معادله کاهش یافته. راه حل معادلات مربع: ریشه های فرمول، نمونه ها

Copsevskaya دبیرستان روستایی

10 راه حل معادلات مربع

رهبر: Patrekva Galina Anatolyevna،

معلم ریاضی

s.Kopievo، 2007.

1. تاریخ توسعه معادلات مربع

1.1 معادلات مربع در بابل باستان

1.2 به عنوان معادلات مربع دیفانت حل شده و حل شده است

معادلات مربع 1.3 در هند

1.4 معادلات مربع در ALCOHISE

1.5 معادلات مربع در اروپا XIII - قرن ها XVII

1.6 درباره قضیه Vieta

2. روش های حل معادلات مربع

نتیجه

ادبیات

1. تاریخ توسعه معادلات مربع

1.1 معادلات مربع در بابل باستان

نیاز به حل معادلات نه تنها اولین، بلکه همچنین درجه دوم در دوران باستان ناشی از نیاز به حل وظایف مربوط به محل زمین های زمین و با زمین های زمین های نظامی، و همچنین با توسعه نجوم و همچنین خود ریاضیات معادلات مربع قادر به حل حدود 2000 سال قبل بودند. e بابل

با استفاده از یک رکورد جبری مدرن، می توانیم بگوییم که در متون کلیوکس آنها، به جز ناقص، و به عنوان مثال، معادلات مربع کامل، وجود دارد:

ایکس. 2 + ایکس. = ¾; ایکس. 2 - ایکس. = 14,5

حاکمیت حل این معادلات که در متون بابلی آمده است، اساسا با مدرن است، اما شناخته شده نیست که بابلیان به این قانون رسیده اند. تقریبا تمام متون کلی کمان تا کنون، تنها وظایف با تصمیمات در قالب دستور العمل ها، بدون نشان دادن اینکه چگونه آنها یافت می شود، انجام می شود.

علیرغم سطح بالایی از توسعه جبر در بابل، هیچ مفهومی از تعداد منفی و روش های کلی برای حل معادلات مربع در متون کلیوکس وجود ندارد.

1.2 به عنوان معادلات مربع دیفانت حل شده و حل شده است.

در "محاسبات" دیوفانا هیچ ارائه سیستماتیک جبر وجود ندارد، اما شامل تعداد سیستماتیک وظایف همراه با توضیحات و آماده سازی معادلات درجه های مختلف است.

هنگام تدوین معادلات Diofant برای ساده سازی راه حل به طرز ماهرانه ای ناشناخته را انتخاب می کند.

در اینجا، به عنوان مثال، یکی از وظایف او.

وظیفه 11 "پیدا کردن دو عدد، دانستن اینکه مجموع آنها 20 است، و کار 96"

Diofant استدلال می کند: از شرایط مشکل، به شرح زیر است که اعداد مورد نظر برابر نیستند، زیرا اگر آنها برابر باشند، کار آنها 96 و 100 نیست. بنابراین، یکی از آنها بیش از نیمی از آنها خواهد بود مجموع آنها، یعنی. 10 + H. دیگر کمتر است، به عنوان مثال 10 - H. . تفاوت بین آنها 2x .

از این رو معادله:

(10 + x) (10 - x) \u003d 96

100 - x 2 \u003d 96

x 2 - 4 \u003d 0 (1)

از اینجا x \u003d 2 . یکی از اعداد مورد نظر است 12 ، دیگر 8 . تصمیم x \u003d -2. این برای دیوفانتا وجود ندارد، زیرا ریاضیات یونانی تنها تعداد مثبت را می دانستند.

اگر ما این کار را انتخاب کنیم، انتخاب یکی از اعداد مورد نظر به عنوان ناشناخته، ما برای حل معادله خواهیم آمد

y (20 - y) \u003d 96،

در 2 - 20u + 96 \u003d 0. (2)

روشن است که انتخاب به عنوان یک بازی ناشناخته از اعداد مورد نظر، Diofant تصمیم گیری را ساده تر می کند؛ او می تواند وظیفه حل معادله مربع ناقص را کاهش دهد (1).

1.3 معادلات مربع در هند

وظایف هر معادلات مربع در حال حاضر در دستگاه نجومی "Ariabhatti" یافت می شود، که در 499 تشکیل شده است. ریاضیدان هند و ستاره شناس Ariabhatta. یکی دیگر از دانشمندان هندی، برهماگپتا (قرن هفتم)، قانون کلی حل معادلات مربع را به یک فرم کانونیک اختصاص داد:

آه 2 + ب x \u003d s، a\u003e 0. (1)

در معادله (1) ضرایب به جز ولی ممکن است منفی باشد قانون برماگتاپا اساسا با ما همخوانی دارد.

در هند باستان، مسابقات عمومی در حل وظایف دشوار توزیع شد. در یکی از کتاب های قدیمی هندی، مسابقات زیر در مورد چنین مسابقات گفته می شود: "همانطور که خورشید با ستارگان خود پر زرق و برق می شود، بنابراین دانشمند، اصطلاحات دیگر را در مجلس ملی، ارائه و حل وظایف جبری را تحت فشار قرار می دهد." وظایف اغلب در شکل شاعرانه لذت می برند.

در اینجا یکی از وظایف معروف ریاضیات معروف هند XII است. باسکرا

وظیفه 13

"بیانیه میمون ها و دوازده نفر در لیانام ...

قدرت روبرو شدن، لذت بردن از آن. شروع به پریدن، حلق آویز ...

آنها در قسمت مربع هشتم هستند که چگونه بسیاری از میمون ها بودند

در گلدان سرگرم شد آیا به من بگویید، در این پشته؟ "

تصمیم باسکرا به این واقعیت شهادت می دهد که او در مورد دو برابر ریشه های معادلات مربع می دانست (شکل 3).

وظیفه مربوط به 13 معادله:

( ایکس. /8) 2 + 12 = ایکس.

Bhaskara تحت پوشش قرار می نویسد:

x 2 - 64x \u003d -768

و برای تکمیل بخش چپ این معادله به مربع به هر دو قسمت اضافه می شود 32 2 ، گرفتن سپس:

x 2 - 64x + 32 2 \u003d -768 + 1024،

(x - 32) 2 \u003d 256،

x - 32 \u003d ± 16،

x 1 \u003d 16، x 2 \u003d 48.

