مشتق تابع y ریشه x است. مشتق تابع قدرت (درجه و ریشه)
در این درس ، نحوه استفاده از فرمول ها و قوانین تمایز را می آموزیم.
مثال ها. مشتقات توابع را بیابید.
1. y = x 7 + x 5 -x 4 + x 3 -x 2 + x -9. ما قاعده را اعمال می کنیم من، فرمول ها 4 ، 2 و 1... ما گرفتیم:
y '= 7x 6 + 5x 4 -4x 3 + 3x 2 -2x + 1.
2. y = 3x 6 -2x + 5. ما با استفاده از فرمول ها و فرمول یکسان به روشی مشابه حل می کنیم 3.
y ’= 3 ∙ 6x 5 -2 = 18x 5 -2.
ما قاعده را اعمال می کنیم من، فرمول ها 3, 5
و 6
و 1.
ما قاعده را اعمال می کنیم IV، فرمول ها 5 و 1 .
در مثال پنجم ، طبق قاعده منمشتق مجموع برابر است با مجموع مشتقات ، و ما به تازگی مشتق عبارت اول را یافته ایم (مثال 4 ) ، بنابراین ، مشتقات را پیدا خواهیم کرد دومو سومشرایط ، و برای 1مدت ، ما می توانیم بلافاصله نتیجه را بنویسیم.
متمایز کردن دومو سومشرایط مطابق فرمول 4
... برای انجام این کار ، ریشه های درجه سوم و چهارم مخرج را به درجه هایی با توان منفی تبدیل می کنیم و سپس ، 4
فرمول ، مشتقات قدرتها را پیدا می کنیم.
نگاه کنید مثال داده شدهو نتیجه به دست آمده الگویی دارید؟ خوب این بدان معناست که ما یک فرمول جدید داریم و می توانیم آن را به جدول مشتقات خود اضافه کنیم.
بیایید مثال ششم را حل کرده و فرمول دیگری را بدست آوریم.
ما از قاعده استفاده می کنیم IVو فرمول 4
... کسرهای حاصله را کاهش دهید.
ما به این تابع و مشتق آن نگاه می کنیم. البته شما الگو را درک کرده اید و آماده اید فرمول را نام ببرید:
آموزش فرمول های جدید!
مثال ها.
1. افزایش آرگومان و افزایش تابع y = را بیابید x 2اگر مقدار اولیه آرگومان بود 4 و جدید - 4,01 .
راه حل.
مقدار آرگومان جدید x = x 0 + Δx... داده ها را جایگزین کنید: 4.01 = 4 + Δx ، بنابراین استدلال افزایش می یابد Δx= 4.01-4 = 0.01. طبق تعریف ، افزایش یک تابع برابر است با تفاوت بین مقادیر جدید و قبلی تابع ، به عنوان مثال. Δy = f (x 0 + Δx) - f (x 0). از آنجا که ما یک تابع داریم y = x 2، سپس Δy= (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 = (x 0) 2 + 2x 0 · Δx + (Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx + (Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
پاسخ: افزایش استدلال Δx= 0.01 ؛ افزایش عملکرد Δy=0,0801.
ممکن است افزایش تابع را به روش دیگری بیابید: Δy= y (x 0 + Δx) -y (x 0) = y (4.01) -y (4) = 4.01 2 -4 2 = 16.0801-16 = 0.0801.
2. زاویه تمایل مماس به نمودار یک تابع را بیابید y = f (x)در نقطه x 0، اگر f "(x 0) = 1.
راه حل.
ارزش مشتق در نقطه مماس x 0و مقدار مماس زاویه تمایل مماس (معنی هندسی مشتق) وجود دارد. ما داریم: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45 درجه ،زیرا tg45 ° = 1.
پاسخ: مماس بر نمودار این تابع با جهت مثبت محور Ox با زاویه ای برابر شکل می گیرد 45 درجه.
3. فرمول مشتق یک تابع را بدست آورید y = x n.
تفکیکآیا عمل یافتن مشتق یک تابع است.
هنگام یافتن مشتقات ، از فرمول هایی استفاده می شود که بر اساس تعریف مشتق مشتق شده اند ، به همان روشی که فرمول درجه مشتق شده را بدست آورده ایم: (x n) "= nx n-1.
