معادله درجه دوم - آسان برای حل! * بیشتر در متن "KU".به نظر می رسد ، دوستان در ریاضیات آسان تر از حل چنین معادله ای هستند. اما چیزی به من گفت که بسیاری با او مشکل دارند. تصمیم گرفتم Yandex را در ماه چند بار ببینم. در اینجا آنچه اتفاق افتاده است ، نگاهی بیندازید:

چه مفهومی داره؟ این بدان معناست که حدود 70،000 نفر در ماه به دنبال این اطلاعات هستند و آنچه در وسط سال تحصیلی اتفاق می افتد - دو برابر تعداد درخواست ها وجود خواهد داشت. این تعجب آور نیست ، زیرا آن دسته از دختران و پسرانی که مدتها پیش از مدرسه فارغ التحصیل شده اند و برای امتحان دولتی یکپارچه آماده می شوند ، به دنبال این اطلاعات هستند و دانش آموزان مدرسه نیز به دنبال تجدید آن در حافظه خود هستند.

علیرغم این واقعیت که سایتهای زیادی وجود دارد که به شما می گویند چگونه این معادله را حل کنید ، من تصمیم گرفتم که کمی هم کار کنم و مطالب را منتشر کنم. اولا ، من می خواهم بازدیدکنندگان برای این درخواست به سایت من بیایند. ثانیاً ، در سایر مقالات ، وقتی سخنرانی "KU" فرا می رسد ، پیوندی به این مقاله می دهم. ثالثاً ، من در مورد راه حل او کمی بیشتر از آنچه معمولاً در سایتهای دیگر بیان می شود ، به شما خواهم گفت. بیایید شروع کنیم!محتوای مقاله:

معادله درجه دوم معادله ای از شکل است:

جایی که ضرایب a ،بو با اعداد دلخواه ، با 0 ≠.

در دوره مدرسه ، مطالب به شکل زیر ارائه می شود - معادلات به طور مشروط به سه کلاس تقسیم می شوند:

1. آنها دو ریشه دارند.

2. * فقط یک ریشه داشته باشید.

3. ریشه نداشته باشد. در اینجا شایان ذکر است که آنها ریشه معتبری ندارند.

ریشه ها چگونه محاسبه می شوند؟ فقط!

ما متمایز را محاسبه می کنیم. در زیر این کلمه "وحشتناک" یک فرمول بسیار ساده نهفته است:

فرمول های ریشه به شرح زیر است:

* این فرمول ها باید قلبی شناخته شوند.

می توانید بلافاصله بنویسید و تصمیم بگیرید:

مثال:

اگر D> 0 باشد ، معادله دو ریشه دارد.

2. اگر D = 0 باشد ، معادله یک ریشه دارد.

3. اگر D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

بیایید به معادله نگاه کنیم:

در این رابطه ، وقتی ممیز صفر است ، در درس مدرسه می گویند یک ریشه بدست می آید ، در اینجا برابر نه است. همه چیز درست است ، اما ...

این بازنمایی تا حدودی نادرست است. در واقع ، دو ریشه وجود دارد. بله ، بله ، شگفت زده نشوید ، دو ریشه مساوی به دست می آید ، و به طور دقیق ریاضی ، پاسخ را باید دو ریشه بنویسید:

x 1 = 3 x 2 = 3

اما این چنین است - یک انحراف کوچک. در مدرسه ، می توانید بنویسید و بگویید که یک ریشه وجود دارد.

حالا مثال بعدی:

همانطور که می دانیم ، ریشه عدد منفیبازیابی نمی شود ، بنابراین هیچ راه حلی در این مورد وجود ندارد.

این کل فرایند راه حل است.

تابع درجه دوم.

در اینجا این است که راه حل از نظر هندسی چگونه به نظر می رسد. درک این نکته بسیار مهم است (در آینده ، در یکی از مقالات ، راه حل نابرابری مربع را به تفصیل تجزیه و تحلیل خواهیم کرد).

این تابعی از فرم است:

جایی که x و y متغیر هستند

a ، b ، c - اعداد داده شده ، با 0 ≠

نمودار یک سهمی است:

یعنی معلوم می شود که با حل معادله درجه دوم با "y" برابر صفر ، نقاط تقاطع سهمی با محور x را پیدا می کنیم. دو مورد از این موارد وجود دارد (ممیز مثبت است) ، یکی (ممیز صفر) و هیچکدام (ممیز منفی است). جزئیات در مورد تابع درجه دوم می توانید مشاهده کنیدمقاله اینا فلدمن

بیایید چند نمونه را بررسی کنیم:

مثال 1: حل کنید 2 برابر 2 +8 ایکس–192=0

a = 2 b = 8 c = –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4 ∙ 2 – (–192) = 64 + 1536 = 1600

پاسخ: x 1 = 8 x 2 = –12

* امکان تقسیم فوری سمت چپ و راست معادله بر 2 وجود داشت ، یعنی ساده سازی آن. محاسبات آسان تر خواهد بود.

مثال 2: تصميم گرفتن x 2–22 x + 121 = 0

a = 1 b = –22 c = 121

D = b 2 –4ac = (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 = 484–484 = 0

بدست آوردیم که x 1 = 11 و x 2 = 11 است

در پاسخ ، نوشتن x = 11 مجاز است.

پاسخ: x = 11

مثال 3: تصميم گرفتن x 2 –8x + 72 = 0

a = 1 b = –8 c = 72

D = b 2 –4ac = (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 = 64–288 = –224

ممیز منفی است ، در اعداد واقعی راه حلی وجود ندارد.

پاسخ: راه حلی وجود ندارد

تبعیض منفی است. راه حلی وجود دارد!

در اینجا ما در مورد حل معادله در مورد زمانی که یک تفکیک منفی بدست می آید صحبت خواهیم کرد. آیا در مورد اعداد مختلط چیزی می دانید؟ من در اینجا در مورد علت و منبع آنها و نقش و نیاز خاص آنها در ریاضیات توضیح نمی دهم ، این موضوعی برای یک مقاله بزرگ جداگانه است.

مفهوم عدد مختلط

کمی تئوری.

یک عدد مختلط z یک عدد از فرم است

z = a + bi

جایی که a و b اعداد واقعی هستند ، i به اصطلاح واحد خیالی است.

a + bi یک شماره واحد است ، نه اضافه.

واحد خیالی برابر با ریشه منفی یک است:

حالا معادله را در نظر بگیرید:

ما دو ریشه مزدوج داریم.

معادله درجه دوم ناقص

موارد خاص را در نظر بگیرید ، این زمانی است که ضریب "b" یا "c" برابر با صفر (یا هر دو برابر صفر) باشد. آنها به راحتی و بدون هیچ گونه تمایز حل می شوند.

مورد 1. ضریب b = 0.

معادله به شکل زیر است:

بیایید تبدیل کنیم:

مثال:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

مورد 2. ضریب با = 0.

معادله به شکل زیر است:

ما تبدیل می کنیم ، عامل می کنیم:

* محصول زمانی برابر با صفر است که حداقل یکی از عوامل برابر صفر باشد.

مثال:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x - 5) = 0 => x = 0 یا x - 5 = 0

x 1 = 0 x 2 = 5

مورد 3. ضرایب b = 0 و c = 0.

در اینجا واضح است که راه حل معادله همیشه x = 0 خواهد بود.

خواص مفید و الگوهای ضرایب.

خواصی وجود دارد که به شما امکان می دهد معادلات را با ضرایب بزرگ حل کنید.

آایکس 2 + bx+ ج=0 برابری برقرار است

آ + ب+ c = 0 ،سپس

- اگر برای ضرایب معادله آایکس 2 + bx+ ج=0 برابری برقرار است

آ+ c =ب, سپس

این ویژگی ها به حل یک نوع معادله کمک می کند.

مثال 1: 5001 ایکس 2 –4995 ایکس – 6=0

مجموع شانس 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0 ، بنابراین

مثال 2: 2501 ایکس 2 +2507 ایکس+6=0

برابری برقرار است آ+ c =ب, به معنای

نظم ضرایب.

1. اگر در معادله ax 2 + bx + c = 0 ضریب "b" برابر (a 2 +1) و ضریب "c" از لحاظ عددی برابر ضریب "a" باشد ، ریشه های آن برابر است

ax 2 + (a 2 +1) ∙ х + а = 0 => х 1 = –а х 2 = –1 / a.

مثال. معادله 6x 2 + 37x + 6 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. اگر در معادله ax 2 - bx + c = 0 ضریب "b" برابر (a 2 +1) باشد و ضریب "c" از لحاظ عددی برابر ضریب "a" باشد ، ریشه های آن عبارتند از:

ax 2 - (a 2 +1) ∙ x + a = 0 => x 1 = a x 2 = 1 / a

مثال. معادله 15x 2 –226x +15 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. اگر در معادله باشد ax 2 + bx - c = 0 ضریب "b" برابر است با (a 2 - 1) ، و ضریب "c" عددی برابر ضریب "a", سپس ریشه های آن برابر است

ax 2 + (а 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = - а х 2 = 1 / a.

مثال. معادله 17x 2 + 288x - 17 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = - 17 x 2 = 1/17.

