انتگرال های پیچیده

این مقاله موضوع انتگرال های نامعلوم را تکمیل می کند و در آن انتگرال هایی که من کاملا پیچیده می دانم شامل می شود. درس در درخواست های مکرر بازدید کنندگان که خواسته ها را بیان کرده اند، به طوری که نمونه های سخت تر بر روی سایت تخریب شده است.

فرض بر این است که خواننده این متن به خوبی آماده شده است و می داند که چگونه تکنیک های اصلی ادغام را اعمال می کند. قتلس و افرادی که بسیار با اعتماد به نفس با یکپارچگی برخورد نمی کنند باید به درس اول مراجعه کنند - انتگرال نامشخص نمونه هایی از راه حل هااز کجا می توانید موضوع را با تقریبا صفر مدیریت کنید. دانش آموزان با تجربه تر می توانند خود را با تکنیک ها و روش های ادغام آشنا کنند، که در مقالات من هنوز برآورده نشده است.

چه انتبورهای در نظر گرفته می شود؟

اول، ما انتگرال ها را با ریشه ها بررسی خواهیم کرد، که به طور مداوم استفاده می شود جایگزینی متغیر و ادغام در قطعات. این است که در یک مثال، دو پذیرایی ترکیب می شوند. و حتی بیشتر.

سپس ما با جالب و اصلی آشنا خواهیم شد اطلاعات متداول اطلاعاتی به خودتان. این روش نه چندان انتگرال حل نشده است.

تعداد سوم این برنامه، انتگرال ها را از فراکسیون های پیچیده ای می گذرانند که در مقالات قبلی ثبت شده بود.

چهارم، انتگرال های اضافی از توابع مثلثاتی از هم جدا خواهد شد. به طور خاص، روش هایی وجود دارد که به شما اجازه می دهد از زمان مصرف یک تعویض مثلثاتی جهانی اجتناب کنید.

(2) در تابع انتگرال، عددی در مورد نامزدی.

(3) از ویژگی خطی بودن یک انتگرال نامحدود استفاده کنید. در آخرین انتگرال بلافاصله تابع را تحت نشانه دیفرانسیل قرار دهید.

(4) انتگرال های باقی مانده را بیابید. لطفا توجه داشته باشید که در لگاریتم شما می توانید از براکت ها استفاده کنید، نه یک ماژول، از آنجا که.

(5) ما یک جایگزین را نگه می داریم، بیانگر از جایگزینی مستقیم "TE":

دانش آموزان Masochian می توانند پاسخ را تغییر دهند و عملکرد اصلی انتگرال را به عنوان من فقط انجام دهند. نه، نه، من تأیید را در رابطه مناسب انجام دادم \u003d)

همانطور که می بینید، در طول تصمیم من باید بیش از دو تصمیم از راه حل را استفاده کنم، بنابراین برای تجدید نظر با انتگرال های مشابه، شما نیاز به مهارت های یکپارچه اعتماد به نفس دارید و نه کوچکترین تجربه.

در عمل، البته، ریشه مربع شایع تر است، در اینجا سه \u200b\u200bنمونه برای یک راه حل مستقل وجود دارد:

مثال 2

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

مثال 3

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

مثال 4

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

این نمونه ها از همان نوع، بنابراین راه حل کامل در پایان مقاله تنها به عنوان مثال 2، در نمونه های 3-4 - یک پاسخ. به وضوح فکر می کنم که چه جایگزینی برای اعمال در ابتدای تصمیمات اعمال می شود. چرا من همان نوع نمونه را انتخاب کردم؟ اغلب در نقش شما یافت می شود. اغلب، شاید، فقط چیزی شبیه .

اما نه همیشه، زمانی که تحت ArctGennes، Sinus، Consine، Exponential، و غیره، ویژگی های ریشه یک تابع خطی، چندین روش باید استفاده شود. در برخی موارد، ممکن است "خلاص شدن از شر"، یعنی بلافاصله پس از جایگزینی، یک انتگرال ساده به دست آمده است، که ابتدایی طول می کشد. ساده ترین وظایف پیشنهاد شده مثال 4 است، در آن پس از جایگزینی، یک انتگرال نسبتا ساده را تبدیل می کند.

