حل توابع مثلثاتی. روش های اساسی برای حل معادلات مثلثاتی

معادلات مثلثاتی - موضوع ساده ترین نیست. آنها به آنها آسیب می رسانند.) به عنوان مثال، چنین:

sIN 2 X + COS3X \u003d CTG5X

گناه (5x + π / 4) \u003d CTG (2x-π / 3)

sINX + COS2X + TG3X \u003d CTG4X

و غیره...

اما این (و همه دیگران) هیولا های مثلثاتی سه ویژگی مشترک و اجباری دارند. اول - شما باور نخواهید کرد - توابع مثلثاتی در معادلات وجود دارد.) دوم: تمام عبارات با XOM واقع شده اند در این توابع. و فقط وجود دارد! اگر xe به نظر می رسد جایی خارج از، به عنوان مثال، sin2x + 3x \u003d 3، این در حال حاضر یک معادله نوع مخلوط است. چنین معادلات نیاز به یک رویکرد فردی دارند. در اینجا ما آنها را در نظر نمی گیریم.

معادلات بد در این درس ما تصمیم نمی گیریم.) در اینجا ما با آن برخورد خواهیم کرد به سادگی معادلات مثلثاتی ساده. چرا؟ بله، چون تصمیم هر چیزی معادلات مثلثاتی متشکل از دو مرحله است. در مرحله اول، معادله بد توسط تحولات مختلف متفاوت به ساده می شود. در دوم - این ساده ترین معادله است. راه دیگری نیست.

بنابراین، اگر در مرحله دوم مشکلی دارید - مرحله اول منطقی نیست.)

معادلات مثلثاتی اولیه چیست؟

sinx \u003d A.

cosx \u003d A.

tgx \u003d A.

ctgx \u003d A.

اینجا ولی هر عدد را نشان می دهد هر

به هر حال، در داخل تابع آن ممکن است خالص X باشد، اما برخی از عبارت، نوع:

cOS (3x + π / 3) \u003d 1/2

و غیره. این زندگی را پیچیده می کند، اما بر روش حل معادله مثلثاتی تاثیر نمی گذارد.

چگونه می توان معادلات مثلثاتی را حل کرد؟

معادلات مثلثاتی را می توان به دو روش حل کرد. راه اول: با استفاده از منطق و دایره مثلثاتی. ما به این ترتیب نگاه خواهیم کرد. راه دوم این است که از حافظه و فرمول استفاده کنید - در درس بعدی در نظر بگیرید.

راه اول روشن، قابل اعتماد است، و فراموش کردن آن دشوار است.) مناسب برای حل و معادلات مثلثاتی، و نابرابری ها، و همه نوع نمونه های غیر استاندارد حیله گر است. منطق حافظه قوی تر!)

ما معادلات را با استفاده از یک دایره مثلثاتی حل می کنیم.

ما منطق ابتدایی و توانایی استفاده از دایره مثلثاتی را روشن می کنیم. نمی دانم چگونه!؟ با این حال ... برای شما در مثلثات دشوار است ...) اما مشکل نیست. نگاهی به درس "دایره مثلثاتی ...... چه چیزی است؟" و "شمارش گوشه ها در دایره مثلثاتی". همه چیز ساده است. بر خلاف کتاب های درسی ...)

آه، شما می دانید!؟ و حتی "کار عملی با یک دایره مثلثاتی" را تسلط داد! تبریک می گویم این موضوع به شما نزدیک و قابل فهم خواهد بود.) چه چیزی به خصوص خوشحال است، دایره مثلثاتی به چه معنائی که تصمیم می گیرید، بی تفاوت است. سینوس، کوزینوس، مماس، Kothanns - همه چیز یکی است. اصل تصمیم گیری یکی.

در اینجا ما هر معادله مثلثاتی اولیه را می گیریم. حداقل این:

cosx \u003d 0.5

ما باید X را پیدا کنیم اگر ما زبان انسانی صحبت کنیم، شما نیاز دارید پیدا کردن زاویه (X)، کسی که Cosine 0.5 است.

چگونه ما قبلا از دایره استفاده کردیم؟ ما زاویه ای روی آن را نقاشی کردیم. در درجه یا رادیان. و بلافاصله وفاداری توابع مثلثاتی این زاویه. حالا ما بر خلاف آن انجام خواهیم داد. یک کوزین را روی یک دایره بکشید، برابر با 0.5 و بلافاصله دیدن زاویه این فقط برای نوشتن پاسخ باقی می ماند. بله، بله!

ما یک دایره را قرعه کشی می کنیم و کوزین را برابر با 0.5 علامت گذاری می کنیم. البته در محور کوزین. مثل این:

در حال حاضر زاویه ای را که به ما این کوزین می دهد، قرعه کشی کنید. ماوس بر روی ماوس بر روی تصویر (یا ضربه بزنید تصاویر بر روی قرص)، و دیدن این همان گوشه ایکس.

Kosinus کدام زاویه 0.5 است؟

x \u003d π / 3

cos 60 درجه \u003d cos ( π / 3.) = 0,5

کسی که شک و تردید می کند، بله ... آنها می گویند که آیا دایره ارزشمند بود، زمانی که همه چیز روشن است ... شما می توانید، البته، خرد کن ...) اما واقعیت این است که این یک پاسخ اشتباه است. بلکه کافی نیست ارتباطات دایره درک می کند که هنوز هم یک دسته از زاویه وجود دارد که همچنین یک کوزین برابر با 0.5 است.

