یک عدد منطقی یا غیرمنطقی است. اعداد گویا و غیر منطقی چیست؟

عدد گویاعددی است که با کسری معمولی m/n نشان داده می شود، که در آن صورت m یک عدد صحیح و مخرج n یک عدد طبیعی است. هر عدد گویا را می توان به عنوان یک نامتناهی تناوبی نشان داد کسر اعشاری. بسیاری از اعداد گویا Q نشان داده شده است.

اگر یک عدد واقعی گویا نباشد، پس گویا است عدد گنگ. کسرهای اعشاری که اعداد غیر منطقی را بیان می کنند نامتناهی هستند و تناوبی نیستند. مجموعه اعداد غیر منطقی معمولا با حرف لاتین بزرگ I نشان داده می شود.

عدد واقعی نامیده می شود جبری، اگر ریشه چند جمله ای (درجه غیر صفر) با ضرایب گویا باشد. هر عدد غیر جبری نامیده می شود متعالی.

برخی از خواص:

مجموعه اعداد گویا در همه جا روی محور اعداد متراکم است: بین هر دو عدد گویا متفاوت حداقل یک عدد گویا وجود دارد (و از این رو یک مجموعه نامتناهی از اعداد گویا). با این حال، معلوم می شود که مجموعه اعداد گویا Q و مجموعه اعداد طبیعی N معادل هستند، یعنی می توان یک مطابقت یک به یک بین آنها برقرار کرد (همه عناصر مجموعه اعداد گویا را می توان مجددا شماره گذاری کرد).

مجموعه Q اعداد گویا در جمع، تفریق، ضرب و تقسیم بسته می شود، یعنی مجموع، تفاوت، حاصلضرب و ضریب دو عدد گویا نیز اعداد گویا هستند.

همه اعداد گویا جبری هستند (برعکس این درست نیست).

هر عدد ماورایی واقعی غیرمنطقی است.

هر عدد غیر منطقی یا جبری است یا ماورایی.

مجموعه اعداد غیر منطقی همه جا روی خط واقعی متراکم است: بین هر دو عدد یک عدد غیر منطقی وجود دارد (و از این رو یک مجموعه نامتناهی از اعداد غیر منطقی).

مجموعه اعداد غیرمنطقی غیرقابل شمارش است.

هنگام حل مسائل، راحت است، همراه با عدد غیر منطقی a + b√ c (که در آن a، b اعداد گویا هستند، c یک عدد صحیح است که مربع یک عدد طبیعی نیست)، عدد "مزوج" را با it a - b√ c: مجموع و حاصل ضرب آن با اعداد اصلی - گویا. بنابراین a + b√ c و a – b√ c ریشه هستند معادله درجه دومبا ضرایب صحیح

مشکلات با راه حل

1. این را ثابت کنید

الف) شماره √ 7؛

ب) شماره lg 80;

ج) شماره √ 2 + 3 √ 3;

غیر منطقی است

الف) عدد √ 7 را گویا فرض کنید. سپس، p و q همزمان وجود دارند به طوری که √ 7 = p/q، از آنجا p 2 = 7q 2 به دست می آوریم. از آنجایی که p و q هم اول هستند، پس p 2، و بنابراین p بر 7 بخش پذیر است. سپس р = 7k، که در آن k مقداری طبیعی است. بنابراین q 2 = 7k 2 = pk، که با این واقعیت که p و q همزمان هستند در تضاد است.

بنابراین، فرض نادرست است، بنابراین عدد √ 7 غیر منطقی است.

ب) عدد lg 80 را گویا فرض کنید. سپس p و q طبیعی وجود دارد به طوری که lg 80 = p/q، یا 10 p = 80 q، از این رو 2 p–4q = 5 q–p به دست می‌آییم. با در نظر گرفتن اینکه اعداد 2 و 5 همزمان هستند، دریافت می کنیم که آخرین برابری فقط برای p–4q = 0 و q–p = 0 امکان پذیر است. از آنجایی که p = q = 0، غیر ممکن است، زیرا p و q هستند. طبیعی انتخاب شده است

بنابراین، این فرض نادرست است، بنابراین عدد lg 80 غیر منطقی است.

ج) این عدد را با x نشان می دهیم.

سپس (x - √ 2) 3 \u003d 3، یا x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 (3x 2 + 2). پس از مربع کردن این معادله، دریافت می کنیم که x باید معادله را برآورده کند

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 = 0.

ریشه های گویا آن فقط می توانند اعداد 1 و -1 باشند. بررسی نشان می دهد که 1 و -1 ریشه نیستند.

بنابراین، عدد داده شده √ 2 + 3 √ 3 ​​غیر منطقی است.

