معادله لگاریتمی چیست؟ حل معادلات لگاریتمی راهنمای کامل (2019)

معادلات لگاریتمی از ساده به پیچیده.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که "نه خیلی..."
و برای کسانی که "بسیار یکنواخت ...")

معادله لگاریتمی چیست؟

این یک معادله با لگاریتم است. تعجب کردم، درسته؟) بعد توضیح میدم. این معادله ای است که مجهولات (x) و عبارات با آنها هستند داخل لگاریتم هاو فقط آنجا! مهم است.

در اینجا چند نمونه آورده شده است معادلات لگاریتمی:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x + 1 (x 2 + 3x-7) = 2

lg 2 (x + 1) +10 = 11lg (x + 1)

خوبه، تو ایده ای داری ... )

توجه داشته باشید! طیف گسترده ای از عبارات با x قرار دارند منحصراً در داخل لگاریتم هااگر به طور ناگهانی یک x در معادله در جایی پیدا شود خارج از، مثلا:

log 2 x = 3 + x,

این در حال حاضر یک معادله از نوع مخلوط خواهد بود. چنین معادلاتی قوانین روشنی برای حل ندارند. ما هنوز آنها را در نظر نخواهیم گرفت. به هر حال، معادلاتی در داخل لگاریتم وجود دارد فقط اعداد... مثلا:

چه می توانم بگویم؟ خوش شانس هستید اگر با این برخورد کنید! لگاریتم با اعداد است تعدادی عددو این همه است. برای حل چنین معادله ای، دانستن خواص لگاریتم ها کافی است. دانش قوانین خاص، تکنیک هایی که به طور خاص برای حل اقتباس شده اند معادلات لگاریتمی،اینجا لازم نیست

بنابراین، معادله لگاریتمی چیست- فهمیدم

چگونه معادلات لگاریتمی را حل کنیم؟

راه حل معادلات لگاریتمی- در واقع موضوع خیلی ساده نیست. بنابراین بخش ما - برای چهار ... نیاز به دانش مناسبی در مورد انواع موضوعات مرتبط دارد. علاوه بر این، ویژگی خاصی در این معادلات وجود دارد. و این ویژگی آنقدر مهم است که با خیال راحت می توان آن را مشکل اصلی در حل معادلات لگاریتمی نامید. در درس بعدی به طور مفصل به این مشکل خواهیم پرداخت.

در حال حاضر، نگران نباشید. راه درست را خواهیم رفت از ساده به پیچیدهبر نمونه های خاص... نکته اصلی این است که به چیزهای ساده بپردازید و برای دنبال کردن پیوندها تنبل نباشید، من فقط آنها را قرار ندادم ... و شما موفق خواهید شد. لزوما.

بیایید با ابتدایی ترین و ساده ترین معادلات شروع کنیم. برای حل آنها، داشتن ایده ای از لگاریتم مطلوب است، اما نه بیشتر. فقط هیچ ایده ای نیست لگاریتم،مقابله با یک راه حل لگاریتمیمعادلات - به نوعی شرم آور حتی ... خیلی جسورانه می گویم).

ساده ترین معادلات لگاریتمی

اینها معادلات شکل هستند:

1.log 3 x = log 3 9

2.log 7 (2x-3) = log 7x

3.log 7 (50x-1) = 2

فرآیند تصمیم گیری هر معادله لگاریتمیعبارت است از انتقال از یک معادله با لگاریتم به یک معادله بدون آنها. در ساده ترین معادلات، این انتقال در یک مرحله انجام می شود. بنابراین، ساده ترین.)

و حل چنین معادلات لگاریتمی به طرز شگفت آوری ساده است. خودت ببین.

حل مثال اول:

log 3 x = log 3 9

برای حل این مثال، شما نیازی به دانستن تقریباً هیچ چیز ندارید، بله ... کاملاً شهودی!) بخصوصاین مثال را دوست ندارید؟ چه-چه ... لگاریتم ها خوشایند نیستند! درست. پس بیایید از شر آنها خلاص شویم. ما از نزدیک به یک مثال نگاه می کنیم، و ما یک میل طبیعی داریم ... کاملا غیر قابل مقاومت! لگاریتم ها را بردارید و به طور کلی دور بریزید. و آنچه مرا خوشحال می کند این است می توانانجام دادن! ریاضیات اجازه می دهد. لگاریتم ها ناپدید می شوندپاسخ این است:

عالی است، اینطور نیست؟ شما همیشه می توانید (و باید) این کار را انجام دهید. حذف لگاریتم ها به این روش یکی از راه های اصلی حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها است. در ریاضیات به این عمل می گویند تقویتالبته قوانین خاص خود را برای چنین انحلال وجود دارد، اما آنها کمی هستند. یاد آوردن:

شما می توانید لگاریتم ها را بدون هیچ ترسی حذف کنید اگر دارای موارد زیر باشند:

الف) مبانی عددی یکسان

ج) لگاریتم های چپ-راست خالص هستند (بدون هیچ ضرایبی) و در انزوای عالی قرار دارند.

نکته آخر را توضیح دهم. در یک معادله، بگویید

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

شما نمی توانید لگاریتم ها را حذف کنید. دژ سمت راست اجازه نمی دهد. ضریب، می دانید ... در مثال

log 3 x + log 3 (x + 1) = log 3 (3 + x)

همچنین تقویت معادله غیرممکن است. هیچ لگاریتمی تنها در سمت چپ وجود ندارد. دو تا از آنها موجود است.

به طور خلاصه، می توانید لگاریتم ها را حذف کنید اگر معادله به این شکل باشد و فقط به این شکل باشد:

log a (.....) = log a (.....)

در پرانتز، جایی که بیضی می تواند باشد هر عباراتیساده، فوق العاده پیچیده، همه جور. هر چیزی. نکته مهم این است که پس از حذف لگاریتم ها هنوز داریم یک معادله ساده ترالبته فرض بر این است که شما قبلاً می دانید چگونه معادلات خطی، درجه دوم، کسری، نمایی و غیره را بدون لگاریتم حل کنید.)

حالا مثال دوم را می توان به راحتی حل کرد:

log 7 (2x-3) = log 7 x

در واقع در ذهن تصمیم گیری می شود. با تقویت، دریافت می کنیم:

خوب، خیلی سخت است؟) همانطور که می بینید، لگاریتمیبخشی از حل معادله است فقط در حذف لگاریتم ...و سپس حل معادله باقی مانده بدون آنها پیش می رود. تجارت بی اهمیت

بیایید مثال سوم را حل کنیم:

log 7 (50x-1) = 2

می بینیم که لگاریتم در سمت چپ است:

به یاد می آوریم که این لگاریتم عددی است که پایه (یعنی هفت) باید به آن افزایش یابد تا یک عبارت زیر لگاریتمی به دست آید. (50x-1).

اما این عدد دو است! با توجه به معادله. به این معنا که:

این، در اصل، همه چیز است. لگاریتم ناپدید شد،یک معادله بی ضرر باقی مانده است:

ما این معادله لگاریتمی را فقط بر اساس معنی لگاریتم حل کردیم. آیا حذف لگاریتم ها راحت تر است؟) موافقم. به هر حال، اگر لگاریتم دو را بسازید، می توانید این مثال را از طریق انحلال حل کنید. از هر عددی می توانید لگاریتمی بسازید. علاوه بر این، روشی که ما به آن نیاز داریم. بسیار ترفند مفیددر حل معادلات لگاریتمی و (مخصوصاً!) نابرابری ها.

