چگونگی کسر لگاریتم ها با همان پایه. فرمول های لگاریتم LogaRithms نمونه راه حل ها

لگاریتم ها، مانند هر شماره، می توانند بسته بندی شوند، کسر و تبدیل شوند. اما از آنجا که لگاریتم ها تعداد زیادی عادی نیستند، قوانین خود را که نامیده می شود وجود دارد خواص اساسی.

این قوانین باید لزوما بدانند - هیچ وظیفه لگاریتمی جدی بدون آنها حل نمی شود. علاوه بر این، آنها بسیار کمی هستند - همه چیز را می توان در یک روز آموخت. بنابراین، ادامه دهید.

علاوه بر این و تفریق لگاریتم ها

دو لگاریتم را با همان پایگاه ها در نظر بگیرید: ورود به سیستم آ. ایکس. و ورود به سیستم آ. y.. سپس آنها را می توان بسته بندی کرد و کسر کرد، و:

ورود به سیستم آ. ایکس. + ورود به سیستم آ. y. \u003d ورود به سیستم آ. (ایکس. · y.);
ورود به سیستم آ. ایکس. - ورود به سیستم آ. y. \u003d ورود به سیستم آ. (ایکس. : y.).

بنابراین، مقدار لگاریتم برابر با لگاریتم کار است و تفاوت لگاریتم خصوصی است. توجه داشته باشید: لحظه کلیدی اینجا - زمینه های مشابه. اگر پایه ها متفاوت باشند، این قوانین کار نمی کنند!

این فرمول ها به محاسبه کمک می کند بیان لگاریتمی حتی زمانی که قطعات فردی در نظر گرفته نمی شوند (درس را ببینید "لگاریتم چیست؟ نگاهی به نمونه ها - و مطمئن شوید:

ورود 6 4 + ورود 6 9.

از آنجا که پایگاه های لگاریتم یکسان هستند، ما از مجموع مبلغ استفاده می کنیم:
log 6 4 + log 6 9 \u003d log 6 (4 · 9) \u003d log 6 36 \u003d 2.

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید: log 2 48 - log 2 3.

پایه ها یکسان هستند، با استفاده از فرمول تفاوت:
ورود 2 48 - log 2 3 \u003d log 2 (48: 3) \u003d log 2 16 \u003d 4.

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید: log 3 135 - log 3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین ما داریم:
log 3 135 - log 3 5 \u003d log 3 (135: 5) \u003d log 3 27 \u003d 3.

همانطور که می بینید، عبارات اولیه از "Logarithms بد" تشکیل شده است، که به طور جداگانه به طور جداگانه در نظر گرفته نمی شود. اما پس از تحول، تعداد کاملا طبیعی به دست می آید. بسیاری از این واقعیت ها ساخته شده اند. مقالات آزمون. اما کنترل چه چیزی است - اصطلاحات به طور کامل (گاهی اوقات - تقریبا بدون تغییر) در امتحان ارائه می شود.

مدرک اجرایی از لگاریتم

در حال حاضر کمی پیچیده کار. اگر در پایه یا استدلال لگاریتم هزینه یک درجه باشد، چه؟ سپس شاخص این میزان را می توان از علامت لگاریتم خارج کرد با توجه به قوانین زیر:

آسان است که ببیند که آخرین قاعده دو نفر اول خود را دنبال می کند. اما بهتر است آن را به یاد داشته باشید، در بعضی موارد، میزان محاسبات را به طور قابل توجهی کاهش می دهد.

البته، تمام این قوانین اگر مطابق با لگاریتم OTZ مطابقت داشته باشند: آ. > 0, آ. ≠ 1, ایکس. \u003e 0. و همچنین: یاد بگیرید که تمام فرمول ها را نه تنها از چپ به راست اعمال کنید، بلکه بر خلاف آن، I.E. شما می توانید اعداد را به صورت لگاریتم، به لگاریتم خود برسانید. این اغلب مورد نیاز است.

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید: log 7 49 6.

خلاص شدن از شر بحران در فرمول اول:
ورود 7 49 6 \u003d 6 · log 7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید:
[امضای به شکل]

توجه داشته باشید که در نامزدی یک لگاریتم وجود دارد، پایه و استدلال که درجه دقیق است: 16 \u003d 2 4؛ 49 \u003d 7 2. ما داریم:

[امضای به شکل]

من فکر می کنم آخرین مثال نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا ناپدید شدند؟ تا آخرین لحظه، ما فقط با نامگذاری کار می کنیم. آنها مبنای و استدلال یک لگاریتم را به صورت درجه ارائه دادند و شاخص های انجام شده را انجام دادند - یک قطعه "سه طبقه" دریافت کردند.

