تحول عبارات لگاریتمی نمونه هایی با راه حل. تبدیل عبارات لگاریتمی

خواص اساسی.

logax + logay \u003d loga (x · y)؛
logax - logay \u003d loga (x: y).

زمینه های مشابه

log6 4 + log6 9.

در حال حاضر کمی پیچیده کار.

نمونه هایی از راه حل های لگاریتم

اگر در پایه یا استدلال لگاریتم هزینه یک درجه باشد، چه؟ سپس شاخص این میزان را می توان از علامت لگاریتم خارج کرد با توجه به قوانین زیر:

البته، تمام این قوانین زمانی را مطابق با لگاریتم OTZ حس می کنند: a\u003e 0، a ≠ 1، x\u003e

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید:

انتقال به یک پایگاه جدید

LOCAX LOMAX را بگذارید سپس برای هر تعداد C به طوری که C\u003e 0 و C ≠ 1، برابری درست است:

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید:

همچنین ببینید:

خواص اصلی لگاریتم

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

نمایشگاه 2،718281828 .... برای به یاد آوردن غرفه، شما می توانید این قانون را کشف کنید: نمایشگاه 2.7 و دو برابر سال تولد لئو نیکولایویچ تولستوی است.

خواص اصلی لگاریتم

دانستن این قانون ارزش دقیق این نمایشگاه را می داند و تاریخ تولد شیر تولستوی.

مثالها در لگاریتمی

عبارات مقدماتی

مثال 1
ولی). x \u003d 10as ^ 2 (a\u003e 0، c\u003e 0).

توسط Properties 3.5 محاسبه می شود

4. جایی که .

مثال 2. پیدا کردن x اگر

مثال 3. اجازه دهید ارزش لگاریتم ها تنظیم شود

محاسبه log (x) اگر

خواص اصلی لگاریتم

لگاریتم ها، مانند هر شماره، می توانند بسته بندی شوند، کسر و تبدیل شوند. اما از آنجا که لگاریتم ها تعداد زیادی عادی نیستند، قوانین خود را که نامیده می شود وجود دارد خواص اساسی.

این قوانین باید لزوما بدانند - هیچ وظیفه لگاریتمی جدی بدون آنها حل نمی شود. علاوه بر این، آنها بسیار کمی هستند - همه چیز را می توان در یک روز آموخت. بنابراین، ادامه دهید.

علاوه بر این و تفریق لگاریتم ها

دو لگاریتم را با همان پایگاه ها در نظر بگیرید: logax و logay. سپس آنها را می توان بسته بندی کرد و کسر کرد، و:

logax + logay \u003d loga (x · y)؛
logax - logay \u003d loga (x: y).

بنابراین، مقدار لگاریتم برابر با لگاریتم کار است و تفاوت لگاریتم خصوصی است. لطفا توجه داشته باشید: نقطه اصلی اینجاست زمینه های مشابه. اگر پایه ها متفاوت باشند، این قوانین کار نمی کنند!

این فرمول ها به محاسبه بیان لگاریتمی کمک می کنند حتی زمانی که قطعات فردی در نظر گرفته نمی شوند (درس "LogiRithM" را ببینید). نگاهی به نمونه ها - و مطمئن شوید:

از آنجا که پایگاه های لگاریتم یکسان هستند، ما از مجموع مبلغ استفاده می کنیم:
log6 4 + log6 9 \u003d log6 (4 · 9) \u003d log6 36 \u003d 2.

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید: log2 48 - log2 3.

پایه ها یکسان هستند، با استفاده از فرمول تفاوت:
log2 48 - log2 3 \u003d log2 (48: 3) \u003d log2 16 \u003d 4.

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید: log3 135 - log3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین ما داریم:
log3 135 - log3 5 \u003d log3 (135: 5) \u003d log3 27 \u003d 3.

همانطور که می بینید، عبارات اولیه از "Logarithms بد" تشکیل شده است، که به طور جداگانه به طور جداگانه در نظر گرفته نمی شود. اما پس از تحول، تعداد کاملا طبیعی به دست می آید. در این واقعیت، بسیاری از کار تست ساخته شده است. اما کنترل چه چیزی است - اصطلاحات به طور کامل (گاهی اوقات - تقریبا بدون تغییر) در امتحان ارائه می شود.

مدرک اجرایی از لگاریتم

آسان است که ببیند که آخرین قاعده دو نفر اول خود را دنبال می کند. اما بهتر است آن را به یاد داشته باشید، در بعضی موارد، میزان محاسبات را به طور قابل توجهی کاهش می دهد.

البته، تمام این قوانین در هنگام انطباق با لگاریتم OTZ حس می کنند: A\u003e 0، a ≠ 1، x\u003e 0. و موارد دیگر: یادگیری برای اعمال تمام فرمول ها نه تنها از چپ به راست، بلکه بر خلاف، I.E. شما می توانید اعداد را به صورت لگاریتم، به لگاریتم خود برسانید. این اغلب مورد نیاز است.

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید: log7 496.

از میزان بحث در فرمول اول خلاص شوید:
log7 496 \u003d 6 · log7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که در مخزن یک لگاریتم وجود دارد، پایه و استدلال که درجه دقیق است: 16 \u003d 24؛ 49 \u003d 72. ما داریم:

من فکر می کنم آخرین مثال نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا ناپدید شدند؟ تا آخرین لحظه، ما فقط با نامگذاری کار می کنیم.

فرمول های لگاریتم لگاریتم نمونه های راه حل ها.

آنها مبنای و استدلال یک لگاریتم را به صورت درجه ارائه دادند و شاخص های انجام شده را انجام دادند - یک قطعه "سه طبقه" دریافت کردند.

حالا بیایید به بخش اساسی نگاه کنیم. در یک عددی و نامزدی، همان شماره است: log2 7. از زمان log2 7 ≠ 0، ما می توانیم کسری را کاهش دهیم - 2/4 در نامزدی باقی می ماند. با توجه به قوانین ریاضی، چهار را می توان به عددی منتقل کرد، که انجام شد. نتیجه پاسخ بود: 2.

انتقال به یک پایگاه جدید

صحبت کردن درباره قوانین برای اضافه کردن و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها تنها با همان پایگاه ها کار می کنند. و اگر پایه ها متفاوت باشند چه؟ اگر درجه دقیق از همان تعداد دقیق نیست چه؟

فرمول های انتقال به یک پایگاه جدید به نجات می آیند. ما آنها را در قالب قضیه فرمول می کنیم:

LOCAX LOMAX را بگذارید سپس برای هر تعداد C به طوری که C\u003e 0 و C ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر شما c \u003d x را قرار دهید، ما دریافت می کنیم:

از فرمول دوم به این معنی است که پایه و استدلال لگاریتم را می توان در مکان ها تغییر داد، اما در عین حال بیان "تبدیل به بیش از"، I.E. لگاریتم به نظر می رسد در نامزدی است.

این فرمول ها در عبارات عددی متعارف نادر هستند. ارزیابی چگونگی مناسب آنها، تنها زمانی امکان حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ممکن است.

با این حال، وظایفی وجود دارد که به طور کلی به عنوان یک انتقال به یک پایگاه جدید حل نمی شود. چند را در نظر بگیرید:

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید: log5 16 · log2 25.

توجه داشته باشید که استدلال های هر دو لگاریتم درجه دقیق هستند. بیایید شاخص ها را بیرون بیاوریم: log5 16 \u003d log5 24 \u003d 4Log5 2؛ log2 25 \u003d log2 52 \u003d 2Log2 5؛

و در حال حاضر "معکوس" لگاریتم دوم:

از آنجا که کار از بازسازی چندگانه تغییر نمی کند، ما به آرامی چهار و دو را تغییر دادیم و سپس با لگاریتم ها مرتب شد.

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید: log9 100 · lg 3.

اساس و استدلال اول لگاریتم - درجه دقیق. ما آن را بنویسیم و از شاخص ها خلاص شویم:

در حال حاضر از لگاریتم اعشاری خلاص شوید، با تبدیل شدن به پایه جدید:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب، راه حل مورد نیاز برای ارسال یک عدد به عنوان یک لگاریتم برای یک پایه مشخص شده است. در این مورد، فرمول ها به ما کمک خواهند کرد:

در اولین مورد، تعداد n شاخصی از میزان استدلال می شود. شماره N می تواند کاملا باشد، زیرا فقط یک مقدار لگاریتم است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف ترجمه است. این نامیده می شود :.

در واقع، چه اتفاقی خواهد افتاد اگر تعداد B در چنین درجه ای باشد که تعداد B تا این میزان به تعداد A می دهد؟ راست: این همان شماره A را تبدیل می کند. با دقت این پاراگراف را دوباره بخوانید - بسیاری از آنها "آویزان" بر روی آن.

مانند فرمول های انتقال به یک پایگاه جدید، هویت اصلی لگاریتمی گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که log25 64 \u003d log5 8 - فقط یک مربع از پایه و استدلال لگاریتم ساخته شده است. با توجه به قوانین برای ضرب درجه با همان پایه، ما دریافت می کنیم:

اگر کسی آگاه نیست، این یک وظیفه واقعی از ege 🙂 بود

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در نتیجه، من دو هویت را می دهم که خواص آن را دشوار می دانند، بلکه این نتیجه تعریف لگاریتم است. آنها به طور مداوم در وظایف یافت می شوند و، که تعجب آور است، حتی برای دانش آموزان پیشرفته ایجاد می شود.

logaa \u003d 1 است به یاد داشته باشید زمان و همیشه: لگاریتم بر روی هر پایه a از پایه بسیار برابر با یکی است.
lOGA 1 \u003d 0 است. پایه a ممکن است هر گونه حس، اما اگر استدلال یک واحد است - لگاریتم صفر است! از آنجا که A0 \u003d 1 یک نتیجه مستقیم از تعریف است.

این همه خواص است. اطمینان حاصل کنید که تمرین آنها را در عمل اعمال کنید! CHRIB را در ابتدای درس دانلود کنید، آن را چاپ کنید - و وظایف را حل کنید.

همچنین ببینید:

لگاریتم تعداد B بر اساس بیان بیان است. محاسبه لگاریتم به معنای یافتن چنین درجه ای X () است که برابری انجام می شود

خواص اصلی لگاریتم

این خواص باید بدانند، زیرا بر اساس آنها، تقریبا تمام وظایف حل می شود و نمونه هایی با لگاریتم ها همراه است. خواص عجیب و غریب باقی مانده را می توان با دستکاری ریاضی با این فرمول ها مشتق کرد

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

در محاسبات فرمول مجموع و تفاوت لگاریتم ها (3.4) بسیار رایج هستند. بقیه تا حدودی پیچیده هستند، اما در تعدادی از وظایف ضروری است تا عبارات پیچیده را ساده تر کرده و مقادیر خود را محاسبه کنند.

موارد لگاریتم وجود دارد

یکی از لگاریتم های مشترک چنین است که در آن پایه صاف ده، نمایشی یا دو بار است.
لگاریتم بر اساس ده برابر معمول است برای تماس با لگاریتم اعشاری و ساده سازی LG (X).

از رکورد روشن است که پایه های موجود در رکورد نوشته نشده است. مثلا

لگاریتم طبیعی یک لگاریتم است که غرفه دار بر اساس LN (X) است).

نمایشگاه 2،718281828 .... برای به یاد آوردن غرفه، شما می توانید این قانون را کشف کنید: نمایشگاه 2.7 و دو برابر سال تولد لئو نیکولایویچ تولستوی است. دانستن این قانون ارزش دقیق این نمایشگاه را می داند و تاریخ تولد شیر تولستوی.

و یک لگاریتم مهم دیگر بر پایه دو پایه

مشتق عملکرد لگاریتم برابر با یک واحد تقسیم شده به یک متغیر است

لگاریتم انتگرال یا ابتدایی توسط اعتیاد تعیین می شود

مواد فوق به اندازه کافی برای حل یک کلاس گسترده از وظایف مرتبط با لگاریتم ها و لگاریتمی است. برای تسلط بر مواد، من فقط چند نمونه مشترک از برنامه مدرسه و دانشگاه ها را ارائه خواهم داد.

مثالها در لگاریتمی

عبارات مقدماتی

مثال 1
ولی). x \u003d 10as ^ 2 (a\u003e 0، c\u003e 0).

توسط Properties 3.5 محاسبه می شود

2.
توسط خواص تفاوت لگاریتم ها

3.
با استفاده از Properties 3.5 پیدا کنید

4. جایی که .