اطلاعات متداول اطلاعاتی به خودتان

یک روش عجیب و غریب و زیبا. بلافاصله کلاسیک ژانر را در نظر بگیرید:

مثال 5

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

زیر ریشه یک بیکون مربع وجود دارد، و هنگام تلاش برای ادغام این مثال، کتری می تواند ساعت ها را تجربه کند. چنین انتگرال در قطعات گرفته شده است و به خودی خود می آید. در اصل، دشوار نیست. اگر می دانید چطور؟

نشان دادن انتگرال در نظر گرفته شده از نامه لاتین و شروع راه حل:

ما در قطعات ادغام می کنیم:

(1) ما یک تابع جایگزینی را برای تقسیم خاک آماده می کنیم.

(2) ما تابع جایگزینی را تقسیم می کنیم. شاید به وضوح به وضوح، من جزئیات بیشتری خواهم نوشت:

(3) از ویژگی خطی بودن یک انتگرال نامحدود استفاده کنید.

(4) آخرین انتگرال ("طولانی" لگاریتم را انتخاب کنید).

در حال حاضر ما به آغاز تصمیم گیری نگاه می کنیم:

و در پایان:

چی شد؟ به عنوان یک نتیجه از دستکاری های ما، انتگرال به خود رسید!

ما شروع و پایان را معادل می کنیم:

ما با تغییر علامت به سمت چپ انتقال می دهیم:

و نسخه ی نمایشی دمو به سمت راست. در نتیجه:

دائمی، به شدت صحبت کرد، باید زودتر اضافه شود، اما آن را در انتها نسبت داد. من به شدت توصیه می کنم خواندن آنچه در اینجا برای سختی است:

توجه داشته باشید: مرحله نهایی دقیق راه حل به نظر می رسد این است:

به این ترتیب:

ثابت می تواند دوباره استفاده شود. چرا شما می توانید مجددا مجددا؟ از آنجا که هنوز طول می کشد هر چیزی ارزش ها، و در این معنی بین ثابت ها و هیچ تفاوتی وجود ندارد.
در نتیجه:

چنین ترفندی با مستمر مجددا به طور گسترده ای مورد استفاده قرار می گیرد معادلات دیفرانسیل. و آنجا من سخت خواهد بود و در اینجا چنین آزادی تنها به من اجازه می دهد تا شما را با چیزهای اضافی اشتباه نگیرید و بر روی روش ادغام خود تمرکز کنید.

مثال 6

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

یکی دیگر از انتگرال های معمول برای خود تصمیم گیری. راه حل کامل و پاسخ در پایان درس. تفاوت با پاسخ مثال قبلی خواهد بود!

اگر ریشه مربع یک مربع سه گانه باشد، سپس راه حل در هر مورد به دو نمونه جدا شده کاهش می یابد.

به عنوان مثال، انتگرال را در نظر بگیرید . همه چیزهایی که باید انجام دهید پیش از آن است مربع کامل را انتخاب کنید:
.
بعد، جایگزینی خطی انجام می شود، که هزینه "بدون هیچ گونه عواقب":
در نتیجه، انتگرال به دست آمده است. چیزی آشنا، درست است؟

یا چنین نمونه ای، با مربع پر شده است:
ما یک مربع کامل را برجسته می کنیم:
و پس از جایگزینی خطی، ما یک انتگرال را دریافت می کنیم، که همچنین توسط الگوریتم که قبلا در نظر گرفته شده حل شده است.

دو نمونه معمول را در مورد دریافت اطلاعات انتگرال به خودتان در نظر بگیرید:
- انتگرال از نمایشگاه ضرب شده توسط سینوس؛
- انتگرال از نمایشگاه ضرب شده توسط Consine.

