این تابع ابتدا برای یک تابع نامیده می شود. درس فوق العاده ای است که ابتدایی است. ادغام. قوانین برای محاسبه انتگرال برای dummies

چاپ

تعریف یک تابع ابتدایی

• تابع y \u003d f (x)نامیده می شود اولیه برای عملکرد y \u003d f (x) در یک فاصله مشخص ایکس،اگر برای همه h. ∈ H. برابری انجام می شود: f '(x) \u003d f (x)

شما می توانید به دو روش بخوانید:

1. f. تابع مشتق شده F.
2. F. ایده آل برای عملکرد f.

اموال اولیه

• اگر یک f (x)- مناسب برای عملکرد f (x) در یک شکاف داده شده، تابع f (x) بی نهایت بسیاری از ابتدایی است، و همه این ابتدایی می تواند به عنوان نوشته شده است f (x) + باجایی که C ثابت خودسرانه است.

تفسیر هندسی

• نمودارهای ابتدایی این ویژگی. f (x) به دست آمده از گراف هر یک از انتقال موازی اولیه در امتداد محور در مورد w..

قوانین محاسبه اولیه

1. اولین مقدار برابر با مجموع حقوقی است. اگر یک f (x) - پیش از آن f (x)، و g (x) ابتدایی است g (x)T. f (x) + g (x) - پیش از آن f (x) + g (x).
2. ضریب دائمی می تواند برای علامت مشتق شده ساخته شود. اگر یک f (x) - پیش از آن f (x)، من. k. - ثابت، سپس k · f (x) - پیش از آن k · f (x).
3. اگر یک f (x) - پیش از آن f (x)، من. k، B. - ثابت، و k ≠ 0T. 1 / k · f (kx + b) - پیش از آن f (kx + b).

یاد آوردن!

هر ویژگی f (x) \u003d x 2 + جایی که C ثابت دائمی است و تنها چنین عملکرد یک عمل اولیه برای عملکرد است f (x) \u003d 2x.

• مثلا:

  f "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x)؛

  f (x) \u003d 2x، زیرا f "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x)؛

  f (x) \u003d 2x، زیرا f "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x)؛

اتصال بین نمودارهای عملکرد و اولیه آن:

1. اگر نمودار تابع باشد f (x)\u003e 0 f (x) در این فاصله افزایش می یابد.
2. اگر نمودار تابع باشد f (x)<0 در فاصله زمانی، برنامه اولیه آن ابتدایی است f (x) در این فاصله کاهش می یابد.
3. اگر یک f (x) \u003d 0سپس نمودار ابتدایی او f (x) در این مرحله با کاهش افزایش (یا بالعکس) تغییر می کند.

برای تعیین، نشانه یک انتگرال نامشخص استفاده می شود، یعنی یکپارچگی بدون مشخص کردن محدودیت های ادغام.

جدایی ناپذیر

تعریف:

• یکپارچگی نامشخص از تابع f (x) عبارت F (x) + C است، یعنی ترکیبی از تمام توابع اولیه f (x). یک انتگرال نامحدود را به شرح زیر نشان می دهد: \\ int f (x) dx \u003d f (x) + c

• f (x)- به تابع یکپارچه مراجعه کنید
• f (x) dx- یک عبارت همبستگی نامیده می شود؛
• ایکس. - متغیر یکپارچه سازی تماس؛
• f (x) - یکی از توابع ابتدایی f (x)؛
• از جانب - دائمی دلخواه

خواص یک انتگرال نامحدود

1. مشتق از یک انتگرال نامحدود برابر با تابع انتگرال است: (\\ int f (x) dx) \\ prime \u003d f (x).
2. چند ضلعی دائمی بیان یکپارچه را می توان برای یک نشانه انتگرال انجام داد: \\ int k \\ cdot f (x) dx \u003d k \\ cdot \\ int f (x) dx.
3. انتگرال از مقدار (تفاوت) توابع برابر با مقدار (تفاوت) انتگرال از این توابع است: \\ int (f (x) \\ pm g (x)) dx \u003d \\ int f (x) dx \\ pm \\ int \\ int g (x) dx.
4. اگر یک k، B.- ثابت، و k ≠ 0، سپس \\ int f (kx + b) dx \u003d \\ frac (1) (k) \\ cdot f (kx + b) + c.

جدول انتگرال های اولیه و نامعلوم

تابع f (x)	چاپ f (x) + c	انتگرال های نامعلوم \\ int f (x) dx \u003d f (x) + c
0	C.	\\ int 0 dx \u003d c
f (x) \u003d k	f (x) \u003d kx + c	\\ int kdx \u003d kx + c
f (x) \u003d x ^ m، m \\ نه \u003d -1	f (x) \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + c	\\ int x (^ m) dx \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (x)	f (x) \u003d l n \\ lover x \\ rund + c	\\ int \\ frac (dx) (x) \u003d l n \\ lover x \\ rund + c
f (x) \u003d e ^ x	f (x) \u003d e ^ x + c	\\ int e (^ x) dx \u003d e ^ x + c
f (x) \u003d a ^ x	f (x) \u003d \\ frac (a ^ x) (l na) + c	\\ int a (^ x) dx \u003d \\ frac (a ^ x) (l na) + c
f (x) \u003d \\ sin x	f (x) \u003d - \\ cos x + c	\\ int \\ sin x dx \u003d - \\ cos x + c
f (x) \u003d \\ cos x	f (x) \u003d \\ sin x + c	\\ int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sin (^ 2) x)	f (x) \u003d - \\ ctg x + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sin (^ 2) x) \u003d - \\ ctg x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos (^ 2) x)	f (x) \u003d \\ tg x + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sin (^ 2) x) \u003d \\ tg x + c
f (x) \u003d \\ sqrt (x)	f (x) \u003d \\ frac (2x \\ sqrt (x)) (3) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x))	f (x) \u003d 2 \\ sqrt (x) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1-x ^ 2))	f (x) \u003d \\ arcsin x + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1 + x ^ 2))	f (x) \u003d \\ arctg x + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (1 + x ^ 2)) \u003d \\ arcttg x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2))	f (x) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2))	f (x) \u003d \\ arctg \\ frac (x) (a) + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (a) \\ arrctg \\ frac (x) (a) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (1 + x ^ 2)	f (x) \u003d \\ arctg + c	\\ int \\ frac (DX) (1 + x ^ 2) \u003d \\ arcttg + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2) (\\ not \u003d 0)	f (x) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ lerver \\ frac (x-a) (x + a) \\ rund + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ lover / frac (x-a) (x + a) \\ rund + c
f (x) \u003d \\ tg x	f (x) \u003d - l n \\ lover \\ cos x \\ rund + c	\\ int \\ tg x dx \u003d - l n \\ lover \\ cos x \\ rund + c
f (x) \u003d \\ ctg x	f (x) \u003d l n \\ lover \\ sin x \\ rund + c	\\ int \\ ctg x dx \u003d l n \\ lover \\ sin x \\ rund + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sin x)	f (x) \u003d l n \\ lover \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rund + c	\\ int \\ frac (dx) (\\ sin x) \u003d l n \\ lover \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rund + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos x)	f (x) \u003d l n \\ lover \\ tg (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rund + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ cos x) \u003d l n \\ lover \\ tg (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rund + c

فرمول نیوتن لابیتسا

بیایید f (x) این ویژگی، F. ابتدایی دلخواه او.

