نمونه های خمشی انواع ساده مقاومت خم صاف تنش های معمولی و برشی

تغییر شکل خمشیشامل خم کردن محور یک میله مستقیم یا تغییر انحنای اولیه یک میله مستقیم است (شکل 6.1). بیایید با مفاهیم اولیه ای که هنگام در نظر گرفتن تغییر شکل خمشی استفاده می شود آشنا شویم.

میله های خمشی نامیده می شوند تیرها.

تمیزخمش نامیده می شود که در آن لنگر خمشی تنها عامل نیروی داخلی است که در مقطع تیر اتفاق می افتد.

بیشتر اوقات ، در مقطع میله ، همراه با ممان خمشی ، نیروی عرضی نیز ایجاد می شود. این خم شدن عرضی نامیده می شود.

تخت (مستقیم)خمش زمانی نامیده می شود که صفحه عمل لنگر خمشی در مقطع از یکی از محورهای مرکزی اصلی مقطع عبور کند.

در خم موربصفحه عمل لنگر خمشی مقطع تیر را در امتداد خطی قطع می کند که با هیچ یک از محورهای مرکزی اصلی مقطع منطبق نیست.

ما مطالعه خود را در مورد تغییر شکل خمشی با حالت خمش صفحه خالص آغاز می کنیم.

تنش ها و کرنش های معمولی در خمش خالص.

همانطور که قبلا ذکر شد، با خمش صفحه خالص در مقطع شش عامل نیروی داخلی، تنها ممان خمشی صفر نیست (شکل 6.1، ج):

آزمایش‌های انجام‌شده بر روی مدل‌های الاستیک نشان می‌دهد که اگر شبکه‌ای از خطوط بر روی سطح مدل اعمال شود (شکل 6.1، a)، سپس با خمش خالص به شکل زیر تغییر شکل می‌دهد (شکل 6.1، b):

الف) خطوط طولی در امتداد محیط منحنی هستند.

ب) خطوط سطح مقطع صاف باقی می ماند.

ج) خطوط خطوط برش ها در همه جا با الیاف طولی در زوایای قائم تلاقی می کنند.

بر این اساس می توان فرض کرد که در خمش خالص، مقاطع تیر صاف می مانند و می چرخند به طوری که نسبت به محور منحنی تیر نرمال می مانند (فرضیه مقاطع صاف در حین خمش).

برنج. 6.1

با اندازه گیری طول خطوط طولی (شکل 6.1، b)، می توان دریافت که الیاف بالایی در هنگام تغییر شکل تیر بلند می شوند و الیاف پایین کوتاه می شوند. بدیهی است که امکان یافتن چنین الیافی وجود دارد که طول آنها بدون تغییر باقی می ماند. مجموعه ای از الیافی که در هنگام خم شدن تیر، طولشان تغییر نمی کند نامیده می شود لایه خنثی (n.s.)... لایه خنثی از سطح مقطع تیر در یک خط مستقیم عبور می کند که به آن می گویند خط خنثی (n. l.) بخش.

برای به دست آوردن فرمولی که مقدار تنش های نرمال ایجاد شده در مقطع را تعیین می کند، مقطعی از تیر را در حالت تغییر شکل یافته و بدون تغییر شکل در نظر بگیرید (شکل 6.2).

برنج. 6.2

با دو مقطع بینهایت کوچک، یک عنصر با طول را انتخاب کنید
... قبل از تغییر شکل، بخش هایی که عنصر را محدود می کنند
، موازی یکدیگر بودند (شکل 6.2، a) و پس از تغییر شکل کمی کج شدند و یک زاویه تشکیل دادند.
... طول الیاف در لایه خنثی در هنگام خم شدن تغییر نمی کند
... اجازه دهید شعاع انحنای اثر لایه خنثی در صفحه نقاشی را با حرف نشان دهیم. ... تغییر شکل خطی یک فیبر دلخواه را تعریف کنید
در یک فاصله از لایه خنثی

طول این فیبر پس از تغییر شکل (طول قوس
) برابر است با
... با توجه به اینکه قبل از تغییر شکل، طول تمام الیاف یکسان بود
، به دست می آوریم که ازدیاد طول مطلق فیبر در نظر گرفته شده است

تغییر شکل نسبی آن

بدیهی است که
، از آنجایی که طول فیبر در لایه خنثی تغییر نکرده است. سپس پس از تعویض
گرفتن

(6.2)

بنابراین تغییر شکل طولی نسبی متناسب با فاصله فیبر از محور خنثی است.

اجازه دهید این فرض را معرفی کنیم که الیاف طولی در هنگام خمش به یکدیگر فشار نمی آورند. بر اساس این فرض، هر فیبر به صورت مجزا تغییر شکل داده و تحت کشش یا فشرده سازی ساده قرار می گیرد که در آن
... با در نظر گرفتن (6.2)

, (6.3)

یعنی تنش های نرمال با فواصل نقاط مقطع در نظر گرفته شده از محور خنثی نسبت مستقیم دارند.

اجازه دهید وابستگی (6.3) را در عبارت لحظه خمشی جایگزین کنیم
در مقطع (6.1)

.

به یاد بیاورید که انتگرال
ممان اینرسی مقطع حول محور را نشان می دهد

.

(6.4)

وابستگی (6.4) قانون هوک در خمش است، زیرا به تغییر شکل (انحنای لایه خنثی) مربوط می شود.
) با لحظه بازیگری در بخش. کار کنید
سختی مقطع در خمش، Nm 2 نامیده می شود.

جایگزینی (6.4) به (6.3)

(6.5)

این فرمول مورد نظر برای تعیین تنش های معمولی در طول خمش خالص تیر در هر نقطه از مقطع آن است.

برای اینکه مشخص کنیم خط خنثی در کجای مقطع قرار دارد، مقدار تنش های نرمال را در بیان جایگزین نیروی طولی می کنیم.
و لحظه خم شدن

تا جایی که
,

;

(6.6)

(6.7)

برابری (6.6) نشان می دهد که محور - محور خنثی مقطع - از مرکز ثقل مقطع عبور می کند.

برابری (6.7) نشان می دهد که و - محورهای مرکزی اصلی مقطع.

طبق (6.5) بیشترین تنش در الیاف دورتر از خط خنثی حاصل می شود

نگرش ممان محوری مقاومت مقطع را نشان می دهد در مورد محور مرکزی آن ، به معنای

معنی برای ساده ترین مقاطع، موارد زیر است:

برای مقطع مستطیلی

, (6.8)

جایی که - ضلع مقطع عمود بر محور ;

- ضلع مقطع موازی با محور باشد ;

برای مقطع گرد

, (6.9)

جایی که قطر مقطع دایره ای است.

شرط استحکام تحت تنش های خمشی معمولی را می توان به صورت زیر نوشت

(6.10)

تمام فرمول های به دست آمده برای حالت خمش خالص یک میله مستقیم به دست می آید. عمل نیروی عرضی منجر به این واقعیت می شود که فرضیه های زیربنای نتیجه گیری اعتبار خود را از دست می دهند. با این حال، عمل محاسبات نشان می دهد که در مورد خمش عرضی تیرها و قاب ها، زمانی که در مقطع، علاوه بر لنگر خمشی
نیروی طولی همچنان عمل می کند
و نیروی جانبی ، می توانید از فرمول های داده شده برای خم خالص استفاده کنید. در این مورد، خطا ناچیز است.

مفاهیم کلی

تغییر شکل خمشیشامل خم کردن محور یک میله مستقیم یا تغییر انحنای اولیه یک میله مستقیم است(شکل 6.1) ... بیایید با مفاهیم اولیه ای که هنگام در نظر گرفتن تغییر شکل خمشی استفاده می شود آشنا شویم.

میله های خمشی نامیده می شوندتیرها

تمیز خمش نامیده می شود که در آن لنگر خمشی تنها عامل نیروی داخلی است که در مقطع تیر اتفاق می افتد.

بیشتر اوقات ، در مقطع میله ، همراه با ممان خمشی ، نیروی عرضی نیز ایجاد می شود. این خم شدن عرضی نامیده می شود.

تخت (مستقیم) خمش زمانی نامیده می شود که صفحه عمل لنگر خمشی در مقطع از یکی از محورهای مرکزی اصلی مقطع عبور کند.

خمش مورب صفحه عمل لنگر خمشی مقطع تیر را در امتداد خطی قطع می کند که با هیچ یک از محورهای مرکزی اصلی مقطع منطبق نیست.

ما مطالعه خود را در مورد تغییر شکل خمشی با حالت خمش صفحه خالص آغاز می کنیم.

تنش ها و کرنش های معمولی در خمش خالص.

همانطور که قبلا ذکر شد، با خمش صفحه خالص در مقطع شش عامل نیروی داخلی، تنها ممان خمشی صفر نیست (شکل 6.1، ج):

; (6.1)

آزمایش های انجام شده بر روی مدل های الاستیک نشان می دهد که اگر شبکه ای از خطوط روی سطح مدل اعمال شود(شکل 6.1، الف) ، سپس در خمش خالص به صورت زیر تغییر شکل می دهد(شکل 6.1، ب):

الف) خطوط طولی در امتداد محیط منحنی هستند.

ب) خطوط سطح مقطع صاف باقی می ماند.

