روش ها برای محاسبه انتگرال های نامعلوم. انتگرال برای dummies: چگونه برای حل، قوانین محاسبه، توضیح

آیا ممکن است یک تابع غیر خطی تحت علامت دیفرانسیل قرار داده شود؟ بله، اگر یک عبارت جایگزینی محصول دو ضرر باشد: یک عامل یک تابع پیچیده از برخی از عملکرد غیر خطی است و عامل دیگری از این عملکرد غیر خطی حاصل می شود. در نظر بگیرید که در نمونه ها گفته شده است.

پیدا کردن انتگرال های نامعلوم

مثال 1. ∫ (2x + 1) (x 2 + x + 2) 5 dx \u003d ∫ (x 2 + x + 2) 5 d (x 2 + x + 2) \u003d (x² + x + 2) 6 : 6 + C.

این انتگرال چیست؟ محصول عملکرد قدرت از (x 2 + x + 2) و ضریب (2x + 1)، که برابر با درجه مشتق شده است: (x 2 + x + 2) "\u003d 2x + 1.

این به ما اجازه داد تا (2x + 1) را تحت نشانه دیفرانسیل قرار دهیم:

∫u 5 du \u003d U 6 : 6+ C. (فرمول 1). )

بررسی. (f (x) + c) "\u003d ((x² + x + 2) 6 : 6 + c) '\u003d 1/6 · 6 (x 2 + x + 2) 5 · (x 2 + x + 2) "\u003d

\u003d (x 2 + x + 2) 5 · (2x + 1) \u003d (2x + 1) (x 2 + x + 2) 5 \u003d f (x).

مثال 2 ∫ (3x 2 - 2x + 3) (x 3 - x 2 + 3x + 1) 5 dx \u003d ∫ (x 3 - x 2 + 3x + 1) 5 d (x 3 - x 2 + 3x + 1) \u003d

\u003d (x³ x² + 3x + 1) 6 : 6 + C.

و این مثال چگونه از مثال 1 متفاوت است؟ بله، هیچ چیز! همان درجه پنجم با پایه (x 3 - x 2 + 3x + 1) توسط سه تکه (3x 2 - 2x + 3) ضرب می شود که درجه ای درجه مشتق شده است: (x 3 - x 2 + 3x + 1) "\u003d 3x 2 - 2x + 3. این پایه ای از درجه ای است که ما تحت نشانه دیفرانسیل شکست خوردیم، که از آن مقدار بیان یکپارچه تغییر نکرده است، و سپس همان فرمول 1 را اعمال کرد). ( انتگرال)

مثال 3

در اینجا، مشتق از (2 - 3 - 3x) می دهد (6x 2 - 3)، و ما داریم

وجود دارد (12x2 - 6)، یعنی بیان در 2 بار بیشتر، به این معنی است که ما تحت نشانه ای از دیفرانسیل (2-3 - 3x) به ارمغان خواهیم آورد، و در مقابل انتگرال قرار دادن چند ضلعی 2 . فرمول را اعمال کنید 2) (ورق ).

این چیزی است که اتفاق می افتد:

بیایید بررسی کنیم، با توجه به این که:

مثال ها. پیدا کردن انتگرال های نامعلوم

1. ∫ (6x + 5) 3 DX. چگونه تصمیم خواهیم گرفت؟ ما به ورق نگاه می کنیم و ما در مورد این بحث می کنیم: انتگرال یک مدرک است، و ما یک فرمول برای یکپارچگی درجه (فرمول " 1) )، اما پایه ای وجود دارد تو و یکپارچه سازی متغیر نیز تو

و ما یکپارچگی متغیر داریم H.، و پایه و اساس درجه (6x + 5). ما جایگزین یکپارچه سازی را جایگزین خواهیم کرد: به جای DX نوشتن D (6x + 5). چه تغییر کرد؟ از آنجایی که پس از دیفرانسیل دیفرانسیل دیفرانسیل، به طور پیش فرض، چه اتفاقی می افتد،

سپس d (6x + 5) \u003d 6DX، I.E. هنگام جایگزینی متغیر X به یک متغیر (6x + 5)، تابع یکپارچه 6 بار افزایش یافت، بنابراین قبل از علامت انتگرال، ما عامل 1/6 را قرار دادیم. شما می توانید این استدلال را مانند این بنویسید:

بنابراین، ما این مثال را با معرفی یک متغیر جدید حل کردیم (متغیر x با متغیر 6x + 5 جایگزین شد). و کجا متغیر جدید (6x + 5) ثبت شد؟ تحت نشانه دیفرانسیل. از این رو، این روش معرفی یک متغیر جدید اغلب نامیده می شود روش (یا به نحوی ) صرفه جویی در(متغیر جدید ) تحت نشانه دیفرانسیل.

در مثال دوم، ابتدا یک درجه با شاخص منفی دریافت کردیم و سپس به نشانه دیفرانسیل (7x-2) منجر شد و از فرمول یکپارچه درجه استفاده کرد 1) (انتگرال ).

ما مثال مثال مثال را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد 3.

ضریب 1/5 در مقابل انتگرال وجود دارد. چرا؟ از آنجا که D (5x-2) \u003d 5Dx، پس از عمل عملکرد دیفرانسیل U \u003d 5x-2، ما 5 بار بیانگر انتگرال را افزایش دادیم، به طوری که ارزش این عبارت تغییر نمی کند - لازم بود در 5، تقسیم شود یعنی ضرب به 1/5. بعد، فرمول استفاده شد 2) (انتگرال ها) .

تمام ساده ترین فرمول های انتگرال مشاهده خواهد شد:

∫f (x) dx \u003d f (x) + cعلاوه بر این، برابری باید انجام شود:

(f (x) + c) "\u003d f (x).

فرمول ادغام را می توان با اشاره به فرمول های تمایز مربوطه به دست آورد.

واقعا

نماینده n. شاید کسری باشد اغلب شما باید یک انتگرال نامحدود از تابع y \u003d √h پیدا کنید. محاسبه انتگرال از تابع f (x) \u003d √X با استفاده از فرمول 1) .

ما این مثال را در فرمول بنویسیم 2) .

از آنجا که (x + c) "\u003d 1، سپس ∫dx \u003d x + c.

3) ∫DX \u003d x + c.

جایگزینی 1 / x² در x -2، محاسبه انتگرال از 1 / xx.

و ممکن بود این پاسخ را با درخواست تجدید نظر یک فرمول شناخته شده برای تمایز به دست آورد:

ما استدلال ما را در فرمول بنویسیم 4).

ضرب هر بخش از برابری به دست آمده 2، ما فرمول را به دست می آوریم 5).