4. اگر در معادله ax 2 - bx - c = 0 ضریب "b" برابر (a 2 - 1) و ضریب c از لحاظ عددی برابر ضریب "a" باشد ، ریشه های آن عبارتند از:

ax 2 - (a 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = а х 2 = - 1 / a.

مثال. معادله 10x2 - 99x –10 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

قضیه ویتا

قضیه ویتا از ریاضی دان فرانسوی فرانسوا ویتا نامگذاری شده است. با استفاده از قضیه Vieta ، می توانیم مجموع و حاصلضرب ریشه های یک KE دلخواه را بر حسب ضرایب آن بیان کنیم.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

در مجموع ، عدد 14 فقط 5 و 9 می دهد. اینها ریشه ها هستند. با مهارت خاصی ، با استفاده از قضیه ارائه شده ، می توانید بسیاری از معادلات درجه دوم را به صورت شفاهی حل کنید.

قضیه ویتا ، علاوه بر این. پس از حل معادله درجه دوم به روش معمول (از طریق تشخیص) ، می توان ریشه های بدست آمده را بررسی کرد. توصیه می کنم این کار را همیشه انجام دهید.

روش انتقال

با این روش ، ضریب "a" در عبارت آزاد ضرب می شود ، گویی "به آن پرتاب شده است" ، بنابراین نامیده می شود به روش "انتقال"این روش زمانی مورد استفاده قرار می گیرد که بتوانید به راحتی ریشه های یک معادله را با استفاده از قضیه Vieta پیدا کنید و مهمتر از همه ، زمانی که ممیز یک مربع دقیق است.

اگر آ± ب + ج 0 پوند ، سپس از روش انتقال استفاده می شود ، به عنوان مثال:

2NS 2 – 11x + 5 = 0 (1) => NS 2 – 11x + 10 = 0 (2)

با قضیه Vieta در معادله (2) به راحتی می توان تعیین کرد که x 1 = 10 x 2 = 1

ریشه های بدست آمده از معادله باید بر 2 تقسیم شود (از آنجا که دو عدد از x 2 "پرتاب شده اند") ، بدست می آوریم

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

دلیلش چیه؟ ببینید چه خبر است.

متمایز معادلات (1) و (2) برابر است:

اگر به ریشه معادلات نگاه کنید ، تنها مخرج های مختلف بدست می آیند و نتیجه دقیقاً به ضریب x 2 بستگی دارد:

دومین ریشه (اصلاح شده) 2 برابر بزرگتر است.

بنابراین ، نتیجه را بر 2 تقسیم می کنیم.

* اگر دوباره سه را رول کنیم ، نتیجه را بر 3 تقسیم می کنیم و غیره.

پاسخ: x 1 = 5 x 2 = 0.5

میدان ur-ye و امتحان

من به طور مختصر در مورد اهمیت آن می گویم - شما باید بتوانید سریع و بدون تردید حل کنید ، فرمول های ریشه ها و ممیز باید به صورت قلبی شناخته شوند. بسیاری از وظایفی که بخشی از وظایف USE هستند به حل معادله درجه دوم (از جمله کارهای هندسی) خلاصه می شوند.

آنچه قابل توجه است!

1. شکل نوشتن معادله می تواند "ضمنی" باشد. به عنوان مثال ، ورودی زیر امکان پذیر است:

15+ 9x 2 - 45x = 0 یا 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 یا 15 -5x + 10x 2 = 0.

شما باید آن را به شکل استاندارد بیاورید (تا هنگام حل شدن دچار سردرگمی نشوید).

2. به یاد داشته باشید که x یک مقدار ناشناخته است و می توان آن را با هر حرف دیگر - t ، q ، p ، h و دیگران نشان داد.

با استفاده از این برنامه ریاضی ، می توانید معادله درجه دوم را حل کنید.

این برنامه نه تنها به مشکل پاسخ می دهد ، بلکه فرآیند حل را نیز به دو صورت نمایش می دهد:
- استفاده از تبعیض آمیز
- استفاده از قضیه ویتا (در صورت امکان).

علاوه بر این ، پاسخ دقیق نشان داده می شود ، نه تقریبی.
به عنوان مثال ، برای معادله \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \) ، پاسخ به این شکل نمایش داده می شود:

$$ x_1 = \ frac (8+ \ sqrt (145)) (81) ، \ quad x_2 = \ frac (8- \ sqrt (145)) (81) $$ و دوست ندارم: \ (x_1 = 0.247 ؛ \ quad x_2 = -0.05 \)

این برنامه می تواند برای دانش آموزان دبیرستانی در آماده سازی برای آن مفید باشد کارهای کنترلیو امتحانات ، هنگام بررسی دانش قبل از امتحان ، والدین می توانند راه حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر را کنترل کنند. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتابهای درسی جدید برای شما بسیار گران باشد؟ یا فقط می خواهید این کار را در اسرع وقت انجام دهید مشق شبدر ریاضی یا جبر؟ در این مورد ، شما همچنین می توانید از برنامه های ما با یک راه حل دقیق استفاده کنید.

به این ترتیب ، می توانید آموزش خود و / یا آموزش خود را انجام دهید برادران کوچکتریا خواهران ، در حالی که سطح تحصیلات در زمینه مشکلات حل شده بالا می رود.

اگر با قوانین ورود چند جمله ای مربع آشنا نیستید ، توصیه می کنیم با آنها آشنا شوید.

قوانین وارد کردن چند جمله ای مربعی

هر حرف لاتین را می توان به عنوان متغیر استفاده کرد.
به عنوان مثال: \ (x، y، z، a، b، c، o، p، q \) و غیره

اعداد را می توان به صورت اعداد کامل یا کسری وارد کرد.
علاوه بر این ، اعداد کسری را می توان نه تنها به صورت اعشاری ، بلکه به صورت کسری معمولی نیز وارد کرد.

قوانین وارد کردن کسرهای اعشاری
در کسرهای اعشاری ، بخش کسری از کل را می توان با یک نقطه یا یک کاما جدا کرد.
به عنوان مثال ، می توانید وارد کنید اعداد اعشاریبنابراین: 2.5x - 3.5x ^ 2

قوانین وارد کردن کسرهای معمولی
فقط یک عدد صحیح را می توان به عنوان عدد ، مخرج و کل قسمت کسر استفاده کرد.

مخرج نمی تواند منفی باشد.

هنگام وارد کردن کسر عددی ، شمارنده با علامت تقسیم از مخرج جدا می شود: /
کل قسمتبا کسر آمپر از کسر جدا می شود: &
ورودی: 3 و 1/3 - 5 و 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
نتیجه: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

هنگام وارد کردن عبارت می توان از براکت استفاده کرد... در این حالت ، هنگام حل معادله درجه دوم ، عبارت معرفی شده ابتدا ساده می شود.
به عنوان مثال: 1/2 (y-1) (y + 1)-(5y-10 & 1/2)

=0

تصميم گرفتن

مشخص شد که برخی از اسکریپت های مورد نیاز برای حل این مشکل بارگیری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
شاید AdBlock را فعال کرده باشید.
در این حالت ، آن را غیرفعال کنید و صفحه را تازه کنید.

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای ظاهر شدن راه حل ، باید جاوا اسکریپت را فعال کنید.
در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر شما آمده است.

زیرا افراد زیادی هستند که می خواهند مشکل را حل کنند ، درخواست شما در صف است.
پس از چند ثانیه ، محلول در زیر ظاهر می شود.
لطفا منتظر بمانید ثانیه ...

اگر شما متوجه خطایی در محلول شد، سپس می توانید در این مورد در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکن نشان دهد کدام کارشما تصمیم می گیرید و چه چیزی در فیلدها وارد کنید.

بازی ها ، پازل ها ، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری.

معادله درجه دوم و ریشه های آن معادلات درجه دوم ناقص

هر یک از معادلات
\ (- x ^ 2 + 6x + 1،4 = 0 ، \ quad 8x ^ 2-7x = 0 ، \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
فرم دارد
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0 ، \)
جایی که x متغیر است ، a ، b و c اعداد هستند.
در معادله اول a = -1 ، b = 6 و c = 1.4 ، در مورد دوم a = 8 ، b = -7 و c = 0 ، در سوم a = 1 ، b = 0 و c = 4/9. چنین معادلاتی نامیده می شود معادلات درجه دوم.

تعریف.
معادله ی درجه دویک معادله از فرم ax 2 + bx + c = 0 است ، که در آن x یک متغیر است ، a ، b و c برخی از اعداد ، و \ (a \ neq 0 \).

اعداد a ، b و c ضرایب معادله درجه دوم هستند. عدد a ضریب اول ، عدد b - ضریب دوم و عدد c - عبارت آزاد نامیده می شود.

در هر یک از معادلات فرم ax 2 + bx + c = 0 ، که \ (a \ neq 0 \) ، بزرگترین توان متغیر x مربع است. از این رو نام: معادله درجه دوم.

توجه داشته باشید که معادله درجه دوم معادله درجه دوم نیز نامیده می شود ، زیرا سمت چپ آن چند جمله ای از درجه دوم است.

