خاصیت اصلی کنار گذاشتن گوشه ها تعریف است. تعریف. بدیهیات - هندسه - کتاب مرجع عالی برای دانش آموزان. ترتیب متقابل خطوط مستقیم در یک صفحه

موضوع "ویژگی های اساسی یک بخش"

به عنوان نمونه ای از استفاده از کتاب الکترونیکی در درس هندسه پایه هفتم، نحوه معرفی مفهوم "ویژگی های اساسی یک بخش" را تحلیل خواهیم کرد.

این انتخاب به دلیل ملاحظات زیر است:

1. این یکی از مهمترین مفاهیم دروس هندسه اولیه و سیستماتیک است.

2. یک قطعه، بر خلاف، به عنوان مثال، یک پرتو یا یک خط مستقیم، دارای یک مشخصه متریک - طول است.

برنامه ریاضی فعلی توصیه های زیر را ارائه می دهد:

1. مطالعه مطالب بر اساس تجربه زندگی دانش آموزان، مهارت های عملی آنها سازماندهی شده است.

2. خصوصیات مشخصه یک قطعه در مسیر حل مسائل و انجام ساخت و سازها مورد توجه قرار می گیرد.

3. توجه اصلی به شکل گیری مهارت های اندازه گیری و ساخت قطعات با استفاده از خط کش است.

در نتیجه مطالعه مواد هندسی مطابق با برنامه فعلی، دانش آموزان باید بدانند:

1. اینکه یک قطعه واحد وجود دارد که دو نقطه از صفحه را به هم متصل می کند.

2. این که پاره از دو طرف محصور باشد و جزء یک خط مستقیم باشد.

3. تعریف قطعات مساوی;

4. خاصیت طول یک قطعه - طول مجموع پاره ها برابر است با مجموع طول های مجموع پاره ها.

دانش آموزان باید بتوانند:

1. تشخیص بخش ها، از جمله آنهایی که در اشکال هندسی مختلف گنجانده شده اند.

2. ساخت بخش، تعیین و اندازه گیری آنها.

3. بخش ها را با هم مقایسه کنید.

در ارائه سنتی، مطالعه این مواد مطابق با طرح زیر انجام می شود:

1. ساخت یک بخش;

2. تعیین بخش.

3. طول قطعه، واحد طول.

4. ویژگی های از کار انداختن بخش.

5. یافتن طول مجموع پاره ها.

تمرین‌های موجود در کتاب‌های درسی و کمک آموزشی مختلف را می‌توان به انواع زیر طبقه‌بندی کرد:

الف) ساخت بخش ها؛

ب) تعیین بخش ها؛

ج) اندازه گیری و مقایسه قطعات.

د) یافتن طول یک خط شکسته یا محیط یک چند ضلعی.

ه) یافتن طول مجموع قطعات.

بنابراین، مفهوم "قطعه" ارتباط مستقیمی با طول آن دارد. در نظر گرفتن مفهوم "بخش" با تخصیص ویژگی های مشخصه ای که به اندازه گیری مرتبط نیستند آغاز می شود. اینها ویژگی هایی هستند که به شما امکان می دهند شباهت یک بخش را با سایر اشکال هندسی و تفاوت آن با آنها ایجاد کنید، یعنی ایده یک بخش را در سیستم موجود نمایش هندسی دانش آموزان بگنجانید.

ویژگی های اصلی یک قطعه - راستی و محدودیت در دو جهت - زمانی آشکار می شود که با یک خط مستقیم یا یک پرتو مقایسه شود.

این ویژگی ها به شما امکان می دهد یک قطعه را اندازه گیری کنید، یعنی طول آن را با استاندارد طول مقایسه کنید.

در واقع، طول یک خط مستقیم و یک پرتو به دلیل نامحدود بودن آنها قابل اندازه گیری نیست. برای یک خط منحنی، اندازه گیری مستقیم طول به دلیل شکل دلخواه آن دشوار است. با این حال، حتی اگر طول منحنی مشخص باشد، این عدد چیزی در مورد شکل آن نمی گوید، زیرا تعداد بی نهایت خطوط منحنی با طول مشخص وجود دارد. طول یک قطعه به طور منحصر به فردی آن را به عنوان یک شکل هندسی تعریف می کند.

در این مقاله پیشنهاد شده است که مفهوم «بخش» مطابق با طرح زیر مورد مطالعه قرار گیرد:

1. ساخت یک بخش.

2. تعیین بخش.

3. خصوصیات غیر متریک اصلی بخش.

4. ویژگی اصلی به تعویق انداختن بخش.

5. طول قطعه، واحد طول.

6. بخش های مساوی، مقایسه بخش ها در طول طول.

