دایره المعارف ریاضی وینوگرادوف. دایره المعارف ریاضی. طبقه بندی های قدیمی و جدید ریاضیات

محتوای مقاله

ریاضیات.ریاضیات معمولاً با ذکر نام برخی از شاخه های سنتی آن تعریف می شود. اول از همه، این حساب است که با مطالعه اعداد، روابط بین آنها و قوانین کار با اعداد سروکار دارد. حقایق حساب برای تفاسیر عینی مختلف باز است. برای مثال، نسبت 2 + 3 = 4 + 1 با این جمله مطابقت دارد که دو و سه کتاب به اندازه چهار و یک کتاب می‌سازند. هر رابطه ای مانند 2 + 3 = 4 + 1، یعنی. رابطه بین اشیاء صرفاً ریاضی بدون ارجاع به هیچ تفسیری از دنیای فیزیکی را انتزاعی می نامند. ماهیت انتزاعی ریاضیات اجازه می دهد تا از آن در حل طیف گسترده ای از مسائل استفاده شود. به عنوان مثال، جبر، که با عملیات اعداد سروکار دارد، به شما اجازه می دهد تا مسائلی را که فراتر از محاسبات هستند حل کنید. شاخه خاص تری از ریاضیات هندسه است که وظیفه اصلی آن مطالعه اندازه و شکل اجسام است. ترکیب روش‌های جبری با روش‌های هندسی از یک سو به مثلثات (که در ابتدا به مطالعه مثلث‌های هندسی اختصاص داشت و اکنون طیف وسیع‌تری از مسائل را در بر می‌گیرد) و از سوی دیگر به هندسه تحلیلی منتهی می‌شود. اجسام و اشکال هندسی با روش های جبری بررسی می شوند. چندین شاخه از جبر و هندسه عالی وجود دارد که درجه انتزاع بالاتری دارند و به مطالعه اعداد معمولی و اشکال هندسی معمولی نمی پردازند; انتزاعی ترین رشته های هندسی توپولوژی نام دارد.

تحلیل ریاضی به مطالعه کمیت هایی می پردازد که در مکان یا زمان تغییر می کنند و بر دو مفهوم اساسی - تابع و حد - تکیه می کند که در بخش های ابتدایی ریاضیات یافت نمی شوند. در ابتدا، تجزیه و تحلیل ریاضی شامل حساب دیفرانسیل و انتگرال بود، اما اکنون شامل بخش های دیگری می شود.

دو حوزه اصلی ریاضیات وجود دارد - ریاضیات محض، که در آن تاکید بر استدلال قیاسی است، و ریاضیات کاربردی. اصطلاح «ریاضی کاربردی» گاهی به آن شاخه‌هایی از ریاضیات اطلاق می‌شود که به طور خاص برای رفع نیازها و نیازهای علم ایجاد می‌شوند و گاهی به آن دسته از علوم مختلف (فیزیک، اقتصاد و غیره) که از ریاضیات به عنوان ابزاری استفاده می‌کنند. حل وظایف آنها بسیاری از تصورات غلط رایج در مورد ریاضیات از سردرگمی بین این دو تفسیر از "ریاضیات کاربردی" ناشی می شود. محاسبات می تواند ریاضیات کاربردی را در معنای اول و حسابداری را در معنای دوم مثال بزند.

برخلاف تصور رایج، ریاضیات به سرعت در حال پیشرفت است. The Mathematical Review سالانه حدوداً منتشر می شود. 8000 خلاصه کوتاه از مقالات حاوی آخرین نتایج - حقایق جدید ریاضی، اثبات های جدید حقایق قدیمی، و حتی اطلاعاتی در مورد زمینه های کاملاً جدید ریاضیات. روند فعلی در آموزش ریاضی این است که دانش‌آموزان را با ایده‌های ریاضی مدرن و انتزاعی‌تر در مراحل اولیه تدریس ریاضی آشنا کنیم. را نیز ببینیدتاریخچه ریاضی. ریاضیات یکی از سنگ بنای تمدن است، اما تعداد کمی از مردم تصوری از وضعیت فعلی امور در این علم دارند.

ریاضیات در صد سال اخیر چه از نظر موضوع و چه از نظر روش مطالعه دستخوش تغییرات شگرفی شده است. در این مقاله سعی می‌کنیم یک ایده کلی از مراحل اصلی تکامل ریاضیات مدرن ارائه دهیم که نتایج اصلی آن را می‌توان از یک طرف افزایش شکاف بین ریاضیات محض و کاربردی در نظر گرفت. و از سوی دیگر، بازنگری کامل در زمینه های سنتی ریاضیات.

توسعه روش ریاضی

تولد ریاضیات.

حدود 2000 سال قبل از میلاد مشاهده شد که در یک مثلث با اضلاع 3، 4 و 5 واحد طول، یکی از زوایای برابر با 90 درجه است (این مشاهده ساختن زاویه قائمه برای نیازهای عملی را آسان می کند). آیا متوجه رابطه 5 2 = 3 2 + 4 2 شدید؟ ما هیچ اطلاعاتی در این زمینه نداریم. چند قرن بعد، یک قانون کلی کشف شد: در هر مثلث ABCبا زاویه سمت راست در بالا آو مهمانی ها ب = ACو ج = AB، که بین آن این زاویه و ضلع مقابل آن محصور شده است آ = قبل از میلاد مسیحنسبت آ 2 = ب 2 + ج 2. می توان گفت که علم زمانی آغاز می شود که انبوهی از مشاهدات فردی با یک قانون کلی توضیح داده شود. بنابراین، کشف "قضیه فیثاغورث" را می توان یکی از اولین نمونه های شناخته شده از یک دستاورد واقعا علمی دانست.

اما مهمتر از آن برای علم به طور عام و برای ریاضیات به طور خاص این واقعیت است که در کنار تدوین یک قانون کلی، تلاش برای اثبات آن ظاهر می شود، یعنی. نشان می دهد که لزوماً از سایر ویژگی های هندسی پیروی می کند. یکی از "شواهد" شرقی به ویژه در سادگی آن مشهود است: چهار مثلث برابر با مثال داده شده در یک مربع حک شده است. BCDEهمانطور که در نقاشی نشان داده شده است. مساحت مربع آ 2 به چهار مثلث مساوی با مساحت کل 2 تقسیم می شود قبل از میلاد مسیحو مربع افغانستانحوزه ( ب – ج) 2 . بدین ترتیب، آ 2 = (ب – ج) 2 + 2قبل از میلاد مسیح = (ب 2 + ج 2 – 2قبل از میلاد مسیح) + 2قبل از میلاد مسیح = ب 2 + ج 2. آموزنده است که یک گام فراتر رفته و به طور دقیق تر دریابیم که کدام ویژگی های "قبلی" قرار است شناخته شوند. واضح ترین واقعیت این است که از مثلث ها BACو BEFدقیقاً، بدون شکاف و همپوشانی، در امتداد طرفین "مناسب" است BAو bf، به این معنی که دو گوشه در راس بو بادر یک مثلث ABSبا هم زاویه 90 درجه را تشکیل می دهند و بنابراین مجموع هر سه زاویه آن 90 درجه + 90 درجه = 180 درجه است. "اثبات" بالا نیز از فرمول ( قبل از میلاد مسیح/2) برای مساحت یک مثلث ABCبا زاویه 90 درجه در بالا آ. در واقع، مفروضات دیگری نیز مورد استفاده قرار گرفت، اما آنچه گفته شد کافی است تا بتوانیم مکانیسم اساسی اثبات ریاضی - استدلال قیاسی را به وضوح ببینیم، که امکان استفاده از استدلال های کاملا منطقی (بر اساس مطالب به درستی آماده شده، در مثال ما - تقسیم) را می دهد. مربع) برای استنباط از نتایج شناخته شده ویژگی های جدید، معمولاً مستقیماً از داده های موجود پیروی نمی کنند.

بدیهیات و روش های اثبات.

یکی از ویژگی‌های اساسی روش ریاضی، فرآیند ایجاد زنجیره‌ای از گزاره‌ها با کمک استدلال‌های منطقی کاملاً دقیق است که در آن هر پیوند متوالی به موارد قبلی متصل می‌شود. اولین ملاحظات نسبتاً واضح این است که هر زنجیره ای باید اولین حلقه را داشته باشد. این شرایط زمانی برای یونانیان آشکار شد که در قرن هفتم شروع به نظام‌بندی رمز استدلال‌های ریاضی کردند. قبل از میلاد مسیح. یونانیان تقریباً طول کشید. 200 سال قدمت دارد و اسناد باقی مانده تنها ایده ای تقریبی از نحوه عملکرد آنها ارائه می دهد. ما فقط در مورد نتیجه نهایی تحقیق - معروف - اطلاعات دقیق داریم آغازهااقلیدس (حدود 300 قبل از میلاد). اقلیدس با برشمردن موقعیت‌های اولیه شروع می‌کند، که بقیه به روشی کاملاً منطقی از آنها استنباط می‌شوند. این مقررات بدیهیات یا فرضیه نامیده می شوند (اصطلاحات عملاً قابل تعویض هستند). آنها یا ویژگی های بسیار کلی و تا حدی مبهم اشیاء از هر نوع را بیان می کنند، مانند "کل بزرگتر از جزء است" یا برخی از خصوصیات ریاضی خاص، مانند این واقعیت که برای هر دو نقطه یک خط مستقیم وجود دارد که آنها را به هم متصل می کند. . همچنین ما هیچ اطلاعاتی در مورد اینکه آیا یونانیان معنای یا اهمیت عمیق تری به "حقیقت" بدیهیات قائل بودند یا خیر نداریم، اگرچه برخی نکات وجود دارد که یونانیان قبل از پذیرش برخی بدیهیات مدتی در مورد آنها بحث کرده اند. در اقلیدس و پیروانش، بدیهیات تنها به عنوان نقطه آغازین برای ساخت ریاضیات ارائه می شوند، بدون هیچ گونه اظهار نظری در مورد ماهیت آنها.

در مورد روش های اثبات، آنها، به عنوان یک قاعده، به استفاده مستقیم از قضایای قبلاً اثبات شده تقلیل یافتند. با این حال، گاهی اوقات منطق استدلال پیچیده تر می شد. ما در اینجا به روش مورد علاقه اقلیدس اشاره خواهیم کرد که بخشی از تمرین روزمره ریاضیات شده است - اثبات غیرمستقیم یا اثبات از طریق تضاد. به عنوان یک مثال ابتدایی از اثبات با تناقض، نشان خواهیم داد که یک صفحه شطرنج که دو میدان گوشه از آن بریده شده است، که در انتهای مخالف مورب قرار دارد، نمی تواند با دومینوها که هر کدام برابر با دو میدان است، پوشانده شود. (فرض می شود که هر مربع از صفحه شطرنج باید فقط یک بار پوشیده شود.) فرض کنید که گزاره مخالف ("مخالف") درست است، i.e. که تخته را می توان با دومینو پوشاند. هر کاشی یک مربع سیاه و یک مربع سفید را می پوشاند، بنابراین مهم نیست که دومینوها در کجا قرار می گیرند، تعداد مساوی مربع سیاه و سفید را می پوشانند. با این حال، به دلیل حذف دو مربع گوشه، صفحه شطرنج (که در ابتدا به اندازه مربع های سفید مربع سیاه داشت) دو مربع بیشتر از یک رنگ نسبت به مربع های رنگ دیگر دارد. این بدان معنی است که فرض اصلی ما نمی تواند درست باشد، زیرا منجر به تناقض می شود. و چون قضایای متضاد نمی توانند همزمان هر دو کاذب باشند (اگر یکی از آنها نادرست باشد عکس آن صادق است)، فرض اصلی ما باید صادق باشد، زیرا فرض متضاد نادرست است; بنابراین، یک صفحه شطرنج با دو مربع گوشه بریده شده به صورت مورب را نمی توان با دومینو پوشاند. پس برای اثبات گزاره ای می توان نادرست بودن آن را فرض کرد و از این فرض با گزاره دیگری که صحت آن معلوم است تناقض استنباط کرد.