2. معلوم است که اعداد a، b، √ a –√ b،- گویا. ثابت کنیم که √ a و √ bاعداد گویا نیز هستند.

محصول را در نظر بگیرید

(√ a - √ b) (√ a + √ b) = a - b.

عدد √ a + √ b،که برابر است با نسبت اعداد a – b و √ a –√ b،گویا است زیرا ضریب دو عدد گویا یک عدد گویا است. مجموع دو عدد گویا

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) = √ a

یک عدد گویا است، تفاوت آنها،

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) = √ b,

همچنین یک عدد گویا است که باید ثابت شود.

3. ثابت کنید که اعداد غیرمنطقی مثبت a و b وجود دارند که عدد a b برای آنها طبیعی است.

4. آیا اعداد گویا a، b، c، d وجود دارند که برابری را برآورده کنند؟

(الف + ب √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

کجا n یک عدد طبیعی است؟

اگر تساوی داده شده در شرط برآورده شود و اعداد a، b، c، d گویا باشند، تساوی نیز برآورده می شود:

(الف-ب √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

اما 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. تضاد حاصل ثابت می کند که برابری اصلی غیرممکن است.

پاسخ: وجود ندارند.

5. اگر پاره های با طول های a، b، c یک مثلث تشکیل دهند، برای همه n = 2، 3، 4، . . . قطعات با طول n √ a , n √ b , n √ c نیز یک مثلث را تشکیل می دهند. اثباتش کن.

اگر پاره های با طول های a، b، c مثلثی تشکیل دهند، نابرابری مثلث به دست می آید

بنابراین ما داریم

( n √ a + n √ b ) n > a + b > c = ( n √ c ) n ,

N √ a + n √ b > n √ c .

موارد باقی مانده بررسی نابرابری مثلث نیز به همین ترتیب در نظر گرفته می شود که نتیجه گیری از آنها حاصل می شود.

6. ثابت کنید کسر اعشاری نامتناهی 0.1234567891011121314... (همه اعداد طبیعی به ترتیب بعد از اعشار فهرست شده اند) یک عدد غیر منطقی است.

همانطور که می دانید اعداد گویا به صورت کسرهای اعشاری بیان می شوند که دارای دوره ای هستند که از علامت خاصی شروع می شود. بنابراین اثبات تناوبی بودن این کسر با هیچ علامتی کفایت می کند. فرض کنید که اینطور نیست، و برخی از دنباله T، متشکل از n رقم، دوره یک کسری است که از mth رقم اعشار شروع می شود. واضح است که بعد از رقم m ام ارقام غیرصفر وجود دارد، بنابراین در دنباله ارقام T یک رقم غیرصفر وجود دارد. این بدان معنی است که با شروع از رقم m بعد از نقطه اعشار، در بین هر n رقم در یک ردیف یک رقم غیر صفر وجود دارد. با این حال، در نماد اعشاری این کسری، باید یک نماد اعشاری برای عدد 100...0 = 10 k وجود داشته باشد، که در آن k > m و k > n. واضح است که این ورودی در سمت راست رقم m رخ می دهد و حاوی بیش از n صفر در یک ردیف است. بنابراین، ما یک تناقض به دست می آوریم که اثبات را کامل می کند.

7. با توجه به کسر اعشاری نامتناهی 0,a 1 a 2 ... . ثابت کنید که ارقام در نماد اعشاری آن را می توان به گونه ای مرتب کرد که کسر حاصل یک عدد گویا را بیان کند.

به یاد بیاورید که کسری عدد گویا را بیان می کند اگر و فقط اگر تناوبی باشد و از علامتی شروع شود. ما اعداد از 0 تا 9 را به دو کلاس تقسیم می کنیم: در کلاس اول اعدادی را که در کسر اصلی تعداد محدودی بار اتفاق می افتد، در طبقه دوم - اعدادی که در کسر اصلی بی نهایت بار رخ می دهند شامل می کنیم. بیایید شروع به نوشتن یک کسر تناوبی کنیم که می توان آن را از جایگشت اصلی ارقام به دست آورد. ابتدا، بعد از صفر و کاما، همه اعداد کلاس اول را به ترتیب تصادفی می نویسیم - هر کدام به تعداد دفعاتی که در ورودی کسر اصلی آمده است. ارقام کلاس اول نوشته شده قبل از نقطه در قسمت کسری اعشار خواهند بود. سپس اعداد کلاس دوم را یک بار به ترتیب یادداشت می کنیم. ما این ترکیب را یک نقطه اعلام می کنیم و آن را بی نهایت بار تکرار می کنیم. بنابراین، کسر تناوبی مورد نیاز را که اعداد گویا را بیان می کند، نوشته ایم.