شکل یک بیان پیچیده با استفاده از تعدادی از قوانین به ذهن ساده شده است

پیدا کردن مقادیر لگاریتم

مثال 2. پیدا کردن x اگر

تصمیم گیری برای محاسبه، قابل اجرا به آخرین دوره 3rd و 13 خواص

ما جایگزین نوشتن و غم و اندوه می شویم

از آنجا که زمینه برابر است، سپس معادل عبارات

لگاریتمی سطح اول.

اجازه دهید ارزش لگاریتم ها

محاسبه log (x) اگر

راه حل: متغیر متغیر برای رنگ لگاریتم از طریق مجموع شرایط

در این آشنایی با لگاریتم ها و خواص آنها شروع می شود. تمرین در محاسبات، مهارت های عملی غنی سازی - دانش به دست آمده به زودی برای حل معادلات لگاریتمی مورد نیاز است. پس از مطالعه روش های اساسی حل چنین معادلات، ما دانش خود را برای یکی دیگر از موضوعات به همان اندازه مهم - نابرابری لگاریتمی گسترش خواهیم داد ...

خواص اصلی لگاریتم

علاوه بر این و تفریق لگاریتم ها

دو لگاریتم را با همان پایگاه ها در نظر بگیرید: logax و logay. سپس آنها را می توان بسته بندی کرد و کسر کرد، و:

logax + logay \u003d loga (x · y)؛
logax - logay \u003d loga (x: y).

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید: log6 4 + log6 9.

از آنجا که پایگاه های لگاریتم یکسان هستند، ما از مجموع مبلغ استفاده می کنیم:
log6 4 + log6 9 \u003d log6 (4 · 9) \u003d log6 36 \u003d 2.

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید: log2 48 - log2 3.

پایه ها یکسان هستند، با استفاده از فرمول تفاوت:
log2 48 - log2 3 \u003d log2 (48: 3) \u003d log2 16 \u003d 4.

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید: log3 135 - log3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین ما داریم:
log3 135 - log3 5 \u003d log3 (135: 5) \u003d log3 27 \u003d 3.

مدرک اجرایی از لگاریتم

در حال حاضر کمی پیچیده کار. اگر در پایه یا استدلال لگاریتم هزینه یک درجه باشد، چه؟ سپس شاخص این میزان را می توان از علامت لگاریتم خارج کرد با توجه به قوانین زیر:

نحوه حل لگاریتم

این اغلب مورد نیاز است.

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید: log7 496.

از میزان بحث در فرمول اول خلاص شوید:
log7 496 \u003d 6 · log7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که در مخزن یک لگاریتم وجود دارد، پایه و استدلال که درجه دقیق است: 16 \u003d 24؛ 49 \u003d 72. ما داریم:

من فکر می کنم آخرین مثال نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا ناپدید شدند؟ تا آخرین لحظه، ما فقط با نامگذاری کار می کنیم. آنها مبنای و استدلال یک لگاریتم را به صورت درجه ارائه دادند و شاخص های انجام شده را انجام دادند - یک قطعه "سه طبقه" دریافت کردند.

انتقال به یک پایگاه جدید

فرمول های انتقال به یک پایگاه جدید به نجات می آیند. ما آنها را در قالب قضیه فرمول می کنیم:

LOCAX LOMAX را بگذارید سپس برای هر تعداد C به طوری که C\u003e 0 و C ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر شما c \u003d x را قرار دهید، ما دریافت می کنیم:

با این حال، وظایفی وجود دارد که به طور کلی به عنوان یک انتقال به یک پایگاه جدید حل نمی شود. چند را در نظر بگیرید:

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید: log5 16 · log2 25.

و در حال حاضر "معکوس" لگاریتم دوم:

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید: log9 100 · lg 3.

اساس و استدلال اول لگاریتم - درجه دقیق. ما آن را بنویسیم و از شاخص ها خلاص شویم:

در حال حاضر از لگاریتم اعشاری خلاص شوید، با تبدیل شدن به پایه جدید:

هویت لگاریتمی پایه

فرمول دوم در واقع یک تعریف ترجمه است. این نامیده می شود :.

مانند فرمول های انتقال به یک پایگاه جدید، هویت اصلی لگاریتمی گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید:

اگر کسی آگاه نیست، این یک وظیفه واقعی از ege 🙂 بود

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

logaa \u003d 1 است به یاد داشته باشید زمان و همیشه: لگاریتم بر روی هر پایه a از پایه بسیار برابر با یکی است.
lOGA 1 \u003d 0 است. پایه a ممکن است هر گونه حس، اما اگر استدلال یک واحد است - لگاریتم صفر است! از آنجا که A0 \u003d 1 یک نتیجه مستقیم از تعریف است.

امروز ما صحبت خواهیم کرد فرمول های Logurovmov و نشانگر نمونه هایی از راه حل ها.

با توجه به خواص اصلی لگاریتم، الگوهای تصمیم گیری را به عهده می گیرند. برای اولین بار لگاریتم ها را برای راه حل ها برای یادآوری به شما اعمال کنید، اول همه خواص:

حالا بر اساس این فرمول ها (خواص)، ما نشان خواهیم داد نمونه هایی از راه حل های لگاریتم.

نمونه هایی از لگاریتم ها بر اساس فرمول ها.

لگاریتم تعداد مثبت B مبتنی بر a (نشان داده شده توسط log a b) شاخصی از درجه ای است که باید برای بدست آوردن B، با B\u003e 0، A\u003e 0 و 1 انجام شود.

با توجه به تعریف log a b \u003d x، که معادل x \u003d b است، بنابراین یک x \u003d x را وارد کنید.

لگاریتمیمثال ها:

ورود 2 8 \u003d 3، زیرا 2 3 \u003d 8

ورود 7 49 \u003d 2، زیرا 7 2 \u003d 49

ورود 5 1/5 \u003d -1، زیرا 5 -1 \u003d 1/5

لگاریتم دهدهی - این یک لگاریتم معمولی است، در پایه ای که 10. به عنوان ال جی نشان داده شده است.

ورود 10 100 \u003d 2، زیرا 10 2 \u003d 100

لگاریتم طبیعی - همچنین لگاریتم لگاریتم معمولی، اما در حال حاضر با اساس E (E \u003d 2،71828 ... - یک عدد غیر منطقی). به عنوان LN نشان می دهد.

فرمول یا خواص لگاریتم مطلوب است که به یاد داشته باشید، زیرا آنها در آینده در هنگام حل لگاریتم ها، معادلات لگاریتمی و نابرابری ها نیاز دارند. اجازه دهید ما دوباره هر فرمول را در نمونه ها کار کنیم.

هویت لگاریتمی پایه
یک log a b \u003d b
8 2LOG 8 3 \u003d (8 2LOG 8 3) 2 \u003d 3 2 \u003d 9
لگاریتم کار می کند برابر با مجموع لگاریتم ها
log a (bc) \u003d log a b + log a c
log 3 8.1 + log 3 10 \u003d log 3 (8.1 * 10) \u003d log 3 81 \u003d 4
لگاریتم خصوصی برابر با تفاوت لگاریتم ها
log a (b / c) \u003d log a b - log a c
9 ورود به سیستم 5 50/9 log 5 2 \u003d 9 log 5 50- log 5 2 \u003d 9 log 5 25 \u003d 9 2 \u003d 81
خواص میزان لگاریتمی و پایه لگاریتم
نشانگر شماره لگاریتماتیک ورود به سیستم B m \u003d mlog a b

شاخص پایه لگاریتم ورود به سیستم n b \u003d 1 / n * log a b

ورود به سیستم n b m \u003d m / n * log a b،

اگر m \u003d n، ما دریافت n b n \u003d log a b

log 4 9 \u003d log 2 2 3 2 \u003d log 2 3
انتقال به یک پایگاه جدید
log a b \u003d log c b / log c a،
اگر C \u003d B، ما LOG B B \u003d 1 را دریافت می کنیم

سپس یک b \u003d 1 / log b a را وارد کنید

log 0.8 3 * log 3 1،25 \u003d log 0.8 3 * log 0.8 1،25 / log 0.8 3 \u003d log 0.8 1،25 \u003d log 4/5 5/4 \u003d -1

همانطور که می بینید، لگاریتم ها به نظر می رسد پیچیده نیستند. در حال حاضر بررسی نمونه هایی از راه حل لگاریتم ها می توانیم به معادلات لگاریتمی حرکت کنیم. نمونه هایی از حل معادلات لگاریتمی ما جزئیات بیشتری را در مقاله در نظر می گیریم: "". از دست نده!

اگر در مورد این تصمیم سوالی دارید، آنها را در نظرات مقاله بنویسید.

توجه: ما تصمیم گرفتیم که تشکیل یک کلاس دیگر را به عنوان یک گزینه برای توسعه رویدادها انتخاب کنیم.

این ویدیو من یک سری طولانی از درس های مربوط به معادلات لگاریتمی را آغاز می کنم. در حال حاضر سه نمونه در مقابل شما وجود دارد، بر اساس آن ما یاد می گیریم برای حل ساده ترین وظایف که به اصطلاح - ساده ترین.

ورود 0.5 (3x - 1) \u003d -3

lG (X + 3) \u003d 3 + 2 LG 5

اجازه دهید به شما یادآوری کنم که ساده ترین معادله لگاریتمی زیر است:

یک F (x) \u003d b را وارد کنید

مهم است که متغیر X تنها در داخل استدلال حضور داشته باشد، I.E. فقط در تابع f (x). عدد A و B دقیقا عدد هستند و در هیچ موردی توابع حاوی متغیر x نیستند.

روش های اساسی راه حل

راه های بسیاری برای حل این ساختارها وجود دارد. به عنوان مثال، اکثر معلمان در مدرسه چنین راهی را ارائه می دهند: بلافاصله تابع f (x) را با فرمول بیان کنید f ( x) \u003d. ب به این ترتیب، هنگامی که شما ساده ترین طراحی را برآورده می کنید، بلافاصله بدون اقدامات اضافی و ساختمان ها می توانید به راه حل بروید.

بله، قطعا، راه حل درست خواهد بود. با این حال، مشکل این فرمول این است که اکثر دانش آموزان نمی فهممجایی که از آن می آید و چرا نامه و ما در نامه B ساخته می شویم.

در نتیجه، من اغلب خطاهای بسیار توهین آمیز را مشاهده می کنم، به عنوان مثال، این نامه ها در مکان ها تغییر می کنند. این فرمول باید قابل درک یا ابزار باشد و روش دوم منجر به اشتباهات در لحظات نامناسب ترین و مسئولانه ترین لحظات: در امتحانات، کنترل و غیره

به همین دلیل است که تمام دانش آموزانش، من پیشنهاد می کنم فرمول مدرسه استاندارد را رها کنم و برای حل معادلات لگاریتمی یک رویکرد دوم را حل کنم، که احتمالا از نام شما حدس می زنید، نامیده می شود شکل کانونیک.

ایده فرم کانونی ساده است. بیایید دوباره به کار ما نگاه کنیم: در سمت چپ ما یک را وارد کرده ایم، در حالی که زیر حرف A دقیقا عدد است، و در هیچ موردی این تابع نیست که شامل متغیر x نیست. در نتیجه، تمام محدودیت ها به این نامه اعمال می شود که بر اساس لگاریتم قرار می گیرند. برای مثال:

1 ≠ a\u003e 0

از سوی دیگر، از همان معادله، ما می بینیم که لگاریتم باید برابر با تعداد B باشد، و در اینجا هیچ محدودیتی در این نامه اعمال نمی کند، زیرا می تواند هر گونه ارزش - هر دو مثبت و منفی باشد. این همه بستگی به ارزش های F (X) دارد.

و در اینجا ما قاعده قابل توجهی را به یاد می آوریم که هر عدد B را می توان در قالب یک لگاریتم بر روی پایه a به درجه B نشان داد:

b \u003d log a b

چگونه این فرمول را به یاد داشته باشید؟ بله، بسیار ساده است. بیایید طراحی زیر را بنویسیم:

b \u003d b · 1 \u003d b · ورود A

البته، در حالی که تمام محدودیت هایی وجود دارد که ما در ابتدا ثبت کردیم. و اکنون اجازه دهید از اموال اساسی لگاریتم استفاده کنیم و B را به عنوان یک درجه A افزایش دهیم. ما گرفتیم:

b \u003d b · 1 \u003d b · ورود a \u003d log a a b

در نتیجه، معادله اولیه در فرم زیر بازنویسی خواهد شد:

l را وارد کنید F (x) \u003d log a b → f (x) \u003d a b

این همه است تابع جدید دیگر شامل لگاریتم نیست و با تکنیک های استاندارد جبری حل می شود.