نمی دانید چگونه از یک عدد لگاریتم بسازید!؟ مشکلی نیست. بخش 555 این تکنیک را به تفصیل شرح می دهد. شما می توانید آن را به طور کامل تسلط و اعمال کنید! تعداد خطاها را تا حد زیادی کاهش می دهد.

معادله چهارم دقیقاً به همین روش حل می شود (طبق تعریف):

این تمام چیزی است که در آن وجود دارد.

بیایید این درس را خلاصه کنیم. ما حل ساده ترین معادلات لگاریتمی را با مثال در نظر گرفتیم. این خیلی مهمه. و نه تنها به این دلیل که چنین معادلاتی در آزمون های کنترل وجود دارد. واقعیت این است که حتی بدترین و گیج کننده ترین معادلات را نیز باید به ساده ترین آنها تقلیل داد!

در واقع، ساده ترین معادلات، قسمت پایانی راه حل هستند. هرمعادلات و این قسمت پایانی را باید به عنوان یک امر طبیعی درک کرد! و بیشتر. این صفحه را حتما تا آخر بخوانید. یک شگفتی وجود دارد ...)

حالا خودمون تصمیم میگیریم به اصطلاح دستمان را پر می کنیم ...)

ریشه (یا مجموع ریشه ها، در صورت وجود چندین) معادلات را بیابید:

ln (7x + 2) = ln (5x + 20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0.5x-1.5) = 0.25

log 0.2 (3x-1) = -3

ln (e 2 + 2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

پاسخ ها (البته به هم ریخته): 42; 12; نه؛ 25; 7; 1.5; 2 16.

چه، همه چیز درست نیست؟ اتفاق می افتد. غصه نخور! بخش 555 راه حل همه این مثال ها را به شیوه ای واضح و دقیق شرح می دهد. شما قطعا آن را در آنجا کشف خواهید کرد. علاوه بر این، بر تکنیک های کاربردی مفید مسلط شوید.

همه چیز درست شد!؟ همه نمونه ها "یکی مانده" هستند؟) تبریک!

زمان آن فرا رسیده است که حقیقت تلخ را برای شما آشکار کنیم. حل موفق این مثال ها به هیچ وجه موفقیت در حل تمام معادلات لگاریتمی دیگر را تضمین نمی کند. حتی ساده ترین ها مثل این ها. افسوس.

واقعیت این است که راه حل هر معادله لگاریتمی (حتی ابتدایی ترین معادله!) شامل دو قسمت مساویحل معادله و کار با ODZ. یک بخش - حل خود معادله - ما تسلط داریم. آنقدرها هم سخت نیستدرست؟

برای این درس، من به طور خاص نمونه هایی از این قبیل را انتخاب کرده ام که در آنها LDO به هیچ وجه روی پاسخ تأثیر نمی گذارد. اما همه به اندازه من مهربان نیستند، درست است؟ ...)

بنابراین تسلط بر قسمت دیگر امری ضروری است. ODZ. این مشکل اصلی در حل معادلات لگاریتمی است. و نه به این دلیل که دشوار است - این قسمت حتی ساده تر از قسمت اول است. اما چون ODZ به سادگی فراموش شده است. یا نمی دانند یا هر دو). و از آبی بیفتی...

در درس بعدی به این مشکل خواهیم پرداخت. سپس می توانید با اطمینان تصمیم بگیرید هرمعادلات لگاریتمی ساده و رسیدن به وظایف کاملاً محکم.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را بیابید. تست اعتبار سنجی فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

آمادگی برای آزمون نهایی در ریاضیات شامل بخش مهمی است - "لگاریتم". وظایف این مبحث لزوماً در آزمون موجود است. تجربه سال های گذشته نشان می دهد که معادلات لگاریتمی برای بسیاری از دانش آموزان مشکل ایجاد کرده است. بنابراین، دانش آموزان با سطوح مختلف آموزشی باید نحوه یافتن پاسخ صحیح را بدانند و به سرعت با آنها کنار بیایند.

با استفاده از پورتال آموزشی "Shkolkovo" آزمون گواهینامه را با موفقیت پشت سر بگذارید!

فارغ التحصیلان دبیرستان هنگام آماده شدن برای آزمون دولتی یکپارچه به منبع معتبری نیاز دارند که کامل ترین و دقیق ترین اطلاعات را برای حل موفقیت آمیز مسائل آزمون ارائه دهد. با این حال، کتاب درسی همیشه در دسترس نیست و یافتن قوانین و فرمول های لازم در اینترنت اغلب زمان می برد.

پورتال آموزشی "Shkolkovo" به شما این امکان را می دهد که در هر زمان و در هر مکانی برای آزمون دولتی واحد آماده شوید. سایت ما راحت ترین روش را برای تکرار و جذب حجم زیادی از اطلاعات در مورد لگاریتم ها و همچنین با یک و چند مجهول ارائه می دهد. با معادلات آسان شروع کنید. اگر به راحتی با آنها برخورد کردید، به سراغ موارد پیچیده تر بروید. اگر در حل یک نابرابری خاص مشکل دارید، می توانید آن را به موارد دلخواه خود اضافه کنید تا بتوانید بعداً به آن بازگردید.

پیدا کردن فرمول های لازمبرای تکمیل کار می توانید موارد و روش های خاص محاسبه ریشه معادله لگاریتمی استاندارد را با مراجعه به قسمت «مرجع نظری» تکرار کنید. معلمان Shkolkovo تمام مواد لازم برای تحویل موفقیت آمیز را به ساده ترین و قابل فهم ترین شکل جمع آوری، سیستماتیک و ارائه کرده اند.

برای مقابله آسان با وظایف هر پیچیدگی، در پورتال ما می توانید با حل برخی از معادلات لگاریتمی معمولی آشنا شوید. برای انجام این کار، به بخش "دایرکتوری ها" بروید. ارائه کرده ایم تعداد زیادی ازمثال ها از جمله معادلات سطح پروفایلآزمون دولتی واحد ریاضی.

دانش آموزان مدارس سراسر روسیه می توانند از پورتال ما استفاده کنند. برای شروع کافیست در سیستم ثبت نام کرده و شروع به حل معادلات کنید. برای تجمیع نتایج، به شما توصیه می کنیم که هر روز به وب سایت Shkolkovo بازگردید.

با این ویدیو، من یک سری طولانی از آموزش های معادلات لگاریتمی را شروع می کنم. اکنون سه مثال دارید که بر اساس آنها ساده ترین کارها را حل می کنیم که به آنها می گویند - تک یاخته ها.

log 0.5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

به شما یادآوری می کنم که ساده ترین معادله لگاریتمی به صورت زیر است:

log a f (x) = b

در این مورد، مهم است که متغیر x فقط در داخل آرگومان وجود داشته باشد، یعنی فقط در تابع f (x). و اعداد a و b دقیقا اعداد هستند و در هیچ موردی توابعی حاوی متغیر x نیستند.

روش های اصلی راه حل

راه های زیادی برای حل چنین طرح هایی وجود دارد. برای مثال، اکثر معلمان مدرسه این راه را پیشنهاد می کنند: فوراً تابع f (x) را با فرمول بیان کنید. f ( x) = a ب. یعنی وقتی با ساده ترین ساخت و ساز مواجه شدید، می توانید مستقیماً بدون اقدامات و ساخت و سازهای اضافی به سراغ راه حل بروید.

بله، البته، تصمیم درست خواهد بود. با این حال، مشکل این فرمول این است که اکثر دانش آموزان نمی فهمم، از کجا می آید و چرا حرف a را به حرف b می آوریم.