انتگرال ها را از اصلی پیدا کنید توابع مثلثاتی، دانستن مشتقات خود: (SINX) "\u003d COSX؛ (COSX)" \u003d - SINX؛ (TGX) "\u003d 1 / coss²x؛ (CTGX)" \u003d - 1 / sin2x. ما فرمول ادغام را به دست می آوریم 6) — 9).

6) ∫COSXDX \u003d SINX + C؛

7) ∫SinxDX \u003d -COSX + C؛

پس از مطالعه توابع نشانگر و لگاریتمی، چند فرمول دیگر را اضافه کنید.

خواص اصلی یکپارچگی نامعلوم.

من. مشتق از یک انتگرال نامحدود برابر با انتگرال است .

(∫f (x) dx) "\u003d f (x).

دومدیفرانسیل یک انتگرال نامحدود برابر با بیان اولیه است.

d∫f (x) dx \u003d f (x) dx.

III انتگرال نامحدود از دیفرانسیل (مشتق شده) برخی از عملکرد برابر با مجموع این تابع و یک دائمی دلخواه C است.

∫DF (x) \u003d f (x) + cیا ∫f "(x) dx \u003d f (x) + c.

توجه: در I، II و III خواص، علائم دیفرانسیل و انتگرال (انتگرال و دیفرانسیل) "خوردن" یکدیگر!

IV یک ضریب دائمی بیان یکپارچه را می توان با علامت انتگرال به دست آورد.

∫KF (x) dx \u003d k · ∫f (x) DX،جایی که k. - یک مقدار ثابت است که برابر صفر نیست.

V.انتگرال مقدار جبری توابع برابر با مقدار جبری یکپارچه سازی از این توابع است.

∫ (f (x) ± g (x)) dx \u003d ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx.

viاگر f (x) ابتدایی برای f (x) است، و k. و ب - مقادیر دائمی، و k.≠ 0، سپس (1 / k) · f (kx + b) ابتدایی برای f (kx + b) است. در واقع، با توجه به حاکمیت محاسبه مشتق شده تابع پیچیده ما داریم:

شما می توانید بنویسید:

برای هر اقدام ریاضی اثر متضاد وجود دارد. برای تمایز (پیدا کردن توابع مشتق شده) نیز وجود دارد اقدام معکوس - ادغام. با ادغام، آنها عملکرد را با توجه به مشتق یا دیفرانسیل آن پیدا می کنند (بازسازی شده اند). تابع یافت شده نامیده می شود پیش بینی شده.

تعریف. تابع دیفرانسیل f (x) نامیده می شود اولیه برای عملکرد f (x) در یک فاصله زمانی، اگر برای همه h. برابری درست از این شکاف است: f '(x) \u003d f (x).

مثال ها. پیدا کردن توابع اولیه: 1) f (x) \u003d 2x؛ 2) f (x) \u003d 3COS3X.

1) از آنجا که (x²) '\u003d 2X، سپس، با تعریف، تابع f (x) \u003d x² یک ابتدایی برای تابع f (x) \u003d 2x خواهد بود.

2) (SIN3X) '\u003d 3COS3X. اگر شما F (x) \u003d 3COS3X و f (x) \u003d sin3x را تعیین می کنید، پس از آن، با تعریف آن، ابتدایی است، ما باید: f '(x) \u003d f (x)، و به معنی f (x) \u003d sin3x ابتدایی برای f (x) \u003d 3Cos3x است.

توجه داشته باشید که و (sin3x +5 )′= 3Cos3x، و (sin3x -8,2 )′= 3Cos3x، ... که در عمومی شما می توانید بنویسید: (sin3x + S.)′= 3Cos3xجایی که از جانب - برخی از ارزش دائمی این نمونه ها نشان دهنده ابهام عمل ادغام، در مقایسه با اقدامات تمایز، زمانی که هر تابع تمایز، یک مشتق واحد وجود دارد.

تعریف. اگر تابع f (x) یک تابع اولیه است f (x) در برخی از فاصله، سپس مجموعه ای از تمام اصلی این ویژگی ها عبارتند از:

f (x) + cجایی که C هر عدد معتبر است.

ترکیبی از تمام تابع F (x) + C f (x) در فاصله زمانی که در نظر گرفته شده است، یکپارچه نامشخص نامیده می شود و توسط نماد نشان داده شده است ∫ (نشانه انتگرال). رکورد: ∫f (x) dx \u003d f (x) + c.

اصطلاح ∫f (x) dx آنها خواندن: "انتگرال EF از x در de x".

f (x) dx - Concrentist،

f (x) - تابع یکپارچه،

h. - ادغام متغیر

f (x) - مناسب برای عملکرد f (x),

از جانب - برخی از ارزش دائمی

در حال حاضر نمونه های مورد نظر را می توان به صورت زیر نوشته شده است:

1) ∫ 2xDX \u003d x² + c. 2) ∫ 3COS3XDX \u003d SIN3X + C.

معنی D چیست؟

d - علامت دیفرانسیل - یک هدف دوگانه دارد: اول، این علامت تابع یکپارچه را از متغیر ادغام جدا می کند؛ ثانیا، همه چیز که پس از این علامت ایستاده است، به طور پیش فرض به طور پیش فرض و ضرب شده توسط تابع انتگرال است.

مثال ها. یافتن انتگرال ها: 3) ∫ 2pxdx؛ 4) ∫ 2pxdp

3) پس از نماد دیفرانسیل d. ارزشش را دارد h. H.، ولی r

∫ 2KHRDX \u003d PX² + P. مقایسه با مثال 1).

بیایید بررسی کنیم f '(x) \u003d (px² + c)' \u003d p · (x²) '+ c' \u003d p · 2x \u003d 2px \u003d f (x).

4) پس از نماد دیفرانسیل d. ارزشش را دارد r. بنابراین، متغیر ادغام rو چند برابر h. باید یک مقدار ثابت ثابت در نظر گرفته شود.

∫ 2hdr \u003d ² + s. مقایسه با نمونه ها 1) و 3).

بیایید بررسی کنیم f '(p) \u003d (p2x + c)' \u003d x · (p²) '+ c' \u003d x · 2p \u003d 2px \u003d f (p).

صفحه 1 از 1 1

راه حل انتگرال ها وظیفه نور است، اما فقط برای انتخاب است. این مقاله برای کسانی است که می خواهند یاد بگیرند که انتگرال ها را درک کنند، اما هیچ چیز در مورد آنها یا تقریبا هیچ چیز نمی دانند. انتگرال ... چرا لازم است؟ چگونه آن را محاسبه کنیم؟ یک انتگرال خاص و نامحدود چیست؟ اگر تنها درخواست انتگرال شناخته شده برای شما این است که یک قلاب بافی را به صورت یک آیکون انتگرال دریافت کنید. چیزی مفید است سخت برای رسیدن به مکان ها، سپس خوش آمدید! یاد بگیرید چگونه به حل انتگرال ها و چرا بدون آن انجام غیر ممکن است.