حالا بیایید به بخش اساسی نگاه کنیم. شماره در عددی و نامزدها همان شماره است: log 2 7. از زمان ورود به سیستم 2 7 ≠ 0، ما می توانیم کسری را کاهش دهیم - 2/4 در نامزدی باقی می ماند. با توجه به قوانین ریاضی، چهار را می توان به عددی منتقل کرد، که انجام شد. نتیجه پاسخ بود: 2.

انتقال به یک پایگاه جدید

صحبت کردن درباره قوانین برای اضافه کردن و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها تنها با همان پایگاه ها کار می کنند. و اگر پایه ها متفاوت باشند چه؟ اگر درجه دقیق از همان تعداد دقیق نیست چه؟

فرمول های انتقال به یک پایگاه جدید به نجات می آیند. ما آنها را در قالب قضیه فرمول می کنیم:

اجازه ورود به سیستم لگاریتم آ. ایکس.. سپس برای هر عدد c. به طوری که c. \u003e 0 I. c. ≠ 1، برابری واقعی:
[امضای به شکل]
به طور خاص، اگر شما قرار داده اید c. = ایکس.ما دریافت خواهیم کرد:
[امضای به شکل]

از فرمول دوم به این معنی است که پایه و استدلال لگاریتم را می توان در مکان ها تغییر داد، اما در عین حال بیان "تبدیل به بیش از"، I.E. لگاریتم به نظر می رسد در نامزدی است.

این فرمول ها به ندرت در عادی یافت می شوند عبارات عددی. ارزیابی چگونگی مناسب آنها، تنها زمانی امکان پذیر است معادلات لگاریتمی و نابرابری.

با این حال، وظایفی وجود دارد که به طور کلی به عنوان یک انتقال به یک پایگاه جدید حل نمی شود. چند را در نظر بگیرید:

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید: log 5 16 · log 2 25.

توجه داشته باشید که استدلال های هر دو لگاریتم درجه دقیق هستند. من خلاصه خواهم کرد: log 5 16 \u003d log 5 2 4 \u003d 4Log 5 2؛ ورود 2 25 \u003d ورود 2 5 2 \u003d 2LOG 2 5؛

و در حال حاضر "معکوس" لگاریتم دوم:

[امضای به شکل]

از آنجا که کار از بازسازی چندگانه تغییر نمی کند، ما به آرامی چهار و دو را تغییر دادیم و سپس با لگاریتم ها مرتب شد.

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید: log 9 100 · lg 3.

اساس و استدلال اول لگاریتم - درجه دقیق. ما آن را بنویسیم و از شاخص ها خلاص شویم:

[امضای به شکل]

در حال حاضر از لگاریتم اعشاری خلاص شوید، با تبدیل شدن به پایه جدید:

[امضای به شکل]

هویت لگاریتمی پایه

اغلب، راه حل مورد نیاز برای ارسال یک عدد به عنوان یک لگاریتم برای یک پایه مشخص شده است. در این مورد، فرمول ها به ما کمک خواهند کرد:

در مورد اول n. این شاخص شاخص در بحث می شود. عدد n. این می تواند کاملا هر کسی باشد، زیرا فقط یک مقدار لگاریتم است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف ترجمه است. این نامیده می شود: هویت اصلی لگاریتمی.

در واقع، چه اتفاقی خواهد افتاد؟ ب ساخت در چنین درجه ای که تعداد آن ب تا این میزان تعداد را می دهد آ.؟ به درستی: این بیشتر است آ.. با دقت این پاراگراف را دوباره بخوانید - بسیاری از آنها "آویزان" بر روی آن.

مانند فرمول های انتقال به یک پایگاه جدید، هویت اصلی لگاریتمی گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید:
[امضای به شکل]

توجه داشته باشید که ورود 25 64 \u003d log 5 8 - فقط یک مربع از پایه و استدلال لگاریتم ساخته شده است. با توجه به قوانین برای ضرب درجه با همان پایه، ما دریافت می کنیم:

[امضای به شکل]

اگر کسی آگاه نیست، این یک وظیفه واقعی از EGE بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در نتیجه، من دو هویت را می دهم که خواص آن را دشوار می دانند، بلکه این نتیجه تعریف لگاریتم است. آنها به طور مداوم در وظایف یافت می شوند و، که تعجب آور است، حتی برای دانش آموزان پیشرفته ایجاد می شود.

ورود به سیستم آ. آ. \u003d 1 یک واحد لگاریتمی است. ضبط یک بار و برای همیشه: لگاریتم بر اساس هر اساس آ. از پایه بسیار برابر با یک است.
ورود به سیستم آ. 1 \u003d 0 یک صفر لگاریتمی است. پایه آ. شاید به نحوی، اما اگر استدلال یک واحد باشد - لگاریتم صفر است! زیرا آ. 0 \u003d 1 یک نتیجه مستقیم از تعریف است.

