" (! lang: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png "alt \u003d" (! lang: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

پاسخ: اگر A\u003e - 13، a  11،  5، پس از آن اگر A - 13،

a \u003d 11، A \u003d 5، سپس هیچ ریشه ای وجود ندارد.

کتابشناسی - فهرست کتب.

1. دستورات پایه و اساس فن آوری آموزشی.

2. تکنولوژی Guzeyev: از پذیرش به فلسفه.

M. مدیر مدرسه №4، 1996

3. Guzeyev و اشکال سازمانی آموزش.

4. Guzeyev و عمل تکنولوژی آموزشی انتگرال.

M. "آموزش و پرورش مردم"، 2001

5. Guzeyev از اشکال درس - سمینار.

ریاضیات در مدرسه №2، 1987، ص .9 - 11.

6. فن آوری های آموزشی Seleevko.

M. "آموزش و پرورش مردم"، 1998

7. دانش آموزان Epishev برای یادگیری ریاضیات.

M. "روشنگری"، 1990

8. Ivanov درس های آماده سازی - کارگاه ها.

ریاضیات در مدرسه №6، 1990 ثانیه. 37 - 40.

9. مدل یادگیری ریاضی Smirnova.

ریاضیات در مدرسه №1، 1997 با. 32 - 36.

10. راه های Tarasenko برای سازماندهی کار عملی.

ریاضیات در مدرسه №1، 1993 ثانیه. 27 - 27.

11. در مورد یکی از انواع کار فردی.

ریاضیات در مدرسه №2، 1994، S.63 - 64.

12. توانایی های خلاقانه Khazankin دانش آموزان.

ریاضیات در مدرسه №2، 1989 با. 10

13. Scanavi. ناشر، 1997

14. و دیگران جبر و آغاز تجزیه و تحلیل. مواد آموزشی برای

15. وظایف ریاضیات Krivonogs.

M. "اول سپتامبر"، 2002

16. Cherkasov. راهنمای دانش آموزان دبیرستان و

ورود به دانشگاه ها "و با T - School School"، 2002

17. Zhiewnak برای ورود به دانشگاه ها.

مینسک و فدراسیون روسیه "بررسی"، 1996

18. نوشته شده D. آماده شدن برای امتحان در ریاضیات. M. Rolf، 1999

19. و دیگران یاد می گیرند که معادلات و نابرابری را حل کنند.

M. "عقل - مرکز"، 2003

20. و همکاران آموزش و آموزش مواد آموزشی برای آماده سازی برای E.

M. "عقل - مرکز"، 2003 و 2004

21، و غیره گزینه های کیم. مرکز تست وزارت دفاع فدراسیون روسیه، 2002، 2003.

22. معادلات گلدبرگ. "Kvant" №3، 1971

23. Volovich M. چگونه به موفقیت تدریس ریاضیات.

ریاضیات، 1997 №3.

24 Okunev برای درس، کودکان! M. روشنگری، 1988

25. Yakimanskaya - آموزش مدرسه گرا.

26. Liimets در درس کار می کنند. M. دانش، 1975

مثال ها:

\\ (4 ^ x \u003d 32 \\)
\\ (5 ^ (2x-1) -5 ^ (2x-3) \u003d 4.8 \\)
\\ ((\\ sqrt (7)) ^ (2x + 2) -50 \\ cdot (\\ sqrt (7)) ^ (x) + 7 \u003d 0 \\)

چگونه می توان معادلات نمایشی را حل کرد

هنگامی که حل، هر معادله نشانگر، ما تلاش می کنیم به شکل \\ (a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\)، و سپس انتقال به برابری شاخص ها، یعنی انتقال

\\ (a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\) \\ (⇔ \\) \\ (f (x) \u003d g (x) \\)

مثلا: \\ (2 ^ (x + 1) \u003d 2 ^ 2 \\) \\ (⇔ \\) \\ (x + 1 \u003d 2 \\)

مهم! از همان منطق، دو مورد را برای چنین گذار دنبال می کند:
- شماره B در سمت چپ و راست باید یکسان باشد؛
- درجه در سمت چپ و راست باید "تمیز" باشدبه این ترتیب، نباید، ضرب، تقسیم، و غیره وجود داشته باشد

مثلا:

برای لذت بردن از معادله به فرم \\ (a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\) اعمال می شود و.