اگر طرف متحرک OA را عوض کنید به نوبه خود کامل، نقطه A به موقعیت اصلی خود بروید. با همان کسیست که برابر با 0.5 است. کسانی که. زاویه تغییر خواهد کرد 360 درجه یا 2π رادیان، و کوزین - نه زاویه جدید 60 درجه + 360 ° \u003d 420 درجه نیز راه حل معادله ما خواهد بود، زیرا

چنین انقلابی کامل می تواند با یک مجموعه بی نهایت پوشش داده شود ... و تمام این گوشه های جدید راه حل معادله مثلثاتی ما خواهد بود. و آنها باید در پاسخ به نحوی نوشته شوند. همه چيز. در غیر این صورت تصمیم گیری بله نیست ...)

ریاضیات می تواند آن را ساده و ظریف انجام دهد. در یک پاسخ کوتاه نوشتن مجموعه بی نهایت راه حل ها این همان چیزی است که به نظر می رسد معادله ما:

x \u003d π / 3 + 2π n، n ∈ z

رمزگشایی هنوز نوشتن بی مفهوم این بهتر است از احمقانه برخی از خزه های اسرار آمیز، درست است؟)

π / 3. - این همان زاویه ای است که ما هستیم اره در دایره I. دفاع روی میز کوزین

2π. - این یک نوبت کامل در رادیان است.

n. - این تعداد کامل، I.E. عدد صحیح انقلاب. واضح است که n. این ممکن است برابر با 0، ± 1، ± 2، ± 2، ± 3 .... و غیره باشد. همانطور که توسط یک رکورد مختصر نشان داده شده است:

n ∈ z.

n. متعلق به ( ∈ ) عدد صحیح را تنظیم کنید ( Z. ) به هر حال، به جای نامه n. نامه ها می توانند مورد استفاده قرار گیرند k، m، t و غیره.

این مطلب به این معنی است که شما می توانید هر عدد صحیح را بگیرید. n. . اگرچه -3، حداقل 0، هر چند +55. آنچه شما می خواهید اگر این شماره را جایگزین کنید تا یک پاسخ را بنویسید، یک زاویه خاص دریافت کنید که قطعا راه حل معادله خشن ما باشد.)

یا، به عبارت دیگر، x \u003d π / 3 - این تنها ریشه یک مجموعه بی نهایت است. برای به دست آوردن تمام ریشه های دیگر، کافی برای π / 3 اضافه کردن هر تعداد از انقلاب های کامل ( n. ) در رادیان کسانی که. 2π n. رادیان

همه چيز؟ نه من گران است برای کشش. بهتر است به یاد داشته باشید.) ما تنها بخشی از پاسخ به معادله ما دریافت کردیم. این قسمت اول تصمیم من این را بنویسید:

x 1 \u003d π / 3 + 2π n، n ∈ z

x 1 - نه یک ریشه، این یک سری کامل از ریشه های ثبت شده به صورت مختصر است.

اما هنوز هم زاویه ای وجود دارد که همزمان به مبلغ 0.5 برابر می شود!

بیایید به تصویر ما بازگردیم، که پاسخ آن ثبت شد. اینجا او است:

ما ماوس را به تصویر می بریم و دیدن گوشه دیگری که همچنین Cosine 0.5 را می دهد. فکر میکنی چه چیزی برابر است؟ مثلث یکسان هستند ... بله! این برابر با گوشه است h. ، فقط در جهت منفی به تعویق افتاد. این گوشه -h اما X قبلا محاسبه شده است. π / 3 یا60 درجه بنابراین، شما می توانید با خیال راحت بنویسید:

x 2 \u003d - π / 3

خوب، البته، تمام زاویه هایی را که از طریق Revs Full به دست می آید اضافه کنید:

x 2 \u003d - π / 3 + 2π n، n ∈ z

حالا همه چیز.) با توجه به دایره مثلثاتی، ما اره (که البته درک می کند)) همه چيز گوشه ها یک کوزین برابر با 0.5 است. و آنها این گوشه ها را به صورت مختصر ریاضی ثبت کردند. پاسخ دو مجموعه بی پایان از ریشه ها را معلوم کرد:

x 1 \u003d π / 3 + 2π n، n ∈ z

x 2 \u003d - π / 3 + 2π n، n ∈ z

این جواب درست است.

امیدوارم اصل کلی حل معادلات مثلثاتی با استفاده از یک دایره قابل فهم است ما در مورد دایره کوزین (سینوس، مماس، متناقض) از معادله مشخص شده، ما زاویه های مربوطه را می گیریم و پاسخ را می نویسیم. البته، شما باید بدانید که کدام یک از گوشه ها چیست اره در یک دایره گاهی اوقات خیلی واضح نیست خوب، من گفتم که منطق در اینجا مورد نیاز است.)