7. یافتن طول مجموع قطعات.

یک ساعت برای آشنایی با موضوع "بخش و خواص آن" اختصاص داده شده است.

درس "ویژگی های اساسی بخش ها."

هدف از درس: شکل گیری ایده های دانش آموزان در مورد بخش به عنوان یک شکل هندسی مستطیل محدود و موقعیت نسبی نقاط در یک صفحه.

I. آمادگی برای مطالعه مطالب جدید.

دانش آموزان از دوره ابتدایی با بخش، ساخت و اندازه گیری آن آشنا هستند. بنابراین، در ابتدای درس، دانش آموزان روش های مختلف ساخت یک بخش با استفاده از خط کش و تعیین آن را به یاد می آورند.

تکرار:

روش اول: با استفاده از خط کش یک خط مستقیم می سازیم، دو نقطه A و B را روی آن علامت گذاری می کنیم که پاره AB را مشخص می کند.

بخش AB - بخشی از یک خط مستقیم،

A Bمحدود به نقاط

بخش AB

روش دوم: دو نقطه A و B را روی صفحه علامت گذاری می کنیم آنها را در امتداد یک خط کش که از نقاط A و B فراتر نمی رود به هم وصل می کنیم.

بخش AB از تمام نقاط تشکیل شده است

خط مستقیم بین نقاط

ولی که درالف و ب و خود نقاط.

بخش AB

دانش‌آموزان هر آنچه را که درباره یک قطعه می‌دانند به خاطر می‌آورند: 1) یک قطعه یک شکل صاف است (روی یک صفحه قرار دارد). 2) بخشی از یک خط مستقیم است. 3) بخش متشکل از مجموعه ای نامتناهی از نقاط است. 4) از هر دو طرف محدود است. 5) هر نقطه از پاره بین دو نقطه داده شده قرار دارد که به آنها انتهای قطعه می گویند.

دانش آموزان همه اینها را بر اساس کتاب الکترونیکی با باز کردن صفحه "بخش" به یاد می آورند. (شکل 8)

شکل 8

ارائه مطالب جدید با استفاده از صفحه EUP "Planimetry": "ویژگی های اساسی بخش"

پس از اینکه دانش آموزان آنچه را که در مورد بخش می دانستند به خاطر آوردند و آن را تکرار کردند، معلم می گوید: انتهای پاره را نقاط مرزی می نامند و همه چیزهایی که بین آنها قرار دارند نقاط داخلی قطعه هستند.

پس از آن، معلم از بچه ها می خواهد که به کمک آموزشی الکترونیکی مراجعه کنند، که یک تصویر و توضیحی را نشان می دهد که دانش آموزان را به ویژگی های اساسی اندازه گیری و به تعویق انداختن یک بخش می رساند.

II. لنگر انداختن

از دانش‌آموزان دعوت می‌شود تا وظایف متعددی را در مورد تعلق نقاط به پاره‌ها، پاره‌ها به خطوط مستقیم و پرتوها و همچنین ساخت آنها به شکل زیر انجام دهند:

1. نقاط K و M را در دفترچه یادداشت خود علامت بزنید.از یک خط کش برای ساختن یک قطعه KM استفاده کنید. نقاط P و T را روی این پاره مشخص کنید.قطعه هایی را که این نقاط قطعه KM را به آنها تقسیم می کنند نام ببرید. نقطه T قطعه KM را به چه بخش هایی تقسیم می کند؟

2. کدام یک از نقاط نشان داده شده در شکل. متعلق به بخش CD است، و کدام یک از آنها نیستند؟

سوالات برای تجمیع:

1. نقاط و خطوط چگونه تعیین می شوند؟

2. کدام نقاط مشخص شده در شکل روی خط a، کدام نقاط در خط c قرار دارند؟ خطوط a و b در چه نقطه ای قطع می شوند؟

3. ویژگی های اصلی رسوب قطعات را فرموله کنید.

4. ویژگی اصلی اندازه گیری قطعات را فرموله کنید.

>>ریاضی پایه هفتم. درس های کامل >> هندسه: رسوب پاره های خط و زوایا. دروس کامل

تخمگذار خطوط و گوشه ها

شکل نحوه استفاده را نشان می دهد حاکمانروی نیم خط a با نقطه شروع A می توانید پاره ای به طول 3 سانتی متر بکشید.

این شکل نحوه استفاده را نشان می دهد نقالهاز نیم خط a به صفحه بالایی زاویه ای با درجه 60 درجه کنار بگذارید


اجازه دهید ویژگی های اصلی رسوب قطعات و زوایا را فرموله کنیم:

1. روی هر نیم خطی از نقطه شروعش، می توان یک پاره به طول معین و فقط یک را رسم کرد.
2. از هر نیم خط تا یک نیم صفحه معین، می توانید زاویه ای را با اندازه درجه معین، کمتر از 180 درجه کنار بگذارید.