مثال . معادله نشانگر را تعیین کنید \\ (\\ sqrt (27) · 3 ^ (x - 1) \u003d ((\\ frac (1) (3))) ^ (2x) \\)
تصمیم گیری:

\\ (\\ sqrt (27) · 3 ^ (x - 1) \u003d ((\\ frac (1) (3))) ^ (2x) \\)		ما می دانیم که \\ (27 \u003d 3 ^ 3 \\). با توجه به این موضوع، معادله را تغییر می دهیم.
\\ (\\ sqrt (3 ^ 3) · 3 ^ (x - 1) \u003d ((\\ frac (1) (3))) ^ (2x) \\)		توسط اموال ریشه \\ (\\ sqrt [n] (a) \u003d a ^ (\\ frac (1) (n)) \\) \\ (\\ sqrt (3 ^ 3) \u003d ((3 ^ 3) ) ^ (\\ frac (1) (2)) \\) \\). بعد، با استفاده از درجه درجه \\ ((a ^ b) ^ c \u003d a ^ (BC) \\)، ما به دست آوردن \\ (((3 ^ 3)) ^ (\\ frac (1) (2)) \u003d 3 ^ (3 / CDOT / FRAC (1) (2)) \u003d 3 ^ (\\ frac (3) (2)) \\) \\) \\).
\\ (3 ^ (\\ frac (3) (2)) \\ cdot 3 ^ (x - 1) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (2x) \\)		ما همچنین می دانیم که \\ (a ^ b · a ^ c \u003d a ^ (b + c) \\). با استفاده از این به سمت چپ، ما دریافت می کنیم: \\ (3 ^ (^ \\ frac (3) (2)) · 3 ^ (x - 1) \u003d 3 ^ (^ frac (3) (2) + x - 1) \u003d 3 ^ (1.5 + x - 1) \u003d 3 ^ (x + 0.5) \\).
\\ (3 ^ (x + 0.5) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (2x) \\)		در حال حاضر به یاد داشته باشید که: \\ (a ^ (- n) \u003d \\ frac (1) (a ^ n) \\). این فرمول همچنین می تواند در جهت مخالف استفاده شود: \\ (\\ frac (1) (a ^ n) \u003d a ^ (- n) \\). سپس \\ (\\ frac (1) (3) \u003d \\ frac (1) (3 ^ 1) \u003d 3 ^ (- 1) \\).
\\ (3 ^ (x + 0.5) \u003d (3 ^ (- 1)) ^ (2x) \\)		استفاده از اموال \\ ((a ^ b) ^ c \u003d a ^ (bc) \\) به سمت راست، ما به دست می آوریم: \\ ((3 ^ (- 1)) ^ (2x) \u003d 3 ^ ((- 1) · 2x) \u003d 3 ^ (- 2x) \\).
\\ (3 ^ (x + 0.5) \u003d 3 ^ (- 2x) \\)		و اکنون ما پایه های برابر داریم و هیچ ضرایب تداخل و غیره وجود ندارد. بنابراین ما می توانیم انتقال را انجام دهیم.
		مثال . معادله نشانگر را حل کنید \\ (4 ^ (x + 0.5) -5 · 2 ^ x + 2 \u003d 0 \\) تصمیم گیری: \\ (4 ^ (x + 0.5) -5 · 2 ^ x + 2 \u003d 0 \\) ما دوباره از درجه درجه \\ (a ^ b \\ cdot a ^ c \u003d a ^ (b + c) \\) در جهت مخالف استفاده می کنیم. \\ (4 ^ x · 4 ^ (0.5) -5 · 2 ^ x + 2 \u003d 0 \\) حالا شما به یاد داشته باشید که \\ (4 \u003d 2 ^ 2 \\). \\ ((2 ^ 2) ^ x · (2 \u200b\u200b^ 2) ^ (0.5) -5 · 2 ^ x + 2 \u003d 0 \\) با استفاده از خواص درجه، ما تبدیل می کنیم: \\ ((2 ^ 2) ^ x \u003d 2 ^ (2x) \u003d 2 ^ (x · 2) \u003d (2 ^ x) ^ 2 \\) \\ ((2 ^ 2) ^ (0.5) \u003d 2 ^ (2 · 0.5) \u003d 2 ^ 1 \u003d 2. \\) \\ (2 · (2 \u200b\u200b^ x) ^ 2-5 · 2 ^ x + 2 \u003d 0 \\) ما به دقت در معادله نگاه می کنیم، و ما می بینیم که جایگزینی را پیشنهاد می کند (T \u003d 2 ^ x \\). \\ (t_1 \u003d 2 \\) \\ (t_2 \u003d \\ frac (1) (2) \\) با این حال، ما مقادیر \\ (t \\) را پیدا کردیم، و ما