1.4 معادلات مربع در الخورزمی

در رساله جبری الخورزمی طبقه بندی معادلات خطی و مربع را می دهد. نویسنده شامل 6 گونه از معادلات است، که آنها را به شرح زیر بیان می کند:

1) "مربع ها ریشه ها هستند"، به عنوان مثال آه 2 + c \u003d ب ایکس.

2) "مربع برابر با شماره"، به عنوان مثال آه 2 \u003d s

3) "ریشه ها برابر با عدد هستند"، به عنوان مثال ah \u003d s

4) "مربع ها و اعداد برابر با ریشه هستند"، به عنوان مثال آه 2 + c \u003d ب ایکس.

5) "مربع ها و ریشه ها برابر با شماره هستند"، به عنوان مثال آه 2 + bx \u003d s

6) "ریشه ها و اعداد برابر با مربع هستند"، به عنوان مثال bx + C \u003d AH 2.

برای الخورزمی، اجتناب از استفاده از اعداد منفی، اعضای هر یک از این معادلات اجزای سازنده هستند و نه کم. در عین حال، معادلات که هیچ راه حل مثبتی ندارند، به طور واضح به حساب نمی آیند. نویسنده راه حل هایی را برای حل این معادلات، با استفاده از تکنیک های الجبر و الموکابا، راه اندازی می کند. تصمیمات او، البته، با ما همخوانی ندارد. در حال حاضر ذکر نشده است که صرفا لفظی است، به عنوان مثال، باید اشاره کرد که هنگام حل معادله مربع ناقص از نوع اول

الخورزمی، مانند تمام ریاضیات تا قرن هجدهم، راه حل صفر را در نظر می گیرد، احتمالا به این دلیل که در وظایف عملی خاص مهم نیست. هنگام حل معادلات کامل مربع الگوریک در نمونه های عددی خصوصی، قوانین تصمیم گیری و سپس شواهد هندسی را تعیین می کند.

وظیفه 14 "مربع و شماره 21 برابر با 10 ریشه هستند. ریشه را پیدا کنید » (این به عنوان ریشه معادله x 2 + 21 \u003d 10x قابل درک است).

تصمیم نویسنده چیزی شبیه به این را می خواند: ما تعداد ریشه ها را تقسیم می کنیم، شما 5 را دریافت خواهید کرد، شما خود را به دست خواهید آورد، از کار یک 21، از کار 21، باقی می ماند. از بین بردن ریشه از 4، شما 2 را دریافت خواهید کرد . Onde 2 OT5، شما 3 دریافت خواهید کرد، این ریشه مورد نظر خواهد بود. یا اضافه کردن 2 تا 5، که 7 را می دهد، آن را نیز ریشه دارد.

رساله الخورزمی اولین است که کتاب را به ما رساند که در آن طبقه بندی معادلات مربع به طور سیستماتیک تعیین شده و فرمول ها داده می شود.

1.5 معادلات مربع در اروپا XIII - جونیور bb

فرمول های حل معادلات مربع برای الخورزمی در اروپا ابتدا در کتاب "کتاب Abaka" نوشته شده است که در سال 1202 توسط ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو فیبوناچی نوشته شده است. این کار کامل، که منعکس کننده نفوذ ریاضیات، هر دو کشور اسلام و یونان باستان است، با هر دو کامل و وضوح ارائه، متمایز است. نویسنده به طور مستقل برخی از نمونه های جبری جدید برای حل مشکلات را توسعه داد و اولین بار در اروپا به معرفی تعداد منفی رسید. کتاب او گسترش دانش جبری را نه تنها در ایتالیا بلکه در آلمان، فرانسه، فرانسه و سایر کشورهای اروپایی ارتقا داد. چالش های بسیاری از کتاب "Abaka" تقریبا تمام کتاب های درسی اروپا XVI - قرن ها را تصویب کرد. و به طور جزئی XVIII.

قاعده کلی حل معادلات مربع به همان فرم کانونی:

x 2 +. bx \u003d C،

برای همه نوع ترکیبی از علائم ضریب ب , از جانب این در اروپا تنها در سال 1544 M. Stiffel فرموله شد.

خروجی فرمول محلول معادله مربع به طور کلی در Vieta در دسترس است، اما ویتن تنها ریشه های مثبت را به رسمیت می شناسد. ریاضیدان ایتالیایی Tartalia، Kardano، بمباران در میان اول در قرن XVI. داده شده، علاوه بر ریشه های مثبت و منفی. فقط در قرن XVII. با توجه به کار Girard، دکارت، نیوتن و سایر دانشمندان، روش حل معادلات مربع، ظاهر مدرن را به نمایش می گذارد.

1.6 درباره قضیه Vieta

قضیه بیان رابطه بین ضرایب معادله مربع و ریشه های آن، که نام Vieta است، برای اولین بار در سال 1591 به شرح زیر است: "اگر ب + D. ضربدر آ. - آ. 2 خوب bd T. آ. به همان اندازه که در و برابر است D. ».

برای درک ویتا، باید آن را به یاد داشته باشید ولی مانند هر نامه واکه به معنای او ناشناخته است (ما h.) حروف صدادار که در، D. - ضرایب ناشناخته. در زبان جبر مدرن بالا، اصطلاحات Vieta به معنی است: اگر وجود دارد

(A +. ب ) x - x 2 \u003d اب ,

x 2 - (a + ب ) x + a ب = 0,

x 1 \u003d a، x 2 \u003d \u003d ب .

بیان رابطه بین ریشه ها و ضرایب معادلات با فرمول های رایج با استفاده از نمادها، Visiet یکنواختی را در روش های حل معادلات تعیین کرده است. با این حال، نمادگرایی ویتنام از گونه های فعلی دور است. او اعداد منفی را به رسمیت نمی شناسد و برای این، هنگام حل معادلات، تنها مواردی را در نظر گرفت که تمام ریشه ها مثبت هستند.

2. روش های حل معادلات مربع

معادلات مربع پایه ای هستند که ساختمان با شکوه جبر در حال استراحت است. معادلات مربع به طور گسترده ای در حل معادلات سه گانه، نشان دهنده، لگاریتمی، غیر منطقی و متعالی و نابرابری استفاده می شود. همه ما می دانیم که چگونه می توانیم معادلات مربع از نیمکت مدرسه (درجه 8) را قبل از پایان دانشگاه حل کنیم.