البته، کسی در حال حاضر اعتراض کرد: چرا این همه فرمول کانونی را اختراع کرد، چرا دو مرحله اضافی غیر ضروری را انجام دادید، اگر بتوانید بلافاصله از طراحی اصلی به فرمول نهایی حرکت کنید؟ بله، حداقل پس از آن، اکثریت دانش آموزان درک نمی کنند که این فرمول از آن می آید و به عنوان یک نتیجه، به طور منظم اشتباهات را در صورت استفاده قرار می دهد.

اما این دنباله ای از اقدامات متشکل از سه مرحله به شما امکان می دهد که معادله لگاریتمی اولیه را حل کنید، حتی اگر شما نمی فهمید که در آن فرمول بسیار نهایی گرفته شده است. به هر حال، فرمول کانونی این رکورد نامیده می شود:

l را وارد کنید F (x) \u003d log a a b

راحتی فرم کانونی نیز شامل این واقعیت است که می توان آن را برای حل یک طبقه بسیار گسترده از معادلات لگاریتمی، و نه تنها ساده ترین ما امروز در نظر بگیریم.

نمونه هایی از راه حل ها

حالا بگذارید نمونه های واقعی را در نظر بگیریم. بنابراین، ما تصمیم می گیریم:

ورود 0.5 (3x - 1) \u003d -3

بیایید آن را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

ورود 0.5 (3x - 1) \u003d log 0.5 0.5 -3

بسیاری از دانش آموزان عجله دارند و سعی می کنند بلافاصله تعداد 0.5 را به درجه ای که از کار اولیه به ما رسید، بسازند. و در واقع، زمانی که شما در حال حاضر به خوبی آموزش داده شده در حل چنین وظایف، شما می توانید بلافاصله انجام این مرحله.

با این حال، اگر در حال حاضر شما فقط شروع به مطالعه این موضوع، بهتر است که عجله در هر نقطه به منظور جلوگیری از اشتباهات تهاجمی. بنابراین، ما یک فرم کانونی داریم. ما داریم:

3x - 1 \u003d 0.5 -3

این دیگر معادله لگاریتمی نیست، بلکه یک خطی نسبت به متغیر x است. برای حل آن، ابتدا به تعداد 0.5 V درجه -3 نگاه کنید. توجه داشته باشید که 0.5 برابر 1/2 است.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

تمام کسرهای دهدهی زمانی که معادله لگاریتمی را حل می کنند، به عادی تبدیل می شوند.

بازنویسی و دریافت کنید:

3x - 1 \u003d 8
3x \u003d 9.
x \u003d 3

همه ما پاسخ را دریافت کردیم. اولین وظیفه حل شده است.

وظیفه دوم

به کار دوم بروید:

همانطور که می بینیم، این معادله دیگر ساده نیست. در حال حاضر حداقل به این دلیل که در سمت چپ تفاوت وجود دارد، و نه یک لگاریتم واحد برای یک پایه.

در نتیجه، لازم است به نحوی از این تفاوت خلاص شود. در این مورد، همه چیز بسیار ساده است. بیایید به طور دقیق بر روی زمین نگاه کنیم: سمت چپ شماره زیر ریشه است:

توصیه کلی: در تمام معادلات لگاریتمی، سعی کنید از رادیکال ها خلاص شوید، یعنی از سوابق با ریشه ها و حرکت به توابع قدرت، به این دلیل که شاخص های این درجه ها به راحتی برای علامت لگاریتم و در حساب نهایی انجام می شود یک رکورد به طور قابل توجهی ساده می شود و محاسبات را افزایش می دهد. اینجا اجازه دهید نوشتن و نوشتن:

حالا اموال قابل توجه لگاریتم را به یاد داشته باشید: از استدلال، و همچنین از پایه، شما می توانید درجه را تحمل کنید. در مورد پایگاه ها، موارد زیر اتفاق می افتد:

log a k b \u003d 1 / k loga b

به عبارت دیگر، تعداد که در درجه پایه ایستاده بود، به جلو منتقل می شود و در عین حال به نظر می رسد، به عنوان مثال، به تعداد دیگری تبدیل می شود. در مورد ما، درجه ای از بنیاد با شاخص 1/2 وجود داشت. در نتیجه، ما می توانیم آن را به عنوان 2/1. ما گرفتیم:

5 · 2 ورود 5 x - log 5 \u003d 18
10 log 5 x - log 5 x \u003d 18

لطفا توجه داشته باشید: در هیچ موردی آیا می توانید از لگاریتم ها در این مرحله خلاص شوید. به یاد داشته باشید ریاضیات 4-5 کلاس و روش: اول، ضرب انجام می شود، اما تنها پس از آن اضافه کردن و تفریق. در این مورد، ما یکی از عناصر مشابه را تفریق می کنیم:

9 ورود به سیستم 5 x \u003d 18
ورود 5 x \u003d 2

در حال حاضر معادله ما به نظر می رسد. این ساده ترین طراحی است و ما آن را با کمک یک فرم کانونی حل می کنیم:

log 5 x \u003d log 5 5 2
x \u003d 5 2
x \u003d 25

این همه است وظیفه دوم حل شده است.

مثال سوم

به کار سوم بروید:

lG (X + 3) \u003d 3 + 2 LG 5

اجازه بدهید به شما فرمول زیر را یادآوری کنم:

lg b \u003d log 10 b

اگر به دلایلی شما توسط ضبط LG B گیج شده اید، پس هنگام انجام تمام محاسبات، فقط می توانید وارد شوید 10 B. با لگاریتم دهدهی، شما می توانید به همان شیوه ای که با دیگران کار می کنید کار کنید: برای ایجاد درجه، برابر و هر عدد را به صورت LG 10 نشان دهید.

این کار با این خواص است، ما اکنون برای حل مشکل استفاده خواهیم کرد، زیرا این ساده ترین نیست که ما در ابتدای درس ما ثبت نام کردیم.

برای شروع، ما یادآوری می کنیم که Multiplier 2 با LG 5 می تواند ساخته شود و درجه پایه ای شود. علاوه بر این، اصطلاح آزاد 3 نیز به صورت لگاریتم نشان می دهد - بسیار آسان است که از رکورد ما مشاهده شود.

برای خودتان قضاوت کنید: هر عدد را می توان در قالب ثبت نام بر اساس 10 نشان داد:

3 \u003d ورود 10 10 3 \u003d LG 10 3

ما وظیفه منبع را بازنویسی می کنیم، با توجه به تغییرات دریافت شده:

lG (x - 3) \u003d LG 1000 + LG 25
lG (x - 3) \u003d LG 1000 · 25
lG (x - 3) \u003d LG 25 000

ما دوباره یک فرم کانونی هستیم، و ما آن را، دور زدن مرحله تحولات، به عنوان مثال، ساده ترین معادله لگاریتمی در هر نقطه صورت نگرفت.

این چیزی بود که من در ابتدای درس گفتم. فرم کانونیک اجازه می دهد تا شما را به حل یک کلاس گسترده تر از وظایف از فرمول مدرسه استاندارد که اکثر معلمان مدرسه می دهد.

خوب، همه، از نشانه ای از لگاریتم اعشاری خلاص شوید، و ما یک طرح خطی ساده را دریافت می کنیم:

x + 3 \u003d 25 000
x \u003d 24 997

همه چيز! وظیفه حل شده است

توجه داشته باشید در منطقه تعریف

در اینجا من می خواهم یک سخن مهم در مورد منطقه تعریف را بیان کنم. مطمئنا در حال حاضر دانش آموزان و معلمان وجود دارد که می گویند: "هنگامی که ما عبارات را با لگاریتم ها حل می کنیم، لازم است به یاد داشته باشید که استدلال F (X) باید بیشتر از صفر باشد!" در این راستا، یک سوال منطقی وجود دارد: چرا ما در یکی از وظایف مورد نظر نیازی نداریم که این نابرابری انجام شود؟

نگران نباش. هیچ ریشه اضافی در این موارد بوجود نخواهد آمد. و این یک ترفند شگفت انگیز است که به شما امکان می دهد تصمیم بگیرید که تصمیم بگیرید. فقط می دانم که اگر متغیر وظیفه X تنها در یک مکان (یا نه - در یک استدلال واحد از یک لگاریتم واحد یافت می شود)، و هیچ جایی در مورد ما هیچ متغیر وجود ندارد، سپس منطقه تعریف را بنویسید لازم نیستاز آنجا که آن را به صورت خودکار انجام می شود.

برای خودتان قضاوت کنید: در معادله اول، ما دریافت کردیم که 3x - 1، یعنی استدلال باید برابر با 8 باشد. این به طور خودکار به این معنی است که 3 - 1 بیشتر از صفر خواهد بود.

با موفقیت همان، ما می توانیم بنویسیم که در مورد دوم x باید 5 2 باشد، یعنی او به وضوح صفر است. و در مورد سوم، که در آن X + 3 \u003d 25،000، I.E.، دوباره، بیش از صفر بیشتر. به عبارت دیگر، منطقه تعریف به صورت خودکار انجام می شود، اما تنها تحت شرایطی است که X تنها در استدلال تنها یک لگاریتم یافت می شود.

این همه چیزهایی است که باید بدانید برای حل ساده ترین وظایف. در حال حاضر یکی از این قانون، همراه با قوانین تبدیل، به شما این امکان را می دهد که یک کلاس بسیار گسترده ای از وظایف را حل کنید.

اما بگذارید صادق باشیم: به منظور مقابله با این تکنیک برای یادگیری نحوه استفاده از فرم کانونیکول معادله لگاریتمی، به اندازه کافی برای دیدن یک آموزش ویدئویی کافی نیست. بنابراین، در حال حاضر گزینه های دانلود برای یک راه حل مستقل که به این زبان ویدئویی متصل شده و شروع به حل حداقل یکی از این دو کار مستقل.

شما چند دقیقه به معنای واقعی کلمه خود را ترک خواهید کرد. اما تأثیر این آموزش ها در مقایسه با زمانیکه شما به سادگی این آموزش ویدئویی را مشاهده خواهید کرد، بسیار بالاتر خواهد بود.

امیدوارم این درس به شما کمک کند با معادلات لگاریتمی مقابله کنید. از فرم کانونی استفاده کنید، عبارات ساده را با استفاده از قوانین کار با لگاریتم ها ساده کنید و هیچ وظیفه ای وحشتناک نخواهد بود. و من امروز همه چیز را دارم

حسابداری از منطقه تعریف

در حال حاضر بیایید در مورد زمینه تعیین عملکرد لگاریتمی صحبت کنیم، و همچنین نحوه تاثیر آن بر راه حل معادلات لگاریتمی. طراحی نمای را در نظر بگیرید

یک F (x) \u003d b را وارد کنید

این عبارت ساده ترین نامیده می شود - در آن تنها یک تابع نامیده می شود، و شماره A و B دقیقا عدد هستند و در هیچ موردی هیچ تابع بسته به متغیر x نیست. این بسیار ساده است. فقط از فرمول استفاده کنید:

b \u003d log a b

این فرمول یکی از ویژگی های کلیدی لگاریتم است و هنگام جایگزینی در بیان اولیه ما، ما موارد زیر را دریافت خواهیم کرد:

l را وارد کنید F (x) \u003d log a a b

f (x) \u003d a b

این در حال حاضر فرمول آشنا از کتاب های درسی مدرسه است. بسیاری از دانش آموزان قطعا یک سوال خواهند داشت: از آنجایی که در بیان اولیه، تابع f (x) تحت علامت ورود به سیستم قرار دارد، محدودیت های زیر بر روی آن قرار می گیرند:

f (x)\u003e 0

این محدودیت عمل می کند زیرا لگاریتم از اعداد منفی وجود ندارد. بنابراین، شاید، به عنوان یک نتیجه، محدودیت ها باید بر پاسخ ها اعمال شود؟ شاید آنها باید به منبع جایگزین شوند؟

نه، در ساده ترین معادلات لگاریتمی، چک اضافی اضافی. و به همین دلیل. نگاهی به فرمول نهایی ما:

f (x) \u003d a b

واقعیت این است که تعداد A در هر مورد بیش از 0 است - این الزام نیز توسط لگاریتم قرار می گیرد. شماره a اساس است. در عین حال، تعداد B هیچ محدودیتی وجود ندارد. اما مهم نیست، زیرا در آن درجه ای که ما یک عدد مثبت را احیا کردیم، هنوز یک عدد مثبت را در خروج دریافت می کنیم. بنابراین، نیاز F (x)\u003e 0 به صورت خودکار انجام می شود.

آنچه واقعا ارزش بررسی دارد، منطقه تعریف یک تابع تحت نشانه ورود است. ممکن است طرح های بسیار دشوار وجود داشته باشد، و در روند حل آن ضروری است که آنها را دنبال کنند. اجازه بدید ببینم.

