3 عملکرد پردازی. پرمنده و انتگرال

عملکرد اولیه و انتگرال نامحدود

واقعیت 1. ادغام - اقدام، تمایز معکوس، یعنی بازگرداندن عملکرد با توجه به مشتق شناخته شده این تابع. تابع بازسازی شده است F.(ایکس.) نامیده می شود پیش بینی شده برای عملکرد f.(ایکس.).

تعریف 1. عملکرد F.(ایکس. f.(ایکس.) در برخی از فاصله ایکس.اگر برای همه ارزش ها ایکس. برابری از این شکاف انجام می شود F. "(ایکس.)=f.(ایکس.)، یعنی این ویژگی f.(ایکس.) از مشتق شده است عملکرد پردازی F.(ایکس.). .

به عنوان مثال، یک تابع F.(ایکس.) \u003d گناه ایکس. یک تابع اولیه است f.(ایکس.) \u003d cos ایکس. در کل عددی مستقیم، از آنجا که با هر مقدار از iksa (گناه ایکس.) "\u003d (cos ایکس.) .

تعریف 2. تابع نامطلوب یکپارچه f.(ایکس.) این به طور کلی تمام اولیه آن نامیده می شود. این از ضبط استفاده می کند

∫

f.(ایکس.)dx

,

جایی که علامت ∫ علامت انتگرال، عملکرد f.(ایکس.) - یک تابع جایگزینی، و f.(ایکس.)dx - یک بیان بتن

بنابراین، اگر F.(ایکس.) - نوعی اولیه برای f.(ایکس.)، T.

∫

f.(ایکس.)dx = F.(ایکس.) +C.

جایی که C. - دائمی دلخواه (ثابت).

برای درک معنای بسیاری از توابع ابتدایی به عنوان یک انتگرال نامحدود، آنالوگ زیر مناسب است. بگذارید یک درب وجود داشته باشد (سنتی در چوبی) عملکرد آن "به عنوان یک درب است." و درب چه چیزی ساخته شده است؟ از چوب. بنابراین، بسیاری از عملکرد یکپارچه اولیه "درب"، یعنی یک انتگرال نامحدود، عملکرد "بودن + C" است، جایی که C ثابت است، که در این زمینه ممکن است نشان دهد، به عنوان مثال، یک درخت از چوب. درست همانطور که درب از چوب ساخته شده است با استفاده از برخی از ابزارها، مشتق از عملکرد "ساخته شده" از عملکرد اولیه با فرمول هایی که ما با مطالعه مشتق شده یاد گرفتیم .

سپس میز توابع اشیاء مشترک و ابتدایی مربوطه ("به عنوان درب" - "درخت"، "یک قاشق" - "باید فلز"، و غیره) شبیه به جدول اصلی انتگرال های نامحدود اصلی است ، که کمی کمتر نشان داده می شود. جدول انتگرال های نامعلوم، توابع رایج را نشان می دهد که نشان دهنده ابتدای اولیه است، که این توابع انجام می شود. از لحاظ وظایف برای پیدا کردن یک انتگرال نامحدود، چنین انتهایی چنین یکپارچگی داده می شود، که بدون گرانش خاص می تواند به طور مستقیم یکپارچه شود، یعنی بر روی میز انتگرال های نامعلوم. در وظایف، لازم است قبل از تبدیل به وظایف پیش از پیشبرد به طوری که شما می توانید از انتگرال های جدول استفاده کنید.

واقعیت 2. بازگرداندن عملکرد به عنوان یک ابتدایی، ما باید یک دائمی دلخواه را در نظر بگیریم (ثابت) C.، به طوری که فهرستی از ابتدایی را با ثابت های مختلف از 1 تا بی نهایت بنویسید، باید بسیاری از ابتدایی را با یک دائمی دلخواه ثبت کنید C.به عنوان مثال، به شرح زیر است: 5 ایکس.³ + p. بنابراین، یک دائمی دلخواه (ثابت) وارد بیان ابتدایی می شود، زیرا ابتدایی می تواند یک تابع باشد، به عنوان مثال، 5 ایکس.³ + 4 یا 5 ایکس.³ + 3 و با تمایز 4 یا 3، یا هر ثابت دیگر به صفر اعمال می شود.

ما کار ادغام را قرار می دهیم: برای این تابع f.(ایکس.) چنین تابع را پیدا کنید F.(ایکس.), مشتق از آن برابر f.(ایکس.).

مثال 1ویژگی های مختلفی پیدا کنید

تصمیم گیری برای این ویژگی، عملکرد تابع است

تابع F.(ایکس.) نامیده می شود اولیه برای عملکرد f.(ایکس.) اگر مشتق شده باشد F.(ایکس.) برابر f.(ایکس.)، یا همان، دیفرانسیل F.(ایکس.) کلاغ سیاه f.(ایکس.) dx.

(2)

در نتیجه، عملکرد ابتدایی برای یک تابع است. با این حال، این تنها اولیه نیست. آنها همچنین به عنوان توابع عمل می کنند

جایی که از جانب - دائمی دلخواه این می تواند تمایز دیده شود.

بنابراین، اگر اولین اولیه برای عملکرد وجود داشته باشد، پس از آن دارای بسیاری از بی نهایت ابتدایی است که در اصطلاح دائمی متفاوت است. تمام توابع اولیه در فرم فوق نوشته شده است. این به دنبال قضیه زیر است.