به عنوان مثال، ما یک معادله مثلثاتی دیگر را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد:

من از شما می خواهم که در نظر داشته باشید که شماره 0.5 تنها تعداد ممکن در معادلات نیست!) من فقط آن را برای آن راحت تر از ریشه ها و کسرها می نویسم.

ما بر اساس اصل کلی کار می کنیم. ما یک دایره، علامت گذاری می کنیم (در محور سینوس ها، البته!) 0.5. تمام گوشه های مربوط به این سینوسی را در یک بار قرعه کشی کنید. ما این تصویر را دریافت می کنیم:

اول ما با زاویه برخورد می کنیم h. در سه ماهه اول به یاد داشته باشید جدول سینوس و تعیین مقدار این زاویه. این یک چیز ساده است:

x \u003d π / 6

ما در مورد تجدید نظر کامل به یاد می آوریم و با یک وجدان تمیز، اولین سری از پاسخ ها را بنویسید:

x 1 \u003d π / 6 + 2π n، n ∈ z

نیمی از پرونده ساخته شده است. اما اکنون لازم است تعیین شود زاویه دوم ... این هنوز هم در Cosine است، بله ... اما منطق ما را نجات خواهد داد! چگونه می توان زاویه دوم را تعیین کرد از طریق X؟ بله آسان! مثلث در تصویر یکسان و زاویه قرمز است h. برابر با گوشه h. . این تنها از زاویه π در جهت منفی شمارش می شود. بنابراین، قرمز.) و ما به یک زاویه نیاز داریم، به درستی شمارش می شود، از نیمه محور مثبت، I.E. از زاویه 0 درجه.

ما مکان نما را به نقاشی می آوریم و همه چیز را می بینیم. اولین گوشه ای که من برداشتم تا تصویر را پیچیده نکنم. زاویه مورد علاقه ما (سبز رنگ شده) برابر است:

Π - H.

IX ما این را می دانیم π / 6. . این تبدیل شد، گوشه دوم خواهد بود:

π - π / 6 \u003d 5π / 6

ما دوباره در مورد افزودن انقلابهای کامل به یاد می آوریم و سری دوم پاسخ را بنویسیم:

x 2 \u003d 5π / 6 + 2π n، n ∈ z

این همه است یک پاسخ کامل از دو سری ریشه ها تشکیل شده است:

x 1 \u003d π / 6 + 2π n، n ∈ z

x 2 \u003d 5π / 6 + 2π n، n ∈ z

معادلات با مماس و KotanGent را می توان به راحتی با اصل کلی حل معادلات مثلثاتی حل کرد. اگر، البته، شما می دانید که چگونه می توانید از تانگ و cotangenes در یک دایره مثلثاتی استفاده کنید.

در نمونه های بالا، از مقدار جدول سینوسی و کوزین استفاده کردم: 0.5. کسانی که. یکی از آن ارزش هایی است که دانش آموز می داند باید. و اکنون فرصت های ما را گسترش خواهیم داد تمام مقادیر دیگر. تصمیم می گیرید تا حل شود!)

بنابراین، اجازه دهید ما باید چنین معادله مثلثاتی را حل کنیم:

هیچ ارزشی از کوزین در جداول کوتاه وجود ندارد. این واقعیت وحشتناک را به صورت سرد نادیده می گیرد. ما یک دایره را قرعه کشی می کنیم، علامت گذاری بر روی محور Cosine 2/3 و زاویه های مناسب را قرعه کشی می کنیم. ما این تصویر را دریافت می کنیم.

ما درک می کنیم، با زاویه در سه ماهه اول شروع می شود. برای دانستن آنچه برابر با X است، من بلافاصله پاسخ را نوشتم! ما نمی دانیم ... شکست!؟ آرامش ریاضیات خود را در مشکل پرتاب نمی شود! او Arkkosinus را در این مورد اختراع کرد. نمیدانم؟ بیهوده پیدا کردن، این بسیار ساده تر از شما فکر می کنید. تحت این لینک، نه یک طلسم احاطه شده در مورد "توابع مثلثاتی معکوس" وجود ندارد ... در این موضوع غیر ضروری است.

اگر می دانید، کافی است که به خودتان بگویید: "X زاویه ای است که Cosin 2/3 است." و بلافاصله، صرفا تعریف Arkkosinus، شما می توانید نوشت:

ما در مورد Revs اضافی به یاد می آوریم و به آرامی سری اول ریشه های معادله مثلثاتی را بنویسیم:

x 1 \u003d arccos 2/3 + 2π n، n ∈ z

سری دوم ریشه ها، برای زاویه دوم، تقریبا اتوماتیک نوشته شده است. همه ی یکسان تنها X (Arccos 2/3) با منهای منفی خواهد بود:

x 2 \u003d - arccos 2/3 + 2π n، n ∈ z

و همه چیز! این جواب درست است. حتی ساده تر از مقادیر جدولی. من نیازی به یادآوری چیزی ندارم.) به هر حال، توجه بیشتری به این تصویر با تصمیم از طریق Arkkosinus نه، در اصل، از تصویر برای معادله Cosx \u003d 0.5 متفاوت نیست.

دقیقا! اصل کلی در عمومی! من به طور خاص دو تصویر تقریبا همان تصاویر را نقاشی کردم. دایره گوشه گوشه را نشان می دهد h. توسط کوزین او. قرص یک کوزین است یا نه - دایره ناشناخته است. این زاویه، π / 3 یا arcsinus، آنچه ما می توانیم تصمیم بگیریم.