این همه خواص است. اطمینان حاصل کنید که تمرین آنها را در عمل اعمال کنید! CHRIB را در ابتدای درس دانلود کنید، آن را چاپ کنید - و وظایف را حل کنید.

بیایید شروع کنیم خواص لگاریتم واحد. فرمول آن به شرح زیر است: واحد لگاریتم صفر است، یعنی 1 \u003d 0 را وارد کنید برای هر A\u003e 0، a ≠ 1. اثبات باعث مشکلات نمی شود: از آنجا که 0 \u003d 1 برای هر A، رضایت شرایط مشخص شده در بالای A\u003e 0 و A 1 را برآورده می کند، سپس برابری قابل اثبات می شود 1 \u003d 0 بلافاصله از تعریف لگاریتم پیروی می کند.

ما نمونه هایی از اعمال خواص در نظر گرفته شده را ارائه می دهیم: log 3 1 \u003d 0، LG1 \u003d 0 و.

برو به K. اموال بعدی: لگاریتم شماره برابر با پایه برابر است، من، a \u003d 1 را وارد کنید با 0، a ≠ 1. در واقع، از آنجا که 1 \u003d a برای هر A، پس از تعریف لگاریتم ورود به سیستم a \u003d 1.

نمونه هایی از استفاده از این ویژگی لگاریتم ها معقول 5 \u003d 1، ورود 5.6 5.6 و LNE \u003d 1.

به عنوان مثال، ورود 2 2 7 \u003d 7، LG10 -4 \u003d -4 و .

لگاریتم کار دو عدد مثبت X و Y برابر با محصول لگاریتم های این اعداد است: log a (x · y) \u003d log a x + log a y y، a\u003e 0، a ≠ 1. ما اموال لگاریتم کار را اثبات می کنیم. با توجه به درجه یک ورود به سیستم X + log a y \u003d a log a x · ورود به سیستم Y، و از آنجا که هویت اصلی لگاریتمی یک ورود به سیستم x \u003d x و یک log a y \u003d y، سپس یک log a x · ورود به سیستم Y \u003d x · y. بنابراین، یک log a x + log a y \u003d x · y، از جایی که تعریف لگاریتم به معنای برابری اثبات شده است.

اجازه دهید نمونه هایی از استفاده از خواص لگاریتم را نشان دهیم: log 5 (2 · 3) \u003d log 5 2 + log 5 3 و .

ویژگی لگاریتم کار می تواند بر روی محصول تعداد محدودی از n اعداد مثبت x 1، x 2، ...، x n به عنوان log a (x 1 · x 2 · ... · x n) \u003d ورود X 1 + LOG A X 2 + ... + LOG A X N . این برابری بدون مشکل ثابت شده است.

به عنوان مثال، کارهای لگاریتم طبیعی را می توان با مجموع سه جایگزین کرد logichithov طبیعی اعداد 4، e، و.

لگاریتم خصوصی دو عدد مثبت x و y برابر با تفاوت در لگاریتم های این اعداد است. خواص لگاریتم خصوصی مربوط به فرمول فرم است، جایی که A\u003e 0، a ≠ 1، x و y تعداد مثبت هستند. اعتبار این فرمول به عنوان فرمول لگاریتم ثابت شده است: از آنجا که ، با تعریف لگاریتم.

بگذارید نمونه ای از استفاده از این ویژگی لگاریتم را ارائه دهیم: .

برو به K. اموال لگاریتم درجه. درجه لگاریتم برابر با محصول درجه در لگاریتم ماژول پایه این درجه است. ما این ویژگی لگاریتم را در فرمول بنویسیم: log a b p \u003d p · log a | b |جایی که a\u003e 0، a ≠ 1، b و p این تعداد است که درجه B P معنی دارد و b p\u003e 0.

اول، ما این اموال را برای مثبت b اثبات می کنیم. هویت اصلی لگاریتمی اجازه می دهد تا ما را به ارائه شماره B به عنوان یک log a b، سپس b p \u003d (یک log a b) p، و بیان حاصل از آن به دلیل اموال درجه یک p · log a b است. بنابراین ما به برابری می آیند b p \u003d a p · log a b، از آن، با تعریف لگاریتم، ما نتیجه گرفتیم که ورود به سیستم B P \u003d P · log a b.

این برای اثبات این اموال برای منفی B باقی می ماند. در اینجا ما متوجه می شویم که بیان ABP ورودی با منفی B تنها در درجه P معنی دارد (از آنجا که مقدار درجه B باید بیشتر از صفر باشد، در غیر این صورت لگاریتم معنی ندارد)، و در این مورد BP \u003d | ب | پ. سپس b p \u003d | b | p \u003d (a log a | b |) p \u003d a p · log a | b |جایی که ورودی a b p \u003d p · log a | b | .

مثلا، و ln (-3) 4 \u003d 4 · ln | -3 | \u003d 4 · ln3.