قضیه (بیانیه رسمی واقعیت 2).اگر یک F.(ایکس.) - معتبر برای عملکرد f.(ایکس.) در برخی از فاصله H.، سپس هر ابتدایی دیگر f.(ایکس.) در همان شکاف می تواند در فرم ارائه شود F.(ایکس.) + C.جایی که از جانب- دائمی دلخواه

که در مثال بعدی در حال حاضر به جدول انتگرال اشاره می شود، که پس از خواص یکپارچه نامحدود در پاراگراف 3 داده می شود. ما آن را قبل از آشنا شدن با کل جدول انجام می دهیم، به طوری که ماهیت پیشین درک می شود. و پس از جدول و خواص ما آنها را هنگام ادغام در تمام کامل استفاده خواهیم کرد.

مثال 2پیدا کردن چندین ویژگی:

تصمیم گیری ما مجموعه ای از توابع اولیه را پیدا می کنیم که "این توابع انجام می شود". هنگام اشاره به فرمول ها از جدول انتگرال، به سادگی قبول می کنید که چنین فرمول هایی وجود دارد، و ما جدول انتگرال های نامعلوم را به طور کامل مطالعه خواهیم کرد.

1) استفاده از فرمول (7) از جدول انتگرال با n. \u003d 3، ما دریافت می کنیم

2) استفاده از فرمول (10) از جدول انتگرال با n. \u003d 1/3، ما داریم

3) به عنوان

سپس توسط فرمول (7) زمانی که n. \u003d -1/4 پیدا کردن

تحت نشانه ای از انتگرال نوشتن خود را نه عملکرد خود را f. ، و کار او بر دیفرانسیل dx . این کار به طور عمده انجام می شود تا مشخص شود کدام متغیر به دنبال یک ابتدایی است. مثلا،

, ;

در اینجا، در هر دو مورد، عملکرد انتگرال برابر است، اما انتگرال های نامحدود آن در موارد مورد نظر متفاوت است. در مورد اول، این ویژگی به عنوان یک تابع از یک متغیر در نظر گرفته می شود ایکس. ، و در دوم - به عنوان یک تابع از z. .

فرآیند یافتن یک تابع انتگرال نامحدود به نام یکپارچه سازی این تابع است.

معنای هندسی یک انتگرال نامحدود

اجازه دهید آن را برای پیدا کردن یک منحنی لازم است y \u003d f (x) و ما قبلا می دانیم که مماس زاویه شیب در هر نقطه از آن، تابع مشخص شده است f (x) سوء استفاده از این نقطه.

با توجه به معنای هندسی ناشی از مشتق شده، زاویه شیب مماس در این نقطه منحنی y \u003d f (x) برابر با ارزش مشتق شده است f "(x). بنابراین شما باید چنین عملکرد را پیدا کنید f (x)، برای کدام f "(x) \u003d f (x). تابع مورد نیاز در کار f (x) یک اصل اولیه است f (x). وضعیت مشکل، یک منحنی را برآورده نمی کند، بلکه خانواده منحنی ها را برآورده نمی کند. y \u003d f (x) - یکی از این منحنی ها، و هر منحنی دیگر را می توان از انتقال موازی خود را در امتداد محور به دست آورد oy.

بیایید یک نمودار از یک تابع ابتدایی را از f (x) منحنی انتگرال اگر یک f "(x) \u003d f (x)سپس نمودار تابع y \u003d f (x) منحنی انتگرال وجود دارد.

واقعیت 3. یکپارچگی نامشخص، به صورت هندسی توسط هفت منحنی مجتمع نشان داده شده است همانطور که در شکل زیر. از دست دادن هر یک از منحنی از ابتدای مختصات، یکپارچگی دائمی خودسرانه (ثابت) تعیین می شود C..

خواص یک انتگرال نامحدود

واقعیت 4. قضیه 1. مشتق از یک انتگرال نامحدود برابر با عملکرد انتگرال است، و دیفرانسیل آن یک بیان منبع است.

واقعیت 5. قضیه 2. انتگرال غیرقابل انکار از عملکرد دیفرانسیل f.(ایکس.) تابع برابر f.(ایکس.) با دقت یک اصطلاح دائمی .

(3)

تئوری های 1 و 2 نشان می دهد که تمایز و ادغام عملیات متقابل معکوس است.

واقعیت 6. قضیه 3. چند ضلعی ثابت در انتگرال می تواند برای نشانه ای از یک انتگرال نامحدود ساخته شود .

یکی از تمایز عملیات پایه و اساس مشتق (دیفرانسیل) و اعمال توابع به مطالعه است.

مهم نیست که کار مخالف است. اگر رفتار عملکرد در مجاورت هر نقطه از تعیین آن شناخته شده باشد، نحوه بازگرداندن عملکرد به طور کلی، I.E. در کل منطقه تعریف آن. این وظیفه موضوع بررسی محاسبات انتگرال به اصطلاح است.

ادغام اثر تمایز معکوس است. یا بازگرداندن تابع f (x) برای این مشتق F` (x). کلمه لاتین "Integro" به معنی بازیابی است.

مثال №1.

اجازه دهید (f (x)) "\u003d 3x2. پیدا کردن f (x).

تصمیم گیری:

با تکیه بر قانون تمایز، حدس بزنید که F (x) \u003d x 3، برای

(x 3) '\u003d 3x2 با این حال، می توان به راحتی اشاره کرد که f (x) مبهم است. به عنوان f (x)، شما می توانید f (x) \u003d x 3 +1 f (x) \u003d x 3 +2 f (x) \u003d x 3 -3 و غیره

زیرا مشتق از هر یک از آنها 3x2 است. (ثابت مشتق شده 0 است). تمام این توابع از هر یک از شرایط ثابت متفاوت هستند. از این رو تصمیم مشترک وظایف را می توان به صورت F (x) \u003d x 3 + C نوشته شده است، جایی که C هر شماره معتبر ثابت است.