اهداف:

• مفهوم یک معادله مربع مشخص را معرفی کنید؛
• "باز" \u200b\u200bوابستگی بین ریشه ها و ضرایب یک معادله مربع مشخص شده؛
• علاقه مند به ریاضیات، نشان دادن مثال زندگی ویتا، که ریاضیات می تواند سرگرمی باشد.

در طول کلاس ها

1. بررسی تکالیف

№ 309 (g) x 1 \u003d 7، x 2 \u003d

№ 311 (G) x 1 \u003d 2، x 2 \u003d -1

شماره 312 (د) هیچ ریشه ای وجود ندارد

2. تکرار مواد مورد مطالعه

هر کس میز دارد پیدا کردن مسابقه بین جداول چپ و راست جدول.

تعجب کلمه	بیان ادبی
1. Square Threechests	A. ah 2 \u003d 0
2. تبعیض آمیز	B. AH 2 + C \u003d 0، با< 0
3. معادله مربع ناقص دارای یک ریشه برابر با 0 است.	که در. d\u003e 0
4. معادله مربع ناقص، یک ریشه از آن 0، و دیگری برابر با 0 نیست.	G. D.< 0
5. یک معادله مربع کامل نیست، ریشه هایی که برابر با ماژول هستند، اما با علامت مخالف هستند.	D. AH 2 + WX + C \u003d 0
6. یک معادله مربع کامل نیست که ریشه های معتبر ندارد.	E. d \u003d در 2 + 4As
7. نمای کلی معادله مربع.	ج x 2 + rh + q \u003d 0
8. شرایطی که معادله مربع دارای دو ریشه است	Z. آه 2 + VX + با
9. شرایطی که معادله مربع ریشه ندارد	و. AH 2 + C \u003d 0، C\u003e 0
10. شرایطی که معادله مربع دارای دو ریشه برابر است	به. آه 2 + vh \u003d 0
11. معادله مربع کاهش یافته.	L. d \u003d 0

پاسخ های درست به جدول می رسند

1-S؛ دوم؛ 3-a؛ 4-k؛ 5 ب؛ 6th؛ 7-D؛ 8-in؛ 9 گرم؛ 10-L؛ 11th

3. اتصال مواد مورد مطالعه

معادلات را انتخاب کنید:

a) -5x 2 + 8x -3 \u003d 0؛

تصمیم:

D \u003d 64 - 4 (-5) (- 3) \u003d 4،

x 1 \u003d x 2 \u003d \u003d a + in + c \u003d -5 + 8-3 \u003d 0

ب) 2 x 2 + 6x - 8 \u003d 0؛

تصمیم:

D \u003d 36 - 4 2 (-8) \u003d 100،

x 1 \u003d \u003d x 2 \u003d a + b + c \u003d 2 + 6-8 \u003d 0

ج) 2009 x 2 + x - 2010 \u003d 0

تصمیم:

a + B + C \u003d 2009 + 1 + (-2010) \u003d 0، سپس x 1 \u003d 1 x 2 \u003d

4. گسترش شجاعت مدرسه

aH 2 + VKH + C \u003d 0، اگر A + B + C \u003d 0، سپس x 1 \u003d 1 x 2 \u003d

راه حل معادلات را در نظر بگیرید

a) 2x 2 + 5x +3 \u003d 0

تصمیم:

d \u003d 25 -24 \u003d 1 x 1 \u003d x 2 \u003d a - b + c \u003d 2-5 + 3 \u003d 0

ب) -4x 2 -5x -1 \u003d 0

تصمیم:

d \u003d 25 - 16 \u003d 9 x 1 \u003d - 1 x 2 \u003d a -b + c \u003d -4 - (- 5) - 1 \u003d 0

ج) 1150X 2 + 1135X -15 \u003d 0

تصمیم:

a - B + C \u003d 1150-1135 + (- 15) \u003d 0 x 1 \u003d - 1 x 2 \u003d

aH 2 + VX + C \u003d 0، اگر A-B + C \u003d 0، سپس x 1 \u003d - 1 x 2 \u003d

5. موضوع جدید

اولین وظیفه خود را بررسی کنید مفاهیم جدید از بین رفته است. 11 - خب، من

معادله مربع کاهش یافته - X 2 + PX + Q \u003d 0.

موضوع درس ما.
جدول زیر را پر کنید
ستون سمت چپ خود را در نوت بوک و یک دانش آموز در هیئت مدیره.
معادله راه حل aH 2 + WX + C \u003d 0
ستون راست، دانش آموز آماده تر در هیئت مدیره
معادله راه حل x 2 + px + q \u003d 0، در a \u003d 1، in \u003d p، c \u003d q

معلم (در صورت لزوم) کمک می کند، بقیه در نوت بوک ها.

6. بخش عملی

x 2 - 6 h. + 8 = 0,	d \u003d 9 - 8 \u003d 1،	x 1 \u003d 3 - 1 \u003d 2	x 2 \u003d 3 + 1 \u003d 4
x 2 + 6 h. + 8 = 0,	d \u003d 9 - 8 \u003d 0،	x 1 \u003d -3 - 1 \u003d -4	x 2 \u003d -3 + 1 \u003d -2
x 2 + 20 h. + 51 = 0,	d \u003d 100 - 51 \u003d 49	x 1 \u003d 10 - 7 \u003d 3	x 2 \u003d 10 + 7 \u003d 17
x 2 - 20 h. – 69 = 0,	d \u003d 100 - 69 \u003d 31

با توجه به نتایج محاسبات ما، جدول را پر کنید.

معادله نه	r	x 1+ x 2	q.	x 1 x 2
1	-6	6	8	8

نتایج حاصل از ضرایب معادلات مربع را مقایسه کنید.
چه نتیجه ای می تواند انجام شود؟

7. گواهی تاریخی

برای اولین بار، وابستگی بین ریشه ها و ضرایب معادله مربع توسط دانشمند معروف فرانسوی Francois VIET (1540-1603) تاسیس شد.