اینها فرمولها هستند.
جدول مشتقاتبه خاطر سپردن فرمول های شفاهی آسان تر خواهد بود:
1. مشتق ثابت صفر است.
2. ضربات x برابر یک است.
3. می توان عامل ثابت را از علامت مشتق خارج کرد.
4. مشتق درجه برابر است با حاصلضرب توان این درجه با درجه ای با پایه یکسان ، اما ضریب نمره یک کمتر است.
5. مشتق یک ریشه برابر است با یک تقسیم بر دو ریشه یکسان.
6. مشتق واحد تقسیم بر x برابر منهای یک تقسیم بر x مربع است.
7. مشتق سینوسی برابر کسینوس است.
8. مشتق کسینوس برابر با منهای سینوس است.
9. مشتق تانژانت برابر است با تقسیم بر مربع کسینوس.
10. مشتق همرنگ برابر منهای یک تقسیم بر مربع سینوسی است.
آموزش می دهیم قوانین تمایز.
1.
مشتق مجموع جبری برابر است با مجموع جبری مشتقات اصطلاحات.
2. مشتق محصول برابر است با حاصلضرب عامل اول به وسیله عامل دوم به علاوه حاصلضرب عامل اول با مشتق عامل دوم.
3. مشتق "y" تقسیم بر "ve" برابر کسری است که در شمارنده آن "y سکته مغزی ضرب در" ve "منهای" y ضرب در اول "و در مخرج -" ve مربع است " به
4. یک مورد خاصفرمول ها 3.
با هم آموزش میدیم!
صفحه 1 از 1 1
عملیات یافتن یک مشتق ، تمایز نامیده می شود.
در نتیجه حل مشکلات یافتن مشتقات ساده ترین (و نه خیلی ساده) توابع با تعیین مشتق به عنوان حد نسبت افزایش به افزایش استدلال ، جدولی از مشتقات ظاهر شد و دقیقاً قوانین خاصیتفکیک. اولین نفر در زمینه یافتن مشتقات ، ایزاک نیوتن (1727-1643) و گاتفرید ویلهلم لایب نیتس (1616-1716) بودند.
بنابراین ، در زمان ما ، برای یافتن مشتق هر تابع ، لازم نیست حد فوق الذکر نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان را محاسبه کنید ، بلکه فقط باید از جدول مشتقات و قوانین تمایز الگوریتم زیر برای یافتن مشتق مناسب است.
برای یافتن مشتق، به عبارتی زیر علامت سکته مغزی نیاز دارید توابع ساده را جدا کنیدو تعیین کنید چه اقداماتی انجام شود (محصول ، جمع ، ضریب)این توابع متصل هستند علاوه بر این ، مشتقات توابع ابتدایی در جدول مشتقات ، و فرمولهای مشتقات محصول ، مجموع و ضریب در قوانین تمایز یافت می شود. جدول مشتق و قوانین تمایز پس از دو مثال اول آورده شده است.
مثال 1مشتق یک تابع را بیابید
راه حل. از قوانین تمایز ، متوجه می شویم که مشتق مجموع توابع ، مجموع مشتقات توابع است ، به عنوان مثال.
از جدول مشتقات متوجه می شویم که مشتق "x" برابر با یک و مشتق سینوس برابر با کسینوس است. ما این مقادیر را در مجموع مشتقات جایگزین می کنیم و مشتق مورد نیاز را با شرایط مسئله پیدا می کنیم:
مثال 2مشتق یک تابع را بیابید
راه حل. ما به عنوان مشتق مجموع متمایز می کنیم ، که در آن عبارت دوم با یک عامل ثابت ، می تواند از علامت مشتق خارج شود:
اگر هنوز س questionsالاتی وجود دارد که منشاء آن از کجا آمده است ، آنها معمولاً پس از آشنایی با جدول مشتقات و ساده ترین قوانین تمایز ، روشن تر می شوند. ما همین الان به سراغ آنها می رویم.