ما مفهوم "انتگرال" را مطالعه می کنیم

ادغام در مصر باستان شناخته شد. البته، نه در ویدیو مدرن، اما هنوز. از آن به بعد، ریاضیات کتاب های زیادی را در این موضوع نوشت. به خصوص متمایز نیوتن و leibnits اما ماهیت چیزها تغییر نکرده است. نحوه درک انتگرال ها از ابتدا؟ به هیچ وجه! برای درک این موضوع، دانش پایه ای از مبانی تجزیه و تحلیل ریاضی هنوز هم نیاز است. این اطلاعات اساسی در مورد شما در وبلاگ ما پیدا خواهد شد.

جدایی ناپذیر

اجازه دهید ما نوعی از عملکرد داشته باشیم f (x) .

تابع انتگرال نامعلوم f (x) این ویژگی نامیده می شود f (x) ، مشتق از آن برابر با عملکرد است f (x) .

به عبارت دیگر، انتگرال یک مشتق شده بر خلاف یا ابتدایی است. به هر حال، در مورد چگونگی خواندن در مقاله ما.

پیش بینی کننده برای تمام توابع پیوسته وجود دارد. همچنین، علامت ثابت اغلب به ابتدایی اضافه می شود، زیرا مشتقات در معرض هماهنگی متفاوت است. فرآیند پیدا کردن یکپارچگی یکپارچه سازی نامیده می شود.

مثال ساده:

به طور مداوم برای محاسبه توابع ابتدایی ابتدایی، راحت است که جدول را کاهش دهید و از مقادیر آماده شده استفاده کنید:

یکپارچه سازی

داشتن معامله با مفهوم انتگرال، ما با ارزش های بی نهایت کوچک برخورد می کنیم. انتگرال کمک خواهد کرد که محاسبه شکل شکل، جرم بدن ناهمگونی، تحت مسیر حرکت ناهموار و خیلی بیشتر. باید به یاد داشته باشید که انتگرال مقدار بی نهایت است تعداد زیادی شرایط بی نهایت کوچک.

به عنوان مثال، یک برنامه برخی از عملکرد را تصور کنید. چگونه برای پیدا کردن یک منطقه از ارقام محدود شده توسط یک نمودار از عملکرد؟

با کمک انتگرال! ما تراکتوز منحنی را تقسیم می کنیم، توسط محورهای مختصات و نمودار تابع، در بخش های بی نهایت کوچک محدود می شود. بنابراین، این رقم به ستون های نازک تقسیم می شود. مجموع مساحت ستون ها منطقه تراپزی خواهد بود. اما به یاد داشته باشید که چنین محاسباتی یک نتیجه نمونه را ارائه می دهد. با این حال، بخش های کوچکتر در حال حاضر خواهد بود، دقیق تر محاسبه خواهد شد. اگر ما آنها را به اندازه ای کاهش دهیم که طول به صفر تلاش می کند، مقدار بخش ها برای منطقه این رقم تلاش می کنند. این یک انتگرال خاص است که به شرح زیر نوشته شده است:

نقاط A و B محدودیت های ادغام نامیده می شوند.

Baria Alibasov و گروه "انتگرال"

راستی! برای خوانندگان ما اکنون تخفیف 10٪ وجود دارد

قوانین برای محاسبه انتگرال برای dummies

خواص یکپارچه نامشخص

چگونه یک انتگرال نامحدود را حل کنیم؟ در اینجا ما خواص یکپارچگی نامعلوم را در نظر می گیریم، که در هنگام حل نمونه مفید خواهد بود.

مشتق از انتگرال برابر با تابع انتگرال است:

ثابت می تواند از علامت انتگرال ساخته شود:

انتگرال از مقدار برابر با مقدار انتگرال است. همچنین برای تفاوت:

خواص یکپارچگی خاص

خطی بودن:

علامت انتگرال تغییر می کند اگر محدودیت های ادغام مبادله شود:

برای هر چیزی نکته ها آ., ب و از جانب:

ما قبلا متوجه شده ایم که یک انتگرال خاص محدودیت مقدار است. اما چگونه می توان یک مقدار خاص را در هنگام حل مثال به دست آورد؟ برای این، یک فرمول نیوتن-لایبنیک وجود دارد:

نمونه هایی از راه حل های انتگرال

در زیر چند نمونه از پیدا کردن انتگرال های نامعلوم را در نظر می گیرد. ما پیشنهاد می کنیم که شما مستقل از ظرافت های راه حل را درک کنید، و اگر چیزی غیر قابل درک باشد، در نظرات سوال کنید.

برای محافظت از مواد، ویدیو را در مورد چگونگی انتگرال ها در عمل ببینید. اگر انتگرال بلافاصله داده نشود، ناامید نکنید. بپرسید، و آنها را در مورد محاسبه انتگرال های همه چیز که خود را می دانند، به شما خواهند گفت. با کمک ما از هر سه برابر یا انتگرال Krivolynoe در امتداد سطح بسته به نیروها تبدیل خواهد شد.

محاسبات انتگرال

تابع چاپ

تعریف: functionf (x) نامیده می شود یک تابع اولیهfunctionf (x) در بخش، اگر در هر نقطه از این بخش برابری درست باشد:

لازم به ذکر است که ممکن است برای یک عملکرد بسیار بی نهایت وجود داشته باشد. آنها برای برخی از تعداد ثابت از یکدیگر متفاوت خواهند بود.

f 1 (x) \u003d f 2 (x) + c.

انتگرال نامشخص

تعریف: جدایی ناپذیرتابع (X) مجموعه ای از توابع ابتدایی است که توسط رابطه تعیین می شود:

رکورد:

شرط وجود یک انتگرال نامحدود در برخی از بخش، تداوم عملکرد در این بخش است.

خواص:

مثال:

پیدا کردن ارزش یک انتگرال نامحدود عمدتا به دلیل پیدا کردن یک عملکرد اولیه است. برای برخی از توابع، این یک کار نسبتا پیچیده است. موارد زیر به نظر می رسد راه های پیدا کردن انتگرال های نامعلوم برای کلاس های پایه توابع - منطقی، غیر منطقی، مثلثاتی، نشانگر و غیره

برای راحتی، اهمیت انتگرال های نامعلوم اکثر توابع ابتدایی به جداول انتگرال ویژه ای که گاهی اوقات بسیار زیاد هستند، مونتاژ می شوند. آنها شامل ترکیبات رایج ترین توابع هستند. اما اکثر فرمول های ارائه شده در این جداول، پیامدهای یکدیگر هستند، بنابراین زیر جدول انتگرال های اصلی که شما می توانید مقادیر انتگرال های نامعلوم از توابع مختلف را دریافت کنید.

انتگرال	مقدار	انتگرال	مقدار

	lnsinx + c.



	لوگاریتم.