8. ثابت کنید که در هر کسر اعشاری نامتناهی دنباله ای از ارقام اعشاری با طول دلخواه وجود دارد که در بسط کسری بی نهایت بار اتفاق می افتد.

فرض کنید m یک عدد طبیعی دلخواه داده شده باشد. بیایید این کسر اعشاری نامتناهی را به قطعاتی تقسیم کنیم که هر کدام دارای m رقم هستند. بی نهایت از این قبیل بخش ها وجود خواهد داشت. از سوی دیگر، سیستم های مختلف، متشکل از m رقم، تنها 10 m وجود دارد، یعنی یک عدد محدود. در نتیجه، حداقل یکی از این سیستم ها باید در اینجا بی نهایت بارها تکرار شود.

اظهار نظر. برای اعداد غیر منطقی √ 2، π یا هما حتی نمی دانیم کدام رقم بی نهایت بارها در اعشار نامتناهی که آنها را نشان می دهد تکرار می شود، اگرچه هر یک از این اعداد به راحتی می توانند حاوی حداقل دو رقم متمایز از این قبیل باشند.

9. به صورت ابتدایی ثابت کنید که ریشه مثبت معادله

غیر منطقی است

برای x > 0، سمت چپ معادله با x افزایش می یابد و به راحتی می توان دید که در x = 1.5 کمتر از 10 است و در x = 1.6 بزرگتر از 10 است. بنابراین، تنها ریشه مثبت معادله در داخل بازه (1.5 ؛ 1.6) قرار دارد.

ما ریشه را به صورت یک کسر تقلیل ناپذیر p/q می نویسیم، جایی که p و q برخی از اعداد طبیعی همزمان اول هستند. سپس برای x = p/q، معادله به شکل زیر خواهد بود:

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5،

بنابراین، p مقسوم علیه 10 است، بنابراین، p برابر با یکی از اعداد 1، 2، 5، 10 است. آنها در داخل بازه (1.5؛ 1.6) قرار می گیرند.

بنابراین، ریشه مثبت معادله اصلی را نمی توان به عنوان یک کسری معمولی نشان داد، به این معنی که یک عدد غیر منطقی است.

10. الف) آیا سه نقطه A، B و C در صفحه وجود دارد که برای هر نقطه X طول حداقل یکی از قطعات XA، XB و XC غیرمنطقی باشد؟

ب) مختصات رئوس مثلث گویا هستند. ثابت کنید که مختصات مرکز دایره محصور آن نیز گویا هستند.

ج) آیا کره ای وجود دارد که دقیقاً یک نقطه عقلی در آن وجود داشته باشد؟ (نقطه گویا نقطه ای است که هر سه مختصات دکارتی آن اعداد گویا هستند.)

الف) بله وجود دارد. فرض کنید C نقطه وسط قطعه AB باشد. سپس XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. اگر عدد AB 2 غیر منطقی باشد، آنگاه اعداد XA، XB و XC نمی توانند همزمان منطقی باشند.

ب) (a 1 ; b 1)، (a 2 ; b 2) و (a 3 ; b 3) مختصات رئوس مثلث باشند. مختصات مرکز دایره محصور آن توسط سیستم معادلات داده می شود:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

به راحتی می توان خطی بودن این معادلات را بررسی کرد، به این معنی که حل سیستم معادلات در نظر گرفته شده منطقی است.

ج) چنین کره ای وجود دارد. به عنوان مثال، یک کره با معادله

(x - √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.

نقطه O با مختصات (0؛ 0؛ 0) یک نقطه منطقی است که روی این کره قرار دارد. نقاط باقی مانده از کره غیر منطقی هستند. بیایید آن را ثابت کنیم.

برعکس فرض کنید: (x; y; z) یک نقطه گویا از کره باشد، متفاوت از نقطه O. واضح است که x با 0 متفاوت است، زیرا برای x = 0 یک راه حل منحصر به فرد وجود دارد (0; 0). ؛ 0)، که اکنون نمی توانیم به آن علاقه مند شویم. بیایید براکت ها را گسترش دهیم و √ 2 را بیان کنیم:

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x)،

که نمی تواند برای x، y، z و غیر منطقی √ 2 باشد. بنابراین، O(0؛ 0؛ 0) تنها نقطه عقلانی در کره مورد بررسی است.

مشکلات بدون راه حل

1. ثابت کنید که عدد

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

غیر منطقی است

2. برابری (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n برای کدام اعداد صحیح m و n برقرار است؟

3. آیا عدد a وجود دارد که اعداد a - √ 3 و 1/a + √ 3 اعداد صحیح باشند؟

4. آیا اعداد 1، √ 2، 4 می توانند اعضای (نه لزوماً مجاور) یک تصاعد حسابی باشند؟

5. ثابت کنید که برای هر عدد صحیح مثبت n معادله (x + y √ 3 ) 2n = 1 + √ 3 هیچ راه حلی در اعداد گویا (x; y) ندارد.