اولین وظیفه:

گام اول: ما کسری را در سمت راست تغییر می دهیم. ما گرفتیم:

ما از نشانه لگاریتم خلاص می شویم و معادله غیر منطقی معمول را دریافت می کنیم:

از ریشه های حاصل ما تنها با اولین بار راضی هستیم، زیرا ریشه دوم کمتر از صفر است. تنها پاسخ شماره 9 خواهد بود. همه، وظیفه حل شده است. هیچ چک اضافی که بیان زیر علامت لگاریتم بیشتر از 0 است، مورد نیاز نیست، زیرا این فقط بیشتر از 0 نیست، اما با شرایط معادله آن برابر 2. در نتیجه، الزام "بیشتر از صفر" است انجام شده به صورت خودکار

به کار دوم بروید:

در اینجا همه چیز یکسان است. طراحی را با جایگزینی سه نفر بازنویسی کنید:

از نشانه های لگاریتم خلاص شوید و یک معادله غیر منطقی دریافت کنید:

ما هر دو بخش را به یک مربع با توجه به محدودیت ها ساختیم و دریافت کنیم:

4 - 6x - x 2 \u003d (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 \u003d x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 -4 + 6x + x 2 \u003d 0

2x 2 + 14x + 12 \u003d 0 |: 2

x 2 + 7x + 6 \u003d 0

ما معادله به دست آمده را از طریق تبعیض حل می کنیم:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 \u003d -1

x 2 \u003d -6

اما x \u003d -6 به ما مناسب نیست، زیرا اگر این شماره را در نابرابری ما جایگزین کنیم، ما دریافت خواهیم کرد:

−6 + 4 = −2 < 0

در مورد ما، لازم است که بیش از 0 یا در یک خرج کردن برابر باشد. اما x \u003d -1 برای ما مناسب است:

−1 + 4 = 3 > 0

تنها پاسخ در مورد ما x \u003d -1 خواهد بود. این همه تصمیم است. بیایید به همان ابتدای محاسبات ما بازگردیم.

نتیجه گیری اصلی این درس: بررسی محدودیت های یک تابع در ساده ترین معادلات لگاریتمی مورد نیاز نیست. از آنجا که در روند حل، تمام محدودیت ها به صورت خودکار انجام می شود.

با این حال، این بدان معنا نیست که شما می توانید در مورد چک کردن فراموش کنید. در فرایند کار بر روی معادله لگاریتمی، ممکن است به حالت غیر منطقی برود، که در آن محدودیت ها و الزامات آن برای بخش درست وجود دارد که در آن ما به دو نمونه مختلف فرستاده شده ایم.

به طرز وحشیانه ای چنین وظایفی را حل می کند و اگر ریشه در این استدلال باشد، به ویژه توجه شود.

معادلات لگاریتمی با پایگاه های مختلف

ما همچنان به مطالعه معادلات لگاریتمی ادامه می دهیم و ما دو تکنیک نسبتا جالب را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد، با کمک آن، برای حل ساختارهای پیچیده تر، مد روز است. اما اول، بگذارید به یاد داشته باشیم که چگونه وظایف ساده حل می شود:

یک F (x) \u003d b را وارد کنید

در این رکورد، A و B دقیقا اعداد هستند و در تابع f (x) متغیر x باید حضور داشته باشند، و تنها وجود دارد، I.E. X باید تنها در استدلال باشد. ما چنین معادلات لگاریتمی را با استفاده از یک فرم کانونی تبدیل خواهیم کرد. برای انجام این کار، ما توجه داریم

b \u003d log a b

و A B استدلال است. بیایید این عبارت را بازنویسی کنیم:

l را وارد کنید F (x) \u003d log a a b

ما فقط این کار را انجام می دهیم و به سمت چپ می رویم و در سمت راست، یک لگاریتم بر اساس یک لگاریتم وجود داشت. در این مورد، ما می توانیم، به صورت تصویری صحبت کنیم، از نشانه های ورود به سیستم عبور کنیم، و از دیدگاه ریاضیات می توانیم بگوییم که ما به سادگی استدلال ها را معادل می کنیم:

f (x) \u003d a b

در نتیجه، ما یک عبارت جدید دریافت خواهیم کرد که بسیار ساده تر خواهد شد. بیایید این قانون را به وظایف امروز ما اعمال کنیم.

بنابراین، اولین طراحی:

اول از همه، متوجه شدم که سمت راست یک کسری است، در نامزدی که ورود به سیستم است. هنگامی که این بیان را می بینید، برای یادآوری ویژگی قابل توجهی از لگاریتم ها ضروری نخواهد بود

انتقال به روسی، این به این معنی است که هر لگاریتم را می توان به عنوان یک دو لگاریتم خصوصی با هر پایه ای نشان داد. البته، 0< с ≠ 1.

بنابراین: این فرمول یک مورد فوق العاده است زمانی که متغیر C برابر با متغیر است ب در این مورد، ما طراحی فرم را دریافت خواهیم کرد:

این یک طراحی است که ما از علامت به سمت راست در معادله ما مشاهده می کنیم. بیایید جایگزین این طراحی در log a b، ما دریافت می کنیم:

به عبارت دیگر، در مقایسه با کار اولیه، ما این استدلال و پایه لگاریتم را تغییر دادیم. در عوض، ما مجبور بودیم کسری را تبدیل کنیم.

ما به یاد می آوریم که هر درجه را می توان از زمین بر اساس قانون زیر انجام داد:

به عبارت دیگر، ضریب K، که درجه پایه است، به عنوان یک کسر معکوس انجام می شود. بیایید آن را به عنوان یک کسر معکوس به ارمغان بیاورد:

ضریب کسری نمی تواند در جلو باشد، زیرا در این مورد ما نمی توانیم این مطلب را به عنوان یک فرم کانونی ارائه دهیم (زیرا در فرم کانونی قبل از لگاریتم دوم، ضریب اضافی نیست). در نتیجه، بیایید کسری از 1/4 را به یک استدلال به صورت درجه ای انجام دهیم:

در حال حاضر ما استدلال را معادل می کنیم، پایه های آن یکسان هستند (و پایه های ما واقعا یکسان هستند) و نوشتن:

x + 5 \u003d 1

x \u003d -4.

این همه است ما پاسخ به اولین معادله لگاریتمی دریافت کردیم. لطفا توجه داشته باشید: در وظیفه منبع، متغیر X تنها در یک ورودی یافت می شود و در استدلال آن است. در نتیجه، بررسی منطقه تعریف مورد نیاز نیست، و شماره X \u003d -4 ما در واقع پاسخ است.

حالا به بیان دوم بروید:

lG 56 \u003d LG 2 ورود 2 7 - 3LG (X + 4)

در اینجا، علاوه بر لگاریتم های معمولی، ما باید با LG F (X) کار کنیم. چگونه می توان چنین معادله ای را حل کرد؟ یک دانش آموز آماده نشده ممکن است به نظر برسد که نوعی قلع است، اما در واقع همه چیز ابتدایی حل می شود.

به دقت نگاه کنید به اصطلاح LG 2 ورود 2 7. چه می توانیم در مورد آن بگوییم؟ پایه ها و استدلال های ورود به سیستم و LG هماهنگ است و باید برخی از افکار را ایجاد کند. بیایید دوباره به یاد داشته باشیم که درجه از علامت لگاریتم درجه:

ورود به سیستم b n \u003d nlog a b

به عبارت دیگر، درجه ای از تعداد B در این استدلال، تبدیل به یک ضرب به خود می شود. بیایید این فرمول را به عبارات اعطا کنیم LG 2 Log 2 7. اجازه ندهید LG 2 را ترساند - این شایع ترین بیان است. شما می توانید آن را به صورت زیر بازنویسی کنید:

تمام قوانینی که برای هر لگاریتم دیگر عمل می کنند برای او عادلانه هستند. به طور خاص، تعدادی ایستادن در مقابل می تواند به درجه استدلال ساخته شود. بیا بنویسیم:

اغلب دانش آموزان این عمل را نمی بینند، زیرا خوب نیست که وارد یک ورودی زیر علامت دیگری شوید. در واقع، هیچ چیز جنایی در آن نیست. علاوه بر این، ما یک فرمول دریافت می کنیم که به راحتی در نظر گرفته می شود اگر شما قانون مهم را به یاد داشته باشید:

این فرمول را می توان به عنوان یک تعریف در نظر گرفت، و به عنوان یکی از خواص آن. در هر صورت، اگر معادله لگاریتمی را تبدیل کنید، این فرمول شما باید دقیقا همانند نمایندگی از هر عدد به شکل ورود به سیستم را بدانید.

بازگشت به کار ما آن را بازنویسی کنید، با توجه به این واقعیت که اولین اصطلاح به سمت راست علامت برابری فقط LG خواهد بود. ما:

lG 56 \u003d LG 7 - 3LG (X + 4)

اجازه دهید LG 7 را به سمت چپ انتقال دهیم، ما دریافت می کنیم:

lG 56 - LG 7 \u003d -3LG (X + 4)

ما بیان را در سمت چپ تفریق می کنیم، زیرا آنها همان پایه هستند:

lG (56/7) \u003d -3LG (x + 4)

حالا بیایید به معادله ای که ما دریافت کردیم نگاه کنیم. این عملا یک فرم کانونی است، اما چند برابر به سمت راست وجود دارد. بیایید آن را در استدلال LG راست انجام دهیم:

lG 8 \u003d LG (X + 4) -3

ما فرم کانونی از معادله لگاریتمی را داریم، بنابراین ما به نشانه های LG حمله می کنیم و استدلال ها را معادل می کنیم:

(x + 4) -3 \u003d 8

x + 4 \u003d 0.5

این همه! ما معادله لگاریتمی دوم را حل کردیم. در عین حال، هیچ چک اضافی مورد نیاز نیست، زیرا در وظیفه اولیه تنها در یک استدلال بازدید شد.

من نکات کلیدی این درس را دوباره فهرست خواهم کرد.

فرمول اصلی که در تمام درس های این صفحه مورد مطالعه قرار گرفته است، اختصاص داده شده به محلول معادلات لگاریتمی، یک فرم کانونی است. و به شما اجازه ندهید که در اکثر کتاب های درسی مدرسه ای که به شما آموزش داده می شود برای حل این وظایف به روش های مختلف تدریس می شود. این ابزار به طور موثر کار می کند و به شما اجازه می دهد تا کلاس بسیار گسترده ای از وظایف را حل کنید، نه ساده ترین، که ما در ابتدای درس ما مطالعه کردیم.

علاوه بر این، برای حل معادلات لگاریتمی، مفید خواهد بود که خواص اساسی را بدانیم. برای مثال:

فرمول انتقال به یک پایه و یک مورد خاص زمانی که ما ورود به سیستم را روشن می کنیم (برای اولین کار بسیار مفید بود)؛
فرمول ساخت و ساخت درجه از زیر علامت لگاریتم. در اینجا، بسیاری از دانش آموزان آویزان و تأکید می کنند که ارائه و کمک خود ممکن است حاوی F (x) باشد. هیچ چیز اشتباه نیست ما می توانیم یک علامت دیگر را وارد کنیم و در عین حال به طور قابل توجهی راه حل مشکل را ساده کنیم، که ما در مورد دوم مشاهده می کنیم.

در نتیجه، من می خواهم اضافه کنم که لازم نیست که منطقه تعریف را در هر یک از این موارد بررسی کنید، زیرا در همه جا متغیر X تنها در یک علامت ورودی وجود دارد، و در عین حال در استدلال آن است. در نتیجه، تمام الزامات منطقه تعریف به صورت خودکار انجام می شود.

وظایف پایه متغیر

امروز ما به معادلات لگاریتمی نگاه خواهیم کرد که برای بسیاری از دانش آموزان به نظر غیر استاندارد به نظر می رسد و حتی هنوز حل نشده است. ما در مورد عبارات صحبت می کنیم، در پایه ای که اعداد نیست، اما متغیرها و حتی توابع. ما این ساختارها را با کمک پذیرش استاندارد ما، یعنی از طریق فرم کانونی، حل خواهیم کرد.