\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d f (x) | _ (a) ^ (b)\u003d f (b) - f (a)

جایی که f (x) - پیش از آن f (x)

یعنی تابع انتگرال f (x) فاصله زمانی برابر با تفاوت در مناظر در نقاط است ب و آ..

مربع از trapezium curvilinear

trapezium curvilinear یک شکل محدود شده توسط یک برنامه غیر منفی و مداوم در یک بخش از عملکرد محدود شده است f.، Axis Ox و راست x \u003d A. و x \u003d b..

منطقه تراکم انحنا بر اساس فرمول نیوتن لابیتا یافت می شود:

s \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx

تعریف ابتدایی

تابع اولیه f (x) در فاصله (a؛ b) چنین تابع f (x) نامیده می شود، که برای هر x از شکاف مشخص شده انجام می شود.

اگر شما این واقعیت را در نظر بگیرید که مشتق ثابت C ثابت صفر است، پس برابری درست است . بنابراین، تابع f (x) دارای بسیاری از F (x) + C، برای یک دائمی دلخواه C، و این شکل اول متفاوت از یکدیگر به یک مقدار دائمی دلخواه متفاوت است.

تعریف یکپارچه نامشخص.

تمام بسیاری از توابع اولیه f (x) یکپارچه نامشخص این تابع نامیده می شود و نشان داده شده است .

بیان نامیده می شود بیان بتن، و f (x) - تابع یکپارچه. انتگرال تابع دیفرانسیل F (x) است.

عمل پیدا کردن یک تابع ناشناخته با توجه به دیفرانسیل تعریف شده آن نامیده می شود نا معلوم ادغام، زیرا نتیجه یکپارچه سازی یک تابع f (x) نیست، اما مجموعه ای از F (x) اولیه آن + c.

بر اساس خواص مشتق شده، می توانید فرموله و اثبات کنید خواص یکپارچه نامشخص (خواص پرم شکل).

موقت برابر با خواص اول و دوم یکپارچگی نامعلوم به توضیح داده می شود.

برای اثبات خواص سوم و چهارم، برای یافتن مشتقات از بخش های راست برابری کافی است:

این مشتقات برابر با توابع مهار کننده هستند، که با توجه به ویژگی اول، اثبات می شود. این در آخرین انتقال استفاده می شود.

بنابراین، وظیفه ادغام یک مشکل تمایز معکوس است، و بین این وظایف بسیار نزدیک است:

• اولین اموال به شما اجازه می دهد تا ادغام را بررسی کنید. برای بررسی صحت ادغام انجام شده، کافی است برای محاسبه مشتق از نتیجه به دست آمده. اگر عملکرد به دست آمده به عنوان یک نتیجه از تمایز برابر با تابع انتگرال برابر باشد، این بدان معنی است که ادغام به درستی انجام می شود؛
• اموال دوم یک انتگرال نامحدود به شما امکان می دهد عملکرد اولیه خود را بر روی یک دیفرانسیل شناخته شده پیدا کنید. در این اموال، محاسبه مستقیم انتگرال های نامعلوم مبتنی بر است.

یک مثال را در نظر بگیرید

مثال.

یک تابع اولیه را پیدا کنید که ارزش آن در x \u003d 1 متحد است.

تصمیم گیری

ما از محاسبات دیفرانسیل می دانیم که (به اندازه کافی به مشتقات جدول از توابع ابتدایی اصلی نگاه کنید). به این ترتیب، . با توجه به اموال دوم . به عبارت دیگر، ما بسیاری از ابتدایی ها داریم. در x \u003d 1، ما ارزش دریافت می کنیم. با توجه به شرایط، این مقدار باید برابر با یک باشد، بنابراین، C \u003d 1. ابتدایی مطلوب نگاه خواهد کرد.

مثال.

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید و نتیجه تمایز را بررسی کنید.

تصمیم گیری

با توجه به فرمول سینوسی زاویه دوگانه از مثلثات ، بنابراین

عملکرد اولیه و انتگرال نامحدود

واقعیت 1. ادغام - اقدام، تمایز معکوس، یعنی بازگرداندن عملکرد با توجه به مشتق شناخته شده این تابع. تابع بازسازی شده است F.(ایکس.) نامیده می شود پیش بینی شده برای عملکرد f.(ایکس.).

تعریف 1. عملکرد F.(ایکس. f.(ایکس.) در برخی از فاصله ایکس.اگر برای همه ارزش ها ایکس. برابری از این شکاف انجام می شود F. "(ایکس.)=f.(ایکس.)، یعنی این ویژگی f.(ایکس.) مشتق از یک تابع ابتدایی است F.(ایکس.). .

به عنوان مثال، یک تابع F.(ایکس.) \u003d گناه ایکس. یک تابع اولیه است f.(ایکس.) \u003d cos ایکس. در کل عددی مستقیم، از آنجا که با هر مقدار از iksa (گناه ایکس.) "\u003d (cos ایکس.) .

تعریف 2. تابع نامطلوب یکپارچه f.(ایکس.) این به طور کلی تمام اولیه آن نامیده می شود. این از ضبط استفاده می کند

∫

f.(ایکس.)dX

,

جایی که علامت ∫ علامت انتگرال، عملکرد f.(ایکس.) - یک تابع جایگزینی، و f.(ایکس.)dX - یک بیان بتن

بنابراین، اگر F.(ایکس.) - نوعی اولیه برای f.(ایکس.)، T.

∫

f.(ایکس.)dX = F.(ایکس.) +C.

جایی که C. - دائمی دلخواه (ثابت).

برای درک معنای بسیاری از توابع ابتدایی به عنوان یک انتگرال نامحدود، آنالوگ زیر مناسب است. اجازه دهید یک درب وجود داشته باشد (درب چوبی سنتی). عملکرد آن "به عنوان یک درب است." و درب چه چیزی ساخته شده است؟ از چوب. بنابراین، بسیاری از عملکرد یکپارچه اولیه "درب"، یعنی یک انتگرال نامحدود، عملکرد "بودن + C" است، جایی که C ثابت است، که در این زمینه ممکن است نشان دهد، به عنوان مثال، یک درخت از چوب. درست همانطور که درب از چوب ساخته شده است با استفاده از برخی از ابزارها، مشتق از عملکرد "ساخته شده" از عملکرد اولیه با فرمول هایی که ما با مطالعه مشتق شده یاد گرفتیم .