مجموعه اعداد غیر منطقی معمولاً با حروف بزرگ لاتین نشان داده می شود I (\displaystyle \mathbb (I))پررنگ بدون پر کردن به این ترتیب: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q))یعنی مجموعه اعداد غیر گویا تفاوت بین مجموعه اعداد حقیقی و گویا است.

وجود اعداد غیر منطقی، به‌طور دقیق‌تر پاره‌هایی که با قطعه‌ای از طول واحد قابل مقایسه نیستند، قبلاً برای ریاضیدانان باستان شناخته شده بود: آنها به عنوان مثال، قیاس‌ناپذیری مورب و ضلع مربع را می‌دانستند که معادل غیرعقلانی بودن است. از تعداد

یوتیوب دایره المعارفی

• 1 / 5

  غیر منطقی هستند:

  مثال های اثبات غیرمنطقی

  ریشه 2

  برعکس بگوییم: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))منطقی، یعنی به صورت کسری نشان داده می شود m n (\displaystyle (\frac (m)(n)))، جایی که m (\displaystyle m)یک عدد صحیح است و n (\displaystyle n)- عدد طبیعی .

  بیایید برابری فرضی را مجذور کنیم:

  2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\arrow 2=(\frac (m^(2 ))(n^(2)))\پیکان راست m^(2)=2n^(2)).

  تاریخ

  دوران باستان

  مفهوم اعداد غیر منطقی به طور ضمنی توسط ریاضیدانان هندی در قرن هفتم قبل از میلاد پذیرفته شد، زمانی که ماناوا (حدود 750 قبل از میلاد - حدود 690 قبل از میلاد) دریافت که ریشه های مربع برخی از اعداد طبیعی مانند 2 و 61 را نمی توان به طور صریح بیان کرد. ] .

  اولین اثبات وجود اعداد غیر منطقی معمولاً به هیپاسوس متاپونتوس (حدود 500 قبل از میلاد)، فیثاغورثی نسبت داده می شود. در زمان فیثاغورثیان، اعتقاد بر این بود که یک واحد طول وجود دارد، به اندازه کافی کوچک و غیرقابل تقسیم، که تعداد صحیحی از بارها در هر بخش است [ ] .

  هیچ داده دقیقی در مورد غیرمنطقی بودن کدام عدد توسط هیپاسوس ثابت شده است. طبق افسانه، او آن را با مطالعه طول اضلاع پنتاگرام پیدا کرد. بنابراین، منطقی است که فرض کنیم این نسبت طلایی [ ] .

  ریاضیدانان یونانی این نسبت را از مقادیر غیرقابل قیاس نامیدند الگوس(غیرقابل توصیف)، اما طبق افسانه ها به هیپاسوس احترام لازم داده نشد. افسانه‌ای وجود دارد که هیپاسوس در سفری دریایی این کشف را انجام داد و فیثاغورثی‌ها او را به دریا انداختند «به دلیل ایجاد عنصری از جهان، که این نظریه را رد می‌کند که همه موجودات در جهان را می‌توان به اعداد کامل و نسبت‌های آنها تقلیل داد. " کشف هیپاسوس یک مشکل جدی برای ریاضیات فیثاغورثی ایجاد کرد و این فرض اساسی را که اعداد و اجسام هندسی یکی و جدایی ناپذیر هستند از بین برد.

  تعریف عدد غیر منطقی

  اعداد غیرمنطقی اعدادی هستند که در نماد دهی، کسرهای اعشاری غیر تناوبی نامتناهی هستند.

  
  
  

  پس مثلاً اعدادی که با جذر گرفتن اعداد طبیعی به دست می آیند غیر منطقی هستند و مجذور اعداد طبیعی نیستند. اما همه اعداد غیر منطقی با استخراج به دست نمی آیند ریشه های مربع، زیرا عدد پی به دست آمده از روش تقسیم نیز غیرمنطقی است و در هنگام استخراج بعید است که آن را بدست آورید. ریشه دوماز یک عدد طبیعی