ج) خطوط خطوط برش ها در همه جا با الیاف طولی در زوایای قائم تلاقی می کنند.

بر این اساس می توان فرض کرد که در خمش خالص، مقاطع تیر صاف می مانند و می چرخند به طوری که نسبت به محور منحنی تیر نرمال می مانند (فرضیه مقاطع صاف در حین خمش).

برنج. ...

با اندازه گیری طول خطوط طولی (شکل 6.1، b)، می توان دریافت که الیاف بالایی با تغییر شکل پرتو بلند می شوند و الیاف پایین کوتاه می شوند. بدیهی است که امکان یافتن چنین الیافی وجود دارد که طول آنها بدون تغییر باقی می ماند. مجموعه ای از الیافی که در هنگام خم شدن تیر، طولشان تغییر نمی کند نامیده می شودلایه خنثی (n.s.)... لایه خنثی از سطح مقطع تیر در یک خط مستقیم عبور می کند که به آن می گویندخط خنثی (n. l.) بخش.

برای به دست آوردن فرمولی که مقدار تنش های نرمال ایجاد شده در مقطع را تعیین می کند، مقطعی از تیر را در حالت تغییر شکل و بدون تغییر شکل در نظر بگیرید (شکل 6.2).

برنج. ...

عنصری را با دو مقطع بینهایت کوچک انتخاب کنید. قبل از تغییر شکل، بخش های محدود کننده عنصر موازی با یکدیگر بودند (شکل 6.2، a)، و پس از تغییر شکل، کمی کج شدند و یک زاویه را تشکیل دادند. طول الیاف در لایه خنثی با خم شدن تغییر نمی کند. اجازه دهید شعاع انحنای اثر لایه خنثی را در صفحه نقاشی با یک حرف مشخص کنیم. اجازه دهید تغییر شکل خطی یک فیبر دلخواه را در فاصله ای از لایه خنثی تعیین کنیم.

طول این الیاف پس از تغییر شکل (طول قوس) برابر است با. با توجه به اینکه قبل از تغییر شکل، طول تمام الیاف یکسان بود، به این نتیجه می‌رسیم که طول مطلق الیاف در نظر گرفته شده است.

تغییر شکل نسبی آن

بدیهی است که از آنجایی که طول فیبر در لایه خنثی تغییر نکرده است. سپس پس از تعویض به دست می آوریم

(6.2)

بنابراین تغییر شکل طولی نسبی متناسب با فاصله فیبر از محور خنثی است.

اجازه دهید این فرض را معرفی کنیم که الیاف طولی در هنگام خمش به یکدیگر فشار نمی آورند. بر اساس این فرض، هر فیبر به صورت مجزا تغییر شکل می‌دهد، تحت کشش یا فشرده‌سازی ساده قرار می‌گیرد. با در نظر گرفتن (6.2)

, (6.3)

یعنی تنش های نرمال با فواصل نقاط مقطع در نظر گرفته شده از محور خنثی نسبت مستقیم دارند.

وابستگی (6.3) را با عبارت لنگر خمشی در مقطع (6.1) جایگزین کنید.

به یاد بیاورید که انتگرال ممان اینرسی بخش حول محور است

یا

(6.4)

وابستگی (6.4) قانون هوک در خمش است، زیرا تغییر شکل (انحنای لایه خنثی) را با ممان عمل کننده در مقطع متصل می کند. محصول را سفتی مقطع در خمش، N می نامندمتر 2.

جایگزینی (6.4) به (6.3)

(6.5)

این فرمول مورد نظر برای تعیین تنش های معمولی در طول خمش خالص تیر در هر نقطه از مقطع آن است.

برای برای اینکه مشخص کنیم خط خنثی در کجای مقطع قرار دارد، مقدار تنش های نرمال را در بیان نیروی طولی و لنگر خمشی جایگزین می کنیم.

تا آنجا که،

سپس

(6.6)

(6.7)

تساوی (6.6) نشان می دهد که محور - محور خنثی مقطع - از مرکز ثقل مقطع عبور می کند.

برابری (6.7) نشان می دهد که و محورهای مرکزی اصلی مقطع هستند.

طبق (6.5) بیشترین تنش در الیاف دورتر از خط خنثی حاصل می شود

نسبت ممان محوری مقاومت مقطع نسبت به محور مرکزی آن است که به این معنی است

معنی ساده ترین مقاطع به شرح زیر است:

برای مقطع مستطیلی

, (6.8)

ضلع مقطع عمود بر محور کجاست.

ضلع بخش موازی با محور است.

برای مقطع گرد

, (6.9)

قطر مقطع دایره ای کجاست.

شرط استحکام تحت تنش های خمشی معمولی را می توان به صورت زیر نوشت

(6.10)

تمام فرمول های به دست آمده برای حالت خمش خالص یک میله مستقیم به دست می آید. عمل نیروی عرضی منجر به این واقعیت می شود که فرضیه های زیربنای نتیجه گیری اعتبار خود را از دست می دهند. اما عمل محاسبات نشان می‌دهد که در خمش عرضی تیرها و قاب‌ها، زمانی که علاوه بر ممان خمشی، یک نیروی طولی و یک نیروی عرضی نیز در مقطع وارد می‌شود، می‌توان از فرمول‌های داده شده برای خمش خالص استفاده کرد. . در این مورد، خطا ناچیز است.

تعیین نیروهای برشی و لنگرهای خمشی.

همانطور که قبلا ذکر شد، در مورد خمش عرضی صفحه، دو عامل نیروی داخلی در مقطع تیر بوجود می آیند.

قبل از تعیین و تعیین واکنش های تکیه گاه تیر (شکل 6.3، a)، معادلات تعادل استاتیک را تشکیل می دهند.

برای تعیین و اعمال روش مقاطع. در محل مورد علاقه خود، به عنوان مثال، در فاصله ای از تکیه گاه چپ، یک مقطع ذهنی از تیر را ایجاد می کنیم. بیایید یکی از قسمت های تیر، به عنوان مثال، سمت راست را دور بیندازیم و تعادل سمت چپ را در نظر بگیریم (شکل 6.3، ب). اندرکنش قطعات تیر را با نیروهای داخلی جایگزین می کنیم و.

اجازه دهید قوانین علامت زیر را برای و ایجاد کنیم:

• نیروی عرضی در مقطع اگر بردارهای آن تمایل داشته باشند مقطع در نظر گرفته شده را در جهت عقربه های ساعت بچرخانند، مثبت است;
• لنگر خمشی در مقطع اگر باعث فشرده شدن الیاف بالایی شود مثبت است.

برنج. ...

برای تعیین این تلاش ها از دو معادله تعادلی استفاده می کنیم:

1. ; ; .

2. ;

به این ترتیب،

الف) نیروی عرضی در مقطع تیر از نظر عددی برابر است با مجموع جبری برآمدگی ها بر روی محور عرضی بخش تمام نیروهای خارجی که در یک طرف مقطع وارد می شوند.

ب) لنگر خمشی در مقطع تیر از نظر عددی برابر است با مجموع جبری لنگرها (محاسبه شده نسبت به مرکز ثقل مقطع) نیروهای خارجی وارد بر یک طرف مقطع داده شده.

در محاسبات عملی، آنها معمولاً با موارد زیر هدایت می شوند:

1. اگر بار خارجی تمایل داشته باشد که تیر را در جهت عقربه‌های ساعت نسبت به بخش مورد نظر بچرخاند (شکل 6.4، b)، آنگاه در عبارت آن یک عبارت مثبت به دست می‌دهد.
2. اگر بار خارجی یک ممان نسبت به بخش در نظر گرفته ایجاد کند و باعث فشرده شدن الیاف بالایی تیر شود (شکل 6.4، a)، آنگاه در عبارت for در این بخش عبارت مثبت می دهد.

برنج. ...

ساخت نمودارها در تیرها.

یک تیر دو تکیه گاه را در نظر بگیرید(شکل 6.5، الف) ... یک گشتاور متمرکز در یک نقطه بر روی تیر، یک نیروی متمرکز در یک نقطه و یک بار شدت توزیع شده یکنواخت بر روی یک مقطع اعمال می‌شود.

ما واکنش های حمایتی و(شکل 6.5، ب) ... بار توزیع شده حاصل برابر است و خط عمل آن از مرکز بخش می گذرد. اجازه دهید معادلات لحظه ها را با توجه به نقاط و.

نیروی برشی و لنگر خمشی را در یک مقطع دلخواه که روی مقطعی در فاصله ای از نقطه A قرار دارد، تعریف می کنیم(شکل 6.5، ج) .

(شکل 6.5، د). فاصله می تواند در داخل () متفاوت باشد.

مقدار نیروی عرضی به مختصات مقطع بستگی ندارد، بنابراین در تمام مقاطع مقطع، نیروهای عرضی یکسان بوده و نمودار به صورت مستطیل است. لحظه خم شدن

ممان خمشی به صورت خطی تغییر می کند. بیایید مختصات طرح را برای مرزهای طرح تعریف کنیم.

نیروی برشی و لنگر خمشی را در یک مقطع دلخواه که بر روی مقطعی در فاصله ای از نقطه قرار دارد، تعریف می کنیم(شکل 6.5، د). فاصله می تواند در داخل () متفاوت باشد.