جدول مشتق از توابع ساده
| 1. مشتق ثابت (عدد). هر عددی (1 ، 2 ، 5 ، 200 ...) که در عبارت تابع وجود دارد. همیشه صفر این بسیار مهم است که به یاد داشته باشید ، زیرا اغلب مورد نیاز است | |
| 2. مشتق متغیر مستقل. اغلب "x". همیشه برابر با یک. این نیز مهم است که برای مدت طولانی به یاد داشته باشید. | |
| 3. درجه مشتق. هنگام حل مشکلات ، باید ریشه های غیر مربعی را به یک قدرت تبدیل کنید. | |
| 4. مشتق یک متغیر به توان -1 | |
| 5. مشتق ریشه دوم | |
| 6. مشتق از سینوس | |
| 7. مشتق کسینوس |  |
| 8. مشتق از مماس |  |
| 9. مشتق از ماده متضاد |  |
| 10. مشتق آرکسین |  |
| 11. مشتق شده از آرکوزین |  |
| 12. مشتق از آرکتانژانت |  |
| 13. مشتق از قوام متضاد قوس |  |
| 14. مشتق لگاریتم طبیعی | |
| 15. مشتق از تابع لگاریتمی |  |
| 16. مشتق از توان | |
| 17. مشتق تابع نمایی |
قوانین تمایز
| 1. مشتق از جمع یا تفاوت |  |
| 2. مشتق از اثر |  |
| 2a مشتق یک عبارت ضرب در یک عامل ثابت | |
| 3. مشتق از ضریب |  |
| 4. مشتق از یک تابع پیچیده |  |
قانون 1اگر توابع
در نقطه ای قابل تفکیک ، سپس در همان نقطه توابع
علاوه بر این
آن ها مشتق مجموع جبری توابع برابر است با مجموع جبری مشتقات این توابع.
نتیجه. اگر دو عملکرد متغیر با یک عبارت ثابت متفاوت باشند ، مشتقات آنها برابر است، یعنی
قانون 2اگر توابع
در نقطه ای قابل تغییر است ، سپس در همان نقطه محصول آنها نیز قابل تمایز است
علاوه بر این
آن ها مشتق حاصلضرب دو تابع برابر است با مجموع حاصلضرب هر یک از این توابع با مشتق کارکرد دیگر.
نتیجه 1 عامل ثابت را می توان به خارج از علامت مشتق منتقل کرد:
نتیجه 2 مشتق حاصل از چندین توابع متغیر برابر است با مجموع حاصل از مشتق هر یک از عوامل توسط سایر عوامل.
به عنوان مثال ، برای سه عامل:
قانون 3اگر توابع
در نقطه ای قابل تمایز و , سپس در این مرحله متغیر و ضریب آنها استu / v ، و
آن ها مشتق ضریب دو تابع برابر کسری است که شمارنده آن اختلاف بین مخرج مخرب و مشتق عدد و شمارنده با مشتق مخرج است و مخرج مربع است عدد قبلی
در صفحات دیگر کجا باید جستجو کرد
هنگام یافتن مشتق محصول و ضریب در مشکلات واقعی ، همیشه لازم است چندین قانون تمایز را به طور همزمان اعمال کنید ، بنابراین ، مثالهای بیشتری در مورد این مشتقات در مقاله آمده است"مشتق شده از یک اثر و عملکرد خاص".
اظهار نظر.یک ثابت (یعنی یک عدد) را به عنوان جمع و به عنوان یک عامل ثابت اشتباه نگیرید! در مورد یک عبارت ، مشتق آن برابر صفر است و در مورد یک عامل ثابت ، از علامت مشتقات خارج می شود. آی تی اشتباه معمولیکه در رخ می دهد مرحله اولیهمشتقات را مطالعه می کند ، اما با حل چند مثال یک یا دو جزء ، دانش آموز معمولی دیگر این اشتباه را نمی کند.
و اگر هنگام تمایز یک کار یا یک اثر خاص ، یک اصطلاح دارید تو"v، که در آن تو- یک عدد ، به عنوان مثال ، 2 یا 5 ، یعنی یک ثابت ، سپس مشتق این عدد برابر صفر خواهد بود و بنابراین ، کل عبارت برابر صفر خواهد بود (این مورد در مثال 10 تجزیه و تحلیل شده است).