روشهای ادغام

سه روش یکپارچه سازی اساسی را در نظر بگیرید.

ادغام مستقیم

روش ادغام مستقیم بر اساس فرض یک مقدار احتمالی یک عملکرد ابتدایی با تایید بیشتر این مقدار به تمایز است. به طور کلی، ما یادآوری می کنیم که تمایز یک ابزار قدرتمند برای بررسی نتایج ادغام است.

استفاده از این روش را با استفاده از مثال در نظر بگیرید:

نیاز به ارزش انتگرال دارد . بر اساس فرمول تمایز شناخته شده
می توان نتیجه گرفت که یکپارچگی مورد نظر برابر است
جایی که C یک عدد ثابت است. با این حال، از سوی دیگر
. بنابراین، ما می توانیم در نهایت نتیجه گیری کنیم:

توجه داشته باشید که در مقایسه با تمایز، جایی که، برای پیدا کردن یک تکنیک مشتق شده و روش های واضح، قوانین برای پیدا کردن یک مشتق شده، در نهایت تعیین مشتق شده، برای ادغام چنین روش هایی در دسترس نیست. اگر، هنگامی که مشتق را پیدا می کنید، ما از آن استفاده کردیم، به طوری که روش های سازنده ای را که براساس قوانین خاص به دست می آید، به دست آوردیم، پس از پیدا کردن یک اولیه، لازم است که به طور کامل بر دانش جداول مشتقات تکیه کنیم اولیه.

همانطور که برای روش ادغام مستقیم، فقط برای برخی از کلاس های بسیار محدود از توابع قابل استفاده است. توابع که ممکن است برای پیدا کردن یک اولیه بسیار کمی از رفتن پیدا کنید. بنابراین، در اغلب موارد، روش های شرح داده شده در زیر استفاده می شود.

روش جایگزینی (جایگزینی متغیرها).

قضیه: اگر می خواهید یک انتگرال پیدا کنید
اما دشوار است برای پیدا کردن یک ابتدایی، سپس با جایگزینی x \u003d  (t) anddx \u003d  (t)، DTP:

شواهد و مدارک : تمایز برابری پیشنهادی:

پس از بررسی توسط اموال شماره 2 یک انتگرال نامحدود:

f.(ایکس.) dx = f.[  (t.)]  (t.) dt

با توجه به اهداف معرفی شده و فرض اولیه است. قضیه ثابت شده است.

مثال.یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید
.

ما جایگزین خواهیم شد t. = sINX, dt = cosxdt.

مثال.

جایگزینی
ما گرفتیم:

در زیر نمونه های دیگری از استفاده از روش جایگزینی برای انواع مختلف توابع در نظر گرفته می شود.

ادغام در قطعات.

این روش بر اساس فرمول شناخته شده مشتق شده از کار است:

(UV)  \u003d uv + vu

جایی که UIV برخی از توابع از x است.

در فرم دیفرانسیل: D (UV) \u003d UDV + VDU

ادغام، ما دریافت می کنیم:
، و مطابق با خواص یک انتگرال نامحدود در بالا:

یا
;

فرمول ادغام را در قطعات دریافت کرد، که اجازه می دهد تا انتگرال های بسیاری از توابع ابتدایی.

مثال.

همانطور که دیده می شود، استفاده متوالی از فرمول ادغام در قطعات به شما اجازه می دهد تا به تدریج عملکرد را ساده تر کنید و انتگرال را به جدول بدهید.

مثال.

این می تواند دیده شود که به عنوان یک نتیجه از استفاده مجدد از ادغام در بخش ها، عملکرد نتوانست جدول را ساده کند. با این حال، آخرین انتگرال به دست آمده از منبع متفاوت نیست. بنابراین، ما آن را به سمت چپ برابری حرکت می دهیم.

بنابراین، انتگرال بدون استفاده از جداول انتگرال یافت می شود.

قبل از بررسی دقیق روش های ادغام کلاس های مختلف توابع، ما چند نمونه دیگر از پیدا کردن انتگرال های نامعلوم را با آوردن آنها به جدولی ارائه می دهیم.

مثال.

ادغام بخش های ابتدایی.

تعریف: ابتداییفراوانی چهار نوع زیر نامیده می شود:

من.
III

دوم
IV

متر، n- عدد صحیح (m2، n2) IB 2 - 4AC<0.

اولین دو نوع انتگرال از بخش های ابتدایی به راحتی به جدول جایگزینی T \u003d AX + B اشاره می شود.

روش یکپارچه سازی فراکسیون های ابتدایی نوع III را در نظر بگیرید.

انتگرال کسری از فرم III در فرم ارائه می شود:

در اینجا، به طور کلی، نشان داده شده است که انتگرال از یک بخش از فرم IIIO به دو انتگرال میز را به ارمغان بیاورد.

استفاده از فرمول بالا را در نمونه ها در نظر بگیرید.

مثال.

به طور کلی، اگر سه ستاره 2 + BX + Ensepassb 2 - 4AC\u003e 0، پس از آن، کسری با تعریف ابتدایی نیست، اما می تواند این روش را که در بالا ذکر شد، ادغام شود.

مثال.

ما اکنون روش های یکپارچه سازی ساده ترین بخش های IVTP را در نظر می گیریم.

اول، مورد خاص را در m \u003d 0، n \u003d 1 در نظر بگیرید.

سپس یکپارچه از دیدگاه
ممکن است در پایگاه داده یک مربع کامل به شکل یک مربع کامل ارائه شود
. بیایید تحول زیر را انجام دهیم:

انتگرال دوم وارد شدن به این برابری، قطعات را می گیرد.

مشخص کن:

برای انتگرال منبع ما دریافت می کنیم:

فرمول نتیجه نامیده می شود مکرراگر شما ITN-1 زمان را اعمال می کنید، یکپارچگی جدول خواهد بود
.

اجازه دهید ما را به انتگرال از بخش ابتدایی نوع IVT از پرونده عمومی بازگردانیم.

در برابری حاصل، اولین انتگرال توسط جایگزینی t. = تو 2 + s.واقع در جدول ، و فرمول مکرر در نظر گرفته شده در بالا به یک انتگرال دوم اعمال می شود.

علیرغم پیچیدگی ظاهری ادغام بخش ابتدایی فرم IV، آسان است برای استفاده به اندازه کافی برای کسری با درجه کوچک n.، و تطبیق پذیری و عمومی بودن این روش باعث می شود که اجرای بسیار ساده این روش بر روی کامپیوتر باشد.

مثال:

ادغام توابع منطقی

ادغام کسرهای منطقی

به منظور ادغام کسری منطقی، لازم است آن را بر روی کسرهای ابتدایی تجزیه کنید.