در انتگرال های ذکر شده در بخش ها باید دو بار مجتمع شوند:

مثال 7

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

تابع انتگرال یک غرفه است که توسط سینوس ضرب می شود.

ما دو بار در بخش ها ادغام می کنیم و به خودتان یکپارچه می کنیم:

به عنوان یک نتیجه از دو بار ادغام در قطعات، انتگرال به خود به خود رسیده است. ما راه حل های ابتدایی و پایان را برابر می کنیم:

ما با تغییر علامت به سمت چپ انتقال می دهیم و انتگرال ما را بیان می کنیم:

آماده. همچنین، مطلوب برای مبارزه با سمت راست، به عنوان مثال برای ایجاد نماینده برای براکت ها، و در براکت ها برای قرار دادن سینوس با کوزین در سفارش "زیبا".

حالا اجازه دهید به آغاز مثال، یا به جای آن - به ادغام در قطعات:

برای ما نماینده را تعیین کردیم. این سوال مطرح می شود، همیشه لازم است به نماینده مراجعه کنید؟ لازم نیست. در واقع، در انتگرال مورد بررسی اصل فرقی نداردچه باید بکنید، ممکن بود به راه دیگری بروید:

چرا ممکن است؟ از آنجا که غرفه تبدیل به خود (و در طول تمایز، و در طول یکپارچگی)، سینوس با کوزین به طور متقابل تبدیل به یکدیگر (دوباره - هر دو در طول تمایز، و در طول ادغام).

به عبارت دیگر، تابع مثلثاتی را می توان نشان داد. اما، در مثال مورد بررسی، کمتر منطقی است، زیرا بخش ها ظاهر خواهند شد. اگر می خواهید، می توانید سعی کنید این مثال را در مسیر دوم حل کنید، پاسخ ها باید همزمان شوند.

مثال 8

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است. قبل از تصمیم گیری، فکر کنید در مورد آن در این مورد سودآور تر است تا عملکرد، نماینده یا عملکرد مثلثاتی را تعیین کند؟ راه حل کامل و پاسخ در پایان درس.

و، البته، فراموش نکنید که اکثر پاسخ های این درس نسبتا آسان برای بررسی تمایز است!

مثالها سخت تر نبودند. در عمل، انتگرال ها اغلب یافت می شوند، جایی که ثابت در شاخص نماینده و در استدلال تابع مثلثاتی وجود دارد، به عنوان مثال:. فکر می کنم در یک انتگرال مشابه، باید بسیاری را بسازیم، اغلب مرا گیج می کنم. واقعیت این است که در حل احتمال ظهور فراکسیون ها، و به سادگی چیزی شدید برای از دست دادن است. علاوه بر این، احتمال اشتباهات در نشانه ها عالی است، لطفا توجه داشته باشید که در شاخص نماینده نشانه منفی وجود دارد، و این باعث مشکل اضافی می شود.

در مرحله نهایی، تقریبا موارد زیر اغلب به دست می آید:

حتی در پایان این تصمیم باید بسیار توجه و صلاحیت با کسری باشد:

ادغام بخش های پیچیده

به آرامی ما به استوا درس می رویم و شروع به در نظر گرفتن انتگرال ها از بخش ها می کنیم. باز هم، نه همه آنها superswit نیستند، فقط به یک دلیل یا نمونه های دیگری کمی "در موضوع" در سایر مقالات بود.

ما موضوع ریشه ها را ادامه می دهیم

مثال 9

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

در مخارج، تحت ریشه، مربع سه درجه ای به علاوه خارج از ریشه "بهبود" به شکل "IKSA" وجود دارد. انتگرال این نوع با استفاده از جایگزینی استاندارد حل می شود.

