مشتق 2x ریشه x. مشتق تابع مختلط نمونه های راه حل
تعریف.اجازه دهید تابع \(y = f(x) \) در بازه‌ای حاوی نقطه \(x_0 \) در داخل تعریف شود. اجازه دهید \(\Delta x\) را به آرگومان افزایش دهیم تا از این فاصله خارج نشویم. افزایش مربوط به تابع \(\Delta y \) (هنگام عبور از نقطه \(x_0 \) به نقطه \(x_0 + \Delta x\)) را پیدا کنید و رابطه \(\frac(\Delta y را بسازید. )(\Delta x) \). اگر حدی از این رابطه در \(\Delta x \right arrow 0\) وجود داشته باشد، حد مشخص شده فراخوانی می شود. تابع مشتق\(y=f(x) \) در نقطه \(x_0 \) و نشان دهنده \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
نماد y اغلب برای نشان دادن مشتق استفاده می شود. توجه داشته باشید که y" = f(x) یک تابع جدید است، اما به طور طبیعی با تابع y = f(x) مرتبط است، که در تمام نقاط x تعریف شده است که در آن حد بالا وجود دارد. این تابع به این صورت نامیده می شود: مشتق تابع y \u003d f (x).
معنای هندسی مشتقشامل موارد زیر است. اگر یک مماس که با محور y موازی نیست را بتوان به نمودار تابع y \u003d f (x) در نقطه ای با آبسیسا x \u003d a رسم کرد، آنگاه f (a) شیب مماس را بیان می کند:
\(k = f"(a)\)
از آنجایی که \(k = tg(a) \)، برابری \(f"(a) = tg(a) \) صادق است.
و اینک تعریف مشتق را بر حسب برابری های تقریبی تفسیر می کنیم. اجازه دهید تابع \(y = f(x) \) در یک نقطه خاص \(x\) مشتق داشته باشد:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
این بدان معنی است که در نزدیکی نقطه x، برابری تقریبی \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \)، یعنی \(\Delta y \حدود f"(x) \cdot \Deltax\). معنای معنی دار تساوی تقریبی به دست آمده به این صورت است: افزایش تابع "تقریباً متناسب" با افزایش استدلال است و ضریب تناسب مقدار مشتق در یک نقطه معین x است. برای مثال، برای تابع \(y = x^2 \) برابری تقریبی \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x\) درست است. اگر تعریف مشتق را به دقت تجزیه و تحلیل کنیم، متوجه خواهیم شد که حاوی الگوریتمی برای یافتن آن است.
بیایید آن را فرمول بندی کنیم.
چگونه مشتق تابع y \u003d f (x) را پیدا کنیم؟
1. مقدار \(x\) را ثابت کنید، \(f(x) \) را پیدا کنید
2. آرگومان \(x \) \(\Delta x\) را افزایش دهید، به نقطه جدید \(x+ \Delta x\) بروید، \(f(x+ \Delta x) \) را پیدا کنید.
3. افزایش تابع را پیدا کنید: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. رابطه \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) را بنویسید.
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ را محاسبه کنید
این حد مشتق تابع x است.
اگر تابع y = f(x) در نقطه x مشتق داشته باشد، در نقطه x به آن متمایز می گویند. روش یافتن مشتق تابع y \u003d f (x) نامیده می شود تفکیکتوابع y = f(x).
اجازه دهید در مورد سوال زیر بحث کنیم: پیوستگی و تمایز یک تابع در یک نقطه چگونه به هم مرتبط هستند؟
اجازه دهید تابع y = f(x) در نقطه x قابل تفکیک باشد. سپس می توان یک مماس به نمودار تابع در نقطه M رسم کرد (x; f (x)) و به یاد بیاورید که شیب مماس برابر با f "(x) است. چنین نموداری نمی تواند در نقطه "شکست" نقطه M، یعنی تابع باید در x پیوسته باشد.
این استدلال "روی انگشتان" بود. اجازه دهید استدلال دقیق تری ارائه کنیم. اگر تابع y = f(x) در نقطه x قابل تمایز باشد، آنگاه برابری تقریبی \(\Delta y \تقریبا f"(x) \cdot \Delta x \) برقرار است. صفر و سپس \(\Delta y \) ) نیز به سمت صفر میل خواهد کرد و این شرط تداوم تابع در یک نقطه است.
بنابراین، اگر تابعی در نقطه x قابل تمایز باشد، در آن نقطه نیز پیوسته است.
این صحبت درست نیست. به عنوان مثال: تابع y = |x| در همه جا پیوسته است، به ویژه در نقطه x = 0، اما مماس بر نمودار تابع در "نقطه مشترک" (0؛ 0) وجود ندارد. اگر در نقطه ای نتوان مماس بر نمودار تابع رسم کرد، در این نقطه مشتقی وجود ندارد.