دیگر اشتباه رایج- محلول مکانیکی مشتق یک تابع پیچیده به عنوان مشتق از یک تابع ساده. از همین رو مشتق از یک تابع پیچیدهیک مقاله جداگانه اختصاص داده شده است اما ابتدا یاد می گیریم که مشتقات را پیدا کنیم توابع ساده.
در طول راه ، شما نمی توانید بدون تبدیل بیان انجام دهید. برای انجام این کار ، ممکن است لازم باشد آموزش ها را در پنجره های جدید باز کنید اقدامات با قدرت و ریشهو اقدامات کسری .
اگر به دنبال راه حلهایی برای مشتقات کسری با قدرت و ریشه هستید ، یعنی وقتی عملکرد به نظر می رسد 
، سپس درس "مشتق از مجموع کسرها با قدرت و ریشه" را دنبال کنید.
اگر وظیفه ای دارید مانند 
، سپس درس شما "مشتقات توابع ساده مثلثاتی".
مثالهای مرحله به مرحله - نحوه یافتن مشتق
مثال 3مشتق یک تابع را بیابید
راه حل. ما قسمتهای عبارت تابع را تعیین می کنیم: کل عبارت نشان دهنده محصول است و عوامل آن مجموع هستند ، در مورد دوم یکی از اصطلاحات دارای یک عامل ثابت است. ما قاعده تمایز محصول را اعمال می کنیم: مشتق حاصل از حاصلضرب دو تابع برابر است با مجموع محصولات هر یک از این توابع با مشتق کارکرد دیگر:
در مرحله بعد ، ما قانون تمایز مجموع را اعمال می کنیم: مشتق مجموع جبری توابع برابر است با مجموع جبری مشتقات این توابع. در مورد ما ، در هر مجموع ، عبارت دوم با علامت منفی. در هر مجموع ما هم یک متغیر مستقل را مشاهده می کنیم که مشتق آن برابر یک است و هم یک ثابت (عدد) که مشتق آن برابر صفر است. بنابراین ، "x" برای ما به یک و منفی 5 - به صفر تبدیل می شود. در عبارت دوم ، "x" در 2 ضرب می شود ، بنابراین ما دو را در همان واحد مشتق "x" ضرب می کنیم. ما گرفتیم مقادیر زیرمشتقات:
مشتقات یافت شده را در مجموع محصولات جایگزین می کنیم و مشتق کل تابع مورد نیاز را به شرط مشکل بدست می آوریم:
مثال 4مشتق یک تابع را بیابید
راه حل. ما ملزم به یافتن مشتق ضریب هستیم. ما فرمول تمایز ضریب را به کار می بریم: مشتق ضریب دو تابع برابر کسری است که شمارنده آن تفاوت بین محصولات مخرج و مشتق عدد و شمارنده و مشتق عدد است. مخرج ، و مخرج مربع شمارنده قبلی است. ما گرفتیم:
ما قبلاً مشتق عوامل در شمارنده را در مثال 2 پیدا کرده ایم. فراموش نکنید که محصولی که دومین عامل شمارنده در مثال فعلی است با علامت منفی گرفته شده است:
اگر به دنبال راه حل هایی برای مشکلاتی هستید که در آنها باید مشتق یک تابع را پیدا کنید ، جایی که انبوهی از ریشه ها و درجات وجود دارد ، مانند ، برای مثال ، 
سپس به کلاس خوش آمدید "مشتق از مجموع کسرهای دارای قدرت و ریشه" .
در صورت نیاز به کسب اطلاعات بیشتر در مورد مشتقات سینوس ، کسینوس ، مماس و دیگران توابع مثلثاتی، یعنی وقتی عملکرد به نظر می رسد ، سپس درس شما "مشتقات توابع ساده مثلثاتی" .