Francois Viet در یک وکیل حرفه ای بود و سالها به عنوان مشاور پادشاه کار می کرد. و اگر چه ریاضیات سرگرمی او بود، یا به عنوان سرگرمی می گویند، به لطف کار خسته کننده او، او نتایج بزرگ در آن به دست آورد. Wiets در سال 1591 معرفی الفبایی را برای ناشناخته و ضرایب معادلات معرفی کرد. چه چیزی باعث شد که فرمول های اصلی ریشه ها و سایر خصوصیات معادله را ضبط کنید.

ضرر جبر ویتا این بود که او تنها اعداد مثبت را به رسمیت شناخت. برای جلوگیری از راه حل های منفی، معادله را جایگزین کرد یا برای تکنیک های مصنوعی راه حل ها جستجو کرد، که مدت زمان زیادی طول کشید، راه حل را پیچیده کرد و اغلب به اشتباهات منجر شد.

بسیاری از اکتشافات مختلف Vieta ساخته شده است، اما او خود را مناسب تر برای ایجاد رابطه بین ریشه ها و ضرایب معادله مربع، یعنی وابستگی به نام "قضیه ویتا".

ما این قضیه را در درس بعدی در نظر خواهیم گرفت.

8. خلاصه ای از دانش

سؤال:

1. معادله معادله مربع داده شده نامیده می شود؟
2. چه فرمول می توانید ریشه های معادله مربع داده شده را پیدا کنید؟
3. چه چیزی بستگی به تعداد ریشه های معادله مربع داده شده دارد؟
4. چه چیزی تعریف شده از معادله مربع داده شده نامیده می شود؟
5. ریشه های معادله مربع فعلی و ضرایب آن چگونه است؟
6. چه کسی این اتصال را نصب کرد؟

9. تکالیف

ص 4.5، № 321 (B، E) №322 (A، G، G، S)

جدول را پر کنید

معادله	ریشه	مجموع ریشه ها	تولید ریشه ها
x 2 - 8x + 7 \u003d 0	1 و 7.	8	7

ادبیات

سانتی متر. نیکولسکیو همکاران، "جبر 8" آموزش سری MGU مدرسه - M: روشنگری، 2007.

"این، معادلات درجه اول است. در این درس ما آن را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد چه معادله مربع نامیده می شود و چگونگی حل آن.

چه معادله مربع نامیده می شود

مهم!

درجه معادله با بیشترین مقدار که در آن ناشناخته است تعیین می شود.

اگر حداکثر درجه ای که ناشناخته است "2" است، به این معنی است که شما یک معادله مربع هستید.

نمونه هایی از معادلات مربع

• 5x 2 - 14x + 17 \u003d 0
• -x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x \u003d 0
• x 2 - 8 \u003d 0

مهم! نمای کلی معادله مربع به نظر می رسد این است:

A X 2 + B X + C \u003d 0

"A"، "B" و "C" - شماره مشخص شده.

• "A" اولین یا ارشد ضریب است؛
• "B" - ضریب دوم؛
• "C" یک عضو آزاد است.

برای پیدا کردن "A"، "B" و "C" شما نیاز به مقایسه معادله خود را با نمای کلی از معادله مربع "AX 2 + BX + C \u003d 0" مقایسه کنید.

بیایید مراقب تعیین ضرایب "A"، "B" و "C" در معادلات مربع باشیم.

5x 2 - 14x + 17 \u003d 0 -7x 2 - 13x + 8 \u003d 0 -x 2 + x +

معادله	عوامل
a \u003d 5 b \u003d -14. c \u003d 17
a \u003d -7. b \u003d -13 c \u003d 8

1

3

= 0

• a \u003d -1
• b \u003d 1.
• c \u003d.

  1

  3

x 2 + 0.25x \u003d 0

• a \u003d 1
• b \u003d 0.25
• c \u003d 0

x 2 - 8 \u003d 0

• a \u003d 1
• b \u003d 0.
• c \u003d -8.

چگونه برای حل معادلات مربع

در مقایسه با معادلات خطی برای حل معادلات مربع، ویژه فرمول برای پیدا کردن ریشه ها.

یاد آوردن!

برای حل معادله مربع شما نیاز دارید:

• یک معادله مربع را به کل نوع "AX 2 + BX + C \u003d 0" ایجاد کنید. به این ترتیب، تنها "0" باید در قسمت راست باقی بماند؛
• از فرمول ریشه استفاده کنید:

بیایید به عنوان مثال تجزیه و تحلیل کنیم، نحوه استفاده از فرمول برای پیدا کردن ریشه های معادله مربع. اجازه دهید معادله مربع.

x 2 - 3x - 4 \u003d 0

معادله "x 2 - 3x - 4 \u003d 0" در حال حاضر به ظاهر کل "AX 2 + BX + C \u003d 0" داده شده است و نیازی به ساده سازی های اضافی ندارد. برای حل آن، ما به اندازه کافی برای اعمال فرمول پیدا کردن ریشه های معادله مربع.

ما ضرایب "A"، "B" و "C" را برای این معادله تعریف می کنیم.

x 1؛ 2 \u003d
x 1؛ 2 \u003d
x 1؛ 2 \u003d
x 1؛ 2 \u003d

با آن، هر معادله مربع حل شده است.

در فرمول "x 1؛ 2 \u003d" اغلب عبارات هدایت شده را جایگزین می کند
"B 2 - 4ac" بر روی حرف "D" و به نام Discriminant نامیده می شود. مفهوم تبعیض آمیز در درس "آنچه که تبعیض آمیز است" در نظر گرفته شده است.

مثال دیگری از معادله مربع را در نظر بگیرید.

x 2 + 9 + x \u003d 7x

در این فرم، ضرایب "A" را تعیین کنید، "B" و "C" بسیار دشوار است. بیایید برای اولین بار معادله را به نوع عمومی "AX 2 + BX + C \u003d 0" بدهیم.

x 2 + 9 + x \u003d 7x
x 2 + 9 + x - 7x \u003d 0
x 2 + 9 - 6x \u003d 0
x 2 - 6x + 9 \u003d 0

حالا شما می توانید از فرمول ریشه استفاده کنید.

x 1؛ 2 \u003d
x 1؛ 2 \u003d
x 1؛ 2 \u003d
x 1؛ 2 \u003d
x \u003d.