یک مثال عالی از اثبات با تناقض، که به یکی از نقاط عطف در توسعه ریاضیات یونان باستان تبدیل شد، اثباتی است که یک عدد گویا نیست، یعنی. به صورت کسری قابل نمایش نیست پ/q، جایی که پو q- تمام اعداد. اگر، پس 2 = پ 2 /q 2، از آنجا پ 2 = 2q 2. فرض کنید دو عدد صحیح وجود دارد پو q، برای کدام پ 2 = 2q 2. به عبارت دیگر، فرض می کنیم که یک عدد صحیح وجود دارد که مربع آن دو برابر مربع یک عدد صحیح دیگر باشد. اگر هر عدد صحیحی این شرط را برآورده کند، یکی از آنها باید کمتر از بقیه باشد. بیایید روی کوچکترین این اعداد تمرکز کنیم. بگذارید یک عدد باشد پ. از 2 q 2 یک عدد زوج است و پ 2 = 2q 2 و سپس عدد پ 2 باید زوج باشد. از آنجایی که مجذور همه اعداد فرد فرد هستند و مربع پ 2 زوج است، بنابراین خود عدد پباید یکنواخت باشد به عبارت دیگر، تعداد پدو برابر عدد صحیح r. مانند پ = 2rو پ 2 = 2q 2، داریم: (2 r) 2 = 4r 2 = 2q 2 و q 2 = 2r 2. تساوی آخر همان شکل برابری را دارد پ 2 = 2q 2، و ما می توانیم با تکرار همان استدلال، نشان دهیم که عدد qزوج است و چنین عدد صحیحی وجود دارد س، چی q = 2س. اما بعد q 2 = (2س) 2 = 4س 2، و از آن زمان q 2 = 2r 2، نتیجه می گیریم که 4 س 2 = 2r 2 یا r 2 = 2س 2. بنابراین یک عدد صحیح دوم به دست می آوریم که این شرط را برآورده می کند که مربع آن دو برابر مربع یک عدد صحیح دیگر باشد. اما بعد پنمی تواند کوچکترین چنین عددی باشد (زیرا r = پ/2)، اگرچه در ابتدا ما فرض کردیم که کوچکترین این اعداد است. بنابراین، فرض اصلی ما نادرست است، زیرا منجر به تناقض می شود، و بنابراین چنین اعداد صحیحی وجود ندارد. پو q، برای کدام پ 2 = 2q 2 (یعنی به گونه ای که ). و این بدان معنی است که عدد نمی تواند منطقی باشد.

از اقلیدس تا آغاز قرن نوزدهم.

در این دوره، ریاضیات به طور قابل توجهی در نتیجه سه نوآوری تغییر کرده است.

(1) در طول توسعه جبر، روشی برای نمادگذاری نمادین اختراع شد که امکان نمایش روابط پیچیده فزاینده بین کمیت ها را به صورت مختصر فراهم کرد. به عنوان نمونه ای از ناراحتی هایی که در صورت عدم وجود چنین "نوشته های شکسته" ایجاد می شد، بیایید سعی کنیم نسبت را با کلمات بیان کنیم ( آ + ب) 2 = آ 2 + 2اب + ب 2: «مساحت مربعی که ضلع آن برابر با مجموع اضلاع دو مربع معین است، برابر است با مجموع مساحت آنها و دو برابر مساحت مستطیلی که اضلاع آن برابر است با اضلاع مربع های داده شده."

(2) خلقت در نیمه اول قرن هفدهم. هندسه تحلیلی، که امکان تقلیل هر مسئله هندسه کلاسیک را به برخی مسائل جبری فراهم می کند.

(3) ایجاد و توسعه محاسبات بینهایت کوچک بین سالهای 1600 و 1800 که امکان حل آسان و سیستماتیک صدها مسئله مربوط به مفاهیم حد و تداوم را فراهم کرد که تنها تعداد بسیار کمی از آنها توسط یونان باستان با دشواری فراوان حل شد. ریاضیدانان این شاخه های ریاضیات با جزئیات بیشتری در مقالات جبر بررسی شده است. هندسه تحلیلی ; تجزیه و تحلیل ریاضی ; بررسی هندسه.

شروع از قرن هفدهم. به تدریج این سوال را که تاکنون حل نشده باقی مانده بود، روشن می کند. ریاضیات چیست؟ قبل از سال 1800 پاسخ به اندازه کافی ساده بود. در آن زمان، هیچ مرز روشنی بین علوم مختلف وجود نداشت، ریاضیات بخشی از "فلسفه طبیعی" بود - مطالعه سیستماتیک طبیعت با روش هایی که توسط اصلاح طلبان بزرگ رنسانس و اوایل قرن 17 پیشنهاد شد. - گالیله (1564–1642)، اف بیکن (1561–1626) و آر. دکارت (1596–1650). اعتقاد بر این بود که ریاضیدانان رشته تحصیلی خود را دارند - اعداد و اشیاء هندسی، و ریاضیدانان از روش تجربی استفاده نمی کنند. با این حال، نیوتن و پیروانش مکانیک و نجوم را با استفاده از روش بدیهی، مشابه روش ارائه هندسه اقلیدس مطالعه کردند. به طور کلی، تشخیص داده شد که هر علمی که در آن نتایج یک آزمایش را می توان با استفاده از اعداد یا سیستم های اعداد نشان داد، به حوزه کاربرد ریاضیات تبدیل می شود (در فیزیک، این ایده تنها در قرن نوزدهم ایجاد شد).

حوزه‌هایی از علوم تجربی که تحت درمان ریاضی قرار گرفته‌اند، اغلب به عنوان «ریاضیات کاربردی» شناخته می‌شوند. این نام بسیار تاسف بار است، زیرا نه بر اساس استانداردهای کلاسیک و نه با استانداردهای مدرن در این برنامه ها استدلال های واقعاً ریاضی (به معنای دقیق) وجود ندارد، زیرا اشیاء غیر ریاضی موضوع مطالعه در آنها هستند. هنگامی که داده‌های تجربی به زبان اعداد یا معادلات ترجمه شدند (چنین «ترجمه‌ای» اغلب به نبوغ زیادی از سوی یک ریاضیدان «کاربردی» نیاز دارد)، امکان کاربرد وسیع قضایای ریاضی ظاهر می‌شود. سپس نتیجه ترجمه شده و با مشاهدات مقایسه می شود. این واقعیت که اصطلاح «ریاضیات» برای فرآیندی از این دست به کار می رود، یکی از منابع سوء تفاهم های بی پایان است. در زمان‌های «کلاسیک» که اکنون در مورد آن صحبت می‌کنیم، این نوع سوء تفاهم وجود نداشت، زیرا همان افراد هم ریاضی‌دانان «کاربردی» و هم «محض» بودند که همزمان با مسائل تحلیل ریاضی یا نظریه اعداد و مسائل سر و کار داشتند. دینامیک یا اپتیک با این حال، افزایش تخصص و تمایل به جدا کردن ریاضیدانان «محض» و «کاربردی» به طور قابل توجهی سنت قبلی موجود در جهان شمولی را تضعیف کرد و دانشمندانی که مانند J. von Neumann (1903-1957) توانستند فعالیت های علمی فعالی را در هر دو سال انجام دهند. کاربردی و در ریاضیات محض، به جای قاعده، استثنا شده اند.

ماهیت اشیاء ریاضی - اعداد، نقاط، خطوط، زوایا، سطوح و غیره که وجود آنها را مسلم فرض کردیم چیست؟ مفهوم «حقیقت» در رابطه با چنین اشیایی به چه معناست؟ در دوره کلاسیک پاسخ های کاملاً مشخصی به این سؤالات داده شد. البته دانشمندان آن عصر به وضوح دریافته بودند که در دنیای احساسات ما چیزهایی مانند "خط مستقیم بی نهایت کشیده" یا "نقطه بدون ابعاد" اقلیدس وجود ندارد، همانطور که "فلزات خالص" و "نور تک رنگ" وجود ندارد. "، "سیستم های عایق حرارت"، و غیره .d.، که آزمایش کنندگان در استدلال خود عمل می کنند. همه این مفاهیم "ایده های افلاطونی" هستند، یعنی. نوعی مدل‌های مولد مفاهیم تجربی، هرچند ماهیت کاملاً متفاوتی دارند. با این وجود، به طور ضمنی فرض بر این بود که «تصاویر» فیزیکی ایده‌ها می‌توانند خودسرانه به خود ایده‌ها نزدیک شوند. تا جایی که می توان در مورد مجاورت اشیاء به ایده ها چیزی گفت، «ایده ها» اصطلاحاً «موارد محدودکننده» اشیاء فیزیکی هستند. از این منظر، بدیهیات اقلیدس و قضایای حاصل از آنها، ویژگی های اشیاء «ایده آل» را بیان می کنند که باید با حقایق تجربی قابل پیش بینی مطابقت داشته باشند. به عنوان مثال، اندازه گیری با روش های نوری زوایای یک مثلث تشکیل شده توسط سه نقطه در فضا، در "مورد ایده آل" باید مجموع برابر با 180 درجه را به دست آورد. به عبارت دیگر، بدیهیات در همان سطح قوانین فیزیکی قرار می گیرند و از این رو «حقیقت» آنها به همان شکلی که حقیقت قوانین فیزیکی درک می شود; آن ها پیامدهای منطقی بدیهیات با مقایسه با داده‌های تجربی قابل تأیید است. البته، توافق تنها در محدوده خطای مرتبط با ماهیت "ناقص" دستگاه اندازه گیری و "طبیعت ناقص" جسم مورد اندازه گیری قابل دستیابی است. با این حال، همیشه فرض بر این است که اگر قوانین "درست" باشند، در اصل، بهبود در فرآیندهای اندازه گیری می تواند خطای اندازه گیری را به اندازه دلخواه کوچک کند.

در سراسر قرن 18 شواهد روزافزونی وجود دارد مبنی بر اینکه تمام پیامدهای به دست آمده از بدیهیات اساسی، به ویژه در نجوم و مکانیک، با داده های تجربی سازگار است. و از آنجایی که این پیامدها با استفاده از دستگاه ریاضی موجود در آن زمان به دست آمد، موفقیت های به دست آمده به تقویت نظر در مورد صدق بدیهیات اقلیدس کمک کرد که همانطور که افلاطون گفت: "برای همه روشن است" و قابل بحث نیست.

تردیدها و امیدهای جدید.

هندسه نااقلیدسی

در میان فرضیه‌های اقلیدس، یکی از آنها به قدری واضح نبود که حتی اولین شاگردان این ریاضیدان بزرگ آن را نقطه ضعفی در سیستم می‌دانستند. آغاز شده. اصل موضوع بیان می کند که از طریق نقطه ای که خارج از یک خط معین قرار دارد، فقط یک خط را می توان به موازات خط داده شده رسم کرد. اکثر هندسه‌دانان معتقد بودند که اصل تشابهات را می‌توان با استفاده از بدیهیات دیگر اثبات کرد و اقلیدس ادعای متوازی‌ها را به‌عنوان یک فرض فرمول‌بندی کرد، زیرا نتوانست چنین برهانی را ارائه کند. اما، اگرچه بهترین ریاضیدانان برای حل مسئله موازی تلاش کردند، اما هیچ یک از آنها موفق نشدند از اقلیدس پیشی بگیرند. سرانجام در نیمه دوم قرن هجدهم. تلاش هایی برای اثبات فرض اقلیدس در مورد تشابهات با تناقض انجام شد. پیشنهاد شده است که اصل موازی نادرست است. پیش از این، فرض اقلیدس می تواند در دو مورد نادرست باشد: اگر کشیدن یک خط موازی منفرد از نقطه ای خارج از خط داده شده غیرممکن باشد. یا اگر بتوان چندین خط موازی را از میان آن رسم کرد. معلوم شد که احتمال پیشینی اول توسط بدیهیات دیگر منتفی است. ریاضیدانان با پذیرش یک اصل جدید به جای اصل سنتی در مورد موازی ها (که از طریق یک نقطه خارج از یک خط معین، می توان چندین خط موازی با یک خط معین ترسیم کرد)، سعی کردند از آن عبارتی استخراج کنند که با دیگر بدیهیات در تضاد باشد، اما موفق نشدند: مهم نیست که چقدر سعی کردند از اصل جدید «ضد اقلیدسی» یا «غیر اقلیدسی» پیامدهایی استخراج کنند، این تناقض ظاهر نشد. سرانجام، مستقل از یکدیگر، N.I. Lobachevsky (1793-1856) و J. Bolyai (1802-1860) دریافتند که فرض اقلیدس در مورد موازی ها غیر قابل اثبات است، یا به عبارت دیگر، تناقضی در "هندسه غیر اقلیدسی" ظاهر نمی شود. .