برای شروع، بگذارید به یاد داشته باشیم که ساده ترین وظایف حل می شود، در پایه ای که تعداد عادی وجود دارد. بنابراین، ساده ترین طراحی نوع نوع است

یک F (x) \u003d b را وارد کنید

برای حل این وظایف، می توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:

b \u003d log a b

ما بیان اولیه ما را بازنویسی می کنیم و دریافت می کنیم:

l را وارد کنید F (x) \u003d log a a b

سپس ما استدلال را معادل می کنیم، I.E. نوشتن:

f (x) \u003d a b

بنابراین، ما از نشانه ورود به سیستم خلاص می شویم و ما تصمیم گیری می کنیم. در عین حال، ریشه های به دست آمده در حل ریشه و ریشه های معادله اصلی لگاریتمی خواهد بود. علاوه بر این، ورود، زمانی که به سمت چپ، و سمت راست یک و همان لگاریتم با همان پایه است، فقط فرم کانونی نامیده می شود. این به چنین رکوردی است که ما سعی خواهیم کرد طرح های امروز را کاهش دهیم. پس بزن بریم.

اولین وظیفه:

ورود X - 2 (2x 2 - 13x + 18) \u003d 1

ما جایگزین 1 در log x - 2 (x - 2) 1. تا حدودی که ما این استدلال را مشاهده می کنیم، در واقع تعداد B است که به سمت حق علامت برابری ایستاده بود. بنابراین، ما بیان ما را بازنویسی می کنیم. ما گرفتیم:

ورود X - 2 (2x 2 - 13x + 18) \u003d ورود به سیستم X - 2 (X - 2)

ما چه می بینیم؟ ما فرم کانونی معادله لگاریتمی را داریم، بنابراین ما می توانیم با خیال راحت استدلال را معادل کنیم. ما گرفتیم:

2x 2 - 13x + 18 \u003d x - 2

اما این تصمیم به پایان نمی رسد، زیرا این معادله معادل آن نیست. پس از همه، طراحی نتیجه شامل توابع است که در کل خط عددی تعریف شده است، و لگاریتم های اولیه ما در همه جا تعریف نشده است و نه همیشه.

بنابراین، ما باید به طور جداگانه منطقه تعریف را بنویسیم. بیایید عاقلانه باشیم و تمام الزامات را برای ابتدا بنویسیم:

اول، استدلال هر یک از لگاریتم ها باید بیشتر از 0 باشد:

2x 2 - 13x + 18\u003e 0

x - 2\u003e 0

ثانیا، پایه باید نه تنها بیش از 0 باشد، بلکه متفاوت از 1:

x - 2 ≠ 1

در نتیجه، ما سیستم را دریافت می کنیم:

اما شما نمی ترسید: هنگام پردازش معادلات لگاریتمی، چنین سیستم را می توان به طور قابل توجهی ساده کرد.

برای خودتان قضاوت کنید: از یک طرف، ما نیاز به عملکرد درجه دوم را به بیشتر از صفر می کنیم، و از سوی دیگر، این عملکرد درجه دوم برابر با بیان خطی است که همچنین نیاز به آن دارد که بیشتر از صفر باشد.

در این مورد، اگر ما نیاز به x - 2\u003e 0، پس از آن نیاز به 2x 2 - 13x + 18\u003e 0 به طور خودکار انجام می شود. بنابراین، ما می توانیم با خیال راحت از نابرابری حاوی یک تابع درجه دوم عبور کنیم. بنابراین، تعداد عباراتی که در سیستم ما موجود است، به سه کاهش می یابد.

البته، با موفقیت مشابه، ما می توانیم از نابرابری خطی عبور کنیم، یعنی حذف x - 2\u003e 0 و تقاضای آن 2x 2 - 13x + 18\u003e 0. اما موافقم که بسیار سریعتر برای حل ساده ترین نابرابری خطی بسیار سریعتر است و ساده تر، درجه دوم، حتی اگر، اگر به عنوان یک نتیجه از راه حل کل سیستم، ما همان ریشه ها را دریافت خواهیم کرد.

به طور کلی، در صورت امکان، سعی کنید بهینه سازی محاسبات. و در مورد معادلات لگاریتمی، اعتصاب پیچیده ترین نابرابری ها.

بیایید سیستم ما را بازنویسی کنیم:

در اینجا یک سیستم سه اصطلاح است که دو مورد از آن ما در واقع، قبلا متوجه شده ایم. بیایید به طور جداگانه معادله مربع را کنار بگذاریم و آن را حل کنیم:

2x 2 - 14x + 20 \u003d 0

x 2 - 7x + 10 \u003d 0

ما یک مربع مشخص سه نفره داریم و بنابراین می توانیم از فرمول های Vieta استفاده کنیم. ما گرفتیم:

(x - 5) (x - 2) \u003d 0

x 1 \u003d 5

x 2 \u003d 2

و اکنون ما به سیستم ما بازگردیم و ما متوجه می شویم که x \u003d 2 ما را برای ما مناسب نیست، زیرا ما از آن نیاز داریم تا به شدت بیشتر از 2 باشد.

اما x \u003d 5 ما کاملا راضی هستیم: شماره 5 بیشتر از 2 است، و در همان زمان 5 نیست. بنابراین، تنها راه حل این سیستم X \u003d 5 خواهد بود.

همه چیز، وظیفه حل شده است، از جمله، با توجه به OTZ. به معادله دوم بروید در اینجا ما منتظر محاسبات جالب تر و معنی دار هستیم:

گام اول: به عنوان آخرین بار، ما همه این موارد را به فرم کانونی می دهیم. برای این، شماره 9 ما می توانیم به شرح زیر بنویسیم:

پایه با ریشه را نمی توان لمس کرد، اما استدلال بهتر است تبدیل شود. بیایید از ریشه به یک درجه با یک شاخص منطقی برویم. ما نوشتیم:

اجازه دهید من تمام معادله لگاریتمی بزرگ خود را بازنویسی نکنم، اما بلافاصله استدلال را به خطر می اندازد:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 \u003d x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 \u003d 0

ما به طور جدی سه نیمه کاهش یافته در مقابل ما، ما از فرمول های Vieta استفاده می کنیم و نوشتیم:

(x + 3) (x + 1) \u003d 0

x 1 \u003d -3

x 2 \u003d -1

بنابراین، ما ریشه داریم، اما هیچ کس ما را تضمین نمی کند که آنها با معادله لگاریتمی اولیه مناسب باشند. پس از همه، نشانه های ورود به سیستم محدودیت های اضافی را اعمال می کنند (در اینجا ما باید سیستم را بنویسیم، اما به دلیل انبساط کل طراحی، تصمیم گرفتم که منطقه تعریف را به طور جداگانه محاسبه کنم).

اول از همه، ما به یاد می آوریم که استدلال باید بیشتر از 0 باشد، یعنی:

این الزامات اعمال شده توسط منطقه تعریف است.

بلافاصله توجه داشته باشید که از آنجا که ما دو اصطلاح اول سیستم را به یکدیگر تقسیم می کنیم، هر کدام از آنها می توانیم حذف کنیم. اجازه دهید ما از اول عبور کنیم، زیرا به نظر می رسد تهدید بیشتری نسبت به دوم است.

علاوه بر این، ما یادآوری می کنیم که تصمیم نابرابری دوم و سوم همان خواهد بود (مکعب برخی از تعداد بیش از صفر، اگر تعداد بسیار بیشتر از صفر باشد، به طور مشابه و با ریشه درجه سوم - این نابرابری ها به طور کامل هستند مشابه، بنابراین ما می توانیم آن را از آن عبور کنیم).

اما با نابرابری سوم، عبور نخواهد کرد. از نشانه ای از ایستگاه رادیکال در سمت چپ خلاص شوید، زیرا آنها هر دو قسمت را در مکعب قرار می دهند. ما گرفتیم:

بنابراین، ما شرایط زیر را به دست می آوریم:

- 2 ≠ x\u003e -3

کدام یک از ریشه های ما: x 1 \u003d -3 یا x 2 \u003d -1 این الزامات را برآورده می کند؟ بدیهی است، فقط x \u003d -1، زیرا x \u003d -3 اولین نابرابری را برآورده نمی کند (برای نابرابری ما سخت است). مجموع بازگشت به وظیفه ما، ما یک ریشه را دریافت می کنیم: x \u003d -1. این همه، وظیفه حل شده است.

یک بار دیگر نکات کلیدی این کار:

احساس رایگان برای اعمال و حل معادلات لگاریتمی با استفاده از یک فرم کانونیک. دانش آموزانی که چنین رکوردی را انجام می دهند و به طور مستقیم از مشکل اولیه به طراحی طراحی ورودی F (x) \u003d B منتقل نمی شوند، اجازه می دهد اشتباهات بسیار کمتر از آنهایی که در عجله هستند، عبور از مراحل متوسط \u200b\u200bمحاسبات؛
به محض اینکه یک پایه متناوب در لگاریتم ظاهر شود، وظیفه متوقف می شود ساده ترین. در نتیجه، زمانی که تصمیم گرفته شود، لازم است که زمینه تعریف را در نظر بگیریم: استدلال ها باید بیشتر از صفر باشند، و پایه نه تنها بیش از 0 است، بلکه نباید برابر با 1 باشد.

شما می توانید آخرین الزامات را برای پاسخ های نهایی به روش های مختلف وارد کنید. به عنوان مثال، شما می توانید کل سیستم حاوی تمام الزامات مربوط به منطقه تعریف را حل کنید. از سوی دیگر، ابتدا می توانید این کار را حل کنید، و سپس در مورد منطقه تعریف به یاد می آورید، به طور جداگانه آن را به شکل سیستم کار می کند و بر روی ریشه های دریافت شده اعمال می شود.

راه انتخاب یک معادله لگاریتمی خاص، تنها شما را حل می کند. در هر صورت، پاسخ به همین ترتیب تبدیل خواهد شد.

برابری ذکر شده در عبارات تبدیل با لگاریتم ها هر دو به سمت راست سمت چپ و چپ به راست استفاده می شود.

لازم به ذکر است که برای حفظ اثرات خواص، اختیاری است: هنگام انجام تحولات، ممکن است با خواص اصلی لگاریتم ها و سایر حقایق (به عنوان مثال، در آن با B≥0)، که مربوط به آن است، انجام شود پیامدهای جریان "اثر جانبی" این رویکرد تنها مشخص است که تصمیم کمی طولانی تر خواهد بود. به عنوان مثال، بدون تحقیق، که توسط فرمول بیان شده است، انجام شود و فقط از ویژگی های اصلی لگاریتم ها، شما باید یک زنجیره ای از تحولات نوع زیر را انجام دهید: .

همان را می توان در مورد آخرین اموال از لیست بالا، که مربوط به فرمول است از آنجایی که از خواص اصلی لگاریتم ها نیز دنبال می شود. مهمترین چیز این است که درک کنید که همیشه امکان یک عدد مثبت با لگاریتم در شاخص وجود دارد تا مبنای درجه و شماره را تحت علامت لگاریتم تغییر دهید. به خاطر عدالت، ما یادآوری می کنیم که نمونه هایی که به این معنی است که اجرای تحولات چنین نوعی در عمل نادر است. ما چند نمونه زیر متن را ارائه می دهیم.

تبدیل عبارات عددی با لگاریتم

خواص لگاریتم به یاد میآید، اکنون وقت آن رسیده است تا یاد بگیرند که آنها را در عمل برای تبدیل عبارات اعمال کنند. به طور طبیعی شروع به تحول عبارات عددی، و نه عبارات با متغیرها، به عنوان آنها راحت تر و راحت تر برای دانستن اصول اولیه. بنابراین ما انجام خواهیم داد و با نمونه های بسیار ساده شروع خواهیم کرد تا یاد بگیرند که چگونه دارایی مورد نظر لگاریتم را انتخاب کنیم، اما ما به تدریج نمونه هایی را پیچیده خواهیم کرد، تا لحظه ای که شما نیاز به استفاده از چندین ویژگی در یک ردیف دارید تا نتیجه نهایی را بدست آورید.

انتخاب خواص مورد نظر لگاریتم ها

خواص لگاریتم ها خیلی کم نیستند و واضح است که شما باید بتوانید از آنها مناسب انتخاب کنید، که در این مورد خاص منجر به نتیجه مطلوب خواهد شد. این کار معمولا دشوار است برای انجام این کار، مقایسه نوع لگاریتم تبدیل شده یا بیان با دیدگاه قسمت های چپ و راست فرمول هایی که خواص لگاریتم را بیان می کنند، مقایسه می کنند. اگر سمت چپ یا راست یکی از فرمول ها با یک لگاریتم یا بیان داده شده همخوانی داشته باشد، احتمالا این ویژگی است که باید هنگام تبدیل آن باید اعمال شود. مثالهای زیر به وضوح نشان داده شده است.

بیایید با نمونه هایی از تبدیل عبارات با استفاده از تعریف یک لگاریتم شروع کنیم که مربوط به فرمول a b \u003d b، a\u003e 0، a ≠ 1، b\u003e 0 است.

مثال.