در نتیجه، من اغلب اشتباهات بسیار توهین آمیزی می بینم که مثلاً این حروف با هم عوض می شوند. این فرمول یا باید درک شود یا فشرده شود، و روش دوم منجر به اشتباهات در نامناسب ترین و حیاتی ترین لحظات می شود: در امتحانات، آزمون ها و غیره.

به همین دلیل است که من به همه دانش آموزانم پیشنهاد می کنم که فرمول مدرسه استاندارد را کنار بگذارند و از روش دوم برای حل معادلات لگاریتمی استفاده کنند، که، همانطور که احتمالاً قبلاً از نام آن حدس زده اید، نامیده می شود. شکل متعارف.

ایده پشت فرم متعارف ساده است. بیایید نگاهی دیگر به مشکل خود بیندازیم: در سمت چپ ما log a داریم، در حالی که حرف a دقیقاً به معنای یک عدد است و در هیچ موردی تابعی حاوی متغیر x نیست. بنابراین، این نامه مشمول تمام محدودیت هایی است که بر اساس لگاریتم اعمال می شود. برای مثال:

1 ≠ a> 0

از طرف دیگر، از همان معادله، می بینیم که لگاریتم باید باشد برابر عدد b، و هیچ محدودیتی برای این نامه اعمال نمی شود، زیرا می تواند هر مقداری را داشته باشد - هم مثبت و هم منفی. همه چیز به مقادیری بستگی دارد که تابع f (x) می گیرد.

و در اینجا قانون شگفت انگیز خود را به یاد می آوریم که هر عدد b را می توان به صورت لگاریتمی به پایه a از a به توان b نشان داد:

b = ورود a a b

چگونه این فرمول را به خاطر می آورید؟ خیلی ساده است. بیایید ساختار زیر را بنویسیم:

b = b 1 = b log a a

البته تمام محدودیت هایی که در ابتدا یادداشت کردیم به وجود می آید. حال بیایید از ویژگی اصلی لگاریتم استفاده کنیم و ضریب b را توان a معرفی کنیم. ما گرفتیم:

b = b 1 = b log a a = log a a b

در نتیجه معادله اصلی به صورت زیر بازنویسی می شود:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

همین. تابع جدید دیگر شامل لگاریتم نیست و با استفاده از تکنیک های استاندارد جبری حل می شود.

البته، کسی اکنون اعتراض خواهد کرد: چرا به خود زحمت می دهید که نوعی فرمول متعارف را ارائه دهید، چرا دو مرحله غیر ضروری اضافی را انجام دهید، اگر می توانید بلافاصله از ساخت اولیه به فرمول نهایی بروید؟ بله، حتی در آن صورت، اکثر دانش‌آموزان نمی‌دانند این فرمول از کجا آمده است و در نتیجه مرتباً هنگام استفاده از آن اشتباه می‌کنند.

اما این دنباله از اقدامات، متشکل از سه مرحله، به شما امکان می دهد معادله لگاریتمی اصلی را حل کنید، حتی اگر نمی دانید فرمول نهایی از کجا آمده است. به هر حال، این رکورد فرمول متعارف نامیده می شود:

log a f (x) = log a a b

راحتی فرم متعارف نیز در این واقعیت نهفته است که می توان از آن برای حل یک کلاس بسیار گسترده از معادلات لگاریتمی استفاده کرد، و نه فقط ساده ترین آنها را که امروز در نظر می گیریم.

نمونه های راه حل

حال بیایید در نظر بگیریم نمونه های واقعی... بنابراین، ما تصمیم می گیریم:

log 0.5 (3x - 1) = -3

بیایید آن را اینگونه بازنویسی کنیم:

log 0.5 (3x - 1) = log 0.5 0.5 −3

بسیاری از دانش آموزان عجله دارند و سعی می کنند بلافاصله عدد 0.5 را به توانی که از مشکل اصلی به ما رسیده است، برسانند. در واقع، وقتی از قبل در حل چنین مشکلاتی به خوبی آموزش دیده اید، می توانید بلافاصله این مرحله را دنبال کنید.

با این حال، اگر در حال حاضر مطالعه این موضوع را شروع کرده اید، بهتر است در جایی عجله نکنید تا مرتکب اشتباهات توهین آمیز نشوید. بنابراین، ما شکل متعارف را پیش روی خود داریم. ما داریم:

3x - 1 = 0.5 −3

این دیگر یک معادله لگاریتمی نیست، بلکه یک معادله خطی با توجه به متغیر x است. برای حل آن، ابتدا با عدد 0.5 به توان 3- برخورد می کنیم. توجه داشته باشید که 0.5 برابر 1/2 است.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

همه چيز اعداد اعشاریوقتی معادله لگاریتمی را حل می کنید به نرمال تبدیل کنید.

بازنویسی می کنیم و می گیریم:

3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3

همین، جواب گرفتیم. تکلیف اول حل شد.

وظیفه دوم

بریم سراغ کار دوم:

همانطور که می بینید، این معادله دیگر ساده ترین معادله نیست. اگر فقط به این دلیل که تفاوت در سمت چپ است و نه یک لگاریتم در یک پایه.

بنابراین، شما باید به نحوی از شر این تفاوت خلاص شوید. در این مورد، همه چیز بسیار ساده است. بیایید نگاهی دقیق به پایه ها بیندازیم: در سمت چپ عدد زیر ریشه است:

توصیه کلی: در تمام معادلات لگاریتمی سعی کنید از شر رادیکال ها یعنی ورودی های با ریشه خلاص شوید و به توابع قدرت، صرفاً به این دلیل که نماهای این درجات به راحتی از علامت لگاریتم خارج می شوند و در نهایت چنین رکوردی محاسبات را بسیار ساده و سرعت می بخشد. پس بیایید اینطور بنویسیم:

اکنون ویژگی قابل توجه لگاریتم را به یاد می آوریم: از استدلال، و همچنین از پایه، می توانید درجه ها را استخراج کنید. در مورد دلایل، موارد زیر رخ می دهد:

log a k b = 1 / k loga b

به عبارت دیگر عددی که در درجه پایه ایستاده است به جلو برده می شود و در عین حال برمی گردد یعنی تبدیل می شود. به عقب... در مورد ما، درجه ای از پایه با توان 1/2 وجود داشت. بنابراین، می توانیم آن را به صورت 2/1 ارائه کنیم. ما گرفتیم:

5 2 log 5 x - log 5 x = 18
10 log 5 x - log 5 x = 18

لطفا توجه داشته باشید: به هیچ وجه نباید در این مرحله از شر لگاریتم خلاص شوید. ریاضیات کلاس های 4-5 و روش را به خاطر بسپارید: ابتدا ضرب انجام می شود و فقط پس از آن جمع و تفریق انجام می شود. در این مورد، یکی از موارد مشابه را از 10 عنصر کم می کنیم:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

حالا معادله ما به نظر می رسد که باید. آی تی ساده ترین طراحیو آن را با شکل متعارف حل می کنیم:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

همین. تکلیف دوم حل شد.

مثال سوم

بریم سراغ کار سوم:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

اجازه دهید فرمول زیر را به شما یادآوری کنم:

lg b = log 10 b

اگر به دلایلی توسط log b گیج شده اید، در هنگام انجام تمام محاسبات، می توانید به سادگی 10 b را وارد کنید. می توانید با لگاریتم های اعشاری مانند سایرین کار کنید: درجات را بردارید، هر عددی را به شکل lg 10 اضافه کنید و نمایش دهید.

این ویژگی‌ها هستند که اکنون برای حل مشکل از آنها استفاده می‌کنیم، زیرا ساده‌ترین موردی که در همان ابتدای درس خود نوشتیم نیست.