یک مثال دیگر تابع \(y=\sqrt(x) \) در کل خط عددی، از جمله در نقطه x = 0، پیوسته است. و مماس بر نمودار تابع در هر نقطه وجود دارد، از جمله در نقطه x = 0 اما در این نقطه مماس با محور y منطبق است ، یعنی بر محور آبسیسا عمود است ، معادله آن به شکل x \u003d 0 است. برای چنین خط مستقیمی شیبی وجود ندارد ، به این معنی که \ ( f "(0) \) نیز وجود ندارد
بنابراین، ما با ویژگی جدیدی از یک تابع - تفاوت پذیری آشنا شدیم. چگونه می توان تشخیص داد که یک تابع از نمودار یک تابع قابل تمایز است؟
پاسخ در واقع در بالا داده شده است. اگر در نقطه‌ای بتوان بر نمودار تابعی که بر محور x عمود نیست مماس رسم کرد، در این نقطه تابع قابل تمایز است. اگر در نقطه ای مماس بر نمودار تابع وجود نداشته باشد یا بر محور x عمود باشد، در این نقطه تابع قابل تمایز نیست.
قوانین تمایز
عملیات یافتن مشتق نامیده می شود تفکیک. هنگام انجام این عملیات، اغلب باید با ضریب، مجموع، حاصلضرب توابع و همچنین با "توابع توابع" یعنی توابع پیچیده کار کنید. بر اساس تعریف مشتق، می‌توان قواعد تمایز را استخراج کرد که این کار را تسهیل می‌کند. اگر C یک عدد ثابت است و f=f(x)، g=g(x) برخی از توابع قابل تمایز هستند، موارد زیر صحیح هستند. قوانین تمایز:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
جدول مشتقات برخی از توابع
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = ax^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \راست) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\n a) $$$$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $حل مسائل یا مثال های فیزیکی در ریاضیات بدون آگاهی از مشتقات و روش های محاسبه آن مطلقاً غیرممکن است. مشتق یکی از مهمترین مفاهیم تحلیل ریاضی است. تصمیم گرفتیم مقاله امروز را به این موضوع اساسی اختصاص دهیم. مشتق چیست، معنای فیزیکی و هندسی آن چیست، مشتق تابع را چگونه محاسبه کنیم؟ همه این سؤالات را می توان در یکی ترکیب کرد: چگونه مشتق را بفهمیم؟
معنای هندسی و فیزیکی مشتق
اجازه دهید یک تابع وجود داشته باشد f(x) ، در فواصل زمانی داده شده است (الف، ب) . نقاط x و x0 متعلق به این بازه هستند. وقتی x تغییر می کند، خود تابع تغییر می کند. تغییر آرگومان - تفاوت مقادیر آن x-x0 . این تفاوت به صورت نوشته شده است دلتا x و افزایش آرگومان نامیده می شود. تغییر یا افزایش یک تابع، تفاوت بین مقادیر تابع در دو نقطه است. تعریف مشتق:
مشتق تابع در یک نقطه، حد نسبت افزایش تابع در یک نقطه معین به افزایش آرگومان زمانی است که دومی به سمت صفر میل می کند.
در غیر این صورت می توان اینگونه نوشت:
یافتن چنین حدی چه فایده ای دارد؟ اما کدام یک:
مشتق یک تابع در یک نقطه برابر است با مماس زاویه بین محور OX و مماس بر نمودار تابع در یک نقطه معین.
معنای فیزیکی مشتق: مشتق زمانی مسیر برابر است با سرعت حرکت مستقیم.
در واقع، از دوران مدرسه، همه می دانند که سرعت یک مسیر خصوصی است. x=f(t) و زمان تی . سرعت متوسط در یک بازه زمانی معین:
برای اطلاع از سرعت حرکت در یک زمان t0 شما باید حد را محاسبه کنید:
قانون اول: ثابت را خارج کنید
ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد. علاوه بر این، باید انجام شود. هنگام حل مثال هایی در ریاضیات، به عنوان یک قاعده در نظر بگیرید - اگر می توانید عبارت را ساده کنید، حتما ساده کنید .
مثال. بیایید مشتق را محاسبه کنیم:
قانون دوم: مشتق از مجموع توابع
مشتق مجموع دو تابع برابر است با مجموع مشتقات این توابع. همین امر در مورد مشتق تفاوت توابع نیز صادق است.
ما برای این قضیه اثبات نمی کنیم، بلکه یک مثال عملی را در نظر می گیریم.