نمونه ای از راه حل مشکل

در پرتو AB، قطعه AC کوچکتر از قطعه AB رسم می شود. کدام یک از سه نقطه A، B، C بین دو نقطه دیگر قرار دارد؟

راه حل.
از آنجایی که نقاط B و C روی یک نیم خط با نقطه A اولیه قرار دارند، به این معنی است که با نقطه A از هم جدا نمی شوند، یعنی نقطه A بین نقاط B و C قرار نمی گیرد.

اگر نقطه B بین نقاط A و C قرار داشته باشد، برابری درست خواهد بود: AB+BC=AC. این غیرممکن است، زیرا قطعه AC بر اساس شرط کمتر از قطعه AB است. بنابراین نقطه C بین نقاط A و C قرار ندارد.

از سه نقطه A، B، C، تنها یکی بین دو نقطه دیگر قرار دارد. در مورد ما: نقطه C بین نقاط A و B قرار دارد.

اشعه.

یک خط a بکشید و یک نقطه O را روی آن علامت بزنید (شکل 11).

این نقطه خط را به دو قسمت تقسیم می کند که به هر یک از آنها پرتوی نشات گرفته از نقطه O می گویند (در شکل 11 یکی از پرتوها با خط پررنگ مشخص شده است). نقطه O را شروع هر یک از پرتوها می گویند. معمولاً یک پرتو یا با یک حرف لاتین کوچک (مثلاً پرتو h در شکل 12، a) یا با دو حرف لاتین بزرگ نشان داده می شود که اولی شروع تیر را نشان می دهد و دومی - نقطه ای از آن را نشان می دهد. تیر (به عنوان مثال، تیر OA در شکل 12، ب).

تزریق.

به یاد بیاورید که زاویهشکلی هندسی است که از یک نقطه و دو پرتو ساطع شده از این نقطه تشکیل شده است. پرتوها اضلاع زاویه نامیده می شوند و منشأ مشترک آنها راس زاویه است. شکل 13 زاویه ای با راس O و اضلاع h و k را نشان می دهد.نقاط A و B در اضلاع مشخص شده اند.این زاویه به صورت زیر نشان داده می شود: hk یا AOB یا O.

زاویه را زاویه می گوینداگر هر دو طرف روی یک خط دراز بکشند. می توان گفت که هر ضلع زاویه توسعه یافته ادامه ضلع دیگر است. شکل 14 یک گوشه صاف با راس C و اضلاع p و q را نشان می دهد.

هر زاویه ای صفحه را به دو قسمت تقسیم می کند. اگر زاویه توسعه نیافته باشد، یکی از قسمت ها نامیده می شود درونی؛ داخلی، و دیگری خارجیمساحت این زاویه (شکل 15، a). شکل 15b یک زاویه باز شده را نشان می دهد. نقاط A، B، C در داخل این گوشه (یعنی در ناحیه داخلی گوشه)، نقاط D و E در طرفین گوشه، و نقاط P و Q در خارج از گوشه (یعنی در ناحیه بیرونی قرار دارند). از گوشه). اگر زاویه توسعه یافته باشد، آنگاه هر یک از دو قسمتی که صفحه را به آن تقسیم می کند، می تواند داخل زاویه در نظر گرفته شود. به شکلی که از یک زاویه و باطن آن تشکیل شده باشد، زاویه نیز می گویند.

اگر یک پرتو از راس یک زاویه غیر چرخشی بیاید و از داخل زاویه عبور کند، این زاویه را به دو زاویه تقسیم می کند. در شکل (16، a)، سیستم عامل پرتو، زاویه AOB را به دو زاویه تقسیم می کند: AOC و COB. اگر زاویه AOB توسعه یافته باشد، هر سیستم عامل پرتویی که با پرتوهای OA و OB منطبق نباشد، این زاویه را به دو زاویه تقسیم می کند: AOC و COB (شکل 16، b).


مقایسه پاره ها و زوایا.

شکل 20، a دو بخش را نشان می دهد. برای تعیین اینکه آیا آنها مساوی هستند یا نه، اجازه دهید یک بخش را بر روی قطعه دیگر قرار دهیم به طوری که انتهای یک بخش با انتهای قسمت دیگر تراز شود (شکل 20، b). اگر در همان زمان دو انتهای دیگر نیز با هم سازگار باشند، آنگاه بخش‌ها کاملاً سازگار هستند و بنابراین با هم برابر هستند. اگر دو انتهای دیگر با هم مطابقت نداشته باشند، بخشی که بخشی از انتهای دیگر را تشکیل می دهد کوچکتر در نظر گرفته می شود. در شکل 20، قطعه AC بخشی از قطعه AB است، بنابراین قطعه AC کوچکتر از قطعه AB است (به شکل زیر نوشته شده است: AC<АВ).