نیاز داریم \\ (x \\). ما به ICS بازگشتیم، جایگزینی معکوس را انجام می دهیم. \\ (2 ^ x \u003d 2 \\) \\ (2 ^ x \u003d \\ frac (1) (2) \\) ما معادله دوم را با استفاده از اموال درجه منفی تبدیل می کنیم ... \\ (2 ^ x \u003d 2 ^ 1 \\) \\ (2 ^ x \u003d 2 ^ (- 1) \\) ... و قبل از پاسخ وجود دارد. \\ (x_1 \u003d 1 \\) \\ (x_2 \u003d -1 \\) پاسخ : \(-1; 1\). سوال باقی می ماند - چگونه می توان درک کرد که کدام روش اعمال می شود؟ این تجربه با تجربه است. در عین حال، شما کار نکردید، از توصیه کلی برای حل وظایف پیچیده استفاده کنید - "شما نمی دانید چه باید بکنید - آنچه را که می توانید انجام دهید". یعنی، به دنبال چگونگی تبدیل معادله در اصل، و سعی کنید آن را انجام دهید - به طور ناگهانی چه اتفاقی می افتد؟ مهمترین چیز در مورد ایجاد تحولات منطقی ریاضی. معادلات نشانگر که راه حل ندارند ما دو موقعیت دیگر را که اغلب در بن بست دانش آموز قرار می گیرند، تجزیه و تحلیل خواهیم کرد: - تعداد مثبت به درجه صفر است، به عنوان مثال، \\ (2 ^ x \u003d 0 \u003d)؛ - یک عدد مثبت به یک درجه برابر با یک عدد منفی است، به عنوان مثال، \\ (2 ^ x \u003d -4 \\). بیایید سعی کنیم مجددا را حل کنیم. اگر x یک عدد مثبت باشد، درجه افزایش یافته \\ (2 ^ x \\) تنها رشد خواهد کرد: \\ (x \u003d 1 \\)؛ \\ (2 ^ 1 \u003d 2) \\ (x \u003d 2 \\)؛ \\ (2 ^ 2 \u003d 4 \\) \\ (x \u003d 3 \\)؛ \\ (2 ^ 3 \u003d 8 \\). \\ (x \u003d 0 \\)؛ \\ (2 ^ 0 \u003d 1 \\) همچنین توسط. قوطی های منفی وجود دارد. به یاد آوردن اموال \\ (a ^ (- n) \u003d \\ frac (1) (a ^ n) \\)، بررسی کنید: \\ (x \u003d -1 \\)؛ \\ (2 ^ (- 1) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 1) \u003d \\ frac (1) (2) \\) \\ (x \u003d -2 \\)؛ \\ (2 ^ (- 2) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 2) \u003d \\ frac (1) (4) \\) \\ (x \u003d -3 \\)؛ \\ (2 ^ (- 3) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 3) \u003d \\ frac (1) (8) \\) با وجود این واقعیت که تعداد با هر مرحله کوچکتر می شود، هرگز به صفر نمی رسد. بنابراین و درجه منفی ما را نجات نداد. ما به نتیجه منطقی می رویم: تعداد مثبت به هر میزان تعداد مثبت باقی خواهد ماند. بنابراین، هر دو معادلات بالا هیچ راه حل ندارند. معادلات نشانگر با پایگاه های مختلف در عمل، گاهی اوقات معادلات نشان دهنده با پایگاه های مختلف وجود دارد که به یکدیگر کاهش نمی یابد، و در عین حال با همان شاخص ها. آنها به نظر می رسند: \\ (a ^ (f (x)) \u003d b ^ (f (x)) \\)، جایی که \\ (a \\) و \\ (b \\ (b \\) اعداد مثبت هستند. مثلا: \\ (7 ^ (x) \u003d 11 ^ (x) \\) \\ (5 ^ (x + 2) \u003d 3 ^ (x + 2) \\) \\ (15 ^ (2x-1) \u003d (\\ frac (1) (7)) ^ (2x-1) \\) چنین معادلات را می توان به راحتی می توان با تقسیم بر هر یک از بخش های معادله (معمولا به سمت راست تقسیم می شود، یعنی، در \\ (b ^ (f (x)) \\). بنابراین شما می توانید تقسیم، به