هر یک از توابع یافت شده f (x) نامیده می شود پیش بینی شده برای تابع f` (x) \u003d 3x2

تعریف.

تابع f (x) ابتدایی برای تابع f (x) در Gap J مشخص شده است، اگر برای همه x از این شکاف f` (x) \u003d f (x). بنابراین تابع f (x) \u003d x 3 ابتدایی برای f (x) \u003d 3x2 در (- ∞؛ ∞) است. از آنجا که برای همه x ~ r، برابری درست است: f` (x) \u003d (x 3) `\u003d 3x 2

همانطور که قبلا متوجه شده ایم، این تابع دارای یک مجموعه بی نهایت از ابتدایی است.

مثال شماره 2

این تابع برای همه در فاصله (0؛ + ∞) ابتدایی است، زیرا برای همه h از این شکاف، برابری انجام می شود.

وظیفه ادغام این است که تمام توابع ابتدایی آن را برای یک تابع مشخص پیدا کنید. در حل این کار، بیانیه زیر نقش مهمی ایفا می کند:

نشانه عملکرد پایداری اگر f "(x) \u003d 0 در برخی از شکاف من، تابع f در این فاصله دائمی است.

شواهد و مدارک.

رفع برخی از X 0 از شکاف I. سپس برای هر تعداد از چنین شکاف به دلیل فرمول لاگرانژ، شما می توانید چنین تعداد C را در بین x و x 0 قرار دهید

f (x) - f (x 0) \u003d f "(c) (x - x 0).

تحت شرایط F '(C) \u003d 0، از آنجا که با ∈1، بنابراین،

f (x) - f (x 0) \u003d 0.

بنابراین برای همه x از فاصله I

t E تابع f یک مقدار ثابت را حفظ می کند.

تمام توابع ابتدایی F را می توان با فرمول تک به نام نمای کلی از اولین تابع f منصفانه قضیه زیر ( اموال اساسی ابتدایی است):

قضیه هر ابتدا برای تابع f بر روی فاصله من می توانم ثبت شود

f (x) + c، (1) جایی که f (x) یکی از توابع ابتدایی f (x) در فاصله I است، و C ثابت دائمی است.

بگذارید این بیانیه را توضیح دهیم که در آن دو ویژگی به طور خلاصه فرموله شده اند:

1. هر تعداد برای قرار دادن بیان (1) به جای استفاده، ما ابتدایی برای F در فاصله I دریافت می کنیم؛
2. هر گونه ابتدایی F برای F در فاصله زمانی که من نمی گیرم، می توانید چنین تعداد C را انتخاب کنید که برای همه x از فاصله من برابری می شود

شواهد و مدارک.

1. با شرایط، تابع f یک ابتدایی برای f در فاصله I است. بنابراین، f "(x) \u003d f (x) برای هر x11، بنابراین (f (x) + c)" \u003d f "(x) + c "\u003d f (x) + 0 \u003d f (x)، i.e. f (x) + c یک ابتدایی برای عملکرد f است.
2. اجازه دهید f (x) یکی از توابع ابتدایی برای عملکرد F در همان شکاف I، I.E. F "(x) \u003d f (x) برای همه x∈i باشد.

سپس (f (x) - f (x)) "\u003d f" (x) -f '(x) \u003d f (x) -f (x) \u003d 0.

از اینجا این است. نیروی نشانه ای از عملکرد پایداری که تفاوت f (x) - f (x) یک تابع است که مقدار ثابت از فاصله I.

بنابراین، برای همه x از شکاف I، برابری f (x) - f (x) \u003d c، که مورد نیاز بود برای اثبات. اموال اصلی اولیه می تواند به معنای هندسی داده شود: نمودارهای هر دو توابع ابتدایی به وسیله انتقال موازی در امتداد محور OU به دست می آیند.

سوالات به انتزاعی

تابع f (x) ابتدایی برای تابع f (x) است. پیدا کردن f (1) اگر f (x) \u003d 9x2 - 6x + 1 و f (-1) \u003d 2.

پیدا کردن تمام اولین تابع

برای یک تابع (x) \u003d cos2 * sin2x، f (x) اولیه را پیدا کنید اگر f (0) \u003d 0 باشد.

برای یک تابع، ابتدایی را پیدا کنید که گراف از طریق نقطه عبور می کند

راه حل انتگرال ها وظیفه نور است، اما فقط برای انتخاب است. این مقاله برای کسانی است که می خواهند یاد بگیرند که انتگرال ها را درک کنند، اما هیچ چیز در مورد آنها یا تقریبا هیچ چیز نمی دانند. انتگرال ... چرا لازم است؟ چگونه آن را محاسبه کنیم؟ یک انتگرال خاص و نامحدود چیست؟ اگر تنها درخواست انتگرال شناخته شده برای شما این است که یک قلاب بافی را به صورت یک آیکون انتگرال دریافت کنید. چیزی مفید است سخت برای رسیدن به مکان ها، سپس خوش آمدید! یاد بگیرید چگونه به حل انتگرال ها و چرا بدون آن انجام غیر ممکن است.