از جریان اموال قبلی اموال لگاریتم ریشه: لگاریتم ریشه N-درجه برابر با محصول کسر 1 / n بر روی لگاریتم بیان تغذیه است، یعنی جایی که a\u003e 0، a ≠ 1، n - عدد طبیعیواحد های بیشتر، B\u003e 0.

اثبات بر مبنای برابری است (نگاه کنید به)، که برای هر مثبت B و ویژگی لگاریتم معتبر است: .

در اینجا یک نمونه از استفاده از این ویژگی است: .

حالا ثابت کن فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم چشم انداز . برای انجام این کار، به اندازه کافی برای اثبات اعتبار برقی برابری C b \u003d log a b · log c a. هویت اصلی لگاریتمی به ما اجازه می دهد شماره B را به عنوان یک ورود به سیستم B نشان دهد، سپس C B \u003d log c a b را وارد کنید. این کار را برای استفاده از اموال لگاریتم انجام می دهد: log c a log a b \u003d log a b · log c a. بنابراین برابری ورود به سیستم C B \u003d log a b · log c a، و بنابراین فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم نیز ثابت شده است.

بیایید چند نمونه از استفاده از این ویژگی لگاریتم را نشان دهیم و .

فرمول انتقال به یک پایگاه جدید اجازه می دهد تا شما را به حرکت به کار با لگاریتم که پایه "راحت" است. به عنوان مثال، با استفاده از آن، می توانید به لگاریتم های طبیعی یا دهدهی بروید تا بتوانید مقدار لگاریتم را در امتداد جدول لگاریتم محاسبه کنید. فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم همچنین اجازه می دهد تا در برخی موارد برای پیدا کردن ارزش این لگاریتم، زمانی که مقادیر برخی از لگاریتم ها با پایگاه های دیگر شناخته شده است.

اغلب استفاده می شود پرونده خصوصی فرمول برای انتقال به یک پایه جدید لگاریتم در c \u003d b از گونه . می توان دید که ورود به سیستم B و LOG B A. برای مثال، .

همچنین اغلب فرمول استفاده می شود که در هنگام پیدا کردن لگاریتم مناسب است. برای تایید کلمات خود، ما نشان می دهیم که چگونه با ارزش لگاریتم نمایش محاسبه می شود. دارند . برای اثبات فرمول این کافی است که از انتقال به یک پایگاه جدید لگاریتم استفاده کنید: .

این ثابت است که خواص مقایسه لگاریتم ها را ثابت کنید.

ما ثابت می کنیم که برای هر عدد مثبت B 1 و B 2، B 1 ورود به سیستم B 2، و در A\u003e 1 - نابرابری ورود به B 1

در نهایت، هنوز ثابت شده است که آخرین ویژگی های ذکر شده لگاریتم را ثابت کنید. ما خود را به اثبات بخش اول خود محدود می کنیم، یعنی ما ثابت می کنیم که اگر 1\u003e 1، 2\u003e 1 و 1 1 منصفانه ورود 1 B\u003e Log A 2 B. اظهارات باقی مانده از این ویژگی لگاریتم ها توسط یک اصل مشابه ثابت می شود.

ما از روش مخالف استفاده می کنیم. فرض کنید که در 1\u003e 1، 2\u003e 1 و 1 1 منصفانه ورود 1 B≤LOG A 2 B. با توجه به خواص لگاریتم، این نابرابری ها می توانند به عنوان بازنویسی کنند و بر این اساس، این به دنبال آن است که ورود به سیستم B A 1 ≤Log B A 2 و log b a 1 ≥Log b a 2، به ترتیب. سپس، با توجه به ویژگی های درجه با پایگاه های مشابه، برابری B log B a 1 ≥B log b a 2 و b log b a 1 ≥B log b a 2، یعنی 1 ≥a 2. بنابراین ما به شرایط تناقض آمدیم 1

کتابشناسی - فهرست کتب.

Kolmogorov A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. و همکاران جبر و تجزیه و تحلیل شروع: یک کتاب درسی برای 10 تا 11 کلاس موسسات آموزشی عمومی.

Gusev V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (کمک هزینه برای متقاضیان به مدارس فنی).

تعداد لگاریتم n. بر اساس ولی یک شاخص درجه نامیده می شود h. که در آن شما نیاز به ساخت ولی برای دریافت یک عدد n.
به شرطی که
,
,
از تعریف لگاریتم آن را دنبال می کند
.
- این برابری هویت اصلی لگاریتمی است.
LogaRithms بر اساس 10 لگاریتم دهدهی نامیده می شود. بجای
نوشتن
.
لگاریتم بر اساس e. به نام طبیعی و تعیین شده است
.
خواص اصلی لگاریتم ها.
واحدهای لگاریتم برای هر پایه صفر است

لگاریتم کار برابر با مجموع لگاریتم های عوامل است.