مشتق یک تابع را پیدا کنید:
قانون سوم: مشتق حاصلضرب توابع
مشتق حاصل ضرب دو تابع متمایز با فرمول محاسبه می شود:
مثال: مشتق یک تابع را پیدا کنید:
راه حل: 
در اینجا مهم است که در مورد محاسبه مشتقات توابع پیچیده بگوییم. مشتق یک تابع مختلط برابر است با حاصل ضرب مشتق این تابع نسبت به آرگومان میانی توسط مشتق آرگومان میانی نسبت به متغیر مستقل.
در مثال بالا با عبارت زیر مواجه می شویم:
در این حالت، آرگومان میانی 8 برابر به توان پنجم است. برای محاسبه مشتق چنین عبارتی ابتدا مشتق تابع خارجی را با توجه به آرگومان میانی در نظر می گیریم و سپس با توجه به متغیر مستقل در مشتق خود آرگومان میانی ضرب می کنیم.
قانون چهارم: مشتق ضریب دو تابع
فرمول تعیین مشتق ضریب دو تابع:
ما سعی کردیم در مورد مشتقات برای آدمک ها از ابتدا صحبت کنیم. این موضوع آنقدر که به نظر می رسد ساده نیست، پس هشدار دهید: در مثال ها اغلب مشکلاتی وجود دارد، بنابراین هنگام محاسبه مشتقات مراقب باشید.
در صورت داشتن هرگونه سوال در این زمینه و موضوعات دیگر، می توانید با خدمات دانشجویی تماس بگیرید. مطابق کوتاه مدتما به شما کمک می کنیم تا سخت ترین کنترل و مقابله با وظایف را حل کنید، حتی اگر قبلاً با محاسبه مشتقات سروکار نداشته اید.
که بر روی آن ساده ترین مشتقات را تجزیه و تحلیل کردیم و همچنین با قوانین تمایز و چند تکنیک برای یافتن مشتقات آشنا شدیم. بنابراین، اگر با مشتقات توابع خیلی خوب نیستید یا برخی از نکات این مقاله کاملاً واضح نیست، ابتدا درس بالا را بخوانید. لطفاً با حال و هوای جدی هماهنگ شوید - مطالب آسان نیست، اما من همچنان سعی خواهم کرد آن را ساده و واضح ارائه دهم.
در عمل، شما باید اغلب با مشتق یک تابع پیچیده سر و کار داشته باشید، حتی می توانم بگویم تقریباً همیشه، زمانی که به شما وظایفی برای یافتن مشتقات داده می شود.
ما در جدول به قانون (شماره 5) برای تمایز یک تابع پیچیده نگاه می کنیم:
می فهمیم. اول از همه، بیایید نگاهی به نماد بیاندازیم. در اینجا ما دو تابع داریم - و، و تابع، به طور مجازی، در تابع تودرتو است. تابعی از این نوع (زمانی که یک تابع درون دیگری تودرتو باشد) تابع پیچیده نامیده می شود.
من تابع را فراخوانی خواهم کرد عملکرد خارجی، و عملکرد - عملکرد داخلی (یا تو در تو)..
! این تعاریف نظری نیستند و نباید در طراحی نهایی تکالیف ظاهر شوند. من از عبارات غیررسمی "عملکرد خارجی"، "عملکرد داخلی" استفاده می کنم تا درک مطلب را برای شما آسانتر کنم.
برای روشن شدن وضعیت، در نظر بگیرید:
مثال 1
مشتق تابع را بیابید
در زیر سینوس، ما نه فقط حرف "x"، بلکه کل عبارت را داریم، بنابراین یافتن مشتق بلافاصله از جدول کار نخواهد کرد. ما همچنین متوجه می شویم که اعمال چهار قانون اول در اینجا غیرممکن است، به نظر می رسد تفاوت وجود دارد، اما واقعیت این است که "پاره کردن" سینوس غیرممکن است:
در این مثال، قبلاً از توضیحات من، به طور شهودی مشخص است که تابع یک تابع پیچیده است و چند جمله ای یک تابع داخلی (جاسازی) و یک تابع خارجی است.
گام اول، که باید هنگام یافتن مشتق یک تابع مختلط انجام شود درک کنید که کدام تابع داخلی و کدام خارجی است.
چه زمانی مثال های سادهبه نظر واضح است که یک چند جمله ای زیر سینوس تو در تو قرار دارد. اما اگر واضح نباشد چه؟ چگونه مشخص کنیم که دقیقا کدام تابع خارجی و کدام داخلی است؟ برای انجام این کار، من پیشنهاد می کنم از تکنیک زیر استفاده کنید، که می تواند به صورت ذهنی یا پیش نویس انجام شود.