برای شروع، توجه داشته باشید که ضریب 2 قبل از lg 5 را می توان معرفی کرد و به توان پایه 5 تبدیل می شود. علاوه بر این، عبارت آزاد 3 نیز به عنوان یک لگاریتم قابل نمایش است - مشاهده این از نماد ما بسیار آسان است.

خودتان قضاوت کنید: هر عددی را می توان به عنوان log base 10 نشان داد:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

بیایید با در نظر گرفتن تغییرات دریافتی، مشکل اصلی را بازنویسی کنیم:

lg (x - 3) = lg 1000 + lg 25
log (x - 3) = log 1000 25
lg (x - 3) = lg 25000

قبل از ما دوباره شکل متعارف است و ما آن را با دور زدن مرحله تبدیل ها به دست آوردیم، یعنی ساده ترین معادله لگاریتمی در هیچ کجای کشور ما ظاهر نشد.

این دقیقا همان چیزی است که من در همان ابتدای درس در مورد آن صحبت کردم. فرم متعارف به شما امکان می دهد تا کلاس وسیع تری از مسائل را نسبت به فرمول استاندارد مدرسه ارائه شده توسط اکثر معلمان مدرسه حل کنید.

خوب، این همه است، ما از شر علامت لگاریتم اعشاری خلاص می شویم و یک ساختار خطی ساده می گیریم:

x + 3 = 25000
x = 24997

همه چيز! مشکل حل شده است.

یادداشتی در مورد دامنه

در اینجا می خواهم نکته مهمی را در مورد دامنه تعریف بیان کنم. مطمئناً اکنون دانش آموزان و معلمانی هستند که می گویند: "وقتی عبارات را با لگاریتم حل می کنیم، لازم است به یاد داشته باشیم که آرگومان f (x) باید بزرگتر از صفر باشد!" در این راستا یک سوال منطقی مطرح می شود که چرا در هیچ یک از مشکلات مدنظر ما نیاز به تحقق این نابرابری نداشتیم؟

نگران نباش. هیچ ریشه اضافی در این موارد ایجاد نخواهد شد. و این یک ترفند عالی دیگر است که به شما امکان می دهد راه حل را سرعت بخشید. فقط بدانید که اگر در یک مسئله، متغیر x فقط در یک مکان (یا بهتر است بگوییم، در یک آرگومان واحد از یک لگاریتم منفرد) رخ دهد و در هیچ جای دیگری در مورد ما متغیر x وجود نداشته باشد، دامنه را بنویسید. لازم نیستزیرا به طور خودکار اجرا می شود.

خودتان قضاوت کنید: در معادله اول دریافتیم که 3x - 1، یعنی آرگومان باید برابر با 8 باشد. این به طور خودکار به این معنی است که 3x - 1 بزرگتر از صفر خواهد بود.

با همین موفقیت می توانیم بنویسیم که در حالت دوم x باید برابر با 5 2 باشد، یعنی قطعاً بزرگتر از صفر است. و در مورد سوم، که در آن x + 3 = 25000، یعنی دوباره آشکارا بزرگتر از صفر است. به عبارت دیگر، دامنه به طور خودکار برآورده می شود، اما تنها در صورتی که x فقط در آرگومان یک لگاریتم رخ دهد.

این تنها چیزی است که برای حل ساده ترین مشکلات باید بدانید. این قانون به تنهایی، همراه با قوانین تبدیل، به شما امکان می دهد تا طبقه بسیار گسترده ای از مسائل را حل کنید.

اما بیایید صادق باشیم: برای درک نهایی این تکنیک، برای یادگیری نحوه اعمال فرم متعارف معادله لگاریتمی، فقط تماشای یک فیلم آموزشی کافی نیست. بنابراین، گزینه های برای تصمیم مستقلکه به این آموزش تصویری پیوست شده اند و شروع به حل حداقل یکی از این دو کار مستقل می کنند.

فقط چند دقیقه طول می کشد. اما تأثیر چنین آموزشی در مقایسه با تماشای این فیلم آموزشی بسیار بیشتر خواهد بود.

امیدوارم این آموزش به شما در درک معادلات لگاریتمی کمک کند. از فرم متعارف استفاده کنید، عبارات را با استفاده از قوانین کار با لگاریتم ساده کنید - و هیچ مشکلی برای شما ترسناک نخواهد بود. و من برای امروز همه چیز دارم.

در نظر گرفتن محدوده

حال بیایید در مورد دامنه تابع لگاریتمی و همچنین نحوه تأثیر آن بر حل معادلات لگاریتمی صحبت کنیم. ساختاری از فرم را در نظر بگیرید

log a f (x) = b

چنین عبارتی ساده ترین نامیده می شود - فقط یک تابع در آن وجود دارد و اعداد a و b دقیقاً اعداد هستند و در هیچ موردی تابعی نیست که به متغیر x بستگی دارد. خیلی ساده میشه حلش کرد شما فقط باید از فرمول استفاده کنید:

b = ورود a a b

این فرمول یکی از ویژگی‌های کلیدی لگاریتم است و هنگامی که به عبارت اصلی جایگزین می‌شود، موارد زیر را دریافت می‌کنیم:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

این یک فرمول آشنا از کتاب های درسی مدرسه است. احتمالاً بسیاری از دانش‌آموزان این سؤال را خواهند داشت: از آنجایی که در عبارت اصلی تابع f (x) زیر علامت ورود به سیستم است، محدودیت‌های زیر بر روی آن اعمال می‌شود:

f (x)> 0

این محدودیت به دلیل لگاریتم وجود دارد اعداد منفیوجود ندارد. بنابراین، شاید به دلیل این محدودیت، باید چکی برای پاسخ ها معرفی شود؟ شاید باید آنها را در منبع جایگزین کرد؟

خیر، در ساده ترین معادلات لگاریتمی، بررسی اضافی ضروری نیست. و به همین دلیل. به فرمول نهایی ما نگاهی بیندازید:

f (x) = a b

واقعیت این است که عدد a در هر صورت بزرگتر از 0 است - این الزام نیز توسط لگاریتم اعمال می شود. عدد a پایه است. در این صورت محدودیتی برای عدد b اعمال نمی شود. اما این مهم نیست، زیرا مهم نیست که در چه درجه ای یک عدد مثبت را افزایش دهیم، در خروجی همچنان یک عدد مثبت خواهیم داشت. بنابراین، شرط f (x)> 0 به طور خودکار برآورده می شود.

چیزی که واقعا ارزش بررسی دارد محدوده عملکرد زیر علامت گزارش است. ممکن است ساختارهای نسبتاً پیچیده ای وجود داشته باشد و در روند حل آنها باید حتماً آنها را دنبال کنید. اجازه بدید ببینم.

وظیفه اول:

مرحله اول: کسر سمت راست را تبدیل کنید. ما گرفتیم:

ما از شر علامت لگاریتم خلاص می شویم و معادله غیرمنطقی معمول را بدست می آوریم:

از ریشه های به دست آمده، فقط اولین مورد مناسب ما است، زیرا ریشه دوم کمتر از صفر است. تنها جواب عدد 9 خواهد بود. همین، مشکل حل شد. هیچ بررسی اضافی وجود ندارد که عبارت زیر علامت لگاریتم بزرگتر از 0 است، لازم نیست، زیرا نه تنها بزرگتر از 0 است، بلکه با شرط معادله برابر با 2 است. بنابراین، شرط "بزرگتر از صفر" است. ” به طور خودکار انجام می شود.