3) لگاریتم خصوصی برابر با تفاوت لگاریتم ها است

عامل
ماژول انتقال از لگاریتم ها در پایه نامیده می شود آ. به لگاریتم در پایه ب .
با استفاده از Properties 2-5، اغلب ممکن است لگاریتم یک بیان پیچیده را به نتیجه اقدام محاسباتی ساده بر روی لگاریتم ها کاهش دهد.
مثلا،
چنین تحولات لگاریتم لگاریتم نامیده می شود. تبدیل لگاریتم معکوس به نام پتانسیل نامیده می شود.
فصل 2. عناصر ریاضیات بالاتر.
1. محدودیت
تابع محدود
یک شماره محدود A، اگر با تمایل است xx 0 برای هر یک از آنها تعریف شده است
چنین تعداد وجود دارد
که به زودی
T.
.
عملکرد داشتن محدودیت از آن متفاوت است به مقدار بی نهایت کم:
کجا --- B.M.V.، I.E.
.
مثال. یک تابع را در نظر بگیرید
.
با تمایل
تابع y. او برای صفر تلاش می کند:
1.1. قضیه اصلی در مورد محدودیت ها است.
محدودیت مقدار ثابت برابر با این مقدار ثابت است.

.
محدودیت مقدار (تفاوت) تعداد نهایی توابع برابر با مجموع محدودیت های این توابع است.

محدودیت تعداد محدودی از توابع برابر با محصول این توابع است.

محدودیت دو توابع خصوصی برابر با محدودیت های خصوصی این توابع است، اگر محدودیت مشخص کننده صفر نیست.

محدودیت های فوق العاده
,
جایی که
1.2 نمونه هایی از محدودیت های محاسبه
با این حال، تمام محدودیت ها به اندازه ساده محاسبه نمی شود. اغلب محاسبه محدودیت به افشای عدم قطعیت نوع کاهش می یابد: یا .
.
2. تابع مشتق شده
اجازه دهید ما یک تابع داشته باشیم
پیوسته در بخش
.
بحث و جدل دریافت برخی از افزایش
. سپس تابع افزایش می یابد
.
معنای استدلال مربوط به ارزش تابع است
.
معنای استدلال
ارزش تابع را مطابقت می دهد.
از این رو ،.
ما محدودیت این رابطه را پیدا خواهیم کرد
. اگر این حد وجود دارد، آن را مشتق از این تابع نامیده می شود.
تعریف 3 تولید این ویژگی
با استدلال این محدودیت ارتباط عملکرد تابع تابع را به افزایش استدلال نامیده می شود، زمانی که افزایش استدلال به صورت خودسرانه به صفر می رسد.
تابع مشتق شده
این را می توان به شرح زیر نشان داد:
; ; ; .
تعیین 4 عملیات پیدا کردن یک مشتق از یک تابع به نام تفکیک.
2.1. مشتقات مکانیکی
حرکت مستقیم برخی از نقطه جامد یا مواد را در نظر بگیرید.
اجازه دهید در برخی موارد در زمان نقطه حرکت
در فاصله بود از موقعیت اولیه
.
بعد از مدتی
او به فاصله رفت
. نگرش =- مواد متوسط \u200b\u200bنقطه ماده
. ما محدودیت این رابطه را پیدا می کنیم، با توجه به این
.
در نتیجه، تعریف سرعت لحظه ای از نقطه ماده برای پیدا کردن یک مشتق از زمان کاهش می یابد.
2.2. ارزش هندسی مشتق شده است
اجازه دهید ما یک تابع گرافیکی داشته باشیم
.
شکل. 1. مشتق معنی هندسی
اگر یک
، سپس نقطه
در اطراف منحنی حرکت می کند، نزدیک شدن به نقطه
.
از این رو
. ارزش مشتق شده با این ارزش استدلال این عددی برابر با مماس یک زاویه مماس از مماس تحصیل کرده در این نقطه با یک جهت محور مثبت است.
.
2.3. جدول فرمول های تمایز پایه.
تابع توان