نیروی عرضی به صورت خطی تغییر می کند. برای مرزهای سایت تعریف کنید.

لحظه خم شدن

نمودار لنگرهای خمشی در این بخش سهموی خواهد بود.

برای تعیین مقدار شدید لنگر خمشی، مشتق لنگر خمشی را در امتداد آبسیسا مقطع برابر با صفر می‌کنیم:

از اینجا

برای یک مقطع با مختصات، مقدار لنگر خمشی خواهد بود

در نتیجه نمودارهایی از نیروهای برشی به دست می آوریم(شکل 6.5، e) و لنگرهای خمشی (شکل 6.5، g).

وابستگی های خمشی دیفرانسیل.

(6.11)

(6.12)

(6.13)

این وابستگی ها امکان ایجاد برخی از ویژگی های نمودار لنگرهای خمشی و نیروهای برشی را فراهم می کند:

ن در مناطقی که بار توزیعی وجود ندارد، نمودارها به خطوط مستقیم موازی با خط صفر نمودار محدود می شوند و نمودارها در حالت کلی با خطوط مستقیم مایل محدود می شوند..

ن در مناطقی که یک بار توزیع یکنواخت بر روی تیر اعمال می شود، نمودار با خطوط مستقیم مایل محدود می شود و نمودار با سهمی های درجه دوم با یک تحدب در جهت مخالف جهت عمل بار محدود می شود..

V بخش ها، که در آن، مماس بر نمودار موازی با خط صفر طرح است.

ن و در مناطقی که لحظه افزایش می یابد. در مناطقی که لحظه کاهش می یابد.

V بخش هایی که نیروهای متمرکز به تیر وارد می شود، بر اساس بزرگی نیروهای وارده، جهش هایی روی نمودار ایجاد می شود و در نمودار شکستگی هایی ایجاد می شود..

در بخش هایی که لنگرهای متمرکز بر تیر اعمال می شود، بر اساس بزرگی این ممان ها، جهش هایی روی نمودار وجود خواهد داشت.

مختصات طرح متناسب با مماس زاویه میل مماس بر نمودار است.