یک معادله درجه دوم که در آن ضریب x 2 1 است ، نامیده می شود کاهش معادله درجه دوم... به عنوان مثال ، معادلات درجه دوم کاهش یافته ، معادلات هستند
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0 ، \ quad x ^ 2-6x = 0 ، \ quad x ^ 2-8 = 0 \)

اگر در معادله درجه دوم ax 2 + bx + c = 0 حداقل یکی از ضرایب b یا c برابر صفر باشد ، چنین معادله ای نامیده می شود معادله درجه دوم ناقص... بنابراین ، معادلات -2x 2 + 7 = 0 ، 3x 2 -10x = 0 ، -4x 2 = 0 معادلات درجه دوم ناقص هستند. در اولین آنها b = 0 ، در دوم c = 0 ، در سوم b = 0 و c = 0.

معادلات درجه دوم ناقص سه نوع است:
1) ax 2 + c = 0 ، جایی که \ (c \ neq 0 \) ؛
2) ax 2 + bx = 0 ، جایی که \ (b \ neq 0 \) ؛
3) تیشه 2 = 0.

بیایید راه حل معادلات هر یک از این انواع را در نظر بگیریم.

برای حل یک معادله درجه دوم ناقص از فرم ax 2 + c = 0 برای \ (c \ neq 0 \) ، عبارت آزاد آن را به سمت راست منتقل کرده و هر دو طرف معادله را با a تقسیم کنید:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Rightarrow x_ (1،2) = \ pm \ sqrt ( - \ frac (c) (a)) \)

از آنجا که \ (c \ neq 0 \) ، سپس \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

اگر \ (- \ frac (c) (a)> 0 \) ، معادله دو ریشه دارد.

اگر \ (- \ frac (c) (a) برای حل معادله درجه دوم ناقص از فرم ax 2 + bx = 0 با \ (b \ neq 0 \) ضلع سمت چپ آن را به عوامل تبدیل کرده و معادله را بدست آورید
\ (x (ax + b) = 0 \ Rightarrow \ left \ (\ begin (array) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ end (array) \ right. \ Rightarrow \ left \ (\ begin (آرایه) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ end (array) \ right. \)

بنابراین ، معادله درجه دوم ناقص فرم ax 2 + bx = 0 برای \ (b \ neq 0 \) همیشه دو ریشه دارد.

معادله درجه دوم ناقص فرم ax 2 = 0 معادل معادله x 2 = 0 است و بنابراین دارای یک ریشه منحصر به فرد 0 است.

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

حال بیایید نحوه معادلات درجه دوم را که در آن هم ضرایب مجهولات و هم عبارت آزاد صفر هستند حل کنیم.

معادله درجه دوم را در حل کنید نمای کلیو در نتیجه فرمول ریشه ها را بدست می آوریم. سپس این فرمول را می توان برای حل هر معادله درجه دوم اعمال کرد.

معادله درجه دوم ax 2 + bx + c = 0 را حل کنید

با تقسیم هر دو قسمت آن بر a ، معادله درجه دوم کاهش یافته به دست می آید
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)

این معادله را با انتخاب مربع دو جمله ای تبدیل می کنیم:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2- \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Rightarrow \)

\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 = \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 - \ frac (c) (a) \ Rightarrow \) \ (\ left (x + \ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 = \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \ frac (c) (a) \ Rightarrow \ left (x + \ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 = \ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \ Rightarrow \) \ (x + \ frac (b) (2a) = \ pm \ sqrt (\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2)) \ Rightarrow x = - \ \ frac (b) (2a) + \ frac (\ pm \ sqrt ( b ^ 2 -4ac)) (2a) \ Rightarrow \) \ (x = \ frac (-b \ pm \ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) \)

عبارت رادیکال نامیده می شود متمایز کننده یک معادله درجه دوم ax 2 + bx + c = 0 (لاتین "تشخیص دهنده" یک تمایز دهنده است). با حرف D مشخص شده است ، یعنی
\ (D = b ^ 2-4ac \)

اکنون ، با استفاده از علامت تشخیص دهنده ، فرمول ریشه های معادله درجه دوم را بازنویسی می کنیم:
\ (x_ (1،2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \) ، جایی که \ (D = b ^ 2-4ac \)

بدیهی است که:
1) اگر D> 0 باشد ، معادله درجه دو دارای دو ریشه است.
2) اگر D = 0 باشد ، معادله درجه دوم دارای یک ریشه \ (x = - \ frac (b) (2a) \) است.
3) اگر D بنابراین ، بسته به مقدار ممیز ، معادله درجه دو می تواند دو ریشه (برای D> 0) ، یک ریشه (برای D = 0) یا ریشه نداشته باشد (برای D هنگام حل معادله درجه دوم با استفاده از این فرمول ، توصیه می شود به روش زیر عمل کنید:
1) ممیز را محاسبه کرده و آن را با صفر مقایسه کنید.
2) اگر ممیز مثبت یا مساوی با صفر است ، از فرمول ریشه استفاده کنید ، اگر ممیز منفی است ، سپس بنویسید که هیچ ریشه ای وجود ندارد.

قضیه ویتا

معادله درجه دو داده شده ax 2 -7x + 10 = 0 دارای ریشه 2 و 5 است. مجموع ریشه ها 7 و حاصلضرب 10 است. می بینیم که مجموع ریشه ها برابر ضریب دوم است که با عکس مقابل گرفته می شود. علامت ، و حاصل ریشه ها برابر مدت آزاد است. هر معادله درجه دوم که ریشه دارد دارای این ویژگی است.

مجموع ریشه های معادله درجه دوم معادل ضریب دوم است که با علامت مخالف گرفته شده است و حاصل ضرب ریشه ها برابر عبارت آزاد است.

آن ها قضیه ویتا بیان می کند که ریشه های x 1 و x 2 معادله درجه دوم کاهش یافته x 2 + px + q = 0 دارای ویژگی زیر هستند:
\ (\ left \ (\ begin (آرایه) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (آرایه) \ راست. \)

معادلات درجه دوم در درجه 8 مطالعه شده است ، بنابراین هیچ چیز پیچیده ای در اینجا وجود ندارد. توانایی حل آنها کاملاً ضروری است.

معادله درجه دوم معادله ای از شکل ax 2 + bx + c = 0 است که ضرایب a ، b و c اعداد دلخواه و a ≠ 0 است.

قبل از مطالعه روشهای حل خاص ، توجه داشته باشیم که همه معادلات درجه دو را می توان به طور مشروط به سه دسته تقسیم کرد:

1. ریشه ندارند ؛
2. دقیقاً یک ریشه داشته باشد ؛
3. آنها دو ریشه متمایز دارند.

این یک تفاوت مهم است. معادلات درجه دوماز خطی ، جایی که ریشه همیشه وجود دارد و منحصر به فرد است. چگونه می توان تعیین کرد که یک معادله چند ریشه دارد؟ یک چیز فوق العاده برای این وجود دارد - تبعیض آمیز.

تبعیض آمیز

اجازه دهید معادله درجه دو ax 2 + bx + c = 0 داده شود. سپس تشخیص دهنده فقط عدد D = b 2 - 4ac است.

شما باید این فرمول را قلبی بدانید. از کجا می آید - اکنون مهم نیست. نکته دیگر مهم است: با علامت تشخیص ، می توانید تعیین کنید که یک معادله درجه چند ریشه دارد. برای مثال:

1. اگر D< 0, корней нет;
2. اگر D = 0 باشد ، دقیقاً یک ریشه وجود دارد.
3. اگر D> 0 باشد ، دو ریشه وجود دارد.

لطفاً توجه داشته باشید: متمایز کننده تعداد ریشه ها را نشان می دهد ، و اصلاً علائم آنها را نشان نمی دهد ، همانطور که به دلایلی بسیاری معتقدند. به مثالها نگاه کنید - و خودتان همه چیز را درک خواهید کرد:

وظیفه. معادلات درجه چند ریشه دارند:

1. x 2 - 8x + 12 = 0 ؛
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0 ؛
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

اجازه دهید ضرایب معادله اول را بنویسیم و متمایز را پیدا کنیم:
a = 1 ، b = -8 ، c = 12 ؛
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

بنابراین ممیز مثبت است ، بنابراین معادله دو ریشه متفاوت دارد. معادله دوم را به روش مشابه تجزیه و تحلیل می کنیم:
a = 5 ؛ b = 3 ؛ c = 7 ؛
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = −131.

تبعیض منفی است ، هیچ ریشه ای وجود ندارد. آخرین معادله باقی می ماند:
a = 1 ؛ b = -6 ؛ c = 9 ؛
D = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

ممیز صفر است - یک ریشه وجود خواهد داشت.

توجه داشته باشید که ضرایبی برای هر معادله نوشته شده است. بله ، طولانی است ، بله ، خسته کننده است - اما ضرایب را با هم قاطی نمی کنید و اشتباهات احمقانه ای انجام نمی دهید. خودتان انتخاب کنید: سرعت یا کیفیت.

به هر حال ، اگر "دست خود را پر کنید" ، پس از مدتی دیگر نیازی به نوشتن همه ضرایب نخواهید داشت. چنین عملیاتی را در سر خود انجام خواهید داد. اکثر مردم پس از حل معادلات 50-70 این کار را در جایی شروع می کنند - به طور کلی ، نه چندان زیاد.