دلیل یک شماره مثبت در هر حد مثبت (یعنی ما به صفر تقسیم نمی شود). ما دریافت می کنیم: \\ (\\ frac (a ^ (f (x))) (b ^ (f (x))) \\) \\ (\u003d 1 \\) مثال . معادله نشانگر را حل کنید \\ (5 ^ (x + 7) \u003d 3 ^ (x + 7) \\) تصمیم گیری: \\ (5 ^ (x + 7) \u003d 3 ^ (x + 7) \\) در اینجا ما نمی توانیم پنج برتر را در سه بالا قرار دهیم، و نه مخالف (حداقل بدون استفاده). بنابراین ما نمی توانیم به شکل \\ (a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\). در عین حال، شاخص ها یکسان هستند. بیایید معادله را در سمت راست تقسیم کنیم، یعنی، در \\ (3 ^ (x + 7) \\) (ما می توانیم آن را انجام دهیم، همانطور که می دانیم که بالا صفر نخواهد بود). \\ (\\ frac (5 ^ (x + 7)) (3 ^ (x + 7)) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (3 ^ (x + 7)) (3 ^ (x + 7) ) \\) حالا شما ملک \\ ((\\ frac (a) (b)) ^ c \u003d \\ frac (a ^ c) (b ^ c) \\) را به یاد می آورید و از آن در سمت چپ در جهت مخالف استفاده کنید. به سمت راست ما به سادگی کسر را قطع می کنیم. \\ ((\\ frac (5) (3)) ^ (x + 7) \\) \\ (\u003d 1 \\) به نظر می رسد بهتر نیست. اما به یاد داشته باشید یکی دیگر از اموال درجه: \\ (a ^ 0 \u003d 1 \\)، به عبارت دیگر: "هر تعداد به درجه صفر برابر با \\ (1 \\)". درست و معکوس: "واحد را می توان به عنوان هر تعداد به صفر درجه نشان داد." ما از این استفاده می کنیم با ساختن پایه به سمت راست به سمت چپ. \\ (\\ frac (5) (3)) ^ (x + 7) \\) \\ (\u003d \\) \\ (((\\ frac (5) (3)) ^ 0 \\) وایلا خلاص شدن از شر زمین. ما یک پاسخ می نویسیم پاسخ : \(-7\). گاهی اوقات "همان" شاخص های درجه واضح نیست، اما استفاده ماهرانه از درجه درجه این مسئله را حل می کند. مثال . حل معادلات نشانگر \\ (7 ^ (2x-4) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \\) تصمیم گیری: \\ (7 ^ (2x-4) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \\) معادله به نظر می رسد کاملا غمگین است ... نه تنها نمی تواند به همان تعداد کاهش یابد (هفت برابر با همان \\ (\\ frac (1) (3) \\))، همچنین شاخص های مختلف ... با این حال، بیایید در نشانگر درجه چپ دو. \\ (7 ^ (2 (x-2)) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \\) من به یاد اموال \\ ((a ^ b) ^ c \u003d a ^ (b · c) \\)، ما چپ را تبدیل می کنیم: \\ (7 ^ (2 (x-2) \u003d 7 ^ (2 · (x-2)) \u003d (7 ^ 2) ^ (x - 2) \u003d 49 ^ (x-2) \\). \\ (49 ^ (x-2) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \\) در حال حاضر، به یاد آوردن اموال یک درجه منفی \\ (a ^ (- n) \u003d \\ frac (1) (a) ^ n \\)، ما ترجمه راست: \\ ((\\ frac (1) (3)) ^ (- - X + 2) \u003d (3 ^ (- 1)) ^ (- x + 2) \u003d 3 ^ (- 1 (-x + 2)) \u003d 3 ^ (x-2) \\) \\ (49 ^ (x-2) \u003d 3 ^ (x-2) \\) سپاس خداوند را! شاخص ها یکسان بودند! اقداماتی که قبلا برای ما آشنا می شود، ما قبل از پاسخ تصمیم می گیریم. پاسخ : \(2\).

