توابع قدرت و نمودارهای آنها تابع نمایی - خواص، نمودارها، فرمول ها

). با مقادیر واقعی پایه NSو نشانگر آمعمولاً فقط مقادیر واقعی S.f را در نظر می گیرند. x a.آنها حداقل برای همه وجود دارند x> 0; اگر آ -عدد گویابا مخرج فرد، پس برای همه نیز وجود دارند x 0; اگر مخرج عدد گویا باشد آیکنواخت است، یا اگر غیرمنطقی است، پس x aبرای هیچ کدام بی ربط است x 0. برای x = 0 عملکرد قدرت x aبرای همه صفر است آ> 0 و برای آن تعریف نشده است a 0; 0 درجه معنی مشخصی ندارد. S. f. (در محدوده مقادیر واقعی) بدون ابهام است، به جز مواردی که آ -یک عدد گویا که با کسری تقلیل ناپذیر با مخرج زوج نشان داده می شود: در این موارد دو مقدار است و مقادیر آن برای همان مقدار آرگومان است. NS> 0 در قدر مطلق مساوی هستند، اما در علامت مخالف هستند. معمولاً فقط مقدار غیر منفی یا حسابی S. f در نظر گرفته می شود. برای NS> 0 C. f. - افزایش اگر آ> 0، و کاهش اگر آ x = 0، در مورد 0 a x a)"= تبر a-1.به علاوه،

توابع فرم y = cx a،جایی که با- ضریب ثابت، نقش مهمی در ریاضیات و کاربردهای آن دارد. در آ= 1، این توابع تناسب مستقیم را بیان می کنند (نمودارهای آنها خطوط مستقیمی هستند که از مبدا عبور می کنند، شکل را ببینید 1)، در a =-1 - تناسب معکوس (نمودارها هذلولهای متساوی الاضلاع هستند که در مبدأ مرکزیت دارند و دارای محورهای مختصات با مجانب آنها هستند. شکل را ببینید 2). بسیاری از قوانین فیزیک با استفاده از توابع شکل به صورت ریاضی بیان می شوند y = cx a(شکل را ببینید 3) مثلا، y = cx 2بیانگر قانون حرکت یکنواخت با شتاب یا به همان اندازه کند شده ( y -مسیر، NS -زمان، 2 ج- شتاب؛ مسیر و سرعت اولیه برابر با صفر است).

در منطقه پیچیده S. f. z a برای همه تعریف شده است z≠ 0 با فرمول:

جایی که ک= 0, ± 1, ± 2, .... اگر آ -کل، سپس S. f. z a بدون ابهام است:

اگر آ -منطقی (الف = p / q،جایی که آرو q coprime هستند)، سپس S. f. z aطول می کشد qمقادیر مختلف:

جایی که ε k = - ریشه های درجه qاز وحدت: k = 0، 1، ...، q - 1. اگر آ -غیر منطقی، سپس S. f. zالف - بی نهایت: ضریب ε α2κ π ι برای متفاوت می پذیرد ک معانی مختلف... در مقادیر مختلط و S.f. z aبا همان فرمول (*) تعریف می شود. مثلا،

بنابراین، به طور خاص، k = 0، ± 1، ± 2، ....

زیر مقدار اصلی ( z a) 0 S. f. معنی آن در درک می شود k = 0 اگر -πz ≤ π (یا 0 ≤ arg zز الف) = |z a|e ia arg z, (من) 0 = e -π / 2 و غیره.

دایره المعارف بزرگ شوروی. - م .: دایره المعارف شوروی. 1969-1978 .

ببینید «عملکرد نیرو» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

تابعی به شکل y = axn که a و n هر عدد واقعی هستند ... فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

تابع توانتابع، که در آن (نمایش) مقداری واقعی است ... ویکی پدیا

تابعی به شکل y = axn که a و n معتبر هستند. اعداد، S.f. تعداد زیادی الگو در طبیعت را پوشش می دهد. در شکل نمودارهای S.f نشان داده شده است. برای n = 1، 2، 3، 1/2 و a = 1. به st. تابع توان … فرهنگ لغت بزرگ دایره المعارفی پلی تکنیک

تابعی به شکل y = axn که a و n هر عدد واقعی هستند. شکل، نمودارهای تابع توان را برای n = 1، 2، 3، 1/2 و a = 1 نشان می دهد. شماره ... فرهنگ لغت دایره المعارفی

تابع توان- laipsninė funkcija statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. تابع قدرت vok. Potenzfunktion، f rus. تابع قدرت، f pranc. فونک puissance, f ... Automatikos terminų žodynas