ریشه های درجه دوم

حالا بریم سراغ راه حل. اگر ممیز D> 0 باشد ، ریشه ها را می توان با فرمول ها پیدا کرد:

فرمول اساسی برای ریشه های یک معادله درجه دوم

وقتی D = 0 است ، می توانید از هر یک از این فرمول ها استفاده کنید - همان عدد را دریافت می کنید ، که پاسخ خواهد بود. در نهایت ، اگر D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0 ؛
2. 15 - 2x - x 2 = 0 ؛
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

معادله اول:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1 ؛ b = −2 ؛ c = -3؛
D = (−2) 2 - 4 1 (−3) = 16.

D> 0 ⇒ معادله دو ریشه دارد. بیایید آنها را پیدا کنیم:

معادله دوم:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = −1 ؛ b = −2 ؛ c = 15 ؛
D = (−2) 2 - 4 (−1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ معادله دوباره دو ریشه دارد. بیایید آنها را پیدا کنیم

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ چپ (-1 \ راست)) = - 5 ؛ \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ چپ (-1 \ راست)) = 3. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

در نهایت ، معادله سوم:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1 ؛ b = 12 ؛ c = 36 ؛
D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ معادله دارای یک ریشه است. از هر فرمول می توان استفاده کرد. به عنوان مثال ، اولین مورد:

همانطور که از مثال ها مشاهده می کنید ، همه چیز بسیار ساده است. اگر فرمول ها را بدانید و بتوانید بشمارید ، مشکلی پیش نخواهد آمد. اغلب اشتباهات هنگام جایگزینی ضرایب منفی در فرمول رخ می دهد. در اینجا ، دوباره ، تکنیک بالا توضیح داده شده کمک خواهد کرد: به فرمول به معنای واقعی کلمه نگاه کنید ، هر مرحله را توصیف کنید - و خیلی زود از اشتباهات خلاص خواهید شد.

معادلات درجه دوم ناقص

اتفاق می افتد که معادله درجه دوم تا حدودی متفاوت از آنچه در تعریف آمده است. مثلا:

1. x 2 + 9x = 0 ؛
2. x 2 - 16 = 0.

به راحتی می توان دریافت که یکی از اصطلاحات در این معادلات گم شده است. حل چنین معادلات درجه دو حتی ساده تر از معیارهای استاندارد است: آنها حتی نیازی به محاسبه ممیز ندارند. بنابراین ، بیایید یک مفهوم جدید را معرفی کنیم:

معادله ax 2 + bx + c = 0 معادلات درجه دوم ناقص است اگر b = 0 یا c = 0 ، یعنی ضریب در متغیر x یا عنصر آزاد برابر صفر است.

البته ، یک مورد بسیار دشوار ممکن است زمانی که هر دوی این ضرایب برابر صفر باشند: b = c = 0. در این حالت ، معادله به صورت ax 2 = 0 در می آید. بدیهی است که چنین معادله ای دارای یک ریشه واحد است: x = 0

بگذارید بقیه موارد را در نظر بگیریم. اجازه دهید b = 0 ، سپس یک معادله درجه دوم ناقص از فرم ax 2 + c = 0 بدست می آوریم. بیایید آن را کمی تغییر دهیم:

از آنجا که ریشه مربعی حسابی فقط از یک عدد غیر منفی وجود دارد ، آخرین برابری فقط برای (−c / a) ≥ 0 معنی دارد. نتیجه گیری:

1. اگر نابرابری (−c / a) ≥ 0 در معادله درجه دوم ناقص شکل ax 2 + c = 0 وجود داشته باشد ، دو ریشه وجود خواهد داشت. فرمول در بالا آمده است ؛
2. اگر (−c / a)< 0, корней нет.

همانطور که می بینید ، تشخیص دهنده مورد نیاز نبود - در معادلات درجه دوم ناقص ، هیچ محاسبه پیچیده ای وجود ندارد. در حقیقت ، حتی لازم نیست نابرابری (−c / a) ≥ 0 را به خاطر بسپارید. کافی است مقدار x 2 را بیان کرده و آنچه در طرف دیگر علامت مساوی قرار دارد را ببینید. اگر عدد مثبت وجود داشته باشد ، دو ریشه وجود خواهد داشت. اگر منفی باشد ، اصلاً ریشه ای وجود نخواهد داشت.

اکنون اجازه دهید با معادلات فرم ax 2 + bx = 0 برخورد کنیم ، که در آن عنصر آزاد برابر صفر است. همه چیز در اینجا ساده است: همیشه دو ریشه وجود خواهد داشت. کافی است چند جمله ای را در نظر بگیرید:

خط کشی کردن یک عامل مشترک است

محصول زمانی صفر است که حداقل یکی از عوامل صفر باشد. از اینجا ریشه هاست. در پایان ، ما چندین معادله را تجزیه و تحلیل می کنیم:

وظیفه. حل معادلات درجه دوم:

1. x 2 - 7x = 0 ؛
2. 5x 2 + 30 = 0 ؛
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0 ؛ x 2 = - ( - - 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. هیچ ریشه ای وجود ندارد ، tk. یک مربع نمی تواند برابر یک عدد منفی باشد.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5 ؛ x 2 = -1.5 −.

این مبحث ممکن است در ابتدا به دلیل فرمول های دشوار زیاد پیچیده به نظر برسد. معادلات درجه دوم نه تنها خود دارای سوابق طولانی هستند ، بلکه ریشه ها از طریق تشخیص دهنده پیدا می شوند. در کل سه فرمول جدید وجود دارد. به خاطر سپردن آن آسان نیست. این تنها پس از حل مکرر چنین معادلاتی امکان پذیر است. سپس همه فرمولها به خودی خود به خاطر سپرده می شوند.

نمای کلی معادله درجه دوم

در اینجا ، ضبط صریح آنها پیشنهاد می شود ، هنگامی که بالاترین درجه ابتدا ثبت می شود ، و سپس به ترتیب نزولی. اغلب شرایطی پیش می آید که شرایط از کار افتاده باشد. سپس بهتر است معادله را به ترتیب نزولی درجه متغیر بازنویسی کنیم.

اجازه دهید نماد را معرفی کنیم. آنها در جدول زیر ارائه شده اند.

اگر این نامگذاری ها را بپذیریم ، همه معادلات درجه دوم به رکورد زیر کاهش می یابد.

علاوه بر این ، ضریب a ≠ 0. اجازه دهید این فرمول با عدد یک مشخص شود.

وقتی معادله داده می شود ، مشخص نیست چند ریشه در پاسخ وجود خواهد داشت. زیرا یکی از سه گزینه همیشه امکان پذیر است:

• دو ریشه در محلول وجود خواهد داشت.
• پاسخ یک عدد است ؛
• این معادله اصلاً ریشه ندارد

و تا زمانی که تصمیم به پایان نرسیده باشد ، درک این که کدام یک از گزینه ها در یک مورد خاص از بین می رود ، دشوار است.

انواع سوابق معادلات درجه دوم

وظایف ممکن است شامل سوابق مختلف آنها باشد. آنها همیشه شبیه به هم نخواهند بود فرمول کلیمعادله ی درجه دو. گاهی فاقد برخی اصطلاحات است. آنچه در بالا نوشته شد یک معادله کامل است. اگر دوره دوم یا سوم را در آن حذف کنید ، چیز متفاوتی دریافت خواهید کرد. این رکوردها معادلات درجه دوم نیز نامیده می شوند ، فقط ناقص هستند.

علاوه بر این ، فقط عباراتی که ضرایب "b" و "c" در آنها ناپدید می شوند. عدد "a" تحت هیچ شرایطی نمی تواند برابر صفر باشد. زیرا در این حالت ، فرمول به یک معادله خطی تبدیل می شود. فرمولهای فرم ناقص معادلات به شرح زیر خواهد بود:

بنابراین ، فقط دو نوع وجود دارد ، علاوه بر انواع کامل ، معادلات درجه دوم ناقص نیز وجود دارد. اجازه دهید فرمول اول عدد دو و دومین عدد سه باشد.

تبعیض آمیز و وابستگی تعداد ریشه ها به ارزش آن

برای محاسبه ریشه های معادله باید این عدد را بدانید. فرمول معادله درجه دوم هر چه باشد می تواند محاسبه شود. برای محاسبه ممیز ، باید از برابری که در زیر نوشته شده است استفاده کنید ، که عدد چهار را خواهد داشت.

پس از جایگزینی مقادیر ضرایب در این فرمول ، می توانید اعداد را با استفاده کنید علائم مختلف... اگر پاسخ مثبت است ، پاسخ معادله دو ریشه متفاوت خواهد بود. با یک عدد منفی ، ریشه های معادله درجه دوم وجود نخواهد داشت. اگر برابر با صفر باشد ، پاسخ یک خواهد بود.

چگونه یک معادله درجه دوم کامل حل می شود؟

در واقع ، بررسی این موضوع قبلاً آغاز شده است. زیرا ابتدا باید متمایز کننده را پیدا کنید. پس از مشخص شدن ریشه های معادله درجه دوم و مشخص شدن تعداد آنها ، باید از فرمول های متغیرها استفاده کنید. اگر دو ریشه وجود دارد ، باید این فرمول را اعمال کنید.