سپس میز توابع اشیاء مشترک و ابتدایی مربوطه ("به عنوان درب" - "درخت"، "یک قاشق" - "باید فلز"، و غیره) شبیه به جدول اصلی انتگرال های نامحدود اصلی است ، که کمی کمتر نشان داده می شود. جدول انتگرال های نامعلوم، توابع رایج را نشان می دهد که نشان دهنده ابتدای اولیه است، که این توابع انجام می شود. از لحاظ وظایف برای پیدا کردن یک انتگرال نامحدود، چنین انتهایی چنین یکپارچگی داده می شود، که بدون گرانش خاص می تواند به طور مستقیم یکپارچه شود، یعنی بر روی میز انتگرال های نامعلوم. در وظایف، لازم است قبل از تبدیل به وظایف پیش از پیشبرد به طوری که شما می توانید از انتگرال های جدول استفاده کنید.

واقعیت 2. بازگرداندن عملکرد به عنوان یک ابتدایی، ما باید یک دائمی دلخواه را در نظر بگیریم (ثابت) C.، به طوری که فهرستی از ابتدایی را با ثابت های مختلف از 1 تا بی نهایت بنویسید، باید بسیاری از ابتدایی را با یک دائمی دلخواه ثبت کنید C.به عنوان مثال، به شرح زیر است: 5 ایکس.³ + p. بنابراین، یک دائمی دلخواه (ثابت) وارد بیان ابتدایی می شود، زیرا ابتدایی می تواند یک تابع باشد، به عنوان مثال، 5 ایکس.³ + 4 یا 5 ایکس.³ + 3 و با تمایز 4 یا 3، یا هر ثابت دیگر به صفر اعمال می شود.

ما کار ادغام را قرار می دهیم: برای این تابع f.(ایکس.) چنین تابع را پیدا کنید F.(ایکس.), مشتق از آن برابر f.(ایکس.).

مثال 1ویژگی های مختلفی پیدا کنید

تصمیم گیری برای این ویژگی، عملکرد تابع است

تابع F.(ایکس.) نامیده می شود اولیه برای عملکرد f.(ایکس.) اگر مشتق شده باشد F.(ایکس.) برابر f.(ایکس.)، یا همان، دیفرانسیل F.(ایکس.) کلاغ سیاه f.(ایکس.) dX.

(2)

در نتیجه، عملکرد ابتدایی برای یک تابع است. با این حال، این تنها اولیه نیست. آنها همچنین به عنوان توابع عمل می کنند

جایی که از جانب - دائمی دلخواه این می تواند تمایز دیده شود.

بنابراین، اگر اولین اولیه برای عملکرد وجود داشته باشد، پس از آن دارای بسیاری از بی نهایت ابتدایی است که در اصطلاح دائمی متفاوت است. تمام توابع اولیه در فرم فوق نوشته شده است. این به دنبال قضیه زیر است.

قضیه (بیانیه رسمی واقعیت 2).اگر یک F.(ایکس.) - معتبر برای عملکرد f.(ایکس.) در برخی از فاصله H.، سپس هر ابتدایی دیگر f.(ایکس.) در همان شکاف می تواند در فرم ارائه شود F.(ایکس.) + C.جایی که از جانب- دائمی دلخواه

در مثال زیر، ما در حال حاضر به جدول انتگرال، که در پاراگراف 3، پس از خواص یکپارچه نامحدود ارائه می شود، تجدید نظر می کنیم. ما آن را قبل از آشنا شدن با کل جدول انجام می دهیم، به طوری که ماهیت پیشین درک می شود. و پس از جدول و خواص ما آنها را هنگام ادغام در تمام کامل استفاده خواهیم کرد.

مثال 2پیدا کردن چندین ویژگی:

تصمیم گیری ما مجموعه ای از توابع اولیه را پیدا می کنیم که "این توابع انجام می شود". هنگام اشاره به فرمول ها از جدول انتگرال، به سادگی قبول می کنید که چنین فرمول هایی وجود دارد، و ما جدول انتگرال های نامعلوم را به طور کامل مطالعه خواهیم کرد.

1) استفاده از فرمول (7) از جدول انتگرال با n. \u003d 3، ما دریافت می کنیم

2) استفاده از فرمول (10) از جدول انتگرال با n. \u003d 1/3، ما داریم

3) به عنوان

سپس توسط فرمول (7) زمانی که n. \u003d -1/4 پیدا کردن

تحت نشانه ای از انتگرال نوشتن خود را نه عملکرد خود را f. ، و کار او بر دیفرانسیل dX . این کار به طور عمده انجام می شود تا مشخص شود کدام متغیر به دنبال یک ابتدایی است. مثلا،

, ;

در اینجا، در هر دو مورد، عملکرد انتگرال برابر است، اما انتگرال های نامحدود آن در موارد مورد نظر متفاوت است. در مورد اول، این ویژگی به عنوان یک تابع از یک متغیر در نظر گرفته می شود ایکس. ، و در دوم - به عنوان یک تابع از z. .

فرآیند یافتن یک تابع انتگرال نامحدود به نام یکپارچه سازی این تابع است.

معنای هندسی یک انتگرال نامحدود

اجازه دهید آن را برای پیدا کردن یک منحنی لازم است y \u003d f (x) و ما قبلا می دانیم که مماس زاویه شیب در هر نقطه از آن، تابع مشخص شده است f (x) سوء استفاده از این نقطه.

با توجه به معنای هندسی ناشی از مشتق شده، زاویه شیب مماس در این نقطه منحنی y \u003d f (x) برابر با ارزش مشتق شده است f "(x). بنابراین شما باید چنین عملکرد را پیدا کنید f (x)، برای کدام f "(x) \u003d f (x). تابع مورد نیاز در کار f (x) یک اصل اولیه است f (x). وضعیت مشکل، یک منحنی را برآورده نمی کند، بلکه خانواده منحنی ها را برآورده نمی کند. y \u003d f (x) - یکی از این منحنی ها، و هر منحنی دیگر را می توان از انتقال موازی خود را در امتداد محور به دست آورد oy.

بیایید یک نمودار از یک تابع ابتدایی را از f (x) منحنی انتگرال اگر یک f "(x) \u003d f (x)سپس نمودار تابع y \u003d f (x) منحنی انتگرال وجود دارد.

واقعیت 3. یکپارچگی نامشخص، به صورت هندسی توسط هفت منحنی مجتمع نشان داده شده است همانطور که در شکل زیر. از دست دادن هر یک از منحنی از ابتدای مختصات، یکپارچگی دائمی خودسرانه (ثابت) تعیین می شود C..

خواص یک انتگرال نامحدود

واقعیت 4. قضیه 1. مشتق از یک انتگرال نامحدود برابر با عملکرد انتگرال است، و دیفرانسیل آن یک بیان منبع است.

واقعیت 5. قضیه 2. انتگرال غیرقابل انکار از عملکرد دیفرانسیل f.(ایکس.) تابع برابر f.(ایکس.) با دقت یک اصطلاح دائمی .

(3)

تئوری های 1 و 2 نشان می دهد که تمایز و ادغام عملیات متقابل معکوس است.

واقعیت 6. قضیه 3. چند ضلعی ثابت در انتگرال می تواند برای نشانه ای از یک انتگرال نامحدود ساخته شود .

تعریف. تابع f (x) اولیه برای تابع f (x) در یک شکاف داده شده نامیده می شود، اگر برای هر x از این شکاف "(x) \u003d f (x).

اموال اصلی اولیه.

اگر f (x) یک تابع اولیه f (x) باشد، پس تابع f (x) + c، جایی که C ثابت کامل است، همچنین یک تابع اولیه F (x) (یعنی تمام توابع اولیه f ( x) در فرم F (x) + S ثبت می شوند).

تفسیر هندسی.

نمودارهای تمام توابع اولیه F (X) از گراف هر یک از انتقال های موازی اولیه در امتداد محور OU به دست می آیند.

جدول چاپ

قوانین پیدا کردن اولیه .

اجازه دهید f (x) و g (x) ابتدایی عملکردی f (x) و g (x) باشد. سپس:

1. f ( ایکس.) ± g ( ایکس.) - قبل از آن F.( ایکس.) ± G.( ایکس.);

2. ولی f ( ایکس.) - قبل از آن ولی F.( ایکس.);

3. - برای ولی F.( kx + ب).

وظایف و تست ها در موضوع "Pred-like"

• چاپ

  درس ها: 1 وظیفه: 11 تست: 1

• مشتق و ابتدایی - آماده سازی برای امتحان در ریاضیات در ریاضیات

  وظایف: 3

• انتگرال - پردازی و یکپارچه درجه 11

  درس ها: 4 وظیفه: 13 آزمون: 1

• محاسبه مناطق با کمک انتگرال ها - پردازی و یکپارچه درجه 11

  درس ها: 1 وظیفه: 10 تست: 1

پس از مطالعه این موضوع، شما باید بدانید که چه چیزی نامیده می شود اولیه، مالکیت اصلی آن، تفسیر هندسی، قوانین پیدا کردن اولیه؛ برای پیدا کردن تمام توابع ابتدایی با استفاده از جدول و قوانین برای پیدا کردن ابتدایی، و همچنین ابتدایی، عبور از نقطه مشخص شده. در نظر گرفتن مشکلات حل مسئله در این موضوع را در نظر بگیرید. توجه به تصمیمات.

مثال ها.

1. پیدا کردن عملکرد f ( ایکس.) = h. 3 – 3h. + 1 اولیه برای عملکرد f.(ایکس.) = 3(h. 2 – 1).

تصمیم گیری: f "( ایکس.) = (h. 3 – 3h. + 1) '\u003d 3 h. 2 – 3 = 3(h. 2 – 1) = f.(ایکس.)، به عنوان مثال f "( ایکس.) = f.(ایکس.) بنابراین، f (x) ابتدایی برای تابع f (x) است.

2. تمام توابع ابتدایی f (x) را پیدا کنید:

ولی) f.(ایکس.) = h. 4 + 3h. 2 + 5

تصمیم گیری: با استفاده از جدول و قوانین پیدا کردن ابتدایی، ما دریافت می کنیم:

پاسخ:

ب) f.(ایکس.) \u003d گناه (3 ایکس. – 2)

تصمیم گیری:

کامل. کلمه زیبا.) برای شروع یک روسی کوچک. این کلمه به این ترتیب تلفظ می شود و نه "pred-like" چگونه ممکن است به نظر برسد. Pred-like مفهوم اساسی تمام محاسبات انتگرال است. هر یک از انتگرال ها - نامحدود، تعریف شده است (با آنها شما در حال حاضر در این ترم آشنا خواهید شد)، و همچنین دو، سه گانه، منحنی، سطحی، سطحی (و این قهرمانان اصلی دوره دوم) - بر روی این مفهوم کلیدی ساخته شده است. این حس کاملی برای استاد دارد. برو.)

قبل از رسیدن به مفهوم ابتدایی، به یاد داشته باشید عادی ترین مشتق. بدون عمیق شدن به یک نظریه خسته کننده محدودیت، افزایش استدلال و سایر موارد، می توان گفت که مشتق شده است (یا تفکیک) فقط یک عملیات ریاضی است تابع. و این است. هر تابع گرفته شده است (بیایید بگوییم f (x) \u003d x 2) من. با توجه به قوانین خاصتبدیل شده توسط تبدیل شدن به خصوصیت جدید. و این بیشتر است خصوصیت جدید و نامیده می شود مشتق.

در مورد ما، قبل از تمایز یک تابع وجود داشت f (x) \u003d x 2، و پس از تمایز آن را قبلا تبدیل شده است یک تابع دیگر f '(x) \u003d 2x.

مشتق - از آنجا که ویژگی جدید ما f '(x) \u003d 2x رخ داده است از تابع f (x) \u003d x 2. به عنوان یک نتیجه از عملیات تمایز. و و با آن، و نه از برخی از عملکرد دیگر ( x 3، به عنوان مثال).

تقریبا صحبت کردن f (x) \u003d x 2 - این مادر است، و f '(x) \u003d 2x - دختر عزیزم.) قابل فهم است. برو جلو

ریاضیات - مردم بی قرار هستند. برای هر اقدام، آنها به دنبال یافتن مخالفت هستند. :) علاوه بر این وجود دارد - یک تفریق وجود دارد. ضرب وجود دارد - یک تقسیم وجود دارد. استقرار - استخراج ریشه. سینوس - Arksinus. به طور مشابه، وجود دارد تفکیک- بنابراین، وجود دارد و ... ادغام.)

و اکنون ما چنین کاری جالبی را انجام خواهیم داد. ما می گوییم، چنین تابع ساده ای است f (x) \u003d 1. و ما باید به چنین سوال پاسخ دهیم:

مشتق شده چه تابع به ما یک تابع می دهدf.(ایکس.) = 1?

به عبارت دیگر، دیدن دختر، با کمک تجزیه و تحلیل DNA، محاسبه، که MILF او است. :) از چه چیزی منبع توابع (اجازه دهید آن را F (x) تماس بگیرید) رخ داده است مشتق تابع f (x) \u003d 1؟ یا، در فرم ریاضی، برای چی توابع F (X) برابری انجام می شود:

f '(x) \u003d f (x) \u003d 1؟

یک مثال ابتدایی است. من سعی کردم.) ما به سادگی تابع f (x) را انتخاب می کنیم تا برابری کار کند. :) خوب، چگونگی برداشت؟ بله حتما! f (x) \u003d x. زیرا:

f '(x) \u003d x' \u003d 1 \u003d f (x).

البته، مامان یافت f (x) \u003d x ما باید به نحوی تماس بگیریم، بله.) ملاقات!

ایده آل برای عملکردf.(ایکس.) این ویژگی نامیده می شودF.(ایکس.) مشتق شده از آن برابر استf.(ایکس.)، به عنوان مثال برای آن برابری درست استF.’(ایکس.) = f.(ایکس.).

این همه است ترفندهای علمی بیشتر. در تعریف دقیق، یک عبارت اضافی اضافه شده است "در فاصله". اما تا کنون ما به این ظرافت ها نمی رویم، زیرا کار اصلی ما این است که یاد بگیرند که چگونه این ابتدایی را پیدا کنند.

در مورد ما، این تابع را معلوم می کند f (x) \u003d x هست یک پیش بینی شده برای عملکرد f (x) \u003d 1.

چرا؟ زیرا f '(x) \u003d f (x) \u003d 1. مشتق از ICA یک واحد است. هیچ اعتراضی نیست.)

اصطلاح "ابتدایی" در امتداد فلسطینی به معنای "Rhodonachable"، "پدر و مادر"، "اجداد" است. بلافاصله بومی و عزیزم را به یاد داشته باشید.) و جستجوی خود یک ابتدایی است - این ترمیم عملکرد اصلی است با توجه به مشتقات شناخته شده آن. به عبارت دیگر، این یک عمل است، تمایز معکوس. و این همه! این فرآیند جذاب خود نیز کاملا علمی نامیده می شود ادغام. اما توسط انتگرال - بعد. صبر، دوستان!)

یاد آوردن:

ادغام یک عملیات ریاضی یک تابع (و همچنین تمایز) است.

ادغام - عملیات، تمایز معکوس.

Pred-like - نتیجه ادغام.

و اکنون این کار را پیچیده می کند. ما اکنون یک عمل اولیه را پیدا خواهیم کرد f (x) \u003d x. یعنی ما پیدا خواهیم کرد چنین ویژگی f (x) به مشتق آن من برابر با ICSU هستم:

f '(x) \u003d x

چه کسی دوست با مشتقات است، شاید چیزی شبیه چیزی شبیه به:

(x 2) '\u003d 2x.

خوب، احترام و احترام به کسانی که جدول مشتقات را به یاد می آورند!) درست است. اما یک مشکل وجود دارد. عملکرد اولیه ما f (x) \u003d x، ولی (x 2) '\u003d 2 ایکس.. دو ایکس. و ما پس از تمایز باید تبدیل شود فقط x.. خوب نیست ولی…

ما یک دانشمند با شما هستیم. گواهینامه ها دریافت شده است.) و ما از مدرسه می دانیم که هر دو بخش از هر برابری می توانند ضرب شوند و به یک و یک عدد تقسیم شوند (به جز صفر، البته)! بنابراین این مرتب شده است. بنابراین ما این فرصت را برای خودمان درک می کنیم.)

پس از همه، ما می خواهیم به حق تمیز X باقی بمانیم، درست است؟ و دیچ تداخل ... اینجا و نسبت را برای مشتق (x 2) '\u003d 2X و تقسیم کنید هر دو بخش آن در این دو بار:

بنابراین، در حال حاضر چیزی را پاک کنید. برو جلو ما می دانیم که هر گونه ثابت می تواند علامت مشتق شده را بیرون بیاورید.مثل این:

تمام فرمول ها در ریاضیات هر دو از چپ به راست و برعکس - راست به سمت چپ کار می کنند. این به این معنی است که، با همان موفقیت، هر گونه ثابت می تواند و تحت نشانه مشتق از:

در مورد ما، پنهان کردن دو نفر در نامزدی (یا همان، ضریب 1/2) تحت نشانه مشتق شده است:

و در حال حاضر با دقت ما به رکورد ما نگاه می کنیم. ما چه می بینیم؟ ما برابری را می بینیم که می گوید مشتق شده است چیزی (این هست چیزی - در براکت ها) برابر ICSU است.

برابری حاصل به این معنی است که ابتدایی مطلوب برای عملکرد f (x) \u003d x عملکرد تابع f (x) \u003d x 2/2 . که آن را در براکت تحت لمس قرار می دهد. به طور مستقیم به معنای ابتدایی.) خوب، نتیجه را بررسی کنید. یک مشتق را پیدا کنید:

عالی عملکرد اولیه به دست آمد f (x) \u003d x. از آنچه رقصی بود، به آن و بازگشت. این بدان معنی است که ابتدایی ما درست است.)

چه می شود اگر f (x) \u003d x 2؟ ابتدایی آن چیست؟ بدون مشکل! ما با شما (دوباره، از قوانین تمایز) می دانیم که:

3x 2 \u003d (x 3) ''

و، به این معنا که،

گرفتار؟ در حال حاضر ما، به طور قابل توجهی برای خود، آموخته به نظر می رسد برای اولین بار در نظر گرفته شده است تابع قدرت f (x) \u003d x n. در ذهن.) منبع را بگیرید n.، آن را در هر واحد افزایش دهید، و در کیفیت جبران خسارت ما تمام طراحی را تقسیم می کنیم n + 1:

فرمول حاصل، به هر حال، معتبر است نه تنها برای یک شکل طبیعی درجه n.اما برای هر گونه دیگر - منفی، کسری است. این باعث می شود که ابتدایی از ساده شروع شود میوه ها و ریشه ها

مثلا:

به طور طبیعی، n ≠ -1. در غیر این صورت، در نامزدی فرمول، صفر را به نمایش می گذارد و فرمول معنای آن را از دست می دهد.) درباره این مورد خاص n \u003d -1. کمی بعد.)

یکپارچگی نامشخص چیست؟ انتگرال های جدول

بیایید بگوییم چه چیزی برابر با عملکرد است f (x) \u003d x؟ خوب، واحد، یکی - من پاسخ ناراضی را می شنوم ... همه چیز درست است. واحد. اما ... برای عملکرد g (x) \u003d x + 1 مشتق همچنین برابر خواهد بود:

همچنین مشتق شده برابر با یک و برای عملکرد است x + 1234. ، و برای عملکرد x-10 و برای هر نوع دیگری از نوع x + c. جایی که از جانب - هر ثابت برای مشتق هر ثابت صفر صفر است، و از اضافه / تفریق صفر، هیچ کس سرد یا گرم است.)

این ابهام را به دست می آورد. به نظر می رسد که برای عملکرد f (x) \u003d 1 خدمت اولیه نه تنها یک تابع f (x) \u003d x ، بلکه یک تابع f 1 (x) \u003d x + 1234 و عملکرد f 2 (x) \u003d x-10 و غیره!

آره. این راه است.) شما هر کس ( مداوم در فاصله) توابع هیچ کس بسیار ابتدایی وجود ندارد، اما بی نهایت بسیار زیاد است - تمام خانواده! نه یک مادر یا پد، اما یک شجره کامل، آره.)

ولی! همه بستگان ما یک اموال مهم را ترکیب می کنند. که آنها بستگان هستند.) اموال بسیار مهم است که در روند تجزیه و تحلیل تکنیک های ادغام، ما بارها به یاد داشته باشید. و ما برای مدت طولانی به یاد می آوریم.)

در اینجا این است، این ویژگی:

هر دو ابتدایی F. 1 (ایکس.) من.F. 2 (ایکس.) از همان عملکردf.(ایکس.) در دائمی متفاوت است:

F. 1 (ایکس.) - F. 2 (ایکس.) \u003d S.

چه کسی علاقه مند به اثبات - ادبیات یا سخنرانی های انتزاعی است.) خوب، بنابراین، من ثابت خواهم کرد. مزایای اثبات در اینجا ابتدایی است، در یک اقدام. برابری کن

F. 1 (ایکس.) - F. 2 (ایکس.) \u003d S.

و هر دو بخش آن را تمایز دهید. به این ترتیب، فقط احمقانه سکته مغزی را قرار می دهد:

این همه است همانطور که می گویند، چته. :)

این ملک چه می گوید؟ و این دو اولیه متفاوت است از همان تابع f (x) نمی تواند متفاوت باشد برخی از بیان با x . فقط به شدت به ثابت! به عبارت دیگر، اگر ما نوعی برنامه را داشته باشیم یکی از حقوقی (اجازه دهید آن را f (x))، سپس گرافیک همه دیگران ابتدایی ما با انتقال موازی گراف F (X) در امتداد محور بازی ساخته شده است.

بیایید ببینیم که چگونه به نظر می رسد یک مثال است f (x) \u003d x. تمام اصلی آن، همانطور که قبلا می دانیم، یک نمای کلی دارد. f (x) \u003d x 2/2 + c . در تصویر به نظر می رسد نامحدود بسیاری از پارابولبه دست آمده از "اصلی" parabola y \u003d x 2/2 تغییر در امتداد محور OY به بالا یا پایین بسته به مقدار ثابت از جانب.

به یاد داشته باشید تابع ساختمان مدرسه y \u003d f (x) + a گرافیک تغییر y \u003d f (x) در "یک" واحد در امتداد محور بازی؟) بنابراین در اینجا یکسان است.)

و توجه: Parabolas ما جایی که تقاطع نیست!طبیعی است. پس از همه، دو توابع مختلف y 1 (x) و y 2 (x) ناگزیر به آن متصل می شوند دو مقدار مختلف ثابت – با 1. و با 2.

بنابراین، معادله y 1 (x) \u003d y 2 (x) هرگز راه حل ها را ندارند:

c 1 \u003d c 2

x ε ∅ ، مانند c 1 ≠ c2

و در حال حاضر ما به طور هموار به مفهوم اصلی سنگ بنای محاسبات انتگرال نزدیک می شویم. همانطور که ما تازه نصب کرده ایم، در هر تابع f (x) یک مجموعه بی نهایت از F (x) + C وجود دارد که متفاوت از یکدیگر به ثابت است. این مجموعه بی نهایت ترین نیز نام خاص خود را دارد.) خوب، از شما می خواهم که دوست داشته باشید و شکایت کنید!

یکپارچگی نامشخص چیست؟

بسیاری از همه اولیه برای عملکرد f.(ایکس.) نامیده می شود جدایی ناپذیراز تابعf.(ایکس.).

این همه تعریف است.)

"نا معلوم" - از آنجا که مجموعه ای از تمامی ابتدایی برای عملکرد مشابه بی نهایت. بیش از حد بسیاری از گزینه های مختلف.)

"انتگرال" - با رمزگشایی دقیق این کلمه وحشیانه، ما در بخش بعدی بعدی اختصاص داده می شود انتگرال های تعریف شده. در عین حال، در شکل درشت، ما چیزی را به صورت یکپارچه بررسی خواهیم کرد عمومی، تک، کل. و ادغام - یک انجمن، تعمیم دادندر این مورد، انتقال از خصوصی (مشتق شده) به طور کلی (اولیه). یه چیزی شبیه اون.

یک انتگرال نامحدود مانند این را نشان می دهد:

به همان شیوه ای که نوشته شده است بخوانید: eF انتگرال از x de x. یا انتگرال از جانب EF از x de x.خوب، شما فهمید.)

در حال حاضر ما با نماد مقابله خواهیم کرد.

∫ - آیکون انتگرال نکته همانند بارکد برای مشتق شده است.)

d. - آیکوندیفرانسیل. نترس چرا آن را در آنجا مورد نیاز است - فقط در زیر.

f (x) - انتحاری (از طریق "S").

f (x) dx - بیان مهار کننده یا، تقریبا صحبت کردن، "پر کردن" انتگرال.

با توجه به معنی یک انتگرال نامحدود،

اینجا f (x) - این سامیا چاپ برای عملکرد f (x)ما به نحوی هستیم خود را پیدا کردنددقیقا چطور یافت - نه جوهر. به عنوان مثال، ما این را پیدا کردیم f (x) \u003d x 2/2 برای f (x) \u003d x.

"از جانب" - دائمی دلخواه یا، از لحاظ علمی، یکنتاژ یکپارچه. یا یکپارچه سازی ثابت همه چیز.)

و اکنون اجازه دهید ما به اولین نمونه های ما در جستجوی ابتدایی بازگردیم. از لحاظ یک انتگرال نامحدود، شما هم اکنون می توانید با جسورانه بنویسید:

ثابت یکپارچه چیست و چرا لازم است؟

سوال بسیار جالب است و بسیار (بسیار!) مهم است. ثابت یکپارچه از کل مجموعه بی نهایت از ابتدایی برجسته خط، که از طریق یک نقطه مشخص منتقل می شود.

نقطه چیست؟ از مجموعه اولیه بی نهایت اولیه (I.E. انتگرال نامعین) لازم است منحنی را برجسته کنید که از نقطه مشخص شده عبور می کند. با به نوعی مختصات خاصچنین کاری همیشه و همه جا در یک آشنایی اولیه با انتگرال ها اتفاق می افتد. هر دو در مدرسه و در دانشگاه.

مشکل معمول:

در میان مجموعه ای از تمام توابع ابتدایی f \u003d x، یکی را انتخاب کنید که از طریق نقطه عبور می کند (2؛ 2).

ما شروع به فکر کردن به سر خود می کنیم ... بسیاری از همه دست اول - به این معنی است که شما باید ابتدا ادغام تابع اصلی ما.این، x (x) است. با این ما کمی بالاتر بودیم و چنین پاسخی داشتیم:

و حالا ما درک می کنیم که چه چیزی داریم ما یک تابع را نداشتیم، اما کل خانواده توابع. کدام یک؟ چشم انداز y \u003d x 2/2 + c . انجام ارزش ثابت C. و این معنای ثابت برای ما است و اکنون باید "گرفتن" باشد.) خوب، چه اتفاقی می افتد؟)

ماهیگیری ما - خانواده منحنی (Parabola) y \u003d x 2/2 + c.

ثابت - اینها ماهیگیری هستند بسیار بسیار. اما هر یک قلاب و طعمه وجود دارد.)

و طعمه چیست؟ درست! نقطه ما (-2؛ 2).

بنابراین ما مختصات نقطه ما را در نمای کلی از Primordial جایگزین می کنیم! ما گرفتیم:

y (2) \u003d 2

از اینجا به راحتی جستجو می شود c \u003d 0.