مثال 5مشتق یک تابع را بیابید
راه حل. در این تابع ، ما محصولی را می بینیم که یکی از عوامل آن ریشه مربع متغیر مستقل است که مشتق آن را در جدول مشتقات آشنا کرده ایم. با توجه به قاعده تمایز محصول و مقدار جدول مشتق ریشه مربع ، به دست می آوریم:
مثال 6مشتق یک تابع را بیابید
راه حل. در این تابع ، ما ضریب را می بینیم که تقسیم آن ریشه مربع متغیر مستقل است. با توجه به قاعده تمایز ضریب ، که در مثال 4 تکرار و اعمال کردیم ، و مقدار جدول مشتق ریشه مربع ، بدست می آوریم:
برای خلاص شدن از کسر موجود در شمارنده ، عدد و مخرج را در ضرب کنید.
با سلام خدمت خوانندگان عزیز پس از خواندن مقاله ، احتمالاً یک س logicalال منطقی برای شما پیش می آید: "چرا ، در واقع ، این امر ضروری است؟" به همین دلیل ، در ابتدا لازم می دانم که پیشاپیش اطلاع دهم که روش مورد نظر برای حل معادلات درجه دوم بیشتر از جنبه اخلاقی و زیبایی شناسی ریاضیات ارائه شده است ، نه از جنبه کاربرد خشک عملی. همچنین پیشاپیش از خوانندگانی که گفته های آماتوری من را غیرقابل قبول می دانند عذرخواهی می کنم. بنابراین ، بیایید با میکروسکوپ شروع به چکش زدن در ناخن کنیم.
ما یک معادله جبری درجه دوم (همچنین مربع است) به شکل کلی داریم:
اجازه دهید از حرکت کنیم معادله ی درجه دوبه یک تابع درجه دوم:
جایی که ، بدیهی است ، لازم است چنین مقادیری از آرگومان تابع را پیدا کنیم ، که در آن صفر برگردد.
به نظر می رسد که شما فقط باید معادله درجه دوم را با استفاده از قضیه Vieta یا از طریق ممیز حل کنید. اما به این دلیل نیست که ما اینجا جمع شده ایم. بگذارید به جای آن مشتق بگیریم! 
بر اساس تعریف معنای فیزیکی مشتق مرتبه اول ، واضح است که با جایگزینی استدلال در تابع بدست آمده در بالا ، ما (به ویژه) سرعتتابع در نقطه مشخص شده توسط این آرگومان تغییر می کند.
این بار ما "سرعت سرعت" تغییر عملکرد (یعنی شتاب) در یک نقطه خاص پس از تجزیه و تحلیل کمی دریافتی ، می توان نتیجه گرفت که "شتاب" یک ثابت است که به استدلال تابع بستگی ندارد - این را به خاطر بسپارید.
حال بیایید کمی فیزیک و حرکت یکنواخت شتاب زده (RUD) را به خاطر بسپاریم. چه چیزی در زرادخانه خود داریم؟ درست است ، یک فرمول برای تعیین مختصات حرکت در طول محور در طول حرکت مورد نظر وجود دارد:
زمان کجاست ، سرعت اولیه است ، شتاب است.
به راحتی می توان دریافت که عملکرد اولیه ما دقیقاً RUD است.
آیا فرمول جابجایی کنترل دریچه گاز نتیجه حل معادله درجه دوم نیست؟
خیر فرمول دریچه گاز در بالا در واقع نتیجه گرفتن انتگرال از فرمول سرعت در PRUD است. یا می توانید مساحت شکل را از نمودار پیدا کنید. یک ذوزنقه در آنجا بیرون می آید.
فرمول جابجایی در دریچه گاز از حل هیچ معادله درجه دوم ناشی نمی شود. این بسیار مهم است ، در غیر این صورت هیچ نکته ای در مقاله وجود نخواهد داشت.
اکنون باید بفهمیم که چه چیزی چیست و چه چیزی را از دست می دهیم.
ما در حال حاضر "شتاب" داریم - این مشتق مرتبه دوم است که در بالا مشتق شده است. اما برای بدست آوردن سرعت اولیه ، ما باید به طور کلی هر یک (اجازه دهید آن را به عنوان) تعیین کنیم و آن را به عنوان مشتق مرتبه اول جایگزین کنیم - زیرا سرعت مورد نظر خواهد بود.