از آنجا که حاوی علامت "" است ، دو مقدار وجود خواهد داشت. بیان امضا شده ریشه دومتبعیض آمیز است بنابراین ، فرمول را می توان به روش دیگری بازنویسی کرد.

فرمول شماره پنج همان رکورد نشان می دهد که اگر ممیز صفر باشد ، هر دو ریشه مقادیر یکسانی خواهند داشت.

اگر راه حل معادلات درجه دوم هنوز کار نشده است ، بهتر است قبل از اعمال فرمول های متمایز و متغیر ، مقادیر همه ضرایب را یادداشت کنید. بعداً ، این لحظه مشکلی ایجاد نمی کند. اما در همان ابتدا ، سردرگمی وجود دارد.

معادله درجه دوم ناقص چگونه حل می شود؟

اینجا همه چیز بسیار ساده تر است. حتی نیازی به فرمول های اضافی نیست. و شما به مواردی که قبلاً برای افراد متمایز و ناشناخته ثبت شده اند نیاز نخواهید داشت.

ابتدا معادله ناقص شماره دو را در نظر بگیرید. در این برابری ، قرار است مقدار ناشناخته را از پرانتز خارج کرده و معادله خطی را که در پرانتز باقی مانده حل کند. پاسخ دو ریشه خواهد داشت. اولین مورد لزوماً برابر با صفر است ، زیرا عاملی وجود دارد که از خود متغیر تشکیل شده است. دومی با حل معادله خطی بدست می آید.

معادله ناقص شماره سه با انتقال عدد از سمت چپ معادله به راست حل می شود. سپس باید بر عامل مقابل مجهول تقسیم کنید. تنها چیزی که باقی می ماند این است که ریشه مربع را استخراج کنید و به یاد داشته باشید که آن را دو بار با علائم مخالف بنویسید.

در مرحله بعد ، برخی از اقدامات برای کمک به شما در یادگیری نحوه حل انواع برابری هایی که به معادلات درجه دوم تبدیل می شوند ، نوشته شده است. آنها به دانش آموز کمک می کنند تا از اشتباهات بی دقتی جلوگیری کند. این اشکالات دلیل است نمرات بدهنگام مطالعه موضوع گسترده "معادلات درجه دوم (درجه 8)". متعاقباً ، این اقدامات نیازی به انجام مداوم ندارند. زیرا یک مهارت پایدار ظاهر می شود.

• ابتدا باید معادله را به صورت استاندارد بنویسید. یعنی ابتدا عبارت با بالاترین درجه متغیر ، و سپس - بدون درجه و آخرین - فقط یک عدد.

• اگر منفی در مقابل ضریب "a" ظاهر شود ، می تواند کار معادله های درجه دوم را برای مبتدیان پیچیده کند. بهتر است از شر آن خلاص شوید. برای این منظور ، تمام برابری باید در "-1" ضرب شود. این بدان معنی است که همه اصطلاحات علامت خود را به عکس تغییر می دهند.

• به همین ترتیب ، توصیه می شود که کسری ها را از بین ببرید. به سادگی معادله را در ضریب مناسب ضرب کنید تا مخرج ها حذف شوند.

نمونه هایی از

برای حل معادلات درجه دوم زیر لازم است:

x 2 - 7x = 0 ؛

15 - 2x - x 2 = 0 ؛

x 2 + 8 + 3x = 0 ؛

12x + x 2 + 36 = 0 ؛

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).

معادله اول: x 2 - 7x = 0. این ناقص است ، بنابراین همانطور که برای فرمول شماره دو توضیح داده شده است حل می شود.

پس از خروج از براکت ها ، معلوم می شود: x (x - 7) = 0.

ریشه اول مقدار: x 1 = 0. دوم را از معادله خطی پیدا می کند: x - 7 = 0. به راحتی می توان دریافت که x 2 = 7.

معادله دوم: 5x 2 + 30 = 0. باز هم ناقص. فقط همانطور که برای فرمول سوم توضیح داده شده است حل می شود.

پس از انتقال 30 به سمت راست برابری: 5x 2 = 30. حالا باید بر 5 تقسیم کنید. به نظر می رسد: x 2 = 6. پاسخ ها اعداد خواهند بود: x 1 = √6 ، x 2 = - √ 6

معادله سوم: 15 - 2x - x 2 = 0. از این پس ، حل معادلات درجه دوم با بازنویسی آنها در نمای استاندارد: - x 2 - 2x + 15 = 0. اکنون زمان استفاده از دوم است مشاوره مفیدو همه چیز را در منهای یک ضرب کنید. به نظر می رسد x 2 + 2x - 15 = 0. طبق فرمول چهارم ، شما باید محاسبه کننده را محاسبه کنید: D = 2 2 - 4 * ( - 15) = 4 + 60 = 64. این یک عدد مثبت است. از آنچه در بالا گفته شد ، معلوم می شود که این معادله دو ریشه دارد. آنها باید با استفاده از فرمول پنجم محاسبه شوند. به نظر می رسد که x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. سپس x 1 = 3 ، x 2 =-5.

معادله چهارم x 2 + 8 + 3x = 0 به این صورت تبدیل می شود: x 2 + 3x + 8 = 0. ممیز آن برابر این مقدار است: -23. از آنجا که این عدد منفی است ، پاسخ این کار ورودی زیر خواهد بود: "هیچ ریشه ای وجود ندارد."

معادله پنجم 12x + x 2 + 36 = 0 باید به صورت زیر بازنویسی شود: x 2 + 12x + 36 = 0. پس از اعمال فرمول برای تشخیص ، عدد صفر بدست می آید. این بدان معناست که یک ریشه دارد ، یعنی: x = -12 / (2 * 1) = -6.

معادله ششم (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x 2 به جای عبارت اول ، چنین عبارتی وجود خواهد داشت: x 2 + 2x + 1. پس از برابری ، این رکورد ظاهر می شود: x 2 + 3x + 2. پس از شمارش چنین شرایطی ، معادله به شکل: x 2 - x = 0. تبدیل به ناقص شد ... چیزی شبیه به آن قبلاً کمی بالاتر در نظر گرفته شده است. ریشه این عدد 0 و 1 خواهد بود.

ما به مطالعه موضوع ادامه می دهیم " حل معادلات" ما قبلاً با معادلات خطی ملاقات کرده ایم و برای آشنایی با آنها پیش می رویم معادلات درجه دوم.

ابتدا ، معادله درجه دوم ، نحوه نگارش آن در شکل کلی را تجزیه و تحلیل می کنیم و تعاریف مرتبط را ارائه می دهیم. پس از آن ، با استفاده از مثال ، نحوه حل معادلات درجه دوم ناقص را با جزئیات تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. بعد ، بیایید به راه حل برویم معادلات کامل، ما فرمول ریشه ها را بدست می آوریم ، با متمایز معادله درجه دوم آشنا می شویم و راه حل های نمونه های معمولی را در نظر می گیریم. در نهایت ، اجازه دهید رابطه بین ریشه ها و ضرایب را دنبال کنیم.

ناوبری صفحه

معادله درجه دوم چیست؟ انواع آنها

ابتدا باید به وضوح درک کنید که معادله درجه دوم چیست. بنابراین ، منطقی است که در مورد معادلات درجه دوم با تعریف معادله درجه دوم و همچنین تعاریف مربوطه صحبت کنیم. پس از آن ، می توانید انواع اصلی معادلات درجه دوم: کاهش و عدم کاهش ، و همچنین معادلات کامل و ناقص را در نظر بگیرید.

تعریف و مثالهای معادلات درجه دوم

تعریف.

معادله ی درجه دومعادله فرم است a x 2 + b x + c = 0، جایی که x یک متغیر است ، a ، b و c برخی از اعداد و a غیر صفر است.

بیایید بلافاصله بگوییم که معادلات درجه دوم اغلب معادلات درجه دوم نامیده می شوند. این به این دلیل است که معادله درجه دوم است معادله جبریدرجه دو

تعریف صحیح به ما اجازه می دهد نمونه هایی از معادلات درجه دوم را ارائه دهیم. بنابراین 2 x 2 + 6 x + 1 = 0 ، 0.2 x 2 + 2.5 x + 0.03 = 0 و غیره معادلات درجه دو هستند.

تعریف.

شماره a ، b و c نامیده می شوند ضرایب معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0 و ضریب a اولین یا بالاترین یا ضریب x 2 نامیده می شود ، b ضریب دوم است یا ضریب x است و c عبارت آزاد است.

به عنوان مثال ، بیایید یک معادله درجه دوم از شکل 5x2 −2x3 = 0 را در نظر بگیریم ، در اینجا ضریب پیشرو 5 است ، ضریب دوم −2 و قطع 3 است. توجه داشته باشید که وقتی ضرایب b و / یا c منفی هستند ، مانند مثال ذکر شده ، ما از آن استفاده می کنیم شکل مختصرنوشتن یک معادله درجه دوم 5 2 2 − 2 x- 3 = 0 ، نه 5 2 2 + (- 2) x + (-- 3) = 0.

شایان ذکر است که وقتی ضرایب a و / یا b برابر 1 یا −1 باشند ، معمولاً به صراحت در معادله درجه دوم وجود ندارند ، که به دلیل ویژگی های نوشتن چنین است. به عنوان مثال ، در معادله درجه دوم y 2 −y + 3 = 0 ، ضریب پیشرو یک و ضریب y y -1 است.

معادلات درجه دوم کاهش یافته و کاهش نیافته است

معادلات درجه دوم کاهش یافته و کاهش نیافته بسته به مقدار ضریب پیشرو متمایز می شوند. اجازه دهید تعاریف مربوطه را ارائه دهیم.

تعریف.

یک معادله درجه دوم که در آن ضریب پیشرو 1 است ، نامیده می شود کاهش معادله درجه دوم... در غیر این صورت معادله درجه دوم است کاهش نیافته.

مطابق با این تعریف، معادلات درجه 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 ، x 2 − x - 2/3 = 0 و غیره - با توجه به ، در هر یک از آنها اولین ضریب برابر یک است. و 5 x 2 −x - 1 = 0 ، و غیره - معادلات درجه دوم کاهش نیافته ، ضرایب اصلی آنها با 1 متفاوت است.

از هر معادله درجه دوم بدون کاهش با تقسیم هر دو قسمت آن بر ضریب پیشرو ، می توانید به معادله کاهش یافته بروید. این عمل یک دگرگونی معادل است ، یعنی معادله درجه دوم کاهش یافته بدین ترتیب ریشه های معادله درجه دوم کاهش نیافته دارد ، یا مانند آن ریشه ندارد.

اجازه دهید با مثال تجزیه و تحلیل کنیم که چگونه گذار از معادله درجه دوم کاهش نیافته به معادله کاهش یافته انجام می شود.

مثال.

از معادله 3 x 2 + 12 x - 7 = 0 ، به معادله درجه دوم کاهش یافته مربوطه بروید.

راه حل.

برای ما کافی است که دو طرف معادله اصلی را بر عامل اصلی 3 تقسیم کنیم ، این صفر است ، بنابراین می توانیم این عمل را انجام دهیم. ما (3 x 2 + 12 x - 7): 3 = 0: 3 ، که یکسان است ، (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 = 0 ، و بیشتر (3: 3) x 2 + (12: 3) x - 7: 3 = 0 ، از کجا. بنابراین معادله درجه دوم کاهش یافته ، معادل معادله اصلی را بدست آوردیم.

پاسخ:

معادلات درجه دوم کامل و ناقص

تعریف معادله درجه دوم شامل شرط a ≠ 0 است. این شرط برای این است که معادله a x 2 + b x + c = 0 دقیقاً درجه دوم باشد ، زیرا در a = 0 در واقع معادله خطی شکل b x + c = 0 می شود.

در مورد ضرایب b و c ، آنها می توانند برابر صفر باشند ، هم جداگانه و هم با هم. در این موارد ، معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود.

تعریف.

معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0 نامیده می شود ناقصاگر حداقل یکی از ضرایب b باشد ، c برابر صفر است.

به نوبه خود

تعریف.

معادله درجه دوم کاملمعادله ای است که در آن همه ضرایب غیر صفر هستند.

چنین اسامی به طور تصادفی داده نمی شود. این امر با ملاحظات زیر روشن خواهد شد.

اگر ضریب b برابر صفر باشد ، معادله درجه دوم به صورت a x 2 + 0 x + c = 0 به دست می آید و معادل معادله a x 2 + c = 0 است. اگر c = 0 ، یعنی معادله درجه دوم دارای شکل x 2 + b x + 0 = 0 باشد ، می توان آن را به صورت x 2 + b x = 0 بازنویسی کرد. و با b = 0 و c = 0 ، معادله درجه دوم a x 2 = 0 را بدست می آوریم. معادلات بدست آمده از معادله درجه دوم کاملاً متفاوت است زیرا در سمت چپ آنها یک عبارت با متغیر x یا یک عبارت آزاد یا هر دو وجود ندارد. از این رو نام آنها - معادلات درجه دوم ناقص است.

بنابراین معادلات x 2 + x + 1 = 0 و −2 x 2 −5 x + 0.2 = 0 نمونه معادلات کامل درجه دوم هستند و x 2 = 0 ، x2 x 2 = 0.5 x 2 + 3 = 0 ، - x 2 −5 · x = 0 معادلات درجه دوم ناقص هستند.

حل معادلات درجه دوم ناقص

از اطلاعات پاراگراف قبلی چنین برمی آید که وجود دارد سه نوع معادلات درجه دوم ناقص:

• a · x 2 = 0 ، ضرایب b = 0 و c = 0 مربوط به آن است.
• a x 2 + c = 0 وقتی b = 0 ؛
• و a x 2 + b x = 0 وقتی c = 0.

اجازه دهید به ترتیب نحوه حل معادلات درجه دوم ناقص هر یک از این انواع را تجزیه و تحلیل کنیم.

a x 2 = 0

بیایید با حل معادلات درجه دوم ناقص که ضرایب b و c برابر با صفر است ، یعنی با معادلات شکل a · x 2 = 0 شروع کنیم. معادله a · x 2 = 0 معادل معادله x 2 = 0 است که با تقسیم هر دو قسمت آن بر عدد غیر صفر a از اصل بدست می آید. بدیهی است که ریشه معادله x 2 = 0 صفر است ، زیرا 0 2 = 0 است. این معادله ریشه دیگری ندارد ، که در واقع توضیح داده می شود ، برای هر عدد غیر صفر p ، نابرابری p 2> 0 صادق است ، از این رو نتیجه می گیرد که برای p ≠ 0 هیچگاه برابری p 2 = 0 حاصل نمی شود.

بنابراین ، معادله درجه دوم ناقص a · x 2 = 0 دارای یک ریشه واحد x = 0 است.

به عنوان مثال ، اجازه دهید راه حل معادله درجه دوم ناقص −4 · x 2 = 0 را ارائه دهیم. معادل معادله x 2 = 0 است ، تنها ریشه آن x = 0 است ، بنابراین ، معادله اصلی دارای صفر ریشه منحصر به فرد است.

یک راه حل کوتاه در این مورد می تواند به شرح زیر فرمول بندی شود:
x4 x 2 = 0 ،
x 2 = 0 ،
x = 0

a x 2 + c = 0

حال بیایید نحوه معادلات درجه دوم ناقص را در نظر بگیریم که در آن ضریب b صفر و c ≠ 0 ، یعنی معادلات شکل a · x 2 + c = 0 است. ما می دانیم که انتقال یک عبارت از یک طرف معادله به طرف دیگر با علامت مخالف ، و همچنین تقسیم هر دو طرف معادله به یک عدد غیر صفر ، معادله ای معادل می دهد. بنابراین ، می توان تغییرات معادل زیر معادله درجه دوم ناقص a x 2 + c = 0 را انجام داد:

• c را به سمت راست ببرید ، که معادله را x 2 = −c می دهد ،
• و هر دو قسمت آن را بر a تقسیم می کنیم ، بدست می آوریم.

معادله به دست آمده به ما امکان می دهد در مورد ریشه های آن نتیجه گیری کنیم. بسته به مقادیر a و c ، مقدار عبارت می تواند منفی (به عنوان مثال ، اگر a = 1 و c = 2 ، سپس) یا مثبت ، (به عنوان مثال ، اگر a = −2 و c = 6 باشد) ، بنابراین) ، برابر صفر نیست ، زیرا با فرضیه c ≠ 0. بگذارید موارد و.

اگر ، پس معادله ریشه ندارد. این عبارت از این واقعیت ناشی می شود که مربع هر عددی یک عدد غیر منفی است. از اینجا نتیجه می شود که وقتی ، برای هر عدد p برابری نمی تواند صادق باشد.

اگر ، پس وضعیت ریشه های معادله متفاوت است. در این مورد ، اگر چیزی را به خاطر داشته باشید ، ریشه معادله بلافاصله آشکار می شود ، از آنجا که یک عدد است. به راحتی می توان حدس زد که عدد نیز ریشه معادله است. این معادله ریشه دیگری ندارد ، که می توان آن را مثلاً با روش متناقض نشان داد. بیایید آن را انجام دهیم.

اجازه دهید ریشه های معادله ای را که فقط x 1 و − x 1 به نظر می رسند ، نشان دهیم. فرض کنید که این معادله یک ریشه دیگر دارد 2 ، متفاوت از ریشه های نشان داده شده x 1 و −x 1. شناخته شده است که جایگزینی ریشه های آن در معادله به جای x معادله را به یک برابری عددی واقعی تبدیل می کند. برای x 1 و −x 1 داریم و برای x 2 داریم. خواص برابری های عددی به ما این امکان را می دهد که برابری های عددی واقعی را به صورت مدت به تفکیک انجام دهیم ، بنابراین با کسر قسمت های مربوط به برابری ها x 1 2 − x 2 2 = 0 به دست می آید. ویژگیهای اعمال با اعداد به شما امکان می دهد برابری حاصله را (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0 بازنویسی کنید. ما می دانیم که حاصلضرب دو عدد صفر است اگر و فقط اگر حداقل یکی از آنها صفر باشد. بنابراین ، از برابری بدست آمده نتیجه می گیرد که x 1 - x 2 = 0 و / یا x 1 + x 2 = 0 ، که یکسان است ، x 2 = x 1 و / یا x 2 = −x 1. به این ترتیب به یک تناقض رسیدیم ، زیرا در ابتدا گفتیم که ریشه معادله x 2 با x 1 و − x 1 متفاوت است. این ثابت می کند که این معادله ریشه ای جز و ندارد.

