لگاریتم طبیعی لگاریتم طبیعی است. خواص لگاریتم های طبیعی: نمودار، پایه، توابع، حد، فرمول ها و دامنه

تابع LN در اکسل برای محاسبه لگاریتم طبیعی یک عدد و برگرداندن عدد مربوطه طراحی شده است مقدار عددی... لگاریتم طبیعی لگاریتمی با پایه e (عدد اویلر، تقریباً 2.718) است.

تابع LOG در اکسل برای محاسبه لگاریتم یک عدد استفاده می شود و پایه لگاریتم را می توان به صراحت به عنوان آرگومان دوم این تابع مشخص کرد.

تابع LOG10 در اکسل برای محاسبه لگاریتم یک عدد با پایه 10 (لگاریتم اعشاری) طراحی شده است.

نمونه هایی از استفاده از توابع LN، LOG و LOG10 در اکسل

باستان شناسان بقایای یک حیوان باستانی را پیدا کردند. برای تعیین سن آنها تصمیم گرفته شد از روش آنالیز رادیوکربن استفاده شود. در نتیجه اندازه گیری ها، مشخص شد که محتوای ایزوتوپ رادیواکتیو C 14 17 درصد از مقداری است که معمولاً در موجودات زنده یافت می شود. اگر نیمه عمر کربن 14 5760 سال باشد، سن باقیمانده ها را محاسبه کنید.

نمای جدول منبع:

برای حل مشکل از فرمول زیر استفاده می کنیم:

این فرمول بر اساس فرمول x = t * (lgB-lgq) / lgp به دست آمد، که در آن:

• q مقدار ایزوتوپ کربن در لحظه اولیه (در لحظه مرگ حیوان) است که به صورت واحد (یا 100٪) بیان می شود.
• B مقدار ایزوتوپ در زمان تجزیه و تحلیل بقایا است.
• t نیمه عمر ایزوتوپ است.
• p یک مقدار عددی است که نشان می دهد چند برابر مقدار یک ماده (ایزوتوپ کربن) در یک بازه زمانی t تغییر می کند.

در نتیجه محاسبات بدست می آوریم:

بقایای یافت شده تقریباً 15 هزار سال قدمت دارند.



ماشین حساب سپرده با بهره مرکب در اکسل

مشتری بانک به مبلغ 50000 روبل با نرخ بهره 14.5٪ (بهره مرکب) سپرده گذاری کرد. تعیین کنید چقدر طول می کشد تا مبلغ سرمایه گذاری شده دو برابر شود؟

حقیقت جالب! برای راه حل سریعبرای این کار، می‌توانید از یک روش تجربی تخمین تقریبی زمان‌بندی (بر حسب سال) برای دو برابر کردن سرمایه‌گذاری‌های انجام‌شده با بهره مرکب استفاده کنید. به اصطلاح قانون 72 (یا 70 یا قانون 69). برای انجام این کار، باید از یک فرمول ساده استفاده کنید - عدد 72 را بر نرخ بهره تقسیم کنید: 72 / 14.5 = 4.9655 سال. عیب اصلی قانون "جادویی" شماره 72 عدم دقت است. هرچه نرخ بهره بالاتر باشد، خطا در قانون 72 بیشتر است. برای مثال، با نرخ بهره 100٪ در سال، خطا در سال ها به 0.72 می رسد (و به عنوان درصد در حال حاضر 28٪ است!).

برای محاسبه دقیق زمان دو برابر شدن سرمایه گذاری ها، از تابع LOG استفاده می کنیم. برای یک و مقدار خطای قانون 72 را با نرخ بهره 14.5٪ در سال بررسی کنید.

نمای جدول منبع:

برای محاسبه ارزش آتی یک سرمایه گذاری با نرخ بهره مشخص، می توانید از فرمول زیر استفاده کنید: S = A (100% + n%) t، که در آن:

• S مقدار مورد انتظار در پایان دوره است.
• الف - اندازه سپرده؛
• n نرخ بهره است.
• t دوره ذخیره وجوه سپرده گذاری در بانک است.

برای این مثال، این فرمول را می توان به صورت 100000 = 50000 * (100% + 14.5%) t یا 2 = (100% + 14.5%) t نوشت. سپس، برای یافتن t، می توانید معادله را به صورت t = log (114.5%) 2 یا t = log 1.1452 بازنویسی کنید.