به نقطه ای از قطعه که آن را به دو نیم تقسیم می کند، یعنی به دو قسمت مساوی، نقطه وسط پاره می گویند. در شکل 21، نقطه C وسط قطعه AB است.

شکل 22، a نشان می دهد گوشه های 1 و 2 باز شد. برای تعیین مساوی بودن یا نبودن آنها، یک زاویه را به زاویه دیگر تحمیل می کنیم به طوری که ضلع یک زاویه با ضلع دیگر و دو زاویه دیگر در همان سمت اضلاع تراز شده قرار می گیرند (شکل 22، ب). اگر دو ضلع دیگر نیز متجانس باشند، آنگاه زاویه ها کاملاً متجانس و در نتیجه مساوی هستند. اگر این اضلاع با هم مطابقت نداشته باشند، آنگاه زاویه کوچکتر، زاویه ای است که بخشی از دیگری است. در شکل (22،b)، زاویه 1 بخشی از زاویه 2 است، بنابراین 1<2.

زاویه باز شدهاست بخشی از مستقر شده است(شکل 23)، بنابراین زاویه توسعه یافته بیشتر از زاویه توسعه نیافته است. هر دو زاویه مستقیم به وضوح برابر هستند.

پرتویی که از راس یک زاویه خارج می شود و آن را به دو زاویه مساوی تقسیم می کند نامیده می شود نیمساززاویه در شکل 24 تیر ل- نیمساز زاویه hk.

سوالات:

1. زاویه چند درجه است؟
2. نیمساز چیست؟
3. حمل و نقل برای چیست؟

فهرست منابع مورد استفاده:

1. P. I. Altynov، هندسه نمرات 7-9. مسکو انتشارات درفا، 1384.
2. برنامه های موسسات آموزشی هندسه پایه های 7-9. گردآوری شده توسط: S.A. برمیستروف. مسکو "روشنگری"، 2009.
3. روزنامه «ریاضیات» شماره ۱۹ ۱۳۷۹.
4. آتاناسیان، هندسه پایه های 7-9.
5. Pavlov A. N. هندسه: Planimetry در پایان نامه ها و راه حل ها.
6. ویرایش و ارسال توسط Potunak S.A.

روی درس کار کرد:

پوتورناک اس.ا.

شکل 18 نشان می دهد که چگونه با استفاده از یک خط کش روی نیم خط a با نقطه شروع A، می توانید قطعه ای به طول معین (3 سانتی متر) را کنار بگذارید.

به شکل 19 نگاه کنید. a، که فراتر از نقطه شروع A ادامه دارد، صفحه را به دو نیم صفحه تقسیم می کند. شکل نشان می دهد که چگونه با استفاده از یک نقاله، از نیم خط a به نیم صفحه بالایی یک زاویه با یک درجه معین (60 درجه) کنار بگذارید.

ویژگی های زیر را ویژگی های اصلی جدا کردن بخش ها و زاویه ها می نامیم:

VI. روی هر نیم خطی از نقطه شروعش، می‌توانید یک پاره به طول معین و فقط یکی را به تعویق بیندازید.

VII. از هر نیم خط به یک داده شدهنیمه هواپیمامی توان زاویه ای را با درجه معینی کمتر از 180 درجه و فقط یک به تعویق انداخت.

مسئله (30). در پرتو AB قطعه AC رسم می شود که کوچکتر از قطعه AB است. کدام یک از سه نقطه A، B، C بین دو نقطه دیگر قرار دارد؟ پاسخ را توضیح دهید.

راه حل (شکل 20). از آنجایی که نقاط B و C روی یک نیم خط با نقطه اولیه A قرار دارند، با نقطه A از هم جدا نمی شوند، یعنی نقطه A بین نقاط B و C قرار نمی گیرد.

آیا نقطه B بین نقاط A و C قرار دارد؟ اگر بین نقاط A و C قرار گیرد، AB + BC = AC خواهد بود.

اما این غیرممکن است، زیرا با شرایط بخش AC کمتر از قطعه AB است. بنابراین نقطه B بین نقاط A و C قرار ندارد.
از سه نقطه A، B، C، یکی بین دو نقطه دیگر قرار دارد. از همین رو نقطه C بین نقاط A و B قرار دارد.

A. V. Pogorelov، هندسه برای کلاس های 7-11، کتاب درسی برای موسسات آموزشی