تابع y = x a که a یک عدد ثابت است. اگر a یک عدد صحیح است، S.f. مورد خاصعملکرد منطقی با مقادیر پیچیده chi aC. f. اگر a عدد صحیح نباشد مبهم است. با اعتبار ثابت. و عدد x a درجه ... دایره المعارف ریاضیات

تابعی به شکل y = axn که a و n هر عدد واقعی هستند. در شکل نمودارهای S.f نشان داده شده است. برای n = 1، 2، 3، 1/2 و a = 1 ... علوم طبیعی. فرهنگ لغت دایره المعارفی

تابع تقاضا- تابعی که نشان می دهد چگونه حجم فروش یک محصول خاص بسته به قیمت آن با تلاش های بازاریابی برابر برای تبلیغ آن به بازار تغییر می کند. تابع تقاضا تابعی که منعکس کننده ... ... راهنمای مترجم فنی

تابع تقاضا- تابعی که منعکس کننده وابستگی حجم تقاضا برای کالاها و خدمات فردی (کالاهای مصرفی) به مجموعه ای از عوامل موثر بر آن است. یک تفسیر محدودتر: F.s وابستگی متقابل بین تقاضا برای یک محصول و قیمت را بیان می کند. فرهنگ لغت اقتصاد و ریاضیات

Y = 1 + x + x2 + x3 + ... برای مقادیر واقعی یا مختلط x تعریف می شود که مدول آن کمتر از یک است. F. به شکل y = p0xn + p1xn 1 + p2xn 2 + ... + рn 1x + pn، که در آن ضرایب، р0، р1، р2، ...، рn، این اعداد تابع انتگرال n th نامیده می شوند. .. ... دایره المعارف بروکهاوس و افرون

کتاب ها

• مجموعه ای از میز. جبر و آغاز تحلیل. درجه 11. 15 جدول + روش شناسی،. میزها بر روی مقوای پلی گرافی ضخیم در ابعاد 680×980 میلی متر چاپ شده اند. شامل بروشور با دستورالعمل هابرای معلم آلبوم آموزشی 15 برگه ...

اجازه دهید خصوصیات و نمودارهای توابع توان با توان عدد صحیح منفی را به خاطر بیاوریم.

برای n زوج،:

مثال تابع:

تمام نمودارهای چنین توابعی از دو نقطه ثابت عبور می کنند: (1؛ 1)، (-1؛ 1). ویژگی توابع این نوع برابری آنها است، نمودارها در مورد محور OU متقارن هستند.

برنج. 1. نمودار تابع

برای n فرد،:

مثال تابع:

تمام نمودارهای چنین توابعی از دو نقطه ثابت عبور می کنند: (1; 1)، (-1; -1). ویژگی توابع این نوع عجیب بودن آنها است، نمودارها در مورد مبدا متقارن هستند.

برنج. 2. نمودار تابع

بیایید تعریف اصلی را یادآوری کنیم.

درجه یک عدد غیر منفی a با توان مثبت گویا یک عدد است.

درجه یک عدد مثبت a با توان منفی گویا یک عدد است.

برای برابری وجود دارد:

مثلا: ; - عبارت با تعریف درجه با توان عقلی منفی وجود ندارد. وجود دارد، زیرا توان یک عدد صحیح است،

بیایید به در نظر گرفتن توابع توان با توان منفی گویا برویم.

مثلا:

برای ترسیم نمودار این تابع، می توانید یک جدول ایجاد کنید. ما متفاوت عمل خواهیم کرد: ابتدا نمودار مخرج را می سازیم و مطالعه می کنیم - ما آن را می دانیم (شکل 3).

برنج. 3. نمودار تابع

نمودار تابع مخرج از یک نقطه ثابت عبور می کند (1؛ 1). هنگام ترسیم تابع اصلی، این نقطه باقی می ماند، زمانی که ریشه نیز به سمت صفر میل می کند، تابع به سمت بی نهایت می رود. و برعکس، با تمایل x به بی نهایت، تابع به سمت صفر میل می کند (شکل 4).

برنج. 4. نمودار تابع

بیایید یک تابع دیگر از خانواده توابع مورد مطالعه را در نظر بگیریم.

این مهم است که طبق تعریف

نمودار تابع را در مخرج در نظر بگیرید: نمودار این تابع برای ما شناخته شده است، در دامنه تعریف خود افزایش می یابد و از نقطه (1؛ 1) می گذرد (شکل 5).