با ظهور هندسه نااقلیدسی، مشکلات فلسفی متعددی بلافاصله به وجود آمد. از آنجایی که ادعای ضرورت پیشینی بدیهیات ناپدید شد، تنها راه برای آزمایش "حقیقت" آنها باقی ماند - تجربی. اما، همانطور که A. Poincaré (1854-1912) بعداً اشاره کرد، در توصیف هر پدیده ای فرضیات فیزیکی زیادی پنهان است که هیچ آزمایشی نمی تواند دلیل قانع کننده ای برای درستی یا نادرستی یک اصل ریاضی ارائه دهد. علاوه بر این، حتی اگر جهان ما را «غیر اقلیدسی» فرض کنیم، آیا نتیجه آن این است که تمام هندسه اقلیدسی نادرست است؟ تا آنجا که مشخص است، هیچ ریاضیدانی هرگز چنین حدسی را جدی نگرفته است. شهود پیشنهاد کرد که هر دو هندسه اقلیدسی و غیراقلیدسی نمونه هایی از ریاضیات کامل هستند.

هیولاهای ریاضی

به طور غیرمنتظره، نتایج یکسانی از جهتی کاملاً متفاوت به دست آمد - اشیایی کشف شدند که ریاضیدانان قرن نوزدهم را غرق کردند. شوکه شده و به آن لقب «هیولاهای ریاضی» داده اند. این کشف مستقیماً با سؤالات بسیار ظریف تحلیل ریاضی مرتبط است که فقط در اواسط قرن نوزدهم مطرح شد. هنگام تلاش برای یافتن یک آنالوگ ریاضی دقیق از مفهوم تجربی یک منحنی، مشکلات به وجود آمد. ماهیت مفهوم «حرکت پیوسته» (مثلاً نوک خودکاری که روی یک ورق کاغذ حرکت می‌کند) مشروط به تعریف دقیق ریاضی بود و این هدف زمانی محقق شد که مفهوم تداوم یک ریاضی دقیق به دست آورد. معنی ( سانتی متر. همچنینمنحنی). به طور شهودی، به نظر می رسید که "منحنی" در هر یک از نقاط خود، به عنوان یک جهت، یعنی. در حالت کلی، در همسایگی هر یک از نقاط آن، منحنی تقریباً مانند یک خط مستقیم رفتار می کند. (از طرف دیگر، به راحتی می توان تصور کرد که یک منحنی دارای تعداد محدودی از نقاط گوشه است، مانند یک چند ضلعی، "پیچیدگی" دارد.) این شرط را می توان به صورت ریاضی فرمول بندی کرد، یعنی وجود مماس بر منحنی فرض شده بود. ، و تا اواسط قرن نوزدهم. اعتقاد بر این بود که "منحنی" تقریباً در تمام نقاط خود مماس دارد، شاید به استثنای برخی از نقاط "خاص". بنابراین، کشف "منحنی" که در هیچ نقطه مماس نداشت، رسوایی واقعی ایجاد کرد ( سانتی متر. همچنیننظریه توابع). (خواننده آشنا با مثلثات و هندسه تحلیلی می تواند به راحتی بررسی کند که منحنی معادله y = ایکسگناه(1/ ایکس) در مبدا مماس ندارد، اما تعیین منحنی که در هیچ یک از نقاط آن مماس نداشته باشد بسیار دشوارتر است.)

کمی بعد، یک نتیجه بسیار "آسیب شناسانه" به دست آمد: می توان نمونه ای از منحنی ساخت که مربع را کاملاً پر می کند. از آن زمان تاکنون، برخلاف «عقل سلیم»، صدها «هیولا» از این دست اختراع شده است. باید تأکید کرد که وجود چنین اشیاء ریاضی غیرمعمولی از بدیهیات اساسی ناشی می شود که به طور دقیق و منطقی مانند وجود مثلث یا بیضی بی عیب و نقص است. از آنجایی که «هیولاهای» ریاضی نمی توانند با هیچ شی آزمایشی مطابقت داشته باشند، و تنها نتیجه ممکن این است که دنیای «ایده‌های» ریاضی بسیار غنی‌تر و غیرعادی‌تر از آن چیزی است که انتظار می‌رود، و تعداد بسیار کمی از آنها در دنیای احساسات ما مطابقت دارند. . اما اگر «هیولاهای» ریاضی منطقاً از بدیهیات پیروی می کنند، آیا هنوز هم می توان بدیهیات را درست در نظر گرفت؟

اشیاء جدید

نتایج فوق از طرف دیگر تأیید شد: در ریاضیات، عمدتاً در جبر، اشیاء ریاضی جدیدی یکی پس از دیگری ظاهر شدند که تعمیم مفهوم عدد بود. اعداد صحیح معمولی کاملاً "شهودی" هستند و رسیدن به یک مفهوم تجربی از کسری اصلاً دشوار نیست (اگرچه باید اعتراف کرد که عملیات تقسیم یک واحد به چندین قسمت مساوی و انتخاب چندین مورد از آنها ذاتاً با فرآیند متفاوت است. از شمارش). بعد از اینکه مشخص شد یک عدد را نمی توان به صورت کسری نشان داد، یونانی ها مجبور شدند اعداد غیر منطقی را در نظر بگیرند که تعریف صحیح آنها با استفاده از یک دنباله بی نهایت تقریب توسط اعداد گویا، به بالاترین دستاوردهای ذهن انسان تعلق دارد. به سختی با چیزی واقعی در دنیای فیزیکی ما مطابقت دارد (جایی که هر اندازه گیری همواره در معرض خطا است). با این وجود، معرفی اعداد غیر منطقی کم و بیش در روح "ایده آل سازی" مفاهیم فیزیکی صورت گرفت. اما در مورد اعداد منفی، که به آرامی، با مقاومت بسیار، شروع به استفاده علمی در ارتباط با توسعه جبر کردند، چطور؟ با قطعیت می توان گفت که هیچ جسم فیزیکی آماده ای وجود نداشت که با استفاده از فرآیند انتزاع مستقیم بتوانیم مفهوم عدد منفی را از آنجا بسازیم و در آموزش یک درس جبر ابتدایی باید تعداد زیادی را معرفی کنیم. مثال‌های کمکی و نسبتاً پیچیده (بخش‌های جهت‌یافته، دما، بدهی‌ها و غیره) برای توضیح اینکه اعداد منفی چیست. همانطور که افلاطون از ایده های زیربنای ریاضیات خواسته بود، این موضع بسیار دور از "روشن بودن برای همه" است، و دیدن فارغ التحصیلان دانشگاهی که قانون نشانه ها هنوز برای آنها یک راز است، غیر معمول نیست (- آ)(–ب) = اب. را نیز ببینیدعدد .

وضعیت حتی با اعداد "خیالی" یا "مختلط" بدتر است، زیرا آنها شامل یک "عدد" هستند. من، به طوری که من 2 = -1 که نقض آشکار قانون علامت است. با این وجود، ریاضیدانان از اواخر قرن شانزدهم. از انجام محاسبات با اعداد مختلط به گونه‌ای که گویی «معنی دارند» دریغ نکنید، اگرچه 200 سال پیش نمی‌توانستند این «اشیاء» را تعریف کنند یا آنها را با استفاده از هیچ ساختار کمکی تفسیر کنند، به عنوان مثال، آنها را با استفاده از اعداد منفی بخش‌های جهت‌دار تفسیر می‌کردند. . (بعد از سال 1800، چندین تفسیر از اعداد مختلط ارائه شد که معروف ترین آنها با استفاده از بردارها در صفحه بود.)

بدیهیات مدرن

انقلاب در نیمه دوم قرن نوزدهم رخ داد. و اگر چه با تصویب بیانیه های رسمی همراه نبود، اما در واقع در مورد اعلام نوعی «اعلام استقلال» بود. به طور مشخص تر، در مورد اعلام رسمی اعلامیه استقلال ریاضیات از جهان خارج.

از این منظر، «اشیاء» ریاضی، اگر اصلاً منطقی باشد که از «وجود» آنها صحبت کنیم، مخلوقات ناب ذهن هستند و آیا «مطابقاتی» دارند و آیا «تفسیری» در دنیای فیزیکی، برای ریاضیات بی اهمیت است (اگرچه خود سوال جالب است).

اظهارات «درست» درباره چنین «اشیایی» همگی همان نتایج منطقی بدیهیات هستند. اما اکنون بدیهیات را باید کاملاً دلبخواه تلقی کرد و بنابراین نیازی به «بدیهی» بودن یا استنتاج شدن آنها از تجربه روزمره به وسیله «آرمان سازی» نیست. در عمل، آزادی کامل با ملاحظات مختلف محدود می شود. البته اشیاء «کلاسیک» و بدیهیات آنها بدون تغییر باقی می مانند، اما اکنون نمی توان آنها را تنها اشیاء و بدیهیات ریاضی دانست و عادت به بیرون انداختن یا بازکاری بدیهیات به گونه ای که امکان استفاده از آنها به طرق مختلف وجود داشته باشد، وجود دارد. همانطور که در طول انتقال از هندسه اقلیدسی به غیراقلیدسی انجام شد. (به این ترتیب است که انواع مختلفی از هندسه‌های «غیر اقلیدسی» به جز هندسه اقلیدسی و هندسه لوباچفسکی-بولیایی به دست آمد؛ برای مثال، هندسه‌های غیراقلیدسی وجود دارد که در آنها خطوط موازی وجود ندارد.)

من می خواهم به ویژه بر یک مورد تأکید کنم که از رویکرد جدید به "اشیاء" ریاضی ناشی می شود: همه اثبات ها باید صرفاً بر اساس بدیهیات باشد. اگر تعریف یک برهان ریاضی را به خاطر بیاوریم، چنین جمله ای ممکن است تکراری به نظر برسد. با این حال، این قانون به ندرت در ریاضیات کلاسیک به دلیل ماهیت "شهودی" اشیاء یا بدیهیات آن رعایت می شد. حتی در آغازهااقلیدس، علیرغم تمام «سختی» ظاهری‌شان، بسیاری از بدیهیات به صراحت صورت‌بندی نشده‌اند و بسیاری از ویژگی‌ها یا به طور ضمنی فرض می‌شوند یا بدون توجیه کافی معرفی می‌شوند. به منظور قرار دادن هندسه اقلیدسی بر پایه ای محکم، بازنگری انتقادی در اصول اصلی آن مورد نیاز بود. نیازی به گفتن نیست که کنترل عاقلانه بر کوچکترین جزئیات اثبات نتیجه ظهور «هیولاها» است که به ریاضیدانان مدرن آموخته اند که در نتیجه گیری های خود دقت کنند. بی‌ضررترین و «بدیهی‌ترین» ادعا در مورد اشیاء کلاسیک، مانند این ادعا که منحنی‌های متصل کننده نقاطی که در دو طرف یک خط مستقیم قرار دارند، لزوماً این خط مستقیم را قطع می‌کنند، در ریاضیات مدرن نیاز به اثبات صوری دقیقی دارد.

ممکن است متناقض به نظر برسد که بگوییم دقیقاً به دلیل پایبندی آن به بدیهیات است که ریاضیات مدرن به عنوان مثال روشنی از آن چیزی است که هر علمی باید باشد. با این وجود، این رویکرد ویژگی مشخصه یکی از اساسی ترین فرآیندهای تفکر علمی - به دست آوردن اطلاعات دقیق در موقعیت دانش ناقص را نشان می دهد. مطالعه علمی دسته خاصی از اشیاء فرض می‌کند که ویژگی‌هایی که تشخیص یک شی از شی دیگر را ممکن می‌سازد، عمداً فراموش می‌شوند و فقط ویژگی‌های کلی اشیاء مورد بررسی حفظ می‌شوند. آنچه ریاضیات را از طیف عمومی علوم متمایز می کند، رعایت دقیق این برنامه در تمام نکات آن است. اعتقاد بر این است که اشیاء ریاضی کاملاً با بدیهیات مورد استفاده در نظریه این اشیاء تعیین می شوند. یا به قول پوانکاره بدیهیات به عنوان «تعریف در مبدل» اشیایی که به آنها ارجاع می دهند عمل می کنند.