برای یافتن مقدار t فرمول زیر را برای سود مرکب سپرده در اکسل بنویسید:

LOG (B4 / B2؛ 1 + B3)

شرح استدلال ها:

• B4 / B2 - نسبت مقادیر مورد انتظار و اولیه که نشانگر لگاریتم است.
• 1 + B3 - درصد افزایش (مبنای لگاریتم).

در نتیجه محاسبات بدست می آوریم:

این سپرده در مدت کمی بیش از 5 سال دو برابر خواهد شد. برای تعریف دقیقسال ها و ماه ها از فرمول استفاده می کنیم:

تابع OPT همه چیزهایی را که بعد از نقطه اعشار در اعداد کسری وجود دارد، کنار می گذارد، مانند تابع INT. تفاوت بین توابع OTN و INT فقط در محاسبات با اعداد کسری منفی است. علاوه بر این، OTBR آرگومان دومی دارد که در آن می توانید تعداد ارقام اعشاری را برای ترک مشخص کنید. بنابراین در این حالت می توانید به انتخاب کاربر از هر یک از این دو عملکرد استفاده کنید.

معلوم شد 5 سال و 1 ماه و 12 روز. حالا بیایید نتایج دقیق را با قانون 72 مقایسه کنیم و حاشیه خطا را مشخص کنیم. برای این مثال، فرمول به صورت زیر است:

ما باید مقدار سلول B3 را در 100 ضرب کنیم زیرا مقدار فعلی آن 0.145 است که در قالب درصد نمایش داده می شود. در نتیجه:

سپس فرمول را از سلول B6 به سلول B8 و در سلول B9 کپی کنید:

بیایید شرایط خطا را محاسبه کنیم:

سپس در سلول B10 فرمول را از سلول B6 دوباره کپی کنید. در نتیجه، تفاوت را دریافت می کنیم:

و در نهایت، بیایید تفاوت درصد را محاسبه کنیم تا بررسی کنیم که اندازه واریانس چگونه تغییر می کند و افزایش نرخ بهره چقدر بر سطح اختلاف بین قانون 72 و واقعیت تأثیر می گذارد:

حال برای وضوح رابطه متناسب بین رشد خطا و رشد سطح نرخ بهره، نرخ بهره را تا 100% در سال افزایش خواهیم داد:

در نگاه اول، تفاوت خطا در مقایسه با 14.5٪ در سال - فقط حدود 2 ماه و 100٪ در سال - در عرض 3 ماه ناچیز است. اما سهم خطا در دوره بازپرداخت بیش از ¼ یا بهتر است بگوییم 28٪ است.

بیایید یک نمودار ساده برای تجزیه و تحلیل بصری از چگونگی ارتباط وابستگی تغییر در نرخ بهره و درصد خطا در قانون 72 به واقعیت ترسیم کنیم:

هر چه نرخ بهره بالاتر باشد، قانون 72 بدتر عمل می کند. در نتیجه، می توان نتیجه گیری زیر را گرفت: تا 32.2٪ در سال، می توانید با خیال راحت از قانون 72 استفاده کنید. سپس خطا کمتر از 10 درصد است. اگر به محاسبات دقیق اما پیچیده برای دوره بازپرداخت سرمایه گذاری در 2 بار نیاز نداشته باشید، بسیار خوب عمل خواهد کرد.

بهره مرکب ماشین حساب سرمایه گذاری با سرمایه گذاری در اکسل

به مشتری بانک پیشنهاد سپرده گذاری با افزایش مستمر مبلغ کل (سرمایه با بهره مرکب) داده شد. نرخ بهره 13 درصد در سال است. تعیین کنید که چقدر طول می کشد تا مبلغ اولیه را سه برابر کنید (250000 روبل). چقدر باید نرخ سود را افزایش داد تا زمان انتظار نصف شود؟

توجه: از آنجایی که وارد هستیم این مثالما مقدار سرمایه گذاری را سه برابر می کنیم، سپس قانون 72 در اینجا کار نمی کند.

نمای جدول داده های اصلی:

رشد مداوم را می توان با فرمول ln (N) = p * t توصیف کرد، که در آن:

• N نسبت مبلغ نهایی سپرده به مبلغ اولیه است.
• p نرخ بهره است.
• t تعداد سال هایی است که از لحظه واریز وجه گذشته است.