اجازه دهید اطلاعات این مورد را خلاصه کنیم. معادله درجه دوم ناقص a x 2 + c = 0 معادل معادله ای است که

• ریشه ندارد اگر ،
• دو ریشه دارد و اگر.

نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم ناقص فرم a · x 2 + c = 0 را در نظر بگیرید.

بیایید با معادله درجه دوم 9 * 2 + 7 = 0 شروع کنیم. پس از انتقال عبارت آزاد به سمت راست معادله ، شکل 9 · x 2 = -7 را به خود می گیرد. با تقسیم هر دو طرف معادله به دست آمده به 9 ، به این می رسیم. از آنجا که یک عدد منفی در سمت راست وجود دارد ، این معادله ریشه ندارد ، بنابراین معادله درجه اول ناقص 9 · x 2 + 7 = 0 ریشه ندارد.

معادله درجه دوم ناقص vex 2 + 9 = 0 را حل کنید. نه را به راست حرکت دهید: −x 2 = −9. حالا هر دو طرف را بر −1 تقسیم می کنیم ، x 2 = 9 می گیریم. در سمت راست یک عدد مثبت وجود دارد که از آن نتیجه می گیریم یا. سپس پاسخ نهایی را یادداشت می کنیم: معادله درجه دوم ناقص −x 2 + 9 = 0 دو ریشه x = 3 یا x = -3 دارد.

a x 2 + b x = 0

باقی مانده است که به حل آخرین نوع معادلات درجه دوم ناقص برای c = 0 بپردازیم. معادلات درجه دوم ناقص فرم a x 2 + b x = 0 به شما امکان می دهد حل کنید روش عامل یابی... بدیهی است ، ما می توانیم در سمت چپ معادله قرار بگیریم و برای آن کافی است که عامل مشترک x را محاسبه کنیم. این به ما امکان می دهد از معادله درجه دوم ناقص اصلی به معادله ای معادل شکل x · (a · x + b) = 0 برسیم. و این معادله معادل ترکیب دو معادله x = 0 و a x + b = 0 است که آخرین آن خطی است و دارای ریشه x = −b / a است.

بنابراین ، معادله درجه دوم ناقص a x 2 + b x = 0 دو ریشه x = 0 و x = −b / a دارد.

برای تجمیع مواد ، راه حل یک مثال خاص را تجزیه و تحلیل می کنیم.

مثال.

معادله را حل کنید.

راه حل.

حرکت x خارج از پرانتز معادله را نشان می دهد. معادل دو معادله x = 0 و. ما معادله خطی حاصل را حل می کنیم: و انجام تقسیم شماره های درهمبر کسر مشترک، ما پیدا می کنیم. بنابراین ، ریشه های معادله اصلی x = 0 و.

پس از کسب تمرین لازم ، راه حل چنین معادلاتی را می توان به طور خلاصه نوشت:

پاسخ:

x = 0 ،

تبعیض آمیز ، فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

یک فرمول اصلی برای حل معادلات درجه دوم وجود دارد. بگذارید بنویسیم فرمول درجه دوم: ، جایی که D = b 2 − 4 a c- باصطلاح تمایز درجه دو... علامت گذاری اساساً به این معنی است.

دانستن نحوه بدست آوردن فرمول ریشه و نحوه استفاده از آن هنگام یافتن ریشه معادلات درجه دوم مفید است. بیایید آن را مشخص کنیم.

مشتق فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

فرض کنید باید معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0 را حل کنیم. بیایید چند تغییر معادل انجام دهیم:

• ما می توانیم هر دو طرف این معادله را بر عدد غیر صفر a تقسیم کنیم ، در نتیجه معادله درجه دوم کاهش یافته را بدست می آوریم.
• اکنون یک مربع کامل را انتخاب کنیددر سمت چپ آن :. پس از آن ، معادله شکل می گیرد.
• در این مرحله ، امکان انتقال دو اصطلاح آخر به سمت راست با علامت مخالف وجود دارد.
• و همچنین عبارت را در سمت راست تغییر می دهیم :.

در نتیجه به معادله ای می رسیم که معادل معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0 است.

ما قبلاً معادلات مشابه را در پاراگراف های قبلی هنگام تجزیه و تحلیل حل کرده ایم. این امر به ما امکان می دهد در مورد ریشه های معادله نتیجه گیری زیر را انجام دهیم:

• اگر ، معادله راه حل واقعی ندارد.
• اگر ، پس معادله شکل دارد ، بنابراین ، تنها ریشه آن از کجا قابل مشاهده است.
• اگر ، سپس یا ، که یکسان است ، یا ، معادله دو ریشه دارد.

بنابراین ، وجود یا عدم وجود ریشه های معادله ، و از این رو معادله درجه دوم اصلی ، به علامت عبارت در سمت راست بستگی دارد. به نوبه خود ، علامت این عبارت با علامت شمارنده تعیین می شود ، زیرا مخرج 4 · a 2 همیشه مثبت است ، یعنی علامت عبارت b 2 − 4 · a · c. این عبارت b 2 − 4 a c نامیده شد متمایز کننده یک معادله درجه دومو با حرف مشخص شده است د... از اینجا ، جوهر تشخیص دهنده روشن است - با ارزش و نشانه آن ، به این نتیجه می رسد که آیا معادله درجه دوم ریشه واقعی دارد ، و اگر چنین است ، عدد آنها - یک یا دو؟

با بازگشت به معادله ، آن را با استفاده از علامت تفکیک بازنویسی کنید :. و نتیجه می گیریم:

• اگر D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• اگر D = 0 باشد ، این معادله یک ریشه واحد دارد.
• سرانجام ، اگر D> 0 باشد ، معادله دو ریشه دارد یا ، که به موجب آن می توان به شکل بازنویسی کرد ، و پس از بسط و کاهش کسرها به مخرج مشترک ، بدست می آوریم.

بنابراین ما فرمولهایی برای ریشههای یک معادله درجه دوم بدست آورده ایم ، آنها دارای شکل هستند ، جایی که D متمایز با فرمول D = b 2 -4 · a · c محاسبه می شود.

با کمک آنها ، با یک تفکیک مثبت ، می توانید هر دو ریشه واقعی معادله درجه دوم را محاسبه کنید. هنگامی که ممیز برابر با صفر باشد ، هر دو فرمول مقدار ریشه یکسانی را نشان می دهند که مربوط به یک راه حل منحصر به فرد برای معادله درجه دوم است. و با یک تفکیک منفی ، هنگام تلاش برای استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم ، با استخراج ریشه مربع یک عدد منفی مواجه می شویم ، که ما را از جعبه خارج می کند و برنامه آموزشی مدرسه... با یک تفکیک منفی ، معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد ، اما دارای یک جفت است مزدوج پیچیدهریشه ها ، که می توان آنها را با همان فرمول های ریشه به دست آمده توسط ما یافت.

الگوریتم حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول های ریشه

در عمل ، هنگام حل معادلات درجه دوم ، می توانید بلافاصله از فرمول ریشه استفاده کنید ، که با آن می توانید مقادیر آنها را محاسبه کنید. اما این بیشتر در مورد یافتن ریشه های پیچیده است.

با این حال ، معمولاً در دوره جبر مدرسه می آیدنه در مورد پیچیده ، بلکه در مورد ریشه های واقعی معادله درجه دوم. در این مورد ، توصیه می شود ابتدا قبل از استفاده از فرمول های ریشه معادله درجه دو ، متمایز کننده را بیابید ، از منفی بودن آن مطمئن شوید (در غیر این صورت ، می توان نتیجه گرفت که معادله ریشه واقعی ندارد) ، و تنها پس از که مقادیر ریشه ها را محاسبه می کند.

استدلال فوق به ما امکان می دهد بنویسیم حل معادلات درجه دوم... برای حل معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0 ، به موارد زیر نیاز دارید:

• با فرمول تشخیص D = b 2 −4 · a · c مقدار آن را محاسبه کنید ؛
• نتیجه بگیرید که اگر معایب درجه دوم ریشه واقعی نداشته باشد در صورتی که تفکیک کننده منفی باشد.
• اگر D = 0 باشد ، تنها ریشه معادله را با فرمول محاسبه کنید.
• در صورت مثبت بودن تشخیص ، دو ریشه واقعی یک معادله درجه دوم با استفاده از فرمول ریشه پیدا کنید.

در اینجا فقط توجه می کنیم که وقتی ممیز برابر صفر باشد ، از فرمول نیز می توان استفاده کرد ، همان مقدار را به دست می دهد.

می توانید به مثال هایی از استفاده از الگوریتم برای حل معادلات درجه دوم ادامه دهید.

نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم

راه حلهای سه معادله درجه دوم با تفکیک مثبت ، منفی و صفر را در نظر بگیرید. با پرداختن به راه حل آنها ، به صورت قیاس می توان هر معادله درجه دوم را حل کرد. بیا شروع کنیم.