6

2

x \u003d 3
پاسخ: x \u003d 3

مواردی وجود دارد که هیچ ریشه ای در معادلات مربع وجود ندارد. این وضعیت زمانی رخ می دهد که یک عدد منفی تحت ریشه باشد.

در جامعه مدرن، توانایی انجام اقدامات با معادلات حاوی متغیر مطرح شده به مربع می تواند در بسیاری از زمینه های فعالیت مفید باشد و به طور گسترده ای در عمل در پیشرفت های علمی و فنی استفاده می شود. شواهد این می تواند به طراحی کشتی های دریایی و رودخانه، هواپیما و موشک ها خدمت کند. با کمک چنین محاسبات، مسیرهای حرکت بدن های مختلف، از جمله اشیاء فضایی. نمونه هایی از نمونه هایی با محلول معادلات مربع نه تنها در پیش بینی اقتصادی، طراحی و ساخت و ساز ساختمان ها، بلکه در شرایط عادی روزمره استفاده می شود. آنها ممکن است در کمپین های توریستی، در ورزش، در فروشگاه های خرید و در سایر شرایط بسیار رایج مورد نیاز باشند.

ما بیان را بر اجزای ضرب کننده ها شکست می دهیم

درجه معادله با حداکثر مقدار درجه در متغیر تعیین می شود که شامل این عبارت است. در صورتی که 2 باشد، چنین معادله ای فقط مربع است.

اگر زبان فرمول ها بیان شود، عبارات مشخص شده، بدون توجه به اینکه چگونه آنها نگاه می کنند، همیشه می توانند به صورت فرم ایجاد شوند، زمانی که قسمت چپ بیان از سه اصطلاح تشکیل شده است. در میان آنها: AX 2 (یعنی متغیر به یک مربع با ضریب آن)، BX (ناشناخته بدون مربع با ضریب آن) و C (جزء آزاد، یعنی شماره معمول) است. همه اینها در سمت راست برابر با 0. در مورد زمانی که هیچ یک از اجزای آن شرایط آن وجود ندارد، به استثنای تبر 2، معادله مربع ناقص نامیده می شود. نمونه هایی از حل این وظایف، ارزش متغیرهایی که در آن آسان است برای پیدا کردن، باید ابتدا در نظر گرفته شود.

اگر عبارت ظاهر می شود به نظر می رسد به طوری که دو، دقیق تر، AX 2 و BX، بیان بر بیان بر عبارت در سمت راست، ساده تر برای پیدا کردن یک متغیر برای براکت ها است. در حال حاضر معادله ما به نظر می رسد: X (AX + B). بعد، آن را واضح می شود که یا X \u003d 0 یا کار به منظور پیدا کردن یک متغیر از عبارت زیر کاهش می یابد: AX + B \u003d 0. یکی مشخص شده یکی از خواص ضرب شده است. این قانون می گوید که محصول دو عامل به عنوان یک نتیجه از 0 تنها در صورتی است که یکی از آنها صفر باشد.

مثال

x \u003d 0 یا 8x - 3 \u003d 0

در نتیجه، ما دو ریشه از معادله را به دست می آوریم: 0 و 0.375.

معادلات این نوع می تواند حرکت بدن را تحت تاثیر گرانش توصیف کند، که جنبش را از یک نقطه خاص در ابتدای مختصات آغاز کرد. در اینجا، رکورد ریاضی فرم زیر را می گیرد: y \u003d v 0 t + gt 2/2. جایگزینی مقادیر لازم، معادل سمت راست 0 و پیدا کردن ناشناخته های احتمالی، شما می توانید زمان عبور از لحظه افزایش بدن را تا زمانی که سقوط آن، و همچنین بسیاری از ارزش های دیگر را پیدا کنید. اما ما بعدا درباره آن صحبت خواهیم کرد.

تجزیه بیان بر ضرب کننده

قانون شرح داده شده در بالا امکان پذیر است که وظایف مشخص شده و موارد پیچیده تر را حل کند. مثالها را با حل معادلات مربع این نوع در نظر بگیرید.

x 2 - 33x + 200 \u003d 0

این سه میدان سه برابر کامل است. برای شروع، ما این عبارت را تغییر می دهیم و آن را برای چند ضلعی تجزیه می کنیم. آنها دو نفر به دست می آیند: (x-8) و (x-25) \u003d 0. به عنوان یک نتیجه، ما دو ریشه 8 و 25 داریم.

نمونه هایی از حل معادلات مربع در کلاس 9 اجازه می دهد این روش برای پیدا کردن یک متغیر در عبارات نه تنها دوم، بلکه حتی سفارشات سوم و چهارم.

به عنوان مثال: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. با تجزیه قسمت راست چند ضلعی با متغیر، آنها سه، آن، (x + 1)، (x-3) و ( x + 3).

در نتیجه، واضح است که این معادله سه ریشه دارد: -3؛ -On؛ 3

ریشه مربع را استخراج کنید

یکی دیگر از موارد معادله ناقص سفارش دوم عبارت است از زبان، در زبان حروف ارائه شده به گونه ای است که سمت راست از اجزای تبر 2 و C ساخته شده است. در اینجا، برای مقدار متغیر، عضو آزاد به سمت راست منتقل می شود و سپس یک ریشه مربع از هر دو قسمت برابری استخراج می شود. لازم به ذکر است که در این مورد ریشه های معادله معمولا دو است. یک استثنا تنها می تواند برابر با برابری باشد، به طور کلی حاوی اصطلاح C نیست، جایی که متغیر صفر است، و همچنین گزینه هایی برای عبارات، زمانی که سمت راست به نظر می رسد منفی است. در مورد دوم، راه حل ها وجود ندارد، از آنجا که عمل فوق را نمی توان با ریشه تولید کرد. نمونه هایی از راه حل های معادلات مربع این نوع باید در نظر گرفته شود.

در این مورد، ریشه های معادله -4 و 4 خواهد بود.

محاسبه یک طرح زمین

نیاز به چنین محاسبات در دوران باستان عمیق ظاهر شد، زیرا توسعه ریاضیات در بسیاری از موارد در آن زمان های دور به دلیل نیاز به تعیین دقت ترین منطقه و محیط زمین های زمین بود.