خم مستقیم. خمش عرضی صفحه رسم عوامل نیروی داخلی برای تیرها رسم نمودارهای Q و M با استفاده از معادلات رسم نمودارهای Q و M از مقاطع (نقاط) مشخصه محاسبات مقاومت برای خمش مستقیم تیرها تنش های خمشی اصلی. بررسی کامل مقاومت تیرها مفهوم مرکز خمشی تعیین جابجایی تیرها در حین خمش. مفاهیم تغییر شکل تیرها و شرایط صلبیت آنها معادله دیفرانسیل یک محور منحنی تیر روش انتگرال گیری مستقیم نمونه هایی از تعیین جابجایی در تیرها با روش انتگرال گیری مستقیم معنی فیزیکی ثابت های انتگرال گیری روش پارامترهای اولیه (معادله جهانی یک محور منحنی) یک پرتو). نمونه هایی از تعیین جابجایی ها در یک تیر به روش پارامترهای اولیه تعیین جابجایی ها به روش مور. قانون A.K. ورشچاگین. محاسبه انتگرال Mohr بر اساس A.K. Vereshchagin نمونه هایی از تعیین جابجایی ها با استفاده از کتابشناسی انتگرال Mohr خم مستقیم. خم جانبی صاف. 1.1. ترسیم عوامل نیروی داخلی برای تیرها خمش مستقیم نوعی تغییر شکل است که در آن دو عامل نیروی داخلی در مقاطع میلگرد ایجاد می شود: لنگر خمشی و نیروی برشی. در یک مورد خاص، نیروی برشی می تواند برابر با صفر باشد، سپس خمش خالص نامیده می شود. در خمش عرضی صفحه، همه نیروها در یکی از صفحات اصلی اینرسی میله قرار دارند و بر محور طولی آن عمود هستند، گشتاورها در همان صفحه قرار می گیرند (شکل 1.1، a، b). برنج. 1.1 نیروی عرضی در یک مقطع دلخواه تیر از نظر عددی برابر است با مجموع جبری برآمدگی ها بر روی نرمال به محور تیر تمام نیروهای خارجی که در یک طرف مقطع در نظر گرفته می شوند. نیروی عرضی در مقطع پرتو mn (شکل 1.2، a) در صورتی مثبت در نظر گرفته می شود که حاصل نیروهای خارجی سمت چپ مقطع به سمت بالا و در سمت راست - به سمت پایین و منفی - در حالت مخالف باشد. (شکل 1.2، ب). برنج. 1.2 هنگام محاسبه نیروی برشی در یک مقطع معین، نیروهای خارجی در سمت چپ مقطع اگر به سمت بالا باشند با علامت مثبت و اگر به سمت پایین با علامت منفی گرفته می شوند. برعکس در مورد سمت راست پرتو صادق است. 5 لنگر خمشی در یک مقطع دلخواه تیر از نظر عددی برابر است با مجموع جبری لنگرها در مورد محور z مرکزی مقطع تمام نیروهای خارجی که در یک طرف مقطع مورد نظر عمل می کنند. لنگر خمشی در مقطع پرتو mn (شکل 1.3، a) در صورتی مثبت در نظر گرفته می شود که لنگر حاصل از نیروهای خارجی به سمت چپ مقطع در جهت عقربه های ساعت باشد و در سمت راست - خلاف جهت عقربه های ساعت و منفی - در مقابل. مورد (شکل 1.3، ب). برنج. 1.3 هنگام محاسبه لنگر خمشی در یک بخش معین، گشتاورهای نیروهای خارجی که در سمت چپ مقطع قرار دارند، اگر در جهت عقربه های ساعت باشند مثبت در نظر گرفته می شوند. برعکس در مورد سمت راست پرتو صادق است. تعیین علامت لحظه خمشی با توجه به ماهیت تغییر شکل پرتو راحت است. ممان خمشی در صورتی مثبت در نظر گرفته می شود که در قسمت مورد نظر، قسمت برش تیر به سمت پایین خم شده باشد، یعنی الیاف پایینی کشیده شده باشند. در غیر این صورت ممان خمشی در مقطع منفی است. روابط دیفرانسیل بین ممان خمشی M، نیروی برشی Q و شدت بار q وجود دارد. 1. اولین مشتق نیروی برشی در امتداد آبسیسا مقطع برابر با شدت بار توزیع شده است، یعنی. ... (1.1) 2. اولین مشتق لنگر خمشی در امتداد آبسیسا مقطع برابر با نیروی عرضی است، یعنی. (1.2) 3. مشتق دوم نسبت به آبسیسا مقطع برابر با شدت بار توزیع شده است، یعنی. (1.3) بار توزیع شده به سمت بالا مثبت در نظر گرفته می شود. تعدادی نتیجه گیری مهم از وابستگی های دیفرانسیل بین M, Q, q به دست می آید: 1. اگر در قسمتی از تیر: الف) نیروی عرضی مثبت باشد، گشتاور خمشی افزایش می یابد. ب) نیروی عرضی منفی است، سپس گشتاور خمشی کاهش می یابد. ج) نیروی برشی صفر است، سپس لنگر خمشی مقدار ثابتی دارد (خمش خالص). 6 د) نیروی عرضی از صفر عبور می کند، علامت مثبت به منفی، حداکثر M M، در حالت مخالف M Mmin تغییر می کند. 2. اگر بر مقطع تیر بار توزیعی وجود نداشته باشد، نیروی برشی ثابت است و لنگر خمشی به صورت خطی تغییر می کند. 3. اگر یک بار توزیع یکنواخت روی قسمتی از تیر وجود داشته باشد، نیروی برشی طبق قانون خطی تغییر می کند و لنگر خمشی - طبق قانون سهمی مربع، محدب رو به بار (در مورد) رسم نمودار M از سمت الیاف کشیده شده). 4. در قسمت تحت نیروی متمرکز، نمودار Q دارای یک پرش (براساس مقدار نیرو)، نمودار M دارای پیچ خوردگی در جهت نیرو است. 5. در قسمتی که ممان متمرکز اعمال می شود، نمودار M دارای جهشی برابر با مقدار این ممان است. این در نمودار Q منعکس نمی شود. با بارگذاری پیچیده تیر، نمودار نیروهای برشی Q و لنگرهای خمشی M رسم می شود نمودار Q (M) نموداری است که قانون تغییر نیروی برشی (لمان خمشی) را در طول تیر نشان می دهد. بر اساس تجزیه و تحلیل نمودارهای M و Q، مقاطع خطرناک تیر ایجاد می شود. مختصات مثبت نمودار Q به سمت بالا و ارتجاعات منفی از خط مبنا که موازی با محور طولی تیر کشیده شده است به سمت پایین رسم می شوند. مختصات مثبت نمودار M مشخص شده است، و مختصات منفی - به بالا، یعنی نمودار M از سمت الیاف کشیده ساخته شده است. ساخت کرت های Q و M برای تیرها باید با تعریف واکنش های پشتیبانی آغاز شود. برای یک تیر با یک سر مهار و دیگری آزاد، ساختن نمودارهای Q و M را می توان از انتهای آزاد بدون تعریف واکنش ها در تعبیه شروع کرد. 1.2. ترسیم نمودارهای Q و M بر اساس معادلات تیر به بخش هایی تقسیم می شود که در آن توابع لنگر خمشی و نیروی برشی ثابت می مانند (ناپیوستگی ندارند). مرزهای مقاطع، نقاط اعمال نیروهای متمرکز، جفت نیرو و مکان های تغییر شدت بار توزیع شده است. در هر مقطع یک مقطع دلخواه در فاصله x از مبدأ مختصات گرفته می شود و برای این بخش معادلات Q و M تدوین می شود که از این معادلات برای ساخت نمودارهای Q و M استفاده می شود. مثال 1.1 ساختن نمودارهای نیروهای برشی Q و لنگرهای خمشی M برای یک تیر معین (شکل 1.4، a). راه حل: 1. تعیین واکنش های حمایتی. ما معادلات تعادل را می سازیم: که از آنها به دست می آوریم واکنش های تکیه گاه ها به درستی تعریف شده اند. تیر دارای چهار بخش است شکل. 1.4 بار: CA، AD، DB، BE. 2. Plotting Q. Plot CA. در قسمت CA 1 یک مقطع دلخواه 1-1 در فاصله x1 از انتهای چپ تیر رسم می کنیم. ما Q را به عنوان مجموع جبری تمام نیروهای خارجی که در سمت چپ بخش 1-1 وارد می کنند تعریف می کنیم: علامت منفی گرفته می شود زیرا نیروی وارد شده به سمت چپ مقطع به سمت پایین هدایت می شود. عبارت Q مستقل از متغیر x1 است. نمودار Q در این ناحیه به صورت یک خط مستقیم موازی با محور آبسیسا به تصویر کشیده می شود. طرح AD. در سایت، یک مقطع دلخواه 2-2 در فاصله x2 از انتهای چپ تیر رسم می کنیم. ما Q2 را به عنوان مجموع جبری تمام نیروهای خارجی که در سمت چپ بخش 2-2 عمل می کنند تعریف می کنیم: 8. مقدار Q در بخش ثابت است (به متغیر x2 بستگی ندارد). نمودار Q در سایت یک خط مستقیم موازی با محور آبسیسا است. طرح DB. در سایت، یک مقطع دلخواه 3-3 در فاصله x3 از انتهای سمت راست تیر ایجاد می کنیم. ما Q3 را به عنوان مجموع جبری تمام نیروهای خارجی که در سمت راست بخش 3-3 عمل می کنند تعریف می کنیم: عبارت حاصل معادله یک خط مستقیم مایل است. طرح BE. در سایت، یک مقطع 4-4 در فاصله x4 از انتهای سمت راست تیر ایجاد می کنیم. ما Q را به عنوان مجموع جبری تمام نیروهای خارجی که در سمت راست بخش 4-4 عمل می کنند تعریف می کنیم: 4 در اینجا علامت مثبت گرفته می شود زیرا بار حاصل از سمت راست بخش 4-4 به سمت پایین هدایت می شود. بر اساس مقادیر به دست آمده، نمودارهای Q را رسم می کنیم (شکل 1.4، ب). 3. طرح م. قطعه m1. لنگر خمشی در مقطع 1-1 را به عنوان مجموع جبری نیروهای وارد بر سمت چپ مقطع 1-1 تعریف می کنیم. - معادله یک خط مستقیم بخش A 3 لنگر خمشی در بخش 2-2 را به عنوان مجموع جبری گشتاورهای نیروهای وارده به سمت چپ بخش 2-2 تعریف کنید. - معادله یک خط مستقیم بخش DB 4 گشتاور خمشی در بخش 3-3 را به عنوان مجموع جبری گشتاورهای نیروهای وارده به سمت راست بخش 3-3 تعریف کنید. - معادله سهمی مربع. 9 سه مقدار را در انتهای مقطع و در نقطه ای با مختصات xk بیابید، جایی که بخش BE 1 گشتاور خمشی در بخش 4-4 را به عنوان مجموع جبری گشتاورهای نیروهای وارد بر سمت راست بخش 4 تعریف کنید. 4. - با معادله یک سهمی مربع، سه مقدار M4 را پیدا می کنیم: با استفاده از مقادیر به دست آمده، نمودار M را می سازیم (شکل 1.4، c). در بخش‌های CA و AD، نمودار Q توسط خطوط مستقیم موازی با محور آبسیسا، و در بخش‌های DB و BE - با خطوط مستقیم مایل محدود می‌شود. در بخش های C، A و B در نمودار Q، جهش هایی با مقدار نیروهای مربوطه وجود دارد که به عنوان بررسی صحت نمودار Q عمل می کند. در بخش هایی که Q  0 است، گشتاورها از سمت چپ افزایش می یابد. به سمت راست در بخش هایی که Q  0 است، گشتاورها کاهش می یابد. تحت نیروهای متمرکز، پیچ خوردگی هایی نسبت به عمل نیروها وجود دارد. تحت لحظه متمرکز، جهشی به بزرگی لحظه وجود دارد. این نشان دهنده درستی رسم M است. مثال 1.2 نمودارهای Q و M را برای تیری روی دو تکیه گاه، بارگذاری شده با بار توزیع شده، که شدت آن به صورت خطی متفاوت است، بسازید (شکل 1.5، a). راه حل تعیین واکنش های حمایتی. حاصل بار توزیع شده برابر با مساحت مثلث است که نمودار بار است و در مرکز ثقل این مثلث اعمال می شود. ما مجموع گشتاورهای تمام نیروها را نسبت به نقاط A و B می سازیم: رسم نمودار Q. بیایید یک مقطع دلخواه در فاصله x از تکیه گاه سمت چپ رسم کنیم. ترتیب نمودار بار مربوط به مقطع از شباهت مثلث ها تعیین می شود. حاصل آن قسمت از بار که در سمت چپ مقطع قرار دارد، نیروی عرضی در مقطع برابر است با نیروی عرضی با توجه به آن تغییر می کند. قانون سهمی مربع با برابر کردن معادله نیروی عرضی با صفر، ابسیسا قسمتی را می یابیم که نمودار Q از صفر می گذرد: نمودار Q در شکل نشان داده شده است. 1.5، ب. لنگر خمشی در یک مقطع دلخواه برابر است با لنگر خمشی بر اساس قانون سهمی مکعبی تغییر می‌کند: ممان خمشی دارای حداکثر مقدار در مقطع است، جایی که 0، یعنی در نمودار M در شکل نشان داده شده است. 1.5، ج. 1.3. رسم نمودارهای Q و M توسط بخش های مشخصه (نقاط) با استفاده از وابستگی های دیفرانسیل بین M، Q، q و نتایج حاصل از آنها، توصیه می شود نمودارهای Q و M را بر اساس بخش های مشخصه (بدون ترسیم معادلات) رسم کنید. با استفاده از این روش، مقادیر Q و M در بخش های مشخصه محاسبه می شود. مقاطع معمولی بخش‌های مرزی بخش‌ها و همچنین بخش‌هایی هستند که ضریب نیروی داخلی داده‌شده در آن‌ها دارای ارزش فوق‌العاده است. در محدوده بین بخش های مشخصه، طرح کلی 12 نمودار بر اساس وابستگی های دیفرانسیل بین M، Q، q و نتایج حاصل از آنها ایجاد می شود. مثال 1.3 نمودارهای Q و M را برای تیر نشان داده شده در شکل بسازید. 1.6، الف. برنج. 1.6. راه حل: رسم نمودارهای Q و M را از انتهای آزاد تیر شروع می کنیم، در حالی که واکنش های موجود در تعبیه را می توان حذف کرد. تیر دارای سه ناحیه بارگیری است: AB، BC، CD. هیچ بار توزیعی در بخش های AB و BC وجود ندارد. نیروهای جانبی ثابت هستند. نمودار Q توسط خطوط مستقیم موازی با محور آبسیسا محدود شده است. لحظات خمشی به صورت خطی تغییر می کنند. نمودار M توسط خطوط مستقیم متمایل به محور آبسیسا محدود می شود. یک بار توزیع یکنواخت در بخش CD وجود دارد. نیروهای عرضی به صورت خطی و ممان های خمشی تغییر می کنند - طبق قانون سهمی مربع با برآمدگی در جهت بار توزیع شده. در مرز مقاطع AB و BC، نیروی جانبی به طور ناگهانی تغییر می کند. در مرز مقاطع BC و CD، لنگر خمشی به طور ناگهانی تغییر می کند. 1. رسم Q. ما مقادیر نیروهای برشی Q را در مقاطع مرزی مقاطع محاسبه می کنیم: بر اساس نتایج محاسبات، نمودار Q را برای تیر رسم می کنیم (شکل 1، ب). از نمودار Q چنین استنباط می شود که نیروی عرضی وارد بر مقطع CD در مقطعی که در فاصله qa a q از ابتدای این بخش قرار دارد برابر با صفر است. در این بخش لنگر خمشی دارای حداکثر مقدار است. 2. ساخت نمودار M. مقادیر لنگرهای خمشی در مقاطع مرزی مقاطع را محاسبه می کنیم: در حداکثر لحظه در مقطع. بر اساس نتایج محاسبات نمودار M را می سازیم (شکل 5.6). ، ج). مثال 1.4 با استفاده از نمودار داده شده از لنگرهای خمشی (شکل 1.7، a) برای یک تیر (شکل 1.7، b)، بارهای عامل را تعیین کنید و نمودار Q بسازید. دایره نشان دهنده راس سهمی مربع است. راه حل: بارهای وارد بر تیر را تعیین کنید. بخش AC با یک بار توزیع یکنواخت بارگذاری می شود، زیرا نمودار M در این بخش یک سهمی مربع است. در بخش مرجع B، یک گشتاور متمرکز به پرتو اعمال می‌شود که در جهت عقربه‌های ساعت عمل می‌کند، زیرا در نمودار M یک جهش به سمت بالا با بزرگی لحظه داریم. در بخش NE، تیر بارگذاری نمی شود، زیرا نمودار M در این بخش توسط یک خط مستقیم مایل محدود شده است. واکنش تکیه گاه B از این شرط تعیین می شود که ممان خمشی در مقطع C صفر باشد، یعنی برای تعیین شدت بار توزیع شده، عبارتی برای لنگر خمشی در مقطع A به عنوان مجموع گشتاور نیروها ایجاد می کنیم. در سمت راست و برابر با صفر.