ما تصمیم گرفتیم:

جایگزینی در اینجا ساده است:

ما بعد از جایگزینی به زندگی نگاه می کنیم:

(1) پس از جایگزینی، ما به شرایط نامنویسی کل زیر ریشه می دهیم.
(2) ما از ریشه تحمل می کنیم.
(3) عددی و نامزدی کاهش می یابد. در همان زمان، تحت ریشه، من اجزای را در یک نظم راحت مرتب کردم. با یک آزمایش خاص، مراحل (1)، (2) را می توان با انجام اقدامات اظهار نظر به صورت خوراکی از بین برد.
(4) انتگرال به دست آمده، همانطور که از درس به یاد می آورید ادغام برخی از کسرها، تصمیم می گیرد روش تخصیص یک مربع کامل. مربع کامل را انتخاب کنید
(5) ادغام ما یک لگاریتم "طولانی" را دریافت می کنیم.
(6) یک جایگزین را انجام دهید. اگر در ابتدا، پس از آن :.
(7) اقدام نهایی به مدل موهای نتیجه منجر می شود: زیر ریشه، آنها دوباره مولفه ها را به کل معکوس می رسانند و از ریشه تحمل می کنند.

مثال 10

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است. در اینجا ثابت به "ICSU تنها" اضافه شده است، و جایگزینی تقریبا یکسان است:

تنها چیزی که نیاز دارید علاوه بر این، "X" را از جایگزینی بیان کنید:

راه حل کامل و پاسخ در پایان درس.

گاهی اوقات در چنین انتگرال زیر ریشه ممکن است یک بکر مربع وجود داشته باشد، این راه حل را تغییر نمی دهد، حتی ساده تر خواهد شد. تفاوت را احساس کنید:

مثال 11

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

مثال 12

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

تصمیمات کوتاه و پاسخ در پایان درس. لازم به ذکر است که این مثال 11 دقیقا است انتگرال دوجانبه، تصمیم خود را در درس در نظر گرفت انتگرال از توابع غیر منطقی.

انتگرال از چندجملهای غیر قابل تشخیص از درجه دوم به درجه

(چندجملهای در نامزدی)

بیشتر نادر، اما، با این حال، در نمونه های عملی، دیدگاه انتگرال.

مثال 13

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

اما بیایید به عنوان مثال با یک شماره خوشحال 13 (صادقانه، مناسب نبود) بازگشت. این انتگرال نیز از دسته از کسانی است که شما می توانید به اندازه کافی به اندازه کافی، اگر شما نمی دانید چگونه به حل.

این تصمیم با تحول مصنوعی آغاز می شود:

چگونه می توان عددی را به نام معیوب تقسیم کرد، من فکر می کنم همه چیز درک شده است.

انتگرال حاصل شده در قطعات گرفته شده است:

برای یکپارچگی دیدگاه (- عدد طبیعی) حذف شده است مکرر فرمول کاهش درجه:
جایی که - درجه یکپارچه پایین تر.

من از عدالت این فرمول برای انتگرال پیامبر متقاعد خواهم شد.
در این مورد،: ما از فرمول استفاده می کنیم:

همانطور که می بینید، پاسخ ها همزمان هستند.

مثال 14

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است. در نمونه محلول، فرمول فوق الذکر دو بار بود.

اگر تحت درجه واقع باشد مستقل در ضرب کننده ها مربع سه گانه، سپس راه حل به دلیل برجسته کردن یک مربع کامل، به عنوان مثال:

اگر شما علاوه بر این در عددی، چند جمله ای وجود دارد؟ در این مورد، روش ضرایب نامحدود استفاده می شود و عملکرد یکپارچه در مقدار کسری ها توصیف می شود. اما در عمل من از چنین نمونه ای من ملاقات نکردم، بنابراین من این مورد را در این مقاله از دست دادم انتگرال از عملکرد منطقی کسریمن دلم برات تنگ شده اگر چنین انتگرال هنوز هم ملاقات، نگاهی به کتاب درسی - همه چیز ساده است. من آن را در نظر نمی گیرم که مواد را شامل می شود (حتی ساده)، احتمال ملاقات با آن به صفر تلاش می کند.