محاسبه اگر ممکن است: الف) 5 ورود 5 4، B) 10 ال جی (1 + 2 · π)، ب) ، د) 2 ورود 2 (-7)، e).

تصمیم گیری

در مثال، تحت نامه a)، ساختار یک log a b به وضوح قابل مشاهده است، جایی که a \u003d 5، b \u003d 4. این اعداد شرایط a\u003e 0، ≠ 1، b\u003e 0 را برآورده می کنند، بنابراین شما می توانید از برابری استفاده کنید a log a b \u003d b. ما 5 log 5 4 \u003d 4 داریم.

ب) در اینجا A \u003d 10، B \u003d 1 + 2 · π، شرایط a\u003e 0، ≠ 1، b\u003e 0 ساخته شده است. در این مورد، برابری 10 ال جی (1 + 2 · π) \u003d 1 + 2 · π وجود دارد.

ج) و در این مثال ما با درجه ای از نوع A ورود به سیستم، جایی که و B \u003d LN15 است، برخورد می کنیم. بنابراین .

با وجود وابستگی به همان نوع یک log a b (در اینجا a \u003d 2، b \u003d -7)، بیان زیر حرف D) نمی تواند توسط فرمول یک log a b \u003d b تبدیل شود. دلیل این است که آن را معنی نمی کند، زیرا حاوی تعداد منفی تحت نشانه لگاریتم است. علاوه بر این، شماره b \u003d -7 شرط B\u003e 0 را برآورده نمی کند، که اجازه نمی دهد به فرمول یک log a b \u003d b، از آنجا که نیاز به اجرای شرایط a\u003e 0، a ≠ 1، b است \u003e 0 بنابراین، در مورد محاسبه مقدار 2 ورود 2 (-7) غیرممکن است. در این مورد، ضبط 2 ورود 2 (-7) \u003d -7 یک خطا خواهد بود.

به طور مشابه، در مثال زیر حرف D)، راه حل را نمی توان به ارمغان آورد از آنجا که بیان اولیه معنی ندارد.

پاسخ:

a) 5 log 5 4 \u003d 4، b) 10 ال جی (1 + 2 · π) \u003d 1 + 2 · π، c) ، D)، E) عبارات منطقی نیست.

این اغلب برای تبدیل است که در آن یک عدد مثبت به صورت درجه ای از هر نوع مثبت و متفاوت با یک لگاریتم در این شاخص ارائه می شود. این بر اساس همان تعریف لگاریتم یک log a b \u003d b، a\u003e 0، a ≠ 1، b\u003e 0 است، اما فرمول به سمت چپ راست اعمال می شود، یعنی، در فرم B \u003d a log a b. به عنوان مثال، 3 \u003d e ln3 یا 5 \u003d 5 log 5 5.

برای تبدیل عبارات به استفاده از خواص لگاریتم ها بروید.

مثال.

پیدا کردن مقدار عبارت: a) log -2 1، b) log 1 1، c) log 0 1، d) log 7 1، e) ln1، e) lg1، g) log 3،75، s) ورود به سیستم ورود 5 · π 7 1.

تصمیم گیری

در مثال های زیر حروف a)، b) و c) عبارات log -2 1، log 1 1، log 0 1، که منطقی نیست، زیرا در پایه لگاریتم نباید یک عدد منفی باشد صفر یا واحد، زیرا ما لگاریتم را فقط برای مثبت و متفاوت از واحد پایه تعیین کردیم. بنابراین، در مثال a) - c) هیچ مشکلی در پیدا کردن ارزش بیان وجود ندارد.

در تمام وظایف دیگر، واضح است که اعداد مثبت و متفاوت از واحد 7، E، 10، 3.75 و 5 · π 7 وجود دارد، و تحت نشانه های لگاریتم در همه جا واحدهای وجود دارد. و ما اموال واحد لگاریتم را می دانیم: 1 \u003d 0 را برای هر A\u003e 0، ≠ 1 وارد کنید. بنابراین، مقادیر عبارات B) - E) برابر صفر است.

پاسخ:

a)، b)، c) عبارات حساس نیست، d) log 7 1 \u003d 0، d) ln1 \u003d 0، e) lg1 \u003d 0، g) log 3،75 1 \u003d 0، h) log 5 · e 7 1 \u003d 0.

مثال.

محاسبه: a)، b) lne، c) LG10، D) ورود به سیستم 5 · π 3 -2 (5 · π 3 -2)، e) log -3 (-3)، e) log 1 1.

تصمیم گیری

واضح است که ما باید از اموال لگاریتم پایه استفاده کنیم، که مربوط به فرمول یک A \u003d 1 در a\u003e 0، ≠ 1 است. در واقع، در وظایف تحت تمام حروف، شماره تحت نشانه لگاریتم همزمان با مبنای آن است. بنابراین، من می خواهم بلافاصله بگویم که معنای هر یک از عبارات مشخص شده 1 است. با این حال، لازم نیست که با نتیجه گیری عجله کنید: در وظایف زیر حروف a) - d) مقادیر عبارات واقعا برابر با یک، و در وظایف D) و e) عبارات اولیه نیست بنابراین، بنابراین نمی توان گفت که مقادیر این عبارات 1 است.

پاسخ:

a)، b) lne \u003d 1، c) LG10 \u003d 1، D) ورود 5 · π 3 -2 (5 · π 3 -2) \u003d 1، D)، E) عبارات منطقی نیست.

مثال.

پیدا کردن مقدار: الف) ورود به سیستم 3 3 11، b) ، C)، D) log -10 (-10) 6.

تصمیم گیری

بدیهی است، تحت نشانه های لگاریتم برخی از پایه های پایه وجود دارد. بر اساس این، ما درک می کنیم که این امر برای ما در اینجا مفید است. درجه پایه: یک P \u003d P را وارد کنید، جایی که A\u003e 0، ≠ 1 و P هر عدد معتبر است. با توجه به این، ما نتایج زیر را داریم: الف) ورود به سیستم 3 3 11 \u003d 11، B) ، که در) . آیا ممکن است برابری مشابهی را برای مثال زیر حرف D) از نوع log -10 (-10) 6 \u003d 6 ثبت کنید؟ نه، غیر ممکن است، زیرا عبارت ورود به سیستم -10 (-10) 6 معنی ندارد.

پاسخ:

a) ورود به سیستم 3 3 11 \u003d 11، B) ، که در) ، د) عبارت معنی نمی کند.

مثال.

تصور کنید یک عبارت در قالب یک مبلغ یا تفاوت لگاریتم ها به همان مبنای: الف) ب)، C) LG ((- 5) · (-12)).

تصمیم گیری

الف) تحت نشانه لگاریتم کار است، و ما می دانیم که ویژگی لگاریتم کار ورود به سیستم a (x · y) \u003d log ax + log ay، a\u003e 0، a ≠ 1، x\u003e 0، y\u003e 0 در مورد ما، تعداد در پایه لگاریتم و تعداد در کار مثبت است، یعنی شرایط اموال انتخاب شده را برآورده می کند، بنابراین ما می توانیم آرامش آن را اعمال کنیم: .

ب) ما از اموال لگاریتم خصوصی استفاده می کنیم، جایی که A\u003e 0، a ≠ 1، x\u003e 0، y\u003e 0. در مورد ما، پایه لگاریتم یک عدد مثبت E، عددی و نامزدی π مثبت هستند، به این معنی که شرایط اموال رضایت بخش است، بنابراین ما حق استفاده از فرمول انتخابی را داریم: .

ج) ابتدا، ما یادآوری می کنیم که بیان LG ((- 5) · (-12)) معنی دارد. اما در عین حال، برای او، ما حق استفاده از فرمول لگاریتم از کار log a را نداریم (x · y) \u003d log ax + log ay، a\u003e 0، a ≠ 1، x\u003e 0، y\u003e 0، از آنجا که اعداد -5 و -12 - منفی است و شرایط x\u003e 0، y\u003e 0 را برآورده نمی کند. به این ترتیب، چنین تغییراتی غیرممکن است: lG ((- 5) · (-12)) \u003d LG (-5) + LG (-12). و چه باید بکنید؟ در چنین مواردی، بیان اولیه نیاز به یک تحول اولیه دارد که به شما اجازه می دهد تا از اعداد منفی دور شوید. ما در مورد چنین مواردی از تحول عبارات با اعداد منفی تحت نشانه لگاریتم به طور دقیق در یکی از نمونه های زیر صحبت خواهیم کرد که قابل فهم است و بدون توضیح: lG ((- 5) · (-12)) \u003d LG (5 · 12) \u003d LG5 + LG12.

پاسخ:

ولی) ب) ، C) LG ((- 5) · (-12)) \u003d LG5 + LG12.

مثال.

ساده بیان: الف) ورود به سیستم 3 0.25 + LOG 3 16 + LOG 3 0.5، B).

تصمیم گیری

در اینجا ما به همه خواص مشابه لگاریتم کار و لگاریتم خصوصی کمک خواهیم کرد، که ما در نمونه های قبلی استفاده کردیم، فقط اکنون ما آنها را به سمت راست به سمت چپ اعمال خواهیم کرد. به این معناست که مقدار لگاریتم ها به لگاریتم کار تبدیل می شود و تفاوت بین لگاریتم ها - در لگاریتم خصوصی است. دارند
ولی) ورود 3 0.25 + LOG 3 16 + LOG 3 0.5 \u003d LOG 3 (0.25 · 16 · 0.5) \u003d LOG 3 2.
ب) .

پاسخ:

ولی) lOG 3 0.25 + LOG 3 16 + LOG 3 0.5 \u003d LOG 3 2ب) .

مثال.

خلاص شدن از میزان زیر علامت لگاریتم: الف) ورود 0.7 5 11، B) ، ج) ورود به سیستم 3 (-5) 6.

تصمیم گیری

آسان است که ببینیم که ما با عبارات ورود به سیستم A B P برخورد می کنیم. دارایی مربوطه لگاریتم نوع ورودی A B P \u003d P · log a b، جایی که a\u003e 0، a ≠ 1، b\u003e 0، P هر عدد معتبر است. به این معنا، هنگام انجام شرایط a\u003e 0، ≠ 1، b\u003e 0 از لگاریتم درجه ورود به سیستم A B، ما می توانیم به محصول p · log a b. ما این تبدیل را با عبارات مشخص شده انجام خواهیم داد.

a) در این مورد، a \u003d 0.7، b \u003d 5 و p \u003d 11. بنابراین ورود 0.7 5 11 \u003d 11 · ورود 0.7 5.

ب) در اینجا، شرایط a\u003e 0، ≠ 1، b\u003e 0 انجام می شود. از این رو

ج) عبارت ورود 3 (-5) 6 همان ساختار را وارد می کند a b p، a \u003d 3، b \u003d -5، p \u003d 6. اما برای B، شرط B\u003e 0 راضی نیست، که باعث می شود که استفاده از log a b p \u003d p · log a b. بنابراین، این کار غیرممکن است؟ ممکن است، اما یک عبارت پیش از تبدیل مورد نیاز است، ما در مورد جزئیات زیر در نقطه نقطه صحبت خواهیم کرد. این تصمیم خواهد بود: log 3 (-5) 6 \u003d log 3 5 6 \u003d 6 · log 3 5.

پاسخ:

a) ورود 0.7 5 11 \u003d 11 · ورود 0.7 5،
ب)
ج) ورود 3 (-5) 6 \u003d 6 · log 3 5.

اغلب، فرمول لگاریتم درجه در طول تحول لازم است برای اعمال حق به سمت چپ به عنوان p · log a b \u003d log a b p (این نیاز به عملکرد همان شرایط برای a، b و p). به عنوان مثال، 3 · ln5 \u003d ln5 3 و lg2 · log 2 3 \u003d log 2 3 lg2.

مثال.

الف) محاسبه مقدار ورود به سیستم 2 5، اگر شناخته شده است که LG2≈0،3010 و LG5≈0،6990. ب) یک قطعه را در قالب یک لگاریتم بر اساس 3 قرار دهید.

تصمیم گیری

الف) فرمول انتقال به یک پایگاه جدید از لگاریتم اجازه می دهد تا این لگاریتم به شکل یک نسبت لگاریتم اعشار، که مقادیر آن به ما شناخته شده است، نشان می دهد :. این تنها برای انجام محاسبات باقی مانده است، ما داریم .

ب) در اینجا به اندازه کافی برای استفاده از انتقال به یک پایگاه جدید استفاده می شود و آن را به سمت راست سمت چپ اعمال می کند، یعنی، به شکل آن . دريافت كردن .

پاسخ:

a) ورود 2 5 ≈23223، B) .