بریم سراغ کار دوم:

اینجا همه چیز یکسان است. ما ساختار را بازنویسی می کنیم و سه مورد را جایگزین می کنیم:

از شر علائم لگاریتم خلاص می شویم و یک معادله غیرمنطقی می گیریم:

هر دو طرف را با در نظر گرفتن محدودیت ها مربع می کنیم و به دست می آوریم:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16-4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |: 2

x 2 + 7x + 6 = 0

معادله حاصل را از طریق تفکیک حل می کنیم:

D = 49 - 24 = 25

x 1 = -1

x 2 = -6

اما x = −6 برای ما مناسب نیست، زیرا اگر این عدد را با نامساوی خود جایگزین کنیم، به دست می‌آییم:

−6 + 4 = −2 < 0

در مورد ما، لازم است که بزرگتر از 0 یا در موارد شدید، برابر باشد. اما x = -1 برای ما مناسب است:

−1 + 4 = 3 > 0

تنها پاسخ در مورد ما x = -1 است. این تمام راه حل است. بیایید به همان ابتدای محاسبات خود برگردیم.

نکته اصلی این درس این است که شما نیازی به بررسی قیود یک تابع در ساده ترین معادلات لگاریتمی ندارید. زیرا در فرآیند حل تمام محدودیت ها به صورت خودکار برآورده می شوند.

با این حال، این به هیچ وجه به این معنی نیست که شما می توانید بررسی را به طور کلی فراموش کنید. در فرآیند کار بر روی یک معادله لگاریتمی، ممکن است به یک معادله غیرمنطقی تبدیل شود، که محدودیت ها و الزامات خاص خود را برای سمت راست خواهد داشت، همانطور که امروز در دو مثال مختلف دیدیم.

با خیال راحت چنین مشکلاتی را حل کنید و اگر ریشه ای در بحث وجود دارد، به ویژه مراقب باشید.

معادلات لگاریتمی با پایه های مختلف

ما به مطالعه معادلات لگاریتمی ادامه می دهیم و دو ترفند نسبتاً جالب دیگر را تجزیه و تحلیل می کنیم که با آنها حل کردن بیشتر مد است. ساختارهای پیچیده... اما ابتدا بیایید به یاد بیاوریم که چگونه ساده ترین کارها حل می شوند:

log a f (x) = b

در این نماد a و b دقیقا اعداد هستند و در تابع f (x) باید متغیر x وجود داشته باشد و فقط در آنجا، یعنی x باید فقط در آرگومان باشد. ما چنین معادلات لگاریتمی را با استفاده از فرم متعارف تبدیل خواهیم کرد. برای انجام این کار، توجه داشته باشید که

b = ورود a a b

علاوه بر این، a b دقیقاً همان استدلال است. بیایید این عبارت را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

log a f (x) = log a a b

این دقیقاً همان چیزی است که ما سعی می کنیم به آن برسیم، به طوری که هر دو سمت چپ و راست لگاریتم پایه a باشند. در این صورت، به بیان مجازی، می‌توان نشانه‌های لاگ را مشخص کرد و از دیدگاه ریاضیات، می‌توان گفت که ما به سادگی استدلال‌ها را معادل می‌کنیم:

f (x) = a b

در نتیجه، یک عبارت جدید دریافت خواهیم کرد که حل آن بسیار ساده تر خواهد بود. بیایید امروز این قانون را در وظایف خود اعمال کنیم.

بنابراین اولین ساختار:

اول از همه، توجه داشته باشید که در سمت راست یک کسری با log در مخرج است. وقتی چنین عبارتی را می بینید، یادآوری خاصیت شگفت انگیز لگاریتم ها اضافی نخواهد بود:

ترجمه به روسی، این بدان معنی است که هر لگاریتمی را می توان به عنوان ضریب دو لگاریتمی با هر پایه s نشان داد. البته 0< с ≠ 1.

بنابراین: این فرمول یک فرمول فوق العاده دارد مورد خاصزمانی که متغیر c برابر با متغیر باشد ب در این مورد، ساختاری از فرم دریافت می کنیم:

این ساختاری است که ما از علامت به سمت راست در معادله خود مشاهده می کنیم. بیایید این ساختار را با log a b جایگزین کنیم، دریافت می کنیم:

به عبارت دیگر، در مقایسه با مسئله اصلی، آرگومان و پایه لگاریتم را عوض کرده ایم. در عوض، باید کسر را برگردانیم.

یادآوری می کنیم که طبق قانون زیر می توان هر مدرکی را از پایه استخراج کرد:

به عبارت دیگر ضریب k که درجه پایه است به صورت کسر معکوس خارج می شود. بیایید آن را به صورت کسری معکوس دربیاوریم:

ضریب کسری را نمی توان جلوتر گذاشت، زیرا در این صورت نمی توانیم این رکورد را به عنوان یک فرم متعارف نشان دهیم (در نهایت، در شکل متعارف، هیچ عامل اضافی در مقابل لگاریتم دوم وجود ندارد). بنابراین، کسری 1/4 را به آرگومان توان اضافه می کنیم:

حالا آرگومان هایی را که پایه هایشان یکسان است (و واقعاً پایه های یکسانی داریم) برابر می کنیم و می نویسیم:

x + 5 = 1

x = -4

همین. جواب معادله لگاریتمی اول را گرفتیم. لطفاً توجه داشته باشید: در مشکل اصلی، متغیر x فقط در یک log وجود دارد و در آرگومان آن قرار دارد. بنابراین، نیازی به بررسی دامنه نیست، و عدد x = -4 ما در واقع پاسخ است.

حالا بریم سراغ عبارت دوم:

lg 56 = lg 2 log 2 7 - 3lg (x + 4)

در اینجا، علاوه بر لگاریتم های معمول، باید با lg f (x) کار کنیم. چگونه می توان چنین معادله ای را حل کرد؟ ممکن است برای یک دانش آموز آموزش ندیده به نظر برسد که این نوعی صلابت است، اما در واقع همه چیز به روش ابتدایی حل می شود.

نگاهی دقیق به اصطلاح lg 2 log 2 7. چه می توانیم در مورد آن بگوییم؟ دلایل و استدلال های log و lg یکسان هستند و این باید پیشنهاد کننده باشد. بیایید دوباره به یاد بیاوریم که چگونه درجات از زیر علامت لگاریتم خارج می شوند:

log a b n = nlog a b

به عبارت دیگر، قدرت عدد b در آرگومان به عاملی در مقابل خود log تبدیل می شود. بیایید از این فرمول برای بیان lg 2 log 2 7 استفاده کنیم. از lg 2 نترسید - این رایج ترین عبارت است. می توانید آن را به این صورت بازنویسی کنید:

تمام قوانینی که برای هر لگاریتم دیگری اعمال می شود برای آن صادق است. به ویژه عامل پیش رو را می توان به قدرت استدلال اضافه کرد. بیا بنویسیم:

اغلب دانش‌آموزان این نقطه عمل را خالی نمی‌بینند، زیرا خوب نیست یک گزارش را زیر علامت دیگری وارد کنید. در واقع هیچ جرمی در این مورد وجود ندارد. علاوه بر این، فرمولی به دست می آوریم که اگر یک قانون مهم را به خاطر داشته باشید، به راحتی قابل محاسبه است:

این فرمول را می توان هم به عنوان تعریف و هم به عنوان یکی از ویژگی های آن در نظر گرفت. در هر صورت، اگر یک معادله لگاریتمی را تبدیل کنید، باید این فرمول را به همان شکلی که هر عددی را به شکل log نمایش دهید، بدانید.

