تفاوت بین یک عدد غیر منطقی و یک عدد گویا یک مثال است. اعداد گنگ

عدد گنگ- این عدد واقعی، که منطقی نیست، یعنی نمی توان آن را به صورت کسری نشان داد، جایی که اعداد صحیح هستند، . یک عدد غیر منطقی را می توان به صورت یک اعشار بی نهایت بدون تکرار نشان داد.

مجموعه اعداد غیر منطقی معمولا با حروف بزرگ لاتین و بدون سایه نشان داده می شود. بدین ترتیب: یعنی مجموعه اعداد غیر منطقی است تفاوت مجموعه اعداد حقیقی و گویا

به طور دقیق تر، در مورد وجود اعداد غیر منطقی قطعات، غیرقابل قیاس با قطعه ای از طول واحد، قبلاً توسط ریاضیدانان باستان شناخته شده بود: آنها، برای مثال، قیاس ناپذیری مورب و ضلع مربع را می دانستند، که معادل غیرمنطقی بودن عدد است.

خواص

• هر عدد حقیقی را می توان به صورت کسر اعشاری نامتناهی نوشت، در حالی که اعداد غیرمنطقی و فقط آنها به صورت کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تناوبی نوشته می شوند.
• اعداد غیر منطقی برش های ددکیند را در مجموعه اعداد گویا تعریف می کنند که بزرگترین عدد در طبقه پایین و کوچکترین عدد در طبقه بالا وجود ندارد.
• هر عدد ماورایی واقعی غیرمنطقی است.
• هر یک عدد گنگیا جبری است یا ماورایی.
• مجموعه اعداد غیر منطقی همه جا روی خط واقعی متراکم است: بین هر دو عدد یک عدد غیر منطقی وجود دارد.
• ترتیب مجموعه اعداد غیرمنطقی با ترتیب مجموعه اعداد متعالی واقعی هم شکل است.
• مجموعه اعداد غیر منطقی غیرقابل شمارش، مجموعه ای از دسته دوم است.

مثال ها

اعداد گنگ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

غیر منطقی هستند:

مثال های اثبات غیرمنطقی

ریشه 2

برعکس فرض کنید: گویا است، یعنی به صورت کسری تقلیل ناپذیر نمایش داده می شود، جایی که یک عدد صحیح است و یک عدد طبیعی است. بیایید برابری فرضی را مجذور کنیم:

.

از این نتیجه می شود که حتی، بنابراین، زوج و . اجازه دهید که در آن کل. سپس

بنابراین، حتی، بنابراین، حتی و . ما آن را بدست آوردیم و زوج هستند که با تقلیل ناپذیری کسر در تناقض است. بنابراین، فرض اولیه اشتباه بوده و عددی غیرمنطقی است.

لگاریتم باینری عدد 3

برعکس را فرض کنید: عقلانی است، یعنی به صورت کسری نشان داده می شود، جایی که و اعداد صحیح هستند. از آنجا که، و می تواند مثبت در نظر گرفته شود. سپس

اما واضح است، عجیب است. دچار تناقض می شویم.

ه

تاریخ

مفهوم اعداد غیر منطقی به طور ضمنی توسط ریاضیدانان هندی در قرن هفتم قبل از میلاد پذیرفته شد، زمانی که ماناوا (حدود 750 قبل از میلاد - حدود 690 قبل از میلاد) دریافت که ریشه های مربع برخی اعداد طبیعیمانند 2 و 61 را نمی توان به صراحت بیان کرد.

اولین اثبات وجود اعداد غیر منطقی معمولاً به هیپاسوس متاپونتوس (حدود 500 سال قبل از میلاد) نسبت داده می شود، فیثاغورثی که این اثبات را با مطالعه طول اضلاع یک پنتاگرام پیدا کرد. در زمان فیثاغورثی ها، اعتقاد بر این بود که یک واحد طول وجود دارد، به اندازه کافی کوچک و غیرقابل تقسیم، که تعداد صحیح بارها در هر بخش گنجانده شده است. با این حال، هیپاسوس استدلال کرد که هیچ واحد طولی وجود ندارد، زیرا فرض وجود آن منجر به تناقض می شود. او نشان داد که اگر هیپوتنوز یک متساوی الساقین راست گوشهشامل یک عدد صحیح از بخش های واحد است، پس این عدد باید همزمان زوج و فرد باشد. اثبات به این شکل بود:

• نسبت طول هیپوتنوس به طول ساق یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین را می توان به صورت بیان کرد. آ:ب، جایی که آو ببه عنوان کوچکترین ممکن انتخاب شده است.
• طبق قضیه فیثاغورث: آ² = 2 ب².
• زیرا آ² حتی، آباید زوج باشد (زیرا مربع یک عدد فرد فرد خواهد بود).
• تا جایی که آ:بغیر قابل کاهش بباید عجیب و غریب باشد
• زیرا آحتی، نشان می دهد آ = 2y.
• سپس آ² = 4 y² = 2 ب².
• ب² = 2 y²، بنابراین بیکنواخت است، پس بزوج.
• با این حال، ثابت شده است که بفرد. تناقض.

ریاضیدانان یونانی این نسبت را از مقادیر غیرقابل قیاس نامیدند الگوس(غیرقابل بیان)، اما بر اساس افسانه ها، هیپاسوس مورد احترام قرار نگرفت. افسانه‌ای وجود دارد که هیپاسوس در سفری دریایی این کشف را انجام داد و فیثاغورثی‌ها او را به دریا انداختند «به دلیل ایجاد عنصری از جهان، که این نظریه را رد می‌کند که همه موجودات در جهان را می‌توان به اعداد کامل و نسبت‌های آنها تقلیل داد. " کشف هیپاسوس یک مشکل جدی برای ریاضیات فیثاغورثی ایجاد کرد و این فرضیه را که اساس کل نظریه است که اعداد و اجسام هندسی یکی و غیرقابل تفکیک هستند را از بین برد.

عدد گویا عددی است که بتوان آن را به صورت کسری نشان داد که در آن . Q مجموعه تمام اعداد گویا است.

اعداد گویا به دو دسته مثبت، منفی و صفر تقسیم می شوند.

هر عدد گویا را می توان با یک نقطه از خط مختصات مرتبط کرد. رابطه "به سمت چپ" برای نقاط با رابطه "کمتر از" مختصات این نقاط مطابقت دارد. مشاهده می شود که هر عدد منفی کمتر از صفر و هر عدد مثبت است. از دو اعداد منفیکمتر کسی است که مدولش بیشتر باشد. بنابراین، -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

هر عدد گویا را می توان به عنوان کسر تناوبی اعشاری نشان داد. مثلا، .

الگوریتم‌های عملیات روی اعداد گویا از قوانین نشانه‌ها برای عملیات مربوطه روی کسرهای صفر و مثبت پیروی می‌کنند. Q تقسیمی غیر از تقسیم بر صفر انجام می دهد.

هر معادله خطی، یعنی معادله ای به شکل ax+b=0، که در آن، در مجموعه Q قابل حل است، اما نه هیچ معادله درجه دومنوع ، در اعداد گویا قابل حل است. هر نقطه روی یک خط مختصات یک نقطه گویا ندارد. حتی در پایان قرن ششم قبل از میلاد. n e در مکتب فیثاغورث ثابت شد که قطر مربع با ارتفاع آن تناسبی ندارد، که معادل این جمله است: "معادله ریشه عقلی ندارد." همه موارد فوق منجر به نیاز به گسترش مجموعه Q شد، مفهوم عدد غیر منطقی معرفی شد. مجموعه اعداد غیر منطقی را با حرف نشان دهید جی .

در یک خط مختصات، تمام نقاطی که مختصات گویا ندارند، مختصات غیر منطقی دارند. ، جایی که r مجموعه ای از اعداد واقعی هستند. به روشی جهانیتخصیص اعداد واقعی هستند اعداد اعشاری. اعشار تناوبی اعداد گویا و اعشار غیر تناوبی اعداد غیر منطقی را تعریف می کنند. بنابراین، 2.03 (52) یک عدد گویا است، 2.03003000300003 ... (دوره هر رقم بعدی "3" یک صفر بیشتر نوشته می شود) یک عدد غیر منطقی است.