قضیه: اگر یک
- کسری صحیح منطقی، نامزدی (x) که به عنوان یک محصول از ضریب خطی و درجه دوم نشان داده می شود (ما توجه می کنیم که هر چند جملهای با ضرایب معتبر را می توان در این فرم نشان داد: پ.(ایکس.) = (ایکس. - آ.)  …(ایکس. - ب)  (ایکس. 2 + pX + q.)  …(ایکس. 2 + rX + s.)  )، سپس این کسری را می توان بر روی طرح ابتدایی زیر تجزیه کرد:

جایی که من، B I، M I، N I، R I، \u200b\u200bS من مقادیر دائمی هستم.

در ادغام کسرهای عقلانی، آن را به تجزیه کسر اولیه در ابتدایی متوسل می شود. برای پیدا کردن مقدار I، B I، M I، N I، R I، \u200b\u200bS I، استفاده از به اصطلاح روش ضرایب نامشخصماهیت این است که به منظور دو چندجمله ای که به طور یکسان برابر است، لازم است و به اندازه کافی برابر با ضرایب با همان درجه X است.

استفاده از این روش در یک مثال خاص مورد توجه قرار می گیرد.

مثال.

هنگامی که منجر به یک علامت مشترک و معادل اعداد مربوطه می شود، ما دریافت می کنیم:

مثال.

زیرا کسری اشتباه است، پس باید کل قسمت را برجسته کنید:

6x 5 - 8x 4 - 25x 3 + 20x 2 - 76x- 7 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6

6x 5 - 8X 4 - 34X 3 + 12X 2 2X 2 + 3

9x 3 + 8x 2 - 76x - 7

9x 3 - 12x 2 - 51x +18

20x 2 - 25x - 25

جانباز از کسر حاصل از ضریب ها را گسترش دهید. می توان دید که در x \u003d 3 نامزد، Fraci به صفر تبدیل می شود. سپس:

3x 3 - 4x 2 - 17x + 6x- 3

3x 3 - 9x 2 3x 2 + 5x- 2

بنابراین، 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 \u003d (x- 3) (3x 2 + 5x- 2) \u003d (x- 3) (x + 2) (3x-1). سپس:

به منظور اجتناب از زمانی که شما ضرایب افشای نامشخص، گروه بندی و حل یک سیستم معادلات را پیدا کنید (که در بعضی موارد ممکن است بسیار بزرگ باشد) به اصطلاح استفاده می شود روش مقادیر دلخواه. ماهیت روش این است که بیان به دست آمده در بالا به طور متناوب (با توجه به تعداد ضرایب نامشخص) ارزش های دلخواه X است. برای ساده سازی محاسبات، آن را به عنوان مقادیر دلخواه پذیرفته شده است تا نقاطی را که در آن DenoMoter صفر باشد، پذیرفته شود. در مورد ما - 3، -2، 1/3. ما گرفتیم:

ما در نهایت دریافتیم:

مثال.

پیدا کردن ضرایب نامشخص:

سپس مقدار انتگرال مشخص شده:

ادغام برخی از مثلثات

کارکرد.

انتگرال از توابع مثلثاتی ممکن است بی نهایت زیادی باشد. اکثر این انتگرال ها را نمی توان تحلیلی محاسبه کرد، بنابراین برخی را در نظر بگیرید انواع اصلی توابع که همیشه می توانند یکپارچه شوند.

دیدگاه یکپارچه
.

در اینجا، R - تعیین برخی از عملکرد منطقی از variablessinxacosx.

انتگرال های این گونه توسط جایگزینی محاسبه می شود
. این جایگزینی به شما اجازه می دهد تا عملکرد مثلثاتی را به عقلانیت تبدیل کنید.

سپس

به این ترتیب:

تحول توصیف شده در بالا نامیده می شود جایگزینی مثلثاتی جهانی.

مثال.

مزیت بدون شک از این جایگزینی این است که همیشه ممکن است عملکرد مثلثاتی را به عقلانیت تبدیل کند و انتگرال مربوطه را محاسبه کند. معایب این واقعیت را شامل می شود که هنگام تبدیل آن ممکن است یک تابع منطقی پیچیده را تبدیل کند، ادغام آن زمان و قدرت زیادی را می گیرد.

با این حال، اگر غیر ممکن است جایگزینی منطقی تر از متغیر استفاده شود، این روش تنها یک مورد است.

مثال.

دیدگاه یکپارچه
اگر یک

تابعR.کاسک.

علیرغم امکان محاسبه چنین انتگرال با جایگزینی مثلثاتی جهانی، منطقی تر برای جایگزینی جایگزینی t. = sINX.

تابع
این ممکن است به عنوان بسیاری از در درجه های حتی در درجه، و بنابراین، می توان آن را می توان به یک عملکرد منطقی از entivesinx تبدیل شده است.

مثال.

به طور کلی، برای استفاده از این روش، تنها عجیب و غریب عملکرد نسبت به کوزین مورد نیاز است، و درجه سینوسی که در تابع گنجانده شده است می تواند هر دو در هر دو کسری باشد.

دیدگاه یکپارچه
اگر یک

تابعR. عجیب استsINX.

به طور مشابه با مورد مورد بحث در بالا، تعویض t. = کاسک.

مثال.

دیدگاه یکپارچه

تابعR. حتی در موردsINX وکاسک.

برای تبدیل عملکرد RV، جایگزینی استفاده می شود

t \u003d tgx

مثال.

آثار انتگرال سینوس ها و کوزین

استدلال های مختلف

بسته به نوع محصول، یکی از سه فرمول اعمال خواهد شد:

مثال.

گاهی اوقات، هنگام ادغام توابع مثلثاتی، مناسب برای استفاده از فرمول های سه گانه شناخته شده برای کاهش نظم توابع است.

مثال.

گاهی اوقات برخی از تکنیک های غیر استاندارد اعمال می شود.

مثال.

ادغام برخی از توابع غیر منطقی

نه هر تابع غیر منطقی ممکن است یکپارچه با توابع ابتدایی بیان شود. برای پیدا کردن انتگرال از عملکرد غیر منطقی، یک جایگزین را اعمال کنید که اجازه می دهد تبدیل یک تابع به عقلانی، انتگرال که همیشه می تواند یافت شود.

برخی از تکنیک ها را برای ادغام انواع مختلف توابع غیر منطقی در نظر بگیرید.

دیدگاه یکپارچه
جایی کهn.- عدد طبیعی.

با کمک جایگزینی
این تابع منطقی است.

مثال.

اگر ترکیب عملکرد غیر منطقی شامل ریشه های درجه های مختلف باشد، سپس به عنوان یک متغیر جدید، به طور منطقی ریشه درجه برابر با کوچکترین درجه چند کل ریشه های موجود در عبارت است.

ما این را در مثال نشان خواهیم داد.

مثال.

ادغام تفاوت های دیوممین.