ادغام توابع مثلثاتی پیچیده

"مجتمع" صفت "برای بسیاری از نمونه ها از بسیاری موارد مشروط است. بیایید با تانگ ها و KotanGenes در درجه های بالا شروع کنیم. از دیدگاه روش های حل مماسی و KotanGent، تقریبا یکسان، بنابراین من بیشتر در مورد مماس صحبت خواهم کرد، به این معنی که پذیرش نشان داده شده از راه حل انتگرال منصفانه است و همچنین برای Cotangent نیز وجود دارد.

در درس فوق، ما در نظر گرفته ایم تعویض مثلثاتی جهانی برای حل یک نوع خاص از انتگرال ها از توابع مثلثاتی. فقدان جایگزینی مثلثاتی جهانی این است که وقتی استفاده می شود، انتگرال های بزرگ با محاسبات دشوار اغلب رخ می دهد. و در برخی موارد از جایگزینی مثلثاتی جهانی می توان اجتناب کرد!

یکی دیگر از مثال های کانونی را در نظر بگیرید، انتگرال از واحد تقسیم به سینوس:

مثال 17

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

در اینجا شما می توانید از جایگزینی مثلثاتی جهانی استفاده کنید و یک پاسخ دریافت کنید، اما یک مسیر منطقی تر وجود دارد. من یک راه حل کامل با نظرات برای هر مرحله ارائه خواهم داد:

(1) از فرمول مثلثاتی از زاویه دوگانه استفاده کنید.
(2) ما یک تحول مصنوعی انجام می دهیم: در مخارج ما تقسیم و ضرب آن را افزایش می دهیم.
(3) با توجه به فرمول شناخته شده در نامزدی، ما کسری را در مماس تبدیل می کنیم.
(4) تابع را تحت نشانه دیفرانسیل قرار دهید.
(5) انتگرال را بیابید.

چند نمونه ساده برای یک راه حل مستقل:

مثال 18

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

توجه: اولین اقدام باید توسط فرمول استفاده شود و با دقت شبیه به مثال قبلی اقدام انجام می شود.

مثال 19

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

خوب، این یک مثال کاملا ساده است.

راه حل های کامل و پاسخ در پایان درس.

من فکر می کنم اکنون هیچ کس مشکلی با انتگرال ندارد:
و غیره.

ایده روش چیست؟ ایده این است که با کمک تحول ها، فرمول های مثلثاتی برای سازماندهی در انتگرال تنها مماس و مشتق مماس. یعنی این در مورد جایگزینی است: . در مثال های 17-19، ما در واقع این جایگزینی را اعمال کردیم، اما انتگرال ها بسیار ساده بودند که هزینه معادل آن هزینه می شد - برای خلاصه کردن عملکرد تحت نشانه دیفرانسیل.

استدلال های مشابه، همانطور که قبلا تعیین کرده ام، می توانید برای Cotangent صرف کنید.

یک پیش شرط رسمی برای استفاده از جایگزینی فوق وجود دارد:

مجموع درجه های کوزین و سینوسی تعداد کل منفی است، به عنوان مثال:

برای انتگرال - تعداد کل منفی.

! توجه داشته باشید : اگر تابع انتگرال تنها حاوی سینوس یا تنها کوزین باشد، پس از آن یک انتگرال در درجه ای منفی منفی گرفته می شود (ساده ترین موارد در نمونه های شماره 11، 18).

یک زن و شوهر از وظایف آموزنده تر برای این قانون را در نظر بگیرید:

مثال 20

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

مجموع درجه سینوس و کوزین: 2 - 6 \u003d -4 یک عدد کل منفی است، به این معنی که انتگرال می تواند به ماسمان ها و مشتقات آن کاهش یابد:

(1) ما عنصر را تبدیل می کنیم.
(2) با توجه به فرمول معروف، ما دریافت می کنیم.
(3) ما عنصر را تبدیل می کنیم.
(4) ما از فرمول استفاده می کنیم .
(5) تابع را تحت نشانه دیفرانسیل تسلیم کنید.
(6) ما جایگزین می کنیم. دانش آموزان با تجربه تر را نمی توان جایگزین کرد، اما هنوز هم بهتر است جایگزین مماس را با یک حرف جایگزین کند - خطر کمتر گیج شده است.