سپس t = ln (N) / p. بر اساس این برابری، فرمول را در اکسل می نویسیم:

شرح استدلال ها:

• B3 / B2 - نسبت مبلغ سپرده نهایی و اولیه؛
• B4 نرخ بهره است.

تقریباً 8.5 سال طول می کشد تا مبلغ سپرده اولیه سه برابر شود. برای محاسبه نرخی که زمان انتظار را به نصف کاهش می دهد، از فرمول استفاده می کنیم:

LN (B3 / B2) / (0.5 * B5)

نتیجه این است:

یعنی باید نرخ بهره اولیه را دو برابر کنید.

ویژگی های استفاده از توابع LN، LOG و LOG10 در اکسل

تابع LN دارای نحو زیر است:

LN (شماره)

• عدد تنها آرگومان مورد نیاز است که اعداد واقعی را از محدوده مقادیر مثبت می پذیرد.

یادداشت:

1. تابع LN معکوس تابع EXP است. دومی مقدار بدست آمده را با افزایش عدد e به توان مشخص شده برمی گرداند. تابع LN درجه ای را مشخص می کند که عدد e (پایه) باید برای به دست آوردن توان لگاریتم (عدد آرگومان) افزایش یابد.
2. اگر عدد یک عدد منفی یا صفر باشد، تابع LN کد خطای #NUM! را برمی‌گرداند.

سینتکس تابع LOG به شرح زیر است:

LOG (شماره؛ [پایه])

شرح استدلال ها:

• عدد - یک آرگومان مورد نیاز که مقدار عددی توان لگاریتم را مشخص می کند، یعنی عددی که در نتیجه بالا بردن پایه لگاریتم به یک توان خاص به دست می آید، که توسط تابع LOG محاسبه می شود.
• [base] یک آرگومان اختیاری است که مقدار عددی پایه لگاریتم را مشخص می کند. اگر هیچ آرگومانی به صراحت مشخص نشده باشد، لگاریتم اعشاری در نظر گرفته می شود (یعنی پایه 10 است).

یادداشت:

1. اگرچه نتیجه ارزیابی تابع LOG ممکن است منفی باشد (برای مثال، = LOG (2؛ 0.25) 0.5- را برمی گرداند)، آرگومان های این تابع باید از محدوده مقادیر مثبت گرفته شوند. اگر حداقل یکی از آرگومان ها منفی باشد، تابع LOG کد خطای #NUM! را برمی گرداند.
2. اگر مقدار 1 به عنوان آرگومان [radix] ارسال شود، تابع LOG کد خطای # DIV / 0! را برمی گرداند، زیرا نتیجه افزایش 1 به هر توانی همیشه یکسان و برابر با 1 خواهد بود.

تابع LOG10 دارای نحو زیر است:

LOG10 (شماره)

• عدد تنها و اجباری آرگومان است که معنای آن با آرگومان همنام توابع LN و LOG یکسان است.

توجه: اگر یک عدد منفی یا 0 به عنوان آرگومان عددی ارسال شود، تابع LOG10 کد خطای #NUM! را برمی گرداند.

درس و ارائه با موضوع: "لگاریتم طبیعی. پایه لگاریتم طبیعی. لگاریتم اعداد طبیعی"

مواد اضافی
کاربران عزیز، فراموش نکنید که نظرات، نظرات، خواسته های خود را بنویسید! تمام مواد توسط یک برنامه آنتی ویروس بررسی شده است.

کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال پایه یازدهم
آموزش تعاملی برای کلاس های 9-11 "مثلثات"
آموزش تعاملی برای کلاس 10-11 "لگاریتم"

لگاریتم طبیعی چیست؟

بچه ها، در درس آخر ما یک شماره جدید و ویژه یاد گرفتیم - e. امروز به کار با این شماره ادامه خواهیم داد.
ما لگاریتم ها را مطالعه کرده ایم و می دانیم که در پایه لگاریتم اعداد زیادی می توانند وجود داشته باشند که بزرگتر از 0 باشند. امروز ما لگاریتمی را نیز در نظر خواهیم گرفت که در پایه آن عدد e قرار دارد. چنین لگاریتمی معمولاً نامیده می شود. لگاریتم طبیعی نماد خود را دارد: $ \ ln (n) $ - لگاریتم طبیعی. این ورودی معادل ورودی است: $ \ log_e (n) = \ ln (n) $.
توابع نمایی و لگاریتمی معکوس هستند، سپس لگاریتم طبیعی برای تابع معکوس است: $ y = e ^ x $.
توابع معکوس با توجه به خط $ y = x $ متقارن هستند.
بیایید با انعکاس تابع نمایی با توجه به خط $ y = x $، لگاریتم طبیعی را رسم کنیم.

