معادلات مثلثاتی از فرمول آوردن. چگونه فرمول ها در مشکل B11 کار می کنند

درس تم

• تغییر سینوس، کوزین و مماس با افزایش زاویه.

اهداف درس

• با تعاریف جدید آشنا شوید و بعضی از موارد مورد مطالعه را به یاد داشته باشید.
• این امر با الگوی تغییرات در مقادیر سینوس کنسوریز و مماس به عنوان افزایش زاویه آشنا می شود.
• توسعه - توسعه توجه دانش آموزان، استقامت، استقامت، تفکر منطقی، سخنرانی ریاضی.
• آموزشی - از طریق یک درس برای آموزش نگرش توجه نسبت به یکدیگر، تحریک توانایی گوش دادن به رفقای، اعدام متقابل، استقلال.

درس وظایف

• دانش دانش آموزان را بررسی کنید.

طرح درس

1. تکرار مواد مورد مطالعه قبلی.
2. وظایف برای تکرار
3. تغییر سینوس، کوزین و مماس با افزایش زاویه.
4. استفاده عملی

تکرار مواد مورد مطالعه قبلی

بیایید از همان ابتدا شروع کنیم و به یاد داشته باشیم که چه چیزی برای بازخوانی کردن در حافظه مفید خواهد بود. سینوس، کوزین و مماس چیست و کدام بخش هندسه شامل این مفاهیم است.

مثلثات- این یک کلمه پیچیده یونانی است: Trigonon - مثلث، مترو - اندازه گیری. این به این معنی بود که آنها توسط مثلث اندازه گیری می شوند.

موضوع\u003e ریاضیات\u003e ریاضیات درجه 8

چگونه به یاد داشته باشید فرمول ها برای آوردن توابع مثلثاتی؟ اگر از انجمن استفاده می کنید آسان است. این انجمن توسط من اختراع نشده است. همانطور که قبلا ذکر شد، یک انجمن خوب باید "زنجیره ای"، یعنی احساسات روشن را ایجاد کند. من نمی توانم احساسات ناشی از این ارتباط مثبت را نام ببرم. اما این نتیجه را می دهد - به شما اجازه می دهد که فرمول آوردن را حفظ کنید، و بنابراین حق وجود دارد. در نهایت، اگر شما آن را دوست ندارید، نمی توانید از آن استفاده کنید، درست است؟

فرمول های حاصل عبارتند از: SIN (πN / 2 ± α)، COS (πN / 2 ± α)، TG (πN / 2 ± α)، CTG (πn / 2 ± α). ما به یاد می آوریم که + α یک حرکت به صورت ضد ساعت به عقب، α حرکت در جهت عقربه های ساعت است.

برای کار با فرمول های آوردن دو مورد:

1) یک علامت را که دارای یک تابع اولیه است (آنها را در کتاب های درسی بنویسید: رانده شود، اما، به منظور اشتباه نگیرید، بهتر است آن را اولیه بخوانید) اگر α یک زاویه سه ماهه اول را در نظر بگیرید، کوچک است .

2) قطر افقی - π ± α، 2π ± α، α، 3π ± α ... - به طور کلی، زمانی که هیچ کسری وجود ندارد - نام تابع تغییر نمی کند. عمودی π / 2 ± α، 3π / 2 ± α، 5π / 2 ± 5π / ± α ... - زمانی که یک کسری وجود دارد - نام تابع تغییرات: سینوس - در Cosine، Consine - در سینوس، مماس - در Kotangenes و kotangenes - در مماس.

در حال حاضر، در واقع، انجمن:

قطر عمودی (کسر خوردن) -

مست ایستاده به زودی چه اتفاقی می افتد

یا دیر؟ راست، سقوط

نام تابع تغییر خواهد کرد.

اگر قطر افقی باشد - مست در حال حاضر دروغ می گوید. خواب، احتمالا با او هیچ اتفاقی نمی افتد، او قبلا یک موقعیت افقی گرفته است. بر این اساس، نام تابع تغییر نمی کند.

یعنی گناه (π / 2 ± α)، گناه (3π / 2 ± α)، گناه (5π / 2 ± α) و غیره دادن ± cosα

و گناه (π ± α)، گناه (2π ± α)، گناه (3π ± α)، ... - ± sinα.

همانطور که قبلا می دانیم

چگونه کار می کند؟ ما به نمونه ها نگاه می کنیم.