  خواص اعداد غیر منطقی

  بر خلاف اعدادی که در کسرهای اعشاری نامتناهی نوشته می شوند، فقط اعداد غیرمنطقی در کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تناوبی نوشته می شوند.
  مجموع دو عدد غیرمنفی غیرمنفی در نهایت می تواند یک عدد گویا باشد.
  اعداد گنگمقاطع Dedekind را در مجموعه اعداد گویا تعریف کنید که در کلاس پایین بزرگترین عدد و در طبقه بالا کوچکتر وجود ندارد.
  هر عدد ماورایی واقعی غیرمنطقی است.
  همه اعداد غیر منطقی یا جبری هستند یا ماورایی.
  مجموعه اعداد غیرمنطقی روی خط به صورت متراکم بسته بندی شده اند و بین هر دو عدد آن حتماً یک عدد غیر منطقی وجود دارد.
  مجموعه اعداد غیر منطقی نامتناهی، غیرقابل شمارش و مجموعه ای از دسته 2 است.
  هنگام انجام هر عملیات حسابی بر روی اعداد گویا، به جز تقسیم بر 0، نتیجه آن یک عدد گویا خواهد بود.
  وقتی یک عدد گویا را به یک عدد غیر منطقی اضافه می کنیم، نتیجه همیشه یک عدد غیر منطقی است.
  وقتی اعداد غیر منطقی را جمع می کنیم، در نتیجه می توانیم یک عدد گویا به دست آوریم.
  مجموعه اعداد غیر منطقی زوج نیستند.
  

  اعداد غیر منطقی نیستند

  گاهی اوقات پاسخ به این سوال که آیا یک عدد غیر منطقی است بسیار دشوار است، به خصوص در مواردی که عدد به صورت کسری اعشاری یا به صورت اعشاری است. بیان عددی، ریشه یا لگاریتم.

  بنابراین، دانستن اینکه کدام اعداد غیر منطقی نیستند، اضافی نخواهد بود. اگر از تعریف اعداد غیر منطقی پیروی کنیم، از قبل می دانیم که اعداد گویا نمی توانند غیر منطقی باشند.

  اعداد غیر منطقی نیستند:

  اول، همه اعداد طبیعی؛
  دوم، اعداد صحیح؛
  ثالثاً کسرهای رایج;
  چهارم، متفاوت اعداد مختلط;
  پنجم، اینها کسرهای اعشاری متناوب نامتناهی هستند.
  

  علاوه بر تمام موارد فوق، هر ترکیبی از اعداد گویا که با علائم عملیات حسابی مانند +، -،، : انجام شود، نمی تواند یک عدد غیر منطقی باشد، زیرا در این صورت حاصل دو عدد گویا نیز خواهد بود. یک عدد گویا باشد

  حال بیایید ببینیم کدام یک از اعداد غیر منطقی هستند:

  
  
  

  آیا از وجود باشگاه هوادارانی اطلاع دارید که در آن طرفداران این پدیده ریاضی مرموز به دنبال اطلاعات جدیدی در مورد پی هستند و سعی در کشف رمز و راز آن دارند. هر فردی که پس از نقطه اعشار تعداد معینی از اعداد پی را به طور صمیمانه بداند می تواند عضو این باشگاه شود.

  آیا می دانستید که در آلمان، تحت حفاظت یونسکو، کاخ Castadel Monte وجود دارد که به لطف نسبت های آن می توانید پی را محاسبه کنید. یک قصر کامل توسط پادشاه فردریک دوم به این شماره اختصاص داده شد.

  به نظر می رسد که سعی شده است از عدد Pi در ساخت و ساز استفاده شود برج بابل. اما با کمال تاسف ما، این منجر به سقوط پروژه شد، زیرا در آن زمان محاسبه دقیق مقدار Pi به اندازه کافی مطالعه نشده بود.

  کیت بوش خواننده در دیسک جدید خود آهنگی به نام "پی" را ضبط کرد که صد و بیست و چهار عدد از سری شماره های معروف 3، 141 ... ..

  قبلاً نشان دادیم که $1\frac25$ نزدیک به $\sqrt2$ است. اگر دقیقا برابر با $\sqrt2$ بود، . سپس نسبت -$\frac(1\frac25)(1)$ که می‌توان آن را با ضرب قسمت‌های بالا و پایین کسر در 5 به نسبت اعداد صحیح $\frac75$ تبدیل کرد، مقدار مورد نظر خواهد بود.

  اما متاسفانه $1\frac25$ مقدار دقیق $\sqrt2$ نیست. پاسخ دقیق تر $1\frac(41)(100)$ با رابطه $\frac(141)(100)$ داده می شود. هنگامی که $\sqrt2$ را با $1\frac(207) (500)$ برابر می کنیم، به دقت حتی بیشتر می رسیم. در این صورت، نسبت در اعداد صحیح برابر با $\frac(707)(500)$ خواهد بود. اما $1\frac(207)(500)$ نیز مقدار دقیق جذر 2 نیست. ریاضیدانان یونانی زمان و تلاش زیادی را صرف محاسبه مقدار دقیق $\sqrt2$ کردند، اما هرگز موفق نشدند. آنها نتوانستند نسبت $\frac(\sqrt2)(1)$ را به عنوان نسبتی از اعداد صحیح نشان دهند.