سینوس همان آهنگ است مثلا:

ما دوباره یک دایره را جلب می کنیم، سینوس را برابر با 1/3 علامت گذاری می کنیم، گوشه ها را قرعه کشی کنیم. به نظر می رسد این تصویر:

و دوباره تصویر تقریبا همان معادله است sINX \u003d 0.5. شب در سه ماهه اول از گوشه شروع می شود. IX چیست، اگر سینوس آن 1/3 باشد؟ بدون مشکل!

در اینجا اولین بسته ریشه است:

x 1 \u003d arcsin 1/3 + 2π n، n ∈ z

ما با زاویه دوم درک می کنیم. در مثال با مقدار جدول 0.5، برابر بود:

Π - H.

بنابراین در اینجا او دقیقا همان خواهد بود! فقط x یکی دیگر است، Arcsin 1/3. پس چی؟ شما می توانید با خیال راحت بسته دوم ریشه ها را بنویسید:

x 2 \u003d π - arcsin 1/3 + 2π n، n ∈ z

این مطلقا جواب درست است. اگر چه به نظر می رسد بسیار آشنا نیست. اما روشن است، امیدوارم.)

این همان چیزی است که معادلات مثلثاتی با یک دایره حل می شوند. این مسیر بصری است و درک می کند. این کسی است که در معادلات مثلثاتی با انتخاب ریشه ها در یک فاصله زمانی خاص، در نابرابری های مثلثاتی، صرفه جویی می کند - آنهایی که تقریبا همیشه در یک دایره حل می شوند. به طور خلاصه، در هر وظیفه ای که کمی با استاندارد پیچیده است.

دانش را در عمل اعمال کنید؟)

حل معادلات مثلثاتی:

اول، آسان تر، درست در این درس.

در حال حاضر جامع تر.

نکته: در اینجا شما باید در دایره منعکس کنید. شخصا.)

و در حال حاضر به طور ناگهانی ساده ... آنها هنوز پرونده های خصوصی نامیده می شوند.

sINX = 0

sINX = 1

کاسک = 0

کاسک = -1

نکته: در اینجا لازم است که در یک دایره، جایی که دو سری از پاسخ ها، و جایی که یکی از آنها ... و چگونه به جای دو قسمت از پاسخ به نوشتن یکی. بله، به طوری که هیچ ریشه ای از مقدار بی نهایت از دست رفته است!)

خوب، کاملا ساده):

sINX = 0,3

کاسک = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

نکته: در اینجا شما باید بدانید که Arksinus چیست، Arkkosinus؟ ArcTangent، Arkkothangence چیست؟ ساده ترین تعاریف. اما به یاد داشته باشید هر مقدار جدول لازم نیست!)

پاسخ، البته، در ناراحتی):

x 1 \u003d arcsin0.3 + 2π n، n ∈ z
x 2 \u003d π - arcsin0،3 + 2

نه همه چیز کار نمی کند؟ این اتفاق می افتد دوباره درس بخوانید فقط متفکر (چنین کلمه ای منسوخ وجود دارد ...) و بر روی لینک ها کلیک کنید. لینک اصلی در مورد دایره است. بدون او در مثلثات - چگونه راه حرکت با چشم های چشم بسته است. گاهی اوقات معلوم می شود.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من یک زن و شوهر دیگر از سایت های جالب برای شما دارم.)

این را می توان در حل نمونه ها قابل دسترسی و پیدا کردن سطح خود را. تست با بررسی فوری یادگیری - با علاقه!)

شما می توانید با ویژگی ها و مشتقات آشنا شوید.

هنگام حل بسیاری وظایف ریاضیبه خصوص کسانی که تا 10 کلاس مواجه می شوند، روش اقدامات انجام شده، که منجر به هدف می شود، قطعا تعریف شده است. چنین اهدافی عبارتند از: به عنوان مثال، معادلات خطی و مربع، نابرابری های خطی و مربع، معادلات کسر و معادلات که به مربع کاهش می یابد. اصل راه حل موفقیت آمیز هر یک از وظایف ذکر شده به شرح زیر است: لازم است که چگونه نوع حل مسئله مربوطه مربوط می شود، برای به یاد آوردن توالی لازم از اقداماتی که منجر به نتیجه مطلوب می شود، I.E. پاسخ، و انجام این اقدامات.

واضح است که موفقیت یا شکست در حل یک یا چند کار دیگر به طور عمده به چگونگی به درستی نوع معادله تعریف می شود که به درستی به درستی دنباله ای از تمام مراحل راه حل آن، تولید می شود. البته، لازم است که مهارت های انجام تحولات و محاسبات مشابه را داشته باشیم.

وضعیت دیگر با آن به دست می آید معادلات مثلثاتی این واقعیت را تعیین کنید که معادله مثلثاتی است، کاملا دشوار نیست. در هنگام تعیین دنباله ای از اقداماتی که به پاسخ صحیح منجر می شود، مشکلات ظاهر می شود.