در این صورت این سisesال پیش می آید که کدام را باید مصرف کنید؟ بدیهی است ، به طوری که سرعت اولیه برابر با صفر باشد ، به طوری که فرمول "جابجایی در دریچه گاز" به این صورت می شود:
در این مورد ، معادله را برای جستجو ایجاد می کنیم:
[جایگزین مشتق مرتبه اول]
ریشه چنین معادله ای از نظر احترام عبارت است از:
و مقدار تابع اصلی با چنین استدلالی برابر خواهد بود: 
اکنون آشکار می شود که:
بیایید همه "قطعات پازل" را کنار هم قرار دهیم:
بنابراین ما راه حل نهایی مشکل را پیدا کردیم. به طور کلی ، ما آمریکا را کشف نکردیم - ما فقط به یک فرمول برای حل معادله درجه دوم از طریق متمایز کننده به صورت دوراهی رسیدیم. این هیچ معنی عملی ندارد (تقریباً به همان روش ، می توان معادلات درجه اول / دوم هر شکل (نه لزوماً عمومی)) را حل کرد.
هدف این مقاله ، به ویژه ، افزایش علاقه به تجزیه و تحلیل حصیر است. توابع و ریاضیات به طور کلی
پیتر با شما بود ، از توجه شما متشکرم!
تعریف.اجازه دهید تابع \ (y = f (x) \) در فاصله زمانی حاوی نقطه \ (x_0 \) تعریف شود. به آرگومان یک \ \ \ \ Delta x \) بدهید تا از این فاصله خارج نشود. افزایش مربوطه تابع \ (\ Delta y \) (هنگام انتقال از نقطه \ (x_0 \) به نقطه \ (x_0 + \ Delta x \)) را پیدا کرده و نسبت \ (\ frac (\ Delta y) ( \ دلتا x) \). اگر محدودیتی برای این نسبت در \ (\ Delta x \ rightarrow 0 \) وجود داشته باشد ، محدودیت تعیین شده تابع مشتق\ (y = f (x) \) در نقطه \ (x_0 \) و نشان دهنده \ (f "(x_0) \).
$$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) = f "(x_0) $$
نماد y "اغلب برای نشان دادن مشتق استفاده می شود. توجه داشته باشید که y" = f (x) یک تابع جدید است ، اما به طور طبیعی مربوط به تابع y = f (x) است که در تمام نقاط x که در آن حد فوق وجود دارد تعریف شده است. ... این تابع به این صورت نامیده می شود: مشتق تابع y = f (x).
معنی هندسی مشتقبه شرح زیر است. اگر نمودار تابع y = f (x) در نقطه ای با آبسیسه x = a مماس باشد ، نه موازی محور y ، f (a) شیب مماس را بیان می کند:
\ (k = f "(a) \)
از آنجا که \ (k = tg (a) \) ، برابری \ (f "(a) = tg (a) \) صادق است.
اکنون اجازه دهید تعریف مشتق را از نظر برابری های تقریبی تفسیر کنیم. اجازه دهید تابع \ (y = f (x) \) دارای مشتق در یک نقطه خاص \ (x \) باشد:
$$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) = f "(x) $$
این بدان معناست که در نزدیکی نقطه x برابری تقریبی \ (\ frac (\ دلتا y) (\ دلتا x) \ تقریبا f "(x) \) برآورده می شود ، یعنی \ (\ دلتا y \ تقریبا f" (x) \ cdot \ دلتا x \). معنای معنادار برابری تقریبی بدست آمده به شرح زیر است: افزایش تابع "تقریباً متناسب" با افزایش استدلال است و ضریب تناسب ، مقدار مشتق در نقطه x معین است. به عنوان مثال ، تابع \ (y = x ^ 2 \) برابری تقریبی را برآورده می کند ((\ Delta y \ approx 2x \ cdot \ Delta x \). اگر تعریف مشتق را با دقت تحلیل کنیم ، متوجه می شویم که حاوی الگوریتمی برای یافتن آن است.
بیایید آن را فرمول بندی کنیم.