مثال 21

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است.

نگه داشتن، دور قهرمان شروع \u003d)

اغلب در تابع انتگرال "Solyanka" است:

مثال 22

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

در این انتگرال، مماس در ابتدا حضور دارد، که بلافاصله در اندیشه های آشنا پیروی می کند:

تحول مصنوعی در ابتدا و بقایای باقی مانده بدون نظر، از آنجا که همه چیز در بالا ذکر شد.

یک جفت نمونه خلاقانه برای یک راه حل مستقل:

مثال 23

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

مثال 24

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

بله، در آنها، البته، ممکن است میزان سینوس، کوزین را کاهش دهد، برای استفاده از جایگزینی مثلثاتی جهانی، اما این تصمیم بسیار کارآمدتر و کوتاهتر خواهد بود اگر از طریق مماس انجام شود. راه حل کامل و پاسخ در پایان درس

آیا شما به دنبال ریشه X از X ابتدایی هستید؟ . یک راه حل دقیق با توضیحات و توضیحات به شما کمک خواهد کرد که حتی با سخت ترین کار و انتگرال ریشه X، بدون استثنا، آن را کشف کنید. ما به شما کمک خواهیم کرد که برای تکالیف، کنترل، المپیک ها، و همچنین پذیرش در دانشگاه آماده شوید. و هر یک از نمونه ها، هر درخواست در ریاضیات شما معرفی شده است - ما قبلا یک راه حل داریم. به عنوان مثال، "ریشه X از X ابتدایی است."

استفاده از مشکلات مختلف ریاضی، ماشین حساب ها، معادلات و توابع در زندگی ما گسترده است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شود. مرد ریاضیات مورد استفاده در دوران باستان و از آن زمان درخواست آنها تنها افزایش می یابد. با این حال، علم هنوز باقی نمی ماند و ما می توانیم از میوه های فعالیت های خود مانند ماشین حساب آنلاین لذت ببریم، که می تواند مشکلات را حل کند، مانند ریشه X از ابتدای X اولیه، انتگرال از ریشه X، یکپارچه از ریشه X، ریشه انتگرال مربع، ریشه انتگرال 1 x 2، ریشه انتگرال از x، ریشه انتگرال از x 2 1، ریشه انتگرال از x، یکپارچه ریشه، یکپارچه ریشه از X، یکپارچه ریشه مربع یکپارچه، انتگرال یکپارچه از X، انتگرال با ریشه های ریشه، ریشه از ریشه از X انتگرال، ریشه X ابتدایی، ریشه X انتگرال X، ریشه X ابتدایی، اولیه 3 ریشه از X، ریشه اولیه X از X، ابتدایی از ریشه X، ابتدایی از ریشه X، ریشه اولیه از x، اولیه ریشه X، اولیه ریشه ابتدایی، ریشه اولیه X، ریشه اولیه X، ابتدایی از ریشه، ابتدایی از ریشه X، ریشه اولیه X است. در این صفحه شما یک ماشین حساب پیدا خواهید کرد که به حل هر گونه سوال کمک می کند، از جمله X ریشه X اولیه. (به عنوان مثال، انتگرال ریشه X).

کجا می توانم هر کاری را در ریاضیات حل کنم، همچنین ریشه X از X ابتدایی آنلاین؟

Root Task X را از X اول شکل خود را در وب سایت ما حل کنید. یک حل کننده آنلاین رایگان، وظیفه آنلاین هر گونه پیچیدگی را در عرض چند ثانیه حل خواهد کرد. همه چیزهایی که باید انجام دهید این است که فقط اطلاعات خود را در حل کننده وارد کنید. شما همچنین می توانید دستورالعمل های ویدئویی را تماشا کنید و نحوه اصلاح کار خود را در وب سایت ما پیدا کنید. و اگر سوالی دارید، می توانید آنها را در پایین سمت چپ در صفحه ماشین حساب قرار دهید.