ما به وظیفه خود برمی گردیم. ما آن را با در نظر گرفتن این واقعیت بازنویسی می کنیم که اولین عبارت سمت راست علامت مساوی به سادگی برابر با lg 7 خواهد بود.

lg 56 = lg 7 - 3lg (x + 4)

بیایید lg 7 را به سمت چپ حرکت دهیم، دریافت می کنیم:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

عبارات سمت چپ را کم کنید زیرا پایه یکسانی دارند:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

حالا بیایید به معادله ای که به دست آوردیم نگاهی دقیق بیندازیم. این عملاً شکل متعارف است، اما ضریب -3 در سمت راست وجود دارد. بیایید آن را در آرگومان درست lg قرار دهیم:

log 8 = log (x + 4) −3

قبل از ما شکل متعارف معادله لگاریتمی است، بنابراین علائم lg را خط زده و استدلال ها را برابر می کنیم:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0.5

همین! معادله لگاریتمی دوم را حل کردیم. در این مورد، هیچ بررسی اضافی مورد نیاز نیست، زیرا در مسئله اصلی x تنها در یک آرگومان وجود داشت.

دوباره لیست می کنم امتیاز کلیدیاز این آموزش

فرمول اصلی که در تمام دروس این صفحه که به حل معادلات لگاریتمی اختصاص دارد، مطالعه می شود، فرم متعارف است. و از این که اکثر کتاب های درسی مدرسه به شما یاد می دهند که چنین مشکلاتی را به روش دیگری حل کنید، نترسید. این ابزار بسیار موثر عمل می کند و به شما امکان می دهد تا کلاس بسیار گسترده تری از مسائل را نسبت به ساده ترین مواردی که در همان ابتدای درس مطالعه کردیم، حل کنید.

علاوه بر این، دانستن خواص اساسی برای حل معادلات لگاریتمی مفید خواهد بود. برای مثال:

فرمول انتقال به یک پایه و مورد خاص زمانی که ما لاگ را برگردانیم (این در مسئله اول برای ما بسیار مفید بود).
فرمول جمع و حذف درجه از علامت لگاریتم. در اینجا، بسیاری از دانش آموزان منجمد می شوند و از فاصله نزدیک نمی بینند که خود درجه نمایی و درج شده می تواند حاوی log f (x) باشد. ایرادی نداره ما می‌توانیم یک گزارش را با علامت دیگری معرفی کنیم و در عین حال حل مسئله را که در مورد دوم مشاهده می‌کنیم، به طور قابل توجهی ساده کنیم.

در خاتمه اضافه می کنم که در هر یک از این موارد نیازی به بررسی scope نیست، زیرا در همه جا متغیر x فقط در یک علامت log وجود دارد و در عین حال در آرگومان خود نیز قرار دارد. در نتیجه، تمام الزامات دامنه به طور خودکار برآورده می شود.

مشکلات ریشه متغیر

امروز ما معادلات لگاریتمی را بررسی خواهیم کرد که برای بسیاری از دانش آموزان غیراستاندارد به نظر می رسد، اگر نگوییم کاملاً غیرقابل حل. این استدر مورد عبارات مبتنی بر اعداد، بلکه بر اساس متغیرها و توابع زوج. ما چنین ساختارهایی را با استفاده از تکنیک استاندارد خود، یعنی از طریق فرم متعارف حل خواهیم کرد.

برای شروع، بیایید به یاد بیاوریم که چگونه ساده ترین مسائل، که بر اساس اعداد معمولی هستند، حل می شوند. بنابراین، ساده ترین ساخت فرم است

log a f (x) = b

برای حل چنین مشکلاتی می توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:

b = ورود a a b

عبارت اصلی خود را بازنویسی می کنیم و دریافت می کنیم:

log a f (x) = log a a b

سپس استدلال ها را برابر می کنیم، یعنی می نویسیم:

f (x) = a b

بنابراین، ما از شر علامت ورود به سیستم خلاص می شویم و مشکل رایج را حل می کنیم. در این صورت، ریشه های به دست آمده در محلول، ریشه های معادله لگاریتمی اصلی خواهند بود. علاوه بر این، رکورد، زمانی که هر دو سمت چپ و راست روی یک لگاریتم با پایه یکسان باشند، شکل متعارف نامیده می شود. این رکوردی است که تلاش می کنیم ساخت و سازهای امروزی را کاهش دهیم. پس بزن بریم.

وظیفه اول:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

1 را با log x - 2 (x - 2) جایگزین کنید. درجه ای که در استدلال مشاهده می کنیم، در واقع عدد b است که در سمت راست علامت مساوی قرار دارد. بنابراین، ما بیان خود را بازنویسی می کنیم. ما گرفتیم:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

ما چه می بینیم؟ پیش از ما شکل متعارف معادله لگاریتمی است، بنابراین می توانیم با خیال راحت استدلال ها را معادل سازی کنیم. ما گرفتیم:

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

اما راه حل به همین جا ختم نمی شود، زیرا این معادله معادل معادله اصلی نیست. از این گذشته، ساختار حاصل از توابعی تشکیل شده است که در کل خط اعداد تعریف شده اند و لگاریتم های اولیه ما در همه جا و نه همیشه تعریف شده اند.

بنابراین، ما باید محدوده را جداگانه بنویسیم. بیایید باهوش نباشیم و ابتدا همه الزامات را بنویسیم:

ابتدا آرگومان هر یک از لگاریتم ها باید بزرگتر از 0 باشد:

2x 2 - 13x + 18> 0

x - 2> 0

ثانیا، پایه نه تنها باید بزرگتر از 0 باشد، بلکه باید با 1 نیز متفاوت باشد:

x - 2 ≠ 1

در نتیجه، سیستم را دریافت می کنیم:

اما نگران نباشید: هنگام پردازش معادلات لگاریتمی، چنین سیستمی می تواند به طور قابل توجهی ساده شود.

خودتان قضاوت کنید: از یک طرف ما نیاز داریم که تابع درجه دوم بزرگتر از صفر باشد و از طرف دیگر این تابع درجه دوم معادل یک عبارت خطی مشخص است که بزرگتر از صفر نیز لازم است.

در این صورت، اگر x - 2> 0 را بخواهیم، آنگاه شرط 2x 2 - 13x + 18> 0 به طور خودکار برآورده می شود، بنابراین، می توانیم با خیال راحت نابرابری حاوی تابع درجه دوم... بنابراین، تعداد عبارات موجود در سیستم ما به سه کاهش می یابد.

البته، ما می‌توانستیم به خوبی از و نابرابری خطی، یعنی x - 2> 0 را حذف کنید و نیاز به 2x 2 - 13x + 18> 0 داشته باشید. اما باید قبول کنید که حل ساده ترین نابرابری خطی بسیار سریعتر و آسانتر از یک درجه دوم است، حتی اگر شرط این باشد که به عنوان یک در نتیجه حل کل این سیستم، همان ریشه ها را بدست می آوریم.

به طور کلی، سعی کنید تا حد امکان محاسبات خود را بهینه کنید. و در مورد معادلات لگاریتمی، سخت ترین نابرابری ها را خط بزنید.

بیایید سیستم خود را بازنویسی کنیم:

در اینجا چنین سیستمی از سه عبارت وجود دارد که ما در واقع قبلاً با دو مورد از آنها پی برده ایم. بیایید آن را جداگانه بنویسیم معادله ی درجه دوو حلش کن:

2x 2 - 14x + 20 = 0

x 2 - 7x + 10 = 0

قبل از ما سه جمله ای مربع داده شده است و بنابراین می توانیم از فرمول های ویتا استفاده کنیم. ما گرفتیم:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

و اکنون به سیستم خود باز می گردیم و متوجه می شویم که x = 2 برای ما مناسب نیست، زیرا از ما خواسته می شود که x به شدت بزرگتر از 2 باشد.