برنج. 5. نمودار تابع

هنگام ترسیم تابع اصلی، نقطه (1؛ 1) باقی می ماند، هنگامی که ریشه نیز به سمت صفر میل می کند، تابع به سمت بی نهایت میل می کند. برعکس، وقتی x به بی نهایت میل می کند، تابع به سمت صفر میل می کند (شکل 6).

برنج. 6. نمودار تابع

مثال‌های در نظر گرفته شده به درک نحوه اجرای نمودار و ویژگی‌های تابع مورد مطالعه کمک می‌کنند - تابعی با توان منطقی منفی.

نمودارهای توابع این خانواده از نقطه (1؛ 1) عبور می کنند، تابع در کل دامنه تعریف کاهش می یابد.

محدوده عملکرد:

عملکرد در بالا محدود نمی شود، اما در پایین محدود می شود. تابع نه بزرگترین دارد و نه کوچکترین ارزش.

عملکرد پیوسته است، همه چیز را می گیرد ارزش های مثبتاز صفر تا بعلاوه بی نهایت

تابع پایین محدب (شکل 15.7)

نقاط A و B روی منحنی گرفته می شوند، یک بخش از آنها ترسیم می شود، کل منحنی زیر قطعه است. شرط داده شدهدو نقطه دلخواه روی منحنی برقرار است، بنابراین تابع به سمت پایین محدب است. برنج. 7.

برنج. 7. تحدب یک تابع

درک این نکته مهم است که عملکردهای این خانواده از پایین با صفر محدود می شوند، اما کمترین اهمیت را ندارند.

مثال 1 - حداکثر و حداقل یک تابع را در بازه \ [(\ mathop (lim) _ (x \ تا + \ infty) x ^ (2n) \) = + \ infty \] پیدا کنید.

نمودار (شکل 2).

شکل 2. نمودار تابع $ f \ چپ (x \ راست) = x ^ (2n) $

ویژگی های تابع توان با توان فرد طبیعی

دامنه همه اعداد واقعی است.

$ f \ چپ (-x \ راست) = ((- x)) ^ (2n-1) = (- x) ^ (2n) = - f (x) $ - تابع فرد است.

$ f (x) $ - پیوسته در کل دامنه.

محدوده همه اعداد واقعی است.

$ f "\ چپ (x \ راست) = \ چپ (x ^ (2n-1) \ راست)" = (2n-1) \ cdot x ^ (2 (n-1)) \ ge 0 $

تابع در کل دامنه تعریف افزایش می یابد.

$ f \ چپ (x \ راست) 0 $، برای $ x \ در (0، + \ infty) $.

$ f ("" \ چپ (x \ راست)) = (\ چپ (\ چپ (2n-1 \ راست) \ cdot x ^ (2 \ چپ (n-1 \ راست)) \ راست)) "= 2 \ چپ (2n-1 \ راست) (n-1) \ cdot x ^ (2n-3) $

\ \

تابع برای x $ در (- \ infty، 0) $ مقعر و برای $ x \ در (0، + \ infty) $ محدب است.

نمودار (شکل 3).

شکل 3. نمودار تابع $ f \ چپ (x \ راست) = x ^ (2n-1) $

تابع توان صحیح

برای شروع، مفهوم درجه با توان عدد صحیح را معرفی می کنیم.

تعریف 3

درجه یک عدد واقعی $ a $ با توان صحیح $ n $ با فرمول تعیین می شود:

شکل 4.

اکنون یک تابع توان با یک توان عدد صحیح، خواص آن و یک نمودار را در نظر بگیرید.

تعریف 4

$ f \ چپ (x \ راست) = x ^ n $ ($ n \ در Z) $ تابع توان عدد صحیح نامیده می شود.

اگر درجه بزرگتر از صفر باشد، به تابع توانی با توان طبیعی می رسیم. قبلاً آن را در بالا در نظر گرفتیم. برای $ n = 0 $ دریافت می کنیم تابع خطی$ y = 1 $. آن را به خواننده واگذار می کنیم. باقی مانده است که ویژگی های یک تابع توان با توان عدد صحیح منفی را در نظر بگیریم

ویژگی های تابع توان با توان عدد صحیح منفی

محدوده $ \ چپ (- \ infty, 0 \ right) (0, + \ infty) $ است.

اگر توان زوج باشد، تابع زوج است و اگر فرد باشد، تابع فرد است.

$ f (x) $ - پیوسته در کل دامنه.

محدوده ارزش:

اگر نما زوج باشد، پس $ (0، + \ infty) $، اگر فرد باشد، سپس $ \ چپ (- \ infty، 0 \ راست) (0، + \ infty) $.