1) cos (π / 2 + α) \u003d؟

تبدیل شدن به π / 2. از آنجا که + α به معنی، ما به جلو، به عقب برگشت. ما در سه ماهه دوم سقوط می کنیم، جایی که Cosine دارای علامت "-" است. نام تابع تغییر می کند ("مست این است"، به این معنی است - سقوط خواهد کرد). بنابراین،

cOS (π / 2 + α) \u003d - SIN α.

ما در 2π می رویم از آنجا که -α - به عقب برگردید، یعنی عقربه های ساعت. ما به سه ماهه چهارم می افتیم، جایی که مماس دارای علامت "-" است. نام تابع تغییر نمی کند (قطر افقی است، "مست در حال حاضر دروغ می گوید"). بنابراین، TG (2π-α) \u003d - TGα.

3) CTG² (3π / 2-α) \u003d؟

مثالهایی که در آن عملکرد به درجه ای حتی ساده تر می شود، حتی ساده تر است. حتی درجه "-" حذف می شود، یعنی ضروری است که اگر نام تابع تغییر یا باقی بماند، لازم است. قطر عمودی است (یک کسری وجود دارد، "هزینه های مست،" Falls)، تغییر نام تابع. ما دریافت می کنیم: CTG² (3π / 2-α) \u003d TG²α.

دو قانون برای استفاده از فرمول ها وجود دارد.

1. اگر زاویه را می توان در فرم نشان داد (π / 2 ± A) یا (3 * π / 2 ± A)، سپس نام تابع در حال تغییر است گناه در COS، COS در SIN، TG در CTG، CTG در TG. اگر زاویه را می توان در فرم (π ± A) یا (2 * π ± A) نشان داد نام تابع بدون تغییر باقی می ماند.

نگاهی به نقاشی زیر، زمانی که علامت باید تغییر کند، نشان داده شده است، و زمانی که نه.

2. قانون "چطور بود، بنابراین شما ماندید."

نشانه عملکرد مشخص شده باقی می ماند. اگر تابع منبع دارای علامت پلاس بود، پس تابع داده شده دارای علامت پلاس است. اگر تابع منبع یک علامت منفی داشته باشد، پس از آن عملکرد کاهش یافته دارای علامت "منهای" است.

شکل زیر نشانه های توابع اصلی مثلثاتی را بسته به سه ماهه نشان می دهد.

محاسبه گناه (150 درجه)

ما از فرمول ها استفاده می کنیم:

گناه (150 درجه) در سه ماهه دوم، در طراحی ما می بینیم که نشانه گناه در این سه ماهه + است. بنابراین عملکرد فوق نیز علامت "به علاوه" خواهد بود. این قانون دوم را اعمال کردیم.

در حال حاضر 150˚ \u003d 90˚ + 60˚. 90˚ این π / 2 است. به این ترتیب، ما با پرونده π / 2 + 60 برخورد می کنیم، بنابراین، با توجه به قانون اول، عملکرد را با گناه در COS تغییر دهید. در نتیجه، ما گناه (150 درجه) \u003d COS (60 درجه) \u003d ½.

در صورت تمایل، تمام فرمول ها را می توان به یک جدول کاهش داد. اما هنوز این دو قاعده را به یاد می آورند و از آنها استفاده می کنند.

آیا نیازمند کمک به تحصیل هستید؟

موضوع قبلی:

تعریف. فرمول ها فرمول ها نامیده می شوند که به شما اجازه می دهد تا از توابع مثلثاتی فرم به توابع استدلال حرکت کنید. با کمک آنها، سینوس، کوزین، مماس و کاتانگن یک زاویه دلخواه را می توان به زاویه سینوس، کوزین، مماس و زاویه ای از محدوده از 0 تا 90 درجه (از 0 تا رادیان) به ارمغان آورد. بنابراین، فرمول های آوردن به ما اجازه می دهد ما را به حرکت با زاویه در 90 درجه، که بدون شک بسیار راحت است.

ادعای فرمول:

دو قانون برای استفاده از فرمول ها وجود دارد.

1. اگر یک زاویه را می توان در فرم (π / 2 ± A) یا (3 * π / 2 ± A) نشان داد، سپس نام تابع در حال تغییر استگناه در COS، COS در SIN، TG در CTG، CTG در TG. اگر زاویه را می توان در فرم (π ± A) یا (2 * π ± A) نشان داد نام تابع بدون تغییر باقی می ماند.

نگاهی به نقاشی زیر، زمانی که علامت باید تغییر کند، نشان داده شده است، و زمانی که نه

2. نشانه عملکرد برجسته این همان باقی می ماند. اگر تابع منبع دارای علامت پلاس بود، پس تابع داده شده دارای علامت پلاس است. اگر تابع منبع یک علامت منفی داشته باشد، پس از آن عملکرد کاهش یافته دارای علامت "منهای" است.