حالا واکنش ساپورت A را تعریف می کنیم. برای انجام این کار، یک عبارت برای ممان های خمشی در مقطع به عنوان مجموع گشتاورهای نیرو در سمت چپ ایجاد می کنیم. نمودار طراحی یک تیر با بار در شکل نشان داده شده است. 1.7، ج. با شروع از انتهای سمت چپ تیر، مقادیر نیروهای برشی در مقاطع مرزی مقاطع را محاسبه می کنیم: نمودار Q در شکل نشان داده شده است. 1.7، د. مشکل در نظر گرفته شده را می توان با ترسیم وابستگی های عملکردی برای M, Q در هر سایت حل کرد. مبدا را در انتهای سمت چپ پرتو انتخاب کنید. در قسمت AC نمودار M با سهمی مربعی بیان می شود که معادله آن به شکل ثابت a,b,c است از این شرط که سهمی از سه نقطه با مختصات مشخص عبور کند: جایگزینی مختصات نقاط. در معادله سهمی به دست می آوریم: عبارت لنگر خمشی متمایز کردن تابع M1 خواهد بود، وابستگی نیروی عرضی را به دست می آوریم پس از متمایز کردن تابع Q، عبارت شدت بار توزیع شده را به دست می آوریم. برش CB، عبارت لنگر خمشی به صورت یک تابع خطی نشان داده می شود برای تعیین ثابت های a و b از شرایطی استفاده می کنیم که این خط مستقیم از دو نقطه که مختصات آنها مشخص است بگذرد. معادله لنگر خمشی در مقطع CB خواهد بود پس از تمایز دو برابری M2 با مقادیر یافت شده M و Q نمودار لنگرهای خمشی و نیروهای برشی تیر را رسم می کنیم. علاوه بر بار توزیع شده، نیروهای متمرکز در سه بخش به تیر اعمال می شود که در نمودار Q پرش ها و در قسمتی که جهش در نمودار M وجود دارد گشتاورهای متمرکز وجود دارد. مثال 1.5 برای یک تیر (شکل 1.8، a)، موقعیت منطقی لولا C را تعیین کنید، که در آن بیشترین گشتاور خمشی در دهانه برابر با لنگر خمشی در تعبیه (در مقدار مطلق) است. ساختن نمودارهای Q و M. راه حل تعیین واکنش های پشتیبانی. اگر چه تعداد کل اتصالات پشتیبانی چهار است، تیر از نظر استاتیکی قابل تعریف است. ممان خمشی در اتصال C برابر با صفر است، که به ما امکان می دهد یک معادله اضافی ترسیم کنیم: مجموع لنگرها نسبت به اتصال تمام نیروهای خارجی که در یک طرف این اتصال وارد می شوند برابر با صفر است. اجازه دهید مجموع گشتاورهای تمام نیروها را در سمت راست لولا بسازیم. نمودار Q برای تیر با یک خط مستقیم مایل محدود شده است، زیرا q = const. ما مقادیر نیروهای برشی را در مقاطع مرزی تیر تعیین می کنیم: آبسیسا xK مقطع، که در آن Q = 0 است، از معادله تعیین می شود که در آن نمودار M برای تیر با یک سهمی مربع محدود می شود. عبارات لنگرهای خمشی در مقاطع، که در آن Q = 0، و در تعبیه بر این اساس به صورت زیر نوشته می شود: از شرط تساوی ممان ها، یک معادله درجه دوم برای پارامتر جستجو شده x به دست می آوریم: مقدار واقعی x2x 1، 029 متر مقادیر عددی نیروهای برشی و لنگرهای خمشی در مقاطع مشخصه تیر را تعیین کنید شکل 1.8، b نمودار Q را نشان می دهد و در شکل. 1.8، c - نمودار M. مشکل در نظر گرفته شده را می توان با تقسیم تیر لولایی به عناصر تشکیل دهنده آن حل کرد، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 1.8، د در ابتدا، واکنش های ساپورت های VC و VB تعیین می شود. نمودارهای Q و M برای تیر معلق CB از اثر بار اعمال شده به آن رسم می شوند. سپس به سمت پرتو اصلی AC می روند و آن را با یک نیروی اضافی VC بارگذاری می کنند که نیروی فشار پرتو CB بر روی پرتو AC است. سپس نمودارهای Q و M برای پرتو AC رسم می شود. 1.4. محاسبات مقاومت برای خمش مستقیم تیرها محاسبات مقاومت برای تنش های معمولی و برشی. با خمش مستقیم تیر، تنش های عادی و مماسی در مقاطع عرضی آن ایجاد می شود (شکل 1.9). شکل 18 1.9 تنش های معمولی با یک لنگر خمشی همراه هستند، تنش های برشی با نیروی برشی همراه هستند. در خمش خالص مستقیم، تنش های برشی صفر است. تنش های معمولی در یک نقطه دلخواه از سطح مقطع تیر با فرمول (1.4) تعیین می شود که در آن M گشتاور خمشی در مقطع داده شده است. Iz ممان اینرسی مقطع نسبت به محور z خنثی است. y فاصله از نقطه ای که تنش نرمال تعیین می شود تا محور z خنثی است. تنش های معمولی در امتداد ارتفاع مقطع به صورت خطی تغییر می کنند و در دورترین نقاط از محور خنثی به بیشترین مقدار می رسند اگر مقطع نسبت به محور خنثی متقارن باشد (شکل 1.11)، شکل. 1.11 بزرگترین تنش های کششی و فشاری یکسان بوده و با فرمول  لنگر محوری مقاومت مقطع در خمش تعیین می شود. برای یک مقطع مستطیلی با عرض b و ارتفاع h: (1.7) برای یک مقطع دایره ای با قطر d: (1.8) برای یک بخش حلقوی   - به ترتیب قطر داخلی و خارجی حلقه. برای تیرهای ساخته شده از مواد پلاستیکی، منطقی ترین شکل متقارن 20 شکل مقطعی است (تیرهای I، جعبه شکل، حلقوی). برای تیرهای ساخته شده از مواد شکننده که به یک اندازه در برابر کشش و فشار مقاوم نیستند، مقاطعی که نسبت به محور z خنثی نامتقارن هستند (تیر، U شکل، نامتقارن I-beam) منطقی هستند. برای تیرهایی با سطح مقطع ثابت ساخته شده از مواد پلاستیکی با شکل های مقطع متقارن، شرایط مقاومت به صورت زیر نوشته می شود: (1.10) که در آن Mmax حداکثر مدول لنگر خمشی است. - تنش مجاز برای مواد. برای تیرهای با سطح مقطع ثابت ساخته شده از مواد پلاستیکی با اشکال مقطع نامتقارن شرایط مقاومت به شکل زیر نوشته می شود: (1. 11) برای تیرهای ساخته شده از مواد شکننده با مقاطع نامتقارن در مورد محور خنثی، اگر نمودار M بدون ابهام باشد (شکل 1.12)، باید دو شرط مقاومت را بنویسید - فاصله از محور خنثی تا دورترین نقاط. به ترتیب مناطق کشیده و فشرده بخش خطرناک؛ P - تنش های مجاز در کشش و فشار به ترتیب. شکل 1.12. 21 اگر نمودار لنگرهای خمشی دارای مقاطع با علائم مختلف باشد (شکل 1.13)، پس علاوه بر بررسی بخش 1-1، جایی که Mmax عمل می کند، لازم است بزرگترین تنش های کششی برای مقطع 2-2 (با بزرگترین) محاسبه شود. لحظه علامت مخالف). برنج. 1.13 در کنار محاسبه اولیه برای تنش های معمولی، در برخی موارد لازم است مقاومت تیر از نظر تنش های برشی بررسی شود. تنش های برشی در تیرها با فرمول DI Zhuravsky (1.13) محاسبه می شود که در آن Q نیروی برشی در مقطع در نظر گرفته شده تیر است. Szotc - لحظه ایستا نسبت به محور خنثی ناحیه بخشی از بخش واقع در یک طرف خط مستقیم که از طریق یک نقطه مشخص و موازی با محور z کشیده شده است. b عرض مقطع در سطح نقطه مورد نظر است. Iz ممان اینرسی کل مقطع نسبت به محور z خنثی است. در بسیاری از موارد حداکثر تنش های برشی در سطح لایه خنثی تیر (مستطیل، تیر I، دایره) رخ می دهد. در چنین مواردی، شرایط مقاومت تنش برشی به شکل (1.14) نوشته می‌شود که در آن Qmax بزرگترین نیروی برشی در مدول است. آیا تنش برشی مجاز برای مواد است. برای یک مقطع مستطیلی تیر، شرایط مقاومت به شکل (1.15) A - سطح مقطع تیر است. برای یک مقطع دایره ای، شرایط مقاومت به شکل (1.16) نشان داده می شود. برای یک مقطع I، شرایط مقاومت به صورت زیر نوشته می شود: (1.17) که در آن Szо، тmсax گشتاور نیمه مقطع ساکن نسبت به محور خنثی است. د - ضخامت دیواره I-beam. معمولاً ابعاد مقطع تیر با توجه به تنش های معمولی از وضعیت مقاومت تعیین می شود. بررسی مقاومت تیرها برای تنش های برشی برای تیرهای کوتاه و تیرها با هر طولی در صورت وجود نیروهای متمرکز زیاد در نزدیکی تکیه گاهها و همچنین برای تیرهای چوبی، پرچ شده و جوشی الزامی است. مثال 1.6 استحکام یک تیر مقطع جعبه (شکل 1.14) را برای تنش های معمولی و برشی، در صورت MPa بررسی کنید. قسمت خطرناک پرتو را رسم کنید. برنج. 1.14 راه حل 23 1. ساخت نمودارهای Q و M توسط مقاطع مشخصه. با در نظر گرفتن سمت چپ تیر، نمودار نیروهای عرضی را بدست می آوریم که در شکل 1 نشان داده شده است. 1.14، ج. نمودار لنگرهای خمشی در شکل نشان داده شده است. 5.14، g 2. مشخصات هندسی مقطع 3. بالاترین تنش های نرمال در مقطع C، جایی که Mmax عمل می کند (مدول): MPa. حداکثر تنش های نرمال در تیر عملاً برابر با تنش های مجاز است. 4. بزرگترین تنش های برشی در مقطع C (یا A)، که در آن حداکثر Q عمل می کند (مدول): در اینجا گشتاور ساکن سطح نیم مقطع نسبت به محور خنثی است. b2 cm - عرض مقطع در سطح محور خنثی. 5. تنش های برشی در یک نقطه (در دیوار) در مقطع C: شکل. 1.15 در اینجا Szomc 834.5 108 cm3 ممان استاتیک ناحیه بخشی از بخش واقع در بالای خطی است که از نقطه K1 می گذرد. b2 cm - ضخامت دیواره در سطح نقطه K1. نمودارهای  و  برای مقطع C تیر در شکل نشان داده شده است. 1.15. مثال 1.7 برای تیر نشان داده شده در شکل. 1.16، الف، لازم است: 1. نمودار نیروهای برشی و لنگرهای خمشی توسط مقاطع (نقاط) مشخصه بسازید. 2. ابعاد مقطع را به صورت دایره، مستطیل و تیر I از حالت مقاومت نسبت به تنش های معمولی تعیین کنید، سطوح مقطع را با هم مقایسه کنید. 3. ابعاد انتخابی مقاطع تیرها را از نظر تنش برشی بررسی کنید. داده شده: راه حل: 1. تعیین واکنش های تکیه گاه های تیر بررسی: 2. رسم نمودارهای Q و M. مقادیر نیروهای برشی در مقاطع مشخصه تیر 25 شکل. 1.16 در بخش های CA و AD، شدت بار q = const است. در نتیجه، در این مناطق، نمودار Q توسط خطوط مستقیم متمایل به محور محدود می شود. در بخش DB، شدت بار توزیع شده q = 0، بنابراین، در این بخش از نمودار Q توسط یک خط مستقیم موازی با محور x محدود شده است. نمودار Q برای تیر در شکل نشان داده شده است. 1.16، ب. مقادیر لنگرهای خمشی در مقاطع مشخصه تیر: در قسمت دوم آبسیسا x2 مقطع را تعیین می کنیم که در آن Q = 0: حداکثر گشتاور در مقطع دوم نمودار M برای تیر برابر است. نشان داده شده در شکل 1.16، ج. 2. شرایط استحکام را برای تنش های نرمال فرموله می کنیم که از آنجا لنگر محوری مورد نیاز مقاومت مقطع را از بیان قطر مورد نیاز d از سطح مقطع دایره ای تعیین می کنیم. ارتفاع مساحت مقطع مستطیلی تعداد مورد نیاز پرتو I را تعریف کنید. با توجه به جداول GOST 8239-89، نزدیکترین مقدار بالاتر گشتاور محوری مقاومت 597 سانتی متر مکعب را پیدا می کنیم که مربوط به تیر I شماره 33 با مشخصات زیر است: A z 9840 cm4. تلرانس را بررسی کنید (کم بارگیری 1% از 5% مجاز) نزدیکترین پرتو I شماره 30 (W 2 cm3) منجر به اضافه بار قابل توجهی (بیش از 5%) می شود. در نهایت، I-beam شماره 33 را می پذیریم. ناحیه مقاطع دایره ای و مستطیلی را با کوچکترین سطح A از تیر I مقایسه می کنیم: از بین سه مقطع در نظر گرفته شده، مقطع I مقرون به صرفه ترین است. 3. بیشترین تنش های نرمال را در مقطع خطرناک تیر I-27 محاسبه می کنیم (شکل 1.17، الف): تنش های نرمال در دیوار نزدیک فلنج مقطع I تیر نمودار تنش های نرمال در پرتو خطرناک. بخش تیر در شکل نشان داده شده است. 1.17، ب. 5. بالاترین تنش های برشی را برای مقاطع انتخابی تیر تعیین کنید. الف) مقطع مستطیلی تیر: ب) مقطع دایره ای تیر: ج) مقطع I تیر: تنش های برشی دیوار نزدیک فلنج تیر I در قسمت خطرناک A (راست) (در نقطه 2) ): نمودار تنش های برشی در مقاطع خطرناک تیر I در شکل. 1.17، ج. حداکثر تنش های برشی در تیر از تنش های مجاز تجاوز نمی کند. مثال 1.8 بار مجاز روی تیر را تعیین کنید (شکل 1.18، a)، اگر 60 مگاپاسکال باشد، ابعاد مقطع داده شده است (شکل 1.19، a). نمودار تنش های معمولی در قسمت خطرناک تیر در بار مجاز ایجاد کنید. شکل 1.18 1. تعیین واکنش های تکیه گاه های تیر. با توجه به تقارن سیستم 2. ساخت نمودارهای Q و M بر روی مقاطع مشخصه. نیروهای برشی در مقاطع مشخصه تیر: نمودار Q برای تیر در شکل نشان داده شده است. 5.18، ب. لنگرهای خمشی در مقاطع مشخصه تیر برای نیمه دوم تیر، مختصات M در امتداد محورهای تقارن هستند. نمودار M برای یک تیر در شکل نشان داده شده است. 1.18، ب. 3. مشخصات هندسی مقطع (شکل 1.19). شکل را به دو عنصر ساده تقسیم می کنیم: یک پرتو I - 1 و یک مستطیل - 2. شکل. 1.19 با توجه به مجموعه ای برای I-beam No. شکل 1.19) در بخش خطرناک I (شکل 1.18): پس از جایگزینی داده های عددی 5. تحت بار مجاز در مقطع خطرناک، تنش های نرمال در نقاط "a" و "b" برابر خواهد بود: نمودار تنش های معمولی برای بخش خطرناک 1-1 در شکل نشان داده شده است. 1.19، ب.