برای یک توان فرد، تابع کاهش می یابد، برای $ x \ در \ چپ (- \ infty، 0 \ راست) (0، + \ infty) $. برای یک توان زوج، تابع به صورت x $ در (0، + \ infty) $ کاهش می یابد. و افزایش می یابد، برای $ x \ در \ چپ (- \ infty، 0 \ راست) $.

$ f (x) \ ge 0 $ در کل دامنه

در این درس به مطالعه توابع توان با توان گویا ادامه می دهیم، توابعی را با توان گویا منفی در نظر می گیریم.

1. مفاهیم و تعاریف اساسی

اجازه دهید خصوصیات و نمودارهای توابع توان با توان عدد صحیح منفی را به خاطر بیاوریم.

برای n زوج،:

مثال تابع:

تمام نمودارهای چنین توابعی از دو نقطه ثابت عبور می کنند: (1؛ 1)، (-1؛ 1). ویژگی توابع این نوع برابری آنها است، نمودارها در مورد محور OU متقارن هستند.

برنج. 1. نمودار تابع

برای n فرد،:

مثال تابع:

تمام نمودارهای چنین توابعی از دو نقطه ثابت عبور می کنند: (1; 1)، (-1; -1). ویژگی توابع این نوع عجیب بودن آنها است، نمودارها در مورد مبدا متقارن هستند.

برنج. 2. نمودار تابع

2. تابع با توان منطقی منفی، نمودارها، خواص

بیایید تعریف اصلی را یادآوری کنیم.

درجه یک عدد غیر منفی a با توان مثبت گویا یک عدد است.

درجه یک عدد مثبت a با توان منفی گویا یک عدد است.

برای برابری وجود دارد:

مثلا: ; - عبارت با تعریف درجه با توان عقلی منفی وجود ندارد. وجود دارد، زیرا توان یک عدد صحیح است،

بیایید به در نظر گرفتن توابع توان با توان منفی گویا برویم.

مثلا:

برای ترسیم نمودار این تابع، می توانید یک جدول ایجاد کنید. ما متفاوت عمل خواهیم کرد: ابتدا نمودار مخرج را می سازیم و مطالعه می کنیم - ما آن را می دانیم (شکل 3).

برنج. 3. نمودار تابع

نمودار تابع مخرج از یک نقطه ثابت عبور می کند (1؛ 1). هنگام ترسیم تابع اصلی، این نقطه باقی می ماند، زمانی که ریشه نیز به سمت صفر میل می کند، تابع به سمت بی نهایت می رود. و برعکس، با تمایل x به بی نهایت، تابع به سمت صفر میل می کند (شکل 4).

برنج. 4. نمودار تابع

بیایید یک تابع دیگر از خانواده توابع مورد مطالعه را در نظر بگیریم.

این مهم است که طبق تعریف

نمودار تابع را در مخرج در نظر بگیرید: نمودار این تابع برای ما شناخته شده است، در دامنه تعریف خود افزایش می یابد و از نقطه (1؛ 1) می گذرد (شکل 5).

برنج. 5. نمودار تابع

هنگام ترسیم تابع اصلی، نقطه (1؛ 1) باقی می ماند، هنگامی که ریشه نیز به سمت صفر میل می کند، تابع به سمت بی نهایت میل می کند. برعکس، وقتی x به بی نهایت میل می کند، تابع به سمت صفر میل می کند (شکل 6).

برنج. 6. نمودار تابع

مثال‌های در نظر گرفته شده به درک نحوه اجرای نمودار و ویژگی‌های تابع مورد مطالعه کمک می‌کنند - تابعی با توان منطقی منفی.

نمودارهای توابع این خانواده از نقطه (1؛ 1) عبور می کنند، تابع در کل دامنه تعریف کاهش می یابد.

محدوده عملکرد:

عملکرد در بالا محدود نمی شود، اما در پایین محدود می شود. تابع نه بالاترین و نه کمترین مقدار را دارد.

تابع پیوسته است، تمام مقادیر مثبت را از صفر تا بعلاوه بی نهایت می گیرد.

تابع پایین محدب (شکل 15.7)

نقاط A و B روی منحنی گرفته می شوند، یک قطعه از میان آنها کشیده می شود، کل منحنی زیر پاره است، این شرط برای دو نقطه دلخواه روی منحنی برقرار است، بنابراین تابع به سمت پایین محدب است. برنج. 7.

برنج. 7. تحدب یک تابع

3. حل وظایف معمولی

درک این نکته مهم است که عملکردهای این خانواده از پایین با صفر محدود می شوند، اما کمترین اهمیت را ندارند.

مثال 1 - حداکثر و حداقل یک تابع را در یک بازه پیدا کنید)