  سرانجام، اقلیدس ریاضیدان بزرگ یونانی ثابت کرد که هر چقدر دقت محاسبات افزایش یابد، نمی توان مقدار دقیق $\sqrt2$ را بدست آورد. هیچ کسری وجود ندارد که با مجذور شدن آن 2 به دست آید. گفته می شود که فیثاغورث اولین کسی بود که به این نتیجه رسید، اما این واقعیت غیرقابل توضیح دانشمند را چنان تحت تأثیر قرار داد که او خود را قسم خورد و از شاگردانش سوگند یاد کرد که حفظ کند. این کشف یک راز با این حال، این اطلاعات ممکن است درست نباشد.

  اما اگر عدد $\frac(\sqrt2)(1)$ را نتوان به عنوان نسبتی از اعداد صحیح نشان داد، آنگاه هیچ عددی حاوی $\sqrt2$ نیست، برای مثال $\frac(\sqrt2)(2)$ یا $\frac (4)(\sqrt2)$ را نیز نمی توان به عنوان نسبتی از اعداد صحیح نشان داد، زیرا همه این کسری ها را می توان به $\frac(\sqrt2)(1)$ ضرب در یک عدد تبدیل کرد. بنابراین $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. یا $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$ که می‌توان با ضرب بالا و پایین در $\sqrt2$ تبدیل به $\frac(4) شد. (\sqrt2)$. (نباید فراموش کنیم که مهم نیست که عدد $\sqrt2$ چیست، اگر آن را در $\sqrt2$ ضرب کنیم، عدد 2 به دست می‌آید.)
  
  از آنجایی که عدد $\sqrt2$ را نمی توان به عنوان نسبتی از اعداد صحیح نشان داد، نامیده می شود. عدد گنگ. از طرف دیگر، تمام اعدادی که می توانند به صورت نسبتی از اعداد صحیح نمایش داده شوند، فراخوانی می شوند گویا.

  همه اعداد صحیح و کسری، اعم از مثبت و منفی، گویا هستند.

  همانطور که مشخص است، بیشتر ریشه های مربع اعداد غیر منطقی هستند. جذر گویا فقط برای اعداد موجود در یک سری اعداد مربع است. به این اعداد مربع کامل نیز می گویند. اعداد گویا نیز کسرهایی هستند که از این مربع های کامل تشکیل شده اند. برای مثال، $\sqrt(1\frac79)$ یک عدد گویا است زیرا $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ یا $1\frac13$ (4 ریشه است. مربع 16 و 3 جذر 9 است).

  درک اعداد، به ویژه اعداد طبیعی، یکی از قدیمی ترین "مهارت های" ریاضی است. بسیاری از تمدن‌ها، حتی تمدن‌های امروزی، به دلیل اهمیت زیادی که در توصیف طبیعت دارند، برخی ویژگی‌های عرفانی را به اعداد نسبت می‌دهند. با اينكه علم مدرنو ریاضیات این ویژگی های "جادویی" را تأیید نمی کند، اهمیت نظریه اعداد غیرقابل انکار است.

  از نظر تاریخی، ابتدا اعداد طبیعی بسیاری ظاهر شدند، سپس به زودی کسرها و اعداد غیر منطقی مثبت به آنها اضافه شدند. اعداد صفر و منفی بعد از این زیر مجموعه های مجموعه اعداد حقیقی معرفی شدند. آخرین مجموعه، مجموعه اعداد مختلط، تنها با توسعه علم مدرن ظاهر شد.

  در ریاضیات مدرن، اعداد نه به ترتیب تاریخی، اگرچه کاملاً نزدیک به آن معرفی می شوند.

  اعداد طبیعی $\mathbb(N)$

  مجموعه اعداد طبیعی اغلب به صورت $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ نشان داده می شود و اغلب با صفر برای نشان دادن $\mathbb(N)_0$ نشان داده می شود.

  $\mathbb(N)$ عملیات جمع (+) و ضرب ($\cdot$) را با خواص زیربرای هر $a,b,c\in \mathbb(N)$:

  1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ مجموعه $\mathbb(N)$ تحت جمع و ضرب بسته می‌شود
  2. $a+b=b+a$، $a\cdot b=b\cdot a$ تغییرپذیری
  3. تداعی $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
  4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ توزیع
  5. $a\cdot 1=a$ عنصر خنثی برای ضرب است

  از آنجایی که مجموعه $\mathbb(N)$ حاوی یک عنصر خنثی برای ضرب است اما نه برای جمع، افزودن صفر به این مجموعه تضمین می کند که یک عنصر خنثی برای جمع وجود دارد.