بیایید تصور کنیم که باید مقدار عبارت را با یک ماشین حساب محاسبه کنیم (به جای یک، هر عددی می تواند وجود داشته باشد).
اول چی حساب کنیم؟ اول از همهشما باید عمل زیر را انجام دهید: بنابراین چند جمله ای یک تابع داخلی خواهد بود: 
دوماشما باید پیدا کنید، بنابراین سینوس - یک تابع خارجی خواهد بود: 
بعد از ما فهمیدنبا توابع درونی و بیرونی، زمان اعمال قانون تمایز تابع مرکب فرا رسیده است 
.
ما شروع به تصمیم گیری می کنیم. از درس چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ما به یاد می آوریم که طراحی راه حل هر مشتقی همیشه به این صورت شروع می شود - عبارت را در پرانتز قرار می دهیم و یک ضربه را در بالا سمت راست قرار می دهیم:
اولینمشتق تابع خارجی (سینوس) را پیدا می کنیم، به جدول مشتقات توابع ابتدایی نگاه می کنیم و متوجه می شویم که . همه فرمول های جدولی قابل اجرا هستند حتی اگر "x" با یک عبارت پیچیده جایگزین شود، در این مورد:
توجه داشته باشید که عملکرد درونی تغییر نکرده است، ما آن را لمس نمی کنیم.
خب این کاملا واضحه
نتیجه اعمال فرمول 
تمیز شبیه این است:
عامل ثابت معمولاً در ابتدای عبارت قرار می گیرد:
در صورت وجود هرگونه سوء تفاهم، تصمیم را روی کاغذ بنویسید و توضیحات را دوباره بخوانید.
مثال 2
مشتق تابع را بیابید
مثال 3
مشتق تابع را بیابید
مثل همیشه می نویسیم: 
ما متوجه می شویم که کجا یک عملکرد خارجی داریم و کجا یک عملکرد داخلی. برای این کار، سعی می کنیم (به صورت ذهنی یا پیش نویس) مقدار عبارت را برای . ابتدا چه کاری باید انجام شود؟ اول از همه، شما باید محاسبه کنید که پایه برابر است با:، به این معنی که چند جمله ای تابع داخلی است: 
و تنها پس از آن توان انجام می شود، بنابراین، تابع توانیک تابع خارجی است: 
طبق فرمول 
، ابتدا باید مشتق تابع خارجی، در این مورد، درجه را پیدا کنید. ما به دنبال فرمول مورد نظر در جدول هستیم:. باز هم تکرار می کنیم: هر فرمول جدولی نه تنها برای "x"، بلکه برای یک عبارت پیچیده نیز معتبر است. بنابراین، نتیجه اعمال قانون تمایز یک تابع پیچیده است 
بعد:
باز هم تاکید می کنم که وقتی مشتق تابع بیرونی را می گیریم، تابع درونی تغییر نمی کند: 
اکنون باقی مانده است که یک مشتق بسیار ساده از تابع داخلی پیدا کنیم و نتیجه را کمی "شانه" کنیم:
مثال 4
مشتق تابع را بیابید
این یک مثال برای تصمیم مستقل(پاسخ در پایان درس).
برای تثبیت درک مشتق یک تابع پیچیده، بدون نظر مثالی می زنم، سعی کنید خودتان آن را بفهمید، دلیل، تابع خارجی کجا و تابع داخلی کجاست، چرا کارها به این ترتیب حل می شوند؟
مثال 5
الف) مشتق تابع را بیابید
ب) مشتق تابع را بیابید
مثال 6
مشتق تابع را بیابید 
در اینجا ما یک ریشه داریم و برای اینکه ریشه را متمایز کنیم باید به صورت درجه نشان داده شود. بنابراین، ابتدا تابع را به شکل مناسب برای تمایز می آوریم:
با تجزیه و تحلیل تابع به این نتیجه می رسیم که مجموع سه جمله یک تابع درونی و توان یک تابع خارجی است. ما قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال می کنیم 
:
درجه دوباره به عنوان یک رادیکال (ریشه) نشان داده می شود، و برای مشتق تابع داخلی، یک قانون ساده را برای متمایز کردن مجموع اعمال می کنیم:
آماده. همچنین می توانید عبارت را به یک مخرج مشترک در پرانتز بیاورید و همه چیز را به صورت یک کسری بنویسید. البته زیبا است، اما وقتی مشتقات طولانی دست و پا گیر به دست می آید، بهتر است این کار را انجام ندهید (گیج شدن، اشتباه غیر ضروری آسان است و بررسی آن برای معلم ناخوشایند خواهد بود).
مثال 7
مشتق تابع را بیابید
این یک مثال برای حل خود است (پاسخ آخر درس).