مثال.

ریشه های معادله x 2 + 2 x - 6 = 0 را بیابید.

راه حل.

در این مورد ، ضرایب زیر معادله درجه دوم را داریم: a = 1 ، b = 2 و c = -6. با توجه به الگوریتم ، ابتدا باید متمایز کننده را محاسبه کنید ، برای این منظور ما a ، b و c را در فرمول تشخیصی جایگزین می کنیم ، D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (−6) = 4 + 24 = 28... از آنجا که 0> 28 ، یعنی ممیز بزرگتر از صفر است ، معادله درجه دو دارای دو ریشه واقعی است. ما آنها را با استفاده از فرمول ریشه پیدا می کنیم ، دریافت می کنیم ، در اینجا می توانید عبارات بدست آمده را با انجام این کار ساده کنید در نظر گرفتن علامت ریشهبا کاهش بعدی کسر:

پاسخ:

بیایید به مثال معمولی بعدی برویم.

مثال.

معادله درجه دوم −4x2 + 28x - 49 = 0 را حل کنید.

راه حل.

ما با پیدا کردن ممیز شروع می کنیم: D = 28 2 −4 (−4) (−49) = 784−784 = 0... بنابراین ، این معادله درجه دوم دارای یک ریشه واحد است که ما آن را به عنوان

پاسخ:

x = 3.5

باقی می ماند که راه حل معادلات درجه دوم با تفکیک منفی در نظر گرفته شود.

مثال.

معادله 5 y 2 + 6 y + 2 = 0 را حل کنید.

راه حل.

در اینجا ضرایب معادله درجه دوم وجود دارد: a = 5 ، b = 6 و c = 2. با جایگزینی این مقادیر در فرمول تشخیصی ، ما داریم D = b 2 −4 a c = 6 2 −4 5 2 = 36−40 = −4... متمایز منفی است ، بنابراین ، این معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد.

اگر لازم است ریشه های پیچیده را نشان دهیم ، ما از فرمول شناخته شده برای ریشه های معادله درجه دوم استفاده می کنیم و عملیات اعداد مختلط:

پاسخ:

هیچ ریشه واقعی وجود ندارد ، ریشه های پیچیده به شرح زیر است:

یک بار دیگر ، ما توجه می کنیم که اگر ممیز معادله درجه دوم منفی باشد ، معمولاً در مدرسه معمولاً بلافاصله پاسخی را یادداشت می کنند که در آن نشان می دهد ریشه واقعی وجود ندارد و ریشه های پیچیده یافت نمی شوند.

فرمول ریشه حتی برای ضرایب دوم

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم ، جایی که D = b 2 −4 ln5 = 2 7 ln5). بیایید آن را بیرون بیاوریم.

فرض کنید باید معادله درجه دوم را a x 2 + 2 n x + c = 0 حل کنیم. بیایید ریشه های آن را با استفاده از فرمولی که می شناسیم پیدا کنیم. برای انجام این کار ، ممیز را محاسبه کنید D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 −a c)، و سپس از فرمول ریشه ها استفاده می کنیم:

اجازه دهید عبارت n 2 - a · c را به عنوان D 1 نشان دهیم (گاهی اوقات با D نشان داده می شود). سپس فرمول ریشه های معادله درجه دوم در نظر گرفته شده با ضریب دوم 2 n شکل می گیرد ، جایی که D 1 = n 2 - a · c

به راحتی می توان دید که D = 4 · D 1 ، یا D 1 = D / 4. به عبارت دیگر ، D1 چهارمین بخش تشخیص دهنده است. واضح است که علامت D 1 همان علامت D است. یعنی علامت D 1 همچنین نشانگر وجود یا عدم وجود ریشه های یک معادله درجه دوم است.

بنابراین ، برای حل معادله درجه دوم با ضریب دوم 2 n ، شما نیاز دارید

• محاسبه D 1 = n 2 −a · c ؛
• اگر D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• اگر D 1 = 0 است ، تنها ریشه معادله را با فرمول محاسبه کنید.
• اگر D 1> 0 است ، دو ریشه واقعی را با فرمول پیدا کنید.

حل یک مثال را با استفاده از فرمول ریشه بدست آمده در این پاراگراف در نظر بگیرید.

مثال.

معادله درجه دوم 5x2 −6x - 32 = 0 را حل کنید.

راه حل.

ضریب دوم این معادله را می توان به صورت 2 · (−3) نشان داد. یعنی می توانید معادله درجه دوم را به شکل 5 x 2 + 2 (−3) x - 32 = 0 ، در اینجا a = 5 ، n = -3 و c = -32 بازنویسی کنید و قسمت چهارم تبعیض آمیز: D 1 = n 2 −a c = (- 3) 2 −5 (−32) = 9 + 160 = 169... از آنجا که مقدار آن مثبت است ، معادله دو ریشه واقعی دارد. بیایید آنها را با استفاده از فرمول ریشه مربوطه پیدا کنیم:

توجه داشته باشید که می توان از فرمول معمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم استفاده کرد ، اما در این مورد ، کارهای محاسباتی بیشتری باید انجام شود.

پاسخ:

ساده سازی نمای معادلات درجه دوم

گاهی اوقات ، قبل از شروع به محاسبه ریشه های یک معادله درجه دوم با فرمول ها ، پرسیدن این س :ال ضرری ندارد: "آیا می توان شکل این معادله را ساده کرد؟" موافقت کنید که از نظر محاسبات ، حل معادله درجه دوم 11 x 2 − 4 x - 6 = 0 از 1100 x 2 −400 x - 600 = 0 آسان تر خواهد بود.

معمولاً ساده سازی شکل یک معادله درجه دوم با ضرب یا تقسیم هر دو قسمت آن بر عددی حاصل می شود. به عنوان مثال ، در پاراگراف قبلی ، ما با تقسیم هر دو طرف بر 100 ، معادله 1100x2 −400x - 600 = 0 را ساده کردیم.

یک تغییر مشابه با معادلات درجه دوم انجام می شود ، ضرایب آن نیست. در این حالت ، معمولاً هر دو طرف معادله با مقادیر مطلق ضرایب آن تقسیم می شوند. به عنوان مثال ، بیایید از معادله درجه 12 x 2 −42 x + 48 = 0 استفاده کنیم. مقادیر مطلق ضرایب آن: GCD (12 ، 42 ، 48) = GCD (GCD (12 ، 42) ، 48) = GCD (6 ، 48) = 6. با تقسیم هر دو طرف معادله درجه دوم بر 6 ، به معادله درجه دوم معادل 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 می رسیم.

و ضرب هر دو طرف معادله درجه دوم معمولاً برای خلاص شدن از ضرایب کسری انجام می شود. در این حالت ، ضرب توسط مخرج ضرایب آن انجام می شود. به عنوان مثال ، اگر هر دو طرف معادله درجه دوم در LCM ضرب شود (6 ، 3 ، 1) = 6 ، آنگاه شکل ساده تری به خود می گیرد x 2 + 4 x - 18 = 0.

در خاتمه این پاراگراف ، توجه می کنیم که تقریباً همیشه با تغییر علائم همه اصطلاحات ، که مربوط به ضرب (یا تقسیم) هر دو قسمت در − 1 است ، از ضریب ضریب پیشرو در معادله درجه دوم خلاص می شویم. به عنوان مثال ، معمولاً از معادله درجه دوم x2x2 −3x + 7 = 0 یکی به محلول 2x2 + 3x - 7 = 0 می رسد.

رابطه بین ریشه ها و ضرایب یک معادله درجه دوم

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم ریشه های یک معادله را بر حسب ضرایب آن بیان می کند. بر اساس فرمول ریشه ها ، می توانید روابط دیگری بین ریشه ها و ضرایب بدست آورید.

شناخته شده ترین و کاربردی ترین فرمولها از قضیه ویتا از فرم و. به طور خاص ، برای معادله درجه دوم داده شده ، مجموع ریشه ها برابر ضریب دوم با علامت مخالف و حاصلضع ریشه ها برابر عبارت آزاد است. به عنوان مثال ، با استفاده از معادله درجه 3 x 2 −7 x + 22 = 0 ، می توان بلافاصله گفت که مجموع ریشه های آن 7/3 و حاصل ریشه ها 22/3 است.

با استفاده از فرمول های نوشته شده ، می توانید تعدادی رابطه دیگر بین ریشه ها و ضرایب معادله درجه دوم بدست آورید. به عنوان مثال ، می توانید مجموع مربعات ریشه های یک معادله درجه دوم را از طریق ضرایب آن بیان کنید :.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• جبر:مطالعه. برای 8 cl آموزش عمومی. موسسات / [یو. N. Makarychev ، N. G. Mindyuk ، K. I. Neshkov ، S. B. Suvorova] ؛ ویرایش S. A. Telyakovsky. - ویرایش 16 - M .: Education، 2008 .-- 271 ص. : مریض -شابک 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovichجبر. کلاس هشتم. ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزشی / A. G. Mordkovich. - ویرایش 11 ، پاک شده - M: Mnemozina ، 2009.- 215 ص .: بیمار. شابک 978-5-346-01155-2.