مثالها با حل معادلات مربع بر اساس وظایف این نوع، باید به ما در نظر گرفته شود.

بنابراین، بگذارید بگوییم یک قطعه مستطیل شکل وجود دارد، که طول آن 16 متر بیشتر از عرض است. این باید طول، عرض و محیط اطراف سایت پیدا شود، اگر شناخته شده باشد که منطقه آن برابر با 612 متر مربع است.

شروع یک ماده، ابتدا معادله لازم را انجام دهید. نشان دادن x عرض سایت، سپس طول آن خواهد بود (x + 16). از نوشته شده است که این منطقه توسط بیان X (X + 16) تعیین می شود که، با توجه به شرایط مشکل ما، 612 است. این به این معنی است که x (x + 16) \u003d 612.

راه حل معادلات مربع کامل، و این عبارت دقیقا چنین است، نمی تواند به همان شیوه انجام شود. چرا؟ اگر چه سمت چپ آن هنوز هم شامل دو عامل است، محصول به هیچ وجه برابر با 0 نیست، بنابراین روش های دیگر در اینجا استفاده می شود.

تبعیض

اول از همه، ما تبدیل لازم را تولید خواهیم کرد، پس از ظهور این عبارت به نظر می رسد: X 2 + 16X - 612 \u003d 0. این بدان معنی است که ما در فرم مربوط به استاندارد قبلا مشخص شده، جایی که A \u003d 1، b \u003d 16، c \u003d -612.

این می تواند نمونه ای از حل معادلات مربع از طریق تبعیض آمیز باشد. در اینجا، محاسبات مورد نیاز بر اساس طرح ساخته شده است: D \u003d B 2 - 4AC. این مقدار کمکی فقط امکان پیدا کردن مقادیر مورد نظر را در معادله دوم مرتبه پیدا نمی کند، اما تعداد گزینه های ممکن را تعیین می کند. در مورد D\u003e 0، دو وجود دارد؛ هنگامی که d \u003d 0، یک ریشه وجود دارد. در مورد د<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

درباره ریشه ها و فرمول آنها

در مورد ما، تبعیض آمیز است: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. این نشان می دهد که پاسخ از کار ما وجود دارد. اگر می دانید، K، راه حل معادلات مربع باید با استفاده از فرمول زیر ادامه یابد. این اجازه می دهد تا شما را به محاسبه ریشه ها.

این به این معنی است که در مورد ارائه شده: x 1 \u003d 18، x 2 \u003d -34. نسخه دوم در این معضل نمی تواند یک راه حل باشد، زیرا ابعاد زمین را نمی توان در مقادیر منفی اندازه گیری کرد، به این معنی X (یعنی عرض سایت) 18 متر است. از اینجا، ما طول را محاسبه می کنیم: 18 + 16 \u003d 34، و محیط 2 (34 + 18) \u003d 104 (m 2).

نمونه ها و اهداف

ما همچنان به مطالعه معادلات مربع ادامه می دهیم. نمونه ها و یک راه حل دقیق از چندین آنها بعدا داده می شود.

1) 15X 2 + 20X + 5 \u003d 12X 2 + 27X + 1

ما همه چیز را به قسمت سمت چپ برابری انتقال می دهیم، ما یک تحول را ایجاد خواهیم کرد، یعنی فرم معادله ای است که استاندارد نامیده می شود و آن را با صفر ارزیابی می کنیم.

15X 2 + 20X + 5 - 12x 2 - 27X - 1 \u003d 0

پس از تاشو مانند، ما تعریف را تعریف می کنیم: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. بنابراین، معادله ما دو ریشه دارد. ما آنها را طبق فرمول بالا محاسبه می کنیم، به این معنی که اولین یکی از آنها 4/3 و دوم است.

2) حالا معماهای دیگری را نشان می دهد.

پیدا کردن، آیا ریشه در اینجا x 2 - 4x + 5 \u003d 1 وجود دارد؟ برای به دست آوردن یک پاسخ جامع، ما چندجملهای را به آشنایی مناسب ارائه می دهیم و تبعیض آمیز را محاسبه می کنیم. در مثال مشخص شده، راه حل معادله مربع لازم نیست، زیرا ماهیت این کار در این مورد نیست. در این مورد، d \u003d 16 - 20 \u003d 4، به این معنی واقعا هیچ ریشه ای وجود ندارد.

قضیه Vieta

معادلات مربع به راحتی از طریق فرمول های بالا و تبعیض آمیز زمانی که ریشه مربع از آخرین مقدار استخراج می شود، حل می شود. اما همیشه اتفاق نمی افتد. با این حال، راه های زیادی برای به دست آوردن متغیرها در این مورد وجود دارد. به عنوان مثال: راه حل های معادلات مربع در قضیه Vieta. او به خاطر استعدادهای ریاضی و حیاط های ریاضی خود، نامگذاری شده است. پرتره از آن را می توان در مقاله دیده می شود.

الگوی معروف فرانسه اشاره کرد که به شرح زیر است. او ثابت کرد که ریشه های معادله در مقدار به صورت عددی برابر با -p \u003d b / a است، و محصول آنها مربوط به q \u003d c / a است.

در حال حاضر وظایف خاص را در نظر بگیرید.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

برای سادگی، ما بیان را تغییر می دهیم:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

ما از قضیه Vieta استفاده می کنیم، به ما موارد زیر را می دهد: مقدار ریشه ها -7 و کار آنها -18 است. از اینجا، ما به دست می آوریم که ریشه های معادله اعداد -9 و 2. پس از انجام چک، اطمینان حاصل کنید که این مقادیر متغیرها واقعا در بیان مناسب هستند.

معادله گراف و Parabola

مفاهیم عملکرد درجه دوم و معادلات مربع نزدیک به یکدیگر متصل هستند. نمونه هایی از این قبلا قبلا نشان داده شده است. در حال حاضر برخی از معماهای ریاضی کمی بیشتر. هر معادله نوع توصیف شده را می توان تصور کرد. وابستگی مشابهی که به شکل یک گراف کشیده شده است، یک پارابولا نامیده می شود. انواع مختلف او در شکل زیر نشان داده شده است.