در این مرحله، ما به اندازه کافی دقیق تبدیل به عنوان تبدیل ساده ترین عبارات با استفاده از خواص اصلی لگاریتم و تعریف لگاریتم در نظر گرفتیم. در این نمونه ها، ما مجبور بودیم نوعی مالکیت و هیچ چیز دیگری را اعمال کنیم. در حال حاضر با وجدان آرام، شما می توانید به نمونه هایی حرکت کنید، تحول آن نیاز به استفاده از چندین خواص لگاریتم و سایر تغییرات اضافی دارد. ما در پاراگراف بعدی خواهیم رفت. اما قبل از آن، به طور خلاصه، ما به طور خلاصه بر روی نمونه هایی از پیامدهای خواص اصلی لگاریتم ها تمرکز خواهیم کرد.

مثال.

الف) از ریشه زیر علامت لگاریتم خلاص شوید. ب) تبدیل کسری در لگاریتم بر پایه 5. ج) اغلب از درجه تحت نشانه لگاریتم و در پایه آن. د) محاسبه ارزش بیان . الف) بیانگر درجه را با پایه 3 جایگزین کنید.

تصمیم گیری

الف) اگر در مورد نتیجه اموال لگاریتم به یاد داشته باشید شما می توانید بلافاصله پاسخ دهید: .

ب) ما از فرمول استفاده می کنیم حق چپ ما داریم .

ج) در این مورد، نتیجه منجر به فرمول می شود . دريافت كردن .

د) و در اینجا کافی است تا نتیجه ای را که فرمول مسئول است اعمال شود . بنابراین .

الف) لگاریتم املاک به ما اجازه می دهد تا نتیجه دلخواه را به دست آوریم: .

پاسخ:

ولی) . ب) . که در) . د) . e) .

استفاده متوالی از چندین خواص

وظایف واقعی برای تحول عبارات با استفاده از خواص لگاریتم ها معمولا توسط کسانی که در پاراگراف قبلی مشغول به کار هستند، پیچیده تر هستند. در آنها، به عنوان یک قاعده، نتیجه یک گام نیست، و راه حل در حال حاضر در برنامه سازگار از یک اموال پس از دیگری، همراه با تغییرات هویت اضافی، مانند افشای براکت، به دست آوردن شرایط مشابه، کاهش کسری، و غیره . بنابراین بیایید به چنین نمونه هایی نزدیک شویم. در این زمینه هیچ مشکلی وجود ندارد، مهمترین چیز این است که به طور منظم و به طور مداوم عمل کنیم، رعایت روش انجام اقدامات.

مثال.

مقدار بیان را محاسبه کنید (ورود به سیستم 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5.

تصمیم گیری

تفاوت لگاریتم ها در براکت ها برای اموال لگاریتم خصوصی می تواند جایگزین LogiRithM Log 3 (15: 5)، و بیشتر مقدار آن را محاسبه کنید (15: 5) \u003d log 3 3 \u003d 1. و ارزش بیان 7 log 7 5 با تعریف لگاریتم برابر با 5 است. این نتایج را در بیان اصلی جایگزین می کنیم، ما دریافت می کنیم (log 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5 \u003d 1 · 5 \u003d 5.

اجازه دهید بدون توضیح یک راه حل را ارائه دهیم:
(log 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5 \u003d log 3 (15: 5) · 5 \u003d
\u003d log 3 3 · 5 \u003d 1 · 5 \u003d 5.

پاسخ:

(ورود به سیستم 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5 \u003d 5.

مثال.

ارزش بیان عددی ورود به سیستم 3 ورود 2 2 3 -1 چیست؟

تصمیم گیری

ما ابتدا لگاریتم را تغییر می دهیم که تحت علامت لگاریتم قرار دارد، با توجه به فرمول لگاریتم: log 2 2 3 \u003d 3. بنابراین، ورود به سیستم 3 ورود 2 2 3 \u003d log 3 3 و بیشتر log 3 3 \u003d 1. بنابراین ورود به سیستم 3 ورود به سیستم 2 2 3 -1 \u003d 1-1 \u003d 0.

پاسخ:

ورود به سیستم 3 ورود به سیستم 2 2 3 -1 \u003d 0.

مثال.

بیان را ساده کنید

تصمیم گیری

فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم اجازه می دهد تا رابطه لگاریتم ها به یک پایه به عنوان ورود به سیستم 3 5 نشان داده شود. در این مورد، بیان اولیه فرم را می گیرد. با تعریف لگاریتم 3 ورود به سیستم 3 5 \u003d 5، این است ، و ارزش بیان به دست آمده، به دلیل تعریف مشابه لگاریتم، دو است.

در اینجا یک نسخه کوتاه از راه حل است که معمولا داده می شود: .

پاسخ:

برای انتقال صاف به اطلاعات مورد زیر، بیایید نگاهی به عبارات 5 2 + log 5 3 و lg0.01 انجام دهیم. ساختار آنها برای هر یک از خواص لگاریتم مناسب نیست. پس چه اتفاقی می افتد، آنها نمی توانند با استفاده از خواص لگاریتم تبدیل شوند؟ ممکن است اگر شما می توانید تحولات اولیه را انجام دهید که این عبارات را به استفاده از خواص لگاریتم ها آماده می کند. بنابراین 5 2 + ورود 5 3 \u003d 5 2 · 5 log 5 3 \u003d 25 · 3 \u003d 75, و LG0.01 \u003d LG10 -2 \u003d -2. سپس ما دقیقا درک خواهیم کرد که چگونه چنین آموزش هایی از عبارات انجام می شود.

آماده سازی عبارات به استفاده از خواص لگاریتم

لگاریتم ها در ترکیب بیان تبدیل شده اغلب از قسمت های چپ و راست فرمول های مربوط به خواص لگاریتم ها متفاوت است. اما نه اغلب تبدیل این عبارات، استفاده از خواص لگاریتم ها را نشان می دهد: استفاده از آنها فقط نیاز به آماده سازی اولیه دارد. و این آماده سازی در حال انجام برخی از تغییرات مشابه یکسان است که لگاریتم های پیشرو به شکل، مناسب برای اعمال خواص است.

برای عدالت، ما یادآوری می کنیم که تقریبا هر گونه تحول عبارات می تواند به عنوان تحولات اولیه، از محرک های بنیادی از چنین شرایطی به استفاده از فرمول های مثلثاتی عمل کند. این قابل درک است، زیرا عبارات تبدیل شده ممکن است شامل هر اشیاء ریاضی باشد: براکت ها، ماژول ها، بخش ها، ریشه ها، درجه ها و غیره بنابراین، شما باید آماده باشید تا هر تبدیل مورد نیاز را انجام دهید تا بتوانید از خواص لگاریتم استفاده کنید.

بلافاصله می توانیم بگوییم که در این مرحله ما خودمان را تعیین نمی کنیم که تمام تحولات اولیه قابل تصور را طبقه بندی و جدا کنیم، که بیشتر خواص لگاریتم یا تعریف لگاریتم را اعمال می کند. در اینجا ما تنها در چهار نفر از آنها ساکن خواهیم شد، که بیشتر مشخصه و اغلب در عمل یافت می شود.

و در حال حاضر به طور دقیق در مورد هر یک از آنها، پس از آن، به عنوان بخشی از موضوع ما، تنها برای مقابله با تحول عبارات با متغیرها تحت نشانه های لگاریتم باقی می ماند.

انتخاب درجه تحت نشانه لگاریتم و در پایه آن

بیایید بلافاصله از مثال شروع کنیم. اجازه دهید ما لگاریتم باشیم بدیهی است، در این فرم، ساختار آن لازم نیست از خواص لگاریتم استفاده کند. آیا این امکان وجود دارد که این عبارت را برای ساده سازی آن تبدیل کنید و حتی ارزش آن را بهتر محاسبه کنید؟ برای پاسخ به این سوال، بیایید به دقت در شماره 81 و 1/9 در زمینه مثال ما نگاه کنیم. در اینجا آسان است که این اعداد به نمایندگی از درجه شماره 3 اجازه می دهد، در واقع، 81 \u003d 3 4 و 1/9 \u003d 3 -2. در این مورد، لگاریتم اولیه در فرم و امکان استفاده از فرمول ارائه شده است . بنابراین، .

تجزیه و تحلیل مثال جداگانه، تفکر زیر را ایجاد می کند: در صورت امکان، شما می توانید سعی کنید درجه زیر علامت لگاریتم را برجسته کنید و در بنیاد آن برای اعمال مالکیت لگاریتم یا پیامدهای آن. این تنها برای پیدا کردن نحوه تخصیص این درجه ها باقی مانده است. بیایید برخی از توصیه های این موضوع را ارائه دهیم.

گاهی اوقات واضح است که تعداد تحت نشانه لگاریتم و / یا در بنیاد آن، برخی از کل درجه به عنوان مثال بالا است. عملا به طور مداوم باید با تشخیص Twos، که به خوبی به نظر می رسید دور: 4 \u003d 2 2، 8 \u003d 2 3، 16 \u003d 2 4، 32 \u003d 2 5، 64 \u003d 2 6، 128 \u003d 2 7، 256 \u003d 2 8 ، 512 \u003d 2 9، 1024 \u003d 2 10. این را می توان در مورد درجه سه گانه گفت: 9 \u003d 3 2، 27 \u003d 3 3، 81 \u003d 3 4، 243 \u003d 3 5، ... به طور کلی، اگر آن را قبل از چشم ما صدمه دیده است جدول درجه های اعداد طبیعی در عرض دوازده همچنین کار با درجه عدد صحیح ده، صد هزار و غیره کار نمی کند

مثال.

محاسبه ارزش یا ساده سازی بیان: الف) ورود 6 216، B)، C) log 0.000001 0.001.

تصمیم گیری

الف) واضح است که 216 \u003d 6 3، بنابراین ورود 6 216 \u003d ورود 6 6 3 \u003d 3.

ب) جدول درجه های طبیعی به شما اجازه می دهد تعداد 343 و 1/243 را به صورت درجه 7 3 و 3 -4 به ترتیب ارائه دهید. بنابراین، ممکن است تغییرات زیر یک لگاریتم داده شده را دنبال کنید:

ج) به عنوان 0.000001 \u003d 10 -6 و 0.001 \u003d 10 -3، سپس log 000001 0.001 \u003d log 10 -6 10 -3 \u003d (- 3) / (- 6) \u003d 1/2.

پاسخ:

a) ورود 6 216 \u003d 3، B) ، ج) ورود 0.000001 0.001 \u003d 1/2.

در موارد پیچیده تر، برای برجسته کردن درجه اعداد، باید به آن مراجعه کنید.

مثال.

تبدیل بیان به یک نوع ساده از log 3 648 · log 2 3.

تصمیم گیری

بیایید ببینیم تجزیه تعدادی از 648 در هر عامل ساده است:

یعنی، 648 \u003d 2 3 · 3 4. به این ترتیب، log 3 648 · log 2 3 \u003d log 3 (2 3 · 3 4) · ورود 2 3.

در حال حاضر لگاریتم آثار در مقدار لگاریتم ها تبدیل می شود، که پس از آن خواص لگاریتم درجه قابل اجرا است:
ورود 3 (2 3 · 3 4) · log 2 3 \u003d (log 3 2 3 + log 3 3 4) · log 2 3 \u003d
\u003d (3 · ورود به سیستم 3 2 + 4) · LOG 2 3.

با توجه به تحقیق از اموال لگاریتم که فرمول مسئول است محصول log32 · log23 یک کار است، و شناخته شده است که یکی است. با توجه به آن، ما دریافت می کنیم 3 · log 3 2 · log 2 3 + 4 · log 2 3 \u003d 3 · 1 + 4 · log 2 3 \u003d 3 + 4 · log 2 3.

پاسخ:

ورود به سیستم 3 648 · log 2 3 \u003d 3 + 4 · log 2 3.

اغلب، عبارات تحت نشانه لگاریتم و در بنیاد آن، آثار یا نسبت ریشه ها و / یا درجه برخی از اعداد، به عنوان مثال، کار می کنند. چنین عباراتی را می توان به عنوان یک درجه نشان داد. برای این، انتقال از ریشه به درجه، و اعمال می شود. این تبدیل ها به شما اجازه می دهد تا درجه زیر علامت لگاریتم را برجسته کنید و در پایه آن، پس از آن شما خواص لگاریتم را اعمال کنید.

مثال.

محاسبه: الف) ب).

تصمیم گیری

الف) بیان در پایه لگاریتم محصول درجه با پایگاه های مشابه، با توجه به اموال مناسب درجه، ما داریم 5 2 · 5 -0،5 · 5 -1 \u003d 5 2-0.5-1 \u003d 5 0.5.

