کاربرد فیزیکی یک عملیات انتگرال خاص نیروی متغیر. کاربرد مکانیکی یک انتگرال خاص. سطح سطح چرخش

یک انتگرال خاص (OI) به طور گسترده ای در کاربردهای عملی ریاضیات و فیزیک استفاده می شود.

به طور خاص، در هندسه با کمک OI، آنها زمینه های شخصیت های ساده و سطوح پیچیده، حجم چرخش و اجسام شکل دلخواه، طول منحنی ها در هواپیما و فضا را پیدا می کنند.

در فیزیک و مکانیک نظری، OI برای محاسبه لحظات استاتیک، توده ها و مراکز توده های منحنی های مادی و سطوح استفاده می شود، برای محاسبه عملیات نیروی متغیر بر روی مسیر منحنی و غیره استفاده می شود.

شکل تخت پلازا

اجازه دهید برخی از شکل مسطح در سیستم مختصات مستطیلی مستطیل دکارتی $ XOY $ محدود به منحنی $ y \u003d y_ (1) \\ سمت چپ (x \\ right) $، در زیر - منحنی $ y \u003d y_ (2) \\ سمت چپ (x \\ right ) $، و در سمت چپ و راست عمودی مستقیم $ x \u003d a $ و $ x \u003d b $، به ترتیب. به طور کلی، منطقه ای از این رقم با استفاده از OI $ s \u003d \\ int \\ limits بیان می شود _ (a) ^ (b) \\ left (y_ (1) \\ سمت چپ (x \\ right) -y_ (2) \\ چپ (x \\ right) \\ right) \\ cdot dx $.

اگر برخی از شکل مسطح در سیستم مختصات مستطیل دکارتی $ XOY $ در سمت راست محدود به منحنی $ x \u003d x_ (1) \\ سمت چپ (y \\ right) $، در سمت چپ - منحنی $ x \u003d x_ (2) \\ چپ (y \\ right) $، و در زیر و در بالای صفحه افقی مستقیم $ y \u003d c $ و $ y \u003d d $ به ترتیب، سپس منطقه از چنین شکل بیان شده با استفاده از OI $ s \u003d \\ int \\ int \\ _ (c) ^ (d) \\ left (x_ (1) \\ سمت چپ (y \\ right) -x_ (2) \\ left (y \\ right) \\ right) \\ cdot dy $.

اجازه دهید شکل مسطح (بخش انحرافی)، که در سیستم مختصات قطبی در نظر گرفته شده، توسط یک نمودار از عملکرد پیوسته $ \\ rho \u003d \\ rho \\ left (\\ phi \\ right) $، و همچنین دو اشعه زیر گوشه ها تشکیل شده است از $ \\ phi \u003d \\ alpha $ و $ \\ phi \u003d \\ beta $ به ترتیب. فرمول محاسبه مساحت این بخش منحنی دارای فرم است: $ s \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot \\ int \\ limits _ (\\ _ alpha) ^ (\\ beta) \\ rho ^ (2) \\ left (\\ phi \\ right) \\ cdot d \\ phi $.

طول قوس Krivoy

اگر در بخش $ \\ left [\\ alpha، \\؛ \\ beta \\ right] $ منحنی توسط $ \\ rho \u003d \\ rho \\ rho \\ rho \\ left (\\ phi \\ right) $ در سیستم مختصات قطبی تنظیم شده است، سپس طول قوس آن با استفاده از $ l \u003d \\ int \\ limits محاسبه می شود (\\ elpha) ^ (\\ beta) \\ sqrt (\\ rho ^ (2) \\ left (\\ phi \\ right) + \\ rho "^ (2) \\ left (\\ phi \\ right)) \\ cdot d \\ phi $.

اگر در بخش $ \\ left $، منحنی توسط $ y \u003d y \\ \\ left معادله (x \\ right) $ تنظیم شده است، سپس طول قوس آن با استفاده از Oi $ l \u003d \\ int \\ limits _ (a) ^ محاسبه می شود (ب) \\ sqrt (1 + y "^ (2) \\ سمت چپ (x \\ right)) \\ cdot dx $.

اگر در بخش $ \\ left [\\ alpha، \\؛ \\ beta \\ right] $ منحنی به صورت پارامتری تنظیم شده است، یعنی $ x \u003d x \\ سمت چپ (t \\ right) $، $ y \u003d y \\ سمت چپ (T \\ Right) $، سپس طول قوس آن با استفاده از OI $ محاسبه می شود l \u003d \\ int \\ limits _ (\\ alpha) ^ (\\ beta) \\ sqrt (x "^ (2) \\ left (t \\ right) + y" ^ (2) \\ left (t \\ right)) \\ cdot dt $

محاسبه حجم بدن بر روی مقاطع موازی

اجازه دهید آن را برای پیدا کردن حجم بدن فضایی، مختصات نقاطی که شرایط $ a \\ le x \\ le b $ را برآورده می کند، و برای آن منطقه مقطع عرضی $ s \\ (x \\ right) $ هواپیما عمود بر محور $ ox $ شناخته شده است.

فرمول محاسبه حجم چنین بدن دارای یک $ v \u003d \\ int \\ int \\ limits _ (a) ^ (b) s \\ left (x \\ right) \\ cdot dx $.

حجم حجم چرخش

اجازه دهید یک عملکرد مداوم غیر منفی از $ y \u003d y \\ سمت چپ (x \\ right) $ تشکیل یک تراپزی منحنی (KTR) بر روی یک بخش از $ \\ left $ تنظیم شده است. اگر این CTR را در اطراف محور $ ox $ چرخانده، بدن شکل گرفته است، بدن چرخش نامیده می شود.

محاسبه حجم بدن چرخش یک مورد خاص محاسبه حجم بدن با توجه به مناطق شناخته شده بخش های موازی آن است. فرمول مربوطه دارای فرم $ v \u003d \\ int \\ int \\ limits _ (a) ^ (b) s \\ left (x \\ right) \\ cdot dx \u003d \\ pi \\ cdot \\ int \\ limits _ (a) ^ (b) y ^ (2) \\ سمت چپ (x \\ right) \\ cdot dx $.

اجازه دهید برخی از شکل مسطح در سیستم مختصات مستطیلی مستطیل دکارتی $ XOY $ محدود به منحنی $ y \u003d y_ (1) \\ سمت چپ (x \\ right) $، در زیر - منحنی $ y \u003d y_ (2) \\ سمت چپ (x \\ right ) $ Y_ $ y_ (1) \\ سمت چپ (x \\ right) $ و $ y_ (2) \\ left (x \\ right) $ توابع مداوم غیر منفی است، و در سمت راست راست و راست به طور مستقیم $ x \u003d $ و $ x \u003d b $ به ترتیب. سپس حجم بدن تشکیل شده توسط چرخش این رقم در اطراف محور $ ox $ توسط $ v \u003d \\ pi \\ cdot \\ int \\ limits _ (a) ^ (1) ^ (a) ^ بیان شده است (2) \\ left (x \\ right) -y_ (2) ^ (2) \\ left (x \\ right) \\ right) \\ cdot dx $.

اجازه دهید یک شکل مسطح در سیستم مختصات مستطیلی Decartular $ xoy $ در منحنی محدود سمت راست $ x \u003d x_ (1) \\ سمت چپ (y \\ right) $، در سمت چپ - منحنی $ x \u003d x_ (2) \\ سمت چپ \\ right) $، جایی که $ x_ (1) \\ سمت چپ (y \\ right) $ و $ x_ (2) \\ left (y \\ right) $ توابع مداوم غیر منفی است، و زیر و از بالا و از بالا افقی مستقیم $ y \u003d C $ و $ y \u003d d $ به ترتیب. سپس حجم بدن تشکیل شده توسط چرخش این شکل در اطراف محور $ Oy $ به عنوان $ v \u003d \\ pi / cdot \\ int \\ limits _ (c) ^ (d) \\ سمت چپ (x_ (1) ^ بیان شده است 2) \\ left (y \\ right) -x_ (2) ^ (2) \\ left (y \\ right) \\ right) \\ cdot dy $.

سطح سطح بدن چرخش

اجازه دهید $ \\ left $ به یک تابع غیر منفی $ y \u003d y \\ سمت چپ (x \\ right) $ با یک مشتق مداوم از $ y "\\ left (x right) $ $. این ویژگی CRT را تشکیل می دهد. اگر شما چرخش این CTT در اطراف محور $ ox $، پس از آن خود را از چرخش بدن را کنترل می کند، و قوس CRT سطح آن است. سطح سطح چنین بدن چرخش توسط $ q \u003d 2 \\ cdot \\ pi بیان شده است \\ cdot \\ int \\ limits _ (a) ^ (b) y \\ left (a) ^ (b) y \\ left (x \\ right) \\ cdot \\ sqrt (1 + y "^ (2) \\ left (x \\ \\ راست) \\ CDOT DX $.

فرض کنید که منحنی $ x \u003d \\ phi \\ سمت چپ (y \\ right) $ است، جایی که $ \\ phi \\ سمت چپ (y \\ right) $ - تنظیم شده در بخش $ c \\ le y \\ l d $ نیست عملکرد غیر منفی، چرخش در اطراف محور $ Oy $. در این مورد، سطح سطح بدن چرخش تشکیل شده به عنوان $ q \u003d 2 \\ cdot \\ pi / cdot \\ int \\ limits _ (c) ^ (d) \\ phi \\ سمت چپ (y \\ \\ right) \\ cdot \\ sqrt (1+ \\ phi "^ (2) \\ سمت چپ (y \\ right)) \\ cdot dy $.

برنامه های کاربردی فیزیکی OI

برای محاسبه مسیر سفر به $ t \u003d t $، در سرعت متغیر $ v \u003d v \\ سمت چپ (t \\ right) از نقطه مادی، که حرکت در زمان $ t \u003d t_ ( 0) $، UI $ s \u003d \\ int \\ limits _ (t_ (0)) ^ (t) v \\ left (t \\ right) \\ cdot dt $.
برای محاسبه عملیات متغیر، $ f \u003d f \\ سمت چپ (x \\ right) $ اعمال شده به نقطه مادی در حال حرکت در امتداد مسیر مستقیم در امتداد محور $ ox $ از نقطه $ x \u003d a $ به نقطه $ x \u003d B $ (جهت نیروی همزمان با جهت حرکت) استفاده از OI $ a \u003d \\ int \\ int \\ limits _ (a) ^ (b) f \\ left (x \\ right) \\ cdot dx $.
لحظات استاتیک نسبت به محورهای مختصات منحنی مواد $ y \u003d y \\ سمت چپ (x \\ right) $ در محدوده $ \\ left $ توسط $ m_ (x) بیان می شود \u003d \\ rho \\ cdot \\ int \\ limits _ (a) ) ^ (b) y \\ left (x \\ right) \\ cdot \\ sqrt (1 + y "^ (2) \\ سمت چپ (x \\ right)) \\ cdot dx $ و $ m_ (y) \u003d \\ rho \\ cdot \\ int \\ limits _ (a) ^ (b) x \\ cdot \\ sqrt (1 + y "^ (2) \\ left (x \\ right)) \\ cdot dx $، جایی که تراکم خطی $ \\ rho $ این است منحنی ثابت است.
مرکز منحنی مواد توده ای نقطه ای است که کل جرم به طور معمول به گونه ای متمرکز شده است که لحظات استاتیک نقطه نسبت به محورهای مختصات برابر با لحظات استاتیک مربوط به کل منحنی به طور کلی برابر است.

فرمول ها برای محاسبه مختصات مرکز جرم یک منحنی مسطح دارای فرم $ x_ (c) \u003d \\ frac (\\ int \\ limits _ (a) ^ (b) x \\ cdot \\ sqrt (1 + y "^ ( 2) \\ left (x \\ right)) \\ cdot dx) (\\ int \\ limits _ (a) ^ (b) \\ sqrt (1 + y "^ (2) \\ left (x \\ right)) \\ cdot dx) $ و $ y_ (c) \u003d \\ frac (\\ int \\ limits _ (a) ^ (b) y \\ سمت چپ (x \\ right) \\ cdot \\ sqrt (1 + y "^ (2) \\ سمت چپ (x \\ right )) \\ cdot dx) (\\ int \\ limits _ (a) ^ (b) \\ sqrt (1 + y "^ (2) \\ سمت چپ (x \\ right)) \\ cdot dx) $.

لحظات استاتیک شکل مسطح ماده در قالب KRT نسبت به محورهای مختصات توسط فرمول $ m_ (x) \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot \\ rho \\ cdot \\ int \\ limits _ ( a) ^ (b) y ^ (2) \\ left (x \\ right) \\ cdot dx $ و $ m_ (y) \u003d \\ rho \\ cdot \\ int \\ limits _ (a) ^ (b) x \\ cdot y \\ چپ (x \\ right) \\ cdot dx $.
مختصات مرکز توده های ذرات مسطح مواد در قالب یک CRT تشکیل شده توسط منحنی $ y \u003d y \\ سمت چپ (x \\ right) $ در محدوده $ \\ left $ توسط $ x_ محاسبه می شود (c ) \u003d \\ formulas formulas (\\ int \\ limits _ (a) ^ (b) x \\ cdot y \\ left (x \\ right) \\ cdot dx) (\\ int \\ limits _ (a) ^ (b) \\ left ( x \\ right) \\ cdot dx) $ و $ y_ (c) \u003d \\ frac (\\ frac (1) (2) \\ cdot \\ int \\ limits _ (a) ^ (b) y ^ (2) \\ left \\ right) \\ cdot dx) (\\ int \\ limits _ (a) ^ (b) y \\ left (x \\ right) \\ cdot dx) $.

موضوع 6.10 برنامه های کاربردی هندسی و فیزیکی یک انتگرال خاص

1. منطقه از تراپی منحنی محدود شده توسط منحنی y \u003d f (x) (f (x)\u003e 0)، راست x \u003d a، x \u003d b و بخش [a، b] محور آه، محاسبه شده است توسط فرمول

2. منطقه ای از شکل محدود شده توسط منحنی y \u003d f (x) و y \u003d g (x) (f (x)< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле

3. اگر منحنی توسط معادلات پارامتری x \u003d x (t)، y \u003d y (t) تنظیم شده است، سپس مساحت یک تراپزی منحنی محدود شده توسط این منحنی و مستقیم X \u003d a، x \u003d b، توسط فرمول

4. اجازه دهید S (x) منطقه ای از قسمت مقطع بدن از هواپیما باشد، عمود بر محور اوه، سپس حجم قسمت بدن بین محورهای عمود بر محور x \u003d a و x \u003d b به پایان رسید توسط فرمول

5. اجازه دهید تراکم منحنی، محدود شده توسط منحنی y \u003d f (x) و راست Y \u003d 0، x \u003d a و x \u003d b، چرخش اطراف محور اوه، سپس حجم بدن چرخش توسط فرمول محاسبه می شود

6. اجازه دهید یک trapezoid منحنی، محدود شده توسط منحنی x \u003d g (y) و

راست x \u003d 0، y \u003d c و y \u003d d، چرخش اطراف محور در مورد y، سپس حجم بدن چرخشی توسط فرمول محاسبه می شود

7. اگر منحنی تخت به سیستم مختصات مستطیلی نسبت داده شود و توسط معادله Y \u003d F (X) (یا x \u003d f (y)) تنظیم شده است، سپس طول قوس توسط فرمول تعیین می شود

1. منطقه شکل مسطح.

منطقه تراپزی منحنی محدود شده توسط عملکرد غیر غلط f (x)، Abscissa و مستقیم x \u003d A., x \u003d b.به عنوان s \u003d ∫ a b f x d x تعریف شده است.

مربع از trapezium curvilinear

عملکرد منطقه محدود f (x)متقاطع محور Abscissa توسط فرمول S \u003d Σ I: F X ≥ 0 ∫ X I - 1 X I F X D X - Σ I: F X تعیین می شود< 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где x I. - توابع صفر به عبارت دیگر، به منظور محاسبه منطقه این رقم، شما باید بخش را تقسیم کنید تابع صفر f (x) از این قسمت، تابع را ادغام کنید f. برای هر یک از شکاف های حاصل از این متناوب، به طور جداگانه انتگرال ها را با بخش هایی که عملکرد آن را انجام می دهند، اضافه کنید f. علائم مختلفی را می گیرد و از دوم دوم تفریق می شود.

2. منطقه بخش انحصاری.

منطقه منحنی بخش منحنی را در نظر بگیرید ρ = ρ (φ) در سیستم مختصات قطبی که در آن ρ (φ) - مداوم و غیر منفی در [α; β] تابع. منحنی محدود شکل ρ (φ) و اشعه φ = α , φ = β بخش انحنا نامیده می شود. منطقه بخش انحصاری S \u003d 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ است.

3. دامنه چرخش.

حجم حجم چرخش

اجازه دهید بدن با چرخش در اطراف محور از اکس از اکس از یک تراپزی منحنی محدود شده توسط پیوسته در بخش تابع f (x). حجم آن توسط فرمول v \u003d π ∫ a b f 2 x d x بیان می شود.

به مشکل پیدا کردن حجم بدن در منطقه مقطعی

اجازه دهید بدن بین هواپیماها به پایان برسد x \u003d A. و x \u003d b.، و منطقه مقطع آن با یک هواپیما عبور از نقطه ایکس.- پیوسته در بخش تابع σ (x). سپس حجم آن v \u003d ∫ a b σ x d x است.

4. طول منحنی قوس.

اجازه دهید منحنی r → t \u003d x t، y t، z t، پس از آن طول سایت خود را محدود شده توسط مقادیر t \u003d α. و t \u003d β. این بیان شده توسط فرمول S \u003d α β β X 'T 2 + Y' T 2 + Z 'T 2 DT بیان شده است.

طول منحنی مسطح قوس به طور خاص، طول منحنی صاف در هواپیما مختصات تعریف شده است اکسیژن معادله y \u003d f (x), ≤ x ≤ b، آن را توسط فرمول S \u003d ∫ A B 1 + F 'X 2 DX بیان شده است.

5. سطح سطح چرخش.

سطح سطح سطح فرض کنید سطح با چرخش نسبت به محور OX از گرافیک عملکرد تنظیم شده است y \u003d f (x), ≤ x ≤ bو عملکرد f. این یک مشتق مداوم در این بخش است. سپس مساحت سطح چرخش توسط فرمول π \u003d 2 π ∫ A B F X 1 + F 'x 2 D x تعیین می شود.

منطقه تراکتوز منحنی، محدود از بالای برنامه عملکرد y \u003d f (x)چپ و راست - راست x \u003d A. و x \u003d b. به ترتیب، از زیر - محور گاو، محاسبه شده توسط فرمول

منطقه تراکم منحنی، محدود به برنامه مناسب عملکرد x \u003d φ (y)، بالا و پایین - راست y \u003d D. و y \u003d c. بر این اساس، در سمت چپ - محور oy:

منطقه ای از شکل منحنی محدود از بالای نمودار تابع y 2 \u003d f 2 (x)، از زیر - نمودار تابع y 1 \u003d f 1 (x)چپ و راست - راست x \u003d A. و x \u003d b.:

منطقه ای از شکل منحنی محدود به نمودار چپ و راست توابع x 1 \u003d φ 1 (y) و x 2 \u003d φ 2 (y)، بالا و پایین - راست y \u003d D. و y \u003d c. به ترتیب:

در نظر بگیرید که یک خط که یک خطی که تراکتوز منحنی را از بالا محدود می کند، توسط معادلات پارامتری تعیین می شود x \u003d φ 1 (t), y \u003d φ 2 (t)جایی که α ≤ t ≤ β, φ 1 (α) \u003d a, φ 1 (β) \u003d b. این معادلات برخی از تابع را تعریف می کنند y \u003d f (x) در بخش [ a، ب] منطقه تراکم انحناء شده توسط فرمول محاسبه می شود

رفتن به متغیر جدید x \u003d φ 1 (t)، سپس dx \u003d φ "1 (t) dt، ولی y \u003d f (x) \u003d f (φ 1 (t)) \u003d φ 2 (t)بنابراین، \\ شروع (DisplayMath)

منطقه در مختصات قطبی

بخش انحنا را در نظر بگیرید اگهی، توسط یک خط داده شده توسط معادله محدود شده است ρ=ρ(φ) در مختصات قطبی، دو اشعه oa و ob.برای کدام φ=α , φ=β .

شکستن بخش های ابتدایی را انتخاب کنید om k-1m k ( k \u003d 1، ...، n, m 0 \u003d a, m n \u003d b) نشان دادن Δφ k. زاویه بین اشعه om k-1 و OM K.تشکیل محور قطبی گوشه φ k-1 و φ k. به ترتیب. هر یک از بخش های ابتدایی om k-1 m k بخش دایره ای را با شعاع جایگزین کنید ρ k \u003d ρ (φ "k)جایی که φ "k. - ارزش گوشه φ از فاصله [ φ k-1، φ k]، و زاویه مرکزی Δφ k.. منطقه آخرین بخش توسط فرمول بیان شده است .

منطقه ای از بخش "مرحله" را بیان می کند تقریبا جایگزین این بخش است اگهی.

بخش بخش بخش اگهی محدودیت بخش "سرعت" را در n → ∞ و λ \u003d max Δφ k → 0:

مانند T.

طول قوس Krivoy

اجازه دهید در بخش [ a، ب] عملکرد دیفرانسیل تنظیم شده است y \u003d f (x)، برنامه زمانی که یک قوس است. بخش [ a، ب] thrumpace توسط n. قطعه ای از نقاط x 1, x 2, …, x n-1. این نکات مربوط به نقطه است متر 1, متر 2, …, m n-1 ARCS، خط شکسته خود را متصل کنید، که شکسته شده است، در قوس نوشته شده است. محیط این شکسته توسط s N.، من

تعریف. طول خط خط، محدودیت محیط را وارد می کند که در آن تعداد لینک ها شکسته می شود m k-1 m k این نامحدود است، و طول بزرگترین آنها تلاش برای صفر است:

جایی که λ طول بزرگترین لینک است.

ما طول قوس از برخی از نقطه آن را شمارش می کنیم، به عنوان مثال، آ.. اجازه دهید در نقطه متر (x، y) طول قوس برابر است s.، و در نقطه متر "(x + Δ x، y + ΔY) طول قوس برابر است s + Δs.کجا، i\u003e Δs - طول قوس. از مثلث mnm " ما طول وتر را پیدا می کنیم :.

از ملاحظات هندسی آن را دنبال می کند

به عبارت دیگر، خطوط قوس بی نهایت کوچک و ترساندن وتر او معادل است.

ما فرمول را بیان می کنیم که طول وتر را بیان می کنیم:

تبدیل به حد در این برابری، ما یک فرمول برای یک تابع مشتق شده به دست می آوریم s \u003d s (x):

از آن ما پیدا می کنیم

این فرمول یک دیفرانسیل قوس را به یک منحنی صاف بیان می کند و ساده است معنای هندسی: قضیه فیثاگورا را برای یک مثلث بی نهایت کوچک بیان می کند mtn (ds \u003d mt, ).

تفاوت های قوس منحنی فضایی تعیین شده توسط فرمول

قوس خط فضایی داده شده توسط معادلات پارامتری را در نظر بگیرید

جایی که α ≤ t ≤ β, φ i (t) (i \u003d 1، 2، 3) - تابع استدلال دیفرانسیل t.T.

ادغام این برابری با فاصله [ α, β ]، ما یک فرمول برای محاسبه طول این خط قوس دریافت می کنیم

اگر خط در هواپیما قرار دارد اکسیژنT. z \u003d 0. در کل t∈ [α، β]، بنابراین

در مورد زمانی که خط مسطح توسط معادله تعیین می شود y \u003d f (x) (a≤x≤bb)، جایی که f (x) - تابع تمجنی، آخرین فرمول فرم را می گیرد

اجازه دهید خط مسطح توسط معادله تعیین شود ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) در مختصات قطبی در این مورد، ما معادلات خط پارامتری داریم x \u003d ρ (φ) cos φ, y \u003d ρ (φ) sin φجایی که زاویه قطبی به عنوان یک پارامتر گرفته می شود φ . تا آنجا که

سپس فرمول طول خط قوس را بیان می کند ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) در مختصات قطبی، فرم دارد

حجم بدن

حجم بدن را پیدا کنید اگر مساحت هر بخش از این بدن عمود بر یک جهت شناخته شده است.

ما این بدن را به لایه های ابتدایی تقسیم می کنیم با هواپیما عمود بر محور گاو و معادلات تعریف شده x \u003d const. برای هر ثابت x∈ میدان شناخته شده s \u003d s (x) مقطع عرضی این بدن.

لایه ابتدایی با هواپیما قطع می شود x \u003d x k-1, x \u003d x k (k \u003d 1، ...، n, x 0 \u003d a, x n \u003d b) سیلندر را با ارتفاع جایگزین کنید Δx k \u003d x k -x k-1 و منطقه بنیاد s (ξ k), ξ k ∈.

حجم سیلندر ابتدایی مشخص شده توسط فرمول بیان شده است ΔV k \u003d e (ξ k) Δx k. مقدار همه کارهایی را تشکیل می دهند

مقدار یکپارچه برای این تابع s \u003d s (x) در بخش [ a، ب] این حجم یک بدن گام متشکل از سیلندرهای ابتدایی را بیان می کند و تقریبا جایگزین این بدن می شود.

حجم این بدن، زمانی که محدودیت بدنی مشخص شده است، نامیده می شود λ→0 جایی که λ - طول بزرگترین بخش های ابتدایی Δx k.. نشان دادن V. حجم این بدن، سپس با تعریف

از سوی دیگر،

در نتیجه، حجم بدن با توجه به مقاطع مشخص شده توسط فرمول محاسبه می شود

اگر بدن با چرخش در اطراف محور شکل گرفته شود گاو Trapezium curvilinear از بالا از قوس مداوم محدود شده است y \u003d f (x)جایی که a≤x≤bbT. s (x) \u003d πf 2 (x) و آخرین فرمول فرم را می گیرد:

اظهار نظر. حجم بدن به دست آمده از طریق چرخش تراپزی منحنی محدود به برنامه مناسب x \u003d φ (y) (c ≤ x ≤ d)، در اطراف محور oy محاسبه شده توسط فرمول

سطح سطح چرخش

سطح به دست آمده توسط چرخش خط قوس را در نظر بگیرید y \u003d f (x) (a≤x≤bb) در اطراف محور گاو (فرض کنید این تابع y \u003d f (x) این یک مشتق مداوم است). مقدار ثابت x∈، استدلال تابع افزایش خواهد یافت dxکه مربوط به "حلقه ابتدایی" است که توسط چرخش قوس ابتدایی به دست آمده است ΔL.. این "حلقه" با جایگزینی حلقه استوانه ای - سطح جانبی بدن تشکیل شده توسط چرخش مستطیل با پایه برابر با دیفرانسیل قوس است دلتنگ کردن، و بالا h \u003d f (x). برش آخرین حلقه و تبدیل آن، ما عرض نوار را دریافت می کنیم دلتنگ کردن و طول 2πyجایی که y \u003d f (x).

در نتیجه، سطح دیفرانسیل فرمول را بیان می کند

این فرمول، سطح سطح به دست آمده توسط چرخش خط قوس را بیان می کند y \u003d f (x) (a≤x≤bb) در اطراف محور گاو.

صفحه اصلی\u003e سخنرانی

سخنرانی 18. برنامه های یک انتگرال خاص.

18.1 محاسبه الگوهای هواپیما.

شناخته شده است که یک انتگرال خاص در بخش یک منطقه از یک تراپی منحنی است که توسط یک گراف از تابع f (x) محدود می شود. اگر برنامه در زیر محور واقع شده باشد آه، من. f (x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0، سپس منطقه دارای علامت "+" است.

برای پیدا کردن کل مساحت، فرمول استفاده می شود.

منطقه ای از شکل، محدود شده توسط برخی از خطوط، می تواند با انتگرال های خاص پیدا شود، اگر معادلات این خطوط شناخته شده است.

مثال. پیدا کردن منطقه ای از شکل محدود به خطوط y \u003d x، y \u003d x 2، x \u003d 2.

منطقه مورد نظر (سایه دار در شکل) می تواند توسط فرمول یافت شود:

18.2 پیدا کردن منطقه بخش انحناء.

برای پیدا کردن زمینه بخش انحصاری، سیستم مختصات قطبی را معرفی می کنیم. معادله منحنی محدود کردن بخش در این سیستم مختصات، فرم  \u003d f ()، جایی که  - طول شعاع - بردار اتصال قطب با نقطه دلخواه منحنی، و  زاویه اتصال است گرایش این شعاع - بردار به محور قطبی.

منطقه بخش انحصاری می تواند توسط فرمول پیدا شود

18.3. محاسبه طول منحنی قوس.

y y \u003d f (x)

s من y من

طول یک خط شکسته که با قوس مطابقت دارد می تواند به عنوان
.

سپس طول قوس برابر است
.

از ملاحظات هندسی:

در همان زمان

سپس شما می توانید این را نشان دهید

کسانی که.

اگر معادله منحنی به پارامتریک تنظیم شود، پس از آن با توجه به قوانین برای محاسبه مشتق شده از پارامترهای مشخص شده، ما دریافت می کنیم

جایی که x \u003d  (t) و y \u003d  (t).

اگر تنظیم شود منحنی فضایی، و x \u003d  (t)، y \u003d  (t) و z \u003d z (t)، سپس

اگر منحنی تنظیم شود مختصات قطبیT.

،  \u003d f ().

مثال: طول محدوده داده شده توسط معادله x 2 + y 2 \u003d r 2 را پیدا کنید.

1 راه متغیر را از معادله بیان کنید.

یک مشتق را پیدا کنید

سپس S \u003d 2R. یک فرمول شناخته شده از طول دور دریافت کرد.

2 راه. اگر یک معادله داده شده را در سیستم مختصات قطبی نشان دهید، ما دریافت می کنیم: R 2 COS 2  + R 2 Sin 2  \u003d R 2، I.E. تابع  \u003d f () \u003d r،
سپس

18.4 محاسبه حجم بدن.

محاسبه حجم بدن با توجه به مناطق شناخته شده بخش های موازی آن.

اجازه دهید یک جلد حجم V باشد. منطقه هر قسمت مقطع بدن Q به عنوان یک تابع پیوسته q \u003d q (x) شناخته می شود. ما بدن را بر روی "لایه ها" بریزیم و بخش های عبور از نقاط x را تقسیم می کنیم. زیرا در بخش متوسط \u200b\u200bپارتیشن، تابع Q (X) پیوسته است، پس از آن بزرگترین و کوچکترین مقادیر آن را می گیرد. به ترتیب آنها را به ترتیب نشان می دهد، m i و m i.

اگر ما سیلندر را با تشکیل، محورهای موازی بر روی این بخش ها بسازیم، حجم این سیلندرها به ترتیب برابر با m i x i و m i x من اینجا هستم x i \u003d x i - x I -1.

با تولید چنین سازه هایی برای همه بخش های پارتیشن، ما سیلندر هایی را به دست می آوریم که حجم آنها برابر است
و
.

هنگامی که قدم زدن به مرحله پارتیشن بندی صفر ، این مقادیر دارای محدودیت مشترک است:

بنابراین، حجم بدن را می توان توسط فرمول یافت می شود:

ضرر این فرمول این است که برای پیدا کردن حجم شما نیاز به دانستن عملکرد Q (X)، که بسیار مشکل برای تلفن های پیچیده است.

مثال: پیدا کردن حجم توپ از شعاع R.

در بخش های عرضی توپ، حلقه های شعاع متغیر به دست می آیند. بسته به مختصات فعلی X، این شعاع توسط فرمول بیان می شود
.

سپس عملکرد بخش های صلیب فرم را تشکیل می دهد: q (x) \u003d
.

یک توپ را دریافت کنید

مثال: حجم هرم دلخواه را با ارتفاع H و یک منطقه S. پیدا کنید.

هنگام عبور از هرم با هواپیما، ارتفاع عمود بر بخش، در بخش ما ارقام مشابه پایه را به دست می آوریم. نسبت شباهت این ارقام برابر با نسبت X / H است، جایی که X فاصله از هواپیما توالی به بالای هرم است.

از هندسه شناخته شده است که نسبت مناطق چنین ارقام برابر با شباهت از شباهت در میدان است، I.E.

از اینجا ما عملکرد بخش های بخش ها را دریافت می کنیم:

ما حجم هرم را پیدا می کنیم:

18.5 حجم اجسام چرخش.

منحنی مشخص شده توسط معادله y \u003d f (x) را در نظر بگیرید. فرض کنید تابع f (x) در بخش پیوسته است. اگر Trapezium curvilinear مربوطه با پایه های A و B چرخش در اطراف محور اوه، پس ما به اصطلاح بدن چرخش.

y \u003d f (x)

زیرا هر یک از صفحات متقاطع بدن X \u003d const دایره ای از شعاع است
حجم بدن چرخش را می توان به راحتی بر اساس فرمول به دست آمده در بالا یافت می شود:

18.6 سطح سطح بدن چرخش.

m i b.

تعریف: سطح سطح سطح منحنی AV در اطراف این محور، محدودیتی است که منطقه از سطوح چرخش شکسته، نوشته شده در منحنی AV، با تمایل به صفر بزرگترین طول از لینک های این شکسته است.

ما قوس AV را در قسمت های N به نقاطی M 0، M 1، M 2، ...، m n. مختصات رأس های حاصل از آن، مختصات x i و y i است. هنگامی که شکسته در اطراف محور شکسته می شود، سطح را که شامل سطوح جانبی مخروط های کوتاه شده است، به دست می آوریم، منطقه ای که برابر با P I است. این منطقه را می توان توسط فرمول پیدا کرد:

اینجا s من طول هر وتر است.

قضیه لاگرانژ را اعمال کنید (نگاه کنید به قضیه لاگرانژ) به رابطه
.