تعریف: دیفرانسیل Bininominalنامیده می شود

ایکس. m. (آ. + bx n. ) پ. dx

جایی که m., n., و پ.– اعداد گویا.

همانطور که توسط آکادمی Chebyshev P.L. (1821-1894)، انتگرال از دیفرانسیل دیوممین را می توان از طریق توابع ابتدایی تنها در سه مورد زیر بیان کرد:

اگر یک r- یک عدد صحیح، پس از آن یک انتگرال با جایگزینی منطقی است

کجا - یک نام مشترک m.و n..

یک مرور کلی از روش ها برای محاسبه انتگرال های نامعلوم وجود دارد. روشهای اصلی ادغام شامل ادغام مقدار و تفاوت، ایجاد یک نشانه انتگرال دائمی، جایگزین متغیر، ادغام در قطعات. روش های ویژه و تکنیک های ادغام فراکسیون ها، ریشه ها، مثلثات و توابع نشانگر.

یکپارچه سازی و انتگرال نامحدود

ابتدای F (x) از تابع f (x) چنین تابع است، مشتق از آن برابر با f (x) است:
f '(x) \u003d f (x)، x ∈ Δ,
جایی که Δ - شکاف که این معادله انجام می شود.

کلیه تمام اولیه، یکپارچگی نامشخص نامیده می شود:
,
جایی که C ثابت است، مستقل از متغیر x است.

فرمول های اساسی و روش های ادغام

انتگرال جدول

هدف نهایی محاسبه انتگرال های نامعلوم - توسط تحول ها، تعریف انتگرال مشخص شده به بیان حاوی ساده ترین یا انتگرال های جدولی را مشخص می کند.
انتگرال های جدول را ببینید \u003e\u003e\u003e

حکم ادغام مبلغ (تفاوت)

ایجاد یک نشانه انتگرال دائمی

اجازه دهید C ثابت، مستقل از X باشد. سپس آن را می توان برای نشانه انتگرال ارسال کرد:

جایگزینی متغیر

اجازه دهید x یک تابع از متغیر t، x \u003d φ (t) باشد، سپس
.
یا بالعکس، t \u003d φ (x)
.

با جایگزینی متغیر، شما نه تنها می توانید انتگرال های ساده را محاسبه کنید، بلکه همچنین برای ساده سازی محاسبات پیچیده تر.

قوانین ادغام در قطعات

ادغام کسرها (توابع منطقی)

ما تعیین را معرفی می کنیم. اجازه دهید p k (x)، q m (x)، r n (x) توسط درجه k، m، n، نسبت به متغیر X نشان داده شود.

جدایی ناپذیر متشکل از فراکسیون چندجملهای (به اصطلاح عملکرد منطقی):

اگر k ≥ n، ابتدا شما باید کل قسمت از Fraci را برجسته کنید:
.
انتگرال از چند جمله ای S K-N (X) توسط جدول انتگرال محاسبه می شود.

انتگرال باقی مانده است:
جایی که M.< n .
برای محاسبه آن، انتگرال باید بر روی ساده ترین بخش تجزیه شود.

برای انجام این کار، ریشه های معادله را پیدا کنید:
q n (x) \u003d 0.
با استفاده از ریشه های به دست آمده، شما نیاز به نشان دادن مخزن در قالب کار عوامل:
q n (x) \u003d s (x - a) n a (x - b) n b ... (x 2 + ex + f) n e (x 2 + gx + k) n g ....
در اینجا S ضریب x n، x 2 + ex + f\u003e 0، x 2 + gx + k\u003e 0، ....

پس از آن، کسری را در ساده ترین تجزیه می کند:

ادغام، ما یک عبارت متشکل از انتگرال های ساده تر به دست می آوریم.
انتگرال های نوع

T \u003d X - A به ایستگاه میز داده می شود.

انتگرال را در نظر بگیرید:

ما عددی را تبدیل می کنیم:
.
با توجه به انتگرال، ما بیان را دریافت می کنیم که در آن دو انتگرال شامل موارد زیر می شوند:
,
.
اول، جایگزینی T \u003d x 2 + EX + F به جدول داده می شود.
دوم، با توجه به فرمول آوردن:

واقع در انتگرال

ما به مجموع مربعات اشاره می کنیم:
.
سپس جایگزینی، انتگرال

این نیز به جدول ارائه شده است.

ادغام عملکرد غیر منطقی

ما تعیین را معرفی می کنیم. اجازه دهید R (U 1، U 2، ...، U N) به معنی عملکرد منطقی از متغیرهای U 1، U 2، ...، U N. من
,
جایی که P، Q چندجملهای از متغیرها U 1، U 2، ...، U N است.

غیر منطقی خطی

انتگرال های فرم را در نظر بگیرید:
,
کجا - اعداد عقلانی، m 1، n 1، ...، m s، n s عدد صحیح هستند.
اجازه دهید n یک عنصر رایج از اعداد R 1، ...، R S باشد.
سپس انتگرال به انتگرال از توابع عقلانی جایگزینی می رسد:
.

انتگرال از دیفرانسیل دیفرانسیل

انتگرال را در نظر بگیرید:
,
جایی که M، N، P اعداد منطقی، A، B - شماره های معتبر است.
چنین انتگرال ها به سه مورد به انتگرال ها از توابع عقلانی کاهش می یابد.

1) اگر P یک عدد صحیح است. جایگزینی x \u003d t n، جایی که n کل معانی از فراکسیون M و N است.
2) اگر - کل. جایگزینی a x n + b \u003d t m، جایی که m تعداد اعداد p است.
3) اگر - یک کل. جایگزینی A + B x - n \u003d t m، جایی که m نامزدی از شماره P است.

اگر هیچ کدام از این سه عدد یک عدد صحیح نیست، پس با توجه به قضیه Chebyshev، انتگرال های این گونه را نمی توان با ترکیبی نهایی از توابع ابتدایی بیان کرد.

در بعضی موارد، ابتدا مفید است که مقادیر M و P راحت تر را به دست آورید. این را می توان با استفاده از فرمول ها انجام داد:
;
.

انتگرال های حاوی ریشه مربع مربع سه

در اینجا ما انتگرال های فرم را در نظر می گیریم:
,

جایگزینی اویلر

چنین انتگرال ها را می توان به انتگرال ها از توابع عقلانی یکی از سه جایگزین اویلر کاهش داد:
، با a\u003e 0؛
، با c\u003e 0؛
جایی که x 1 ریشه معادله x 2 + b x + c \u003d 0 است. اگر این معادله ریشه های معتبر داشته باشد.

ایستگاه های مثلثاتی و هیپربولیک

روش های مستقیم

در اغلب موارد، جایگزینی اویلر منجر به محاسبات طولانی تر از روش های مستقیم می شود. با روش های مستقیم، انتگرال به یکی از گونه های ذکر شده در زیر داده می شود.

من تایپ می کنم

انتگرال فرم:
,
جایی که P n (x) یک درجه چندجملهای N است.

چنین انتگرال ها روش ضرایب نامشخص با استفاده از هویت هستند:

تمایز این معادله و معادل قطعات چپ و راست، ضرایب من را پیدا می کنیم.

II نوع

انتگرال فرم:
,
جایی که P M (X) یک درجه چندجملهای متر است.

جایگزینی t \u003d. (x - α) -1 این انتگرال به نوع قبلی هدایت می شود. اگر m ≥ n، پس از آن کسری باید به کل بخش اختصاص داده شود.

III نوع

سومین نوع و پیچیده ترین نوع:
.

در اینجا شما نیاز به جایگزینی دارید:
.
پس از آن یکپارچگی فرم را انجام می دهد:
.
بعد، α دائمی، β، شما باید انتخاب کنید که ضرایب در T به صفر برسد:
b \u003d 0، b 1 \u003d 0.
سپس یکپارچگی مجموع انتگرال های دو نوع را تجزیه می کند:
;
,
که به ترتیب یکپارچه هستند، جایگزینی:
z 2 \u003d a 1 t 2 + c 1؛
y 2 \u003d a 1 + c 1 t -2.

عمومی

ادغام توابع متعالی (مثلثاتی و نشانگر)

ما در پیشبرد یادآوری می کنیم که روش هایی که برای توابع مثلثاتی قابل استفاده هستند نیز برای توابع هیپربولیک قابل استفاده هستند. به همین دلیل ما ادغام توابع هیپربولیک را به طور جداگانه در نظر نمی گیریم.

ادغام توابع سه گانه عقلانی از COS X و SIN X

انتگرال ها را از توابع مثلثاتی از فرم در نظر بگیرید:
,
جایی که R یک تابع منطقی است. این همچنین می تواند شامل حساسیت و نانوایی باشد که باید از طریق سینوس ها و کوزین ها تبدیل شود.

هنگام ادغام چنین توابع، مفید است که سه قانون را حفظ کنید:
1) اگر R ( cOS X، SIN X) از تغییر علامت در مقابل یکی از مقادیر، ضرب شده توسط -1 cOS X. یا گناه X، مفید است که یکی دیگر از آنها را شناسایی کنید.
2) اگر R ( cOS X، SIN X) از تغییر نشانه به طور همزمان تغییر نمی کند cOS X. و گناه X، مفید است tg x \u003d t یا ctg x \u003d t.
3) جایگزینی در همه موارد منجر به یکپارچگی از کسری عقلانی می شود. متأسفانه این جایگزینی منجر به محاسبات طولانی تر از گذشته می شود، اگر آنها قابل اجرا باشند.

تولید توابع قدرت از COS X و SIN X

انتگرال های فرم را در نظر بگیرید:

اگر M و N اعداد عقلانی باشند، سپس یکی از جایگزینی t \u003d گناه X یا t \u003d cOS X. انتگرال به انتگرال از باینوم دیفرانسیل کاهش می یابد.

اگر M و N عدد صحیح باشند، انتگرال ها با ادغام در قطعات محاسبه می شوند. در عین حال، فرمول های زیر به دست می آیند:

;
;
;
.

ادغام در قطعات

استفاده از فرمول اویلر

اگر انتگرال به طور خطی نسبت به یکی از توابع خطی باشد
تبر COS یا sIN AXمناسب برای اعمال فرمول اویلر است:
e iax \u003d. cOS AX + ISIN AX (جایی که من 2 \u003d - 1 ),
جایگزینی این ویژگی در e iax و برجسته کردن معتبر (هنگام جایگزینی تبر COS) یا بخش خیالی (هنگام جایگزینی sIN AX) از نتیجه به دست آمده.

منابع:
n.m. Gunter، R.O. Kuzmin، مجموعه وظایف در ریاضیات بالاتر، "LAN"، 2003.

پیش از این، بر روی یک تابع مشخص، هدایت شده توسط فرمول های مختلف و قوانین، ما متوجه شد که آن را مشتق شده است. مشتق شده دارای برنامه های متعدد است: این سرعت حرکت (یا، خلاصه، میزان نشت هر فرآیند) است؛ ضریب گوشه مماس برای عملکرد گرافیک؛ با استفاده از مشتق شده، می توانید عملکرد را بر روی یکنواخت و افراطون کشف کنید؛ این کمک می کند تا وظایف بهینه سازی را حل کند.

اما همراه با وظیفه پیدا کردن سرعت در یک قانون شناخته شده، مشکل معکوس نیز یافت می شود - وظیفه بازگرداندن قانون جنبش در سرعت شناخته شده است. یکی از این وظایف را در نظر بگیرید.

مثال 1 نقطه مادی در حال حرکت در امتداد مستقیم، میزان حرکت آن در زمان T توسط فرمول V \u003d GT داده می شود. قانون جنبش را پیدا کنید
تصمیم گیری اجازه دهید S \u003d S (T) قانون مورد نظر جنبش باشد. شناخته شده است که S "(t) \u003d v (t). بنابراین، برای حل مشکل، لازم است که تابع S \u003d S (T) را انتخاب کنید، مشتق از آن GT است. این دشوار نیست که حدس بزنید \\ (s (t) \u003d \\ frac (gt ^ 2) (2) \\). در واقع
\\ (s "(t) \u003d \\ left (\\ frac (gt ^ 2) (2) \\ right)" \u003d \\ frac (g) (2) (t ^ 2) "\u003d \\ frac (g) (2) \\ CDOT 2T \u003d GT \\)
پاسخ: \\ (S (t) \u003d \\ frac (gt ^ 2) (2) \\)

بلافاصله توجه داشته باشید که مثال درست، اما ناقص است. ما \\ (s (t) \u003d \\ frac (gt ^ 2) (2) \\) \\). در حقیقت، این کار بی نهایت بسیاری از راه حل ها: هر تابع از فرم \\ (s (t) \u003d \\ frac (gt ^ 2) (2) + c \\)، جایی که C ثابت دائمی است، می تواند به عنوان یک قانون خدمت کند جنبش، به دلیل \\ (\\ left (\\ frac (gt ^ 2) (2) + c \\ right) "\u003d GT \\)

برای وظیفه تبدیل شدن به خاصیت بیشتر، ما نیاز به رفع وضعیت اولیه: مشخص کردن مختصات نقطه حرکت در برخی از نقطه در زمان، به عنوان مثال، در t \u003d 0. اگر، S (0) \u003d S 0، سپس از برابری S (t) \u003d (GT 2) / 2 + C ما به دست می آوریم: S (0) \u003d 0+ S، I.E. C \u003d S 0. در حال حاضر قانون حرکت منحصر به فرد است: S (T) \u003d (GT 2) / 2 + S 0.

در ریاضیات، عملیات متقابل معکوس نام های مختلف اختصاص داده شده، اختراع نام های ویژه، به عنوان مثال: ساخت یک مربع (x 2) و استخراج ریشه دوم (\\ (\\ sqrt (x) \\))، سینوس (sin x) و arcsinus (arcsin x)، و غیره فرایند پیدا کردن یک مشتق شده بر اساس یک تابع داده شده به نام تفکیک، و عملیات معکوس، به عنوان مثال، فرایند پیدا کردن یک تابع بر اساس یک مشتق شده داده شده - ادغام.

اصطلاح "مشتق شده" خود می تواند "کاهش" را توجیه کند: عملکرد y \u003d f (x) "یک تابع جدید را در" \u003d F "(X) تولید می کند. تابع y \u003d f (x) عمل می کند به عنوان آن را به عنوان "پدر و مادر"، اما ریاضیات، به طور طبیعی، آن را "پدر و مادر" یا "تولید کننده"، آنها می گویند که این است، با توجه به عملکرد، "\u003d f "(X)، تصویر اولیه یا ابتدایی.

تعریف. تابع y \u003d f (x) اولیه برای تابع y \u003d f (x) در دوره X نامیده می شود، اگر برای \\ (x \\ in x \\) برابری f "(x) \u003d f (x)

در عمل، فاصله X معمولا نشان داده نمی شود، اما به معنای (به عنوان یک منطقه تعریف طبیعی طبیعی) است.

ما نمونه ها را ارائه می دهیم
1) تابع y \u003d x 2 یک ابتدایی برای عملکرد y \u003d 2x است، از آنجا که برای هر X برابری (x 2) "\u003d 2x
2) تابع y \u003d x 3 یک ابتدایی برای عملکرد y \u003d 3x2، از آنجا که برای هر برابری X (x 3) "\u003d 3x 2
3) تابع تابع y \u003d sin (x) یکی از بدوی برای تابع Y \u003d COS (X) است، چرا که برای هر برابری X (گناه (x)) "\u003d COS (X)

هنگام پیدا کردن اولیه، و همچنین مشتقات، نه تنها فرمول ها، بلکه برخی از قوانین نیز استفاده می شود. آنها به طور مستقیم به قوانین مربوط برای محاسبه مشتقات مربوط.

ما می دانیم که مشتق از مقدار به مقدار مشتقات برابر است. این قانون حاکمیت مناسب برای پیدا کردن اولیه را ایجاد می کند.

قانون 1 مقدار اول شکل برابر با مقدار ابتدایی است.

ما می دانیم که ضریب دائمی می تواند برای نشانه ای از مشتق شده باشد. این قانون حاکمیت مناسب برای پیدا کردن اولیه را ایجاد می کند.

قانون 2 اگر f (x) اولیه برای f (x) باشد، KF (x) ابتدایی برای kf (x) است.

تئوری 1. اگر y \u003d F (x) یکی از بدوی برای تابع \u003d Y تابع f (x) باشد، آنگاه تابع \\ (Y \u003d \\ FRAC (1) (K) F (KX + متر) برای تابع معتبر است \\ (Y \u003d \\ FRAC (1) (K) F (KX + M) \\)

قضیه 2. اگر y \u003d f (x) ابتدایی برای تابع y \u003d f (x) در دوره X باشد، پس تابع y \u003d f (x) بی نهایت بسیاری از ابتدایی است، و همه آنها فرم y \u003d f (x) + C.

روشهای ادغام

روش جایگزینی یک متغیر (روش جایگزینی)

روش ادغام جایگزینی این است که یک متغیر یکپارچه جدید را معرفی کنیم (یعنی جایگزینی). در همان زمان، انتگرال مشخص شده باشد به انتگرال جدید، که جدول ارائه شده و یا به آن کاهش می یابد. روش های معمول انتخاب جایگزینی وجود ندارد توانایی به درستی تعیین جایگزینی توسط تمرین به دست می آید.
اجازه دهید ما انتگرال محاسبه \\ (\\ سبک متنی \\ INT تابع f (x) DX \\). ما جایگزین \\ (x \u003d \\ varphi (t) \\) را ایجاد می کنیم که در آن \\ (\\ varphi (t) \\) یک تابع با مشتق مداوم است.
سپس \\ (DX \u003d \\ varphi "(T) \\ فرمود DT \\) و بر اساس اموال از تغییر ناپذیری از فرمول ادغام انتگرال نامعین، ما فرمول ادغام جایگزینی به دست آوردن:
\\ (\\ int f (x) dx \u003d \\ int f (\\ varphi (t)) \\ cdot \\ varphi "(t) dt \\)

ادغام عبارات فرم \\ (\\ texttyle \\ int \\ int \\ sin ^ n x \\ cos ^ m x dx \\)

اگر M فرد است، M\u003e 0، آن را راحت تر به گناه تعویض X \u003d t است.
اگر n عجیب و غریب باشد، n\u003e 0، راحت تر است که جایگزین COS X \u003d T باشد.
اگر N و M خوانده شده، آن را راحت تر را به جایگزینی برای TG X \u003d t است.

ادغام در قطعات

ادغام در قطعات - استفاده از فرمول زیر برای ادغام:
\\ (\\ texttyle \\ int u \\ cdot dv \u003d u \\ cdot v - \\ int v \\ cdot du \\)
یا:
\\ (\\ texttyle \\ int u \\ cdot v "\\ cdot dx \u003d u \\ cdot v - \\ int v \\ cdot u \\ cdot dx \\)

جدول انتگرال های نامحدود (ابتدایی) برخی از توابع

$$ \\ int 0 \\ cdot dx \u003d c $$$$ \\ int 1 \\ cdot dx \u003d x + c $$$$ \\ int x ^ n dx \u003d \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + c \\؛ \\؛ (n \\ neq -1) $$$$ \\ int \\ frac (1) (x) dx \u003d \\ ln | x | + C $$$$ \\ int e ^ x dx \u003d ^ x + c $$$$ \\ int a ^ x dx \u003d \\ frac (a ^ x) (\\ ln a) + c \\؛ \\؛ (a\u003e 0، \\؛ \\ nq 1) $$$$ \\ int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + c $$$$ \\ int \\ sin x dx \u003d - \\ cos x + c $$$ $ \\ int \\ frac (dx) (\\ cos ^ 2 x) \u003d \\ text (tg) x + c $$$$ \\ int \\ frac (DX) (\\ sin ^ 2 x) \u003d - \\ text (ctg) x + c $$$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ text (arcsin) x + c $$$$$ \\ int \\ frac (DX) (1 + x ^ 2) ) \u003d \\ text (arctg) x + c $$$$ \\ int \\ text (ch) x dx \u003d \\ text (sh) x + c $$$$ \\ int \\ text (sh) x dx \u003d \\ text (ch ) X + C $$