  علاوه بر این دو عملیات، در مجموعه $\mathbb(N)$ روابط "کمتر از" ($

  1. تریکوتومی $a b$
  2. اگر $a\leq b$ و $b\leq a$، آنگاه $a=b$ یک ضد تقارن است
  3. اگر $a\leq b$ و $b\leq c$، آنگاه $a\leq c$ متعدی است
  4. اگر $a\leq b$، سپس $a+c\leq b+c$
  5. اگر $a\leq b$، سپس $a\cdot c\leq b\cdot c$

  اعداد صحیح $\mathbb(Z)$

  مثال های عدد صحیح:
  $1, -20, -100, 30, -40, 120...$

  حل معادله $a+x=b$، که در آن $a$ و $b$ اعداد طبیعی شناخته شده هستند، و $x$ یک عدد طبیعی مجهول است، نیاز به معرفی یک عملیات جدید - تفریق(-) دارد. اگر یک عدد طبیعی $x$ وجود داشته باشد که این معادله را برآورده کند، آنگاه $x=b-a$. با این حال، این معادله خاص لزوماً راه حلی در مجموعه $\mathbb(N)$ ندارد، بنابراین ملاحظات عملی مستلزم گسترش مجموعه اعداد طبیعی به گونه ای است که راه حل های چنین معادله ای را نیز شامل شود. این منجر به معرفی مجموعه ای از اعداد صحیح می شود: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

  از آنجایی که $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$، منطقی است که فرض کنیم عملیات های معرفی شده قبلی $+$ و $\cdot$ و رابطه $1. $0+a=a+0=a$ یک عنصر خنثی برای اضافات وجود دارد
  2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ یک عدد مقابل $-a$ برای $a$ وجود دارد
  

  5. اموال:
  5. اگر $0\leq a$ و $0\leq b$، سپس $0\leq a\cdot b$

  مجموعه $\mathbb(Z) $ نیز تحت تفریق بسته می‌شود، یعنی $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

  اعداد گویا $\mathbb(Q)$

  نمونه هایی از اعداد گویا:
  $\frac(1)(2)، \frac(4)(7)، -\frac(5)(8)، \frac(10)(20)...$

  حال معادلاتی به شکل $a\cdot x=b$ را در نظر بگیرید که $a$ و $b$ اعداد صحیح شناخته شده و $x$ ناشناخته است. برای امکان پذیر ساختن راه حل، لازم است عملیات تقسیم ($:$) را معرفی کنیم و راه حل به $x=b:a$، یعنی $x=\frac(b)(a)$ تبدیل شود. باز هم مشکل پیش می‌آید که $x$ همیشه به $\mathbb(Z)$ تعلق ندارد، بنابراین مجموعه اعداد صحیح باید گسترش یابد. بنابراین، مجموعه اعداد گویا $\mathbb(Q)$ را با عناصر $\frac(p)(q)$ معرفی می‌کنیم، جایی که $p\in \mathbb(Z)$ و $q\in \mathbb(N) $. مجموعه $\mathbb(Z)$ زیرمجموعه ای است که در آن هر عنصر $q=1$، از این رو $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ و عملیات جمع و ضرب نیز بر این مجموعه اعمال می شود. به قوانین زیر، که تمام ویژگی های فوق را نیز در مجموعه $\mathbb(Q)$ حفظ می کند:
  $\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
  $\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

  تقسیم بندی به این صورت وارد می شود:
  $\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

  در مجموعه $\mathbb(Q)$، معادله $a\cdot x=b$ یک راه حل منحصر به فرد برای هر $a\neq 0$ دارد (تقسیم بر صفر تعریف نشده است). این بدان معنی است که یک عنصر معکوس $\frac(1)(a)$ یا $a^(-1)$ وجود دارد:
  $(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

  ترتیب مجموعه $\mathbb(Q)$ را می توان به این ترتیب افزایش داد:
  $\frac(p_1)(q_1)

  مجموعه $\mathbb(Q)$ یک ویژگی مهم دارد: بین هر دو عدد گویا بی نهایت تعداد گویا دیگری وجود دارد، بنابراین، برخلاف مجموعه اعداد طبیعی و صحیح، دو عدد گویا همسایه وجود ندارد.