این یعنی چی؟ این به این معنی است که از کل نوع نامحدود Parabola نوعy \u003d x 2/2 + cفقط پارابولا با ثابت C \u003d 0 این برای ما مناسب است! برای مثال:y \u003d x 2/2. و تنها او. فقط این پارابولا از طریق نقطه ای که شما نیاز دارید عبور می کند (-2؛ 2). یک بsES دیگر Parabolas از خانواده ما از طریق عبور این نقطه دیگر نیستاز طریق برخی از نقاط دیگر هواپیما - بله، اما از طریق نقطه (2؛ 2) - دیگر. گرفتار؟

برای وضوح در اینجا دو عکس وجود دارد - تمام خانواده Parabola (یعنی یکپارچگی نامحدود) و نوعی پارابولا بتنمتناظر ارزش خاصی از ثابت و عبور از نقطه خاص:

ببینید که چقدر مهم است که ثابت شود از جانب هنگام ادغام! بنابراین ما این راک "C" را نادیده نگیرید و فراموش نکنید که به پاسخ نهایی اختصاص دهید.

و اکنون ما آن را کشف خواهیم کرد، چرا در داخل انتگرال ها در همه جا نماد آویزان می شود dX . دانش آموزان اغلب او را فراموش می کنند ... و این، به هر حال، یک اشتباه است! و نه بی ادب. نکته این است که ادغام عملیات، تمایز معکوس است. و دقیقا چیست نتایج تمایز؟ مشتق؟ درست است، اما نه کاملا. دیفرانسیل!

در مورد ما، برای عملکرد f (x) دیفرانسیل اولیه آن f (x)، خواهد بود:

به آنها این زنجیره ای غیر قابل درک است - فورا تعریف و معنای دیفرانسیل را تکرار کنید و نحوه نشان داده شود! در غیر این صورت، در انتگرال شما بی رحمانه کم می شود ....

اجازه دهید به شما در شکل فلسطین درشت یادآوری کنم که دیفرانسیل هر تابع f (x) فقط یک کار است f '(x) dx. و این همه! مشتق کنید و او را چند برابر کنید در استدلال دیفرانسیل (I.E. DX). یعنی هر دیفرانسیل، در واقع، به محاسبه معمول می رسد مشتق.

بنابراین، به شدت صحبت کردن، انتگرال "طول می کشد" نه از کارکرد f (x)همانطور که در نظر گرفته شده است، و از دیفرانسیل f (x) dx! اما، در نسخه ساده، معمول است که بگوییم این است "انتگرال از تابع گرفته شده است". یا: "تابع F ادغام می شود(ایکس)". این همان است. و ما به همان شیوه صحبت خواهیم کرد. اما درباره آیکون dX در همان زمان، شما فراموش نخواهید کرد! :)

و حالا من به شما می گویم که چگونه ضبط آن را فراموش نکنید. ابتدا تصور کنید که مشتق معمولی متغیر ICS را محاسبه کنید. چگونه شما معمولا آن را بنویسید؟

بنابراین: f '(x)، y' (x)، y 'x. یا جامد تر، از طریق نسبت دیفرانسیل: DY / DX. همه این سوابق به ما نشان می دهد که مشتق شده در ICSU گرفته شده است. و نه توسط "IGREK"، "TE" یا برخی از متغیر دیگر وجود دارد.)

همچنین در انتگرال ها. رکورد ∫ f (x) dx U.S. مثل اینکه نشان می دهد که ادغام دقیقا انجام می شود توسط متغیر IX. البته، این همه بسیار ساده و بی ادب است، اما من امیدوارم. و شانس فراموش کردن attribute omnipresent dX کاهش شدید.)

بنابراین، همان یکپارچه نامشخص - مورد رسیدگی قرار گرفت. کاملا.) اکنون خوشحالم که این انتگرال های نامحدود را یاد بگیرند محاسبه. یا به سادگی صحبت کردن، "نگاهی". :) و در اینجا دانش آموزان منتظر دو خبر هستند - خوب و نه خیلی. تا کنون، ما با خوب شروع می کنیم.)

خبر خوب است برای انتگرال ها، و همچنین مشتقات، صفحه خود وجود دارد. و تمام انتگرال ها که ما در راه ملاقات خواهیم کرد، حتی بیشتر وحشتناک و قابل اعتماد، ما با توجه به قوانین خاص ما به نحوی جدال را کاهش خواهیم داد.)

بنابراین، در اینجا او است انتگرال های جدول!

در اینجا یک نشانه زیبا از انتگرال ها از توابع محبوب ترین است. من توصیه می کنم توجه جداگانه به گروه فرمول 1-2 (عملکرد ثابت و قدرت). این ها رایج ترین فرمول ها در انتگرال هستند!

گروه سوم فرمول ها (مثلثات)، همانطور که می توان حدس زد، به سادگی به دست آوردن فرمول های مربوطه برای مشتقات به دست می آید.

مثلا:

با گروه چهارم فرمول ها (عملکرد نشانگر) - همه چیز مشابه است.

اما چهار آخرین گروه از فرمول ها (5-8) برای ما جدید. آنها چگونه از آن آمده بودند و برای آنچه که چنین شایستگی این ها دقیقا این توابع عجیب و غریب است، به طور ناگهانی، وارد جدول انتگرال های اصلی شد؟ این گروه های توابع در برابر پس زمینه سایر توابع اختصاص داده می شوند؟

بنابراین از لحاظ تاریخی در روند توسعه توسعه یافته است روشهای ادغام . هنگامی که ما آموزش می دهیم تا انتگرال های بیشتر و متنوع را بپذیریم، متوجه خواهید شد که انتگرال ها از توابع ذکر شده در جدول بسیار و اغلب هستند. اغلب اغلب اوقات این است که ریاضیات آنها را به جدولی تقسیم کرد.) از طریق آنها، بسیاری از انتگرال های دیگر، از ساختارهای پیچیده تر است.

به خاطر علاقه، شما می توانید برخی از این فرمول های وحشتناک را تمایز کنید. :) به عنوان مثال، فرمول 7th وحشیانه ترین.

همه چیز خوب است. ریاضیات را فریب نکرد. :)

جدول انتگرال ها، و همچنین یک جدول از مشتقات، مطلوب است که با قلب بدانید. در هر صورت، چهار گروه اول فرمول. این به همان اندازه سخت نیست که به نظر می رسد در نگاه اول به نظر می رسد. درک قلب چهار گروه آخر (با کسرها و ریشه ها) تا زمان انجام ندهید. به هر حال، در ابتدا، شما اشتباه می کنید که در آن لگاریتم نوشتن، جایی که Arcthangenes، جایی که Arksinus، که در آن 1 / a، که در آن 1/2A ... خروج در اینجا یکی است - برای حل نمونه های بیشتر. سپس جدول خود را به تدریج و به یاد داشته باشید، و شک و تردید Nibble متوقف خواهد شد.)

به خصوص چهره های مورد علاقه، به دنبال جدول، می توانید بپرسید: و جایی که در میزبانهای جداگانه از سایر کارهای ابتدایی "مدرسه" - مماس، لگاریتم، "آرک"؟ بگذارید بگوییم که چرا جدول یکپارچه از سینوس است، اما نه، بیایید بگوییم، انتگرال از مماس tG X.؟ یا نه انتگرال از لگاریتم ln x.؟ از Arksinus arcsin X.؟ آنها بدتر هستند؟ اما این پر از توابع "چپ" است - با ریشه، کسری، مربع ...

پاسخ. نه بدتر از آن) فقط انتگرال های فوق ذکر شده (از مماس، لگاریتم، arxinus، و غیره) جدولی نیستند . و آنها در عمل بسیار کمتر از آنچه در جدول ارائه شده است. بنابراین، بدانید توسط قلبآنها برابر هستند، نه لزوما. فقط به اندازه کافی بدانید مثل آنها محاسبه.)

چه کسی هنوز غیر قابل تحمل است؟ بنابراین، به خصوص برای شما!

چگونه شما را حفظ می کنید؟ :) آیا نه؟ و نه.) اما نگران نباشید، ما قطعا تمام چنین انتتلی را پیدا خواهیم کرد. در درس های مناسب :)

خوب، حالا به خواص یکپارچگی نامحدود بروید. بله، بله، هیچ چیز برای انجام دادن! یک مفهوم جدید معرفی شده است - بلافاصله و برخی از خواص آن در نظر گرفته شده است.

خواص یکپارچه نامحدود.

اکنون خبر خوبی نیست

در مقابل تمایز، قوانین ادغام استاندارد عمومینمایشگاه برای همه موارد، در ریاضیات وجود ندارد این خارق العاده است!

به عنوان مثال، شما همه چیز را کاملا می دانید (امیدوارم!) هر کسی ترکیب بندی هر چیزی دو توابع f (x) · g (x) به شرح زیر متفاوت است:

(f (x) · g (x)) '\u003d f' (x) · g (x) + f (x) · g '(x).

هر کسی تمایز خصوصی مانند این:

و هر گونه عملکرد پیچیده، هر چه بیش از آن با آن، به شرح زیر متفاوت است:

و هر توابع تحت نامه های F و G پنهان می شوند، قوانین عمومی هنوز هم کار می کنند و مشتقات، یک یا چند راه دیگر، یافت می شود.

اما با انتگرال، چنین تعداد دیگر منتقل نخواهد شد: برای کار، خصوصی (کسری)، و همچنین عملکرد پیچیده فرمول های ادغام عمومی وجود ندارد! هیچ قوانین استاندارد وجود ندارد! در عوض، آنها هستند. این ریاضیات بیهوده است.) اما، ابتدا، آنها بسیار کوچکتر از قوانین عمومی برای تمایز هستند. و دوم، بیشتر روش های ادغام ما در مورد درس های زیر صحبت خواهیم کرد، بسیار، بسیار خاص است. و فقط برای یک کلاس مشخص و بسیار محدود از توابع معتبر هستند. بیایید فقط بگویم توابع منطقی کسری. یا برخی دیگر.

و برخی از انتگرال ها، اگر چه در طبیعت وجود دارد، اما به طور کلی از طریق عملکرد "مدرسه" ابتدایی بیان نمی شود! بله، و چنین انتگرال ها پر هستند! :)

به همین دلیل ادغام درس بسیار وقت گیر و دقیق تر از تمایز است. اما برجسته خود نیز وجود دارد. شغل خلاقانه و بسیار هیجان انگیز است.) و اگر شما به خوبی در جدول انتگرال هضم و کارشناسی ارشد حداقل دو دریافت اساسی، که ما در مورد (و) صحبت می کنیم، پس شما یکپارچگی را دوست دارید. :)

در حال حاضر بیایید آشنا شویم، در واقع با خواص یک انتگرال نامحدود. آنها همه چیز نیستند. اینجا اند.

دو ویژگی اول به طور کامل شبیه به خواص مشابه برای مشتقات هستند و نامیده می شوند. خواص خطی بودن یک انتگرال نامحدود . همه چیز ساده و منطقی است: انتگرال از مقدار / تفاوت برابر با مقدار / تفاوت انتگرال ها، و ضریب ثابت می تواند از علامت انتگرال خارج شود.

و در اینجا سه \u200b\u200bویژگی زیر برای ما اساسا جدید است. ما آنها را به طور دقیق تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. آنها به صورت روسی به طور پیوسته صدا می کنند.

اموال سوم

مشتق از انتگرال برابر با تابع انتگرال است

همه چیز ساده است، همانطور که در یک افسانه است. اگر عملکرد را ادغام کنید، و سپس برای پیدا کردن یک مشتق از نتیجه، پس از آن ... این تابع انتگرال اولیه را تبدیل می کند. :) این ویژگی همیشه می تواند (و ضروری) برای تأیید نتیجه نهایی ادغام استفاده شود. محاسبه انتگرال - پاسخ را تمثیل می کند! یک تابع دقیق دریافت کرد - تقریبا آنها دریافت نکردند - این بدان معنی است که جایی که انباشته شده اند. به دنبال یک خطا باشید.)

البته، در پاسخ می توان توابع وحشیانه و بزرگ را به دست آورد، که به عقب بر گردیم تا تمایز خود را از بین ببرد، بله. اما بهتر است، در صورت امکان، سعی کنید خودتان را بررسی کنید. حداقل در آن نمونه هایی که در آن آسان است.)

املاک چهارم

دیفرانسیل از انتگرال برابر با تصویر است .

هیچ چیز خاصی در اینجا نیست ماهیت یکسان است، فقط DX در پایان ظاهر می شود. با توجه به اموال قبلی و قوانین برای افشای دیفرانسیل.

پنجم مالکیت

انتگرال دیفرانسیل برخی از عملکرد برابر با مجموع این تابع و دائمی دلخواه است .

همچنین یک اموال بسیار ساده است. ما همچنین به طور منظم از راه حل انتگرال در فرآیند حل انتگرال استفاده خواهیم کرد. بخصوص - در و.

این خواص مفید است. من نمی خواهم با شواهد سختگیرانه خود تشویق کنم. مایل به ارائه آن خودتان. به طور مستقیم بیش از حس مشتق و دیفرانسیل. من تنها املاک و مستغلات پنجم را ثابت خواهم کرد، زیرا کمتر واضح است.

بنابراین، ما یک بیانیه داریم:

من با توجه به تعریف دیفرانسیل، "پر کردن" یکپارچه سازی و افشا را از بین می برم:

فقط در مورد، من به شما یادآوری می کنم که، با توجه به مشتقات تعیین شده و ابتدایی، F.’(ایکس.) = f.(ایکس.) .

در حال حاضر نتیجه ما را در داخل انتگرال قرار دهید:

دقیقا دریافت کرد تعریف یک انتگرال نامحدود (اجازه دهید من رو روسی ببخش)! :)

این همه است.)

خوب. این آشنایی اولیه ما با دنیای مرموز انتگرال است، من آن را در نظر می گیرم. امروز من پیشنهاد می کنم دور. ما قبلا به اندازه کافی مسلح هستیم تا به اطلاعات برویم. اگر نه یک اسلحه، و سپس حداقل یک پنل پمپ آب خواص و جدول. :) در درس بعدی، ما در حال حاضر در انتظار ساده ترین نمونه های بی ضرر از انتگرال ها در استفاده مستقیم از جدول و خواص نوشته شده است.

به امید دیدار!