تابع نمایشی

تابع لگاریتمی

تابع مثلثاتی

تابع مثلثاتی معکوس

2.4 قوانین تمایز
ناشی شدن از

مقدار مشتق شده (تفاوت) توابع

کار مشتق شده از دو توابع

مشتق شده از دو توابع خصوصی

2.5. مشتق شده از عملکرد پیچیده
اجازه دهید تابع داده شود
به طوری که می توان آن را نشان داد
و
جایی که متغیر است یک استدلال متوسط \u200b\u200bاست پس از آن
مشتق عملکرد پیچیده برابر با محصول مشتق شده از این تابع توسط استدلال متوسط \u200b\u200bدر مشتق از استدلال متوسط \u200b\u200bتوسط X است.
مثال 1
مثال 2
3. عملکرد دیفرانسیل
اجازه دهید آن را
قابل تم گیری در برخی از بخش
رهایش کن w. این تابع مشتق شده است
,
سپس شما می توانید ضبط کنید
(1),
جایی که - ارزش بی نهایت کوچک،
از کی تا حالا
ضرب همه اعضای برابری (1) در
ما داریم:
جایی که
- B.M.V. سفارش بالا
مقدار
تابع دیفرانسیل نامیده می شود
و نشان دهنده
.
3.1 ارزش هندسی دیفرانسیل.
اجازه دهید تابع داده شود
.
شکل 2 معنای هندسی دیفرانسیل.
.
بدیهی است، عملکرد دیفرانسیل
در این مرحله برابر با افزایش مماس است.
3.2. مشتقات و دیفرانسیل سفارشات مختلف.
اگر آنجا
، سپس
اولین مشتق شده است.
مشتق از مشتق اول نامیده می شود مشتق سفارش دوم و ثبت شده است
.
N-th دستور مشتق از عملکرد
مشتق (N-1) سفارش و سوابق نامیده می شود:
.
دیفرانسیل از عملکرد دیفرانسیل دوم دیفرانسیل دیفرانسیل یا دوم مرتبه دوم نامیده می شود.
.

.
3.3 حل مشکلات بیولوژیکی با استفاده از تمایز.
task1. مطالعات نشان داده اند که رشد کلنی میکروارگانیسم ها تحت قانون است
جایی که n. - تعداد میکروارگانیسم ها (در هزاران) t. - بزرگ (روز).
ب) در این دوره افزایش یا کاهش خواهد یافت؟
پاسخ. تعداد کلنی افزایش خواهد یافت.
وظیفه 2. آب در دریاچه به صورت دوره ای برای کنترل محتوای باکتری های بیماریزا آزمایش می شود. از طریق t. روز بعد از آزمایش غلظت باکتری ها با نسبت تعیین می شود
.
هنگامی که دریاچه در دریاچه قرار می گیرد حداقل غلظت باکتری ها و من می توانم آن را شنا کنم؟
شکست به حداکثر یا حداقل می رسد، زمانی که مشتق آن صفر است.
,
ما Max یا Min را بعد از 6 روز تعریف می کنیم. برای انجام این کار، مشتق دوم را بگیرید.

پاسخ: پس از 6 روز حداقل غلظت باکتری وجود خواهد داشت.

بررسی کنید که آیا تعداد منفی یا واحد زیر علامت لگاریتم وجود ندارد. این روش برای بیان فرم ها قابل استفاده است. log b \u2061 (x) log b \u2061 (a) (\\ displaystyle (\\ frac (\\ log _ (b) (x)) (\\ log _ (b) (a))))))). با این حال، برای برخی موارد خاص مناسب نیست:
لگاریتم یک عدد منفی در هر پایه تعریف نمی شود (به عنوان مثال، log \u2061 (- 3) (\\ displaystyle \\ log (-3)) یا log 4 \u2061 (- 5) (\\ displaystyle \\ log _ (4) (- 5))) در این مورد، "بدون راه حل" بنویسید.

لگاریتم صفر به هر دلیلی نیز تعریف نشده است. اگر گرفتار شدید ln \u2061 (0) (\\ displaystyle \\ ln (0))، نوشتن "بدون راه حل".

واحدهای لگاریتم به هر دلیلی ( log \u2061 (1) (\\ displaystyle \\ log (1))) همیشه برابر با صفر است زیرا x 0 \u003d 1 (\\ displaystyle x ^ (0) \u003d 1) برای همه ارزش ها ایکس.. به جای این لگاریتم 1 بنویسید و از روش زیر استفاده نکنید.

اگر LogaRithms دارای پایگاه های مختلف، به عنوان مثال l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\\ displaystyle (\\ frac (log_ (3) (x)) (log_ (4) (a))))))))، و به تعداد عدد صحیح کاهش نمی یابد، مقدار بیان را نمی توان به صورت دستی یافت.

تبدیل یک عبارت به یک لگاریتم. اگر عبارت به موارد خاص فوق اعمال نمی شود، می توان آن را به عنوان یک لگاریتم واحد نشان داد. برای این فرمول زیر استفاده کنید: log b \u2061 (x) log b \u2061 (a) \u003d log a \u2061 (x) (\\ displaystyle (\\ frac (\\ log _ (b) (x)) (\\ log _ (b) (a))) \u003d \\ log _ (a) (x)).
مثال 1: عبارت را در نظر بگیرید log \u2061 16 log \u2061 2 (\\ displayStyle (\\ frac (\\ log (16)) (\\ log (2)))).
برای شروع، ما با استفاده از فرمول فوق به صورت یک لگاریتم بیان می کنیم: log \u2061 16 log \u2061 2 \u003d log 2 \u2061 (16) (\\ displaystyle (\\ frac (\\ log (16)) (\\ log (2))) \u003d \\ log _ (2) (16)).