در کانال در سایت YouTube سایت ما برای نگه داشتن از همه درس های ویدئویی جدید.

اول، اجازه دهید فرمول های اساسی درجه ها و خواص آنها را به یاد داشته باشیم.

کار تعداد آ. خود را به صورت تصادفی رخ می دهد، این عبارت ما می توانیم به عنوان یک ... a \u003d a n بنویسیم

1. 0 \u003d 1 (a ≠ 0)

3. a n a m \u003d a n + m

4. (a n) m \u003d a nm

5. n b n \u003d (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

معادلات قدرت یا تظاهرات - اینها معادلات هستند که در آن متغیرها در درجه ها (یا شاخص ها) قرار دارند و اساس آن تعداد است.

نمونه هایی از معادلات شاخصی:

در این مثال، شماره 6 پایه ای است که همیشه در طبقه پایین قرار دارد و متغیر است ایکس. درجه یا شاخص

بگذارید نمونه های بیشتری از معادلات نشانگر را ارائه دهیم.
2 x * 5 \u003d 10
16 x - 4 x - 6 \u003d 0

حالا ما تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که چگونه معادلات تظاهرات حل می شوند؟

یک معادله ساده بگیرید:

2 x \u003d 2 3

این مثال را می توان حتی در ذهن حل کرد. این را می توان دید که x \u003d 3. پس از همه، به طوری که بخش چپ و راست باید برابر با شماره 3 به جای X باشد.
حالا بیایید ببینیم چگونه این تصمیم را صادر می کند:

2 x \u003d 2 3
x \u003d 3

به منظور حل چنین معادله، ما حذف کردیم زمینه های مشابه (I.E. دو) و ثبت نام آنچه باقی مانده است، درجه است. پاسخ دلخواه را دریافت کرد.

حالا تصمیم ما را خلاصه کنید.

الگوریتم برای حل معادله نشانگر:
1. نیاز به بررسی همان پایه های لی در معادله در سمت راست و چپ. اگر پایه ها همانند به دنبال گزینه هایی برای حل این مثال نیستند.
2. پس از پایه ها تبدیل به یکسان شد برابر درجه و معادله جدید را حل می کند.

حالا چند مثال را بازنویسی کنید:

بیایید با ساده شروع کنیم.