مجموعه‌های Q و R دارای ویژگی‌های مثبت هستند: بین هر دو عدد گویا یک عدد گویا وجود دارد، برای مثال، ecoi a

برای هر عدد غیر منطقی α می توان یک تقریب عقلی را هم با نقص و هم با زیاده روی با هر دقت مشخص کرد: الف.< α

عمل استخراج ریشه از برخی اعداد گویا منجر به اعداد غیر منطقی می شود. استخراج ریشه یک درجه طبیعی یک عملیات جبری است، یعنی. مقدمه آن با حل یک معادله جبری شکل مرتبط است . اگر n فرد باشد، یعنی. n=2k+1، که در آن، معادله یک ریشه دارد. اگر n زوج باشد، n=2k، که در آن، برای a=0 معادله یک ریشه دارد x=0، برای a<0 корней нет, при a>0 دارای دو ریشه است که در مقابل یکدیگر قرار دارند. استخراج ریشه عمل معکوس بالا بردن به یک توان طبیعی است.

ریشه حسابی (برای اختصار، ریشه) درجه n یک عدد غیر منفی a یک عدد غیر منفی b است که ریشه معادله است. ریشه درجه n از عدد a با نماد نشان داده می شود. برای n=2 درجه ریشه 2 نشان داده نمی شود: .

به عنوان مثال، به دلیل 2 2 = 4 و 2> 0; ، زیرا 3 3 = 27 و 3> 0; وجود ندارد زیرا -4<0.

برای n=2k و a>0، ریشه های معادله (1) به صورت و نوشته می شود. به عنوان مثال، ریشه های معادله x 2 \u003d 4 2 و -2 هستند.

برای n فرد، معادله (1) برای هر یک ریشه واحد دارد. اگر a≥0، آنگاه - ریشه این معادله است. اگر یک<0, то –а>0 و - ریشه معادله. بنابراین، معادله x 3 \u003d 27 یک ریشه دارد.

تعریف عدد غیر منطقی

اعداد غیرمنطقی اعدادی هستند که در نماد دهی، کسرهای اعشاری غیر تناوبی نامتناهی هستند.

پس مثلاً اعدادی که با جذر گرفتن اعداد طبیعی به دست می آیند غیر منطقی هستند و مجذور اعداد طبیعی نیستند. اما همه اعداد غیر منطقی با استخراج جذر به دست نمی‌آیند، زیرا عدد پی که از تقسیم به دست می‌آید نیز غیرمنطقی است و در هنگام استخراج جذر از یک عدد طبیعی بعید است که آن را بدست آورید.

خواص اعداد غیر منطقی

بر خلاف اعدادی که در کسرهای اعشاری نامتناهی نوشته می شوند، فقط اعداد غیرمنطقی در کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تناوبی نوشته می شوند.
مجموع دو عدد غیرمنفی غیرمنفی در نهایت می تواند یک عدد گویا باشد.
اعداد غیر منطقی بخش‌های ددکیند را در مجموعه اعداد گویا تعریف می‌کنند که در کلاس پایین‌ترین آنها بزرگترین عدد و در طبقه بالا کوچک‌تر وجود ندارد.
هر عدد ماورایی واقعی غیرمنطقی است.
همه اعداد غیر منطقی یا جبری هستند یا ماورایی.
مجموعه اعداد غیرمنطقی روی خط به طور متراکم بسته بندی شده اند و بین هر دو عدد آن حتماً یک عدد غیر منطقی وجود دارد.
مجموعه اعداد غیر منطقی نامتناهی، غیرقابل شمارش و مجموعه ای از دسته 2 است.
هنگام انجام هر عملیات حسابی بر روی اعداد گویا، به جز تقسیم بر 0، نتیجه آن یک عدد گویا خواهد بود.
وقتی یک عدد گویا را به یک عدد غیر منطقی اضافه می کنیم، نتیجه همیشه یک عدد غیر منطقی است.
وقتی اعداد غیر منطقی را جمع می کنیم، در نتیجه می توانیم یک عدد گویا به دست آوریم.
مجموعه اعداد غیر منطقی زوج نیستند.

اعداد غیر منطقی نیستند

گاهی اوقات پاسخ به این سوال که آیا یک عدد غیر منطقی است، به خصوص در مواردی که عدد به صورت کسری اعشاری یا به صورت یک عبارت عددی، ریشه یا لگاریتم است، بسیار دشوار است.

بنابراین، دانستن اینکه کدام اعداد غیر منطقی نیستند، اضافی نخواهد بود. اگر از تعریف اعداد غیر منطقی پیروی کنیم، از قبل می دانیم که اعداد گویا نمی توانند غیر منطقی باشند.