با توجه به ظاهر معادله، گاهی اوقات تعیین نوع آن دشوار است. و نه شناخت نوع معادله، تقریبا غیرممکن است که از چندین فرمول مثلثاتی که لازم است انتخاب شود.

برای حل معادله مثلثاتی، باید سعی کنید:

1. ایجاد تمام توابع موجود در معادله به "همان گوشه ها"؛
2. یک معادله را به "توابع یکسان" ایجاد کنید؛
3. قسمت چپ معادله کارخانه را بگذارید و غیره

در نظر گرفتن روش های اساسی برای حل معادلات مثلثاتی.

I. آوردن ساده ترین معادلات مثلثاتی

راه حل اسکیت

مرحله 1 عملکرد مثلثاتی را از طریق اجزای شناخته شده بیان کنید.

گام 2. یک تابع استدلال را با فرمول ها پیدا کنید:

cos x \u003d a؛ x \u003d ± arccos a + 2πn، n Еz.

گناه x \u003d a؛ x \u003d (-1) n arcsin a + πn، n є z.

tg x \u003d a؛ x \u003d arctg a + πn، n є z.

ctg x \u003d a؛ x \u003d arcctg a + πn، n є z.

مرحله 3 یک متغیر ناشناخته پیدا کنید

مثال.

2 COS (3x - π / 4) \u003d -√2.

تصمیم گیری

1) COS (3x - π / 4) \u003d -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 \u003d ± (π - π / 4) + 2πn، n є z؛

3x - π / 4 \u003d ± 3π / 4 + 2πn، n є Z.

3) 3x \u003d ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn، n є z؛

x \u003d ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3، n є z؛

x \u003d ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3، n є z.

پاسخ: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3، n є z.

دوم جایگزینی متغیر

راه حل اسکیت

مرحله 1 یک معادله را به فرم جبری نسبت به یکی از توابع مثلثاتی ایجاد کنید.

گام 2. تابع نتیجه متغیر t را تعیین کنید (در صورت لزوم، محدودیت های T را وارد کنید).

مرحله 3 ثبت و حل معادله جبری نتیجه.

مرحله 4 یک جایگزین کنید

مرحله 5 ساده ترین معادله مثلثاتی را حل کنید.

مثال.

2COS 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0.

تصمیم گیری

1) 2 (1 - SIN 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0؛

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 \u003d 0.

2) اجازه دهید گناه (x / 2) \u003d t، جایی که | t | ≤ 1.

3) 2T 2 + 5T + 3 \u003d 0؛

t \u003d 1 یا e \u003d -3/2، شرایط را برآورده نمی کند | T | ≤ 1.

4) گناه (x / 2) \u003d 1.

5) x / 2 \u003d π / 2 + 2πn، n є z؛

x \u003d π + 4πn، n є z.

پاسخ: x \u003d π + 4πn، n є z.

III روش کاهش ترتیب معادله

راه حل اسکیت

مرحله 1 جایگزین این معادله خطی با استفاده از فرمول کاهش درجه برای این موضوع:

sIN 2 x \u003d 1/2 · (1 - cos 2x)؛

cos 2 x \u003d 1/2 · (1 + cos 2x)؛

tG 2 X \u003d (1 - COS 2X) / (1 + COS 2X).

گام 2. معادله به دست آمده را با استفاده از روش های I و II حل کنید.

مثال.

cOS 2X + COS 2 X \u003d 5/4.

تصمیم گیری

1) COS 2X + 1/2 · (1 + COS 2X) \u003d 5/4.

2) COS 2X + 1/2 + 1/2 · COS 2X \u003d 5/4؛

3/2 · COS 2X \u003d 3/4؛

2x \u003d ± π / 3 + 2πn، n є z؛

x \u003d ± π / 6 + πn، n є z.

پاسخ: x \u003d ± π / 6 + πn، n є z.

IV معادلات یکنواخت

راه حل اسکیت

مرحله 1 این معادله را به فرم برسانید

الف) یک گناه x + b cos x \u003d 0 (معادله همگن درجه اول)

یا به دید

ب) یک گناه 2 x + b sin x · x + c cos 2 x \u003d 0 (معادله همگن درجه دوم).

گام 2. تقسیم هر دو بخش از معادله

a) x ≠ 0؛

ب) cos 2 x ≠ 0؛

و معادله نسبت به TG X را دریافت کنید:

a) a tg x + b \u003d 0؛

ب) TG 2 X + B Arctg X + C \u003d 0.

مرحله 3 معادله را با روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 \u003d 0.

تصمیم گیری

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) \u003d 0؛

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x \u003d 0؛

sIN 2 X + 3SIN X · COS X - 4COS 2 X \u003d 0 / COS 2 x ≠ 0.

2) TG 2 X + 3TG X - 4 \u003d 0.

3) اجازه دهید TG x \u003d t، سپس

t 2 + 3T - 4 \u003d 0؛

t \u003d 1 یا t \u003d -4، سپس

tG X \u003d 1 یا TG X \u003d -4.

از اولین معادله x \u003d π / 4 + πn، n є z؛ از معادله دوم x \u003d -Ararctg 4 + Πk، k є z.

پاسخ: x \u003d π / 4 + πn، n є z؛ x \u003d -Ararctg 4 + πk، k є z.