ما مفهوم "انتگرال" را مطالعه می کنیم

ادغام در مصر باستان شناخته شد. البته، نه در ویدیو مدرن، اما هنوز. از آن به بعد، ریاضیات کتاب های زیادی را در این موضوع نوشت. به خصوص متمایز نیوتن و leibnits اما ماهیت چیزها تغییر نکرده است. نحوه درک انتگرال ها از ابتدا؟ به هیچ وجه! برای درک این موضوع، دانش پایه ای از مبانی تجزیه و تحلیل ریاضی هنوز هم نیاز است. این اطلاعات اساسی در مورد شما در وبلاگ ما پیدا خواهد شد.

جدایی ناپذیر

اجازه دهید ما نوعی از عملکرد داشته باشیم f (x) .

تابع انتگرال نامعلوم f (x) این ویژگی نامیده می شود f (x) ، مشتق از آن برابر با عملکرد است f (x) .

به عبارت دیگر، انتگرال یک مشتق شده بر خلاف یا ابتدایی است. به هر حال، در مورد چگونگی خواندن در مقاله ما.

پیش بینی کننده برای تمام توابع پیوسته وجود دارد. همچنین، علامت ثابت اغلب به ابتدایی اضافه می شود، زیرا مشتقات در معرض هماهنگی متفاوت است. فرآیند پیدا کردن یکپارچگی یکپارچه سازی نامیده می شود.

مثال ساده:

به طور مداوم برای محاسبه توابع ابتدایی ابتدایی، راحت است که جدول را کاهش دهید و از مقادیر آماده شده استفاده کنید:

یکپارچه سازی

داشتن معامله با مفهوم انتگرال، ما با ارزش های بی نهایت کوچک برخورد می کنیم. انتگرال کمک خواهد کرد که محاسبه شکل شکل، جرم بدن ناهمگونی، تحت مسیر حرکت ناهموار و خیلی بیشتر. باید به یاد داشته باشید که انتگرال مقدار بی نهایت است تعداد زیادی شرایط بی نهایت کوچک.

به عنوان مثال، یک برنامه برخی از عملکرد را تصور کنید. چگونه برای پیدا کردن یک منطقه از ارقام محدود شده توسط یک نمودار از عملکرد؟

با کمک انتگرال! ما تراکتوز منحنی را تقسیم می کنیم، توسط محورهای مختصات و نمودار تابع، در بخش های بی نهایت کوچک محدود می شود. بنابراین، این رقم به ستون های نازک تقسیم می شود. مجموع مساحت ستون ها منطقه تراپزی خواهد بود. اما به یاد داشته باشید که چنین محاسباتی یک نتیجه نمونه را ارائه می دهد. با این حال، بخش های کوچکتر در حال حاضر خواهد بود، دقیق تر محاسبه خواهد شد. اگر ما آنها را به اندازه ای کاهش دهیم که طول به صفر تلاش می کند، مقدار بخش ها برای منطقه این رقم تلاش می کنند. این یک انتگرال خاص است که به شرح زیر نوشته شده است:

نقاط A و B محدودیت های ادغام نامیده می شوند.

Baria Alibasov و گروه "انتگرال"

راستی! برای خوانندگان ما اکنون تخفیف 10٪ وجود دارد

قوانین برای محاسبه انتگرال برای dummies

خواص یکپارچه نامشخص

چگونه یک انتگرال نامحدود را حل کنیم؟ در اینجا ما خواص یکپارچگی نامعلوم را در نظر می گیریم، که در هنگام حل نمونه مفید خواهد بود.

• مشتق از انتگرال برابر با تابع انتگرال است:

• ثابت می تواند از علامت انتگرال ساخته شود:

• انتگرال از مقدار برابر با مقدار انتگرال است. همچنین برای تفاوت:

خواص یکپارچگی خاص

• خطی بودن:

• علامت انتگرال تغییر می کند اگر محدودیت های ادغام مبادله شود:

• برای هر چیزی نکته ها آ., ب و از جانب:

ما قبلا متوجه شده ایم که یک انتگرال خاص محدودیت مقدار است. اما چگونه می توان یک مقدار خاص را در هنگام حل مثال به دست آورد؟ برای این، یک فرمول نیوتن-لایبنیک وجود دارد:

نمونه هایی از راه حل های انتگرال

در زیر به چند نمونه از یافته ها نگاه می کنید انتگرال های نامعلوم. ما پیشنهاد می کنیم که شما مستقل از ظرافت های راه حل را درک کنید، و اگر چیزی غیر قابل درک باشد، در نظرات سوال کنید.

برای محافظت از مواد، ویدیو را در مورد چگونگی انتگرال ها در عمل ببینید. اگر انتگرال بلافاصله داده نشود، ناامید نکنید. بپرسید، و آنها را در مورد محاسبه انتگرال های همه چیز که خود را می دانند، به شما خواهند گفت. با کمک ما از هر سه برابر یا انتگرال Krivolynoe در امتداد سطح بسته به نیروها تبدیل خواهد شد.

چاپ

تعریف یک تابع ابتدایی

• تابع y \u003d f (x)نامیده می شود اولیه برای عملکرد y \u003d f (x) در یک فاصله مشخص ایکس،اگر برای همه h. ∈ H. برابری انجام می شود: f '(x) \u003d f (x)

شما می توانید به دو روش بخوانید:

1. f. تابع مشتق شده F.
2. F. ایده آل برای عملکرد f.

اموال اولیه

• اگر یک f (x)- مناسب برای عملکرد f (x) در یک شکاف داده شده، تابع f (x) بی نهایت بسیاری از ابتدایی است، و همه این ابتدایی می تواند به عنوان نوشته شده است f (x) + باجایی که C ثابت خودسرانه است.

تفسیر هندسی

• نمودارهای ابتدایی این ویژگی. f (x) به دست آمده از گراف هر یک از انتقال موازی اولیه در امتداد محور در مورد w..

قوانین محاسبه اولیه

1. اولین مقدار برابر با مجموع حقوقی است. اگر یک f (x) - پیش از آن f (x)، و g (x) ابتدایی است g (x)T. f (x) + g (x) - پیش از آن f (x) + g (x).
2. ضریب دائمی می تواند برای علامت مشتق شده ساخته شود. اگر یک f (x) - پیش از آن f (x)، من. k. - ثابت، سپس k · f (x) - پیش از آن k · f (x).
3. اگر یک f (x) - پیش از آن f (x)، من. k، B. - ثابت، و k ≠ 0T. 1 / k · f (kx + b) - پیش از آن f (kx + b).

یاد آوردن!

هر ویژگی f (x) \u003d x 2 + جایی که C ثابت دائمی است و تنها چنین عملکرد یک عمل اولیه برای عملکرد است f (x) \u003d 2x.

• مثلا:

  f "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x)؛

  f (x) \u003d 2x، زیرا f "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x)؛

  f (x) \u003d 2x، زیرا f "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x)؛

اتصال بین نمودارهای عملکرد و اولیه آن:

1. اگر نمودار تابع باشد f (x)\u003e 0 f (x) در این فاصله افزایش می یابد.
2. اگر نمودار تابع باشد f (x)<0 در فاصله زمانی، برنامه اولیه آن ابتدایی است f (x) در این فاصله کاهش می یابد.
3. اگر یک f (x) \u003d 0سپس نمودار ابتدایی او f (x) در این مرحله با کاهش افزایش (یا بالعکس) تغییر می کند.

برای تعیین، نشانه یک انتگرال نامشخص استفاده می شود، یعنی یکپارچگی بدون مشخص کردن محدودیت های ادغام.

جدایی ناپذیر

تعریف:

• یکپارچگی نامشخص از تابع f (x) عبارت F (x) + C است، یعنی ترکیبی از تمام توابع اولیه f (x). یک انتگرال نامحدود را به شرح زیر نشان می دهد: \\ int f (x) dx \u003d f (x) + c

• f (x)- به تابع یکپارچه مراجعه کنید
• f (x) dx- یک عبارت همبستگی نامیده می شود؛
• ایکس. - متغیر یکپارچه سازی تماس؛
• f (x) - یکی از توابع ابتدایی f (x)؛
• از جانب - دائمی دلخواه

خواص یک انتگرال نامحدود

1. مشتق از یک انتگرال نامحدود برابر با تابع انتگرال است: (\\ int f (x) dx) \\ prime \u003d f (x).
2. چند ضلعی دائمی بیان یکپارچه را می توان برای یک نشانه انتگرال انجام داد: \\ int k \\ cdot f (x) dx \u003d k \\ cdot \\ int f (x) dx.
3. انتگرال از مقدار (تفاوت) توابع برابر با مقدار (تفاوت) انتگرال از این توابع است: \\ int (f (x) \\ pm g (x)) dx \u003d \\ int f (x) dx \\ pm \\ int \\ int g (x) dx.
4. اگر یک k، B.- ثابت، و k ≠ 0، سپس \\ int f (kx + b) dx \u003d \\ frac (1) (k) \\ cdot f (kx + b) + c.

جدول انتگرال های اولیه و نامعلوم

تابع f (x)	چاپ f (x) + c	انتگرال های نامعلوم \\ int f (x) dx \u003d f (x) + c
0	C.	\\ int 0 dx \u003d c
f (x) \u003d k	f (x) \u003d kx + c	\\ int kdx \u003d kx + c
f (x) \u003d x ^ m، m \\ نه \u003d -1	f (x) \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + c	\\ int x (^ m) dx \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (x)	f (x) \u003d l n \\ lover x \\ rund + c	\\ int \\ frac (DX) (x) \u003d l n \\ lover x \\ rund + c
f (x) \u003d e ^ x	f (x) \u003d e ^ x + c	\\ int e (^ x) dx \u003d e ^ x + c
f (x) \u003d a ^ x	f (x) \u003d \\ frac (a ^ x) (l na) + c	\\ int a (^ x) dx \u003d \\ frac (a ^ x) (l na) + c
f (x) \u003d \\ sin x	f (x) \u003d - \\ cos x + c	\\ int \\ sin x dx \u003d - \\ cos x + c
f (x) \u003d \\ cos x	f (x) \u003d \\ sin x + c	\\ int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sin (^ 2) x)	f (x) \u003d - \\ ctg x + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sin (^ 2) x) \u003d - \\ ctg x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos (^ 2) x)	f (x) \u003d \\ tg x + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sin (^ 2) x) \u003d \\ tg x + c
f (x) \u003d \\ sqrt (x)	f (x) \u003d \\ frac (2x \\ sqrt (x)) (3) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x))	f (x) \u003d 2 \\ sqrt (x) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1-x ^ 2))	f (x) \u003d \\ arcsin x + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1 + x ^ 2))	f (x) \u003d \\ arctg x + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (1 + x ^ 2)) \u003d \\ arcttg x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2))	f (x) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2))	f (x) \u003d \\ arctg \\ frac (x) (a) + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (a) \\ arrctg \\ frac (x) (a) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (1 + x ^ 2)	f (x) \u003d \\ arctg + c	\\ int \\ frac (DX) (1 + x ^ 2) \u003d \\ arcttg + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2) (\\ not \u003d 0)	f (x) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ lerver \\ frac (x-a) (x + a) \\ rund + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ lover / frac (x-a) (x + a) \\ rund + c
f (x) \u003d \\ tg x	f (x) \u003d - l n \\ lover \\ cos x \\ rund + c	\\ int \\ tg x dx \u003d - l n \\ lover \\ cos x \\ rund + c
f (x) \u003d \\ ctg x	f (x) \u003d l n \\ lover \\ sin x \\ rund + c	\\ int \\ ctg x dx \u003d l n \\ lover \\ sin x \\ rund + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sin x)	f (x) \u003d l n \\ lover \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rund + c	\\ int \\ frac (dx) (\\ sin x) \u003d l n \\ lover \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rund + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos x)	f (x) \u003d l n \\ lover \\ tg (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rund + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ cos x) \u003d l n \\ lover \\ tg (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rund + c

فرمول نیوتن لابیتسا

بیایید f (x) این ویژگی، F. ابتدایی دلخواه او.

\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d f (x) | _ (a) ^ (b)\u003d f (b) - f (a)

جایی که f (x) - پیش از آن f (x)

یعنی تابع انتگرال f (x) فاصله زمانی برابر با تفاوت در مناظر در نقاط است ب و آ..

مربع از trapezium curvilinear

trapezium curvilinear یک شکل محدود شده توسط یک برنامه غیر منفی و مداوم در یک بخش از عملکرد محدود شده است f.، Axis Ox و راست x \u003d A. و x \u003d b..

منطقه تراکم انحنا بر اساس فرمول نیوتن لابیتا یافت می شود:

s \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx

تابع f (ایکس. ) به نام پیش بینی شده برای عملکرد f (ایکس.) در یک فاصله زمانی، اگر برای همه ایکس. برابری از این شکاف انجام می شود

f "(ایکس. ) = f.(ایکس. ) .

به عنوان مثال، یک تابع f (x) \u003d x 2 f (ایکس. ) = 2h. ، مانند

f "(x) \u003d (x 2 )" = 2x \u003d f (x). ◄

املاک اصلی ابتدایی است

اگر یک f (x) - مناسب برای عملکرد f (x) در شکاف مشخص شده، سپس عملکرد f (x) این بی نهایت بسیاری از ابتدایی است، و تمام این ابتدایی ها می توانند به عنوان نوشته شوند f (x) + باجایی که از جانب - دائمی دلخواه

مثلا. تابع f (x) \u003d x 2 + 1 یک تابع اولیه است f (ایکس. ) = 2h. ، مانند f "(x) \u003d (x 2 + 1 )" = 2 x \u003d f (x); تابع f (x) \u003d x 2 - 1 یک تابع اولیه است f (ایکس. ) = 2h. ، مانند f "(x) \u003d (x 2 - 1)" = 2x \u003d f (x) ; تابع f (x) \u003d x 2 - 3 یک تابع اولیه است f (ایکس.) = 2h. ، مانند f "(x) \u003d (x 2 - 3)" = 2 x \u003d f (x); هر ویژگی f (x) \u003d x 2 + از جانب جایی که از جانب - دائمی دلخواه، و تنها چنین عملکردی یک ابتدایی برای عملکرد است f (ایکس.) = 2h. . ◄

قوانین محاسبه اولیه

1. اگر یک f (x) - پیش از آن f (x) ، ولی g (x) - پیش از آن g (x) T. f (x) + g (x) - پیش از آن f (x) + g (x) . به عبارت دیگر، اولین مقدار برابر با مجموع حقوقی است .
2. اگر یک f (x) - پیش از آن f (x) ، من. k. - ثابت، سپس k. · f (x) - پیش از آن k. · f (x) . به عبارت دیگر، ضریب دائمی می تواند برای علامت مشتق شده ساخته شود .
3. اگر یک f (x) - پیش از آن f (x) ، من. k., ب- ثابت، و k ≠ 0 T. 1 / K. · f (k. x +ب ) - پیش از آن f.(k. x + ب) .

جدایی ناپذیر

جدایی ناپذیر از تابع f (x) نامیده می شود f (x) + بابه این ترتیب، کل کل این ویژگی اصلی این ویژگی است f (x) . یک انتگرال نامحدود را نشان می دهد، بنابراین:

∫ f (x) dx \u003d f (x) + با ,

f (x)- زنگ زدن تابع یکپارچه ;

f (x) dx - زنگ زدن بیان بتن ;

ایکس. - زنگ زدن ادغام متغیر ;

f (x) - یکی از توابع ابتدایی f (x) ;

از جانب - دائمی دلخواه

مثلا، ∫ 2 x dx \u003d.h. 2 + از جانب , ∫ cosx dx \u003d.گناه h. + از جانب و غیره. ◄

کلمه "انتگرال" از کلمه لاتین می آید عدد صحیح معنی "بازسازی" چیست؟ با توجه به یک انتگرال نامحدود از 2 ایکس. ، ما تابع را بازگردانیم h. 2 مشتق شده که برابر است 2 ایکس. . بازسازی عملکرد توسط مشتق شده آن، یا همان همان، پیدا کردن یک انتگرال نامحدود در این تابع انتگرال، نامیده می شود ادغام این ویژگی. ادغام یک عملیات، تمایز معکوس است. به منظور بررسی اینکه آیا ادغام به درستی انجام می شود، به اندازه کافی برای تغییر نتیجه و دریافت یک تابع منبع کافی است.