شایان ذکر است که زاویه تمایل مماس به نمودار تابع $ y = e ^ x $ در نقطه (0؛ 1) 45 درجه است. سپس زاویه تمایل مماس به نمودار لگاریتم طبیعی در نقطه (1؛ 0) نیز 45 درجه خواهد بود. هر دوی این مماس ها موازی با خط $ y = x $ خواهند بود. بیایید خطوط مماس را ترسیم کنیم:

ویژگی های تابع $ y = \ ln (x) $

1. $ D (f) = (0; + ∞) $.
2. نه زوج است و نه فرد.
3. در کل منطقه تعریف افزایش می یابد.
4. در بالا محدود نیست، در پایین محدود نیست.
5- بزرگترین ارزش وجود ندارد، کوچکترین ارزشنه
6. مستمر.
7. $ E (f) = (- ∞؛ + ∞) $.
8. محدب به سمت بالا.
9. قابل تمایز در همه جا.

در درس ریاضیات عالی ثابت می شود که مشتق یک تابع معکوس، معکوس مشتق یک تابع معکوس است.
عمیق‌تر شدن در اثبات منطقی نیست، اجازه دهید فقط فرمول را بنویسیم: $ y "= (\ ln (x))" = \ frac (1) (x) $.

مثال.
مقدار مشتق تابع را محاسبه کنید: $ y = \ ln (2x-7) $ در نقطه $ x = 4 $.
راه حل.
V نمای کلیتابع ما نشان دهنده تابع $ y = f (kx + m) $ است، ما می توانیم مشتقات چنین توابعی را محاسبه کنیم.
$ y "= (\ ln ((2x-7)))" = \ frac (2) ((2x-7)) $.
بیایید مقدار مشتق را در نقطه مورد نیاز محاسبه کنیم: $ y "(4) = \ frac (2) ((2 * 4-7)) = 2 $.
جواب: 2.

مثال.
یک مماس بر نمودار تابع $ y = ln (x) $ در نقطه $ x = e $ رسم کنید.
راه حل.
معادله مماس بر نمودار تابع، در نقطه $ x = a $، به خوبی به خاطر داریم.
$ y = f (a) + f "(a) (x-a) $.
بیایید مقادیر مورد نیاز را به ترتیب محاسبه کنیم.
$ a = e $.
$ f (a) = f (e) = \ ln (e) = 1 $.
$ f "(a) = \ frac (1) (a) = \ frac (1) (e) $.
$ y = 1 + \ frac (1) (e) (x-e) = 1 + \ frac (x) (e) - \ frac (e) (e) = \ frac (x) (e) $.
معادله مماس در نقطه $ x = e $ یک تابع $ y = \ frac (x) (e) $ است.
بیایید لگاریتم طبیعی و خط مماس را رسم کنیم.

مثال.
تابع را از نظر یکنواختی و حداکثر بررسی کنید: $ y = x ^ 6-6 * ln (x) $.
راه حل.
دامنه تابع $ D (y) = (0; + ∞) $ است.
بیایید مشتق تابع داده شده را پیدا کنیم:
$ y "= 6 * x ^ 5- \ frac (6) (x) $.
مشتق برای همه x از دامنه تعریف وجود دارد، پس هیچ نقطه بحرانی وجود ندارد. نقاط ثابت را پیدا کنید:
6 $ * x ^ 5- \ فراک (6) (x) = 0 $.
$ \ فراک (6 * x ^ 6-6) (x) = 0 $.
6 دلار * x ^ 6-6 = 0 دلار.
$ x ^ 6-1 = 0 $.
$ x ^ 6 = 1 $.
$ x = ± 1 $.
نقطه $ x = -1 $ در محدوده نیست. سپس یک نقطه ثابت $ x = 1 $ داریم. بیایید فواصل افزایش و کاهش را پیدا کنیم:

نقطه $ x = 1 $ حداقل نقطه است، سپس $ y_min = 1-6 * \ ln (1) = 1 $.
پاسخ: تابع در بخش کاهش می یابد (0؛ 1]، تابع در اشعه $ افزایش می یابد)