پایه ها در قسمت چپ و راست برابر با شماره 2 هستند، به این معنی که ما می توانیم درجه های خود را رد و معادل کنیم.

x + 2 \u003d 4 ساده ترین معادله معلوم شد.
x \u003d 4 - 2
x \u003d 2
پاسخ: x \u003d 2

در مثال زیر، می توان دید که پایگاه ها متفاوت هستند. این 3 و 9 است.

3 3x - 9 x + 8 \u003d 0

برای شروع، ما نه به سمت راست انتقال می دهیم، ما دریافت می کنیم:

حالا شما باید همان بنیاد را بسازید. ما می دانیم که 9 \u003d 3 2. ما از فرمول درجه (a n) m \u003d a nm استفاده می کنیم.

3 3x \u003d (3 2) X + 8

ما 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 \u003d 3 2x + 16 به دست می آوریم

3 3x \u003d 3 2X + 16 اکنون روشن است که در سمت چپ و راست پایه همان و برابر با Troika است، به این معنی که ما می توانیم آنها را از بین ببریم و درجه را کنار بگذاریم.

3x \u003d 2x + 16 ساده ترین معادله را دریافت کرد
3x - 2x \u003d 16
x \u003d 16
پاسخ: x \u003d 16.

ما به مثال زیر نگاه می کنیم:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

اول، ما به پایه نگاه می کنیم، پایه ها دو و چهار نفر متفاوت هستند. و ما باید یکسان باشیم. ما چهار را با فرمول (a n) m \u003d a nm تبدیل می کنیم.

4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x

و همچنین از یک فرمول a n a m \u003d a n + m استفاده کنید:

2 2x + 4 \u003d 2 2x 2 4

اضافه کردن به معادله:

2 2x 2 4 - 10 2 2x \u003d 24

ما نمونه ای را به دلایل مشابهی هدایت کردیم. اما ما با اعداد دیگر 10 و 24 تداخل داریم. با آنها چه کار میکنید؟ اگر می بینید که روشن است که ما 2 2 2 داریم، این پاسخ است - 2 2، ما می توانیم براکت ها را از بین ببریم:

2 2X (2 4 - 10) \u003d 24

ما بیان را در براکت محاسبه می کنیم:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

تمام معادله ها به 6:

تصور کنید 4 \u003d 2 2:

2 2x \u003d 22 پایه ها یکسان هستند، آنها را پرتاب می کنند و درجه ها را معادل می کنند.
2X \u003d 2 ساده ترین معادله معلوم شد. ما آن را در 2 تقسیم می کنیم
x \u003d 1
پاسخ: x \u003d 1.

حل معادله:

9 x - 12 * 3 x + 27 \u003d 0

ما تبدیل می کنیم:
9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x

ما معادله را دریافت می کنیم:
3 2x - 12 3 x +27 \u003d 0

پایه های ما همانند سه برابر هستند. در این مثال، می توان دید که سه درجه اول دو بار (2x) بیشتر از دوم (به سادگی X) است. در این مورد، شما می توانید حل کنید روش جایگزینی. شماره با کوچکترین درجه جایگزین:

سپس 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

ما در معادله همه درجه ها با حفره ها در T:

t 2 - 12T + 27 \u003d 0
ما یک معادله مربع دریافت می کنیم. ما از طریق تبعیض تصمیم می گیریم، ما دریافت می کنیم:
d \u003d 144-108 \u003d 36
t 1 \u003d 9
t 2 \u003d 3

بازگشت به متغیر ایکس..

T 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

به این معنا که،

3 x \u003d 9
3 x \u003d 3 2
x 1 \u003d 2

یک ریشه یافت شد ما به دنبال دوم هستیم، از T 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x \u003d 3 1
x 2 \u003d 1
پاسخ: x 1 \u003d 2؛ x 2 \u003d 1.

در سایت شما می توانید در کمک به تصمیم گیری تصمیم به درخواست شما بپرسید. ما پاسخ خواهیم داد.

به گروه ملحق بشید