ریاضیات مدرن

اگرچه وجود هر بدیهی از نظر تئوری امکان پذیر است، اما تاکنون تنها تعداد کمی از بدیهیات پیشنهاد و بررسی شده است. معمولاً در جریان طرح یک یا چند نظریه، مشاهده می‌شود که برخی طرح‌های اثباتی در شرایط کمابیش مشابه تکرار می‌شوند. پس از کشف ویژگی‌های مورد استفاده در طرح‌های کلی برهان، آنها در قالب بدیهیات صورت‌بندی می‌شوند و پیامدهای آنها در یک نظریه کلی ساخته می‌شوند که مستقیماً به زمینه‌های خاصی که بدیهیات از آن انتزاع شده‌اند، مرتبط نیست. قضایای کلی به دست آمده برای هر موقعیت ریاضی که در آن سیستم هایی از اشیاء وجود دارد که بدیهیات مربوطه را برآورده می کنند، قابل استفاده هستند. تکرار طرح‌های اثبات یکسان در موقعیت‌های مختلف ریاضی نشان می‌دهد که ما با تثبیت‌های متفاوتی از یک نظریه کلی سر و کار داریم. بدین معنا که پس از تفسیر مناسب، بدیهیات این نظریه در هر موقعیتی به قضیه تبدیل می شود. هر ویژگی که از بدیهیات استنتاج شود در همه این موقعیت ها صادق است، اما برای هر مورد نیازی به اثبات جداگانه نیست. در چنین مواردی گفته می شود که موقعیت های ریاضی همان "ساختار" ریاضی را دارند.

ما در هر مرحله از زندگی روزمره خود از مفهوم ساختار استفاده می کنیم. اگر دماسنج 10 درجه سانتیگراد را نشان دهد و اداره پیش بینی افزایش دما را 5 درجه سانتیگراد پیش بینی کند، بدون هیچ محاسبه ای انتظار دمای 15 درجه سانتیگراد را داریم. ما از باز کردن آن در صفحه پانزدهم، بدون شمارش صفحات میانی تردید نداریم. در هر دو مورد، ما معتقدیم که جمع اعداد، بدون توجه به تفسیر آنها - به شکل دما یا شماره صفحه، نتیجه صحیح را به دست می دهد. ما نیازی به یادگیری یک حساب برای دماسنج و دیگری حساب برای شماره صفحه نداریم (البته برای ساعت ها از حساب خاصی استفاده می کنیم که در آن 8 + 5 = 1 است، زیرا ساعت ها ساختار متفاوتی با صفحات کتاب دارند). ساختارهای مورد علاقه ریاضیدانان با پیچیدگی تا حدودی بالاتر متمایز می شوند، که به راحتی از مثال ها قابل مشاهده است، تجزیه و تحلیل آن به دو بخش بعدی این مقاله اختصاص داده شده است. یکی از آنها به نظریه گروه ها و مفاهیم ریاضی ساختارها و هم ریختی ها می پردازد.

نظریه گروه.

برای درک بهتر فرآیندی که در بالا ذکر شد، اجازه دهید به آزمایشگاه ریاضیدان مدرن نگاه کنیم و به یکی از ابزارهای اصلی او - نظریه گروه نگاه کنیم. سانتی متر. همچنینچکیده جبر). یک گروه مجموعه ای (یا "مجموعه") از اشیاء است جی، که بر روی آن عملیاتی تعریف می شود که هر دو شی یا عنصر را به هم مرتبط می کند آ, باز جانب جی، به ترتیب مشخص گرفته شده است (اولین عنصر است آ، دوم عنصر است ب) عنصر سوم جاز جانب جیطبق یک قانون کاملاً تعریف شده برای اختصار، این عنصر را نشان می دهیم آ*ب; ستاره (*) به معنای عملکرد ترکیب دو عنصر است. این عملیات، که آن را ضرب گروهی می نامیم، باید شرایط زیر را داشته باشد:

(1) برای هر سه عنصر آ, ب, جاز جانب جیویژگی انجمنی برآورده می شود: آ* (ب*ج) = (آ*ب) *ج;

(2) در جیچنین عنصری وجود دارد ه، که برای هر عنصر آاز جانب جییک رابطه وجود دارد ه*آ = آ*ه = آ; این عنصر ههویت یا عنصر خنثی گروه نامیده می شود.

(3) برای هر عنصر آاز جانب جیچنین عنصری وجود دارد آ¢، معکوس یا متقارن نامیده می شود به عنصر آ، چی آ*آў = آў* آ = ه.

اگر این ویژگی ها به عنوان بدیهیات در نظر گرفته شوند، آنگاه پیامدهای منطقی آنها (مستقل از هر بدیهیات یا قضایای دیگری) با هم چیزی را تشکیل می دهند که معمولاً نظریه گروه نامیده می شود. استخراج این پیامدها یک بار و برای همیشه بسیار مفید بود، زیرا گروه ها به طور گسترده در همه شاخه های ریاضیات استفاده می شوند. از هزاران نمونه ممکن از گروه ها، ما فقط چند مورد از ساده ترین آنها را انتخاب می کنیم.

الف) کسری پ/q، جایی که پو qاعداد صحیح دلخواه i1 هستند (برای q= 1 اعداد صحیح معمولی را بدست می آوریم). کسری پ/qبا توجه به ضرب گروه ( پ/q) *(r/س) = (pr)/(qs). ویژگی های (1)، (2)، (3) از بدیهیات حساب به دست می آیند. واقعاً، [( پ/q) *(r/س)] *(تی/تو) = (پرت)/(qsu) = (پ/q)*[(r/س)*(تی/تو)]. عنصر هویت عدد 1 = 1/1 است، زیرا (1/1)*( پ/q) = (1 ساعت پ)/(1 ساعت q) = پ/q. در نهایت، عنصر معکوس نسبت به کسر است پ/q، کسری است q/پ، مانند ( پ/q)*(q/پ) = (pq)/(pq) = 1.

(ب) به عنوان در نظر بگیرید جیمجموعه ای از چهار عدد صحیح 0، 1، 2، 3 و به عنوان آ*ب- باقی مانده از تقسیم آ + ب 4. نتایج عملیات معرفی شده در جدول ارائه شده است. 1 (عنصر آ*بدر تقاطع خط می ایستد آو ستون ب). به راحتی می توان بررسی کرد که ویژگی های (1)–(3) برآورده شده اند و عدد 0 عنصر هویت است.

(ج) ما به عنوان انتخاب می کنیم جیمجموعه اعداد 1، 2، 3، 4 و به عنوان آ*ب- باقی مانده از تقسیم اب(محصول معمولی) توسط 5. در نتیجه جدول را بدست می آوریم. 2. به راحتی می توان بررسی کرد که ویژگی های (1)–(3) برآورده شده اند و 1 عنصر هویت است.

(د) چهار شیء، مانند چهار عدد 1، 2، 3، 4 را می توان در یک ردیف به 24 روش مرتب کرد. هر مکان را می توان به عنوان یک دگرگونی تجسم کرد که مکان "طبیعی" را به یک مکان معین ترجمه می کند. به عنوان مثال، ترتیب 4، 1، 2، 3 در نتیجه تبدیل به دست می آید

اس: 1 ® 4، 2 ® 1، 3 ® 2، 4 ® 3،

که می توان به شکل راحت تری نوشت

برای هر دو چنین تبدیل اس, تیتعیین خواهیم کرد اس*تیبه عنوان تبدیلی که از اجرای متوالی حاصل خواهد شد تی، و سپس اس. به عنوان مثال، اگر، سپس . با این تعریف، تمام 24 تبدیل ممکن یک گروه را تشکیل می دهند. عنصر هویت آن است، و عنصر معکوس به اس، با جایگزینی فلش های موجود در تعریف به دست می آید اسبرعکس؛ به عنوان مثال، اگر، سپس .

به راحتی می توان آن را در سه مثال اول مشاهده کرد آ*ب = ب*آ; در چنین مواردی ضرب گروه یا گروه جابجایی گفته می شود. از سوی دیگر، در آخرین مثال، و از این رو تی*اسمتفاوت است اس*تی.

گروه از مثال (د) یک مورد خاص از به اصطلاح است. گروه متقارن که دامنه کاربرد آنها از جمله روش های حل معادلات جبری و رفتار خطوط در طیف اتم ها می باشد. گروه های مثال های (ب) و (ج) نقش مهمی در نظریه اعداد دارند. در مثال (ب) عدد 4 را می توان با هر عدد صحیح جایگزین کرد nو اعداد از 0 تا 3 - اعداد از 0 تا n– 1 (زمانی که n= 12، همانطور که در بالا ذکر کردیم، سیستم اعدادی را دریافت می کنیم که روی صفحه های ساعت قرار دارند. در مثال (ج) عدد 5 را می توان با هر عدد اول جایگزین کرد آر، و اعداد از 1 تا 4 - اعداد از 1 تا پ – 1.

ساختارها و ایزومورفیسم.

مثال های قبلی نشان می دهد که ماهیت اشیایی که یک گروه را تشکیل می دهند چقدر می تواند متفاوت باشد. اما در واقع، در هر مورد، همه چیز به یک سناریو ختم می شود: از ویژگی های مجموعه ای از اشیاء، ما فقط آنهایی را در نظر می گیریم که این مجموعه را به یک گروه تبدیل می کنند (این نمونه ای از دانش ناقص است!). در چنین مواردی، می گوییم که ساختار گروهی را در نظر می گیریم که با ضرب گروه انتخابی خودمان داده می شود.

نمونه دیگری از یک سازه به اصطلاح است. ساختار سفارش یک دسته از Eدارای ساختار نظم، یا مرتب شده بین عناصر آ è بمتعلق به E، رابطه ای داده شده است که به آن اشاره می کنیم آر (آ,ب). (چنین رابطه ای باید برای هر جفت عنصر از E، اما به طور کلی برای برخی از جفت ها نادرست و برای برخی دیگر صادق است، مثلاً رابطه 7

(1) آر (آ,آ) برای هر کدام صادق است آمتعلق به E;

(2) بیرون آر (آ,ب) و آر (ب,آ) به دنبال آن است آ = ب;

(3) بیرون آر (آ,ب) و آر (ب,ج) باید آر (آ,ج).

اجازه دهید چند نمونه از تعداد زیادی مجموعه سفارش داده شده ارائه دهیم.

(آ) Eاز تمام اعداد صحیح تشکیل شده است، آر (آ,ب) رابطه است " آکمتر یا مساوی ب».

(ب) Eشامل تمام اعداد صحیح >1 است، آر (آ,ب) رابطه است " آتقسیم می کند بیا برابر ب».

(ج) Eشامل تمام دایره های روی هواپیما، آر (آ,ب) – رابطه «دایره آموجود در بیا مطابقت با ب».

به عنوان آخرین نمونه از ساختار، ساختار فضای متریک را ذکر می کنیم. چنین ساختاری در مجموعه داده شده است E، اگر هر جفت عنصر آو بمتعلق به E، می توانید شماره را مطابقت دهید د (آ,ب) i 0 دارای ویژگی های زیر است:

(1) د (آ,ب) = 0 اگر و فقط اگر آ = ب;

(2) د (ب,آ) = د (آ,ب);

(3) د (آ,ج) Ј د (آ,ب) + د (ب,ج) برای هر سه عنصر داده شده آ, ب, جاز جانب E.

اجازه دهید مثال هایی از فضاهای متریک ارائه دهیم:

(الف) فضای معمول "سه بعدی"، جایی که د (آ,ب) فاصله معمول (یا "اقلیدسی") است.

(ب) سطح یک کره، جایی که د (آ,ب) طول کوچکترین کمان دایره ای است که دو نقطه را به هم متصل می کند آو بروی کره؛

ج) هر مجموعه E، برای کدام د (آ,ب) = 1 اگر آ № ب; د (آ,آ) = 0 برای هر عنصر آ.

تعریف دقیق مفهوم ساختار بسیار دشوار است. بدون پرداختن به جزئیات، می توان گفت که در صحنه فیلمبرداری Eساختاری از نوع خاصی داده می شود اگر بین عناصر مجموعه باشد E(و گاهی اوقات اشیاء دیگر، به عنوان مثال، اعداد، که نقش کمکی ایفا می کنند) روابطی داده می شود که مجموعه ثابتی از بدیهیات را برآورده می کند که ساختار نوع مورد بررسی را مشخص می کند. در بالا، بدیهیات سه نوع ساختار را آورده ایم. البته بسیاری از انواع دیگر از ساختارها نیز وجود دارند که تئوری های آنها به طور کامل توسعه یافته است.

بسیاری از مفاهیم انتزاعی ارتباط نزدیکی با مفهوم ساختار دارند. اجازه دهید تنها یکی از مهمترین آنها را نام ببریم - مفهوم ایزومورفیسم. مثال گروه های (ب) و (ج) را از قسمت قبل به یاد آورید. بررسی آن از Tab آسان است. 1 تا میز 2 را می توان با استفاده از تطبیق پیمایش کرد

0 ® 1، 1 ® 2، 2 ® 4، 3 ® 3.

در این صورت می گوییم گروه های داده شده هم شکل هستند. به طور کلی دو گروه جیو جیاگر بین عناصر گروه باشد هم شکل هستند جیو عناصر گروه جی¢ امکان برقراری چنین مکاتبات یک به یک وجود دارد آ « آ¢ چه می شود اگر ج = آ*ب، سپس جў = آў* ب¢ برای عناصر مرتبط Gў. هر جمله ای از نظریه گروه که برای یک گروه صادق باشد جی، برای گروه معتبر است جی¢، و بالعکس. گروه های جبری جیو جی¢ غیر قابل تشخیص

خواننده به راحتی متوجه خواهد شد که دقیقاً به همین روش می توان دو مجموعه مرتب هم شکل یا دو فضای متریک هم شکل را تعریف کرد. می توان نشان داد که مفهوم ایزومورفیسم به هر نوع ساختاری گسترش می یابد.

طبقه بندی

طبقه بندی های قدیمی و جدید ریاضیات.

مفهوم ساختار و سایر مفاهیم مرتبط با آن، هم از منظر صرفاً «فنی» و هم از منظر فلسفی و روش‌شناختی، در ریاضیات مدرن جایگاهی مرکزی به خود اختصاص داده است. قضایای کلی انواع اصلی ساختارها به عنوان ابزار بسیار قدرتمند "تکنیک" ریاضی عمل می کنند. هرگاه یک ریاضیدان موفق می شود نشان دهد که اشیایی که مطالعه می کند، بدیهیات نوع خاصی از ساختار را برآورده می کنند، بدین وسیله ثابت می کند که تمام قضایای نظریه ساختار از این نوع در مورد اشیاء خاصی که مطالعه می کند (بدون این قضایای کلی، او صادق است. به احتمال زیاد این موارد از دید انواع خاص آنها دور می شود یا مجبور می شوند استدلال خود را با مفروضات غیر ضروری تحمیل کنند). به همین ترتیب، اگر ثابت شود که دو ساختار هم شکل هستند، تعداد قضایا بلافاصله دو برابر می شود: هر قضیه ای که برای یکی از ساختارها ثابت می شود بلافاصله یک قضیه متناظر را برای دیگری می دهد. بنابراین جای تعجب نیست که نظریه های بسیار پیچیده و دشواری وجود دارد، مثلاً «نظریه میدان طبقاتی» در نظریه اعداد که هدف اصلی آن اثبات هم شکلی ساختارها است.

از نقطه نظر فلسفی، استفاده گسترده از ساختارها و هم ریختی ها ویژگی اصلی ریاضیات مدرن را نشان می دهد - این واقعیت که "ماهیت" "اشیاء" ریاضی واقعاً مهم نیست، فقط روابط بین اشیاء قابل توجه است (نوعی اصل دانش ناقص).

در نهایت، نمی توان نادیده گرفت که مفهوم ساختار امکان طبقه بندی بخش های ریاضیات را به روشی جدید فراهم کرد. تا اواسط قرن نوزدهم. آنها با توجه به موضوع مطالعه متفاوت بودند. حساب (یا نظریه اعداد) با اعداد کامل سروکار دارد، هندسه با خطوط، زوایا، چندضلعی ها، دایره ها، مساحت ها و غیره سروکار دارد. جبر تقریباً منحصراً به روش‌هایی برای حل معادلات عددی یا سیستم‌های معادلات می‌پردازد؛ هندسه تحلیلی روش‌هایی را برای تبدیل مسائل هندسی به مسائل جبری معادل توسعه داده است. دامنه علایق شاخه مهم دیگری از ریاضیات به نام "تحلیل ریاضی" عمدتاً شامل حساب دیفرانسیل و انتگرال و کاربردهای مختلف آنها در هندسه، جبر و نظریه اعداد زوج بود. تعداد این کاربردها افزایش یافت و اهمیت آنها نیز افزایش یافت که منجر به تقسیم تحلیل ریاضی به زیربخش ها شد: نظریه توابع، معادلات دیفرانسیل (مشتقات معمولی و جزئی)، هندسه دیفرانسیل، حساب تغییرات و غیره.

برای بسیاری از ریاضیدانان مدرن، این رویکرد یادآور تاریخ طبقه بندی حیوانات توسط اولین طبیعت شناسان است: زمانی هم لاک پشت دریایی و هم ماهی تن ماهی در نظر گرفته می شدند زیرا در آب زندگی می کردند و ویژگی های مشابهی داشتند. رویکرد مدرن به ما آموخته است که نه تنها آنچه را در سطح نهفته است ببینیم، بلکه عمیق‌تر نگاه کنیم و سعی کنیم ساختارهای اساسی را که در پس ظاهر فریبنده اشیاء ریاضی نهفته‌اند، بشناسیم. از این منظر بررسی مهم ترین انواع سازه ها حائز اهمیت است. بعید است که فهرست کامل و قطعی از این انواع در اختیار ما باشد. برخی از آنها در 20 سال گذشته کشف شده اند و دلایل زیادی برای انتظار اکتشافات بیشتری در آینده وجود دارد. با این حال، ما قبلاً ایده ای از بسیاری از انواع ساختارهای "انتزاعی" اساسی داریم. (آنها در مقایسه با اشیاء «کلاسیک» ریاضیات «انتزاعی» هستند، اگرچه حتی آن‌ها را به سختی می‌توان «انضمامی» نامید؛ بلکه بیشتر به درجه انتزاع مربوط می‌شود.)

ساختارهای شناخته شده را می توان با توجه به روابطی که دارند یا بر اساس پیچیدگی آنها طبقه بندی کرد. از یک سو، بلوک گسترده ای از ساختارهای «جبری» وجود دارد که یک مورد خاص از آن، برای مثال، ساختار گروهی است. در میان دیگر ساختارهای جبری، حلقه ها و میدان ها را نام می بریم ( سانتی متر. همچنینچکیده جبر). شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه ساختارهای جبری می پردازد، در مقابل جبر معمولی یا کلاسیک، «جبر مدرن» یا «جبر انتزاعی» نامیده می شود. بخش قابل توجهی از هندسه اقلیدسی، هندسه غیراقلیدسی و هندسه تحلیلی نیز بخشی از جبر جدید شد.

دو بلوک دیگر از ساختارها در همان سطح کلی وجود دارد. یکی از آنها که توپولوژی عمومی نامیده می شود، شامل نظریه هایی در مورد انواع سازه ها می شود که یک مورد خاص آن ساختار یک فضای متریک است. سانتی متر. توپولوژی؛ فضاهای انتزاعی). بلوک سوم شامل تئوری های ساختارهای نظم و بسط آنها است. "گسترش" ساختار شامل اضافه کردن موارد جدید به بدیهیات موجود است. به عنوان مثال، اگر ویژگی جابجایی را به بدیهیات گروه به عنوان اصل چهارم اضافه کنیم. آ*ب = ب*آ، سپس ساختار یک گروه جابجایی (یا abelian) را بدست می آوریم.

از این سه بلوک، دو بلوک آخر تا همین اواخر در وضعیت نسبتاً پایداری بودند و بلوک "جبر مدرن" به سرعت در حال رشد بود، گاهی اوقات در جهت های غیر منتظره (به عنوان مثال، یک شاخه کامل به نام "جبر همسان" توسعه یافت). خارج از به اصطلاح. انواع "خالص" ساختارها در سطح دیگری قرار دارند - ساختارهای "مخلوط"، به عنوان مثال، جبری و توپولوژیکی، همراه با بدیهیات جدید که آنها را به هم مرتبط می کند. بسیاری از این ترکیبات مورد مطالعه قرار گرفته‌اند، که بیشتر آنها به دو بلوک گسترده تقسیم می‌شوند - "جبر توپولوژیکی" و "توپولوژی جبری".

در مجموع، این بلوک ها از نظر حجم، یک منطقه "انتزاعی" بسیار محکم از علم را تشکیل می دهند. بسیاری از ریاضیدانان امیدوارند که نظریه های کلاسیک را بهتر درک کنند و مسائل دشوار را با ابزارهای جدید حل کنند. در واقع، با سطح مناسبی از تجرید و تعمیم، مشکلات پیشینیان می تواند در منظری جدید ظاهر شود که یافتن راه حل آنها را ممکن می سازد. تکه های عظیمی از مواد کلاسیک تحت تأثیر ریاضیات جدید قرار گرفت و با سایر نظریه ها تغییر شکل داد یا ادغام شد. حوزه های وسیعی وجود دارد که روش های مدرن تا این حد در آنها نفوذ نکرده است. به عنوان مثال می توان به نظریه معادلات دیفرانسیل و بخش مهمی از نظریه اعداد اشاره کرد. این احتمال بسیار زیاد است که پس از کشف و مطالعه دقیق انواع جدید سازه ها، پیشرفت قابل توجهی در این زمینه ها حاصل شود.

مشکلات فلسفی

حتی یونانیان باستان به وضوح درک می کردند که یک نظریه ریاضی باید عاری از تناقض باشد. این بدان معنی است که نمی توان به عنوان یک نتیجه منطقی از بدیهیات گزاره را استنتاج کرد آرو انکار آن پ. با این حال، از آنجایی که اعتقاد بر این بود که اشیاء ریاضی در دنیای واقعی مطابقت دارند، و بدیهیات «ایده‌آلی‌سازی» قوانین طبیعت هستند، هیچ‌کس در مورد سازگاری ریاضیات تردیدی نداشت. در گذار از ریاضیات کلاسیک به ریاضیات مدرن، مسئله سازگاری معنای متفاوتی پیدا کرد. آزادی انتخاب بدیهیات هر نظریه ریاضی باید به وضوح توسط شرط سازگاری محدود شود، اما آیا می توان مطمئن بود که این شرط برآورده می شود؟

قبلاً به مفهوم مجموعه اشاره کردیم. این مفهوم همیشه کم و بیش به صراحت در ریاضیات و منطق به کار رفته است. در نیمه دوم قرن نوزدهم قوانین ابتدایی برای پرداختن به مفهوم مجموعه تا حدی سیستماتیک شد، علاوه بر این، نتایج مهمی به دست آمد که محتوای به اصطلاح را تشکیل داد. نظریه مجموعه ها ( سانتی متر. همچنیننظریه مجموعه ها) که به عنوان زیربنای تمام نظریه های ریاضی دیگر تبدیل شده است. از دوران باستان تا قرن 19. ترس هایی در مورد مجموعه های بی نهایت وجود داشت، به عنوان مثال، در پارادوکس های معروف زنون از Elea (قرن 5 قبل از میلاد) منعکس شد. این ترس ها تا حدی متافیزیکی و تا حدودی به دلیل مشکلات مربوط به مفهوم اندازه گیری کمیت ها (مثلاً طول یا زمان) بود. تنها پس از قرن نوزدهم بود که این مشکلات از بین رفت. مفاهیم اساسی آنالیز ریاضی کاملاً تعریف شده بود. در سال 1895، همه ترس ها برطرف شد و به نظر می رسید که ریاضیات بر اساس تزلزل ناپذیر نظریه مجموعه ها استوار است. اما در دهه بعد، استدلال های جدیدی مطرح شد که به نظر می رسید ناسازگاری ذاتی نظریه مجموعه ها (و بقیه ریاضیات) را نشان می دهد.

پارادوکس های جدید بسیار ساده بودند. اولین مورد از آنها - پارادوکس راسل - را می توان در یک نسخه ساده در نظر گرفت که به "پارادوکس آرایشگری" معروف است. در یک شهر خاص، یک آرایشگر تمام ساکنانی که خود را اصلاح نمی کنند، اصلاح می کند. چه کسی خود آرایشگر را اصلاح می کند؟ اگر یک آرایشگر خودش را بتراشد، نه تنها ساکنانی که خودشان را اصلاح نمی‌کنند، بلکه یک نفر از ساکنان را که خودش را اصلاح می‌کند نیز می‌تراشد. اگر خودش را نتراشید، تمام ساکنان شهر را که خودشان را اصلاح نمی کنند، اصلاح نمی کند. هرگاه مفهوم «مجموعه همه مجموعه‌ها» در نظر گرفته شود، پارادوکسی از این نوع به وجود می‌آید. اگرچه این شیء ریاضی بسیار طبیعی به نظر می رسد، استدلال در مورد آن به سرعت منجر به تناقض می شود.

پارادوکس بری آشکارتر است. مجموعه ای از تمام عبارات روسی را در نظر بگیرید که حاوی بیش از هفده کلمه نباشد. تعداد کلمات در زبان روسی محدود است، بنابراین تعداد این عبارات نیز محدود است. ما از بین آنها آنهایی را انتخاب می کنیم که به طور منحصر به فرد تعدادی عدد صحیح را تعریف می کنند، به عنوان مثال: "بزرگترین عدد فرد کمتر از ده." تعداد این عبارات نیز محدود است; در نتیجه، مجموعه اعداد صحیحی که آنها تعریف می کنند نیز متناهی است. مجموعه متناهی از این اعداد را با نشان دهید دی. از بدیهیات حساب بر می آید که اعداد صحیحی وجود دارند که به آنها تعلق ندارند دی، و اینکه در بین این اعداد کمترین عدد وجود دارد n. این شماره nبه طور منحصر به فردی با این عبارت تعریف می شود: "کوچکترین عدد صحیح که با عبارتی متشکل از بیش از هفده کلمه روسی قابل تعریف نیست." اما این عبارت دقیقا شامل هفده کلمه است. بنابراین، تعداد را تعیین می کند n، که باید متعلق باشد دی، و به یک تناقض متناقض می رسیم.

شهودگرایان و فرمالیست ها.

شوک ناشی از پارادوکس‌های نظریه مجموعه‌ها واکنش‌های گوناگونی را در پی داشت. برخی از ریاضیدانان کاملا مصمم بودند و این عقیده را داشتند که ریاضیات از همان ابتدا در جهت اشتباهی توسعه یافت و باید بر پایه ای کاملاً متفاوت استوار باشد. نمی توان دیدگاه چنین «شهودگرایان» را (آنگونه که خودشان را شروع کردند) با دقت توصیف کرد، زیرا آنها حاضر به تقلیل نظرات خود به یک طرح کاملاً منطقی نبودند. از دیدگاه شهودگرایان، اعمال فرآیندهای منطقی برای اشیایی که به طور شهودی قابل بازنمایی نیستند، اشتباه است. تنها اشیاء به طور شهودی واضح اعداد طبیعی 1، 2، 3،... و مجموعه های متناهی از اعداد طبیعی هستند که طبق قوانین دقیقاً داده شده "ساخته شده اند". اما حتی در مورد چنین اشیایی، شهودگرایان اجازه نمی دادند که همه استنتاجات منطق کلاسیک اعمال شود. مثلاً برای هیچ بیانیه ای این را تشخیص ندادند آردرست است آر، یا نه- آر. با چنین ابزار محدودی که در اختیار داشتند، آنها به راحتی از "پارادوکس ها" اجتناب کردند، اما با این کار نه تنها تمام ریاضیات مدرن، بلکه بخش قابل توجهی از نتایج ریاضیات کلاسیک را نیز زیر آب انداختند، و برای آنهایی که هنوز باقی مانده بودند، جدید، باید شواهد پیچیده تری پیدا می شد.

اکثریت قریب به اتفاق ریاضیدانان مدرن با استدلال های شهودگرایان مخالف بودند. ریاضیدانان غیر شهودی متوجه شده‌اند که استدلال‌های مورد استفاده در پارادوکس‌ها به‌طور قابل‌توجهی با آن‌هایی که در کار ریاضی معمولی با نظریه مجموعه‌ها استفاده می‌شود، متفاوت است، و بنابراین، چنین استدلال‌هایی باید بدون به خطر انداختن نظریه‌های ریاضی موجود غیرقانونی باشند. مشاهدات دیگر این بود که در نظریه مجموعه‌های «ساده‌انگیز» که قبل از ظهور «پارادوکس‌ها» وجود داشت، معنای اصطلاحات «مجموعه»، «خاصیت»، «رابطه» مورد سؤال قرار نمی‌گرفت - همانطور که در هندسه کلاسیک «شهودی» است. ماهیت مفاهیم هندسی معمولی در نتیجه، می‌توان به همان روشی که در هندسه بود، پیش رفت، یعنی تمام تلاش‌ها برای توسل به «شهود» را کنار گذاشت و سیستمی از بدیهیات دقیقاً فرمول‌بندی شده را به عنوان نقطه‌ی شروع نظریه مجموعه‌ها در نظر گرفت. با این حال، روشن نیست که چگونه می توان واژه هایی مانند «مالکیت» یا «نسبت» را از معنای معمول خود محروم کرد; اما اگر بخواهیم استدلال هایی مانند پارادوکس بری را رد کنیم، باید انجام شود. این روش شامل خودداری از استفاده از زبان معمولی در فرمول بندی بدیهیات یا قضایا است. فقط جملاتی که بر اساس یک سیستم صریح از قواعد صلب ساخته شده اند به عنوان "ویژگی" یا "رابطه" در ریاضیات مجاز هستند و وارد فرمول بندی بدیهیات می شوند. این فرآیند را «رسمی‌سازی» زبان ریاضی می‌نامند (برای جلوگیری از سوء تفاهم‌های ناشی از ابهامات زبان معمولی، توصیه می‌شود یک گام جلوتر رفته و خود کلمات را با نویسه‌های خاص در جملات رسمی جایگزین کنید، به‌عنوان مثال، کلمه پیوندی را جایگزین کنید. "و" با نماد &، پیوند "یا" - با نماد Ъ، "وجود دارد" با نماد $ و غیره). ریاضیدانانی که روش‌های پیشنهادی شهودگرایان را رد می‌کردند، «فرمالیست» نامیده شدند.

با این حال، سوال اصلی هرگز پاسخ داده نشد. آیا «نظریه مجموعه‌های بدیهی» عاری از تناقض است؟ تلاش‌های جدیدی برای اثبات سازگاری نظریه‌های "رسمی" در دهه 1920 توسط دی. هیلبرت (1862-1943) و مکتب او انجام شد و "متام ریاضی" نامیده شد. اساساً، فراریاضیات شاخه‌ای از «ریاضیات کاربردی» است که در آن موضوعاتی که استدلال ریاضی بر آنها اعمال می‌شود، گزاره‌های یک نظریه رسمی‌شده و مکان آن‌ها در برهان هستند. این جملات فقط باید به عنوان ترکیب مادی نمادها در نظر گرفته شوند که بر اساس قوانین مشخص شده مشخصی تولید شده اند، بدون هیچ گونه اشاره ای به «معنای» احتمالی این نمادها (در صورت وجود). یک بازی شطرنج می تواند به عنوان یک قیاس خوب عمل کند: نمادها با مهره ها مطابقت دارند، جملات با موقعیت های مختلف روی تخته، و استنباط با قوانین برای حرکت مهره ها مطابقت دارند. برای اثبات سازگاری یک نظریه رسمی، کافی است نشان دهیم که در این نظریه، هیچ اثباتی به گزاره 0 شماره 0 ختم نمی‌شود. با این حال، می‌توان به استفاده از استدلال‌های ریاضی در اثبات «فرا ریاضی» سازگاری اعتراض کرد. یک نظریه ریاضی؛ اگر ریاضیات ناسازگار بود، استدلال های ریاضی تمام قدرت خود را از دست می دادند و ما در یک وضعیت دور باطل قرار می گرفتیم. برای پاسخ به این ایرادات، هیلبرت اجازه استفاده در فراریاضیات را داد، استدلال ریاضی بسیار محدودی از نوعی که شهود گرایان آن را قابل قبول می دانند. با این حال، K. گودل به زودی (1931) نشان داد که ثبات حساب را نمی توان با چنین ابزار محدودی اثبات کرد، اگر واقعاً سازگار باشد (دامنه این مقاله به ما اجازه نمی دهد تا روش مبتکرانه ای را ارائه دهیم که توسط آن این نتیجه قابل توجه به دست آمده است. و تاریخ متعاقب فرا ریاضیات).

با جمع بندی وضعیت مشکل ساز کنونی از دیدگاه فرمالیستی، باید اعتراف کنیم که هنوز به پایان نرسیده است. استفاده از مفهوم مجموعه به دلیل رزروهایی که عمداً برای جلوگیری از پارادوکس‌های شناخته شده معرفی شده‌اند، محدود شده است، و هیچ تضمینی وجود ندارد که پارادوکس‌های جدید در یک نظریه مجموعه بدیهی‌شده به وجود نیایند. با این وجود، محدودیت‌های نظریه مجموعه‌های بدیهی مانع از تولد نظریه‌های قابل دوام جدید نشد.

ریاضی و دنیای واقعی

علیرغم ادعای استقلال ریاضیات، هیچ کس منکر این نیست که ریاضیات و دنیای فیزیکی با یکدیگر مرتبط هستند. البته، رویکرد ریاضی برای حل مسائل فیزیک کلاسیک همچنان معتبر است. همچنین درست است که در یک حوزه بسیار مهم از ریاضیات، یعنی در نظریه معادلات دیفرانسیل، مشتقات معمولی و جزئی، فرآیند غنی سازی متقابل فیزیک و ریاضیات بسیار پربار است.

ریاضیات در تفسیر پدیده های جهان خرد مفید است. با این حال، "کاربردهای" جدید ریاضیات به طور قابل توجهی با موارد کلاسیک متفاوت است. یکی از مهمترین ابزارهای فیزیک نظریه احتمال است که قبلاً عمدتاً در نظریه قمار و بیمه استفاده می شد. اشیاء ریاضی که فیزیکدانان با «حالت‌های اتمی» یا «انتقال» مرتبط می‌کنند ماهیتی بسیار انتزاعی دارند و مدت‌ها قبل از ظهور مکانیک کوانتومی توسط ریاضیدانان معرفی و مطالعه شده‌اند. باید اضافه کرد که پس از اولین موفقیت ها، مشکلات جدی به وجود آمد. این در زمانی اتفاق افتاد که فیزیکدانان در تلاش بودند تا ایده های ریاضی را در جنبه های ظریف نظریه کوانتوم به کار ببرند. با این وجود، بسیاری از فیزیکدانان هنوز مشتاقانه منتظر نظریه های جدید ریاضی هستند و معتقدند که آنها به آنها در حل مسائل جدید کمک می کنند.

ریاضیات - علم یا هنر؟

حتی اگر نظریه احتمال یا منطق ریاضی را در ریاضیات «محض» بگنجانیم، معلوم می شود که کمتر از 50 درصد از نتایج شناخته شده ریاضی در حال حاضر توسط سایر علوم استفاده می شود. در مورد نیمه باقی مانده چه فکر کنیم؟ به عبارت دیگر، چه انگیزه هایی در پشت آن حوزه هایی از ریاضیات وجود دارد که به حل مسائل فیزیکی مربوط نمی شود؟

قبلاً به غیرمنطقی بودن یک عدد به عنوان نماینده نمونه این نوع قضایا اشاره کردیم. مثال دیگر قضیه اثبات شده توسط J.-L. Lagrange (1736-1813) است. کمتر ریاضیدانی وجود دارد که او را "مهم" یا "زیبا" نخواند. قضیه لاگرانژ بیان می کند که هر عدد صحیح بزرگتر یا مساوی یک را می توان به صورت مجموع مجذورات حداکثر چهار عدد نشان داد. برای مثال، 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2 . در وضعیت کنونی، نمی توان تصور کرد که این نتیجه بتواند در حل هر مشکل تجربی مفید باشد. درست است که امروزه فیزیکدانان بسیار بیشتر از گذشته با اعداد صحیح سروکار دارند، اما اعداد صحیحی که با آنها کار می کنند همیشه محدود هستند (به ندرت از چند صد فراتر می روند). بنابراین، قضیه‌ای مانند قضیه لاگرانژ تنها زمانی می‌تواند «مفید» باشد که برای اعداد صحیحی که از مرزی فراتر نمی‌روند اعمال شود. اما به محض اینکه فرمول بندی قضیه لاگرانژ را محدود کنیم، بلافاصله دیگر مورد توجه یک ریاضیدان نیست، زیرا تمام قدرت جذابیت این قضیه در کاربرد آن برای همه اعداد صحیح است. (گزاره‌های زیادی در مورد اعداد صحیح وجود دارد که می‌توانند توسط رایانه‌ها برای اعداد بسیار بزرگ آزمایش شوند؛ اما تا زمانی که هیچ دلیل کلی پیدا نشود، فرضی باقی می‌مانند و برای ریاضی‌دانان حرفه‌ای هیچ علاقه‌ای ندارند.)

تمرکز بر موضوعاتی که به دور از کاربردهای فوری هستند، برای دانشمندانی که در هر زمینه‌ای کار می‌کنند، چه نجوم یا زیست‌شناسی، غیرعادی نیست. با این حال، در حالی که نتیجه تجربی را می توان اصلاح و بهبود بخشید، اثبات ریاضی همیشه نهایی است. به همین دلیل است که مقاومت در برابر وسوسه تلقی کردن ریاضیات، یا حداقل بخشی از آن که هیچ ربطی به «واقعیت» ندارد، به عنوان یک هنر دشوار است. مسائل ریاضی از بیرون تحمیل نمی شوند و اگر دیدگاه مدرن را در نظر بگیریم، در انتخاب ماده کاملاً آزاد هستیم. ریاضیدانان هنگام ارزیابی برخی از کارهای ریاضی، معیارهای «عینی» ندارند و مجبورند به «سلیقه» خود تکیه کنند. سلیقه ها بسته به زمان، کشور، سنت ها و افراد بسیار متفاوت است. در ریاضیات مدرن مدها و «مدرسه‌هایی» وجود دارد. در حال حاضر سه مکتب از این قبیل وجود دارد که برای سهولت آنها را «کلاسیک»، «مدرنیسم» و «انتزاع گرایی» می نامیم. برای درک بهتر تفاوت بین آنها، اجازه دهید معیارهای مختلفی را که ریاضیدانان هنگام ارزیابی یک قضیه یا گروهی از قضایا استفاده می کنند، تجزیه و تحلیل کنیم.

(1) بر اساس نظر کلی، یک نتیجه ریاضی "زیبا" باید بی اهمیت باشد، یعنی. نباید نتیجه آشکار بدیهیات یا قضایای اثبات شده قبلی باشد. برخی از ایده های جدید باید در اثبات استفاده شود، یا ایده های قدیمی باید هوشمندانه اعمال شوند. به عبارت دیگر، برای یک ریاضیدان، خود نتیجه مهم نیست، بلکه فرآیند غلبه بر مشکلاتی است که برای به دست آوردن آن با آن مواجه شده است.

(2) هر مسئله ریاضی تاریخ خاص خود را دارد، به اصطلاح "شجره"، که از همان الگوی کلی پیروی می کند که تاریخ هر علم در آن رشد می کند: پس از اولین موفقیت ها، ممکن است زمان معینی قبل از پاسخ به سؤال بگذرد. مطرح شده یافت می شود. وقتی تصمیمی دریافت می شود، داستان به همین جا ختم نمی شود، زیرا فرآیندهای شناخته شده گسترش و تعمیم آغاز می شود. برای مثال، قضیه لاگرانژ که در بالا ذکر شد منجر به این سوال می شود که هر عدد صحیح را به صورت مجموع مکعب ها، توان های 4، 5 و غیره نشان دهیم. اینگونه است که "مشکل جنگ" بوجود می آید که هنوز راه حل نهایی دریافت نکرده است. همچنین اگر خوش شانس باشیم، مشکلی که حل کرده‌ایم به یک یا چند ساختار بنیادی مربوط می‌شود و این به نوبه خود مشکلات جدیدی را در رابطه با این ساختارها ایجاد می‌کند. حتی اگر نظریه اصلی در نهایت "بمیرد"، تمایل دارد شاخه های زنده زیادی را پشت سر بگذارد. ریاضیدانان مدرن با چنان پراکندگی عظیمی از مسائل روبرو هستند که حتی اگر تمام ارتباط با علوم تجربی قطع شود، حل آنها چندین قرن بیشتر طول می کشد.

(3) هر ریاضیدانی موافق است که وقتی مسئله جدیدی به او ارائه می شود، وظیفه اوست که آن را به هر وسیله ممکن حل کند. هنگامی که مسئله به اشیاء ریاضی کلاسیک مربوط می شود (کلاسیک ها به ندرت با انواع دیگر اشیاء سروکار دارند)، کلاسیک گرایان سعی می کنند آن را تنها با استفاده از ابزارهای کلاسیک حل کنند، در حالی که ریاضیدانان دیگر ساختارهای "انتزاعی" بیشتری را برای استفاده از قضایای کلی مرتبط با تکلیف معرفی می کنند. این تفاوت در رویکرد جدید نیست. شروع از قرن 19. ریاضی‌دانان به دو دسته «تاکتیک‌دان» تقسیم می‌شوند که به دنبال یافتن راه‌حلی صرفاً نیرومند برای مسئله هستند، و به «استراتژیست‌هایی» که مستعد مانورهای انحرافی هستند که امکان درهم شکستن دشمن را با نیروهای کوچک فراهم می‌کند.

(4) عنصر اساسی «زیبایی» یک قضیه، سادگی آن است. البته جستجوی سادگی در ذات همه اندیشه های علمی است. اما آزمایش‌کنندگان آماده‌اند تا با «راه‌حل‌های زشت» تنها در صورتی که مشکل حل شود، کنار بیایند. به طور مشابه، در ریاضیات، کلاسیک گرایان و انتزاع گرایان چندان نگران ظاهر نتایج «آسیب شناختی» نیستند. از سوی دیگر، مدرنیست ها تا آنجا پیش می روند که ظهور «آسیب شناسی» در یک نظریه را نشانه ای از نقص مفاهیم اساسی می دانند.

دایره المعارف ریاضی - کتاب مرجع کلیه شاخه های ریاضی. دایره المعارف بر اساس مقالات مروری اختصاص داده شده به مهم ترین زمینه های ریاضیات است. شرط اصلی برای مقالاتی از این نوع، کامل بودن احتمالی بررسی وضعیت فعلی نظریه با حداکثر دسترسی به ارائه است. این مقالات عموماً برای دانشجویان ارشد ریاضی، دانشجویان تحصیلات تکمیلی و متخصصان رشته‌های مرتبط ریاضیات و در موارد خاص برای متخصصان سایر رشته‌های دانش که از روش‌های ریاضی در کار خود استفاده می‌کنند، مهندسان و معلمان ریاضیات در دسترس است. علاوه بر این، مقالات با اندازه متوسط در مورد مسائل خاص و روش های ریاضیات ارائه شده است. این مقالات برای حلقه محدودتری از خوانندگان در نظر گرفته شده است، بنابراین ارائه در آنها ممکن است کمتر در دسترس باشد. در نهایت، یک نوع دیگر از مقالات وجود دارد - ارجاعات-تعریف مختصر. در پایان جلد آخر دایره المعارف نمایه موضوعی قرار خواهد گرفت که نه تنها عناوین همه مقالات، بلکه مفاهیم بسیاری را نیز شامل می شود که تعاریف آنها در مقالات دو نوع اول ارائه خواهد شد. و همچنین مهمترین نتایج ذکر شده در مقالات. بیشتر مقالات دایره المعارف با فهرستی از مراجع با شماره سریال برای هر عنوان همراه است که امکان استناد در متون مقالات را فراهم می کند. در پایان مقالات (به عنوان یک قاعده) در صورتی که مقاله قبلاً قبلاً منتشر شده باشد (عمدتاً اینها مقالات دایره المعارف بزرگ شوروی هستند) نویسنده یا منبع مشخص می شود. اسامی دانشمندان خارجی (به جز باستان) ذکر شده در مقالات با املای لاتین همراه است (در صورت عدم اشاره به فهرست منابع).

دانلود و مطالعه دایره المعارف ریاضی، جلد 3، Vinogradov I.M.، 1982

دانلود و مطالعه دایره المعارف ریاضی، جلد 2، Vinogradov I.M.، 1979

دانلود و مطالعه دایره المعارف ریاضی، جلد 1، Vinogradov I.M.، 1977

جبر در اصل شاخه ای از ریاضیات بود که با حل معادلات سر و کار داشت. بر خلاف هندسه، ساختار بدیهی جبر تا اواسط قرن نوزدهم وجود نداشت، زمانی که دیدگاه اساساً جدیدی از موضوع و ماهیت جبر ظاهر شد. تحقیقات بیشتر و بیشتر بر مطالعه ساختارهای به اصطلاح جبری متمرکز شد. این دو فایده داشت. از یک طرف، حوزه هایی که قضایای خاصی برای آنها معتبر است، روشن شد، از سوی دیگر، استفاده از براهین مشابه در زمینه های کاملاً متفاوت ممکن شد. این تقسیم جبر تا اواسط قرن بیستم ادامه یافت و بیان خود را در این واقعیت یافت که دو نام ظاهر شد: "جبر کلاسیک" و "جبر مدرن". دومی بیشتر با نام دیگری مشخص می شود: "جبر انتزاعی". واقعیت این است که این بخش - برای اولین بار در ریاضیات - با انتزاع کامل مشخص شد.

دانلود و مطالعه Small Mathematical Encyclopedia, Fried E., Pastor I., Reiman I., Reves P., Ruja I., 1976

"احتمالات و آمار ریاضی" - کتاب مرجع تئوری احتمالات، آمار ریاضی و کاربردهای آنها در زمینه های مختلف علم و فناوری. دایره المعارف دارای دو بخش است: بخش اصلی شامل مقالات مروری، مقالاتی که به مسائل و روش های خاص اختصاص داده شده است، مراجع مختصری که تعاریف مفاهیم اساسی، مهمترین قضایا و فرمول ها را ارائه می دهد. جایگاه قابل توجهی به مسائل کاربردی - نظریه اطلاعات، نظریه صف بندی، نظریه قابلیت اطمینان، برنامه ریزی آزمایش و حوزه های مرتبط - فیزیک، ژئوفیزیک، ژنتیک، جمعیت شناسی و بخش های خاصی از فناوری داده می شود. بیشتر مقالات با فهرستی از مهمترین مقالات در این زمینه همراه است. عناوین مقالات نیز به صورت ترجمه انگلیسی آورده شده است. بخش دوم - "خواننده نظریه احتمالات و آمار ریاضی" شامل مقالاتی است که برای دایره المعارف های روسی گذشته و همچنین مطالب دایره المعارفی قبلاً در آثار دیگر منتشر شده است. دایره المعارف با فهرست گسترده ای از مجلات، نشریات ادواری و نشریات در حال انجام است که مسائل مربوط به نظریه احتمالات و آمار ریاضی را پوشش می دهد.
مطالب مندرج در دایره المعارف برای دانشجویان، دانشجویان تحصیلات تکمیلی و محققین رشته ریاضی و سایر علوم که از روش های احتمالی در کارهای تحقیقاتی و عملی خود استفاده می کنند ضروری است.

دانلود کتاب دایره المعارف ریاضی در 5 جلدکاملا رایگان

برای دانلود رایگان کتاب از هاست فایل بلافاصله بعد از توضیحات کتاب رایگان روی لینک ها کلیک کنید.

خوانندگان عزیز، اگر شکست خوردید

دانلود دایره المعارف ریاضی در 5 جلد

در مورد آن در نظرات بنویسید و ما قطعا به شما کمک خواهیم کرد.

امیدواریم از کتاب لذت برده باشید و از خواندن آن لذت برده باشید. برای تشکر، می توانید یک پیوند به وب سایت ما در انجمن یا وبلاگ بگذارید :)کتاب الکترونیکی دایره المعارف ریاضی در 5 جلد صرفاً برای بررسی قبل از خرید کتاب کاغذی ارائه شده است و رقیبی برای انتشارات چاپی نیست.

دایره المعارف ریاضی

دایره المعارف ریاضی- انتشارات دایره المعارف شوروی در پنج جلد که به موضوعات ریاضی اختصاص دارد. منتشر شده در -1985 توسط انتشارات "دایره المعارف شوروی". سردبیر: آکادمیک I. M. Vinogradov.

این یک نسخه مصور اساسی در تمام شاخه های اصلی ریاضیات است. این کتاب حاوی مطالب گسترده ای در مورد موضوع، زندگینامه ریاضیدانان مشهور، نقاشی ها، نمودارها، نمودارها و نمودارها است.

حجم کل: حدود 3000 صفحه. توزیع مقالات بر حسب جلد:

جلد 1: چرتکه - اصل هویگنس، 576 ص.
جلد 2: اپراتور D'Alembert - بازی Co-op، 552 ص.
جلد 3: مختصات - یکنواخت، 592 ص.
جلد 4: چشم قضیه - تابع مختلط، 608 ص.
جلد 5: متغیر تصادفی - سلول، 623 ص.
ضمیمه جلد 5: فهرست موضوع، فهرست اشتباهات چاپی مشاهده شده.

پیوندها

کتاب های مرجع عمومی و اختصاصی و دایره المعارف های ریاضی در پورتال دنیای معادلات ریاضی که می توانید دانشنامه را به صورت الکترونیکی دانلود کنید.

دسته بندی ها:

کتاب ها بر اساس حروف الفبا
ادبیات ریاضی
دایره المعارف ها
کتاب های انتشارات "دایره المعارف شوروی"
دایره المعارف اتحاد جماهیر شوروی

بنیاد ویکی مدیا 2010 .

شیمی ریاضی
مبانی ریاضی مکانیک کوانتومی

ببینید "دایره المعارف ریاضی" در سایر لغت نامه ها چیست:

منطق ریاضی- (منطق نظری، منطق نمادین) شاخه ای از ریاضیات که به بررسی براهین و سؤالات مبانی ریاضیات می پردازد. "موضوع منطق ریاضی مدرن متنوع است." طبق تعریف P. S. Poretsky، "ریاضی ... ... ویکی پدیا

دایره المعارف- (لاتین جدید دایره المعارف (نه زودتر از قرن 16) از یونانی دیگر ἐγκύκλιος παιδεία «آموزش در یک دایره کامل»، حلقهς حلقه و παιδεία آموزش / payeia) وارد سیستم در مورد ... ویکی پدیا

دایره المعارف- (از یونانی. enkyklios payeia آموزش در کل محدوده دانش)، علمی. یا علمی کتاب مرجع محبوب حاوی systematizir. مجموعه دانش مواد در E. به ترتیب حروف الفبا یا سیستماتیک مرتب شده اند. اصل (بر اساس شاخه های دانش). ...... علوم طبیعی. فرهنگ لغت دایره المعارفی

منطق ریاضی- یکی از نام های منطق مدرن که در دوم آمده است. کف. 19 اوایل قرن 20 به جای منطق سنتی اصطلاح منطق نمادین نیز به عنوان نام دیگری برای مرحله مدرن در توسعه علم منطق استفاده می شود. تعریف… … دایره المعارف فلسفی

بی نهایت ریاضی- نام رایج دسامبر تحقق ایده بی نهایت در ریاضیات. اگر چه بین معانی مفهوم م ب. و معانی دیگری که در آنها از واژه بی نهایت استفاده می شود، هیچ مرز سفت و سختی وجود ندارد (زیرا همه این مفاهیم در نهایت منعکس کننده بسیار ... دایره المعارف فلسفی

استقرا ریاضی- استقرای کامل ریاضی (در ریاضیات اغلب به آن استقرای کامل می گویند؛ در این صورت، این مفهوم را باید از مفهوم استقرای کامل در منطق صوری غیر ریاضی متمایز کرد)، - روش اثبات گزاره های کلی در ... ... دایره المعارف فلسفی

فرضیه ریاضی- تغییر ادعایی در شکل، نوع، ماهیت معادله بیانگر قانون حوزه مورد مطالعه پدیده ها، با هدف گسترش آن به یک حوزه جدید، هنوز ناشناخته به عنوان یک قانون ذاتی در آن. M. به طور گسترده در مدرن استفاده می شود. نظری ... ... دایره المعارف فلسفی

مدرسه ریاضی در اقتصاد سیاسی- انگلیسی. مدرسه ریاضی در اقتصاد سیاسی; آلمانی Matheatische Schule in der politischen Okonomie. جهت در سیاست، اقتصاد، که در نیمه دوم قرن 19 بوجود آمد، نمایندگان آن (L. Walras، V. Pareto، O. Jevons و غیره) به ... ... دایره المعارف جامعه شناسی

مدرسه ریاضی در جامعه شناسی- انگلیسی. مدرسه ریاضی در جامعه شناسی; آلمانی Schule ریاضی در جامعه شناسی. جهت گیری در جامعه شناسی که در نیمه اول قرن بیستم به وجود آمد که بنیانگذاران آن (A. Zipf، E. Dodd و دیگران) معتقد بودند که جامعه شناس، نظریه ها به سطح ... ... دایره المعارف جامعه شناسی

مدل ریاضی ساختمان ها و سازه ها- مدل ریاضی (کامپیوتری) ساختمان ها و سازه ها - نمایش ساختمان ها و سازه ها در قالب نمودار اجزای محدود برای محاسبات عددی در هنگام حل مجموعه ای از مسائلی که در طراحی، ساخت و ساز و ... به وجود می آیند. دایره المعارف اصطلاحات، تعاریف و توضیحات مصالح ساختمانی

کتاب ها

دایره المعارف ریاضی (مجموعه 5 کتابی)، . دایره المعارف ریاضی یک کتاب مرجع مناسب در مورد تمام شاخه های ریاضیات است. دایره المعارف بر اساس مقالاتی است که به مهم ترین زمینه های ریاضیات اختصاص یافته است. اصل مکان ...

دایره المعارف ریاضی - کتاب مرجع کلیه شاخه های ریاضی. دایره المعارف بر اساس مقالات مروری اختصاص داده شده به مهم ترین زمینه های ریاضیات است. شرط اصلی برای مقالاتی از این نوع، کامل بودن احتمالی بررسی وضعیت فعلی نظریه با حداکثر دسترسی به ارائه است. این مقالات عموماً برای دانشجویان ارشد ریاضی، دانشجویان فارغ التحصیل و متخصصان رشته‌های مرتبط ریاضیات و در موارد خاص - برای متخصصان سایر رشته‌های دانش با استفاده از روش‌های ریاضی در کار خود، مهندسان و معلمان ریاضی در دسترس هستند. علاوه بر این، مقالات با اندازه متوسط در مورد مسائل خاص و روش های ریاضیات ارائه شده است. این مقالات برای حلقه محدودتری از خوانندگان در نظر گرفته شده است، بنابراین ارائه در آنها ممکن است کمتر در دسترس باشد. در نهایت، یک نوع دیگر از مقالات وجود دارد - ارجاعات-تعریف مختصر. برخی از تعاریف در دو نوع مقاله اول ارائه شده است. بیشتر مقالات دایره المعارف با فهرستی از مراجع با شماره سریال برای هر عنوان همراه است که امکان استناد در متون مقالات را فراهم می کند. در پایان مقالات (به عنوان یک قاعده) در صورتی که مقاله قبلاً قبلاً منتشر شده باشد (عمدتاً اینها مقالات دایره المعارف بزرگ شوروی هستند) نویسنده یا منبع مشخص می شود. اسامی دانشمندان خارجی (به جز باستان) ذکر شده در مقالات با املای لاتین همراه است (در صورت عدم اشاره به فهرست منابع).

اصل چینش مقالات در دایره المعارف بر اساس حروف الفبا است. اگر عنوان مقاله اصطلاحی باشد که مترادف داشته باشد، پس از اصلی آورده می شود. در بسیاری از موارد، عنوان مقاله از دو یا چند کلمه تشکیل شده است. در این موارد، اصطلاحات یا به رایج ترین شکل آورده می شوند و یا در وهله اول کلمه اصلی در معنا قرار می گیرد. اگر عنوان یک مقاله شامل یک نام خاص باشد، در ابتدا قرار می گیرد (در فهرست منابع چنین مقالاتی، به طور معمول، یک منبع اولیه وجود دارد که نام اصطلاح را توضیح می دهد). عناوین مقالات بیشتر به صورت مفرد آورده شده است.

دایره المعارف به طور گسترده از سیستمی از پیوندها به مقالات دیگر استفاده می کند، جایی که خواننده اطلاعات بیشتری را در مورد موضوع مورد بررسی پیدا می کند. این تعریف به اصطلاح موجود در عنوان مقاله اشاره نمی کند.

به منظور صرفه جویی در فضا در مقالات، از اختصارات معمول برخی از کلمات برای دانشنامه ها استفاده می شود.

روی جلد 1 کار کرد

هیئت تحریریه ریاضیات انتشارات دایره المعارف Sovetskaya - V. I. BITYUTSKOV (رئیس هیئت تحریریه)، M. I. VOITSEHOVSKY (ویراستار علمی)، Yu. A. GORBKOV (ویرایشگر علمی)، A. B. IVANOV (ویراستار ارشد علمی OVANO)، سردبیر ارشد علمی)، T. Yu. L. R. KHABIB (Associate Editor).

کارکنان انتشارات: E. P. RYABOVA (هیئت تحریریه ادبی). E. I. ZHAROVA، A. M. MARTYNOV (کتابشناسی). A. F. DALKOVSKY (رونویسی). N. A. FEDOROV (بخش تدارکات). 3. A. SUKHOVA (تصاویر تحریریه). E. I. ALEKSEEVA, N. YU. KRUZHALOV (فرهنگ لغت ویرایش). M. V. AKIMOVA، A. F. PROSHKO (تصحیح). G. V. SMIRNOV (ویرایش فنی).

جلد توسط هنرمند R. I. Malanichev.

اطلاعات تکمیلی در مورد جلد 1

انتشارات "دایره المعارف شوروی"

کتاب های مرجع فرهنگ لغت های دایره المعارف

هیئت تحریریه علمی - انتشارات

A. M. PROKHOROV (رئیس), I. V. ABASHIDZE, P. A. AZIMOV, A. P. ALEKSANDROV, V. A. AMBARTZUMYAN, I. I. ARTOBOLEVSKY, A. V. ARTSIKHOVSKY, M. S. ASIMOV, M. S. ASIMOV, M. S. ASIMOV, N. V. V. Volsky، B. M. Vul، B. G. Gafurov، S. R. Gershberg، M. S. Gilyarov، V. P. Glushko، V. M. Glushkov، G. N GOLIKOV، D. B. GULIEV، A. A. GUSEV (معاون رئیس)، V. INOZEMTSEV، M I. Kabachnik، S. V. Kalesnik، G. A. Karavaev، K. K. Karakeev، M. K. Karataev، B. M. Kedrov، G. V. Keldysh، V. A. Kirillin، و I. L KNUNYANTS، S. M. KOVALEV، S. M. KOVALEV (First M. KOVALEV) (معاون رئیس)، B. V. KUKARKIN، V. G. KULIKOV، I. A. Kutuzov، P. P. Lobanov، G. M. Loza، Yu. E. Maksarev، P. A. Markov، A. I. Markushevich، Yu. Yu. Obichkin، B. E. Paton، V. M. J, M. A. Prokofiev, Yu. V. Prokhorov, N. F. Rostovtsev, A. M. Rumyantsev, B. A. Rybakov, V. P. Samson, M. I. Sladkovsky, V. I. Smirnov, D. N. SOLOVIEV (معاون رئیس), V. G. SOLOVTER, V. G. SOLOVENTA. ، S. A. TOKAREV، V. A. Trapeznikov، E. K. Fedorov، M. B. Khrapchenko، E. I. Chazov، V. N. Chernigovskii، Ya. E. Shmushkis، و S. I. Yutkevich دبیر شورا L. V. KIRILLOVA.

مسکو 1977

دایره المعارف ریاضی. جلد 1 (الف - د)

سردبیر I. M. VINOGRADOV

تیم تحریریه

S. I. Adyan ، P. S. Aleksandrov ، N. S. Bakhvalov ، V. I. Bityutskov (معاون سردبیر) ، A. V. Bitsadze ، L. N. Bolshiv ، A. Gonchar ، N. V. Efimov ، V. A. A. Ilyin ، A. A. Karatsuba ، L. D. D. Kudryavtsev ، L. D. Kudryavtsev ، L. D. Kudryavtsev ، L. اس.

دایره المعارف ریاضی. اد. دانشکده: I. M. Vinogradov (رئیس سردبیر) [و دیگران] T. 1 - M.، "Soviet Encyclopedia"، 1977

(دائرةالمعارف. لغتنامه. کتب مرجع)، ج 1. الف - ج 1977. 1152 stb. از بیمار

تحویل به مجموعه 9. 06. 1976. امضای چاپ 18. 02. 1977. چاپ متن از ماتریس های ساخته شده در چاپخانه نمونه اول. A. A. Zhdanova. دستور پرچم سرخ کار، انتشارات "دایره المعارف شوروی". 109817. Moscow, Zh - 28, Pokrovsky Boulevard, 8. T - 02616 تیراژ 150000 نسخه. سفارش شماره 418. کاغذ چاپ شماره 1. سایز کاغذ 84xl08 1/14. جلد 36 فیزیکی p. l. ; 60، 48 تبدیل p. l. متن 101، 82 حساب - اد. ل قیمت کتاب 7 روبل است. 10 کیلو

دستور پرچم قرمز کار چاپخانه مسکو شماره 1 "Soyuzpoligrafprom" تحت کمیته دولتی شورای وزیران اتحاد جماهیر شوروی برای انتشار، چاپ و تجارت کتاب، مسکو، I - 85، Prospekt Mira، 105. دستور شماره. 865.