اعداد غیر منطقی نیستند:

اول، همه اعداد طبیعی؛
دوم، اعداد صحیح؛
ثالثاً کسرهای معمولی;
چهارم، اعداد مختلط مختلف.
پنجم، اینها کسرهای اعشاری متناوب نامتناهی هستند.

علاوه بر تمام موارد فوق، هر ترکیبی از اعداد گویا که با علائم عملیات حسابی مانند +، -،، : انجام شود، نمی تواند یک عدد غیر منطقی باشد، زیرا در این صورت حاصل دو عدد گویا نیز خواهد بود. یک عدد گویا باشد

حال بیایید ببینیم کدام یک از اعداد غیر منطقی هستند:

آیا از وجود باشگاه هوادارانی اطلاع دارید که در آن طرفداران این پدیده ریاضی مرموز به دنبال اطلاعات بیشتر و بیشتری در مورد پی هستند و سعی در کشف رمز و راز آن دارند. هر فردی که پس از نقطه اعشار تعداد معینی از اعداد پی را به طور صمیمانه بداند می تواند عضو این باشگاه شود.

آیا می دانستید که در آلمان، تحت حفاظت یونسکو، کاخ Castadel Monte وجود دارد که به لطف نسبت های آن می توانید پی را محاسبه کنید. یک قصر کامل توسط پادشاه فردریک دوم به این شماره اختصاص داده شد.

معلوم شد که آنها سعی کرده اند از عدد پی در ساخت برج بابل استفاده کنند. اما با تأسف بزرگ ما، این منجر به سقوط پروژه شد، زیرا در آن زمان محاسبه دقیق مقدار Pi به اندازه کافی مطالعه نشده بود.

خواننده کیت بوش در دیسک جدید خود آهنگی به نام "پی" را ضبط کرد که در آن صد و بیست و چهار عدد از سری شماره های معروف 3، 141 به صدا درآمد ... ..

مجموعه تمام اعداد طبیعی با حرف N مشخص می شود اعداد طبیعی اعدادی هستند که برای شمارش اجسام از آنها استفاده می کنیم: 1،2،3،4، ... در برخی منابع عدد 0 به اعداد طبیعی نیز اطلاق می شود.

مجموعه همه اعداد صحیح با حرف Z نشان داده می شود. اعداد صحیح همه اعداد طبیعی، صفر و اعداد منفی هستند:

1,-2,-3, -4, …

حالا بیایید مجموعه همه کسرهای معمولی را به مجموعه همه اعداد صحیح اضافه کنیم: 2/3، 18/17، -4/5، و غیره. سپس مجموعه تمام اعداد گویا را بدست می آوریم.

مجموعه اعداد گویا

مجموعه همه اعداد گویا با حرف Q نشان داده می شود. مجموعه همه اعداد گویا (Q) مجموعه ای متشکل از اعدادی به شکل m/n، -m/n و عدد 0 است. از هر عدد طبیعی می توان استفاده کرد. به صورت n,m. لازم به ذکر است که تمام اعداد گویا را می توان به صورت یک کسر اعشاری متناهی یا نامتناهی نشان داد. برعکس نیز صادق است، که هر کسر اعشاری متناهی یا نامتناهی را می توان به عنوان یک عدد گویا نوشت.

اما مثلاً عدد 2.0100100010 چیست؟ این یک اعشار بی نهایت غیر دوره ای است. و در مورد اعداد گویا صدق نمی کند.

در درس مدرسه جبر، فقط اعداد واقعی (یا واقعی) مورد مطالعه قرار می گیرند. مجموعه تمام اعداد حقیقی با حرف R نشان داده می شود. مجموعه R شامل همه اعداد گویا و غیر منطقی است.

مفهوم اعداد غیر منطقی

اعداد غیر منطقی همگی کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تناوبی هستند. اعداد غیر منطقی علامت خاصی ندارند.

به عنوان مثال، تمام اعدادی که با استخراج جذر اعداد طبیعی که مجذور اعداد طبیعی نیستند به دست می آیند، غیر منطقی خواهند بود. (√2، √3، √5، √6 و غیره).

اما فکر نکنید که اعداد غیر منطقی فقط با استخراج جذر به دست می آیند. مثلا عدد پی نیز غیر منطقی است و از تقسیم به دست می آید. و هر چقدر هم که تلاش کنید، با گرفتن جذر هر عدد طبیعی نمی توانید آن را بدست آورید.