این فرمول "جایگزینی پایه" لگاریتم از خواص اصلی لگاریتم مشتق شده است.

در صورت امکان، مقدار بیان را به صورت دستی محاسبه کنید. برای پیدا کردن ورود \u2061 (x) (\\ displaystyle \\ log _ (a) (x))، تصور کنید یک عبارت " آ؟ \u003d x (\\ displaystyle a ^ (؟) \u003d x)"، یعنی، از سوال زیر بپرسید:" چه درجه ای باید بسازید آ.، بدست آوردن ایکس.؟ "برای پاسخ دادن به این سوال، ممکن است به یک ماشین حساب نیاز داشته باشید، اما اگر شما خوش شانس هستید، می توانید آن را به صورت دستی پیدا کنید.
مثال 1 (ادامه): بازنویسی به عنوان 2؟ \u003d 16 (\\ displaystyle 2 ^ (؟) \u003d 16). لازم است که کدام عدد باید به جای علامت باشد "؟" این را می توان با نمونه ها و خطاها انجام داد:
2 2 \u003d 2 * 2 \u003d 4 (\\ displaystyle 2 ^ (2) \u003d 2 * 2 \u003d 4)
2 3 \u003d 4 * 2 \u003d 8 (\\ displaystyle 2 ^ (3) \u003d 4 * 2 \u003d 8)
2 4 \u003d 8 * 2 \u003d 16 (\\ displaystyle 2 ^ (4) \u003d 8 * 2 \u003d 16)
بنابراین، شماره مورد نظر 4 است: ورود 2 \u2061 (16) (\\ displaystyle \\ log _ (2) (16)) = 4 .

اگر نمیتوانید آن را ساده کنید، پاسخ را در فرم لگاریتمی بگذارید. بسیاری از لگاریتم ها به صورت دستی محاسبه می شوند. در این مورد، برای پاسخ دقیق به یک ماشین حساب نیاز دارید. با این حال، اگر شما تصمیم به کار در درس دارید، معلم احتمالا پاسخ را در فرم لگاریتمی برآورده می کند. در زیر، روش مورد نظر برای حل یک مثال پیچیده تر مورد استفاده قرار می گیرد:
مثال 2: چقدر برابر است ورود به سیستم 3 \u2061 (58) log 3 \u2061 (7) (\\ displaystyle (\\ log _ (3) (58)) (\\ log _ (3) (7))))?

ما این عبارت را به یک لگاریتم تبدیل می کنیم: ورود به سیستم 3 \u2061 (58) log 3 \u2061 (7) \u003d log 7 \u2061 (58) (\\ displaystyle (\\ frac (\\ log _ (3) (58)) (\\ log _ (3) (7)) \u003d \\ log _ (7) (58)). لطفا توجه داشته باشید که پایه برای هر دو لگاریتم 3 ناپدید می شود؛ این به هر دلیلی درست است.

یک عبارت را بازنویسی کنید 7؟ \u003d 58 (\\ displaystyle 7 ^ (؟) \u003d 58) و سعی کنید ارزش را پیدا کنید؟
7 2 \u003d 7 * 7 \u003d 49 (\\ displaystyle 7 ^ (2) \u003d 7 * 7 \u003d 49)
7 3 \u003d 49 * 7 \u003d 343 (\\ displaystyle 7 ^ (3) \u003d 49 * 7 \u003d 343)
از آنجا که 58 این دو عدد است، در یک عدد صحیح بیان نشده است.

پاسخ را در فرم لگاریتمی ترک کنید: ورود 7 \u2061 (58) (\\ displaystyle \\ log _ (7) (58)).

لگاریتم تعداد مثبت B برای پایه a (a\u003e 0، A برابر با 1 نیست) آنها چنین تعداد را با AC \u003d b: log ab \u003d c ⇔ ac \u003d b (a\u003e 0، a ≠ 1 ، b\u003e 0) & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