اما x = 5 کاملاً برای ما مناسب است: عدد 5 بزرگتر از 2 است و در عین حال 5 برابر با 3 نیست. بنابراین، تنها راه حل این سیستم x = 5 خواهد بود.

همین است، مشکل حل شده است، از جمله با در نظر گرفتن ODZ. بریم سراغ معادله دوم. در اینجا ما محاسبات جالب و آموزنده تری را خواهیم یافت:

مرحله اول: مثل دفعه قبل، کل مطلب را به شکل متعارف می آوریم. برای این منظور می توانیم عدد 9 را به صورت زیر بنویسیم:

لازم نیست ریشه را با ریشه لمس کنید، اما بهتر است استدلال را تغییر دهید. بیایید از ریشه به توان منطقی برویم. بیایید بنویسیم:

اجازه دهید کل معادله لگاریتمی بزرگ خود را بازنویسی نکنم، بلکه بلافاصله آرگومان ها را معادل سازی کنم:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

قبل از ما سه جمله ای مربعی است که به تازگی داده شده است، از فرمول های Vieta استفاده می کنیم و می نویسیم:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

بنابراین، ما ریشه ها را به دست آوردیم، اما هیچکس به ما تضمین نداد که آنها با معادله لگاریتمی اصلی مطابقت دارند. از این گذشته ، علائم ورود محدودیت های اضافی را اعمال می کند (در اینجا باید سیستم را بنویسیم ، اما به دلیل دست و پا گیر بودن کل ساختار ، تصمیم گرفتم دامنه را جداگانه محاسبه کنم).

اول از همه، به یاد داشته باشید که آرگومان ها باید بزرگتر از 0 باشند، یعنی:

اینها الزامات تحمیل شده توسط حوزه تعریف هستند.

بلافاصله توجه می کنیم که از آنجایی که دو عبارت اول سیستم را با یکدیگر یکسان می کنیم، پس می توانیم هر یک از آنها را حذف کنیم. بیایید اولی را حذف کنیم زیرا از دومی تهدیدکننده تر به نظر می رسد.

علاوه بر این، توجه داشته باشید که راه حل نابرابری های دوم و سوم همان مجموعه ها خواهد بود (مکعب برخی از اعداد بزرگتر از صفر است، اگر این عدد خود بزرگتر از صفر باشد؛ به طور مشابه با یک ریشه درجه سوم - این نابرابری ها هستند. کاملاً مشابه است، بنابراین می توانیم یکی از آنها را خط بزنیم).

اما با نابرابری سوم، این کار نخواهد کرد. بیایید از شر علامت رادیکال سمت چپ خلاص شویم که برای آن هر دو قسمت را به صورت مکعب می سازیم. ما گرفتیم:

بنابراین، ما شرایط زیر را دریافت می کنیم:

- 2 ≠ x> -3

کدام یک از ریشه های ما: x 1 = -3 یا x 2 = -1 این الزامات را برآورده می کند؟ بدیهی است که فقط x = -1، زیرا x = -3 نابرابری اول را برآورده نمی کند (از آنجایی که نابرابری ما شدید است). بنابراین، با بازگشت به مسئله خود، یک ریشه دریافت می کنیم: x = -1. همین، مشکل حل شد.

یک بار دیگر نکات کلیدی این کار:

به راحتی می توانید معادلات لگاریتمی را با استفاده از فرم متعارف اعمال و حل کنید. دانش‌آموزانی که چنین رکوردی را انجام می‌دهند و مستقیماً از مسئله اصلی به ساختاری مانند log a f (x) = b نمی‌روند، اشتباهات بسیار کمتری نسبت به کسانی که به جایی عجله می‌کنند و مراحل میانی محاسبات را نادیده می‌گیرند، مرتکب می‌شوند.
به محض اینکه یک پایه متغیر در لگاریتم ظاهر می شود، مشکل از ساده ترین مسئله باقی می ماند. بنابراین، هنگام حل آن، باید دامنه تعریف را در نظر گرفت: آرگومان ها باید بزرگتر از صفر باشند و مبناها نه تنها نباید بزرگتر از 0 باشند، بلکه نباید برابر با 1 باشند.

راه های مختلفی برای تحمیل الزامات نهایی بر پاسخ های نهایی وجود دارد. به عنوان مثال، می توانید کل سیستم را که شامل تمام الزامات دامنه تعریف است، حل کنید. از طرف دیگر، می توانید ابتدا خود مسئله را حل کنید و سپس دامنه تعریف را به خاطر بسپارید، آن را به طور جداگانه در قالب یک سیستم کار کنید و آن را بر روی ریشه های حاصل قرار دهید.

اینکه کدام راه را هنگام حل یک معادله لگاریتمی خاص انتخاب کنید به شما بستگی دارد. در هر صورت پاسخ یکسان خواهد بود.

در این درس، حقایق نظری اساسی در مورد لگاریتم ها را مرور می کنیم و حل ساده ترین معادلات لگاریتمی را در نظر می گیریم.

بیایید تعریف مرکزی - تعریف لگاریتم را به یاد بیاوریم. مربوط به تصمیم است معادله نمایی... این معادله دارای یک ریشه است که به آن لگاریتم b به پایه a می گویند:

تعریف:

لگاریتم عدد b به پایه a، توانی است که برای بدست آوردن عدد b، پایه a باید به آن افزایش یابد.

به خاطر آوردن هویت لگاریتمی پایه.

بیان (عبارت 1) ریشه معادله (عبارت 2) است. مقدار x را از عبارت 1 به جای x در عبارت 2 جایگزین کنید و هویت لگاریتمی اصلی را بدست آورید:

بنابراین می بینیم که به هر مقدار یک مقدار اختصاص داده شده است. b را با x () و c را با y نشان می دهیم و بنابراین یک تابع لگاریتمی به دست می آوریم:

مثلا:

بیایید ویژگی های اصلی تابع لگاریتمی را به یاد بیاوریم.

بیایید یک بار دیگر در اینجا توجه کنیم، زیرا در زیر لگاریتم می تواند یک عبارت کاملاً مثبت به عنوان پایه لگاریتم وجود داشته باشد.

برنج. 1. نمودار تابع لگاریتمی در پایه های مختلف

نمودار تابع برای به رنگ سیاه نشان داده شده است. برنج. 1. اگر آرگومان از صفر به بی نهایت افزایش یابد، تابع از منهای به اضافه بی نهایت افزایش می یابد.

نمودار تابع برای به رنگ قرمز نشان داده شده است. برنج. 1.

ویژگی های این تابع:

دامنه: ؛

محدوده مقادیر:;

تابع در کل دامنه تعریف خود یکنواخت است. هنگامی که به طور یکنواخت (به شدت) افزایش می یابد، معنی بیشترآرگومان با مقدار بزرگتر تابع مطابقت دارد. هنگامی که به صورت یکنواخت (به شدت) کاهش می یابد، مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار کوچکتر تابع مطابقت دارد.

ویژگی های تابع لگاریتمی کلید حل انواع معادلات لگاریتمی است.

ساده ترین معادله لگاریتمی را در نظر بگیرید، تمام معادلات لگاریتمی دیگر، به عنوان یک قاعده، به این شکل کاهش می یابد.

از آنجایی که پایه لگاریتم ها و خود لگاریتم ها با هم برابر هستند، توابع زیر لگاریتم نیز برابر هستند، اما نباید دامنه تعریف را از دست داد. فقط یک عدد مثبت می تواند زیر لگاریتم قرار گیرد، ما داریم:

ما متوجه شدیم که توابع f و g برابر هستند، بنابراین کافی است هر نابرابری را برای مطابقت با DHS انتخاب کنیم.

پس گرفتیم سیستم مختلط، که در آن یک معادله و نابرابری وجود دارد:

به عنوان یک قاعده، لازم نیست یک نابرابری را حل کنید، کافی است معادله را حل کنید و ریشه های یافت شده را جایگزین نامساوی کنید، بنابراین یک بررسی انجام می شود.

اجازه دهید روشی برای حل ساده ترین معادلات لگاریتمی فرموله کنیم:

مساوی کردن پایه های لگاریتم؛

معادل سازی توابع زیر لگاریتمی.

بررسی.

بیایید نمونه های خاص را در نظر بگیریم.

مثال 1 - معادله را حل کنید:

پایه های لگاریتم ها در ابتدا برابر هستند، ما حق داریم عبارات زیر لگاریتمی را معادل سازی کنیم، ODZ را فراموش نکنید، اولین لگاریتم را برای ایجاد نابرابری انتخاب می کنیم:

مثال 2 - معادله را حل کنید:

تفاوت این معادله با معادله قبلی این است که پایه های لگاریتم ها کمتر از یک هستند، اما این به هیچ وجه روی جواب تأثیر نمی گذارد:

ریشه را بیابید و آن را با نامساوی جایگزین کنید:

ما نابرابری اشتباه گرفتیم، به این معنی که ریشه یافت شده ODV را برآورده نمی کند.

مثال 3 - معادله را حل کنید:

پایه های لگاریتم ها در ابتدا برابر هستند، ما حق داریم عبارات زیر لگاریتمی را معادل سازی کنیم، ODZ را فراموش نکنید، لگاریتم دوم را برای ایجاد نابرابری انتخاب می کنیم:

ریشه را بیابید و آن را با نامساوی جایگزین کنید:

بدیهی است که تنها ریشه اول ODV را برآورده می کند.

معادلات لگاریتمی ما همچنان به بررسی مسائل مربوط به بخش B امتحان ریاضی می پردازیم. حل برخی از معادلات را قبلا در مقالات """ در نظر گرفته ایم. در این مقاله به بررسی معادلات لگاریتمی می پردازیم. فوراً باید بگویم که هنگام حل چنین معادلاتی در امتحان هیچ تغییر پیچیده ای وجود نخواهد داشت. آنها ساده هستند.

کافی است هویت لگاریتمی پایه را بشناسیم و درک کنیم، تا خواص لگاریتم را بدانیم. به این واقعیت توجه کنید که پس از حل، شما باید یک بررسی انجام دهید - مقدار حاصل را به معادله اصلی جایگزین کنید و محاسبه کنید، در پایان باید برابری صحیح را بدست آورید.

تعریف:

لگاریتم عدد a به مبنای b توان است،که برای بدست آوردن a باید b را بالا ببرید.

مثلا:

Log 3 9 = 2 از 3 2 = 9

خواص لگاریتمی:

موارد خاص لگاریتم:

مشکلات را حل خواهیم کرد. در مثال اول یک بررسی انجام می دهیم. در بررسی های بعدی، خودتان این کار را انجام دهید.

ریشه معادله را پیدا کنید: log 3 (4 – x) = 4

از آنجایی که log b a = x b x = a، پس

3 4 = 4 - x

x = 4 - 81

x = - 77

معاینه:

log 3 (4 - (- 77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 درست است.

جواب: - 77

خودتان تصمیم بگیرید:

ریشه معادله را پیدا کنید: log 2 (4 - x) = 7

ریشه معادله لاگ 5 را پیدا کنید(4 + x) = 2

ما از هویت لگاریتمی پایه استفاده می کنیم.

از آنجایی که log a b = x b x = a، پس

5 2 = 4 + x

x = 5 2 - 4

x = 21

معاینه:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 درست است.

جواب: 21

ریشه معادله log 3 (14 - x) = log 3 5 را بیابید.

رخ می دهد ملک بعدیمعنی آن به صورت زیر است: اگر در سمت چپ و راست معادله لگاریتمی با بر همین اساس، سپس می توانیم عبارات زیر علائم لگاریتم را برابر کنیم.

14 - x = 5

x = 9

آن را بررسی کنید.

پاسخ: 9

خودتان تصمیم بگیرید:

ریشه معادله log 5 (5 - x) = log 5 3 را بیابید.

ریشه معادله را پیدا کنید: log 4 (x + 3) = log 4 (4x - 15).

اگر log c a = log c b، a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x = 6

آن را بررسی کنید.

پاسخ: 6

ریشه معادله لاگ 1/8 (13 - x) = - 2 را بیابید.

(1/8) -2 = 13 - x

8 2 = 13 - x

x = 13 - 64

x = - 51

آن را بررسی کنید.

یک اضافه کوچک - ملک در اینجا استفاده می شود

درجه ().

پاسخ: - 51

خودتان تصمیم بگیرید:

ریشه معادله را پیدا کنید: log 1/7 (7 - x) = - 2

ریشه معادله log 2 (4 - x) = 2 log 2 5 را بیابید.

بیایید سمت راست را تغییر دهیم. بیایید از ویژگی استفاده کنیم:

log a b m = m ∙ log a b

log 2 (4 - x) = log 2 5 2

اگر log c a = log c b، a = b

4 - x = 5 2

4 - x = 25

x = - 21

آن را بررسی کنید.

پاسخ: - 21

خودتان تصمیم بگیرید:

ریشه معادله را پیدا کنید: log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

معادله log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11) را حل کنید

اگر log c a = log c b، a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2.75

آن را بررسی کنید.

جواب: 2.75

خودتان تصمیم بگیرید:

ریشه معادله log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10) را بیابید.

معادله log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) +1 را حل کنید.

برای به دست آوردن یک عبارت در سمت راست معادله لازم است:

لاگ 2 (......)

1 را به صورت لگاریتم به پایه 2 بازنویسی کنید:

1 = لاگ 2 2

ورود با (ab) = ورود به سیستم با + log با b

log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) + log 2 2

ما گرفتیم:

log 2 (2 - x) = log 2 2 (2 - 3x)

اگر log c a = log c b ، a = b ، پس

2 - x = 4 - 6x

5x = 2

x = 0.4

آن را بررسی کنید.

پاسخ: 0.4

خودتان تصمیم بگیرید: در مرحله بعد باید معادله درجه دوم را حل کنید. راستی،

ریشه 6 و - 4 است.

ریشه "-4 "راه حل نیست، زیرا پایه لگاریتم باید بزرگتر از صفر باشد و برای"– 4 "برابر است با" – 5" راه حل ریشه 6 است.آن را بررسی کنید.

پاسخ: 6.

آر خودت بخور:

معادله را حل کنید x –5 49 = 2. اگر معادله بیش از یک ریشه دارد، پاسخ را با ریشه کوچکتر پر کنید.

همانطور که می بینید، هیچ تبدیل پیچیده ای با معادلات لگاریتمی وجود نداردنه کافی است خواص لگاریتم را بدانید و بتوانید آنها را اعمال کنید. در تکالیف آزمون مربوط به تحول عبارات لگاریتمی، تحولات جدی تری در حال انجام است و مهارت های راه حل عمیق تری مورد نیاز است. ما چنین نمونه هایی را در نظر خواهیم گرفت، از دست ندهید!برای شما آرزوی موفقیت می کنم!!!

با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ.

P.S: اگر در شبکه های اجتماعی در مورد سایت به ما بگویید ممنون می شوم.