شکل زیر نشانه های توابع اصلی مثلثاتی را بسته به سه ماهه نشان می دهد.

مثال:

محاسبه

ما از فرمول ها استفاده می کنیم:

گناه (150 درجه) در سه ماهه دوم، در طراحی ما می بینیم که نشانه گناه در این سه ماهه "+" است. بنابراین عملکرد فوق نیز یک علامت "+" نیز خواهد بود. این قانون دوم را اعمال کردیم.

در حال حاضر 150˚ \u003d 90˚ + 60˚. 90˚ این π / 2 است. به این ترتیب، ما با پرونده π / 2 + 60 برخورد می کنیم، بنابراین، با توجه به قانون اول، عملکرد را با گناه در COS تغییر دهید. در نتیجه، ما گناه (150 درجه) \u003d COS (60 درجه) \u003d ½.

و یکی دیگر از وظایف B11 در همان موضوع - از EGE واقعی ریاضیات.

یک وظیفه. مقدار بیان را پیدا کنید:

در این آموزش کوتاه ویدئو، ما یاد می گیریم چگونه اعمال شود فرمول های بازیگران برای حل مشکلات واقعی B11 از EGE ریاضیات. همانطور که می بینید، قبل از ما - دو عبارات مثلثاتی که هر کدام شامل سینوس و کوزینز هستند، و همچنین استدلال های عددی وحشیانه ای است.

قبل از حل این وظایف، بگذارید به یاد داشته باشیم که چنین فرمول آوردن. بنابراین، اگر ما عبارات فرم را داشته باشیم:

سپس ما می توانیم از اولین دوره (گونه K · π / 2) با قوانین خاص خلاص شویم. قرعه کشی یک دایره مثلثاتی، ما یادآوری نکات اصلی: 0، π / 2؛ Π؛ 3π / 2 و 2π. سپس ما به اولین دوره تحت نشانه عملکرد مثلثاتی نگاه می کنیم. ما داریم:

1. اگر مولفه های این اصطلاح که ما را در محور عمودی دایره مثلثاتی قرار می دهد (به عنوان مثال: 3π / 2؛ π / 2، و غیره)، عملکرد اولیه توسط یک تابع همکاری جایگزین می شود: سینوسی توسط Consine جایگزین می شود ، و کوزین - برعکس، سینوس.
2. اگر اصطلاح ما بر محور افقی قرار گیرد، عملکرد اولیه تغییر نمی کند. فقط اولین اصطلاح را در بیان تمیز کنید - و این است.

بنابراین، ما یک تابع مثلثاتی را دریافت می کنیم که شامل شرایط گونه K π / 2 نیست. با این حال، در این کار با فرمول های آوردن به پایان نمی رسد. واقعیت این است که در مقابل ویژگی جدید ما پس از "رها کردن" از اولین دوره ممکن است علامت به علاوه یا منفی را به دست آورد. چگونه این علامت را تعیین کنیم؟ حالا متوجه خواهم شد

تصور کنید که زاویه α، باقی مانده در داخل تابع مثلثاتی پس از تحول، دارای درجه بسیار کمی است. اما معنی "اندازه گیری کوچک" چیست؟ فرض کنید α ∈ (0، 30 درجه) کاملا کافی است. تابع را در نظر بگیرید:

سپس، پس از فرض های ما که α ∈ (0، 30 درجه)، ما نتیجه گرفتیم که زاویه 3π / 2 - α در سه ماهه مختصات سوم، I.E. 3π / 2 - α ∈ (π؛ 3π / 2). به یاد داشته باشید علامت عملکرد اصلی، I.E. y \u003d sin x در این فاصله. واضح است که سینوس در سه ماهه مختصات سوم منفی است، زیرا طبق تعریف، سینوسی، بخش انتهای شعاع متحرک است (سینوس کوتاهتر مختصات Y است). خوب، هماهنگی Y در نیمه پایین پایین همیشه مقادیر منفی را می گیرد. این بدان معنی است که در سه ماهه سوم Y نیز منفی است.

بر اساس این بازتاب، ما می توانیم بیان نهایی را بنویسیم:

وظیفه B11 - 1 گزینه

در اینجا تکنیک های مشابه برای حل مشکل B11 از آزمون ریاضیات بسیار مناسب هستند. تنها تفاوت این است که در بسیاری از مشکلات واقعی B11 به جای اندازه گیری تابشی (I.E. numbers π، π / 2، 2π و غیره) از اندازه گیری درجه (I.E. 90 °، 180 °، 270 ° و غیره) استفاده کنید بیایید به اولین وظیفه نگاه کنیم:

ابتدا ما با عددی برخورد خواهیم کرد. COS 41 درجه یک مقدار غیر آزاد است، بنابراین ما نمی توانیم با آن کار کنیم. تا کنون و ترک

حالا ما به نام دهنده نگاه می کنیم:

sIN 131 ° \u003d SIN (90 ° + 41 °) \u003d COS 41 °

بدیهی است، قبل از ما فرمول آوردن، بنابراین سینوس جایگزین کوزین شد. علاوه بر این، زاویه 41 درجه در بخش (0 درجه، 90 درجه)، I.E. در اولین بخش مختصات - دقیقا همانطور که لازم است برای استفاده از فرمول آوردن. اما پس از آن 90 درجه + 41 درجه دوم سه ماهه مختصات است. تابع اولیه y \u003d sin x مثبت است، بنابراین ما در مقابل کوزین در آخرین مرحله "به علاوه" قرار داده ایم (به عبارت دیگر، من چیزی را قرار ندادم).

این برای مقابله با آخرین عنصر باقی می ماند:

cOS 240 ° \u003d COS (180 درجه + 60 درجه) \u003d -COS 60 ° \u003d -0.5

در اینجا می بینیم که 180 درجه یک محور افقی است. در نتیجه، عملکرد خود را تغییر نخواهد داد: یک کوزین وجود داشت - و کوزین نیز باقی خواهد ماند. اما این سوال مطرح می شود: علاوه بر یا منهای قبل از بیان به دست آمده 60 درجه ایستاده است؟ توجه داشته باشید که 180 درجه سومین چهارم مختصات است. بنابراین Czine منفی است، بنابراین، قبل از اینکه Cosin در پایان نشانه "منهای" نشانه. مجموع، ما -COS 60 ° \u003d -0.5 طراحی یک مقدار جدولی است، بنابراین همه چیز به راحتی در نظر گرفته می شود.

در حال حاضر ما شماره های به دست آمده به فرمول اصلی را جایگزین می کنیم و دریافت می کنیم:

همانطور که می بینیم، تعداد کلسیم 41 درجه در عددی و کسر کسری به راحتی کاهش می یابد و بیان معمول باقی می ماند، که -10 است. در عین حال، منهای می تواند قبل از علامت، و یا قرار دادن کسری ها قبل از علامت، و یا "نگه داشتن" در کنار عامل دوم تا آخرین مرحله محاسبات. پاسخ در هر صورت خواهد بود -10. همه، وظیفه B11 حل شده است!

وظیفه B14 - 2 گزینه

به کار دوم بروید قبل از ما، کسری:

خوب، 27 درجه ما در سه ماهه دوم مختصات داریم، بنابراین ما هیچ چیز را در اینجا تغییر نخواهیم داد. اما گناه 117 درجه باید نقاشی شود (تا کنون بدون هیچ مربع):

گناه 117 ° \u003d SIN (90 درجه + 27 درجه) \u003d COS 27 °

بدیهی است، ما دوباره هستیم فرمول بازیگران: 90 درجه یک محور عمودی است، بنابراین سینوس به Cosin تغییر خواهد کرد. علاوه بر این، زاویه α \u003d 117 ° \u003d 90 ° + 27 ° در سه ماهه دوم مختصات قرار دارد. تابع اولیه Y \u003d SIN X مثبت است، بنابراین، قبل از اینکه کوزینوس پس از تمام تحولات هنوز یک علامت "به علاوه" باقی مانده است. به عبارت دیگر، هیچ چیز وجود ندارد - و ترک: COS 27 درجه.

ما به بیان اولیه که می خواهید محاسبه کنید، بازگشت می کنیم:

همانطور که می بینیم، در نامزدی پس از تحول، هویت اصلی مثلثاتی رخ داده است: SIN 2 27 ° + COS 2 27 ° \u003d 1. مجموع -4: 1 \u003d -4 - بنابراین ما پاسخ به وظیفه دوم B11 را پیدا کردیم.

همانطور که می بینید، با استفاده از فرمول آوردن چنین وظایفی از EGE ریاضی در ریاضیات به معنای واقعی کلمه در چند خط حل می شود. هیچ سینوس از مقدار و تفاوت های کوزین وجود ندارد. همه ما باید به یاد داشته باشیم تنها یک دایره مثلثاتی است.