در حال حاضر ما کسر را تحت نشانه لگاریتم تغییر می دهیم: ما از ریشه به درجه تبدیل می شویم، پس از آن ما از ویژگی های درجه با همان زمینه ها استفاده خواهیم کرد: .

این باقی مانده است که نتایج حاصل از بیان اولیه را جایگزین کنید، از فرمول استفاده کنید و تحولات به پایان رسید:

ب) از 729 \u003d 3 6 و 1/9 \u003d 3 -2، سپس بیان اولیه را می توان در فرم بازنویسی کرد.

بعد، اموال ریشه را از درجه استفاده کنید، ما انتقال از ریشه به درجه را انجام می دهیم و از اموال نسبت درجه استفاده می کنیم تا لگاریتم را به درجه تبدیل کنیم: .

با توجه به آخرین نتیجه، ما داریم .

پاسخ:

ولی) ب).

واضح است که به طور کلی، برای به دست آوردن درجه تحت نشانه لگاریتم و در پایه آن، تغییرات مختلفی از عبارات مختلف ممکن است مورد نیاز باشد. ما چند نمونه را می دهیم.

مثال.

ارزش بیان چیست؟ الف) ب) .

تصمیم گیری

بنابراین، ما یادآوری می کنیم که بیان مشخص شده دارای فرم ورود به سیستم B P است، جایی که a \u003d 2، b \u003d x + 1 و p \u003d 4. عبارات عددی از این نوع ما توسط اموال لگاریتم به میزان log abp \u003d p · log ab تبدیل شده اند، بنابراین، با یک عبارت داده شده، من می خواهم انجام همان، و از log 2 (x + 1) 4 برو به 4 · log 2 (x + 1). و اکنون اجازه دهید مقدار بیان اولیه را محاسبه کنیم و بیان پس از تحول به دست آمده، به عنوان مثال، با x \u003d -2. ورود 2 (-2 + 1) 4 \u003d log 2 1 \u003d 0، و 4 · log 2 (-2 + 1) \u003d 4 · log 2 (-1) - معنی بیان نیست این باعث یک سوال طبیعی می شود: "ما اشتباه کردیم"؟

و دلیل این است که به شرح زیر است: ما شروع به تحول ورود 2 (x + 1) 4 \u003d 4 · log 2 (x + 1)، بر اساس فرمول log abp \u003d p · log ab، اما ما حق استفاده از این را داریم فرمول تنها زمانی که شرایط a\u003e 0، ≠ 1، b\u003e 0، p - هر شماره معتبر است. به عبارت دیگر، تبدیل انجام شده توسط ما انجام می شود اگر X + 1\u003e 0، که همان X\u003e -1 (برای A و P - شرایط ساخته شده است) انجام می شود. با این حال، در مورد ما، متغیر OTZ X برای عبارت اولیه شامل نه تنها از فاصله x\u003e -1، بلکه از دوره X نیز تشکیل شده است<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

نیاز به حساب کردن ...

ما همچنان به تجزیه و تحلیل ورودی ورود به سیستم 2 (X + 1) 4 عبارات انتخاب شده توسط ما ادامه خواهیم داد و اکنون می بینیم که چه اتفاقی می افتد با OTZ هنگامی که حرکت به عبارت 4 · log 2 (x + 1) اتفاق می افتد. در پاراگراف قبلی، ما حتی بیان منبع را پیدا کردیم - این یک مجموعه (-∞، -1) ∪ (-1، + ∞) است. در حال حاضر ما محدوده مقادیر مجاز متغیر X را برای بیان 4 · log 2 (x + 1) پیدا می کنیم. این توسط شرایط X + 1\u003e 0 تعیین می شود که مربوط به مجموعه (-1، + ∞) است. بدیهی است، هنگام انتقال از ورود به سیستم 2 (x + 1) 4 تا 4 · log 2 (x + 1)، منطقه مقادیر معتبر رخ می دهد. و ما موافقت کردیم که از تحولات ناشی از تنگ شدن OTZ جلوگیری کنیم، زیرا این امر می تواند منجر به پیامدهای منفی منفی شود.

لازم به ذکر است که برای خودتان مفید است که برای کنترل OTZ در هر مرحله از تحول و جلوگیری از محدود شدن آن مفید است. و اگر ناگهان، در برخی از مراحل تحول، کاهش OST وجود داشت، پس از آن به دقت به دقت نگاه کرد، و این که آیا این تحول مجاز است و اینکه آیا ما حق داریم آن را انجام دهیم.

به عنوان مثال، اجازه دهید بگوییم که در عمل، معمولا لازم است با عباراتی که متغیرهای OTZ آن هستند، به گونه ای است که هنگام انجام تحولات، از خواص لگاریتم ها بدون محدودیت در فرم که قبلا شناخته شده است، و هر دو از سمت چپ استفاده کنید راست و راست به سمت چپ شما به سرعت به آن استفاده می کنید، و شما شروع به انجام تحولات مکانیکی، بدون تفکر، و اینکه آیا آنها امکان انجام آنها را انجام می دهند. و در چنین لحظات، به عنوان تخلیه، دمپایی نمونه های پیچیده تر است که در آن استفاده غیر قابل دسترس از خواص لگاریتم ها منجر به خطا می شود. بنابراین شما باید همیشه در یک چک قرار دهید و دنبال کنید که هیچ محدودیتی از OTZ وجود ندارد.

این امر به طور جداگانه آسیب نمی رساند. تغییرات اصلی بر اساس خواص لگاریتم ها که باید با دقت انجام شود، که می تواند به کاهش OTZ منجر شود، و به عنوان یک نتیجه - به اشتباهات:

برخی از تحولات عبارات بر اساس خواص لگاریتم ها می تواند منجر به گسترش معکوس OTZ شود. به عنوان مثال، انتقال از 4 · log 2 (x + 1) برای ورود به سیستم 2 (x + 1) 4 گسترش عجیب و غریب از مجموعه (-1، + ∞) به (-∞، -1) ∪ (-1، +) ∞) چنین تحولاتی رخ می دهد اگر در داخل ODZD برای بیان اولیه باقی بماند. بنابراین تنها تبدیل ذکر شده 4 · log 2 (x + 1) \u003d log 2 (x + 1) 4 در متغیر OTZ X برای بیان اصلی 4 انجام می شود 4 · log 2 (x + 1)، یعنی با x + 1\u003e 0، که همان (-1، + ∞) است.

اکنون که ما در مورد تفاوت های ظریف مورد بحث قرار گرفتیم که باید توجه داشته باشید که در هنگام تبدیل عبارات با متغیرها با استفاده از خواص لگاریتم ها، آن را بررسی کنید تا بدانید که این تغییرات به درستی انجام می شود.

X + 2\u003e 0. آیا در مورد ما کار می کند؟ برای پاسخ به این سوال، نگاهی به متغیر OTZ x کنید. این سیستم توسط سیستم نابرابری تعیین می شود که معادل شرایط X + 2\u003e 0 است (در صورت لزوم، مقاله را ببینید حل سیستم نابرابری) بنابراین، ما می توانیم به آرامی اموال لگاریتم را اعمال کنیم.

دارند
3 · LG (X + 2) 7 -LG (X + 2) -5 · LG (X + 2) 4 \u003d
\u003d 3 · 7 · LG (x + 2) -LG (x + 2) -5 · 4 · lg (x + 2) \u003d
\u003d 21 · lg (x + 2) -LG (x + 2) -20 · lg (x + 2) \u003d
\u003d (21-1-20) · lg (x + 2) \u003d 0.

شما می توانید عمل کنید و در غیر این صورت، مزایای OTZ اجازه می دهد تا آن را انجام دهد، به عنوان مثال:

پاسخ:

3 · LG (X + 2) 7 -LG (X + 2) -5 · LG (X + 2) 4 \u003d 0.

و چه کاری باید انجام دهید، زمانی که شرایط برای خواص همراهی لگاریتم ها راضی نیست؟ ما با این نمونه ها مقابله خواهیم کرد.

فرض کنید از ما به ساده سازی بیان LG (x + 2) 4 -LG (x + 2) 2. تحول این عبارت، در مقایسه با بیان از مثال قبلی، اجازه ورود به سیستم لگاریتم را نمی دهد. چرا؟ متغیر OTZ X در این مورد ترکیبی از دو شکاف X\u003e -2 و X است<−2 . При x>-2 ما می توانیم به آرامی اموال لگاریتم را اعمال کنیم و به صورت جداگانه عمل کنیم: lG (x + 2) 4 -LG (x + 2) 2 \u003d 4 · lg (x + 2) -2 · lg (x + 2) \u003d 2 · lg (x + 2). اما OTZ شامل یک دوره دیگر X + 2 است<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к lG (- | X + 2 |) 4 -LG (- | X + 2 |) 2 و بیشتر با قدرت خواص درجه به LG | X + 2 | 4 -LG | X + 2 | 2 بیان حاصل می تواند توسط ویژگی لگاریتم تبدیل شود، از آنجا | X + 2 |\u003e 0 برای هر مقادیر متغیر. دارند lG | X + 2 | 4 -LG | X + 2 | 2 \u003d 4 · lg | x + 2 | -2 · lg | x + 2 | \u003d 2 · lg | x + 2 |. حالا شما می توانید خود را از ماژول آزاد کنید، زیرا او کار خود را انجام داد. از آنجا که ما در حال انجام تبدیل در X + 2 هستیم<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

مثال دیگری را در نظر بگیرید تا کار با ماژول ها آشنا شوند. اجازه دهید ما از بیان بیان کنیم به مجموع و تفاوت بین لگاریتم های پرش خطی X-1، X-2 و X-3 بروید. اول ما پیدا می کنیم ...

در فاصله (3، + ∞) مقادیر عبارات X-1، X-2 و X-3 مثبت هستند، بنابراین ما به آرامی خواص لگاریتم مبالغ و تفاوت ها را اعمال می کنیم:

و در فاصله (1، 2)، مقادیر بیان X-1 مثبت هستند و مقادیر عبارات X-2 و X-3 منفی هستند. بنابراین، در بازه مورد بررسی، ما X-2 و X-3 را با استفاده از ماژول به عنوان | x-2 | و - | X-3 | به ترتیب. که در آن

حالا شما می توانید خواص لگاریتم کار و خصوصی را اعمال کنید، همانطور که در فاصله (1، 2) مقادیر عبارات X-1، | X-2 | و | X-3 | - مثبت

دارند

نتایج را می توان ترکیب کرد:

به طور کلی، استدلال های مشابه به فرمول های لگاریتم بر اساس لگاریتم، روابط و درجه ها اجازه می دهد تا سه نتیجه عملا مفید را بدست آورند، که بسیار راحت استفاده می شود:

لگاریتم کارهای دو اصطلاح دلخواه X و Y از نوع ورود به سیستم a (x · y) را می توان جایگزین LogaRithms Summable A | X | + log a | y | ، a\u003e 0، a ≠ 1.
LogaRithm خصوصی Log a (x: y) را می توان با تفاوت بین logaRithms log a | x | -log a | y | ، a\u003e 0، a ≠ 1، x و y - عبارات دلخواه.
از لگاریتم برخی از عبارات B در درجه حتی درجه P از فرم A B فرم شما می توانید به عبارت P · log a | b | ، جایی که A\u003e 0، A ≠ 1، P یک عدد حقیقی است و B - یک بیان دلخواه است.

به عنوان مثال، نتایج مشابهی، در دستورالعمل هایی برای حل معادلات نشان دهنده و لگاریتمی در جمع آوری مشکلات ریاضیات برای متقاضیان به دانشگاه های تحت سردبیران M. I. Scanavi داده می شود.

مثال.

ساده سازی بیان .

تصمیم گیری

خوب است که خواص لگاریتم، مقادیر و تفاوت ها را اعمال کنید. اما آیا می توانیم آن را در اینجا انجام دهیم؟ برای پاسخ به این سوال، ما باید OTZ را بدانیم.

ما آن را تعریف می کنیم:

این واضح است که عبارات X + 4، X-2 و (X + 4) 13 بر روی مقادیر مقادیر مجاز متغیر x می توانند هر دو مقدار مثبت و منفی را انجام دهند. بنابراین، ما باید از طریق ماژول ها عمل کنیم.

خواص ماژول به شما این امکان را می دهد که به شما بازنویسی کنید، بنابراین

همچنین هیچ چیز مانع از اموال درجه لگاریتم نیست، سپس شرایط مشابه را به:

دنباله ای دیگر تحولات منجر به نتیجه مشابهی می شود:

و از آنجا که بیان X-2 می تواند هر دو مقدار مثبت و منفی را انجام دهد، پس از ارسال نرخ حتی درجه 14