هر پارابولا دارای یک رأس است، یعنی نقطه ای که شاخه های آن بیرون می آیند. در مورد A\u003e 0، آنها در بی نهایت بالا و زمانی که یک<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

تصاویر بصری از توابع به حل هر معادلات، از جمله مربع کمک می کند. این روش گرافیک نامیده می شود. و مقدار متغیر X مختصات Abscissa در نقاط جایی است که گراف نمودار از 0x عبور می کند. مختصات رأس ها را می توان با توجه به تنها فرمول داده شده X 0 \u003d -B / 2A یافت. و جایگزینی مقدار حاصل به معادله اولیه تابع، شما می توانید Y 0 را یاد بگیرید، یعنی هماهنگی دوم رأس مروارید متعلق به محور واحد.

عبور از شاخه های پارابولا با محور Abscissa

نمونه هایی از راه حل های معادلات مربع بسیار زیاد است، اما الگوهای کلی وجود دارد. آنها را در نظر بگیرید واضح است که تقاطع گراف با محور 0X در A\u003e 0 تنها ممکن است اگر 0 مقدار منفی را دریافت کند. و برای A.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. در غیر این صورت د<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

با توجه به نمودار، پارابولا ها می توانند شناسایی شوند و ریشه ها را شناسایی کنند. مخالفش هم درست است. به این معناست که اگر یک تصویر بصری از یک تابع درجه دوم را دریافت کنید آسان نیست، شما می توانید قسمت راست بیان را به 0 تقسیم کنید و معادله به دست آمده را حل کنید. و دانستن نقاط تقاطع با محور 0X، برنامه ریزی آسان تر است.

از تاریخ

با کمک معادلات حاوی متغیر مطرح شده به مربع، در روزهای قدیمی نه تنها محاسبات ریاضی را انجام داد و منطقه ای از ارقام هندسی را تعیین کرد. محاسبات مشابهی از باستان برای اکتشافات بزرگ در زمینه فیزیک و نجوم مورد نیاز بود، و همچنین برای تهیه پیش بینی های طالع بینی.

به عنوان ارقام علمی مدرن نشان می دهد، در میان اولین راه حل های معادلات مربع، ساکنان بابل به دست آمد. این در چهار قرن قبل از شروع دوره ما اتفاق افتاد. البته محاسبات آنها در ریشه متفاوت از حالا تصویب شده و معلوم شد که بسیار ابتدایی است. به عنوان مثال، ریاضیدانان بین النهرین در مورد وجود تعداد منفی هیچ نظری نداشتند. غریبه ها نیز ظرافت های دیگر را از کسانی که هر دانش آموز از زمان ما را می دانند، داشتند.

شاید حتی دانشمندان پیشین بابل، راه حل معادلات مربع، یک سیج هند بود. Budhoyama درگیر بود. این در حدود هشت قرن قبل از دوران مسیح اتفاق افتاد. درست است، معادله مرتبه دوم، روش های حل که او منجر شد، به طور همزمان بود. علاوه بر او، چنین سوالاتی به ریاضیدانان قدیمی و چینی علاقمند بود. در اروپا، معادلات مربع تنها در قرن ابتلا به XIII شروع به حل کردند، اما بعدا آنها در کار خود مانند دانشمندان بزرگ به عنوان نیوتن، دکارت و بسیاری دیگر مورد استفاده قرار گرفتند.

معادلات مربع در درجه 8 مورد مطالعه قرار می گیرند، بنابراین در اینجا هیچ مشکلی وجود ندارد. توانایی حل آنها مطلقا ضروری است.

معادله مربع معادله فرم تبر 2 + Bx + C \u003d 0 است، جایی که ضرایب A، B و C اعداد دلخواه و ≠ 0 است.

قبل از مطالعه روش های تصمیم گیری خاص، ما یادآوری می کنیم که تمام معادلات مربع را می توان به سه طبقه تقسیم کرد:

1. ریشه ندارد
2. دقیقا یک ریشه داشته باشید
3. دو ریشه متفاوت داشته باشند.

این یک تفاوت مهم بین معادلات مربع از خطی است، جایی که ریشه همیشه وجود دارد و منحصر به فرد است. چگونه می توان تعیین کرد که چگونه بسیاری از ریشه ها معادله دارند؟ برای این چیز فوق العاده وجود دارد - تبعیض.

تبعیض

اجازه دهید معادله مربع AX 2 + BX + C \u003d 0. سپس تشخیص فقط تعداد d \u003d b 2 - 4ac است.

این فرمول باید توسط قلب شناخته شود. جایی که او می گیرد - در حال حاضر مهم نیست. دیگر مهم است: علامت تبعیض آمیز می تواند تعیین شود که چگونه بسیاری از ریشه ها یک معادله مربع دارند. برای مثال:

1. اگر د< 0, корней нет;
2. اگر d \u003d 0، دقیقا یک ریشه وجود دارد؛
3. اگر d\u003e 0، دو ریشه وجود دارد.

لطفا توجه داشته باشید: تبعیض نشان می دهد تعداد ریشه ها، و نه در همه نشانه های آنها، به دلایلی، بسیاری در نظر دارند. نگاهی به نمونه ها - و شما همه چیز را درک خواهید کرد:

یک وظیفه. چند ریشه معادلات مربع هستند:

1. x 2 - 8x + 12 \u003d 0؛
2. 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0؛
3. x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

ما ضرایب را برای معادله اول دفع می کنیم و تبعیض آمیز را پیدا می کنیم:
a \u003d 1، b \u003d -8، c \u003d 12؛
D \u003d (-8) 2 - 4 · 1 · 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

بنابراین، تبعیض آمیز مثبت است، بنابراین معادله دارای دو ریشه متفاوت است. به طور مشابه، معادله دوم را جدا کنید:
a \u003d 5؛ b \u003d 3؛ C \u003d 7؛
d \u003d 3 2 - 4 · 5 · 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

تبعیض منفی منفی است، هیچ ریشه ای وجود ندارد. آخرین معادله باقی می ماند:
a \u003d 1؛ b \u003d -6؛ C \u003d 9؛
d \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.

تبعیض صفر است - ریشه یکی خواهد بود.

لطفا توجه داشته باشید که برای هر معادله ضرایب تخلیه شد. بله، این مدت طولانی است، بله، این خسته کننده است - اما ضرایب را اشتباه نگیرید و اشتباهات احمقانه را اجازه ندهید. خودتان را انتخاب کنید: سرعت یا کیفیت.

