فرمول های حل معادلات لگاریتمی چند روش برای حل معادلات لگاریتمی

با این ویدیو، من یک سری درس طولانی در مورد معادلات لگاریتمی شروع می کنم. اکنون سه مثال دارید که بر اساس آنها ساده ترین کارها را حل می کنیم که به آنها می گویند - تک یاخته ها.

log 0.5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

به شما یادآوری می کنم که ساده ترین معادله لگاریتمی به صورت زیر است:

log a f(x) = b

مهم است که متغیر x فقط در داخل آرگومان وجود داشته باشد، یعنی فقط در تابع f(x). و اعداد a و b فقط اعداد هستند و در هیچ موردی توابعی حاوی متغیر x نیستند.

روش های اصلی راه حل

راه های زیادی برای حل چنین ساختارهایی وجود دارد. برای مثال، اکثر معلمان در مدرسه این راه را پیشنهاد می کنند: فوراً تابع f (x) را با استفاده از فرمول بیان کنید. f( x) = الف ب . یعنی هنگامی که با ساده ترین ساخت و ساز روبرو می شوید، می توانید بلافاصله بدون اقدامات و ساخت و سازهای اضافی به راه حل بروید.

بله، البته، تصمیم درست خواهد بود. با این حال، مشکل این فرمول این است که اکثر دانش آموزان نمی فهمم، از کجا می آید و چرا دقیقاً حرف a را به حرف b می آوریم.

در نتیجه، من اغلب خطاهای بسیار توهین آمیزی را مشاهده می کنم، مثلاً وقتی این حروف با هم عوض می شوند. این فرمول یا باید درک شود یا حفظ شود و روش دوم منجر به خطا در نامناسب ترین و حساس ترین لحظات می شود: در امتحانات، تست ها و غیره.

به همین دلیل است که به همه دانش آموزانم پیشنهاد می کنم فرمول مدرسه استاندارد را کنار بگذارند و از روش دوم برای حل معادلات لگاریتمی استفاده کنند که همانطور که احتمالاً از نام آن حدس زده اید به نام شکل متعارف.

ایده شکل متعارف ساده است. بیایید دوباره به وظیفه خود نگاه کنیم: در سمت چپ ما log a داریم، در حالی که حرف a دقیقاً به معنای عدد است و در هیچ موردی تابع حاوی متغیر x نیست. بنابراین، این نامه مشمول تمام محدودیت هایی است که بر اساس لگاریتم اعمال می شود. برای مثال:

1 ≠ a > 0

از طرفی از همان معادله می بینیم که لگاریتم باید باشد برابر عدد است b ، و هیچ محدودیتی برای این نامه اعمال نمی شود، زیرا می تواند هر ارزشی داشته باشد - اعم از مثبت و منفی. همه چیز بستگی به مقادیری دارد که تابع f(x) می گیرد.

و در اینجا قانون شگفت انگیز خود را به یاد می آوریم که هر عدد b را می توان به صورت لگاریتمی در پایه a از a به توان b نشان داد:

b = ورود a a b

چگونه این فرمول را به خاطر بسپاریم؟ بله خیلی ساده بیایید ساختار زیر را بنویسیم:

b = b 1 = b log a a

البته در این مورد تمام محدودیت هایی که در ابتدا یادداشت کردیم به وجود می آید. و حالا بیایید از ویژگی اصلی لگاریتم استفاده کنیم و ضریب b را به عنوان توان a وارد کنیم. ما گرفتیم:

b = b 1 = b log a a = log a a b

در نتیجه، معادله اصلی به شکل زیر بازنویسی می شود:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

همین. تابع جدید دیگر حاوی لگاریتم نیست و با تکنیک های استاندارد جبری حل می شود.

البته، اکنون کسی اعتراض خواهد کرد: چرا اصلاً لازم بود که نوعی فرمول متعارف ارائه شود، چرا دو مرحله غیر ضروری اضافی انجام شود، اگر امکان داشت بلافاصله از ساخت اولیه به فرمول نهایی برود؟ بله، فقط به این دلیل که اکثر دانش‌آموزان نمی‌دانند این فرمول از کجا آمده است و در نتیجه مرتباً هنگام استفاده از آن اشتباه می‌کنند.

اما چنین دنباله ای از اقدامات، متشکل از سه مرحله، به شما امکان می دهد معادله لگاریتمی اصلی را حل کنید، حتی اگر متوجه نشده باشید که فرمول نهایی از کجا آمده است. به هر حال، این ورودی فرمول متعارف نامیده می شود:

log a f(x) = log a a b

راحتی فرم متعارف نیز در این واقعیت نهفته است که می توان از آن برای حل یک کلاس بسیار گسترده از معادلات لگاریتمی استفاده کرد، و نه فقط ساده ترین آنها را که امروز در نظر می گیریم.

نمونه های راه حل

و حالا بیایید در نظر بگیریم نمونه های واقعی. پس بیایید تصمیم بگیریم:

log 0.5 (3x - 1) = -3

بیایید آن را اینگونه بازنویسی کنیم:

log 0.5 (3x − 1) = log 0.5 0.5 −3

بسیاری از دانش آموزان عجله دارند و سعی می کنند بلافاصله عدد 0.5 را به توانی که از مشکل اصلی به ما رسیده است، برسانند. و در واقع، هنگامی که در حل چنین مشکلاتی به خوبی آموزش دیده اید، می توانید بلافاصله این مرحله را انجام دهید.

با این حال، اگر اکنون تازه شروع به مطالعه این موضوع کرده اید، بهتر است در جایی عجله نکنید تا مرتکب اشتباهات توهین آمیز نشوید. بنابراین ما شکل متعارف را داریم. ما داریم:

3x - 1 = 0.5 -3

این دیگر یک معادله لگاریتمی نیست، بلکه یک معادله خطی با توجه به متغیر x است. برای حل آن ابتدا به عدد 0.5 به توان 3- می پردازیم. توجه داشته باشید که 0.5 برابر 1/2 است.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

همه چیز اعداد اعشاریوقتی معادله لگاریتمی را حل می کنید به نرمال تبدیل کنید.

بازنویسی می کنیم و می گیریم:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

همه ما جواب گرفتیم تکلیف اول حل شد.

وظیفه دوم

بریم سراغ کار دوم:

همانطور که می بینید، این معادله دیگر ساده ترین معادله نیست. اگر فقط به این دلیل که تفاوت در سمت چپ است، و نه یک لگاریتم در یک پایه.

بنابراین، شما باید به نحوی از شر این تفاوت خلاص شوید. در این مورد، همه چیز بسیار ساده است. بیایید نگاهی دقیق تر به پایه ها بیندازیم: در سمت چپ عدد زیر ریشه است:

توصیه کلی: در تمام معادلات لگاریتمی سعی کنید از شر رادیکال ها یعنی ورودی های ریشه دار خلاص شوید و به ادامه مطلب بروید. توابع قدرت، صرفاً به این دلیل که نماهای این توان ها به راحتی از علامت لگاریتم خارج می شوند و در نهایت چنین نمادی محاسبات را بسیار ساده و سرعت می بخشد. بیایید آن را اینگونه بنویسیم:

اکنون ویژگی قابل توجه لگاریتم را به یاد می آوریم: از استدلال، و همچنین از پایه، می توانید درجه ها را بردارید. در مورد پایه ها، موارد زیر رخ می دهد:

log a k b = 1/k loga b

به عبارت دیگر، عددی که در درجه پایه ایستاده است جلو آمده و در همان زمان برمی گردد، یعنی تبدیل می شود. عدد معکوس. در مورد ما، درجه ای از پایه با شاخص 1/2 وجود داشت. بنابراین، می توانیم آن را به عنوان 2/1 خارج کنیم. ما گرفتیم:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

لطفا توجه داشته باشید: به هیچ وجه نباید در این مرحله از لگاریتم خلاص شوید. به ریاضی کلاس 4-5 و ترتیب عملکردها فکر کنید: ابتدا ضرب انجام می شود و تنها پس از آن جمع و تفریق انجام می شود. در این حالت یکی از همان عناصر را از 10 عنصر کم می کنیم:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

اکنون معادله ما به نظر می رسد که باید باشد. این ساده ترین طراحی، و آن را با شکل متعارف حل می کنیم:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

همین. مشکل دوم حل شد.

مثال سوم

بریم سراغ کار سوم:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

فرمول زیر را به خاطر بیاورید:

log b = log 10 b

اگر به دلایلی با نوشتن lg b گیج شده اید، هنگام انجام تمام محاسبات، می توانید به سادگی log 10 b را بنویسید. می‌توانید با لگاریتم‌های اعشاری مانند سایرین کار کنید: قدرت‌ها را بردارید، اضافه کنید و هر عددی را به عنوان lg 10 نشان دهید.

دقیقاً از این خصوصیات است که اکنون برای حل مشکل استفاده خواهیم کرد، زیرا ساده ترین موردی که در همان ابتدای درس خود نوشتیم نیست.

برای شروع، توجه داشته باشید که ضریب 2 قبل از lg 5 را می توان وارد کرد و به توان پایه 5 تبدیل می شود. علاوه بر این، عبارت آزاد 3 نیز می تواند به عنوان یک لگاریتم نمایش داده شود - مشاهده این از نماد ما بسیار آسان است.

خودتان قضاوت کنید: هر عددی را می توان به عنوان log به پایه 10 نشان داد:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

بیایید با در نظر گرفتن تغییرات دریافتی، مشکل اصلی را بازنویسی کنیم:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

قبل از ما دوباره شکل متعارف است و ما آن را با دور زدن مرحله تبدیل ها به دست آوردیم، یعنی ساده ترین معادله لگاریتمی در هیچ کجا با ما نیامده است.

این همان چیزی بود که من در همان ابتدای درس صحبت می کردم. شکل متعارف امکان حل یک کلاس وسیع تری از مسائل را نسبت به فرمول استاندارد مدرسه، که توسط اکثر معلمان مدرسه ارائه می شود، می دهد.

این همه است، ما از شر علامت لگاریتم اعشاری خلاص می شویم و یک ساختار خطی ساده می گیریم:

x + 3 = 25000
x = 24997

همه چیز! مشکل حل شد.

یادداشتی در مورد دامنه

در اینجا می خواهم نکته مهمی را در مورد حوزه تعریف بیان کنم. مطمئناً اکنون دانش آموزان و معلمانی هستند که می گویند: "وقتی عبارات را با لگاریتم حل می کنیم، لازم است به یاد داشته باشیم که آرگومان f (x) باید بزرگتر از صفر باشد!" در این راستا یک سوال منطقی مطرح می شود که چرا در هیچ یک از مسائل در نظر گرفته شده، نیاز به رفع این نابرابری نداشتیم؟

نگران نباش. هیچ ریشه اضافی در این موارد ظاهر نمی شود. و این یک ترفند عالی دیگر است که به شما امکان می دهد راه حل را سرعت بخشید. فقط بدانید که اگر در مشکل، متغیر x فقط در یک مکان (یا بهتر است بگوییم، در آرگومان واحد و تنها لگاریتم یک و تنها) رخ دهد و در هیچ جای دیگری در مورد ما متغیر x وجود نداشته باشد، دامنه را بنویسید. نیازی نیستزیرا به طور خودکار اجرا می شود.

خودتان قضاوت کنید: در معادله اول دریافتیم که 3x - 1، یعنی آرگومان باید برابر با 8 باشد. این به طور خودکار به این معنی است که 3x - 1 بزرگتر از صفر خواهد بود.

با همین موفقیت، می‌توانیم بنویسیم که در حالت دوم، x باید برابر با 5 2 باشد، یعنی قطعاً بزرگ‌تر از صفر است. و در مورد سوم، که در آن x + 3 = 25000، یعنی دوباره، آشکارا بزرگتر از صفر است. به عبارت دیگر، دامنه خودکار است، اما فقط در صورتی که x فقط در آرگومان یک لگاریتم رخ دهد.

این تنها چیزی است که برای حل مشکلات ساده باید بدانید. این قانون به تنهایی، همراه با قوانین تبدیل، به شما امکان می دهد تا کلاس بسیار گسترده ای از مسائل را حل کنید.

اما بیایید صادق باشیم: برای درک نهایی این تکنیک، برای یادگیری نحوه استفاده از شکل متعارف معادله لگاریتمی، فقط تماشای یک درس ویدیویی کافی نیست. بنابراین همین حالا گزینه ها را دانلود کنید تصمیم مستقل، که ضمیمه این فیلم آموزشی هستند و شروع به حل حداقل یکی از این دو کار مستقل می کنند.

فقط چند دقیقه طول می کشد. اما تأثیر چنین آموزشی در مقایسه با تماشای این ویدیوی آموزشی بسیار بیشتر خواهد بود.

امیدوارم این درس به شما در درک معادلات لگاریتمی کمک کند. فرم متعارف را اعمال کنید، عبارات را با استفاده از قوانین کار با لگاریتم ها ساده کنید - و از هیچ کاری نمی ترسید. و این تمام چیزی است که برای امروز دارم.

در نظر گرفتن محدوده

حال بیایید در مورد دامنه تابع لگاریتمی و همچنین تأثیر آن بر حل معادلات لگاریتمی صحبت کنیم. ساختاری از فرم را در نظر بگیرید

log a f(x) = b

چنین عبارتی ساده ترین نامیده می شود - فقط یک تابع دارد و اعداد a و b فقط اعداد هستند و در هیچ موردی تابعی نیستند که به متغیر x بستگی دارد. خیلی ساده حل میشه شما فقط باید از فرمول استفاده کنید:

b = ورود a a b

این فرمول یکی از ویژگی‌های کلیدی لگاریتم است و هنگام جایگزینی با عبارت اصلی، موارد زیر را دریافت می‌کنیم:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

این یک فرمول آشنا از کتاب های درسی مدرسه است. احتمالاً بسیاری از دانش‌آموزان این سؤال را خواهند داشت: از آنجایی که تابع f (x) در عبارت اصلی زیر علامت log است، محدودیت‌های زیر بر روی آن اعمال می‌شود:

f(x) > 0

این محدودیت اعمال می شود زیرا لگاریتم از اعداد منفیوجود ندارد. بنابراین، شاید به دلیل این محدودیت، باید یک چک برای پاسخ معرفی کنید؟ شاید باید آنها را در منبع جایگزین کرد؟

خیر، در ساده ترین معادلات لگاریتمی، بررسی اضافی غیرضروری است. و به همین دلیل. به فرمول نهایی ما نگاهی بیندازید:

f(x) = a b

واقعیت این است که عدد a در هر صورت بزرگتر از 0 است - این الزام نیز توسط لگاریتم اعمال می شود. عدد a پایه است. در این صورت محدودیتی برای عدد b اعمال نمی شود. اما این مهم نیست، زیرا هر درجه ای که یک عدد مثبت را افزایش دهیم، باز هم در خروجی یک عدد مثبت خواهیم داشت. بنابراین، شرط f (x) > 0 به طور خودکار برآورده می شود.

آنچه واقعاً ارزش بررسی دارد محدوده عملکرد زیر علامت گزارش است. طرح‌های کاملاً پیچیده‌ای می‌تواند وجود داشته باشد، و در روند حل آنها، باید حتماً آنها را دنبال کنید. بیایید نگاهی بیندازیم.

وظیفه اول:

مرحله اول: کسر سمت راست را تبدیل کنید. ما گرفتیم:

ما از شر علامت لگاریتم خلاص می شویم و معادله غیرمنطقی معمول را بدست می آوریم:

از ریشه های به دست آمده، فقط اولین مورد مناسب ما است، زیرا ریشه دوم کمتر از صفر است. تنها جواب عدد 9 خواهد بود. همین، مشکل حل شد. هیچ بررسی اضافی که عبارت زیر علامت لگاریتم بزرگتر از 0 است لازم نیست، زیرا نه تنها بزرگتر از 0 است، بلکه با شرط معادله برابر با 2 است. بنابراین، شرط "بزرگتر از صفر" به طور خودکار است. برآورده شد.

بریم سراغ کار دوم:

اینجا همه چیز یکسان است. ما ساخت و ساز را بازنویسی می کنیم و سه گانه را جایگزین می کنیم:

از شر علائم لگاریتم خلاص می شویم و یک معادله غیرمنطقی می گیریم:

هر دو قسمت را با در نظر گرفتن محدودیت ها مربع می کنیم و به دست می آوریم:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16-4 + 6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

معادله حاصل را از طریق تفکیک کننده حل می کنیم:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

اما x = −6 برای ما مناسب نیست، زیرا اگر این عدد را با نامساوی خود جایگزین کنیم، به دست می‌آییم:

−6 + 4 = −2 < 0

در مورد ما، لازم است که بزرگتر از 0 یا در موارد شدید، برابر باشد. اما x = -1 برای ما مناسب است:

−1 + 4 = 3 > 0

تنها پاسخ در مورد ما x = -1 است. این همه راه حل است. بیایید به همان ابتدای محاسبات خود برگردیم.

نتیجه اصلی از این درس این است که نیازی به بررسی حدود یک تابع در ساده ترین معادلات لگاریتمی نیست. زیرا در فرآیند حل تمامی محدودیت ها به صورت خودکار اجرا می شوند.

با این حال، این به هیچ وجه به این معنی نیست که شما می توانید تأیید را به طور کلی فراموش کنید. در فرآیند کار بر روی یک معادله لگاریتمی، ممکن است به یک معادله غیرمنطقی تبدیل شود، که محدودیت ها و الزامات خاص خود را برای سمت راست خواهد داشت، که امروز در دو مثال مختلف مشاهده کردیم.

با خیال راحت چنین مشکلاتی را حل کنید و اگر ریشه ای در بحث وجود دارد، به ویژه مراقب باشید.

معادلات لگاریتمی با پایه های مختلف

ما به مطالعه معادلات لگاریتمی ادامه می دهیم و دو ترفند نسبتاً جالب دیگر را تجزیه و تحلیل می کنیم که با آنها حل کردن بیشتر مد است. ساختارهای پیچیده. اما ابتدا بیایید به یاد بیاوریم که چگونه ساده ترین کارها حل می شوند:

log a f(x) = b

در این نماد a و b فقط اعداد هستند و در تابع f (x) باید متغیر x وجود داشته باشد و فقط در آنجا، یعنی x باید فقط در آرگومان باشد. ما چنین معادلات لگاریتمی را با استفاده از فرم متعارف تبدیل خواهیم کرد. برای این، ما توجه می کنیم که

b = ورود a a b

و a b فقط یک استدلال است. بیایید این عبارت را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

log a f(x) = log a a b

این دقیقاً همان چیزی است که ما در حال تلاش برای رسیدن به آن هستیم، به طوری که هم در سمت چپ و هم در سمت راست لگاریتمی به پایه a وجود دارد. در این صورت، می‌توانیم به‌طور مجازی، نشانه‌های لاگ را خط بزنیم و از نظر ریاضیات، می‌توانیم بگوییم که استدلال‌ها را به سادگی برابر می‌کنیم:

f(x) = a b

در نتیجه، یک عبارت جدید دریافت می کنیم که بسیار راحت تر حل می شود. بیایید این قانون را امروز در وظایف خود اعمال کنیم.

بنابراین اولین طرح:

اول از همه، توجه می کنم که کسری در سمت راست وجود دارد که مخرج آن log است. هنگامی که عبارتی مانند این را می بینید، ارزش دارد که خاصیت شگفت انگیز لگاریتم ها را به خاطر بسپارید:

به روسی ترجمه شده است، این بدان معنی است که هر لگاریتمی را می توان به عنوان ضریب دو لگاریتمی با هر پایه c نشان داد. البته 0< с ≠ 1.

بنابراین: این فرمول یک فرمول فوق العاده دارد مورد خاصزمانی که متغیر c برابر متغیر باشد ب در این مورد، ساختاری از فرم دریافت می کنیم:

این ساختاری است که ما از علامت سمت راست در معادله خود مشاهده می کنیم. بیایید این ساختار را با log a b جایگزین کنیم، دریافت می کنیم:

به عبارت دیگر، در مقایسه با تکلیف اصلی، آرگومان و پایه لگاریتم را با هم عوض کرده ایم. در عوض، باید کسر را برگردانیم.

یادآوری می کنیم که طبق قانون زیر می توان هر مدرکی را از پایه خارج کرد:

به عبارت دیگر ضریب k که درجه پایه است به صورت کسر معکوس خارج می شود. بیایید آن را به صورت کسری معکوس دربیاوریم:

ضریب کسری را نمی توان در جلو رها کرد، زیرا در این صورت نمی توانیم این مدخل را به عنوان یک شکل متعارف نشان دهیم (بالاخره، در شکل متعارف، هیچ عامل اضافی در مقابل لگاریتم دوم وجود ندارد). بنابراین، کسری 1/4 را در استدلال به عنوان توان قرار می دهیم:

حال استدلال هایی را که مبانی آنها یکسان است (و واقعاً پایه های مشابهی داریم) برابر می کنیم و می نویسیم:

x + 5 = 1

x = -4

همین. جواب معادله لگاریتمی اول را گرفتیم. توجه کنید: در مسئله اصلی، متغیر x فقط در یک log وجود دارد و در آرگومان آن وجود دارد. بنابراین، نیازی به بررسی دامنه نیست، و عدد x = -4 ما در واقع پاسخ است.

حالا بریم سراغ عبارت دوم:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

در اینجا، علاوه بر لگاریتم های معمول، باید با lg f (x) کار کنیم. چگونه می توان چنین معادله ای را حل کرد؟ ممکن است برای یک دانش آموز ناآماده به نظر برسد که این نوعی قلع است، اما در واقع همه چیز به طور ابتدایی حل می شود.

به اصطلاح lg 2 log 2 7 با دقت نگاه کنید. در مورد آن چه می توانیم بگوییم؟ مبانی و آرگومان های log و lg یکسان است و این باید سرنخ هایی به دست دهد. بیایید یک بار دیگر به یاد بیاوریم که چگونه درجات از زیر علامت لگاریتم خارج می شوند:

log a b n = nlog a b

به عبارت دیگر، قدرت عدد b در آرگومان به عاملی در مقابل خود log تبدیل می شود. بیایید این فرمول را برای عبارت lg 2 log 2 7 اعمال کنیم. از lg 2 نترسید - این رایج ترین عبارت است. می توانید آن را به این صورت بازنویسی کنید:

برای او، تمام قوانینی که برای هر لگاریتم دیگری اعمال می شود معتبر است. به ویژه عامل پیش رو را می توان به قدرت استدلال وارد کرد. بیا بنویسیم:

اغلب اوقات، دانش آموزان نقطه خالی این عمل را نمی بینند، زیرا خوب نیست که یک گزارش را زیر علامت دیگری وارد کنید. در واقع هیچ جرمی در این مورد وجود ندارد. علاوه بر این، اگر یک قانون مهم را به خاطر داشته باشید، فرمولی دریافت می کنیم که محاسبه آن آسان است:

این فرمول را می توان هم به عنوان تعریف و هم به عنوان یکی از ویژگی های آن در نظر گرفت. در هر صورت، اگر یک معادله لگاریتمی را تبدیل کنید، باید این فرمول را مانند نمایش هر عددی به صورت log بدانید.

ما به وظیفه خود برمی گردیم. ما آن را با در نظر گرفتن این واقعیت بازنویسی می کنیم که اولین عبارت سمت راست علامت مساوی به سادگی برابر با lg 7 خواهد بود.

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

بیایید lg 7 را به سمت چپ حرکت دهیم، دریافت می کنیم:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

عبارات سمت چپ را کم می کنیم زیرا پایه یکسانی دارند:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

حالا بیایید نگاهی دقیق تر به معادله ای که داریم بیندازیم. این عملاً شکل متعارف است، اما ضریب -3 در سمت راست وجود دارد. بیایید آن را در آرگومان مناسب lg قرار دهیم:

lg 8 = lg (x + 4) −3

قبل از ما شکل متعارف معادله لگاریتمی است، بنابراین علائم lg را خط می زنیم و آرگومان ها را برابر می کنیم:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0.5

همین! معادله لگاریتمی دوم را حل کردیم. در این مورد، هیچ بررسی اضافی لازم نیست، زیرا در مسئله اصلی x تنها در یک آرگومان وجود داشت.

دوباره لیست می کنم امتیاز کلیدیاین درس

فرمول اصلی که در تمام دروس این صفحه که به حل معادلات لگاریتمی اختصاص داده شده است، فرمول متعارف است. و از این واقعیت که اکثر کتاب های درسی مدرسه به شما یاد می دهند که چگونه این نوع مشکلات را به طور متفاوت حل کنید، ناامید نشوید. این ابزار بسیار کارآمد عمل می کند و به شما امکان می دهد کلاس بسیار گسترده تری از مسائل را نسبت به ساده ترین مواردی که در همان ابتدای درس مطالعه کردیم حل کنید.

علاوه بر این، برای حل معادلات لگاریتمی، دانستن خواص پایه مفید خواهد بود. برای مثال:

1. فرمول انتقال به یک پایه و یک مورد خاص وقتی لاگ را برگردانیم (این در کار اول برای ما بسیار مفید بود).
2. فرمول وارد کردن و خارج کردن نیروها از زیر علامت لگاریتم. در اینجا، بسیاری از دانش‌آموزان گیر می‌کنند و نقطه خالی نمی‌بینند که برق خارج‌شده و وارد شده خود می‌تواند حاوی log f (x) باشد. ایرادی ندارد. می توانیم یک لاگ را با توجه به علامت دیگری معرفی کنیم و در عین حال حل مسئله را به طور قابل توجهی ساده کنیم، چیزی که در مورد دوم مشاهده می کنیم.

در خاتمه اضافه می کنم که در هر یک از این موارد نیازی به بررسی دامنه نیست، زیرا در همه جا متغیر x تنها در یک علامت log وجود دارد و در عین حال در آرگومان آن قرار دارد. در نتیجه، تمام الزامات دامنه به طور خودکار برآورده می شود.

مشکلات با پایه متغیر

امروز معادلات لگاریتمی را در نظر می گیریم که برای بسیاری از دانش آموزان غیر استاندارد به نظر می رسند، اگر نگوییم کاملا غیر قابل حل. این در مورد استدر مورد عبارات مبتنی بر اعداد، بلکه بر اساس متغیرها و توابع زوج. ما چنین ساختارهایی را با استفاده از تکنیک استاندارد خود، یعنی از طریق فرم متعارف حل خواهیم کرد.

برای شروع، بیایید به یاد بیاوریم که چگونه ساده ترین مسائل، که بر اساس اعداد معمولی هستند، حل می شوند. بنابراین، ساده ترین ساخت و ساز نامیده می شود

log a f(x) = b

برای حل چنین مشکلاتی می توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:

b = ورود a a b

ما عبارت اصلی خود را بازنویسی می کنیم و دریافت می کنیم:

log a f(x) = log a a b

سپس آرگومان ها را برابر می کنیم، یعنی می نویسیم:

f(x) = a b

بنابراین، ما از شر علامت ورود به سیستم خلاص می شویم و مشکل معمول را حل می کنیم. در این صورت، ریشه های به دست آمده در محلول، ریشه های معادله لگاریتمی اصلی خواهند بود. علاوه بر این، رکورد، زمانی که هر دو سمت چپ و راست روی یک لگاریتم با پایه یکسان باشند، شکل متعارف نامیده می شود. تلاش ما برای کاهش ساخت و سازهای امروزی به این رکورد است. پس بزن بریم.

وظیفه اول:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

1 را با log x − 2 (x − 2) 1 جایگزین کنید. درجه ای که در استدلال مشاهده می کنیم، در واقع عدد b است که در سمت راست علامت مساوی قرار داشت. پس بیایید بیان خود را بازنویسی کنیم. ما گرفتیم:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

ما چه می بینیم؟ پیش از ما شکل متعارف معادله لگاریتمی است، بنابراین می توانیم با خیال راحت استدلال ها را معادل سازی کنیم. ما گرفتیم:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

اما راه حل به همین جا ختم نمی شود، زیرا این معادله معادل معادله اصلی نیست. از این گذشته، ساختار حاصل از توابعی تشکیل شده است که در کل خط اعداد تعریف شده اند و لگاریتم های اصلی ما در همه جا و نه همیشه تعریف شده اند.

بنابراین باید حوزه تعریف را جداگانه بنویسیم. بیایید عاقل تر نباشیم و ابتدا همه الزامات را بنویسیم:

ابتدا، آرگومان هر یک از لگاریتم ها باید بزرگتر از 0 باشد:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

ثانیا، پایه نه تنها باید بزرگتر از 0 باشد، بلکه باید با 1 نیز متفاوت باشد:

x − 2 ≠ 1

در نتیجه، سیستم را دریافت می کنیم:

اما نگران نباشید: هنگام پردازش معادلات لگاریتمی، چنین سیستمی می تواند تا حد زیادی ساده شود.

خودتان قضاوت کنید: از یک طرف ما ملزم هستیم که تابع درجه دوم بزرگتر از صفر باشد و از طرف دیگر این تابع درجه دوم معادل یک عبارت خطی مشخص است که بزرگتر از صفر نیز لازم است.

در این صورت، اگر x − 2 > 0 را بخواهیم، ​​آنگاه شرط 2x 2 − 13x + 18 > 0 به طور خودکار برآورده می‌شود. بنابراین، می‌توانیم با خیال راحت نابرابری حاوی تابع درجه دوم. بنابراین، تعداد عبارات موجود در سیستم ما به سه کاهش می یابد.

البته ممکن است ما هم خط بکشیم نابرابری خطی، یعنی x − 2 > 0 را خط بزنید و 2x 2 − 13x + 18 > 0 را مورد نیاز قرار دهید. اما باید قبول کنید که حل ساده‌ترین نابرابری خطی بسیار سریع‌تر و آسان‌تر از این سیستم است که ریشه‌های یکسانی به دست می‌آوریم.

به طور کلی سعی کنید تا حد امکان محاسبات را بهینه کنید. و در مورد معادلات لگاریتمی، سخت ترین نابرابری ها را خط بزنید.

بیایید سیستم خود را بازنویسی کنیم:

در اینجا چنین سیستمی از سه عبارت وجود دارد که ما در واقع دو مورد از آنها را قبلاً کشف کرده ایم. بیایید جداگانه بنویسیم معادله درجه دومو حلش کن:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 - 7x + 10 = 0

قبل از ما یک مثلث مربع کاهش یافته است و بنابراین، می توانیم از فرمول های Vieta استفاده کنیم. ما گرفتیم:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

اکنون، به سیستم خود بازگردیم، متوجه می‌شویم که x = 2 برای ما مناسب نیست، زیرا ما باید x را به شدت بزرگتر از 2 داشته باشیم.

اما x \u003d 5 کاملاً مناسب ما است: عدد 5 بزرگتر از 2 است و در عین حال 5 برابر با 3 نیست. بنابراین ، تنها راه حل این سیستم x \u003d 5 خواهد بود.

همه چیز، کار حل شده است، از جمله با در نظر گرفتن ODZ. بریم سراغ معادله دوم. در اینجا ما منتظر محاسبات جالب و معنادارتری هستیم:

مرحله اول: مانند دفعه قبل، همه این تجارت را به شکل متعارفی درآوریم. برای این کار می توانیم عدد 9 را به صورت زیر بنویسیم:

پایه با ریشه را نمی توان لمس کرد، اما بهتر است استدلال را تبدیل کنید. بیایید از ریشه به سمت قدرت با یک توان منطقی حرکت کنیم. بیا بنویسیم:

اجازه دهید کل معادله لگاریتمی بزرگ خود را بازنویسی نکنم، بلکه بلافاصله آرگومان ها را معادل سازی کنم:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

قبل از ما یک مثلث مربع کاهش یافته است، از فرمول های Vieta استفاده می کنیم و می نویسیم:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

بنابراین، ما ریشه ها را به دست آوردیم، اما هیچکس به ما تضمین نداد که آنها با معادله لگاریتمی اصلی مطابقت دارند. از این گذشته ، علائم ورود به سیستم محدودیت های اضافی را اعمال می کنند (در اینجا باید سیستم را یادداشت کنیم ، اما به دلیل دست و پا گیر بودن کل ساختار ، تصمیم گرفتم دامنه تعریف را جداگانه محاسبه کنم).

اول از همه، به یاد داشته باشید که آرگومان ها باید بزرگتر از 0 باشند، یعنی:

اینها الزامات تحمیل شده توسط حوزه تعریف هستند.

ما فوراً متذکر می شویم که از آنجایی که دو عبارت اول سیستم را با یکدیگر یکسان می کنیم، می توانیم هر یک از آنها را خط بزنیم. بیایید اولی را خط بکشیم زیرا از دومی خطرناک تر به نظر می رسد.

علاوه بر این، توجه داشته باشید که راه حل های نابرابری های دوم و سوم یکسان خواهد بود (مکعب برخی از اعداد بزرگتر از صفر است، اگر این عدد خود بزرگتر از صفر باشد؛ به طور مشابه با ریشه درجه سوم - این نابرابری ها هستند. کاملاً مشابه است، بنابراین می توانیم یکی از آنها را خط بزنیم).

اما با نابرابری سوم، این کار نخواهد کرد. بیایید از علامت رادیکال در سمت چپ خلاص شویم، که برای آن هر دو قسمت را به یک مکعب بلند می کنیم. ما گرفتیم:

بنابراین ما شرایط زیر را دریافت می کنیم:

−2 ≠ x > −3

کدام یک از ریشه های ما: x 1 = -3 یا x 2 = -1 این الزامات را برآورده می کند؟ بدیهی است که فقط x = -1، زیرا x = -3 نابرابری اول را برآورده نمی کند (زیرا نابرابری ما شدید است). در مجموع، با بازگشت به مسئله خود، یک ریشه دریافت می کنیم: x = -1. همین، مشکل حل شد

یک بار دیگر نکات کلیدی این کار:

1. به راحتی می توانید معادلات لگاریتمی را با استفاده از فرم متعارف اعمال و حل کنید. دانش‌آموزانی که چنین رکوردی را می‌سازند و مستقیماً از مسئله اصلی به ساختاری مانند log a f ( x) = b نمی‌روند، نسبت به کسانی که در جایی عجله دارند و مراحل میانی محاسبات را نادیده می‌گیرند، خطاهای بسیار کمتری مرتکب می‌شوند.
2. به محض اینکه یک پایه متغیر در لگاریتم ظاهر شد، مشکل از ساده‌ترین حالت خود خارج می‌شود. بنابراین، هنگام حل آن، باید دامنه تعریف را در نظر گرفت: آرگومان ها باید بزرگتر از صفر باشند و مبناها نه تنها نباید بزرگتر از 0 باشند، بلکه نباید برابر با 1 باشند.

شما می توانید آخرین الزامات را به روش های مختلف بر پاسخ های نهایی تحمیل کنید. به عنوان مثال، می توان یک سیستم کامل را که شامل تمام الزامات دامنه است، حل کرد. از طرف دیگر، می توانید ابتدا خود مسئله را حل کنید و سپس دامنه تعریف را به خاطر بسپارید، آن را به طور جداگانه در قالب یک سیستم کار کنید و روی ریشه های به دست آمده اعمال کنید.

اینکه کدام راه را هنگام حل یک معادله لگاریتمی خاص انتخاب کنید به شما بستگی دارد. در هر صورت پاسخ یکسان خواهد بود.

حل معادلات لگاریتمی. قسمت 1.

معادله لگاریتمیمعادله ای نامیده می شود که در آن مجهول در زیر علامت لگاریتم (به ویژه در پایه لگاریتم) قرار می گیرد.

تک یاخته معادله لگاریتمیبه نظر می رسد:

حل هر معادله لگاریتمیشامل انتقال از لگاریتم به عبارات تحت علامت لگاریتم است. با این حال، این عمل دامنه مقادیر معتبر معادله را گسترش می دهد و می تواند منجر به ظهور ریشه های خارجی شود. برای جلوگیری از ظهور ریشه های خارجیشما می توانید آن را به یکی از سه روش انجام دهید:

1. یک انتقال معادل انجام دهیداز معادله اصلی به یک سیستم شامل

بسته به اینکه کدام نابرابری یا آسان تر است.

اگر معادله دارای یک مجهول در پایه لگاریتم باشد:

سپس به سیستم می رویم:

2. به طور جداگانه محدوده مقادیر مجاز معادله را پیدا کنید، سپس معادله را حل کنید و بررسی کنید که آیا راه حل های یافت شده معادله را برآورده می کنند یا خیر.

3. معادله را حل کنید و سپس چک کنید:جواب های پیدا شده را با معادله اصلی جایگزین کنید و بررسی کنید که آیا برابری صحیح را بدست آورده ایم یا خیر.

معادله لگاریتمیبا هر سطح از پیچیدگی، همیشه در نهایت به ساده ترین معادله لگاریتمی کاهش می یابد.

تمام معادلات لگاریتمی را می توان به چهار نوع تقسیم کرد:

1 . معادلاتی که فقط دارای لگاریتم به توان اول هستند. با کمک دگرگونی ها و استفاده، به فرم تقلیل می یابند

مثال. بیایید معادله را حل کنیم:

عبارات زیر علامت لگاریتم را معادل کنید:

بیایید بررسی کنیم که آیا ریشه معادله ما برآورده می شود:

بله راضی کننده است.

پاسخ: x=5

2 . معادلاتی که حاوی لگاریتم به توانی غیر از 1 (به ویژه در مخرج کسری) هستند. این معادلات با استفاده از معرفی تغییر متغیر.

مثال.بیایید معادله را حل کنیم:

بیایید معادله ODZ را پیدا کنیم:

معادله شامل لگاریتم مربع است، بنابراین با استفاده از تغییر متغیر حل می شود.

مهم! قبل از معرفی جایگزین، باید لگاریتم هایی را که بخشی از معادله هستند با استفاده از خواص لگاریتم به آجر بکشید.

هنگام "کشیدن" لگاریتم، مهم است که خواص لگاریتم ها را با دقت زیاد اعمال کنید:

علاوه بر این، یک مکان ظریف دیگر در اینجا وجود دارد و برای جلوگیری از یک اشتباه رایج، از یک برابری متوسط ​​استفاده می کنیم: درجه لگاریتم را به این شکل می نویسیم:

به همین ترتیب،

عبارات به دست آمده را در معادله اصلی جایگزین می کنیم. ما گرفتیم:

اکنون می بینیم که مجهول در معادله به عنوان بخشی از . جایگزین را معرفی می کنیم: . از آنجایی که می تواند هر مقدار واقعی را بگیرد، هیچ محدودیتی برای متغیر اعمال نمی کنیم.

دستورالعمل

داده شده را یادداشت کنید بیان لگاریتمی. اگر عبارت از لگاریتم 10 استفاده کند، نماد آن کوتاه شده و به صورت زیر است: lg b لگاریتم اعشاری است. اگر لگاریتم دارای عدد e به عنوان پایه باشد، عبارت نوشته می شود: ln b - لگاریتم طبیعی. قابل درک است که نتیجه هر توانی است که عدد پایه باید به آن افزایش یابد تا عدد b بدست آید.

هنگام پیدا کردن مجموع دو تابع، فقط باید آنها را یکی یکی از هم متمایز کنید و نتایج را اضافه کنید: (u+v)" = u"+v";

هنگام یافتن مشتق حاصل ضرب دو تابع، لازم است مشتق تابع اول را در دومی ضرب کنیم و مشتق تابع دوم را ضرب در تابع اول اضافه کنیم: (u*v)" = u"* v+v"*u;

برای یافتن مشتق ضریب دو تابع، لازم است از حاصل ضرب مشتق تقسیم در تابع مقسوم علیه، حاصل ضرب مشتق مقسوم بر تابع مقسوم علیه را کم کرده و تقسیم کنیم. همه اینها توسط تابع مقسوم علیه مربع. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

اگر داده شود تابع پیچیده، سپس باید مشتق تابع درونی و مشتق تابع بیرونی را ضرب کرد. بگذارید y=u(v(x))، سپس y"(x)=y"(u)*v"(x).

با استفاده از موارد فوق، می توانید تقریباً هر تابعی را متمایز کنید. پس بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

y=x^4، y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^xx^2+6)، y"=2*(3*x^2*(e^xx^2+6)+x^3*(e^x-2 *ایکس))؛
همچنین وظایفی برای محاسبه مشتق در یک نقطه وجود دارد. اجازه دهید تابع y=e^(x^2+6x+5) داده شود، باید مقدار تابع را در نقطه x=1 پیدا کنید.
1) مشتق تابع را بیابید: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) مقدار تابع را در نقطه داده شده y"(1)=8*e^0=8 محاسبه کنید

ویدیو های مرتبط

توصیه مفید

جدول مشتقات ابتدایی را یاد بگیرید. این باعث صرفه جویی در زمان زیادی می شود.

منابع:

• مشتق ثابت

بنابراین تفاوت بین یک معادله غیرمنطقی و یک معادله عقلانی چیست؟ اگر متغیر مجهول زیر علامت باشد ریشه دوم، سپس معادله غیرمنطقی در نظر گرفته می شود.

دستورالعمل

روش اصلی برای حل این گونه معادلات، روش بالا بردن هر دو طرف است معادلاتبه یک مربع با این حال. این طبیعی است، اولین قدم این است که از شر علامت خلاص شوید. از نظر فنی، این روش دشوار نیست، اما گاهی اوقات ممکن است منجر به دردسر شود. به عنوان مثال، معادله v(2x-5)=v(4x-7). با مجذور کردن دو طرف، 2x-5=4x-7 به دست می آید. حل چنین معادله ای دشوار نیست. x=1. اما عدد 1 داده نخواهد شد معادلات. چرا؟ واحد معادله را به جای مقدار x جایگزین کنید و سمت راست و چپ شامل عباراتی خواهد بود که معنی ندارند، یعنی. چنین مقداری برای یک جذر معتبر نیست. بنابراین، 1 یک ریشه خارجی است و بنابراین این معادله ریشه ندارد.

بنابراین، معادله غیرمنطقی با استفاده از روش مربع کردن هر دو قسمت آن حل می شود. و پس از حل معادله، باید ریشه های اضافی را قطع کرد. برای انجام این کار، ریشه های یافت شده را در معادله اصلی جایگزین کنید.

یکی دیگر را در نظر بگیرید.
2x+vx-3=0
البته این معادله با استفاده از معادله قبلی قابل حل است. ترکیبات انتقالی معادلات، که ریشه مربع ندارند به سمت راست رفته و سپس از روش مربع کردن استفاده کنید. معادله و ریشه های منطقی حاصل را حل کنید. اما یکی دیگر، شیک تر. یک متغیر جدید وارد کنید؛ vx=y. بر این اساس، معادله ای مانند 2y2+y-3=0 دریافت خواهید کرد. این معادله درجه دوم معمول است. ریشه های آن را پیدا کنید؛ y1=1 و y2=-3/2. بعد، دو را حل کنید معادلات vx=1; vx \u003d -3/2. معادله دوم ریشه ندارد، از معادله اول در می یابیم که x=1. نیاز به بررسی ریشه ها را فراموش نکنید.

حل هویت بسیار آسان است. این نیاز به انجام دارد تحولات یکسانتا رسیدن به هدف بنابراین، با کمک ساده ترین عملیات حسابی، کار حل خواهد شد.

شما نیاز خواهید داشت

• - کاغذ؛
• - خودکار.

دستورالعمل

ساده‌ترین این تبدیل‌ها ضرب‌های اختصاری جبری هستند (مانند مجذور مجموع (تفاوت)، تفاضل مربع‌ها، مجموع (تفاوت)، مکعب مجموع (تفاوت)). علاوه بر این، بسیاری وجود دارد فرمول های مثلثاتی، که در اصل همان هویت ها هستند.

در واقع، مجذور مجموع دو جمله برابر است با مجذور اولی به علاوه دو برابر حاصلضرب اولی و دومی به علاوه مربع دومی، یعنی (a+b)^2= (a+b) )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

هر دو را ساده کنید

اصول کلی راه حل

از کتاب درسی آنالیز ریاضی یا ریاضیات عالی که یک انتگرال قطعی است تکرار کنید. همانطور که می دانید راه حل انتگرال معینتابعی وجود دارد که مشتق آن یک انتگرال می دهد. این تابع ضد مشتق نامیده می شود. بر اساس این اصل، انتگرال های اساسی ساخته می شوند.
با شکل انتگرال مشخص کنید که کدام یک از انتگرال های جدول در این مورد مناسب است. همیشه نمی توان فوراً این را تعیین کرد. اغلب، شکل جدولی تنها پس از چندین تغییر برای ساده سازی انتگرال قابل توجه می شود.

روش جایگزینی متغیر

اگر انتگرال باشد تابع مثلثاتی، که آرگومان آن چند جمله ای است، سپس از روش جایگزینی متغیر استفاده کنید. برای انجام این کار، چند جمله ای در آرگومان انتگرال را با یک متغیر جدید جایگزین کنید. بر اساس نسبت بین متغیر جدید و قدیمی، حدود جدید ادغام را تعیین کنید. با متمایز کردن این عبارت، یک دیفرانسیل جدید در . بنابراین شما دریافت خواهید کرد نوع جدیدانتگرال قبلی، نزدیک یا حتی مربوط به هر جدولی است.

حل انتگرال های نوع دوم

اگر انتگرال انتگرالی از نوع دوم است، شکل برداری انتگرال، پس باید از قوانین حرکت از این انتگرال ها به انتگرال های اسکالر استفاده کنید. یکی از این قوانین نسبت استروگرادسکی-گاوس است. این قانون امکان عبور از جریان روتور یک تابع برداری را به یک انتگرال سه گانه بر روی واگرایی یک میدان برداری معین می دهد.

جایگزینی حدود ادغام

پس از یافتن پاد مشتق، لازم است که حدود ادغام جایگزین شود. ابتدا مقدار حد بالایی را با عبارت ضد مشتق جایگزین کنید. تعدادی عدد دریافت خواهید کرد. در مرحله بعد، از عدد به دست آمده یک عدد دیگر کم کنید، حد پایین به دست آمده به ضد مشتق. اگر یکی از محدودیت های ادغام بی نهایت باشد، آن را جایگزین کنید تابع ضد مشتقلازم است به مرز برویم و ببینیم که بیان به چه چیزی تمایل دارد.
اگر انتگرال دو بعدی یا سه بعدی است، برای درک نحوه محاسبه انتگرال باید محدودیت های هندسی انتگرال را نشان دهید. در واقع، در مورد مثلاً یک انتگرال سه بعدی، حدود ادغام می تواند سطوح کاملی باشد که حجم مورد ادغام را محدود می کند.

آمادگی برای آزمون نهایی در ریاضیات شامل بخش مهمی است - "لگاریتم". وظایف این مبحث لزوماً در آزمون موجود است. تجربه سال‌های گذشته نشان می‌دهد که معادلات لگاریتمی برای بسیاری از دانش‌آموزان مشکل ایجاد کرده است. بنابراین، دانش آموزان با سطوح مختلف آموزشی باید بدانند که چگونه پاسخ صحیح را بیابند و به سرعت با آنها کنار بیایند.

با کمک پورتال آموزشی "Shkolkovo" آزمون گواهینامه را با موفقیت پشت سر بگذارید!

فارغ التحصیلان دبیرستان هنگام آماده شدن برای آزمون دولتی یکپارچه به منبع معتبری نیاز دارند که کامل ترین و دقیق ترین اطلاعات را برای حل موفقیت آمیز مسائل آزمون ارائه دهد. با این حال، کتاب درسی همیشه در دسترس نیست و جستجوی قوانین و فرمول های لازم در اینترنت اغلب زمان می برد.

پورتال آموزشی "Shkolkovo" به شما این امکان را می دهد که در هر زمان و هر زمان برای امتحان آماده شوید. سایت ما راحت ترین روش را برای تکرار و تسلط بر حجم زیادی از اطلاعات در مورد لگاریتم ها، و همچنین در یک و چند مجهول ارائه می دهد. با معادلات آسان شروع کنید. اگر بدون مشکل با آنها کنار آمدید، به سراغ موارد دشوارتر بروید. اگر در حل یک نابرابری خاص مشکل دارید، می توانید آن را به موارد دلخواه خود اضافه کنید تا بتوانید بعداً به آن بازگردید.

پیدا کردن فرمول های لازمبرای تکمیل کار، می توانید با مراجعه به بخش "مرجع نظری" موارد و روش های خاصی را برای محاسبه ریشه یک معادله لگاریتمی استاندارد تکرار کنید. معلمان "Skolkovo" تمام مواد لازم برای تحویل موفقیت آمیز را به ساده ترین و قابل فهم ترین شکل جمع آوری، سیستماتیک و ارائه کردند.

برای اینکه به راحتی با وظایف هر پیچیدگی کنار بیایید، در پورتال ما می توانید با حل برخی از معادلات لگاریتمی معمولی آشنا شوید. برای انجام این کار، به بخش "کاتالوگ ها" بروید. ارائه کرده ایم تعداد زیادی ازمثال ها از جمله معادلات سطح پروفایلاستفاده در ریاضیات

دانش آموزان مدارس سراسر روسیه می توانند از پورتال ما استفاده کنند. برای شروع کافیست در سیستم ثبت نام کرده و شروع به حل معادلات کنید. برای تجمیع نتایج، به شما توصیه می کنیم که روزانه به وب سایت Shkolkovo بازگردید.

معادلات لگاریتمی از ساده به پیچیده.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که به شدت "نه خیلی..."
و برای کسانی که "خیلی...")

معادله لگاریتمی چیست؟

این یک معادله با لگاریتم است. تعجب کردم، درست است؟) سپس توضیح خواهم داد. این معادله ای است که مجهولات (x) و عبارات با آنها هستند داخل لگاریتم هاو فقط آنجا! مهم است.

در اینجا چند نمونه آورده شده است معادلات لگاریتمی:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x + 1 (x 2 + 3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg (x+1)

خوبه، تو ایده ای داری... )

توجه داشته باشید! متنوع ترین عبارات با x قرار دارند منحصراً در داخل لگاریتماگر به طور ناگهانی یک x در معادله در جایی پیدا شود خارج از، مثلا:

log 2 x = 3 + x,

این یک معادله از نوع مختلط خواهد بود. چنین معادلاتی قوانین روشنی برای حل ندارند. فعلا آنها را در نظر نخواهیم گرفت. به هر حال، معادلاتی در داخل لگاریتم وجود دارد فقط اعداد. برای مثال:

چه می توانم بگویم؟ شما خوش شانس هستید اگر با این روبرو شوید! لگاریتم با اعداد است تعدادی عددو بس. برای حل چنین معادله ای، دانستن خواص لگاریتم ها کافی است. دانش قوانین خاص، تکنیک هایی که به طور خاص برای حل اقتباس شده اند معادلات لگاریتمی،اینجا لازم نیست

بنابراین، معادله لگاریتمی چیست- فهمیدم

چگونه معادلات لگاریتمی را حل کنیم؟

راه حل معادلات لگاریتمی- یک چیز، به طور کلی، خیلی ساده نیست. بنابراین بخشی که ما داریم برای چهار نفر است ... یک منبع مناسب از دانش در مورد انواع موضوعات مرتبط مورد نیاز است. علاوه بر این، ویژگی خاصی در این معادلات وجود دارد. و این ویژگی آنقدر مهم است که با خیال راحت می توان آن را مشکل اصلی در حل معادلات لگاریتمی نامید. در درس بعدی به طور مفصل به این مشکل خواهیم پرداخت.

حالا نگران نباش راه درست را خواهیم رفت از ساده به پیچیدهدر نمونه های عینی. نکته اصلی این است که به چیزهای ساده بپردازید و برای دنبال کردن پیوندها تنبل نباشید، من آنها را به یک دلیل قرار دادم ... و موفق خواهید شد. لزوما.

بیایید با ابتدایی ترین و ساده ترین معادلات شروع کنیم. برای حل آنها، داشتن ایده ای در مورد لگاریتم مطلوب است، اما نه بیشتر. فقط هیچ ایده ای نیست لگاریتمتصمیم بگیر لگاریتمیمعادلات - به نوعی حتی شرم آور ... خیلی جسورانه، من می گویم).

ساده ترین معادلات لگاریتمی

اینها معادلات شکل هستند:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

فرآیند حل هر معادله لگاریتمیعبارت است از انتقال از یک معادله با لگاریتم به یک معادله بدون آنها. در ساده ترین معادلات، این انتقال در یک مرحله انجام می شود. به همین دلیل ساده است.)

و چنین معادلات لگاریتمی به طرز شگفت انگیزی به سادگی حل می شوند. خودت ببین.

بیایید مثال اول را حل کنیم:

log 3 x = log 3 9

برای حل این مثال، نیازی نیست تقریباً چیزی بدانید، بله ... شهود خالص!) ما چه می کنیم بخصوصاین مثال را دوست ندارید؟ یه چیزی... من از لگاریتم خوشم نمیاد! درست. در اینجا ما از شر آنها خلاص می شویم. ما از نزدیک به مثال نگاه می کنیم و یک میل طبیعی در ما ایجاد می شود ... کاملاً غیر قابل مقاومت! به طور کلی لگاریتم ها را بگیرید و بیرون بیاورید. و آنچه خوشحال می شود این است می توانانجام دادن! ریاضیات اجازه می دهد. لگاریتم ها ناپدید می شوندپاسخ این است:

عالی است، درست است؟ این را می توان (و باید) همیشه انجام داد. حذف لگاریتم به این روش یکی از راه های اصلی حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها است. در ریاضیات به این عمل می گویند تقویتالبته قوانین خاص خود را برای چنین انحلال وجود دارد، اما آنها کمی هستند. یاد آوردن:

شما می توانید لگاریتم ها را بدون هیچ ترسی حذف کنید اگر:

الف) پایه های عددی یکسان

ج) لگاریتم های چپ-راست تمیز (بدون هیچ ضرایبی) و در انزوای عالی قرار دارند.

نکته آخر را توضیح دهم. در معادله، بیایید بگوییم

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

لگاریتم ها را نمی توان حذف کرد. دژ سمت راست اجازه نمی دهد. ضریب، می دانید ... در مثال

log 3 x + log 3 (x + 1) = log 3 (3 + x)

معادله را نیز نمی توان تقویت کرد. هیچ لگاریتمی تنها در سمت چپ وجود ندارد. دو تا از آنها موجود است.

به طور خلاصه، اگر معادله شبیه به این باشد، می توانید لگاریتم ها را حذف کنید:

log a (.....) = log a (.....)

در پرانتز، جایی که بیضی می تواند باشد هر نوع بیانیساده، فوق العاده پیچیده، هر چه باشد. هر چه. نکته مهم این است که پس از حذف لگاریتم ها مانده ایم یک معادله ساده ترالبته فرض بر این است که شما می دانید چگونه معادلات خطی، درجه دوم، کسری، نمایی و غیره را بدون لگاریتم حل کنید.)

حالا به راحتی می توانید مثال دوم را حل کنید:

log 7 (2x-3) = log 7 x

در واقع، این در ذهن است. ما تقویت می کنیم، دریافت می کنیم:

خوب، خیلی سخت است؟) همانطور که می بینید، لگاریتمیبخشی از حل معادله است فقط در حذف لگاریتم ...و سپس حل معادله باقی مانده بدون آنها می آید. تجارت زباله

مثال سوم را حل می کنیم:

log 7 (50x-1) = 2

می بینیم که لگاریتم در سمت چپ است:

به یاد می آوریم که این لگاریتم عددی است که برای به دست آوردن یک عبارت زیر لگاریتمی، پایه (یعنی هفت) باید به آن افزایش یابد. (50x-1).

اما این عدد دو است! با توجه به معادله. به این معنا که:

این، در اصل، همه چیز است. لگاریتم ناپدید شدمعادله بی ضرر باقی می ماند:

ما این معادله لگاریتمی را فقط بر اساس معنی لگاریتم حل کرده ایم. آیا حذف لگاریتم راحت تر است؟) موافقم. به هر حال، اگر از دو لگاریتم بسازید، می توانید این مثال را از طریق انحلال حل کنید. از هر عددی می توانید لگاریتمی بگیرید. و درست همانطور که ما به آن نیاز داریم. خیلی تکنیک مفیددر حل معادلات لگاریتمی و (مخصوصا!) نابرابری ها.

آیا می دانید چگونه از یک عدد لگاریتم بسازید!؟ اشتباهی صورت نگرفته. بخش 555 این تکنیک را به تفصیل شرح می دهد. شما می توانید آن را به طور کامل تسلط و اعمال کنید! تعداد خطاها را تا حد زیادی کاهش می دهد.

معادله چهارم دقیقاً به همین ترتیب حل می شود (طبق تعریف):

این تمام چیزی است که در آن وجود دارد.

بیایید این درس را خلاصه کنیم. ما حل ساده ترین معادلات لگاریتمی را با استفاده از مثال در نظر گرفتیم. این خیلی مهمه. و نه تنها به این دلیل که چنین معادلاتی در آزمون های کنترلی هستند. واقعیت این است که حتی بدترین و گیج‌کننده‌ترین معادلات نیز لزوماً به ساده‌ترین آنها تقلیل می‌یابند!

در واقع ساده ترین معادلات بخش پایانی راه حل هستند هرمعادلات و این قسمت پایانی را باید از قضا فهمید! و بیشتر این صفحه را حتما تا آخر بخوانید. یه سورپرایز هست...

بیایید خودمان تصمیم بگیریم. به اصطلاح دست را پر می کنیم ...)

ریشه (یا مجموع ریشه ها، در صورت وجود چند) معادلات را بیابید:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0.5x-1.5) = 0.25

log 0.2 (3x-1) = -3

ln (e 2 + 2x-3) \u003d 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

پاسخ ها (البته به هم ریخته): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2 شانزده

چه چیزی درست نمی شود؟ اتفاق می افتد. غصه نخور! در بخش 555، راه حل تمام این مثال ها به طور واضح و با جزئیات توضیح داده شده است. حتما در آنجا خواهید فهمید. علاوه بر این، تکنیک های کاربردی مفیدی را یاد خواهید گرفت.

همه چیز درست شد!؟ همه نمونه های «یکی مانده»؟) مبارکت باشد!

وقت آن رسیده که حقیقت تلخ را برای شما فاش کنیم. حل موفق این مثال ها به هیچ وجه موفقیت در حل تمام معادلات لگاریتمی دیگر را تضمین نمی کند. حتی ساده های مثل این ها. افسوس.

نکته اینجاست که حل هر معادله لگاریتمی (حتی ابتدایی ترین معادله!) شامل دو قسمت مساویمعادله را حل کنید و با ODZ کار کنید. یک بخش - حل خود معادله - ما تسلط داریم. آنقدرها هم سخت نیستدرست؟

برای این درس، من به طور خاص نمونه هایی را انتخاب کردم که در آنها ODZ به هیچ وجه روی پاسخ تأثیر نمی گذارد. اما همه به اندازه من مهربان نیستند، درست است؟...)

بنابراین باید به قسمت دیگر نیز تسلط داشت. ODZ. این مشکل اصلی در حل معادلات لگاریتمی است. و نه به این دلیل که دشوار است - این قسمت حتی ساده تر از قسمت اول است. اما چون آنها به سادگی ODZ را فراموش می کنند. یا نمی دانند. یا هر دو). و زمین می افتند...

در درس بعدی به این مشکل خواهیم پرداخت. سپس می توان با اطمینان تصمیم گرفت هرمعادلات لگاریتمی ساده و نزدیک شدن به وظایف کاملاً جامد.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.