خواص اصلی یک انتگرال نامحدود

1. مشتق از یک انتگرال نامحدود برابر با تابع انتگرال است:

(∫ f (x) dx )" \u003d f (x) .

2. چند ضلعی دائمی بیان یکپارچه را می توان برای یک نشانه انتگرال انجام داد:

∫ k. · f (x) dx = k. · ∫ f (x) dx .

3. انتگرال از مقدار (تفاوت) توابع برابر با مقدار (تفاوت) انتگرال از این توابع است:

∫ ( f (x) ± g (x ) ) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x. ) dx .

4. اگر یک k., ب- ثابت، و k ≠ 0 T.

∫ f ( k. x + ب) dx = 1 / K. · f (k. x +ب ) + S. .

جدول انتگرال های اولیه و نامحدود

	f (x)	f (x) + c	∫ f (x) dx \u003d f (x) + با
من.	$$0$$	$$ c $$.	$$ \\ int 0dx \u003d c $$
دوم	$$ k $$$	$$ kx + c $$	$$ \\ int kdx \u003d kx + c $$
III	$$ x ^ n ~ (n \\ nq-1) $$	$$ \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + c $$	$$ \\ int x ^ ndx \u003d \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + c $$
IV	$$ \\ frac (1) (x) $$	$$ \\ ln | x | + c $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (x) \u003d \\ ln | x | + c $$
V.	$$ \\ sin x $$	$$ - \\ COS X + C $$	$$ \\ int \\ sin x ~ dx \u003d - \\ cos x + c $$
vi	$$ \\ cos x $$	$$ \\ sin x + c $$	$$ \\ int \\ cos x ~ dx \u003d \\ sin x + c $$
vii	$$ \\ frac (1) (\\ cos ^ 2x) $$	$$ \\ Textrm (TG) ~ x + c $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ cos ^ 2x) \u003d \\ textrm (tg) ~ x + c $$
هشتم	$$ \\ frac (1) (\\ sin ^ 2x) $$	$$ - \\ textrm (CTG) ~ x + c $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sin ^ 2x) \u003d - \\ textrm (ctg) ~ x + c $$
IX	$$ e ^ x $$	$$ e ^ x + c $$	$$ \\ int e ^ xdx \u003d e ^ x + c $$
ایکس.	$$ a ^ x $$	$$ \\ frac (a ^ x) (\\ ln a) + c $$	$$ \\ int a ^ xdx \u003d \\ frac (a ^ x) (\\ ln a) + c $$
Xi	$$ \\ frac (1) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) $$	$$ \\ Arcsin X + C $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin x + c $$
xii	$$ \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) $$	$$ \\ arcsin \\ frac (x) (a) + c $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + c $$
XIII	$$ \\ frac (1) (1 + x ^ 2) $$	$$ \\ textrm (Arctg) ~ x + c $$	$$ \\ int \\ frac (DX) (1 + x ^ 2) \u003d \\ textrm (Arctg) ~ x + c $$
XIV	$$ \\ frac (1) (a ^ 2 + x ^ 2) $$	$$ \\ frac (1) (a) \\ textrm (Arctg) ~ \\ frac (x) (a) + c $$	$$ \\ int \\ frac (DX) (a ^ 2 + x ^ 2) \u003d \\ frac (1) (a) \\ textrm (Arctg) ~ \\ frac (x) (a) + c $$
xv	$$ \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) $$	$$ \\ ln | x + \\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2) | + c $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) \u003d \\ ln | x + \\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2) | + c $$
XVI	$$ \\ frac (1) (x ^ 2-a ^ 2) ~ (a \\ nq0) $$	$$ \\ frac (1) (2a) \\ ln \\ begin (vmatrix) \\ frac (x-a) (x + a) \\ end (vmatrix) + c $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (x ^ 2-a ^ 2) \u003d \\ frac (1) (2a) \\ ln \\ begin (vmatrix) \\ frac (xa) (x + a) \\ end (vmatrix) + c $$.
xvii	$$ \\ textrm (TG) ~ x $$	$$ - \\ ln | \\ cos x | + c $$	$$ \\ int \\ textrm (TG) ~ x ~ dx \u003d - \\ ln | \\ cos x | + c $$
xviii	$$ \\ textrm (CTG) ~ x $$	$$ \\ ln | \\ sin x | + c $$	$$ \\ int \\ textrm (CTG) ~ x ~ dx \u003d \\ ln | \\ sin x | + c $$
xix	$$ \\ frac (1) (\\ sin x) $$	$$ \\ ln \\ begin (vmatrix) \\ textrm (tg) ~ ~ \\ frac (x) (2) \\ end (vmatrix) + c $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sin x) \u003d \\ ln \\ begin (vmatrix) \\ textrm (tg) ~ \\ frac (x) (2) \\ end (vmatrix) + c $$
xx	$$ \\ frac (1) (\\ cos x) $$	$$ \\ ln \\ begin (vmatrix) \\ textrm (tg) \\ left (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4) \\ right) \\ end (vmatrix) + c $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ cos x) \u003d \\ ln \\ begin (vmatrix) \\ textrm (tg) \\ سمت چپ (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4) \\ right ) \\ end (vmatrix) + c $$
اولین و انتگرال های نامحدود که در این جدول ارائه شده است، معمول است. جداول ابتدایی هستند و انتگرال جدول .

یکپارچه سازی

اجازه دهید در فاصله زمانی باشد [آ.; ب] تابع پیوسته مشخص شده است y \u003d f (x) ، سپس تعریف یکپارچه از A به B تعریف شده است کارکرد f (x) افزایش ابتدایی است f (x) این تابع، یعنی

$$ \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d f (x) | (_a ^ b) \u003d ~~ f (a) -f (b) $$

شماره آ.و ب به ترتیب نامیده می شود نیوزنا و بالا محدودیت ادغام

قوانین اساسی برای محاسبه یکپارچگی خاص

1. \\ (\\ int_ (a) ^ (a) f (x) dx \u003d 0 \\)؛

2. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d - \\ int_ (b) ^ (a) f (x) dx \\)؛

3. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) kf (x) dx \u003d k \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx، \\) کجا k. - مقدار ثابت؛

4. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) (f (x) ± g (x)) dx \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx ± \\ int_ (a) ^ (b) g (x) dx \\)؛

5. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d \\ int_ (a) ^ (c) f (x) dx + \\ int_ (c) ^ (x) f (x) dx \\) ؛

6. \\ (\\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx \u003d 2 \\ int_ (0) ^ (a) f (x) dx \\)، جایی که f (x) - حتی عملکرد؛

7. \\ (\\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx \u003d 0 \\)، جایی که f (x) - ویژگی عجیب و غریب

اظهار نظر . در همه موارد فرض می شود که توابع یکپارچه در فواصل عددی که مرزها محدودیت های ادغام را دارند، یکپارچه می شود.

معنای هندسی و فیزیکی یکپارچگی خاص

معنای هندسی انتگرال تعریف شده	معنی فیزیکی انتگرال تعریف شده
حوزه S. trapezium curvilinear (شکل محدود به یک برنامه مثبت پیوسته در فاصله [آ.; ب] کارکرد f (x) ، محور گاو و راست x \u003d A. , x \u003d b. ) توسط فرمول محاسبه می شود $$ s \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx. $$	مسیر s.که نقطه مادی را با حرکت مستقیم به سرعت در حال تغییر با قانون شکست می دهد v (t) ، در طول زمان a ; ب]، سپس منطقه شکل، محدود شده توسط نمودارهای این توابع و مستقیم x \u003d A. , x \u003d b. ، محاسبه شده توسط فرمول $$ s \u003d \\ int_ (a) ^ (b) (f (x) -g (x)) dx. $$
	مثلا. محاسبه مساحت خطوط محدود شکل y \u003d x 2 و y \u003d.2 - ایکس. . من به صورت طرح گرافیک این توابع را نشان خواهم داد و شکل آن را برجسته می کنم که می خواهید منطقه را پیدا کنید. برای پیدا کردن محدودیت های ادغام با حل معادله: ایکس. 2 = 2 - ایکس. ; ایکس. 2 + ایکس -2 = 0 ; ایکس. 1 = -2، ایکس. 2 = 1 . $$ s \u003d \\ int _ (- 2) ^ (1) ((2-x) -x ^ 2) dx \u003d $$
$$ \u003d \\ int _ (- 2) ^ (1) (2-xx ^ 2) dx \u003d \\ left (2x- \\ frac (x ^ 2) (2) - \\ frac (x ^ 3) (2) \\ راست) \\ bigm | (_ (- 2) ^ (~ 1)) \u003d 4 \\ frac (1) (2). $$ ◄

دامنه چرخش

	اگر بدن به عنوان یک نتیجه از چرخش در نزدیکی محور بدست آید گاو Trapezium curvilinear محدود شده توسط یک نمودار از مداوم و غیر منفی در فاصله [آ.; ب] کارکرد y \u003d f (x) و راست x \u003d A.و x \u003d b. سپس آن را نامیده می شود بدن چرخش . دامنه چرخش توسط فرمول محاسبه می شود $$ v \u003d \\ pi \\ int_ (a) ^ (b) f ^ 2 (x) dx $$ اگر بدن چرخش به عنوان یک نتیجه از چرخش شکل به دست می آید، از بالا و پایین تر از نمودارهای توابع محدود می شود y \u003d f (x) و y \u003d g (x) ، بر این اساس، سپس $$ v \u003d \\ pi \\ int_ (a) ^ (b) (f ^ 2 (x) -g ^ 2 (x)) DX. $$
	مثلا. حجم مخروطی را با شعاع محاسبه کنید r. و ارتفاع h. . یک مخروط را در یک سیستم مختصات مستطیلی قرار دهید تا محور آن با محور همخوانی داشته باشد گاو و مرکز پایه در ابتدای مختصات واقع شده است. چرخش تشکیل اب مخروط را تعیین می کند. از زمان معادله اب $$ \\ frac (x) (h) + \\ frac (y) (r) \u003d 1، $$ $$ y \u003d r- \\ frac (rx) (h) $$
و برای حجم مخروط ما $$ v \u003d \\ pi \\ int_ (0) ^ (h) (r- \\ frac (rx) (h)) ^ 2dx \u003d \\ pi r ^ 2 \\ int_ (0) ^ (h) (1- \\ frac (1- x) (h)) ^ 2dx \u003d - \\ pi r ^ 2h \\ cdot \\ frac ((1- \\ frac (x) (h)) ^ 3) (3) | (_0 ^ h) \u003d - \\ pi r ^ 2h \\ left (0- \\ frac (1) (3) \\ right) \u003d \\ frac (\\ pi r ^ 2h) (3). $$ ◄