V. روش تبدیل معادله با استفاده از فرمول های مثلثاتی

راه حل اسکیت

مرحله 1 با استفاده از انواع فرمول های مثلثاتی، این معادله را به معادله هدایت می کند، روش های حل شده I، II، III، IV را حل می کند.

گام 2. روش های شناخته شده معادلات را حل کنید.

مثال.

sIN X + SIN 2X + SIN 3X \u003d 0.

تصمیم گیری

1) (SIN X + SIN 3X) + SIN 2X \u003d 0؛

2sin 2x · COS X + SIN 2X \u003d 0.

2) sIN 2X · (2COS X + 1) \u003d 0؛

sIN 2X \u003d 0 یا 2COS X + 1 \u003d 0؛

از اولین معادله 2x \u003d π / 2 + πn، n є z؛ از معادله دوم COS X \u003d -1/2.

ما x \u003d π / 4 + πn / 2، n є z داریم؛ از معادله دوم x \u003d ± (π - π / 3) + 2πk، k є z.

به عنوان یک نتیجه، x \u003d π / 4 + πn / 2، n є z؛ x \u003d ± 2π / 3 + 2πk، k є z.

پاسخ: x \u003d π / 4 + πn / 2، n є z؛ x \u003d ± 2π / 3 + 2πk، k є z.

مهارت ها و مهارت ها برای حل معادلات مثلثاتی بسیار است مهم، توسعه آنها نیاز به تلاش های قابل توجهی دارد، هر دو دانش آموز و از معلم.

با راه حل معادلات مثلثاتی، بسیاری از چالش های کلیتریمتری، فیزیک و دیگران با روند حل این وظایف همراه است، همانطور که بود، بسیاری از دانش و مهارت ها را که در مطالعه عناصر مثلثات خریداری می شود، به دست می آورد.

معادلات مثلثاتی یک مکان مهم در روند یادگیری ریاضیات و توسعه شخصیت را به طور کلی اشغال می کنند.

سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنید؟
برای دریافت کمک معلم - ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است!

سایت، با کپی کامل یا جزئی مرجع مادی به منبع اصلی مورد نیاز است.

درس برای کاربرد یکپارچه دانش.

اهداف درس

1. روش های مختلفی برای حل معادلات مثلثاتی را در نظر بگیرید.
2. توسعه توانایی های خلاق دانش آموز با حل معادلات.
3. فراموشی دانشجویان به کنترل خود، ارتباط برقرار کردن، خودآموزی از فعالیت های مطالعه آن.

تجهیزات: صفحه نمایش، پروژکتور، مواد مرجع.

در طول کلاس ها

مکالمه مقدماتی

روش اصلی حل معادلات مثلثاتی، اطلاعاتی از ساده ترین آنها است. در این مورد، روش های معمول استفاده می شود، به عنوان مثال، تجزیه چند ضلعی، و همچنین تکنیک های مورد استفاده تنها برای حل معادلات مثلثاتی استفاده می شود. به عنوان مثال، این تکنیک ها بسیار زیاد است، به عنوان مثال، جایگزینی های مختلف مثلثاتی، تبدیل زاویه، تبدیل توابع مثلثاتی. استفاده ناسازگار از هر گونه تحول مثلثاتی معمولا معادله را ساده نمی کند، و باعث می شود فاجعه دشوار باشد. به منظور کار به طور کلی، راه حل های معادله، راه اندازی مسیر معادله را به ساده ترین، باید اول از همه تجزیه و تحلیل زاویه - استدلال از توابع مثلثاتی که در معادله گنجانده شده است.

امروز ما در مورد روش های حل معادلات مثلثاتی صحبت خواهیم کرد. روش به درستی انتخاب شده اغلب به شما اجازه می دهد تا به طور قابل توجهی ساده راه حل را ساده کنید، بنابراین تمام روش هایی که ما آموخته ایم، همیشه باید توجه خود را در منطقه برای حل معادلات مثلثاتی مناسب ترین روش را حفظ کنیم.

دوم (با کمک پروژکتور، ما روش های حل معادلات را تکرار می کنیم.)

1. روش آوردن معادله مثلثاتی به جبری.

لازم است تمام توابع مثلثاتی را از طریق یک، با همان استدلال بیان کنید. این را می توان با کمک هویت اصلی مثلثاتی و عواقب آن انجام داد. ما معادله را با یک تابع مثلثاتی دریافت می کنیم. پس از پذیرش آن برای ناشناخته جدید، ما یک معادله جبری دریافت می کنیم. ما آن را ریشه می کنیم و به ناشناخته قدیمی بازگشته ایم، ساده ترین معادلات مثلثاتی را حل می کنیم.

2. روش تجزیه بر ضرب سازی ها.

برای تغییر گوشه ها، فرمول ها، مبالغ و تفاوت های استدلال، و همچنین فرمول برای تحول مقدار (تفاوت) توابع مثلثاتی در کار و بالعکس، اغلب مفید هستند.

sIN X + SIN 3X \u003d SIN 2X + SIN4X

3. روش معرفی یک زاویه اضافی.

4. روش استفاده از جایگزینی جهانی.

معادلات فرم F (SINX، COSX، TGX) \u003d 0 به جبری به جبری کاهش می یابد با کمک یک تعویض مثلثاتی جهانی

بیان سینوس، کوزین و مماس از طریق نیمه زاویه نیمه. این تکنیک می تواند به معادله مرتبه بالا منجر شود. راه حل دشوار است

مفهوم حل معادلات مثلثاتی.

• برای حل معادله مثلثاتی، آن را به یک یا چند معادلات اصلی مثلثاتی تبدیل کنید. راه حل معادله مثلثاتی در نهایت به حل چهار معادلات اصلی مثلثاتی می شود.

راه حل معادلات اصلی مثلثاتی.

• 4 نوع معادلات اصلی مثلثاتی وجود دارد:
• گناه x \u003d a؛ cos x \u003d a
• tg x \u003d a؛ ctg x \u003d a
• راه حل معادلات اصلی مثلثاتوری، توجه به مقررات مختلف "X" را بر روی یک دایره واحد، و همچنین استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب) است.
• مثال 1. SIN X \u003d 0.866. با استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب)، شما یک پاسخ دریافت خواهید کرد: x \u003d π / 3. یک دایره واحد پاسخ دیگری می دهد: 2π / 3. به یاد داشته باشید: تمام توابع مثلثاتی دوره ای هستند، یعنی مقادیر آنها تکرار می شوند. به عنوان مثال، فرکانس SIN X و COS X 2πn است و فرکانس TG X و CTG X برابر با πn است. بنابراین، پاسخ به شرح زیر نوشته شده است:
• x1 \u003d π / 3 + 2πn؛ x2 \u003d 2π / 3 + 2πn.
• مثال 2. cos x \u003d -1/2. با استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب)، پاسخ را دریافت خواهید کرد: x \u003d 2π / 3. یک دایره واحد پاسخ دیگری می دهد: -2π / 3.
• x1 \u003d 2π / 3 + 2π؛ x2 \u003d -2π / 3 + 2π.
• مثال 3. TG (x - π / 4) \u003d 0.
• پاسخ: x \u003d π / 4 + πn.
• مثال 4. CTG 2X \u003d 1.732.
• پاسخ: x \u003d π / 12 + πn.

تحول مورد استفاده در حل معادلات مثلثاتی.

• برای تبدیل معادلات مثلثاتی، تحولات جبری (تجزیه چندگانه، اعطای اعضای همگن، و غیره) و هویت های مثلثاتی استفاده می شود.
• مثال 5. استفاده از هویت های مثلثاتی، معادله SIN X + SIN 2X + SIN 3x \u003d 0 به معادله 4COS X * SIN (3x / 2) * COS (x / 2) \u003d 0. تبدیل شده است. بنابراین، معادلات اصلی مثلثاتی زیر باید حل شود: cos x \u003d 0؛ گناه (3x / 2) \u003d 0؛ cos (x / 2) \u003d 0.

• پیدا کردن زاویه با توجه به مقادیر شناخته شده توابع.

  • قبل از مطالعه روش های حل معادلات مثلثاتی، شما باید یاد بگیرید چگونه به پیدا کردن گوشه ها بر اساس مقادیر شناخته شده توابع. این را می توان با استفاده از جدول تبدیل یا ماشین حساب انجام داد.
  • مثال: COS X \u003d 0.732. ماشین حساب پاسخ X \u003d 42.95 درجه را ارائه می دهد. یک دایره تک زاویه های اضافی را می دهد که Cosin نیز برابر با 0.732 است.

• تصمیم گیری در یک دایره تک.

  • شما می توانید راه حل های معادله مثلثاتی را روی یک دایره تک به تعویق بیندازید. راه حل های معادله مثلثاتی در یک دایره تک، رأس چند ضلعی درست است.
  • به عنوان مثال: راه حل های x \u003d π / 3 + πn / 2 در یک دایره تک رأی از مربع هستند.
  • به عنوان مثال: راه حل های x \u003d π / 4 + πn / 3 در یک دایره تک رأی از شش ضلعی صحیح هستند.

• روش ها برای حل معادلات مثلثاتی.

  • اگر این معادله مثلثاتی شامل تنها یک تابع مثلثاتی باشد، این معادله را به عنوان یک معادله مثلثاتی اساسی تعیین کنید. اگر این معادله شامل دو یا چند توابع مثلثاتی باشد، پس از آن 2 روش برای حل چنین معادله وجود دارد (بسته به احتمال تحول آن).
    • روش 1
  • این معادله را به معادله فرم تبدیل کنید: f (x) * g (x) * h (x) \u003d 0، جایی که f (x)، g (x)، h (x) معادلات اصلی مثلثاتی است.
  • مثال 6. 2COS X + SIN 2X \u003d 0. (0< x < 2π)
  • تصمیم گیری با استفاده از فرمول یک زاویه زاویه دوگانه 2x \u003d 2 * SIN X * COS X، SIN 2X را جایگزین کنید.
  • 2sos X + 2 * SIN X * COS X \u003d 2COS X * (SIN X + 1) \u003d 0. اکنون دو معادله اصلی مثلثاتی را انتخاب کنید: COS X \u003d 0 و (SIN X + 1) \u003d 0.
  • مثال 7. COS X + COS 2X + COS 3X \u003d 0. (0< x < 2π)
  • راه حل: استفاده از هویت های مثلثاتی، تبدیل این معادله به معادله فرم: COS 2X (2COS X + 1) \u003d 0. اکنون دو معادله اصلی مثلثاتی را انتخاب کنید: COS 2X \u003d 0 و (2COS X + 1) \u003d 0.
  • مثال 8. SIN X - SIN 3X \u003d COS 2X. (0< x < 2π)
  • راه حل: استفاده از هویت های مثلثاتی، تبدیل این معادله به معادله فرم: -COS 2X * (2Sin X + 1) \u003d 0. اکنون دو معادله اصلی مثلثاتی را انتخاب کنید: COS 2X \u003d 0 و (2Sin X + 1) \u003d 0 .
    • روش 2
  • تبدیل این معادله مثلثاتی را به معادله حاوی تنها یک تابع مثلثاتی تبدیل کنید. سپس این تابع مثلثاتی را به برخی از ناشناخته ها جایگزین کنید، به عنوان مثال، t (sin x \u003d t؛ cos x \u003d t؛ cos 2x \u003d t، tg x \u003d t؛ tg (x / 2) \u003d t، و غیره).
  • مثال 9. 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x \u003d 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • تصمیم گیری در این معادله، جایگزین (cos ^ 2 x) (1 - sin ^ 2 x) (با توجه به هویت). معادله تبدیل شده است:
  • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 \u003d 0. جایگزین SIN X در T. در حال حاضر معادله به نظر می رسد: 5T ^ 2 - 4T - 9 \u003d 0. این یک معادله مربع دارای دو ریشه است: T1 \u003d -1 و T2 \u003d 9/5. ریشه دوم T2 مقادیر ارزش های تابع را برآورده نمی کند (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • مثال 10. TG X + 2 TG ^ 2 X \u003d CTG X + 2
  • تصمیم گیری جایگزین TG X در T. معادله اولیه را در فرم زیر حذف کنید: (2T + 1) (T ^ 2 - 1) \u003d 0. اکنون پیدا کنید، و سپس X را برای T \u003d TG X پیدا کنید.

انطباق با حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک سیاست حفظ حریم خصوصی را توسعه داده ایم که توضیح می دهد که چگونه ما اطلاعات خود را ذخیره و ذخیره می کنیم. لطفا سیاست حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و اگر سوالی دارید، به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

تحت اطلاعات شخصی، داده می شود که می تواند برای شناسایی یک فرد خاص یا برقراری ارتباط با آن استفاده شود.

شما می توانید درخواست کنید که اطلاعات شخصی خود را در هر زمانی که با ما ارتباط برقرار کنید، ارائه دهید.

در زیر برخی از نمونه هایی از انواع اطلاعات شخصی است که ما می توانیم جمع آوری کنیم و چگونه می توانیم از چنین اطلاعاتی استفاده کنیم.

اطلاعات شخصی ما جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که شما یک برنامه را در سایت ترک می کنید، می توانیم اطلاعات مختلفی را جمع آوری کنیم، از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره

همانطور که از اطلاعات شخصی شما استفاده می کنیم:

• ما اطلاعات شخصی را جمع آوری کردیم، به ما اجازه می دهیم با شما تماس بگیریم و به پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و نزدیکترین رویدادها گزارش دهیم.
• از زمان به زمان، ما می توانیم از اطلاعات شخصی خود برای ارسال اطلاعیه ها و پیام های مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین می توانیم از اطلاعات شخصی برای اهداف داخلی مانند حسابرسی، تجزیه و تحلیل داده ها و مطالعات مختلف برای بهبود خدمات خدمات ما استفاده کنیم و توصیه هایی را برای خدمات ما ارائه دهیم.
• اگر در جوایز، رقابت یا رویداد تحریک کننده مشابه شرکت کنید، می توانیم از اطلاعاتی که برای مدیریت چنین برنامه هایی ارائه می دهیم استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعاتی را که از طرف شما به اشخاص ثالث دریافت می کنیم را نشان نمی دهیم.

استثناها:

• اگر لازم باشد - مطابق با قانون، روند قضایی، در محاکمه، و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های دولتی دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - برای نشان دادن اطلاعات شخصی شما. ما همچنین می توانیم اطلاعاتی در مورد شما را افشا کنیم اگر تعریف کنیم که چنین افشای ضروری یا مناسب برای هدف امنیت، حفظ قانون و نظم، یا سایر موارد مهم اجتماعی است.
• در مورد سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ما می توانیم اطلاعات شخصی را که مربوط به شخص ثالث را جمع آوری می کنیم، انتقال دهیم - یک جانشین.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما در حال انجام اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - برای محافظت از اطلاعات شخصی شما از از دست دادن، سرقت و استفاده بی نظیر، و همچنین دسترسی غیر مجاز، افشای، افشا و تخریب.

انطباق با حریم خصوصی شما در سطح شرکت

به منظور اطمینان از اینکه اطلاعات شخصی شما امن است، ما هنجار محرمانه بودن و امنیت را به کارکنانمان به ارمغان می آوریم و به شدت از اجرای اقدامات محرمانه ای پیروی می کنیم.