تعریف یک تابع ابتدایی

• تابع y \u003d f (x)نامیده می شود اولیه برای عملکرد y \u003d f (x) در یک فاصله مشخص ایکس،اگر برای همه h. ∈ H. برابری انجام می شود: f '(x) \u003d f (x)

شما می توانید به دو روش بخوانید:

1. f. تابع مشتق شده F.
2. F. ایده آل برای عملکرد f.

اموال اولیه

• اگر یک f (x)- مناسب برای عملکرد f (x) در یک شکاف داده شده، تابع f (x) بی نهایت بسیاری از ابتدایی است، و همه این ابتدایی می تواند به عنوان نوشته شده است f (x) + باجایی که C ثابت خودسرانه است.

تفسیر هندسی

• نمودارهای ابتدایی این ویژگی. f (x) به دست آمده از گراف هر یک از انتقال موازی اولیه در امتداد محور در مورد w..

قوانین محاسبه اولیه

1. اولین مقدار برابر با مجموع حقوقی است. اگر یک f (x) - پیش از آن f (x)، و g (x) ابتدایی است g (x)T. f (x) + g (x) - پیش از آن f (x) + g (x).
2. ضریب دائمی می تواند برای علامت مشتق شده ساخته شود. اگر یک f (x) - پیش از آن f (x)، من. k. - ثابت، سپس k · f (x) - پیش از آن k · f (x).
3. اگر یک f (x) - پیش از آن f (x)، من. k، B. - ثابت، و k ≠ 0T. 1 / k · f (kx + b) - پیش از آن f (kx + b).

یاد آوردن!

هر ویژگی f (x) \u003d x 2 + جایی که C ثابت دائمی است و تنها چنین عملکرد یک عمل اولیه برای عملکرد است f (x) \u003d 2x.

• مثلا:

  f "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x)؛

  f (x) \u003d 2x، زیرا f "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x)؛

  f (x) \u003d 2x، زیرا f "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x)؛

اتصال بین نمودارهای عملکرد و اولیه آن:

1. اگر نمودار تابع باشد f (x)\u003e 0 در فاصله زمانی، برنامه اولیه آن ابتدایی است f (x) در این فاصله افزایش می یابد.
2. اگر نمودار تابع باشد f (x) در فاصله، سپس نمودار اولیه آن f (x) در این فاصله کاهش می یابد.
3. اگر یک f (x) \u003d 0سپس نمودار ابتدایی او f (x) در این مرحله با کاهش افزایش (یا بالعکس) تغییر می کند.

برای تعیین، نشانه یک انتگرال نامشخص استفاده می شود، یعنی یکپارچگی بدون مشخص کردن محدودیت های ادغام.

جدایی ناپذیر

تعریف:

• یکپارچگی نامشخص از تابع f (x) عبارت F (x) + C است، یعنی ترکیبی از تمام توابع اولیه f (x). یک انتگرال نامحدود را به شرح زیر نشان می دهد: \\ int f (x) dx \u003d f (x) + c

• f (x)- به تابع یکپارچه مراجعه کنید
• f (x) dx- یک عبارت همبستگی نامیده می شود؛
• ایکس. - متغیر یکپارچه سازی تماس؛
• f (x) - یکی از توابع ابتدایی f (x)؛
• از جانب - دائمی دلخواه

خواص یک انتگرال نامحدود

1. مشتق از یک انتگرال نامحدود برابر با تابع انتگرال است: (\\ int f (x) dx) \\ prime \u003d f (x).
2. چند ضلعی دائمی بیان یکپارچه را می توان برای یک نشانه انتگرال انجام داد: \\ int k \\ cdot f (x) dx \u003d k \\ cdot \\ int f (x) dx.
3. انتگرال از مقدار (تفاوت) توابع برابر با مقدار (تفاوت) انتگرال از این توابع است: \\ int (f (x) \\ pm g (x)) dx \u003d \\ int f (x) dx \\ pm \\ int \\ int g (x) dx.
4. اگر یک k، B.- ثابت، و k ≠ 0، سپس \\ int f (kx + b) dx \u003d \\ frac (1) (k) \\ cdot f (kx + b) + c.