به هر حال، اگر شما "دست را پر کنید"، پس از مدتی، دیگر نیازی به نوشتن تمام ضرایب نیست. چنین عملیاتی شما در سر شما انجام می شود. اکثر مردم شروع به انجام این کار در جایی پس از 50-70 معادلات حل شده - به طور کلی، نه خیلی.

ریشه های مربع ریشه

در حال حاضر، در واقع، به تصمیم گیری می رویم. اگر discriminant d\u003e 0، ریشه ها را می توان توسط فرمول ها یافت می شود:

فرمول پایه ریشه های معادله مربع

هنگامی که d \u003d 0، شما می توانید از هر یک از این فرمول ها استفاده کنید - این همان شماره ای است که پاسخ خواهد بود. در نهایت، اگر د< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 \u003d 0؛
2. 15 - 2x - x 2 \u003d 0؛
3. x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

معادله اول:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1؛ b \u003d -2؛ c \u003d -3؛
d \u003d (-2) 2 - 4 · 1 · (-3) \u003d 16.

d\u003e 0 ⇒ معادله دارای دو ریشه است. پیدا کردن آنها:

معادله دوم:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ a \u003d -1؛ b \u003d -2؛ c \u003d 15؛
d \u003d (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 \u003d 64.

d\u003e 0 ⇒ معادله دوباره دو ریشه دارد. ما آنها را پیدا می کنیم

\\ [\\ align) & ((x) _ (1)) \u003d \\ frac (2+ \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ left (-1 \\ right)) \u003d - 5؛ \\\\ & (x) _ (2)) \u003d \\ frac (2- \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ left (-1 \\ right)) \u003d 3. \\\\ \\ end (align) \\]

سرانجام، معادله سوم:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1؛ B \u003d 12؛ C \u003d 36؛
d \u003d 12 2 - 4 · 1 · 36 \u003d 0.

d \u003d 0 ⇒ معادله دارای یک ریشه است. شما می توانید از هر فرمول استفاده کنید. به عنوان مثال، اولین:

همانطور که از نمونه ها دیده می شود، همه چیز بسیار ساده است. اگر فرمول را بدانید و بتوانید در نظر بگیرید، هیچ مشکلی وجود نخواهد داشت. اغلب، خطاهای در طی جایگزینی در فرمول ضرایب منفی رخ می دهد. در اینجا، دوباره پذیرایی که در بالا توضیح داده شد کمک خواهد کرد: به معنای واقعی کلمه به فرمول نگاه کنید، هر مرحله را رنگ کنید - و به زودی از اشتباهات خلاص شوید.

معادلات مربع ناقص

این اتفاق می افتد که معادله مربع تا حدودی متفاوت از آنچه در تعریف داده شده است. مثلا:

1. x 2 + 9x \u003d 0؛
2. x 2 - 16 \u003d 0.

آسان است که ببینید که در این معادلات هیچ کدام از اصطلاحات وجود ندارد. چنین معادلات مربع حتی ساده تر از استاندارد است: آنها حتی نیازی به تبعیض نیستند. بنابراین، ما یک مفهوم جدید را معرفی می کنیم:

معادله تبر 2 + BX + C \u003d 0 یک معادله مربع ناقص نامیده می شود اگر B \u003d 0 یا C \u003d 0، I.E. ضریب x متغیر x یا عنصر آزاد صفر است.

البته، یک مورد کاملا دشوار ممکن است زمانی که هر دو این ضرایب صفر هستند: B \u003d C \u003d 0. در این مورد، معادله فرم تبر 2 \u003d 0. را می گیرد، بدیهی است، چنین معادله ای دارای یک ریشه تک است: x \u003d 0 .

موارد باقی مانده را در نظر بگیرید. اجازه دهید b \u003d 0 باشد 0، سپس یک معادله مربع ناقص فرم تبر 2 + C \u003d 0. ما آن را کمی تبدیل می کنیم:

از آنجا که ریشه میدان محاسباتی تنها از یک عدد غیر منفی وجود دارد، برابری دوم به طور انحصاری در (-C / a) ≥ 0. نتیجه گیری:

1. اگر در یک معادله مربع ناقص فرم تبر 2 + C \u003d 0، نابرابری (-c / a) انجام شود ≥ 0، دو ریشه وجود دارد. فرمول در بالا ذکر شده است؛
2. اگر (-c / a)< 0, корней нет.

همانطور که می بینید، تبعیض آمیز لازم نیست - در معادلات ناقص مربع، محاسبات پیچیده ای وجود ندارد. در حقیقت، حتی لازم نیست که نابرابری را به یاد بیاوریم (-C / a) ≥ 0. این به اندازه کافی برای بیان مقدار x 2 کافی است و ببینید چه چیزی در طرف دیگر علامت برابری قرار دارد. اگر یک عدد مثبت وجود داشته باشد - ریشه ها دو نفر خواهند بود. اگر منفی باشد - ریشه ها به هیچ وجه نخواهند بود.

در حال حاضر ما با معادلات فرم AX 2 + BX \u003d 0، که در آن عنصر آزاد صفر است، درک خواهیم کرد. همه چیز در اینجا ساده است: ریشه ها همیشه دو نفر خواهند بود. به اندازه کافی برای تجزیه چندجملهای به چند ضلعی است:

چند برابر برای براکت

کار صفر است، زمانی که حداقل یکی از چند ضلعی صفر است. از اینجا ریشه ها وجود دارد. در نتیجه، ما چندین معادلات را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد:

یک وظیفه. معادلات مربع مربع:

1. x 2 - 7x \u003d 0؛
2. 5x 2 + 30 \u003d 0؛
3. 4x 2 - 9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 ⇒ x · (x - 7) \u003d 0 ⇒ x 1 \u003d 0؛ x 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5X 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2 \u003d -30 ⇒ X 2 \u003d -6. هیچ ریشه ای نیست، زیرا مربع نمی تواند برابر با یک عدد منفی باشد.

4x 2 - 9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ X 2 \u003d 9/4 ⇒ X 1 \u003d 3/2 \u003d 1.5؛ x 2 \u003d -1.5.