چگونه می توان مشتق تابع y = f (x) را پیدا کرد؟
1. مقدار \ (x \) را ثابت کنید ، \ (f (x) \) را پیدا کنید
2. استدلال \ (x \) را افزایش دهید \ (\ Delta x \) ، به نقطه جدیدی بروید \ (x + \ Delta x \) ، \ (f (x + \ Delta x) \) را پیدا کنید
3. افزایش تابع را بیابید: \ (\ Delta y = f (x + \ Delta x) - f (x) \)
4. رابطه \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \) را ایجاد کنید
5. $$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) $$ را محاسبه کنید
این محدوده مشتق تابع در نقطه x است.
اگر تابع y = f (x) مشتق در نقطه x داشته باشد ، در نقطه x متغیر نامیده می شود. روش یافتن مشتق تابع y = f (x) نامیده می شود تفکیکتابع y = f (x).
اجازه دهید س questionال زیر را مورد بحث قرار دهیم: چگونه تداوم و متفاوت بودن یک تابع در نقطه ای به یکدیگر مرتبط است؟
بگذارید تابع y = f (x) در نقطه x متغیر باشد. سپس می توان یک مماس بر روی نمودار تابع در نقطه M (x؛ f (x)) کشید و به یاد بیاورید ، شیب مماس f "(x) است. چنین نمودار نمی تواند" نقطه M ، یعنی تابع باید در نقطه x پیوسته باشد.
این یک استدلال "نوک انگشت" بود. بگذارید استدلال دقیق تری ارائه دهیم. اگر تابع y = f (x) در نقطه x متغیر باشد ، برابری تقریبی \ (\ Delta y \ approx f "(x) \ cdot \ Delta x \) صادق است. اگر در این برابری \ (\ Delta x \) به صفر می رسد ، سپس \ (\ دلتا y \) به صفر می رسد ، و این شرط تداوم تابع در نقطه است.
بنابراین، اگر تابع در نقطه x متغیر باشد ، در این نقطه نیز پیوسته است.
این صحبت درست نیست. به عنوان مثال: تابع y = | x | در همه جا پیوسته است ، به ویژه در نقطه x = 0 ، اما مماس با نمودار تابع در "نقطه اتصال" (0 ؛ 0) وجود ندارد. اگر در نقطه ای مماس نمی تواند به نمودار تابع کشیده شود ، در این مرحله هیچ مشتق وجود ندارد.
یک مثال دیگر. تابع \ (y = \ sqrt (x) \) روی خط عدد کامل ، از جمله در نقطه x = 0. پیوسته است و مماس بر نمودار عملکرد در هر نقطه ، از جمله در نقطه x = 0 وجود دارد . اما در این نقطه مماس با محور y منطبق است ، یعنی عمود بر محور آبسیسه است ، معادله آن شکل x = 0 دارد. برای چنین خط مستقیم شیب وجود ندارد ، بنابراین هیچ \ ( f "(0) \)
بنابراین ، ما با ویژگی جدیدی از یک تابع آشنا شدیم - تفاوت پذیری. و چگونه می توان از نمودار عملکرد ، در مورد تفاوت آن نتیجه گرفت؟
در واقع پاسخ فوق دریافت شده است. اگر در نقطه ای از نمودار تابع می توان مماسی را ترسیم کرد که عمود بر محور آبسیسه نیست ، در این مرحله تابع قابل تغییر است. اگر در نقطه ای مماس بر نمودار تابع وجود نداشته باشد یا عمود بر محور آبسیسه باشد ، در این مرحله تابع قابل تغییر نیست.
قوانین تمایز
عملیات یافتن مشتق نامیده می شود تفکیک... هنگام انجام این عملیات ، اغلب باید با ضرایب ، مجموع ، محصولات توابع و همچنین با "توابع عملکرد" ، یعنی توابع پیچیده کار کنید. بر اساس تعریف مشتق ، می توان قوانین تمایزی را استخراج کرد که این کار را تسهیل می کند. اگر C یک عدد ثابت است و f = f (x) ، g = g (x) برخی از توابع متغیر هستند ، موارد زیر درست است قوانین تمایز:
$$ f "_x (g (x)) = f" _g \ cdot g "_x $ $
چرا زنان خواب بارداری را می بینند
هورمون مصنوعی تستوسترون سیپیونات
آیا نمونه کار مورد نیاز است یا داوطلبانه؟