جدول انتگرال های اولیه و نامعلوم

تابع f (x)	چاپ f (x) + c	انتگرال های نامعلوم \\ int f (x) dx \u003d f (x) + c
0	C.	\\ int 0 dx \u003d c
f (x) \u003d k	f (x) \u003d kx + c	\\ int kdx \u003d kx + c
f (x) \u003d x ^ m، m \\ نه \u003d -1	f (x) \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + c	\\ int x (^ m) dx \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (x)	f (x) \u003d l n \\ lover x \\ rund + c	\\ int \\ frac (DX) (x) \u003d l n \\ lover x \\ rund + c
f (x) \u003d e ^ x	f (x) \u003d e ^ x + c	\\ int e (^ x) dx \u003d e ^ x + c
f (x) \u003d a ^ x	f (x) \u003d \\ frac (a ^ x) (l na) + c	\\ int a (^ x) dx \u003d \\ frac (a ^ x) (l na) + c
f (x) \u003d \\ sin x	f (x) \u003d - \\ cos x + c	\\ int \\ sin x dx \u003d - \\ cos x + c
f (x) \u003d \\ cos x	f (x) \u003d \\ sin x + c	\\ int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sin (^ 2) x)	f (x) \u003d - \\ ctg x + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sin (^ 2) x) \u003d - \\ ctg x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos (^ 2) x)	f (x) \u003d \\ tg x + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sin (^ 2) x) \u003d \\ tg x + c
f (x) \u003d \\ sqrt (x)	f (x) \u003d \\ frac (2x \\ sqrt (x)) (3) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x))	f (x) \u003d 2 \\ sqrt (x) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1-x ^ 2))	f (x) \u003d \\ arcsin x + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1 + x ^ 2))	f (x) \u003d \\ arctg x + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (1 + x ^ 2)) \u003d \\ arcttg x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2))	f (x) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2))	f (x) \u003d \\ arctg \\ frac (x) (a) + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (a) \\ arrctg \\ frac (x) (a) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (1 + x ^ 2)	f (x) \u003d \\ arctg + c	\\ int \\ frac (DX) (1 + x ^ 2) \u003d \\ arcttg + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2) (\\ not \u003d 0)	f (x) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ lerver \\ frac (x-a) (x + a) \\ rund + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ lover / frac (x-a) (x + a) \\ rund + c
f (x) \u003d \\ tg x	f (x) \u003d - l n \\ lover \\ cos x \\ rund + c	\\ int \\ tg x dx \u003d - l n \\ lover \\ cos x \\ rund + c
f (x) \u003d \\ ctg x	f (x) \u003d l n \\ lover \\ sin x \\ rund + c	\\ int \\ ctg x dx \u003d l n \\ lover \\ sin x \\ rund + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sin x)	f (x) \u003d l n \\ lover \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rund + c	\\ int \\ frac (dx) (\\ sin x) \u003d l n \\ lover \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rund + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos x)	f (x) \u003d l n \\ lover \\ tg (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rund + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ cos x) \u003d l n \\ lover \\ tg (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rund + c

فرمول نیوتن لابیتسا

بیایید f (x) این ویژگی، F. ابتدایی دلخواه او.

\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d f (x) | _ (a) ^ (b)\u003d f (b) - f (a)

جایی که f (x) - پیش از آن f (x)

یعنی تابع انتگرال f (x) فاصله زمانی برابر با تفاوت در مناظر در نقاط است ب و آ..

مربع از trapezium curvilinear

trapezium curvilinear یک شکل محدود شده توسط یک برنامه غیر منفی و مداوم در یک بخش از عملکرد محدود شده است f.، Axis Ox و راست x \u003d A. و x \u003d b..

منطقه تراکم انحنا بر اساس فرمول نیوتن لابیتا یافت می شود:

s \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx