وظیفه 1 (در محاسبه مساحت trapezium curvilinear).

در یک سیستم مختصات مستطیل شکل مستطیلی، یک شکل داده می شود (شکل را ببینید)، محدود شده توسط محور X، X \u003d \u003d a، x \u003d b (یک تراپزی منحنی. لازم است محاسبه منطقه تراپزی منحنی کنجکاوی باشد.
تصمیم گیری هندسه به ما دستور العمل برای محاسبه مناطق چند ضلعی و برخی از بخش های دایره (بخش، بخش) می دهد. با استفاده از ملاحظات هندسی، ما قادر خواهیم بود فقط مقدار تقریبی منطقه مورد نظر را پیدا کنیم، بحث می کنیم به شرح زیر است.

ما بخش را شکستن [a؛ ب] (مبنای تراپزی منحنی) بر روی n قسمت های مساوی؛ این پارتیشن با کمک امتیاز X 1، X 2، ... K، ... X N-1 انجام می شود. ما به طور مستقیم مستقیم، محورهای موازی را صرف خواهیم کرد. سپس Trapezium curvilinear مشخص شده بر روی N بخش های N، در ستون های باریک محدود می شود. منطقه کل تراپزیوم برابر با مجموع مساحت ستون است.

یک رنگ K-B جداگانه را در نظر بگیرید، به عنوان مثال یک trapezium curvilinear، پایه ای که به یک بخش عمل می کند. جایگزین آن را با یک مستطیل با همان پایه و ارتفاع f (x k) (نگاه کنید به شکل). مساحت مستطیل برابر با \\ (f (x_k) \\ cdot \\ delta x_k \\)، جایی که \\ (\\ delta x_k \\) طول بخش است؛ به طور طبیعی، متشکل از کار با مقدار تقریبی منطقه ستون K-TH را در نظر بگیرید.

اگر شما هم همین کار را با تمام ستون های دیگر انجام دهید، ما به نتیجه زیر می آیند: منطقه S از یک تراپی منحنی داده شده تقریبا برابر با منطقه S N مرحله ای است که از n مستطیل های N تشکیل شده است (نگاه کنید به شکل):
\\ (s_n \u003d f (x_0) \\ delta x_0 + \\ dots + f (x_k) \\ delta x_k + \\ dots + f (x_ (n - 1)) \\ delta x_ (n - 1) \\)
در اینجا، به خاطر یکنواختی تعیین، ما معتقدیم a \u003d x 0، b \u003d x n؛ \\ (\\ delta x_0 \\) - طول بخش، \\ (\\ delta x_1 \\) - طول طول، و غیره؛ در همان زمان، همانطور که در بالا موافقت کردیم، \\ (\\ delta x_0 \u003d \\ dots \u003d \\ delta x_ (n-1) \\)

بنابراین، \\ (s \\ aftim s_n \\)، و این یک برابری تقریبی است، دقیق تر، بیشتر n.
با تعریف، اعتقاد بر این است که منطقه مورد نظر از تراپزی منحنی برابر با محدودیت توالی (S n) است:
$$ s \u003d \\ lim_ (n \\ to \\ infty) s_n $$

وظیفه 2 (در مورد نقطه حرکت)
نقطه مادی به سمت راست حرکت می کند. وابستگی سرعت در زمان توسط فرمول v \u003d v (t) بیان شده است. حرکت نقطه را در طول فاصله زمانی پیدا کنید [a؛ ب].
تصمیم گیری اگر جنبش یکنواخت باشد، این کار بسیار ساده خواهد بود: S \u003d VT، I.E. s \u003d v (b - a). برای ترافیک ناهموار، شما باید از همان ایده هایی که تصمیم به انجام وظیفه قبلی انجام شده است استفاده کنید.
1) ما فاصله زمانی را تقسیم می کنیم [a؛ ب] بر روی قطعات مساوی n.
2) فاصله زمانی را در نظر بگیرید و فرض می کنیم که در طول این مدت زمان، سرعت ثابت بود، مانند در زمان T K. بنابراین، ما معتقدیم که v \u003d v (t k).
3) مقدار تقریبی حرکت نقطه را در طول فاصله زمانی پیدا کنید، این مقدار تقریبی نشان دهنده S k است
\\ (s_k \u003d v (t_k) \\ delta t_k \\)
4) حرکت تقریبی S را پیدا کنید:
\\ (s \\ uprop s_n \\) کجا
\\ (s_n \u003d s_0 + \\ dots + s_ (n-1) \u003d v (t_0) \\ delta t_0 + \\ dots + v (t_ (n - 1)) \\ delta t_ (n-1) \\)
5) جنبش مورد نظر برابر با محدودیت توالی (ها) است:
$$ s \u003d \\ lim_ (n \\ to \\ infty) s_n $$

بیایید خلاصه کنیم راه حل های وظایف مختلف به همان مدل ریاضی رفته است. بسیاری از چالش های بسیاری از زمینه های مختلف علم و فناوری منجر به روند حل همان مدل می شود. بنابراین این مدل ریاضی باید به طور خاص آموخته شود.

مفهوم یک انتگرال خاص

ما توصیف ریاضی از مدل را که در سه وظیفه در نظر گرفته شده برای عملکرد y \u003d f (x) ساخته شده است، به طور مداوم (اما نه لزوما غیرقابل انکار، به عنوان آن را در وظایف در نظر گرفته شده) در بخش [a؛ ب]:
1) بخش را تقسیم کنید [a؛ ب] بر روی قطعات مساوی؛
2) ما مقدار $$ s_n \u003d f (x_0) \\ delta x_0 + f (x_1) \\ delta x_1 + \\ dots + f (x_ (n-1)) \\ delta x_ (n-1) $$
3) محاسبه $$ \\ lim_ (n \\ به \\ infty) s_n $$

در جریان تجزیه و تحلیل ریاضی، ثابت شده است که این محدودیت در مورد یک تابع پیوسته (یا قطعه قطعه قطعه) وجود دارد. او نامیده می شود یک انتگرال خاص از تابع y \u003d f (x) توسط بخش [a؛ ب] و نشان دادن:
\\ (\\ int \\ limits_a ^ b f (x) DX \\)
اعداد A و B محدودیت های یکپارچه (به ترتیب پایین و بالا) نامیده می شوند.

اجازه دهید ما به وظایف فوق بازگردیم تعریف یک منطقه داده شده در وظیفه 1 می تواند به شرح زیر بازنویسی کند:
\\ (s \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \\)
در اینجا S منطقه از تراپزی منحنی است که در شکل بالا نشان داده شده است. این متشکل است معنای هندسی یک انتگرال خاص.

تعیین نقطه حرکت نقطه حرکت در یک خط مستقیم با سرعت v \u003d v (t) در طول زمان از t \u003d a به t \u003d b، داده شده در Task 2، شما می توانید آن را بازنویسی کنید:

فرمول نیوتن - لایبنیا

برای شروع، آنها به سوال پاسخ خواهند داد: رابطه بین یکپارچگی خاص و ابتدایی چیست؟

پاسخ را می توان در مشکل یافت 2. از یک طرف، حرکت نقطه حرکت در یک خط مستقیم با سرعت v \u003d v (t) در طول دوره زمانی از t \u003d a به t \u003d b و محاسبه شده توسط فرمول
\\ (s \u003d \\ int \\ limits_a ^ b v v (t) dt \\)

از سوی دیگر، مختصات نقطه متحرک یک ابتدایی برای سرعت است - نشان دادن S (T)؛ این بدان معنی است که جنبش S توسط فرمول S \u003d S (B) - S (a) بیان شده است. در نتیجه، ما دریافت می کنیم:
\\ (s \u003d \\ int \\ limits_a ^ b v v (t) dt \u003d s (b) -s (a) \\)
جایی که S (T) ابتدایی برای v (t) است.

قضیه زیر در جریان تجزیه و تحلیل ریاضی ثابت شده است.
قضیه اگر تابع y \u003d f (x) در بخش پیوسته باشد [a؛ ب]، سپس فرمول معتبر است
\\ (s \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \u003d f (b) -f (a) \\)
جایی که f (x) ابتدایی برای f (x) است.

فرمول حاصل معمولا نامیده می شود نیوتن فرمول - لایبنیا به افتخار فیزیک انگلیسی اسحاق نیوتن (1643-1727) و فیلسوف آلمان Gottfried Leibnitsa (1646-1716)، که آن را به طور مستقل از یکدیگر و تقریبا به طور همزمان دریافت کرد.

در عمل، به جای ضبط f (b) - f (a)، آنها از ضبط \\ (\\ left f (x) \\ right | _a ^ b \\) استفاده می کنند (گاهی اوقات آن را نامیده می شود جایگزینی دوگانه) و بر این اساس، فرمول نیوتن را بازنویسی کنید - Leibnitsa در این فرم:
\\ (s \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \u003d \\ left. f (x) \\ right | _a ^ b \\)

محاسبه یکپارچه سازی، ابتدا ابتدایی را پیدا کنید و سپس یک جایگزین را انجام دهید.

تکیه بر فرمول نیوتن - Leibnitsa، شما می توانید دو ویژگی یکپارچه خاص را دریافت کنید.

املاک 1 انتگرال از مقدار توابع برابر با مجموع انتگرال ها است:
\\ (\\ int \\ limits_a ^ b (f (x) + g (x)) dx \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx + \\ int \\ limits_a ^ b g (x) DX \\)

املاک 2 یک ضریب دائمی را می توان با علامت انتگرال به دست آورد:
\\ (\\ int \\ limits_a ^ b kf (x) dx \u003d k \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \\)

محاسبه ویژگی های مسطح با استفاده از یک انتگرال خاص

با کمک انتگرال، شما می توانید منطقه را نه تنها trapeats منحنی، بلکه همچنین چهره های مسطح بیشتر محاسبه کنید نمایش پیچیدهبرای مثال، این در این رقم ارائه شده است. شکل P محدود به X \u003d a، x \u003d B و نمودارهای توابع پیوسته Y \u003d f (x)، y \u003d g (x)، و در بخش [a؛ ب] نابرابری \\ (g (x) \\ leq f (x) \\) انجام می شود. برای محاسبه مربع چنین رقم، ما به شرح زیر عمل خواهیم کرد:
\\ (s \u003d s_ (abcd) \u003d s_ (ADCB) - s_ (aabb) \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx - \\ int \\ limits_a ^ b g (x) dx \u003d \\)
\\ (\u003d \\ int \\ limits_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \\)

بنابراین، منطقه S یک رقم محدود شده توسط X \u003d a، X \u003d B و نمودارهای توابع y \u003d f (x)، y \u003d g (x)، به طور مداوم در بخش و مانند هر X از بخش [ آ؛ ب] نابرابری \\ (g (x) \\ leq f (x) \\) انجام می شود، محاسبه شده توسط فرمول
\\ (s \u003d \\ int \\ limits_a ^ b (f (x) -g (x)) DX \\)

جدول انتگرال های نامحدود (ابتدایی) برخی از توابع

$$ \\ int 0 \\ cdot dx \u003d c $$$$ \\ int 1 \\ cdot dx \u003d x + c $$$$ \\ int x ^ n dx \u003d \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + c \\؛ \\؛ (n \\ neq -1) $$$$ \\ int \\ frac (1) (x) dx \u003d \\ ln | x | + C $$$$ \\ int e ^ x dx \u003d ^ x + c $$$$ \\ int a ^ x dx \u003d \\ frac (a ^ x) (\\ ln a) + c \\؛ \\؛ (a\u003e 0، \\؛ \\ nq 1) $$$$ \\ int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + c $$$$ \\ int \\ sin x dx \u003d - \\ cos x + c $$$ $ \\ int \\ frac (dx) (\\ cos ^ 2 x) \u003d \\ text (tg) x + c $$$$ \\ int \\ frac (DX) (\\ sin ^ 2 x) \u003d - \\ text (ctg) x + c $$$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ text (arcsin) x + c $$$$$ \\ int \\ frac (DX) (1 + x ^ 2) ) \u003d \\ text (arctg) x + c $$$$ \\ int \\ text (ch) x dx \u003d \\ text (sh) x + c $$$$ \\ int \\ text (sh) x dx \u003d \\ text (ch ) X + C $$

یکپارچه خاص چگونه می توان منطقه را محاسبه کرد

به بررسی برنامه های کاربردی یکپارچه بروید. در این درس، ما کار معمولی و رایج را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. - نحوه محاسبه شکل هواپیما با یک انتگرال خاص. در آخر دیدن معنی در بالاترین ریاضیات - اجازه دهید او را پیدا کند. مقدار کمی. ما باید در زندگی نزدیکتر باشیم منطقه کلبه کشور توابع ابتدایی و پیدا کردن منطقه آن با استفاده از یک انتگرال خاص.

برای توسعه موفقیت آمیز، لازم است:

1) درک کنید جدایی ناپذیر حداقل در سطح متوسط. بنابراین، قوری باید با درس آشنا باشد نه.

2) قادر به اعمال فرمول لایتون لایتون و محاسبه یکپارچگی خاص. برای ایجاد گرم روابط دوستانه با انتگرال های خاص، شما می توانید در صفحه یکپارچه خاص نمونه هایی از راه حل ها.

در حقیقت، به منظور پیدا کردن منطقه از این رقم، چنین دانش از انتگرال نامشخص و تعریف شده وجود ندارد. وظیفه "محاسبه منطقه با کمک یک انتگرال خاص" همیشه مستلزم ساخت و ساز از نقاشی است، خیلی بیشتر سوال واقعی دانش و مهارت های شما برای ساخت نقشه ها وجود خواهد داشت. در این راستا مفید است که در حافظه گرافیک توابع اصلی اصلی تجدید نظر شود، حداقل، قادر به ساخت یک مستقیم، پارابولا و هیپربولا است. می توان آن را انجام داد (بسیاری - مورد نیاز) با مواد متداول و مقالات در مورد تغییرات هندسی گراف ها.

در واقع، با وظیفه پیدا کردن یک منطقه با کمک یک انتگرال خاص، هر کس از مدرسه آشنا است، و ما کمی به جلو می رویم برنامه مدرسه. این مقاله حتی نمی تواند باشد، اما این واقعیت این است که این وظیفه در 99 مورد از 100 سالگی یافت می شود، زمانی که دانش آموز از یک برج متخلخل با شور و شوق از دوره ریاضیات بالاتر رنج می برد.

مواد این کارگاه به سادگی، به طور دقیق ارائه شده و با حداقل تئوری ارائه شده است.

بیایید با یک trapezium curvilinear شروع کنیم.

trapezium curvilinear یک شکل مسطح یک محور محدود، مستقیما و یک برنامه مداوم در یک بخش از یک تابع نامیده می شود که علامت این فاصله را تغییر نمی دهد. اجازه دهید این رقم واقع شود نه کمتر محور Abscissa:

سپس منطقه تراکم منحنی کنجکاوی عددی برابر با یک انتگرال خاص است. هر یک از انتگرال های خاص (که وجود دارد) دارای معنای بسیار خوبی هندسی است. در درس یکپارچه خاص نمونه هایی از راه حل ها من گفتم که یک انتگرال خاص یک عدد است. و اکنون وقت آن است که یکی دیگر را بیان کنیم واقعیت مفید. از نقطه نظر هندسه، یکپارچگی خاص یک منطقه است.

من، یک انتگرال خاص (اگر آن وجود دارد) به طور هندسی مربوط به منطقه برخی از شکل است. به عنوان مثال، یک انتگرال خاص را در نظر بگیرید. تابع انتگرال منحنی را در هواپیما قرار می دهد که در بالای محور قرار دارد (که مایل می تواند نقاشی را انجام دهد)، و انتگرال تعیین شده خود را به صورت عددی است برابر با مربع trapezium curvilinear مربوطه.

مثال 1

این یک فرمول بندی کار معمول است. اول من. مهم ترین چیز راه حل - طراحی ساختمان. و نقاشی باید ساخته شود درست.

هنگام ساخت یک نقاشی، من توصیه می کنم سفارش بعدی: اولین بهتر است همه ی راست (اگر آنها) و تنها بعد - Parabolas، Hyperbolas، برنامه های دیگر توابع. نمودارهای تابع برای ساخت بیشتر سودآور هستند پوتوچو، با تکنیک چک کردن ساختمانی می تواند در آن پیدا شود مواد مرجع نمودارها و خواص توابع ابتدایی. در اینجا شما همچنین می توانید یک ماده بسیار مفید در رابطه با درس ما مواد ما را پیدا کنید - چگونه به سرعت ساخت یک پارابولا.

در این کار، تصمیم ممکن است به نظر برسد.
انجام نقاشی (توجه داشته باشید که معادله محور را تعیین می کند):

من یک تراکتور انحرافی نخواهم داشت، در اینجا، در مورد آن منطقه واضح است این سخنرانی است. این تصمیم همچنان ادامه دارد:

در برنامه SECTION یک تابع واقع شده است بیش از محور، بنابراین:

پاسخ:

چه کسی با محاسبه یکپارچگی خاص و استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیا مشکلاتی دارد؟ ، به سخنرانی مراجعه کنید یکپارچه خاص نمونه هایی از راه حل ها.

پس از تکمیل کار، همیشه مفید است که به نقاشی و برآورد نگاه کنید، واقعی معلوم شد. در این مورد، "در چشم" ما تعداد سلول ها را در نقاشی شمارش می کنیم - به خوبی، تقریبا 9 پرواز می شود، به نظر می رسد حقیقت است. کاملا روشن است که اگر ما داشتیم، می گویند، پاسخ: 20 واحد مربع، واضح است که یک خطا در جایی ساخته شده است - در شکل 20 سلول، به وضوح از قدرت دوازده ساخته نشده است. اگر پاسخ منفی شد، وظیفه نیز به اشتباه تصمیم گرفته شده است.

مثال 2

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود و محور

این یک مثال برای خود تصمیم گیری. راه حل کامل و پاسخ در پایان درس.

چه کاری باید انجام دهید اگر Trapezium curvilinear واقع شود تحت محور؟

مثال 3

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود و محورهای مختصات.

تصمیم: انجام نقاشی:

اگر trapezium curvilinear واقع شده باشد تحت محور (یا حداقل بالاتر نیست این محور)، سپس منطقه آن را می توان توسط فرمول پیدا کرد:
در این مورد:

توجه! دو نوع وظایف را اشتباه نگیرید:

1) اگر شما برای حل یک انتگرال ساده بدون هیچ معنی هندسی دعوت شده اید، ممکن است منفی باشد.

2) اگر شما دعوت شده برای پیدا کردن شکل از شکل با استفاده از یک انتگرال خاص، سپس منطقه همیشه مثبت است! به همین دلیل است که فقط فرمول در نظر گرفته شده به نظر می رسد منفی است.

در عمل، این رقم اغلب در سطح نیمه بالا و پایین قرار دارد و از این رو از ساده ترین نمودارهای مدرسه، به نمونه های معنی دار تر می رود.

مثال 4

پیدا کردن مساحت یک شکل صاف، خطوط محدود ،.

تصمیم: ابتدا باید یک نقاشی را بکشید. به طور کلی، هنگام ساخت یک نقاشی در وظایف به منطقه، ما بیشتر به نقاط تقاطع خطوط علاقه مند هستیم. پیدا کردن نقاط تقاطع پارابولا و مستقیم. این میتواند با دو راه انجام شود. روش اول تحلیلی است. ما معادله را حل می کنیم:

بنابراین، محدودیت ادغام پایین، حد بالایی از ادغام.
به این ترتیب بهتر است، در صورت امکان استفاده نکنید.

برای ساخت خطوط خط بسیار سودآور و سریعتر است، در حالی که محدودیت های ادغام به صورت "خود" روشن می شود. تکنیک پایان دادن به نمودارهای مختلف در جزئیات در نظر گرفته شده است نمودارها و خواص توابع ابتدایی . با این حال، یک روش تحلیلی برای پیدا کردن محدودیت ها پس از همه، گاهی اوقات لازم است که اعمال شود، به عنوان مثال، برنامه به اندازه کافی بزرگ است، یا یک ساخت و ساز آموزش دیده محدودیت های ادغام را نشان نمی دهد (آنها می توانند کسری یا غیر منطقی). و یک مثال، ما نیز در نظر داریم.

ما به کار ما بازگردیم: ابتدا منطقی تر ساخت یک خط مستقیم و تنها پس از آن پارابولا. انجام نقاشی:

من تکرار می کنم که در ساخت و ساز فعلی، محدودیت های ادغام اغلب توسط "خودکار" یافت می شود.

و در حال حاضر فرمول کار: اگر در بخش برخی از عملکرد مداوم بیشتر یا برابر برخی از عملکرد مداوم، منطقه ای از شکل، محدود شده توسط نمودارهای این توابع و مستقیم، می تواند توسط فرمول یافت می شود:

در اینجا دیگر لازم نیست فکر کنیم که در آن شکل واقع شده است - بیش از محور یا زیر محور، و تقریبا صحبت کردن مهمتر از حد نمودار بالاتر است(نسبت به یک برنامه دیگر) و آنچه - در زیر.

در این مثال، واضح است که در بخش پارابولا در بالای راست قرار دارد و بنابراین لازم است که تفریق شود

تکمیل راه حل ممکن است به نظر می رسد:

شکل دلخواه به پارابولا از بالا و پایین مستقیم محدود می شود.
در بخش، با توجه به فرمول مربوطه:

پاسخ:

در واقع، فرمول مدرسه برای منطقه از trapezium منحنی در نیمه نیمه پایین (نگاه کنید به مثال ساده شماره 3) - پرونده خصوصی فرمول ها . از آنجا که محور توسط معادله تعریف شده است، و نمودار تابع واقع شده است بالاتر نیست محور، T.

و حالا چند نمونه برای یک تصمیم مستقل

مثال 5

مثال 6

پیدا کردن منطقه خطوط خطوط محدود ،.

در طول حل وظایف برای محاسبه منطقه با یک انتگرال خاص، یک مورد خنده دار گاهی اوقات رخ می دهد. رسم به درستی تکمیل شده است، محاسبات - درست، اما تشدید ... منطقه را پیدا کرد شکل نیستاین همان چیزی است که بنده فروتنانه شما بسته شده است. در اینجا یک مورد واقعی از زندگی است:

مثال 7

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود ،،،.

تصمیم: ابتدا نقاشی را انجام دهید:

... اوه، نقاشی Khrenovynsky بیرون آمد، اما همه چیز به نظر می رسد برداشتن.

شکل که منطقه ما باید پیدا کنیم، آبی رنگ است (به دقت بر روی وضعیت نگاه کنید - از این رقم محدود است!). اما در عمل، "Glitch" اغلب در ذهن آگاهی مطرح می شود، که شما نیاز به پیدا کردن یک منطقه از شکل، که سایه دار است سبز!

این مثال هنوز مفید است و این واقعیت است که در آن منطقه از این رقم با استفاده از دو انتگرال خاص در نظر گرفته شده است. واقعا:

1) یک برنامه مستقیم بر روی بخش بیش از محور قرار دارد؛

2) در بخش بیش از محور نمودار هیپربول ها وجود دارد.

واضح است که مربع می تواند (و نیاز) را تجزیه کند، بنابراین:

پاسخ:

به یکی دیگر از وظایف اساسی بروید

مثال 8

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود،
معادله را در فرم "مدرسه" تصور کنید و نقاشی فعلی را انجام دهید:

از نقاشی روشن است که حد بالا ما "خوب" :.
اما حد پایین تر چیست؟! واضح است که این یک عدد صحیح نیست، اما چه؟ شاید ؟ اما کجا تضمین می شود که نقاشی با دقت کامل ساخته شده است، ممکن است این باشد. یا ریشه و اگر ما به طور کلی یک برنامه را نامطلوب ساختیم؟

در چنین مواردی، شما باید زمان اضافی را صرف کنید و محدودیت های ادغام را به صورت تحلیلی مشخص کنید.

نقاط تقاطع مستقیم و پارابولا را پیدا کنید.
برای انجام این کار، معادله را حل کنید:


,

در واقع.

راه حل بیشتر بی اهمیت است، مهمترین چیز این است که در جایگزینی و نشانه ها اشتباه گرفته شود، محاسبات در اینجا ساده ترین نیستند.

بر روی برش با توجه به فرمول مربوطه:

پاسخ:

خوب، و در نتیجه درس، دو وظیفه را دشوارتر می کنید.

مثال 9

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود ،،

تصمیم: این شکل را در نقاشی نشان دهید.

لعنتی، برنامه را فراموش کرده اید، اما برای تغییر تصویر، متاسفم، نه یک hotz. نه به ارث برده، کوتاه، روز امروز \u003d)

برای چک کردن ساخت و ساز شما باید بدانید ظاهر سینوسی ها (و به طور کلی مفید است بدانید نمودارهای تمام توابع ابتدایی)، و همچنین برخی از مقادیر سینوسی، آنها را می توان یافت جدول مثلثاتی. در بعضی موارد (همانطور که در این)، مجاز به ساخت یک طرح طرح ریزی است که در آن نمودارها و محدودیت های ادغام باید در اصل منعکس شود.

با محدودیت ادغام، هیچ مشکلی در اینجا وجود ندارد، آنها به طور مستقیم از شرایط پیروی می کنند: - "X" از صفر تا "PI" متفاوت است. ما یک راه حل بیشتر را تهیه می کنیم:

در بخش، نمودار تابع در بالای محور قرار دارد، بنابراین:

فرض کنید عملکرد غیر منفی و مداوم در بخش است. سپس، با توجه به معنای هندسی یک انتگرال خاص، منطقه یک تراپزی منحنی، از بالای نمودار این تابع، از محور پایین، در سمت چپ و راست، مستقیم و مستقیم (نگاه کنید به شکل. 2) محاسبه شده توسط فرمول

مثال 9 منطقه ای از شکل، خط محدود و محور را پیدا کنید.

تصمیم گیری گراف تابع پارابولا است که شاخه های آن به کار رفته اند. ما آن را ساختیم (شکل 3). برای تعیین محدودیت های ادغام، تقاطع خط (پارابولا) را با محور (راست) پیدا کنید. برای انجام این کار، سیستم معادلات را حل کنید

ما دریافت می کنیم:، از کجا،؛ از این رو ،.

شکل. 3

شکل شکل شکل (5):

اگر این تابع غیر مثبت و پیوسته در بخش باشد، سپس ناحیه تراپزی منحنی، محدود به پایین با یک نمودار از این تابع، محور بالا، در سمت چپ و راست - مستقیم و محاسبه شده توسط فرمول

اگر تابع به طور مداوم در بخش قرار دارد و نشانه ای از تعداد نهایی نقاط را تغییر می دهد، سپس مساحت شکل سایه (شکل 4) برابر با مجموع جبری یکپارچه سازی خاص مربوطه است:

شکل. 4

مثال 10 محاسبه مساحت شکل، محدود شده توسط محور و نمودار عملکرد در.

شکل. 5

تصمیم گیری بیایید یک نقاشی را قرعه کشی کنیم (شکل 5). منطقه مورد نظر مجموع مربع است. ما هر یک از این مناطق را پیدا خواهیم کرد. در ابتدا، ما محدودیت های ادغام را تعریف می کنیم، حل سیستم را که دریافت می کنیم. از این رو:

بنابراین، منطقه شکل سایه برابر برابر است

شکل. 6

بگذارید، در نهایت، تراپزی منحنی از بالا و پایین تر از نمودار توابع پیوسته در بخش و، و در سمت چپ و راست راست و (شکل 6) محدود شده است. سپس منطقه آن توسط فرمول محاسبه می شود

مثال 11 پیدا کردن منطقه خطوط خطوط محدود و.

تصمیم گیری این رقم در شکل نشان داده شده است. 7. این منطقه توسط فرمول محاسبه می شود (8). حل سیستم معادلات ما پیدا می شود؛ از این رو ،. در بخش ما :. این بدان معنی است که در فرمول (8) همانطور که ما x را می گیریم، و به عنوان -. ما گرفتیم:

وظایف پیچیده تر برای محاسبه مناطق با تقسیم شکل بر روی قطعات معکوس حل می شود و محاسبه مساحت کل شکل به عنوان مجموع حوزه های این قطعات.

مثال 1 . محاسبه مساحت شکل، خطوط محدود: X + 2U - 4 \u003d 0، Y \u003d 0، X \u003d -3، و X \u003d 2

ما ساخت این رقم را اجرا خواهیم کرد (نگاه کنید به شکل) ما یک X + 2U را مستقیما ساختیم - 4 \u003d 0 به دو نقطه (4؛ 0) و در (0؛ 2) ساختیم. بیان Y از طریق x، ما Y \u003d -0.5X + 2. را با فرمول (1) به دست می آوریم، جایی که f (x) \u003d -0.5x + 2، a \u003d -3، b \u003d 2، ما پیدا می کنیم

s \u003d \u003d [-0.25 \u003d 11.25 kV. دره

مثال 2 محاسبه مساحت شکل، خطوط محدود: X - 2AU + 4 \u003d 0، X + Y - 5 \u003d 0 و Y \u003d 0.

تصمیم گیری ساخت شکل را انجام دهید.

ما یک X - 2au + 4 \u003d 0: y \u003d 0، x \u003d - 4، a (-4؛ 0) را ساختیم؛ x \u003d 0، y \u003d 2، در (0؛ 2).

ما X + Y را مستقیما ساختیم - 5 \u003d 0: Y \u003d 0، X \u003d 5، C (5؛ 0)، x \u003d 0، y \u003d 5، d (0؛ 5).

ما نقطه تقاطع مستقیم را پیدا خواهیم کرد، حل سیستم معادلات:

x \u003d 2، y \u003d 3؛ متر (2؛ 3).

برای محاسبه منطقه مورد نظر، ما مثلث AMS را در دو مثلث AMN و NMS شکست می دهیم، زیرا با تغییر در X از A به N، این منطقه محدود به مستقیم است، و زمانی که X از N به C - مستقیم

برای مثلث AMN ما داریم:؛ Y \u003d 0.5X + 2، I.E. F (X) \u003d 0.5X + 2، A \u003d - 4، B \u003d 2.

برای The Triangle NMS، ما داریم: Y \u003d - X + 5، I.E. F (X) \u003d - X + 5، A \u003d 2، B \u003d 5.

با محاسبه مساحت هر یک از مثلث ها و تاشو نتایج، پیدا کردن:

sq واحدهای

sq واحدهای

9 + 4، 5 \u003d 13.5 متر مربع. واحدهای بررسی: \u003d 0.5AS \u003d 0.5 کیلو ولت. واحدهای

مثال 3 محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود: y \u003d x 2 ، y \u003d 0، x \u003d 2، x \u003d 3.

در این مورد، لازم است که محاسبه منطقه Trapezium curvilinear، محدود توسط parabola y \u003d x 2 ، راست X \u003d 2 و X \u003d 3 و OH (نگاه کنید به شکل) توسط فرمول (1) ما منطقه از trapezium منحنی را پیدا می کنیم

\u003d \u003d 6 کیلووات واحدهای

مثال 4 محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود: y \u003d - X 2 + 4 و y \u003d 0

ساخت شکل را انجام دهید. منطقه مورد نظر بین parabola y \u003d - x نتیجه گیری می شود 2 + 4 و محور آه.

پیدا کردن نقاط تقاطع پارابولا با محور آه. باور کردن y \u003d 0، ما x \u003d را پیدا می کنیم چون این رقم با توجه به محور OU متقارن است، سپس ما منطقه ای از شکل واقع شده در سمت راست محور OU را محاسبه می کنیم، و نتیجه نتیجه دو برابر خواهد شد: \u003d + 4x] kv. واحدهای 2 \u003d 2 کیلو ولت واحدهای

مثال 5 محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود: Y 2 \u003d x، yx \u003d 1، x \u003d 4

این نیاز به محاسبه مساحت trapezium curvilinear، محدود به شاخه برتر Parabolia است 2 \u003d x، محور آه و راست X \u003d 1 و \u003d 4 (نگاه کنید به شکل.)

توسط فرمول (1)، جایی که f (x) \u003d a \u003d 1 و b \u003d 4 ما \u003d (\u003d sq.

مثال 6 . محاسبه مساحت شکل، خطوط محدود: y \u003d sinx، y \u003d 0، x \u003d 0، x \u003d.

منطقه مورد نظر محدود به سینوسی نیمه موج و محور اوه (نگاه کنید به شکل).

ما - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 kv. واحدهای

مثال 7 محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود: y \u003d - 6x، y \u003d 0 و x \u003d 4.

این رقم زیر محور اوه (نگاه کنید به شکل).

در نتیجه، منطقه آن توسط فرمول یافت می شود (3)

= =

مثال 8 محاسبه مساحت شکل، خطوط محدود: y \u003d و x \u003d 2. منحنی y \u003d ساخت توسط نقاط (نگاه کنید به شکل). بنابراین، منطقه ارقام توسط فرمول یافت می شود (4)

مثال 9 .

h. 2 + U. 2 \u003d R. 2 .

این نیاز به محاسبه منطقه، دایره محدود X 2 + U. 2 \u003d R. 2 ، به عنوان مثال، منطقه شعاع دایره R با مرکز در ابتدای مختصات. ما بخش چهارم این منطقه را پیدا خواهیم کرد، محدودیت های ادغام را از 0

dor؛ ما داریم: 1 = = [

از این رو، 1 =

مثال 10 محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود: y \u003d x 2 و y \u003d 2x

این رقم محدود به parabola y \u003d x است 2 و مستقیم Y \u003d 2X (نگاه کنید به شکل.) برای تعیین نقاط تقاطع خطوط مشخص شده با حل سیستم معادلات: X 2 - 2x \u003d 0 x \u003d 0 و x \u003d 2

با استفاده از منطقه برای پیدا کردن فرمول منطقه (5)، ما دریافت می کنیم

\u003d ناحیه تراپزی منحنی شکل گرفته شده توسط تابع f،برابر با افزایش یک تابع ابتدایی:

تمرین 1:

منطقه ای از trapezoid curvilinear را پیدا کنید، محدود شده توسط نمودار تابع: f (x) \u003d x 2 و مستقیم y \u003d 0، x \u003d 1، x \u003d 2.

تصمیم گیری: ( با توجه به الگوریتم اسلاید 3)

یک برنامه عملکرد و مستقیم را بکشید

پیدا کردن یکی از توابع معتبر f (x) \u003d x 2 :

خود تست بر روی اسلاید

انتگرال

یک تراکم منحنی را که توسط تابع مشخص شده است را در نظر بگیرید f. در بخش [ آ؛ ب] این بخش را به چند بخش بحث کنید. مساحت کل تراپزیوم مقدار مربعات تراکتور کوچکتر را از بین می برد. ( اسلاید 5). هر چنین تراپزی می تواند تقریبا یک مستطیل باشد. مقدار منطقه این مستطیل ها یک ایده تقریبی از کل منطقه تراپزی منحنی را فراهم می کند. کوچکتر ما بخش را شکستیم [ آ؛ ب]، دقیق تر منطقه را محاسبه می کند.

ما این استدلال را در فرمول فرمول بنویسیم.

ما بخش را تقسیم می کنیم [ آ؛ ب] در نقاط قسمت N x 0 \u003d a، x1، ...، xn \u003d b. طول k-برو نشان دادن xk \u003d xk - xk-1. بیایید آرایش کنیم

به طور هندسی، این مقدار یک منطقه از شکل است، سایه دار در شکل ( sch.m..)

مجموع گونه، مبلغ انتگرال برای عملکرد نامیده می شود. f.. (SCH.M.)

مبلغ انتگرال یک مقدار تقریبی منطقه را ارائه می دهد. مقدار دقیق با استفاده از انتقال محدود به دست می آید. تصور کنید که ما تقسیم بخش را خرد می کنیم [ آ؛ ب] به طوری که طول تمام بخش های کوچک به صفر برسد. سپس مساحت شکل تشکیل شده به منطقه تراپزی منحنی نزدیک می شود. می توان گفت که مساحت تراپزی منحنی برابر با محدودیت مبالغ انتگرال است sk.t. (SCH.M.)یا انتگرال، به عنوان مثال،

تعریف:

تابع انتگرال f (x) از جانب آ. قبل از ب محدودیت مقدار یکپارچه را نام برد

= (SCH.M.)

فرمول نیوتون لابیتسا.

به یاد داشته باشید که محدودیت مقادیر یکپارچه برابر با مساحت تراپزی کنجکاوی است، به این معنی است که شما می توانید بنویسید:

sk.t. \u003d. (SCH.M.)

از سوی دیگر، منطقه تراپزی Cryvilinear توسط فرمول محاسبه می شود

s k t. (SCH.M.)

مقایسه این فرمول ها، ما دریافت می کنیم:

= (SCH.M.)

این برابری فرمول نیوتن Labits نامیده می شود.

برای راحتی محاسبات، فرمول در قالب نوشته شده است:

= = (SCH.M.)

وظایف: (shch.m.)

1. محاسبه انتگرال با توجه به فرمول نیوتن Labits: ( چک کردن اسلاید 5)

2. ایجاد یک انتگرال با توجه به نقاشی ( ما در اسلاید 6 را بررسی می کنیم)

3. پیدا کردن منطقه خطوط محدود خطوط: y \u003d x 3، y \u003d 0، x \u003d 1، x \u003d 2. ( اسلاید 7)

پیدا کردن مربع چهره های مسطح ( اسلاید 8)

چگونه می توان مربع از ارقام را پیدا کرد که ترافیک های منحنی نیست؟

اجازه دهید دو توابع داده شود، نمودارهایی که در اسلاید مشاهده می کنید . (SCH.M.) لازم است که منطقه ای از شکل رنگ را پیدا کنید . (SCH.M.). این رقم که در آن صحبت می کند، یک تراپزی منحنی است؟ و چگونه می توانم منطقه خود را با استفاده از اموال افزودنی منطقه پیدا کنم؟ دو تدارکات منحنی را در نظر بگیرید و از مربع یکی از آنها برای تفریق منطقه دیگری ( sch.m.)

ما یک الگوریتم برای پیدا کردن یک منطقه انیمیشن بر روی اسلاید ایجاد خواهیم کرد:

1. ساخت نمودارهای توابع
2. نقاط تقاطع نمودارها را در محور Abscissa Sprogit کنید
3. شارپ شکل به دست آمده در هنگام عبور از نمودارها
4. پیدا کردن Trapeats Curvilinear، تقاطع یا ترکیب که یک شکل خاص است.
5. محاسبه منطقه هر یک از آنها
6. پیدا کردن تفاوت یا مقدار فضا

وظیفه شفاهی: چگونگی دریافت منطقه از شکل سایه دار (با کمک انیمیشن به ما بگویید اسلاید 8 و 9)

مشق شب:کار چکیده، № 353 (a)، شماره 364 (a).

کتابشناسی - فهرست کتب

1. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: یک کتاب درسی برای کلاس 9-11 کلاس شبانه (قابل تعویض) / اد. gd گلاسر - M: آموزش و پرورش، 1983.
2. BashMakov M.I. جبر و تجزیه و تحلیل شروع: آموزش برای 10-11 kl.sed.Shk. / BashMakov M.I. - M: آموزش و پرورش، 1991.
3. BashMakov M.I. ریاضیات: آموزش برای موسسات آغاز. و رسانه ها پروفسور آموزش و پرورش / M.I. کفش. - M: آکادمی، 2010.
4. Kolmogorov A.N. جبر و تجزیه و تحلیل شروع: آموزش برای 10-11 سلول. موسسات آموزشی / A.N. Kolmogorov. - M: روشنگری، 2010.
5. Ostrovsky S.L. چگونه برای ارائه به درس؟ / C.L. Ostrovsky. - متر: اولین سپتامبر 2010.