  اعداد غیر منطقی $\mathbb(I)$

  نمونه هایی از اعداد غیر منطقی:
  $0.333333...$
  $\sqrt(2) \تقریباً 1.41422135...$
  $\pi \حدودا 3.1415926535...$

  از آنجایی که بین هر دو عدد گویا بی نهایت اعداد گویا دیگر وجود دارد، به راحتی می توان به اشتباه نتیجه گرفت که مجموعه اعداد گویا آنقدر متراکم است که نیازی به بسط بیشتر آن نیست. حتی فیثاغورث هم یک بار مرتکب چنین اشتباهی شد. با این حال، معاصران او قبلاً این نتیجه را هنگام مطالعه راه حل های معادله $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) روی مجموعه اعداد گویا رد کردند. برای حل چنین معادله ای باید مفهوم جذر را معرفی کرد و سپس جواب این معادله به شکل $x=\sqrt(2)$ می باشد. معادله ای از نوع $x^2=a$، که در آن $a$ یک عدد گویا شناخته شده و $x$ یک عدد مجهول است، همیشه راه حلی بر روی مجموعه اعداد گویا ندارد و دوباره نیاز است. برای گسترش مجموعه مجموعه ای از اعداد غیرمنطقی بوجود می آیند و اعدادی مانند $\sqrt(2)$، $\sqrt(3)$، $\pi$... متعلق به این مجموعه هستند.

  اعداد واقعی $\mathbb(R)$

  اتحاد مجموعه اعداد گویا و غیر منطقی مجموعه اعداد حقیقی است. از آنجایی که $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$، مجدداً منطقی است که فرض کنیم عملیات‌ها و روابط حسابی معرفی‌شده ویژگی‌های خود را در مجموعه جدید حفظ می‌کنند. اثبات صوری این امر بسیار دشوار است، بنابراین ویژگی های فوق الذکر عملیات حسابی و روابط روی مجموعه اعداد حقیقی به عنوان بدیهیات معرفی می شوند. در جبر به چنین جسمی فیلد می گویند، بنابراین مجموعه اعداد حقیقی را یک میدان مرتب می گویند.

  برای اینکه تعریف مجموعه اعداد حقیقی کامل شود، لازم است یک بدیهیات اضافی معرفی کنیم که مجموعه‌های $\mathbb(Q)$ و $\mathbb(R)$ را متمایز می‌کند. فرض کنید $S$ یک زیرمجموعه غیر خالی از مجموعه اعداد واقعی است. عنصر $b\in \mathbb(R)$ کران بالای $S$ نامیده می شود اگر $\forall x\in S$ $x\leq b$ را برآورده کند. سپس مجموعه $S$ گفته می شود که از بالا محدود شده است. حداقل کران بالای یک مجموعه $S$ supremum نامیده می شود و با $\sup S$ نشان داده می شود. مفاهیم کران پایین، مجموعه ای محدود شده در زیر، و infinum $\inf S$ به طور مشابه معرفی شده اند. حال بدیهیات گمشده به صورت زیر فرموله می شود:

  هر زیرمجموعه غیر خالی و محدود شده از بالا از مجموعه اعداد حقیقی دارای یک مقدار فوق العاده است.
  همچنین می توان ثابت کرد که میدان اعداد حقیقی تعریف شده در بالا منحصر به فرد است.

  اعداد مختلط$\mathbb(C)$

  نمونه هایی از اعداد مختلط:
  $(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
  $1 + 5i، 2 - 4i، -7 + 6i...$ که در آن $i = \sqrt(-1)$ یا $i^2 = -1$

  مجموعه اعداد مختلط همه جفت های مرتب شده اعداد حقیقی است، یعنی $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$، که بر روی آنها عملیات جمع و ضرب به صورت زیر تعریف می شود:
  $(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
  $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

  روش های مختلفی برای نوشتن اعداد مختلط وجود دارد که رایج ترین آنها $z=a+ib$ است که $(a,b)$ یک جفت اعداد واقعی است و عدد $i=(0,1)$ واحد خیالی نامیده می شود.

  نشان دادن اینکه $i^2=-1$ آسان است. گسترش مجموعه $\mathbb(R)$ به مجموعه $\mathbb(C)$ به ما امکان می دهد ریشه دوم را تعیین کنیم. اعداد منفی، که دلیل معرفی مجموعه اعداد مختلط بود. همچنین نشان دادن اینکه زیرمجموعه‌ای از مجموعه $\mathbb(C)$ که به صورت $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ داده می‌شود، آسان است. بدیهیات برای اعداد واقعی، از این رو $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$، یا $R\subset\mathbb(C)$.

  ساختار جبری مجموعه $\mathbb(C)$ با توجه به عملیات جمع و ضرب دارای ویژگی های زیر است:
  1. جابجایی جمع و ضرب
  2. ارتباط جمع و ضرب
  3. $0+i0$ - عنصر خنثی برای اضافه کردن
  4. $1+i0$ - عنصر خنثی برای ضرب
  5. ضرب با توجه به جمع توزیعی است
  6. یک عنصر معکوس هم برای جمع و هم برای ضرب وجود دارد.