جالب است بدانید که گاهی اوقات به جای قاعده افتراق یک تابع مختلط، می توان از قانون افتراق یک ضریب استفاده کرد. 
، اما چنین راه حلی مانند یک انحراف غیر معمول به نظر می رسد. در اینجا یک مثال معمولی است:
مثال 8
مشتق تابع را بیابید
در اینجا می توانید از قانون تمایز ضریب استفاده کنید 
، اما یافتن مشتق از طریق قانون تمایز یک تابع پیچیده بسیار سودآورتر است:
ما تابع را برای تمایز آماده می کنیم - علامت منهای مشتق را خارج می کنیم و کسینوس را به صورت شمارنده می کنیم:
کسینوس یک تابع درونی است، توان یک تابع خارجی است.
بیایید از قانون خود استفاده کنیم 
:
ما مشتق تابع داخلی را پیدا می کنیم، کسینوس را به عقب برگردانیم:
آماده. در مثال مورد بررسی، مهم است که در علائم سردرگم نشوید. به هر حال، سعی کنید آن را با قانون حل کنید 
، پاسخ ها باید مطابقت داشته باشند.
مثال 9
مشتق تابع را بیابید
این یک مثال برای حل خود است (پاسخ آخر درس).
تا اینجا مواردی را در نظر گرفتیم که در یک تابع پیچیده فقط یک تودرتو داشتیم. در کارهای عملی، اغلب می توانید مشتقاتی را پیدا کنید، جایی که، مانند عروسک های تودرتو، یکی در داخل دیگری، 3 یا حتی 4-5 تابع به طور همزمان تو در تو قرار می گیرند.
مثال 10
مشتق تابع را بیابید
ما پیوست های این تابع را درک می کنیم. ما سعی می کنیم عبارت را با استفاده از مقدار تجربی ارزیابی کنیم. چگونه روی یک ماشین حساب حساب کنیم؟
ابتدا باید پیدا کنید، به این معنی که آرکسین عمیق ترین لانه است:
سپس این کمان وحدت باید مجذور شود:
و در نهایت، ما هفت را به قدرت بالا می بریم: 
یعنی در این مثال ما سه تابع مختلف و دو تودرتو داریم، در حالی که درونی ترین تابع آرکسین و بیرونی ترین تابع تابع نمایی است.
ما شروع به تصمیم گیری می کنیم
طبق قاعده 
ابتدا باید مشتق تابع بیرونی را بگیرید. در جدول مشتقات نگاه می کنیم و مشتق را پیدا می کنیم تابع نمایی: تنها تفاوت این است که به جای "x" داریم بیان پیچیده، که اعتبار این فرمول را بی اعتبار نمی کند. بنابراین، نتیجه اعمال قانون تمایز یک تابع پیچیده است 
بعد.
عملیات یافتن مشتق را تمایز می گویند.
در نتیجه حل مشکلات یافتن مشتقات برای ساده ترین توابع (و نه خیلی ساده)، با تعریف مشتق به عنوان حد نسبت افزایش به افزایش استدلال، جدولی از مشتقات ظاهر شد و دقیقاً قوانین خاصتفکیک. اسحاق نیوتن (1643-1727) و گوتفرید ویلهلم لایب نیتس (1646-1716) اولین کسانی بودند که در زمینه یافتن مشتقات کار کردند.
بنابراین، در زمان ما، برای یافتن مشتق هر تابع، نیازی به محاسبه حد فوق الذکر نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان نیست، بلکه فقط باید از جدول استفاده کرد. مشتقات و قواعد تمایز. الگوریتم زیر برای یافتن مشتق مناسب است.
برای یافتن مشتق، به یک عبارت زیر علامت سکته مغزی نیاز دارید توابع ساده را تجزیه کنیدو تعیین کنید چه اقداماتی را انجام دهید (محصول، جمع، ضریب)این توابع مرتبط هستند. علاوه بر این، مشتق‌های توابع ابتدایی را در جدول مشتقات و فرمول‌های مشتقات حاصل، مجموع و ضریب را در قوانین تمایز پیدا می‌کنیم. جدول مشتقات و قوانین تمایز پس از دو مثال اول آورده شده است.
مثال 1مشتق تابع را بیابید
راه حل. از قواعد تمایز در می یابیم که مشتق مجموع توابع، مجموع مشتقات توابع است، یعنی.
از جدول مشتقات در می یابیم که مشتق «X» برابر یک و مشتق سینوس کسینوس است. ما این مقادیر را در مجموع مشتقات جایگزین می کنیم و مشتق مورد نیاز شرط مسئله را پیدا می کنیم:
مثال 2مشتق تابع را بیابید
راه حل. ما به عنوان یک مشتق از مجموع متمایز می کنیم که در آن جمله دوم با یک عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد:
اگر هنوز سؤالاتی در مورد اینکه چیزی از کجا آمده است وجود دارد، به عنوان یک قاعده، پس از خواندن جدول مشتقات و ساده ترین قوانین تمایز، روشن می شوند. همین الان به سراغ آنها می رویم.
جدول مشتقات توابع ساده
| 1. مشتق ثابت (عدد). هر عدد (1، 2، 5، 200...) که در عبارت تابع باشد. همیشه صفر یادآوری این نکته بسیار مهم است، زیرا اغلب اوقات لازم است | |
| 2. مشتق متغیر مستقل. اغلب "x". همیشه برابر با یک. این نیز مهم است که به یاد داشته باشید | |
| 3. مشتق درجه. هنگام حل مسائل، باید ریشه های غیر مربع را به توان تبدیل کنید. | |
| 4. مشتق یک متغیر به توان -1 | |
| 5. مشتق ریشه دوم | |
| 6. مشتق سینوسی | |
| 7. مشتق کسینوس |  |
| 8. مشتق مماس |  |
| 9. مشتق کوتانژانت |  |
| 10. مشتق آرکسین |  |
| 11. مشتق کسینوس قوس |  |
| 12. مشتق مماس قوس |  |
| 13. مشتق مماس معکوس |  |
| 14. مشتق لگاریتم طبیعی | |
| 15. مشتق تابع لگاریتمی |  |
| 16. مشتق توان | |
| 17. مشتق تابع نمایی |
قوانین تمایز
| 1. مشتق حاصل از جمع یا تفاوت |  |
| 2. مشتق از یک محصول |  |
| 2a. مشتق عبارت ضرب شده در یک عامل ثابت | |
| 3. مشتق از ضریب |  |
| 4. مشتق تابع مختلط |  |
قانون 1اگر توابع
در یک نقطه قابل تمایز هستند، سپس در همان نقطه توابع
و
آن ها مشتق مجموع جبری توابع برابر است با مجموع جبری مشتقات این توابع.
نتیجه. اگر دو تابع قابل تمایز با یک ثابت متفاوت باشند، مشتقات آنها هستند، یعنی
قانون 2اگر توابع
در یک نقطه قابل تمایز هستند، سپس محصول آنها نیز در همان نقطه قابل تمایز است
و
آن ها مشتق حاصل ضرب دو تابع برابر است با مجموع حاصلضرب هر یک از این توابع و مشتق دیگری.
نتیجه 1. عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد:
نتیجه 2. مشتق حاصلضرب چندین تابع متمایز برابر با مجموع حاصلضرب مشتق هر یک از عوامل و همه عوامل دیگر است.
به عنوان مثال، برای سه ضریب:
قانون 3اگر توابع
قابل تمایز در یک نقطه و , سپس در این مرحله ضریب آنها نیز قابل تمایز است.u/v و
آن ها مشتق ضریبی از دو تابع برابر کسری است که صورت آن تفاضل حاصلضرب مخرج و مشتق صورت و ممیز و مشتق مخرج است و مخرج آن مجذور کسر سابق است. .
کجا در صفحات دیگر جستجو کنیم
هنگام یافتن مشتق محصول و ضریب در مسائل واقعی، همیشه لازم است چندین قانون تمایز را به طور همزمان اعمال کنید، بنابراین مثال های بیشتری در مورد این مشتقات در مقاله آمده است."مشتق یک محصول و یک ضریب".
اظهار نظر.شما نباید ثابت (یعنی عدد) را به عنوان یک جمله در جمع و به عنوان یک عامل ثابت اشتباه بگیرید! در مورد جمله مشتق آن برابر با صفر و در مورد عامل ثابت از علامت مشتقات خارج می شود. این اشتباه معمولی، که روی می دهد مرحله اولیهمشتقات را یاد می گیرند، اما از آنجایی که آنها چندین مثال یک یا دو جزئی را حل می کنند، دانش آموز عادی دیگر این اشتباه را مرتکب نمی شود.
و اگر، هنگام متمایز کردن یک محصول یا یک ضریب، یک اصطلاح دارید تو"v، که در آن تو- یک عدد، به عنوان مثال، 2 یا 5، یعنی یک ثابت، سپس مشتق این عدد برابر با صفر خواهد بود و بنابراین، کل عبارت برابر با صفر خواهد بود (چنین موردی در مثال 10 تحلیل شده است) .
دیگر اشتباه رایج- حل مکانیکی مشتق یک تابع پیچیده به عنوان مشتق یک تابع ساده. بنابراین مشتق یک تابع پیچیدهبه یک مقاله جداگانه اختصاص داده شده است. اما ابتدا یاد خواهیم گرفت که مشتقات را پیدا کنیم توابع ساده.
در طول راه، شما نمی توانید بدون تبدیل عبارات انجام دهید. برای انجام این کار، ممکن است لازم باشد که دفترچه راهنمای ویندوز جدید را باز کنید اقدامات با قدرت و ریشهو اعمال با کسر .
اگر به دنبال راه حلی برای مشتقات با قدرت و ریشه هستید، یعنی زمانی که تابع به نظر می رسد 
، سپس درس " مشتق از مجموع کسرهای دارای توان و ریشه " را دنبال کنید.
اگر شما یک وظیفه مانند 
، سپس در درس «مشتقات توابع مثلثاتی ساده» هستید.
مثال های گام به گام - چگونه مشتق را پیدا کنیم
مثال 3مشتق تابع را بیابید
راه حل. ما بخش های بیان تابع را تعیین می کنیم: کل عبارت محصول را نشان می دهد و عوامل آن مجموع هستند که در دومی یکی از عبارت ها حاوی یک عامل ثابت است. ما قانون تمایز حاصل را اعمال می کنیم: مشتق حاصلضرب دو تابع برابر است با مجموع محصولات هر یک از این توابع و مشتق دیگر:
بعد، قاعده تمایز مجموع را اعمال می کنیم: مشتق مجموع جبری توابع برابر است با مجموع جبری مشتقات این توابع. در مورد ما، در هر جمع، جمله دوم با علامت منفی است. در هر جمع هم متغیر مستقلی را می بینیم که مشتق آن برابر با یک است و هم یک عدد ثابت (عددی) که مشتق آن برابر با صفر است. بنابراین، "x" به یک، و منهای 5 - به صفر تبدیل می شود. در عبارت دوم، "x" در 2 ضرب می شود، بنابراین ما دو را در همان واحد مشتق "x" ضرب می کنیم. ما گرفتیم مقادیر زیرمشتقات:
مشتقات یافت شده را با مجموع محصولات جایگزین می کنیم و مشتق کل تابع مورد نیاز شرط مسئله را به دست می آوریم:
مثال 4مشتق تابع را بیابید
راه حل. ما باید مشتق ضریب را پیدا کنیم. ما فرمول تمایز یک ضریب را اعمال می کنیم: مشتق یک ضریب دو تابع برابر با کسری است که صورت آن تفاوت بین حاصلضرب های مخرج و مشتق صورت و مشتق و مشتق مخرج است. مخرج مربع عدد قبلی است. ما گرفتیم:
ما قبلاً مشتق فاکتورهای صورت‌گر را در مثال 2 پیدا کرده‌ایم. همچنین فراموش نکنیم که حاصلضرب که دومین عامل در صورت‌دهنده است، در مثال فعلی با علامت منفی گرفته می‌شود:
اگر به دنبال راه حل هایی برای چنین مسائلی هستید که در آنها باید مشتق یک تابع را پیدا کنید، جایی که توده ای از ریشه ها و درجات پیوسته وجود دارد، مانند، برای مثال، 
سپس به کلاس خوش آمدید "مشتق مجموع کسری با توان و ریشه" .
اگر نیاز دارید درباره مشتقات سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و موارد دیگر اطلاعات بیشتری کسب کنید توابع مثلثاتی، یعنی زمانی که تابع به نظر می رسد ، پس شما یک درس دارید "مشتقات توابع مثلثاتی ساده" .
مثال 5مشتق تابع را بیابید
راه حل. در این تابع محصولی را می بینیم که یکی از عوامل آن جذر متغیر مستقل است که در جدول مشتقات با مشتق آن آشنا شدیم. با توجه به قانون تمایز محصول و مقدار جدولی مشتق جذر، به دست می آوریم:
مثال 6مشتق تابع را بیابید
راه حل. در این تابع ضریبی را می بینیم که سود تقسیمی آن جذر متغیر مستقل است. با توجه به قاعده تمایز ضریب که در مثال 4 تکرار و اعمال کردیم و مقدار جدولی مشتق جذر، به دست می آید:
برای خلاص شدن از شر کسر در صورت، صورت و مخرج را در ضرب کنید.
در این درس، نحوه اعمال فرمول ها و قوانین تمایز را یاد خواهیم گرفت.
مثال ها. مشتقات توابع را بیابید.
1. y=x 7 + x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. اعمال قانون من، فرمول ها 4، 2 و 1. ما گرفتیم:
y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x6 -2x+5. ما به طور مشابه با استفاده از فرمول ها و فرمول های مشابه حل می کنیم 3.
y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
اعمال قانون من، فرمول ها 3, 5
و 6
و 1.
اعمال قانون IV، فرمول ها 5 و 1 .
در مثال پنجم طبق قاعده منمشتق جمع برابر است با مجموع مشتقات، و ما فقط مشتق جمله اول را پیدا کردیم (مثال 4 )، بنابراین، مشتقات را پیدا خواهیم کرد 2و 3شرایط، و برای 1مدت، ما می توانیم بلافاصله نتیجه را بنویسیم.
متمایز کردن 2و 3شرایط مطابق فرمول 4
. برای این کار، ریشه های درجه سوم و چهارم را در مخرج به توان هایی با توان منفی تبدیل می کنیم و سپس با توجه به 4
فرمول، مشتقات توان ها را پیدا می کنیم.
نگاه کنید مثال داده شدهو نتیجه الگو رو گرفتی؟ باشه. این بدان معنی است که ما یک فرمول جدید داریم و می توانیم آن را به جدول مشتقات خود اضافه کنیم.
بیایید مثال ششم را حل کنیم و یک فرمول دیگر استخراج کنیم.
ما از قانون استفاده می کنیم IVو فرمول 4
. کسرهای حاصل را کاهش می دهیم.
ما به این تابع و مشتق آن نگاه می کنیم. البته شما الگو را درک کردید و آماده نامگذاری فرمول هستید:
یادگیری فرمول های جدید!
مثال ها.
1. افزایش آرگومان و تابع افزایش y= را پیدا کنید x2اگر مقدار اولیه آرگومان بود 4 ، و جدید 4,01 .
راه حل.
مقدار آرگومان جدید x \u003d x 0 + Δx. داده ها را جایگزین کنید: 4.01=4+Δx، بنابراین آرگومان افزایش می یابد Δх=4.01-4=0.01. افزایش یک تابع، طبق تعریف، برابر است با تفاوت بین مقادیر جدید و قبلی تابع، یعنی. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). از آنجایی که ما یک تابع داریم y=x2، سپس Δy\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
پاسخ: افزایش آرگومان Δх=0.01; افزایش تابع Δy=0,0801.
امکان یافتن افزایش تابع به روش دیگری وجود داشت: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801.
2. زاویه تمایل مماس بر نمودار تابع را پیدا کنید y=f(x)در نقطه x 0، اگر f "(x 0) \u003d 1.
راه حل.
مقدار مشتق در نقطه تماس x 0و مقدار مماس شیب مماس است (معنای هندسی مشتق). ما داریم: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 درجه،زیرا tg45 درجه = 1.
پاسخ: مماس بر نمودار این تابع زاویه ای با جهت مثبت محور Ox تشکیل می دهد که برابر با 45 درجه.
3. فرمول مشتق یک تابع را استخراج کنید y=xn.
تفکیکعمل یافتن مشتق یک تابع است.
هنگام یافتن مشتقات، از فرمول هایی استفاده می شود که بر اساس تعریف مشتق مشتق شده اند، به همان روشی که ما فرمول درجه مشتق را استخراج کردیم: (x n)" = nx n-1.
در اینجا فرمول ها وجود دارد.
جدول مشتقبا تلفظ فرمول های کلامی به خاطر سپردن آسان تر خواهد بود:
1. مشتق یک مقدار ثابت صفر است.
2. X stroke برابر با یک است.
3. عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد.
4. مشتق یک درجه برابر است با حاصل ضرب توان این درجه در درجه با پایه یکسان، اما توان یک کمتر است.
5. مشتق ریشه برابر است با یک تقسیم بر دو ریشه یکسان.
6. مشتق واحد تقسیم بر x منهای یک تقسیم بر x مربع است.
7. مشتق سینوس برابر با کسینوس است.
8. مشتق کسینوس برابر با منهای سینوس است.
9. مشتق مماس برابر است با تقسیم بر مجذور کسینوس.
10. مشتق کوتانژانت منهای یک تقسیم بر مجذور سینوس است.
ما آموزش می دهیم قوانین تمایز.
1.
مشتق جمع جبری برابر است با مجموع جبری اصطلاحات مشتق.
2. مشتق حاصل برابر است با حاصلضرب مشتق عامل اول توسط دوم به اضافه حاصلضرب عامل اول توسط مشتق دوم.
3. مشتق "y" تقسیم بر "ve" برابر با کسری است که در صورت آن "y ضربدری است ضربدر "ve" منهای "y، ضرب در یک ضربه" و در مخرج - "ve مجذور". ".
4. مورد خاصفرمول ها 3.
بیا با هم یاد بگیریم!
صفحه 1 از 1 1
چگونه یک تجارت سودآور با فروش شاورما ایجاد کنیم
تبلیغ صد صد
کسب و کار شخصی: لوازم آرایشی و عطرسازی