تمام فرمول های اصلی مثلثاتی. ضروری ترین فرمول های مثلثاتی

این آخرین و مهمترین درس لازم برای حل مشکلات B11 است. ما قبلا می دانیم که چگونه زاویه ها را از اندازه گیری رادیان به یک درجه ترجمه می کنیم (درس "رادیان و درجه گوشه را ببینید)، و همچنین می دانید که چگونه علامت یک تابع مثلثاتی را شناسایی کنید، تمرکز بر دوره های مختصات (نگاه کنید به درس "نشانه های توابع مثلثاتی").

نقطه پشت سر گذاشته شده است: برای محاسبه مقدار عملکرد خود - همان شماره ای است که در پاسخ نوشته شده است. در اینجا، هویت اصلی مثلثاتی به نجات می رسد.

هویت مثلثاتی پایه. برای هر زاویه α، این ادعا درست است:

sIN 2 α + COS 2 α \u003d 1.

این فرمول سینوس و کوزین یک زاویه را متصل می کند. در حال حاضر، دانستن سینوس، ما به راحتی کسی را پیدا خواهیم کرد - و بالعکس. این به اندازه کافی برای حذف ریشه مربع است:

قبل از ریشه به علامت "±" توجه کنید. واقعیت این است که از هویت اصلی مثلثاتی اصلی روشن نیست که سینوس اصلی و کوزین چیست؟ مثبت یا منفی بود. پس از همه، ساخت یک مربع یک عملکرد حتی "سوختگی" تمام معایب (اگر آنها بود).

به همین دلیل است که در تمام وظایف B11 که در امتحان در ریاضیات یافت می شود، لزوما شرایط اضافی وجود دارد که به ایجاد عدم اطمینان از نشانه ها کمک می کند. معمولا این نشانه ای از یک چهارم مختصات است که می توانید علامت را تعریف کنید.

خواننده توجه مطمئنا می پرسد: "و چه چیزی در مورد مماس و kotangent؟" به طور مستقیم این توابع را از فرمول های بالا محاسبه نمی کند. با این حال، پیامدهای مهمی از هویت اصلی مثلثاتی وجود دارد که در حال حاضر حاوی مماس و نباتات است. برای مثال:

مهم: برای هر زاویه α، شما می توانید هویت اصلی مثلثاتی را به صورت زیر بازنویسی کنید:

این معادلات به راحتی از هویت اصلی مشتق شده است - کافی است که هر دو طرف را در COS 2 α تقسیم کنید (برای به دست آوردن یک مماس) یا SIN 2 α (برای Cotangent).

همه اینها را در نمونه های خاص در نظر بگیرید. در زیر، وظایف واقعی B11 است که از گزینه های آزمایشی EGE در ریاضیات 2012 گرفته شده است.

ما به ماوسئین شناخته شده ایم، اما سینوس ناشناخته است. هویت اصلی مثلثاتی (در فرم "خالص") فقط این توابع را متصل می کند، بنابراین ما با آن کار خواهیم کرد. ما داریم:

sIN 2 α + COS 2 α \u003d 1 ⇒ SIN 2 α + 99/100 \u003d 1 ⇒ SIN 2 α \u003d 1/100 ⇒ SIN α \u003d ± 1/10 \u003d ± 0.1.

برای حل مشکل، برای پیدا کردن نشانه سینوسی باقی می ماند. از آنجا که زاویه α ∈ (π / 2؛ π)، پس این نوشته شده به درجه: α ∈ (90 درجه 180 درجه).

در نتیجه، زاویه α در سه ماهه مختصات II قرار دارد - همه سینها در آنجا مثبت هستند. بنابراین، گناه α \u003d 0.1.

بنابراین، ما برای سینوس مشهور هستیم و شما باید یک کوزین را پیدا کنید. هر دو این توابع عمدتا هویت مثلثاتی هستند. ما جایگزین می کنیم:

sIN 2 α + COS 2 α \u003d 1 ⇒ 3/4 + COS 2 α \u003d 1 ⇒ COS 2 α \u003d 1/4 ⇒ COS α \u003d ± 1/2 \u003d ± 0.5.

این باقی مانده است که با علامت قبل از کسری برخورد کنید. چه چیزی را انتخاب کنید: به علاوه یا منهای؟ با شرایط، زاویه α متعلق به شکاف است (π 3π / 2). ما زاویه های اندازه گیری رادیان را به درجه ترجمه می کنیم - ما به دست می آوریم: α ∈ (180 درجه؛ 270 درجه).

بدیهی است، این سه ماهه مختصات III است، که در آن همه کوزین ها منفی هستند. بنابراین، COS α \u003d -0.5.

یک وظیفه. پیدا کردن TG α اگر زیر شناخته شده است:

مماس و کوزین با معادله به شرح زیر از هویت اصلی مثلثاتی مرتبط هستند:

ما دریافت می کنیم: TG α \u003d ± 3. علامت مماس توسط زاویه α تعیین می شود. شناخته شده است که α ∈ (3π / 2، 2π). ما زاویه ای از اندازه گیری رادیان به درجه را ترجمه می کنیم - ما α ∈ (270 درجه، 360 درجه) را به دست می آوریم.

بدیهی است، این یک چهارم مختصات IV است، جایی که تمام مماس ها منفی هستند. بنابراین، TG α \u003d -3.

یک وظیفه. پیدا کردن COS α اگر زیر شناخته شده است:

دوباره سینوس شناخته شده و نامزدی کسیستانی است. ما هویت اصلی مثلثاتی را بنویسیم:

sIN 2 α + COS 2 α \u003d 1 ⇒ 0،64 + COS 2 α \u003d 1 ⇒ COS 2 α \u003d 0.36 ⇒ COS α \u003d ± 0.6.

نشانه تعیین گوشه ما: α ∈ (3π / 2، 2π). ما زاویه را از درجه اندازه گیری به رادیان ترجمه می کنیم: α ∈ (270 درجه، 360 درجه) چهارمین مختصات IV است، کوزینز ها مثبت هستند. در نتیجه، COS α \u003d 0.6.

یک وظیفه. پیدا کردن گناه α اگر زیر شناخته شده است:

ما فرمول را که از هویت اصلی مثلثاتی پیروی می کنیم، بنویسیم و به طور مستقیم سینوس و Kotankent را متصل می کنیم:

از اینجا ما این گناه را به دست می آوریم 2 α \u003d 1/25، I.E. SIN α \u003d ± 1/5 \u003d ± 0.2. شناخته شده است که زاویه α ∈ (0؛ π / 2). در درجه، این به شرح زیر نوشته شده است: α ∈ (0 درجه، 90 درجه) - من یک چهارم را هماهنگ می کنم.

بنابراین، زاویه در اولین بخش مختصات است - تمام توابع مثلثاتی مثبت هستند، بنابراین گناه α \u003d 0.2.

در ابتدای این مقاله، ما به مفهوم توابع مثلثاتی نگاه کردیم. هدف اصلی اهداف آنها، مطالعه پایه های مثلثات و مطالعه فرایندهای دوره ای است. و ما دایره مثلثاتی را رنگ نکردیم، زیرا در اغلب موارد توابع مثلثاتی به عنوان نسبت احزاب مثلث یا بخش های خاص آن در یک دایره تک تعریف می شوند. من همچنین ارزش بی نظیر بزرگی از مثلثات را در زندگی مدرن ذکر کردم. اما علم هنوز هم ایستاده است، در نتیجه ما می توانیم به طور قابل توجهی گسترش دامنه مثلثات و انتقال موقعیت خود را به واقعی، و گاهی اوقات به تعداد پیچیده.

فرمول های مثلثاتی انواع مختلفی وجود دارد. آنها را به ترتیب در نظر بگیرید.

نسبت توابع مثلثاتی از همان زاویه

در اینجا ما به توجه به چنین چیزی به عنوان هویت های مثلثاتی پایه.

هویت مثلثاتی، برابری است که شامل نسبت های مثلثاتی است و برای تمام مقادیر مقادیر گوشه هایی که در آن گنجانده شده است، انجام می شود.

مهمترین هویت های مثلثاتی و شواهد آنها را در نظر بگیرید:

هویت اول از تعیین بسیار مماس است.

یک مثلث مستطیلی را که در آن زاویه حاد X در بالای A وجود دارد، بگیرید

برای اثبات هویت، لازم است از قضیه Pythagora استفاده کنید:

(Sun) 2 + (AC) 2 \u003d (AB) 2

در حال حاضر ما در (AB) 2 از هر دو قسمت از برابری تقسیم می کنیم و به یاد آوردن تعریف گناه و زاویه COS، ما یک هویت دوم را دریافت می کنیم:

(Sun) 2 / (AB) 2 + (AC) 2 / (AB) 2 \u003d 1

sIN X \u003d (BC) / (AB)

cOS X \u003d (AC) / (AB)

گناه 2 x + cos 2 x \u003d 1

برای اثبات هویت سوم و چهارم، از اثبات قبلی استفاده می کنیم.

برای انجام این کار، هر دو قسمت از هویت دوم به COS 2 X تقسیم می شوند:

گناه 2 x / cos 2 x + cos 2 x / cos 2 x \u003d 1 / cos 2 x

گناه 2 x / cos 2 x + 1 \u003d 1 / cos 2 x

بر اساس اولین هویت TG X \u003d SIN X / COS X، ما سومین را دریافت می کنیم:

1 + TG 2 x \u003d 1 / cos 2 x

در حال حاضر ما هویت دوم را در گناه 2 x تقسیم می کنیم:

گناه 2 x / sin 2 x + cos 2 x / sin 2 x \u003d 1 / sin 2 x

1+ COS 2 X / SIN 2 X \u003d 1 / SIN 2 X

cos 2 x / sin 2 x چیزی جز 1 / tg 2 x نیست، بنابراین ما یک هویت چهارم را دریافت می کنیم:

1 + 1 / tg 2 x \u003d 1 / sin 2 x

وقت آن است که قضیه را در مورد مجموع زاویه های داخلی مثلث یادآوری کنید، که بیان می کند که مجموع گوشه های سه گانه \u003d 180 0 است. به نظر می رسد که در بالای مثلث، زاویه وجود دارد، ارزش آن 180 است 0 - 90 0 - X \u003d 90 0 - X.

تعاریف برای گناه را به یاد بیاورید و هویت پنجم و ششم را دریافت کنید:

sIN X \u003d (BC) / (AB)

cOS (90 0 - X) \u003d (BC) / (AB)

cOS (90 0 - X) \u003d SIN X

در حال حاضر موارد زیر را انجام دهید:

cOS X \u003d (AC) / (AB)

گناه (90 0 - x) \u003d (AC) / (AB)

گناه (90 0 - x) \u003d cos x

همانطور که می بینید، همه چیز در اینجا ابتدایی است.

هویت های دیگری وجود دارد که در حل هویت های ریاضی مورد استفاده قرار می گیرند، من آنها را به سادگی به شکل اطلاعات مرجع به ارمغان می آورم، زیرا همه آنها از بالا خارج می شوند.

عبارات توابع مثلثاتی در یکدیگر

(انتخاب علامت قبل از ریشه تعیین می شود که گوشه ای در دایره قرار دارد؟)

بعد، فرمول ها را برای اضافه کردن و تفریق گوشه ها دنبال کنید:

فرمول های دو، سه گانه و نیمه گوشه.

من توجه دارم که همه آنها از فرمول های قبلی حاصل می شوند.

گناه 2x \u003d 2sin x * cos x

cos 2x \u003d cos 2 x -sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x \u003d 2cos 2 x -1

tG 2X \u003d 2TGX / (1 - TG 2 x)

cTG 2X \u003d (CTG 2 x - 1) / 2stg x

sin3x \u003d 3sin x - 4sin 3 x

cOS3X \u003d 4COS 3 X - 3COS X

tG 3X \u003d (3TGX - TG 3 X) / (1 - 3TG 2 x)

cTG 3x \u003d (CTG 3 x - 3stg x) / (3ctg 2 x - 1)

اصطلاحات مثلثاتی فرمول تبدیل:

هویت های مثلثاتی - اینها مساوی هستند که پیوند بین سینوسی، کوزین، مماس و محض از یک زاویه را ایجاد می کنند که به شما امکان می دهد هر یک از این توابع را پیدا کنید، در صورتی که دیگر شناخته شود.

tG \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha)، \\ enspace ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha)

tG \\ alpha \\ cdot ctg \\ alpha \u003d 1

این هویت نشان می دهد که مجموع مربع سینوس یک زاویه و مربع کوزین یک زاویه برابر با یک است، که در عمل آن را ممکن است محاسبه سینوسی از یک زاویه زمانی که Cosin شناخته شده است و بالعکس.

هنگام تبدیل عبارات مثلثاتی، این هویت بسیار اغلب استفاده می شود، که اجازه می دهد تا واحد جایگزین مقدار مربع های کوزین و سینوسی یک زاویه باشد و همچنین عملیات جایگزینی را در جهت معکوس تولید کند.

پیدا کردن مماس و kotangence از طریق سینوس و کوزین

tG \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha)، \\ enspace

این هویت ها از تعاریف سینوس، کوزین، مماس و catangens تشکیل شده است. پس از همه، اگر شما آن را تشخیص دهید، پس از تعریف Ordinate Y سینوس، و X - Cosine Abscissa است. سپس مماس برابر با نگرش خواهد بود \\ frac (y) (x) \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha)، و نگرش \\ frac (x) (y) \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha) - یک قاعده کلی خواهد بود.

ما اضافه می کنیم که فقط برای چنین زاویه \\ alpha، که در آن توابع مثلثاتی گنجانده شده در آنها معنی، هویت برگزار می شود، cTG \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha).

مثلا: tG \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha) فقط برای زاویه \\ alpha، که متفاوت از \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi z، ولی cTG \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha) - برای زاویه \\ alpha، متفاوت از \\ pi z، z - یک عدد صحیح است.

وابستگی بین مماس و kotangen

tG \\ alpha \\ cdot ctg \\ alpha \u003d 1

این هویت فقط برای چنین زوایای \\ alpha معتبر است، که متفاوت از \\ frac (\\ pi) (2) z. در غیر این صورت یا cotangent یا مماس تعیین نمی شود.

با تکیه بر موارد فوق، ما این را دریافت می کنیم tG \\ alpha \u003d \\ frac (y) (x)، ولی cTG \\ alpha \u003d \\ frac (x) (y). از این رو آن را دنبال می کند tG \\ alpha \\ cdot ctg \\ alpha \u003d \\ frac (y) (x) \\ cdot \\ frac (x) (y) \u003d 1. بنابراین، مماس و catangenes یک زاویه، که در آن آنها معنی می کنند، اعداد متقابلا معکوس هستند.

وابستگی بین مماس و کوزین، Catangenes و Sine

tg ^ (2) \\ alpha + 1 \u003d \\ frac (1) (\\ cos ^ (2) \\ alpha) - مجموع مربع مماس زاویه \\ alpha و 1 برابر با مربع معکوس کنسون این زاویه است. این هویت برای همه \\ alpha درست است \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi z.

1 + CTG ^ (2) \\ alpha \u003d \\ frac (1) (\\ sin ^ (2) \\ alpha) - مقدار 1 و مربع گوشه زاویه \\ alpha برابر با مربع معکوس سینوس این زاویه است. این هویت برای هر \\ alpha، متفاوت از \\ pi z معتبر است.

نمونه هایی از راه حل های کار برای استفاده از هویت های مثلثاتی

مثال 1

پیدا کردن \\ sin \\ alpha و tg \\ alpha اگر \\ cos \\ alpha \u003d - \\ frac12 و \\ frac (\\ PI) (2)< \alpha < \pi ;

نشان دادن تصمیم گیری

تصمیم

توابع \\ sin \\ alpha و \\ cos \\ alpha فرمول متصل می شوند \\ sin ^ (2) \\ alpha + \\ cos ^ (2) \\ alpha \u003d 1. جایگزینی به این فرمول \\ cos \\ alpha \u003d - \\ frac12ما دریافت خواهیم کرد:

\\ sin ^ (2) \\ alpha + \\ left (- \\ frac12 \\ right) ^ 2 \u003d 1

این معادله دارای 2 راه حل است:

\\ sin \\ alpha \u003d \\ pm \\ sqrt (1- \\ frac14) \u003d \\ pm \\ frac (\\ sqrt 3) (2)

با شرایط \\ frac (\\ PI) (2)< \alpha < \pi . در سه ماهه دوم سینوس مثبت است، بنابراین \\ sin \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sqrt 3) (2).

به منظور پیدا کردن TG \\ alpha، ما از فرمول استفاده می کنیم tG \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha)

tG \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sqrt 3) (2): \\ frac12 \u003d \\ sqrt 3

مثال 2

پیدا کردن \\ cos \\ alpha و ctg \\ alpha، اگر \\ frac (\\ PI) (2)< \alpha < \pi .

نشان دادن تصمیم گیری

تصمیم

جایگزینی در فرمول \\ sin ^ (2) \\ alpha + \\ cos ^ (2) \\ alpha \u003d 1 داده شده توسط شماره شرایط \\ sin \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sqrt3) (2)دريافت كردن \\ left (\\ frac (\\ sqrt3) (2) \\ right) ^ (2) + \\ cos ^ (2) \\ alpha \u003d 1. این معادله دارای دو راه حل است \\ cos \\ alpha \u003d \\ pm \\ sqrt (1- \\ frac34) \u003d \\ pm \\ sqrt \\ frac14.

با شرایط \\ frac (\\ PI) (2)< \alpha < \pi . در سه ماهه دوم، کوزین منفی است، بنابراین \\ cos \\ alpha \u003d - \\ sqrt \\ frac14 \u003d - \\ frac12.

به منظور پیدا کردن CTG \\ alpha، ما از فرمول استفاده می کنیم cTG \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha). ارزش های مناسب برای ما شناخته شده است.

cTG \\ alpha \u003d - \\ frac12: \\ frac (\\ sqrt3) (2) \u003d - \\ frac (1) (\\ sqrt 3).

داده های مرجع برای توابع سینوسی مثلثاتی (SIN X) و کوزین (COS X). تعریف هندسی، خواص، نمودارها، فرمول ها. جدول سینوس ها و کووسن ها، مشتقات، انتگرال ها، تجزیه در صفوف، جلسات، ماسن ها. عبارات از طریق متغیرهای پیچیده. ارتباط با توابع هیپربولیک.

تعریف هندسی سینوس و کوزین

| BD | - طول قوس دایره با مرکز در نقطه آ..
α - زاویه، بیان شده در رادیان.

تعریف
سینوس (گناه α) - این یک تابع مثلثاتی است که بسته به زاویه α بین هیپوتنوما و یک کاست مثلث سفت و سخت است، برابر با نسبت طول رده مخالف | BC | به طول هیپوتنوز | AC |.

Cosine (COS α) - این یک تابع مثلثاتی است، بسته به زاویه α بین هیپوتنوما و کاتر از مثلث مستطیل شکل، برابر با نسبت طول رده مجاور | AB | به طول هیپوتنوز | AC |.

تعیین شده است

;
;
.

گراف تابع سینوس، y \u003d sin x

تابع برنامه kosinus، y \u003d cos x

خواص سینوس و کوزین

دوره شناسی

توابع y \u003d. گناه X و y \u003d cOS X. دوره ای با یک دوره 2 π..

برابری

عملکرد سینوسی عجیب است. عملکرد کوزین حتی.

محدوده تعریف و ارزش ها، افراط، افزایش، کاهش، کاهش

توابع سینوسی و کوزین در منطقه تعریف آنها مداوم هستند، یعنی برای همه X (به اثبات تداوم مراجعه کنید). خواص اساسی آنها در جدول (N - کل) ارائه شده است.

	y \u003d. گناه X	y \u003d. cOS X.
تعریف و تداوم منطقه	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
منطقه ارزش ها	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
صعودی
خلع سلاح
حداکثر، y \u003d 1
حداقل، y \u003d - 1
صفر، y \u003d 0
نقطه تقاطع با محور Orment، x \u003d 0	y \u003d. 0	y \u003d. 1

فرمول های پایه

سینوس و مربعهای کازین

فرمول های سینوس و کوزین از مقدار و تفاوت

;
;

فرمول آثار سینوس ها و کوزین

فرمول های مجموع و تفاوت

بیان سینوسی از طریق Cosin

;
;
;
.

بیان کوزینس از طریق سینوس

;
;
;
.

بیان از طریق مماس

; .

وقتی ما داریم
; .

با:
; .

سینوس و میز کوزین، مماس و kotangers

این جدول مقادیر سینوس ها و کولون ها را در برخی از مقادیر استدلال نشان می دهد.

عبارات از طریق متغیرهای پیچیده

;

فرمول اویلر

{ -∞ < x < +∞ }

شان، Kosakhans.

توابع معکوس

توابع معکوس به سینوس و کوزین به ترتیب Arcsinus و Arquosine هستند.

Arksinus، Arcsin.

Arkkosinus، Arccos.

منابع:
که در. برونشتین، K.A. Semendyaev، یک کتاب مرجع در ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان شرکت کنندگان، "LAN"، 2009.

در این مقاله، ما به طور کامل در نظر خواهیم گرفت. هویت های اصلی مثلثاتی معقول هستند که ارتباط بین سینوسی، کوزین، مماس و محض از یک زاویه را ایجاد می کنند و به شما اجازه می دهد تا هر یک از این توابع مثلثاتی را از طریق یک شناخته شده شناخته شده پیدا کنید.

بلافاصله هویت های اصلی مثلثاتی را که ما در این مقاله تحلیل خواهیم کرد، فهرست کنیم. ما آنها را به جدول می نویسیم، و در زیر ما خروجی این فرمول ها را ارائه خواهیم داد و توضیحات لازم را ارائه خواهیم داد.

مرور صفحه

ارتباط بین سینوسی و کوزین یک گوشه

گاهی اوقات آنها نمی گویند در مورد هویت های اصلی مثلثاتی که در جدول بالا ذکر شده اند، اما حدود یک نفر هویت اصلی مثلثاتی چشم انداز . توضیح این واقعیت بسیار ساده است: برابری از هویت اصلی مثلثاتی پس از تقسیم هر دو بخش آن به دست می آید و، بر این اساس، و برابری و تعاریف سینوس، کوزین، مماس و catangens را دنبال کنید. ما در مورد این در پاراگراف های زیر صحبت خواهیم کرد.

به این ترتیب، علاقه خاصی به برابری دارد که نام هویت اصلی مثلثاتی را داده شده است.

قبل از اثبات هویت اصلی مثلثاتی، ما آن را به آن اشاره می کنیم: مجموع مربعات سینوسی و کوزین یک زاویه یکسان برابر با یک است. حالا ما آن را ثابت می کنیم.

هویت اصلی مثلثاتی اغلب زمانی استفاده می شود تبدیل عبارات مثلثاتی. این اجازه می دهد تا مجموع مربعات سینوسی و کوزین یک زاویه برای جایگزینی واحد. کمتر از اغلب هویت اصلی مثلثاتی در جهت معکوس استفاده می شود: واحد با مجموع مربعات سینوسی و کوزین هر گوشه جایگزین می شود.

مماس و kotangenes از طریق سینوس و کوزین

هویت اتصال مماس و catangenes با سینوسی و کوزین یک زاویه نوع و بلافاصله تعاریف سینوس، کوزین، مماس و تقلید را دنبال کنید. در واقع، توسط تعریف سینوس یک سفارش وجود دارد Y، Czine Abscissa X است، مماس نسبت نسبت به Abscissa است، یعنی ، و Kothangence نسبت Abscissa به ترتیب، یعنی .

با توجه به شواهدی از هویت ها و اغلب تعاریف مماس و kotangenes از طریق نسبت Abscissa و Ordinate، بلکه از طریق نسبت سینوس و کوزین نیست. بنابراین مماس از زاویه نسبت سینوس به عنوان کنسانتره این زاویه نامیده می شود و KotanGent نگرش کوزین به سینوس است.

در نتیجه این مورد، باید اشاره کرد که هویت ها و آنها برای همه زاویه هایی که در آن توابع مثلثاتی در آنها احساس می کنند، انجام می شود. بنابراین فرمول برای هر نوع دیگر معتبر است (در غیر این صورت در مخارج، صفر خواهد بود، و ما تقسیم به صفر را تعریف نمی کنیم) و فرمول - برای همه غیر از z - هر.

ارتباط بین مماس و kotangen

یک هویت مثلثاتی آشکار بیشتر از دو مورد قبلی، هویتی است که مماس و کتانی از یک زاویه نوع را متصل می کند . واضح است که برای هر زاویه ای به غیر از، در غیر این صورت، یا مماس یا cotangenes تعریف نشده است.

اثبات فرمول بسیار ساده. با تعریف و جایی که . ممکن بود که اثبات و کمی متفاوت بود. به عنوان I. T. .

بنابراین، مماس و kotnence از همان زاویه، که در آن آنها حساس است.