10.1. مفاهیم و تعاریف کلی

خم شدن- این یک نوع بارگذاری است که در آن میله در صفحاتی که از محور طولی میله عبور می کنند با ممان بارگذاری می شود.

به میله خمشی تیر (یا میله) می گویند. در ادامه به تیرهای مستطیلی می پردازیم که سطح مقطع آنها حداقل دارای یک محور تقارن است.

در استحکام مصالح، بین خمش مسطح، مایل و پیچیده تمایز قائل می‌شود.

خم صاف- خمش، که در آن تمام نیروهای خم کننده تیر در یکی از صفحات تقارن تیر (در یکی از صفحات اصلی) قرار دارند.

صفحات اصلی اینرسی تیر، صفحاتی هستند که از محورهای اصلی مقاطع و محور هندسی تیر (محور x) عبور می کنند.

خم شدن مورب- خمش، که در آن بارها در یک صفحه عمل می کنند که با صفحات اصلی اینرسی منطبق نیست.

خم پیچیده- خمش، که در آن بارها در سطوح مختلف (خودسرانه) عمل می کنند.

10.2. تعیین نیروهای خمشی داخلی

اجازه دهید دو حالت معمولی خمش را در نظر بگیریم: در مورد اول، تیر کنسول با یک لحظه متمرکز مو خم می‌شود. در دوم، توسط نیروی متمرکز F.

با استفاده از روش مقاطع ذهنی و ایجاد معادلات تعادل برای قسمت های برش تیر، نیروهای داخلی را در هر دو حالت تعیین می کنیم:

بقیه معادلات تعادل به طور واضح برابر با صفر هستند.