لطفا توجه داشته باشید: لگاریتم از یک عدد ناکافی تعریف نشده است. علاوه بر این، در پایه لگاریتم باید یک عدد مثبت باشد، نه برابر 1. به عنوان مثال، اگر ما در یک مربع نصب شده، ما شماره 4 را به دست می آوریم، اما این بدان معنا نیست که لگاریتم بر روی پایه - 2 از 4 2 است.
هویت لگاریتمی پایه
یک log a b \u003d b (a\u003e 0، a ≠ 1) (2)
مهم است که مناطق تعیین بخش های راست و چپ این فرمول متفاوت باشند. قسمت چپ فقط در B\u003e 0، A\u003e 0 و A 1 تعریف شده است. سمت راست در هر B تعریف شده است و به هیچ وجه وابسته نیست. بنابراین، استفاده از هویت اصلی لگاریتمی در حل معادلات و نابرابری ها می تواند منجر به تغییر در OTZ شود.
دو پیامد آشکار از تعریف لگاریتم
ورود A \u003d 1 (a\u003e 0، a ≠ 1) (3)
ورود 1 \u003d 0 (a\u003e 0، a ≠ 1) (4)
در واقع، زمانی که شماره A در درجه اول نصب شده است، ما همان شماره را دریافت خواهیم کرد، و زمانی که آن را به درجه صفر نصب می شود.
لگاریتم کار می کند و لگاریتم خصوصی
log a (b c) \u003d log a b + log a c (a\u003e 0، a ≠ 1، b\u003e 0، c\u003e 0) (5)
log a b c \u003d log a b - log a c (a\u003e 0، a ≠ 1، b\u003e 0، c\u003e 0) (6)
من می خواهم به دانش آموزان از کاربرد بی فایده این فرمول ها در حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها هشدار دهم. هنگام استفاده از آنها، "از چپ به راست" محدودیتی از OTZ وجود دارد، و در انتقال از مقدار یا تفاوت لگاریتم به لگاریتم کار یا خصوصی - گسترش OTZ.

در واقع، بیان یک (f (x) g (x)) در دو مورد تعریف شده است: زمانی که هر دو توابع به شدت مثبت هستند یا زمانی که f (x) و g (x) کمتر از صفر هستند.

تبدیل این عبارت در مقدار log a f (x) + log a g (x)، ما مجبور به محدود کردن تنها در مورد F (x)\u003e 0 و g (x)\u003e 0. یک منطقه باریک از ارزش های مجاز وجود دارد، و این به طور قطعی غیر قابل قبول است، زیرا می تواند منجر به از دست دادن تصمیمات شود. یک مشکل مشابه برای فرمول وجود دارد (6).
درجه می تواند برای نشانه لگاریتم ساخته شود
log a b p \u003d P log a b (a\u003e 0، a ≠ 1، b\u003e 0) (7)
و دوباره می خواهم به دقت تماس بگیرم مثال زیر را در نظر بگیرید:
log a (f (x) 2 \u003d 2 log a f (x)
بخش چپ برابری، بدیهی است، با تمام مقادیر F (X)، به جز صفر تعیین می شود. قسمت راست - فقط در f (x)\u003e 0! پس از تهیه مدرک از لگاریتم، ما OTZ را سوار می کنیم. روش معکوس منجر به گسترش مساحت مقادیر مجاز می شود. همه این نظرات نه تنها به درجه 2، بلکه همچنین به هر درجه ای نیز اشاره می کنند.
فرمول انتقال به یک پایگاه جدید
log a b \u003d log c b log c a (a\u003e 0، a ≠ 1، b\u003e 0، c\u003e 0، c ≠ 1) (8)
مورد نادر زمانی که OTZ هنگام تبدیل تغییر نمی کند. اگر شما عاقلانه پایه را انتخاب کردید (مثبت و نه برابر با 1)، فرمول انتقال به یک پایگاه جدید کاملا امن است.

اگر به عنوان یک پایگاه جدید با شماره B را انتخاب کنید، ما یک مورد مهم ویژه فرمول را دریافت می کنیم (8):
log a b \u003d 1 log b a (a\u003e 0، a ≠ 1، b\u003e 0، b ≠ 1، b\u003e 0، b ≠ 1) (9)
برخی از نمونه های ساده با لگاریتم

مثال 1. محاسبه: LG2 + LG50.
تصمیم گیری LG2 + LG50 \u003d LG100 \u003d 2. ما از مجموع فرمول لگاریتم ها (5) و تعیین لگاریتم اعشاری استفاده کردیم.

مثال 2. محاسبه: LG125 / LG5.
تصمیم گیری LG125 / LG5 \u003d log 5 125 \u003d 3. ما از انتقال به یک پایگاه جدید استفاده کردیم (8).
فرمول های جدول مرتبط با لگاریتم
یک log a b \u003d b (a\u003e 0، a ≠ 1)
ورود A \u003d 1 (a\u003e 0، a ≠ 1)
ورود 1 \u003d 0 (a\u003e 0، a ≠ 1)
log a (b c) \u003d log a b + log a c (a\u003e 0، a ≠ 1، b\u003e 0، c\u003e 0)
log a b c \u003d log a b - log a c (a\u003e 0، a ≠ 1، b\u003e 0، c\u003e 0)
log a b p \u003d P log a b (a\u003e 0، a ≠ 1، b\u003e 0)
log a b \u003d log c b log c a (a\u003e 0، a ≠ 1، b\u003e 0، c\u003e 0، c ≠ 1)
log a b \u003d 1 log b a (a\u003e 0، a ≠ 1، b\u003e 0، b ≠ 1)