بنابراین، در حالت کلی خمش مسطح در مقطع تیر، از شش نیروی داخلی، دو نیروی ایجاد می شود - لحظه خم شدنМz و نیروی جانبی Qy (یا هنگام خم شدن حول محور اصلی دیگر - گشتاور خمشی My و نیروی برشی Qz).

در این حالت، مطابق با دو حالت بارگذاری در نظر گرفته شده، خمش صفحه را می توان به خالص و عرضی تقسیم کرد.

خم خالص- خمش صفحه، که در آن تنها یکی از شش نیروی داخلی در بخش های میله ایجاد می شود - یک لحظه خمشی (به حالت اول مراجعه کنید).

خمش عرضی- خمش، که در آن، علاوه بر ممان خمشی داخلی، یک نیروی عرضی در مقاطع عرضی میله ایجاد می شود (مورد دوم را ببینید).

به طور دقیق، فقط خمش خالص متعلق به انواع ساده مقاومت است. خمش عرضی معمولاً به عنوان انواع ساده مقاومت نامیده می شود، زیرا در بیشتر موارد (برای تیرهای به اندازه کافی طولانی) می توان از تأثیر نیروی عرضی در محاسبات مقاومت چشم پوشی کرد.

هنگام تعیین تلاش های داخلی، ما به قانون علائم زیر پایبند هستیم:

1) نیروی عرضی Qy اگر تمایل داشته باشد عنصر در نظر گرفته شده تیر را در جهت عقربه های ساعت بچرخاند، مثبت در نظر گرفته می شود.

2) ممان خمشی Mz مثبت در نظر گرفته می شود اگر در حین خمش عنصر تیر، الیاف بالایی عنصر فشرده و الیاف پایینی کشیده شوند (قاعده چتر).

بنابراین راه حل مسئله تعیین نیروهای خمشی داخلی بر اساس طرح زیر ساخته می شود: 1) در مرحله اول با در نظر گرفتن شرایط تعادل سازه به عنوان یک کل، در صورت لزوم واکنش های مجهول را تعیین می کنیم. تکیه گاه ها (توجه داشته باشید که برای یک تیر کنسول، اگر تیر را از انتهای آزاد در نظر بگیریم، واکنش های موجود در تعبیه را می توان یافت و یافت نمی شود). 2) در مرحله دوم، مقاطع مشخصه تیر را انتخاب می کنیم و نقاط اعمال نیرو، نقاط تغییر شکل یا ابعاد تیر، نقاط اتصال تیر را به عنوان مرزهای مقاطع در نظر می گیریم. 3) در مرحله سوم، با در نظر گرفتن شرایط تعادل برای عناصر تیر در هر یک از مقاطع، نیروهای داخلی در مقاطع تیر را تعیین می کنیم.

10.3. محدودیت های خمشی دیفرانسیل

اجازه دهید برخی از روابط بین نیروهای داخلی و بارهای خمشی خارجی و همچنین ویژگی های مشخصه نمودارهای Q و M ایجاد کنیم که دانش آنها ساخت نمودارها را تسهیل می کند و به شما امکان می دهد صحت آنها را کنترل کنید. برای راحتی، ما را با: M≡Mz، Q≡Qy نشان می دهیم.

اجازه دهید یک عنصر کوچک dx را در قسمتی از یک تیر با بار دلخواه در مکانی که نیروها و گشتاورهای متمرکزی وجود ندارد انتخاب کنیم. از آنجایی که کل تیر در حالت تعادل است، عنصر dx نیز تحت تأثیر نیروهای برشی، لنگرهای خمشی و بار خارجی اعمال شده به آن در حالت تعادل خواهد بود. از آنجایی که Q و M به طور کلی با هم متفاوت هستند

محورهای تیر، سپس نیروهای برشی Q و Q + dQ و همچنین لنگرهای خمشی M و M + dM در مقاطع عنصر dx ظاهر می شوند. از شرایط تعادل عنصر انتخاب شده، به دست می آوریم

اولین مورد از دو معادله نوشته شده شرط را می دهد

از معادله دوم، با غفلت از عبارت q dx (dx / 2) به عنوان یک مقدار بی نهایت کوچک از مرتبه دوم، متوجه می شویم

با در نظر گرفتن عبارات (10.1) و (10.2) با هم می توانیم به دست آوریم

روابط (10.1)، (10.2) و (10.3) دیفرانسیل نامیده می شوند وابستگی D.I. Zhuravsky در خم شدن.

تجزیه و تحلیل وابستگی‌های دیفرانسیل فوق در خمش، ایجاد برخی از ویژگی‌ها (قوانین) را برای ساخت نمودارهای لنگر خمشی و نیروهای برشی ممکن می‌سازد: الف - در مناطقی که بار توزیع شده q وجود ندارد، نمودارهای Q با خطوط مستقیم موازی محدود می‌شوند. پایه و نمودارهای M - با خطوط مستقیم مایل. ب - در مناطقی که بار توزیع شده q به تیر اعمال می شود، نمودارهای Q توسط خطوط مستقیم شیبدار و نمودارهای M - با سهمی های درجه دوم محدود می شوند.

در این حالت، اگر نمودار M را "روی یک فیبر کشیده" رسم کنیم، برآمدگی سهمی در جهت عمل q هدایت می شود و انتها در قسمتی قرار می گیرد که نمودار Q خط پایه را قطع می کند. ; ج - در مقاطعی که بر روی نمودار Q نیروی متمرکزی به تیر وارد می شود جهش هایی به بزرگی و در جهت نیروی داده شده وجود دارد و در نمودار M نیز خمیدگی هایی با نوک در جهت جهت گیری وجود دارد. عمل این نیرو؛ د - در مقاطعی که بر روی نمودار Q یک گشتاور متمرکز بر تیر اعمال می شود، تغییری ایجاد نمی شود و در نمودار M جهش هایی به بزرگی این گشتاور وجود دارد. d - در مقاطعی که Q> 0، لحظه M افزایش می یابد و در بخش هایی که Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. تنش های معمولی در خمش خالص یک میله مستقیم

حالت خمش صاف و خالص تیر را در نظر بگیرید و فرمولی برای تعیین تنش های نرمال برای این حالت بدست آورید.

توجه داشته باشید که در تئوری الاستیسیته می‌توان وابستگی دقیقی برای تنش‌های معمولی در خمش خالص به دست آورد، اما اگر این مشکل با روش‌های مقاومت مصالح حل شود، لازم است چند فرض مطرح شود.

در خم شدن سه فرضیه وجود دارد:

الف - فرضیه مقاطع مسطح (فرضیه برنولی) - مقاطعی که قبل از تغییر شکل صاف هستند و بعد از تغییر شکل صاف می مانند اما فقط حول یک خط مشخص می چرخند که به آن محور خنثی مقطع تیر می گویند. در این حالت الیاف تیری که در یک طرف محور خنثی قرار دارند کشیده می شوند و از طرف دیگر فشرده می شوند. الیافی که روی محور خنثی قرار دارند طول خود را تغییر نمی دهند.

ب - فرضیه ثابت بودن تنش های نرمال - تنش هایی که در همان فاصله y از محور خنثی عمل می کنند در امتداد عرض میله ثابت هستند.

ج - فرضیه عدم وجود فشارهای جانبی - الیاف طولی مجاور به یکدیگر فشار نمی آورند.

سمت استاتیک مشکل

برای تعیین تنش ها در مقاطع تیر ابتدا اضلاع استاتیکی مسئله را در نظر بگیرید. با استفاده از روش مقطع ذهنی و تشکیل معادلات تعادل برای قسمت برش تیر، نیروهای خمشی داخلی را پیدا می کنیم. همانطور که قبلا نشان داده شد، تنها نیروی داخلی که در مقطع یک میله با خمش خالص وارد می شود، ممان خمشی داخلی است، به این معنی که تنش های نرمال مرتبط با آن در اینجا ایجاد می شود.

رابطه بین نیروهای داخلی و تنش‌های نرمال در مقطع تیر از در نظر گرفتن تنش‌های ناحیه ابتدایی dA، انتخاب شده در مقطع تیر A در نقطه‌ای با مختصات y و z بدست می‌آید (محور y به سمت پایین هدایت می‌شود. راحتی تجزیه و تحلیل):

همانطور که می بینید، مشکل از نظر استاتیکی داخلی نامشخص است، زیرا ماهیت توزیع تنش های نرمال بر روی مقطع ناشناخته است. برای حل مسئله، الگوی هندسی تغییر شکل ها را در نظر بگیرید.

جنبه هندسی مسئله

تغییر شکل یک عنصر تیر به طول dx را در نظر بگیرید که از یک میله خمشی در یک نقطه دلخواه با مختصات x انتخاب شده است. با در نظر گرفتن فرضیه قبلی پذیرفته شده مقاطع صفحه، پس از خم کردن مقطع تیر، حول محور خنثی (nd) با زاویه dϕ بچرخید، در حالی که فیبر ab که از محور خنثی در فاصله y فاصله دارد، به یک قوس دایره ای a1b1، و طول آن مقداری تغییر می کند. در اینجا به یاد می آوریم که طول الیافی که روی محور خنثی قرار دارند تغییر نمی کند و بنابراین قوس a0b0 (شعاع انحنای آن را با ρ نشان می دهیم) طولی برابر با قطعه a0b0 قبل از تغییر شکل a0b0 = dx دارد.

اجازه دهید تغییر شکل خطی نسبی εx فیبر ab تیر منحنی را پیدا کنیم.

خم خالصبه نوع خمشی گفته می شود که در آن عمل صورت می گیرد فقط لحظه خم شدن(شکل 3.5، آ).اجازه دهید صفحه مقطع I-I را عمود بر محور طولی تیر در فاصله * از انتهای آزاد تیر که ممان خارجی به آن اعمال می شود رسم کنیم. m z.ما اقدامات مشابهی را که توسط ما در تعیین تنش ها و کرنش ها در حین پیچش انجام شد، انجام خواهیم داد، یعنی:

• 1) معادلات تعادل را برای قسمت بریده شده ذهنی قطعه بنویسید.
• 2) تغییر شکل ماده قطعه را بر اساس شرایط سازگاری تغییر شکل حجم های اولیه یک بخش مشخص می کنیم.
• 3) معادلات تعادل و سازگاری تغییر شکل ها را حل خواهیم کرد.

از وضعیت تعادل بخش برش تیر (شکل 3.5، ب)

ما لحظه نیروهای داخلی را دریافت می کنیم M zبرابر با ممان نیروهای خارجی است t: M = t.

برنج. 3.5.

گشتاور نیروهای داخلی توسط تنش های نرمال o v که در امتداد محور x هدایت می شوند ایجاد می شود. با خمش خالص، هیچ نیروی خارجی وجود ندارد، بنابراین مجموع پیش بینی نیروهای داخلی در هر محور مختصات صفر است. بر این اساس شرایط تعادل را به صورت تساوی می نویسیم

جایی که آ- سطح مقطع تیر (میله).

در خمش خالص، نیروهای خارجی F x، F، F vو همچنین لحظات نیروهای خارجی t x، t yبرابر با صفر هستند. بنابراین، بقیه معادلات تعادل برابر با صفر هستند.

از شرایط تعادل برای o> 0 به دنبال آن است

استرس معمولی با xدر مقطع، هر دو ارزش مثبت و منفی را می گیرند. (تجربه نشان می دهد که هنگام خم شدن، مواد سمت پایین میله در شکل 3.5، آکشیده شده، و قسمت بالایی فشرده شده است.) در نتیجه، در سطح مقطع در حین خمش، چنین حجم های ابتدایی (لایه گذار از فشار به کشش) وجود دارد که در آن هیچ کشیدگی یا فشرده سازی وجود ندارد. این - لایه خنثیخط تقاطع لایه خنثی با سطح مقطع نامیده می شود خط خنثی

شرایط سازگاری برای تغییر شکل‌های حجم‌های اولیه در حین خمش بر اساس فرضیه مقاطع مسطح شکل می‌گیرد: تخت قبل از خم شدن مقطع تیر (شکل 3.5 را ببینید، ب)حتی پس از خم شدن هم صاف بمانند (شکل 3.6).

در نتیجه عمل گشتاور خارجی، پرتو خم می شود و صفحات بخش I-I و II-II نسبت به یکدیگر در یک زاویه می چرخند. دو(شکل 3.6، ب).با خمش خالص، تغییر شکل تمام مقاطع در امتداد محور تیر یکسان است، بنابراین شعاع p تا انحنای لایه خنثی تیر در امتداد محور x یکسان است. زیرا dx= ص K dip،سپس انحنای لایه خنثی 1 / p k = است شیب / dxو در طول تیر ثابت است.

لایه خنثی تغییر شکل نمی دهد، طول آن قبل و بعد از تغییر شکل برابر است dxدر زیر این لایه مواد کشیده شده است، در بالای آن فشرده می شود.

برنج. 3.6.

مقدار ازدیاد طول یک لایه کشیده در فاصله y از خنثی است ydqازدیاد طول این لایه:

بنابراین، در مدل اتخاذ شده، یک توزیع خطی از تغییر شکل ها بسته به فاصله یک حجم ابتدایی معین تا لایه خنثی به دست آمد، یعنی. در امتداد ارتفاع مقطع تیر. با فرض عدم فشار متقابل لایه های موازی مواد روی یکدیگر (حدود y = 0، a، = 0)، قانون هوک را برای کشش خطی می نویسیم:

مطابق (3.13)، تنش های نرمال در مقطع تیر به صورت خطی توزیع می شوند. تنش حجم اولیه ماده در دورترین فاصله از لایه خنثی (شکل 3.6، v)، حداکثر و برابر است

? وظیفه 3.6

حد الاستیک تیغه فولادی با ضخامت / = 4 میلی متر و طول / = 80 سانتی متر را تعیین کنید، اگر خم شدن آن به صورت نیم دایره باعث تغییر شکل دائمی نشود.

راه حل

تنش خمشی o v = ای/ p k. اجازه دهید y max = را در نظر بگیریم تی/ 2 و p k = / / به.

حد الاستیک باید با شرط yn> c v = مطابقت داشته باشد 1/2 kE t / 1.

پاسخ: اوه = ] / 2 تا 2 10 11 4 10 _3 / 0.8 = 1570 مگاپاسکال. نقطه تسلیم این فولاد بیش از 1800 مگاپاسکال است که بالاتر از بادوام ترین فولادهای فنری است. ?

? مشکل 3.7

حداقل شعاع درام را برای سیم پیچی نوار با ضخامت / = 0.1 میلی متر از یک عنصر گرمایش ساخته شده از آلیاژ نیکل، که در آن مواد نوار به صورت پلاستیکی تغییر شکل نمی دهد، تعیین کنید. مدول E = 1.6 10 5 مگاپاسکال، حد الاستیک o yn = 200 مگاپاسکال.

پاسخ:حداقل شعاع р = V 2 ir / a yM = У? 1.6-10 11 0.1 10 -3 / (200 10 6) = = 0.04 متر؟

1. با حل مشترک اولین معادله تعادل (3.12) و معادله سازگاری تغییر شکل ها (3.13)، به دست می آوریم.

معنی E/ p k φ 0 و برای همه عناصر یکسان است dAمنطقه ادغام بنابراین، این برابری فقط در شرایطی برآورده می شود

این انتگرال نامیده می شود گشتاور ساکن سطح مقطع حول محورzمعنای فیزیکی این انتگرال چیست؟

اجازه دهید صفحه ای با ضخامت ثابت /، اما با مشخصات دلخواه (شکل 3.7) بگیریم. بیایید این بشقاب را در نقطه آویزان کنیم بابه طوری که در حالت افقی قرار گیرد. اجازه دهید با علامت y m وزن مخصوص ماده صفحه را نشان دهیم، سپس وزن یک حجم اولیه را با یک مساحت dAبرابر است با dq= y JdA.از آنجایی که صفحه در حالت تعادل است، پس از برابری به صفر برآمدگی نیروها بر روی محور درگرفتن

جایی که جی= y M tAوزن بشقاب است

برنج. 3.7.

مجموع گشتاورهای نیروهای همه نیروها حول محور zعبور در هر بخش از صفحه نیز صفر است:

با توجه به اینکه Y ج = جی،بنویس

بنابراین، اگر انتگرالی از شکل J xdAبر اساس منطقه آبرابر است با

صفر پس x c = 0. یعنی نقطه C با مرکز ثقل صفحه منطبق است. بنابراین، از برابری S z =جی ydA = 0 در زمان مقرر

خم شدن، نتیجه این است که مرکز ثقل مقطع تیر روی خط خنثی است.

از این رو ارزش باسطح مقطع تیر صفر است.

• 1. خط خنثی خمشی از مرکز ثقل مقطع تیر عبور می کند.
• 2. مرکز ثقل مقطع، مرکز کاهش گشتاورهای نیروهای خارجی و داخلی است.

هدف 3.8

وظیفه 3.9

2. با حل مشترک معادله تعادل دوم (3.12) و معادله سازگاری تغییر شکل ها (3.13) به دست می آید.

انتگرال J z= جی y 2 dAتماس گرفت ممان اینرسی عرضی

بخش تیر (میله) نسبت به محور z،عبور از مرکز ثقل مقطع.

به این ترتیب، M z = Е J z /با توجه به اینکه c x = هر x = ای/ p به و E/ p k = تبر / y،وابستگی تنش های نرمال را بدست می آوریم اوههنگام خم شدن:

1. تنش خمشی در یک نقطه معین از مقطع به مدول الاستیسیته نرمال بستگی ندارد. E،اما به پارامتر هندسی مقطع بستگی دارد J zو فاصله دراز این نقطه تا مرکز ثقل مقطع.

2. حداکثر تنش خمشی در حجم های اولیه دورتر از خط خنثی رخ می دهد (شکل 3.6 را ببینید، v):

جایی که W z- ممان مقاومت مقطع نسبت به محور ز-

شرط مقاومت خمشی خالص مشابه شرایط مقاومت کششی خطی است:

جایی که [a m | - تنش خمشی مجاز

بدیهی است که حجم های داخلی مواد، به ویژه در نزدیکی محور خنثی، عملاً تخلیه می شوند (شکل 3.6 را ببینید، v).این با الزام به حداقل رساندن مصرف مصالح سازه در تضاد است. چند راه برای غلبه بر این تناقض در زیر نشان داده شده است.