حوزه trapezium curvilinear عددی برابر است یک انتگرال خاص

هر یک از انتگرال های خاص (که وجود دارد) دارای معنای بسیار خوبی هندسی است. در درس، من گفتم که یک انتگرال خاص یک عدد است. و اکنون وقت آن است که یکی دیگر را بیان کنیم واقعیت مفید. از نقطه نظر هندسه، یکپارچگی خاص یک منطقه است.

من، یک انتگرال خاص (اگر آن وجود دارد) به طور هندسی مربوط به منطقه برخی از شکل است. به عنوان مثال، یک انتگرال خاص را در نظر بگیرید. تابع انتگرال برخی از منحنی را در هواپیما تنظیم می کند (همیشه می تواند در صورت لزوم کشیده شود)، و یک انتگرال خاص خود، عددی برابر با مساحت trapezium curvilinear مربوطه است.

مثال 1

این یک فرمول بندی کار معمول است. اول من. مهم ترین چیز راه حل - طراحی ساختمان. و نقاشی باید ساخته شود درست.

هنگام ساخت یک نقاشی، من توصیه می کنم سفارش بعدی: اولین بهتر است همه ی راست (اگر آنها) و تنها بعد - Parabolas، Hyperbolas، برنامه های دیگر توابع. نمودارهای تابع برای ساخت بیشتر سودآور هستند پوتوچو، با تکنیک چک کردن ساختمانی می تواند در آن پیدا شود مواد مرجع.

در اینجا شما همچنین می توانید یک ماده بسیار مفید در رابطه با درس ما مواد ما را پیدا کنید - چگونه به سرعت ساخت یک پارابولا.

در این کار، تصمیم ممکن است به نظر برسد.
انجام نقاشی (توجه داشته باشید که معادله محور را تعیین می کند):

من یک تراکتور انحرافی نخواهم داشت، در اینجا، در مورد آن منطقه واضح است این سخنرانی است. این تصمیم همچنان ادامه دارد:

در برنامه SECTION یک تابع واقع شده است بیش از محور، بنابراین:

پاسخ:

چه کسی با محاسبه یکپارچگی خاص و استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیا مشکلاتی دارد؟ ، به سخنرانی مراجعه کنید یکپارچه خاص نمونه هایی از راه حل ها.

پس از تکمیل کار، همیشه مفید است که به نقاشی و برآورد نگاه کنید، واقعی معلوم شد. در این مورد، "در چشم" ما تعداد سلول ها را در نقاشی شمارش می کنیم - به خوبی، تقریبا 9 پرواز می شود، به نظر می رسد حقیقت است. کاملا روشن است که اگر ما داشتیم، می گویند، پاسخ: 20 واحد مربع، واضح است که یک خطا در جایی ساخته شده است - در شکل 20 سلول، به وضوح از قدرت دوازده ساخته نشده است. اگر پاسخ منفی شد، وظیفه نیز به اشتباه تصمیم گرفته شده است.

مثال 2

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود و محور

این یک مثال برای خود تصمیم گیری. راه حل کامل و پاسخ در پایان درس.

چه کاری باید انجام دهید اگر Trapezium curvilinear واقع شود تحت محور؟

مثال 3

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود و محورهای مختصات.

راه حل: انجام نقاشی:

اگر یک trapezium curvilinear کاملا زیر محور واقع شده است، سپس منطقه آن را می توان با فرمول پیدا کرد:
در این مورد:

توجه! دو نوع وظایف را اشتباه نگیرید:

1) اگر شما برای حل یک انتگرال ساده بدون هیچ معنی هندسی دعوت شده اید، ممکن است منفی باشد.

2) اگر شما دعوت شده برای پیدا کردن شکل از شکل با استفاده از یک انتگرال خاص، سپس منطقه همیشه مثبت است! به همین دلیل است که فقط فرمول در نظر گرفته شده به نظر می رسد منفی است.

در عمل، این رقم اغلب در سطح نیمه بالا و پایین قرار دارد و از این رو از ساده ترین نمودارهای مدرسه، به نمونه های معنی دار تر می رود.

مثال 4

پیدا کردن مساحت یک شکل صاف، خطوط محدود ،.

راه حل: ابتدا باید نقاشی کنید. به طور کلی، هنگام ساخت یک نقاشی در وظایف به منطقه، ما بیشتر به نقاط تقاطع خطوط علاقه مند هستیم. پیدا کردن نقاط تقاطع پارابولا و مستقیم. این میتواند با دو راه انجام شود. روش اول تحلیلی است. ما معادله را حل می کنیم:

بنابراین، محدودیت ادغام پایین، حد بالایی از ادغام.
به این ترتیب بهتر است، در صورت امکان، استفاده نکنید.

برای ساخت خطوط خط بسیار سودآور و سریعتر است، در حالی که محدودیت های ادغام به صورت "خود" روشن می شود. تکنیک پایان دادن به نمودارهای مختلف در جزئیات در نظر گرفته شده است نمودارها و خواص توابع ابتدایی. با این حال، یک روش تحلیلی برای پیدا کردن محدودیت ها پس از همه، گاهی اوقات لازم است که اعمال شود، به عنوان مثال، برنامه به اندازه کافی بزرگ است، یا یک ساخت و ساز آموزش دیده محدودیت های ادغام را نشان نمی دهد (آنها می توانند کسری یا غیر منطقی). و یک مثال، ما نیز در نظر داریم.

ما به کار ما بازگردیم: ابتدا منطقی تر ساخت یک خط مستقیم و تنها پس از آن پارابولا. انجام نقاشی:

من تکرار می کنم که در ساخت و ساز فعلی، محدودیت های ادغام اغلب توسط "خودکار" یافت می شود.

و در حال حاضر فرمول کار: اگر در بخش برخی از عملکرد مداوم بیشتر یا برابر برخی از عملکرد مداوم، منطقه شکل مربوطه را می توان توسط فرمول یافت می شود:

در اینجا دیگر لازم نیست فکر کنیم که در آن شکل واقع شده است - بیش از محور یا زیر محور، و تقریبا صحبت کردن مهمتر از حد نمودار بالاتر است(نسبت به یک برنامه دیگر) و آنچه - در زیر.

در این مثال، واضح است که در بخش پارابولا در بالای راست قرار دارد و بنابراین لازم است که تفریق شود

تکمیل راه حل ممکن است به نظر می رسد:

شکل دلخواه به پارابولا از بالا و پایین مستقیم محدود می شود.
در بخش، با توجه به فرمول مربوطه:

پاسخ:

در واقع، فرمول مدرسه برای منطقه از trapezium منحنی در نیمه نیمه پایین (نگاه کنید به مثال ساده شماره 3) - پرونده خصوصی فرمول ها . از آنجا که محور توسط معادله تعریف شده است، و نمودار تابع در زیر محور قرار دارد،

و حالا چند نمونه برای یک تصمیم مستقل

مثال 5

مثال 6

پیدا کردن منطقه خطوط خطوط محدود ،.

در طول حل وظایف برای محاسبه منطقه با یک انتگرال خاص، یک مورد خنده دار گاهی اوقات رخ می دهد. رسم به درستی تکمیل شده است، محاسبات - درست، اما تشدید ... منطقه را پیدا کرد شکل نیستاین همان چیزی است که بنده فروتنانه شما بسته شده است. در اینجا یک مورد واقعی از زندگی است:

مثال 7

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود ،،،.

ابتدا نقاشی را اجرا کنید:

شکل که منطقه ما باید پیدا کنیم، آبی رنگ است(به دقت بر روی وضعیت نگاه کنید - از این رقم محدود است!). اما در عمل در عدم توجه، اغلب اوقات لازم است که منطقه ای از شکل را پیدا کنید، که سایه دار است سبز!

این مثال نیز مفید است که در آن اندازه گیری در اندازه دو انتگرال خاص است. واقعا:

1) یک برنامه مستقیم بر روی بخش بیش از محور قرار دارد؛

2) در بخش بیش از محور نمودار هیپربول ها وجود دارد.

واضح است که مربع می تواند (و نیاز) را تجزیه کند، بنابراین:

پاسخ:

مثال 8

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود،
معادله را در فرم "مدرسه" تصور کنید و نقاشی فعلی را انجام دهید:

از نقاشی روشن است که حد بالا ما "خوب" :.
اما حد پایین تر چیست؟! واضح است که این یک عدد صحیح نیست، اما چه؟ شاید ؟ اما کجا تضمین می شود که نقاشی با دقت کامل ساخته شده است، ممکن است این باشد. یا ریشه و اگر ما به طور کلی یک برنامه را نامطلوب ساختیم؟

در چنین مواردی، شما باید زمان اضافی را صرف کنید و محدودیت های ادغام را به صورت تحلیلی مشخص کنید.

نقاط تقاطع مستقیم و پارابولا را پیدا کنید.
برای انجام این کار، معادله را حل کنید:

از این رو ،.

راه حل بیشتر بی اهمیت است، مهمترین چیز این است که در جایگزینی و نشانه ها اشتباه گرفته شود، محاسبات در اینجا ساده ترین نیستند.

بر روی برش با توجه به فرمول مربوطه:

پاسخ:

خوب، و در نتیجه درس، دو وظیفه را دشوارتر می کنید.

مثال 9

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود ،،

راه حل: این شکل را در نقاشی نشان دهید.

برای چک کردن نقاشی، باید بدانید ظاهر سینوسی ها (و به طور کلی مفید است بدانید نمودارهای تمام توابع ابتدایی)، و همچنین برخی از مقادیر سینوسی، آنها را می توان یافت جدول مثلثاتی . در بعضی موارد (همانطور که در این)، مجاز به ساخت یک طرح طرح ریزی است که در آن نمودارها و محدودیت های ادغام باید در اصل منعکس شود.

با محدودیت ادغام، هیچ مشکلی در اینجا وجود ندارد، آنها به طور مستقیم از شرایط پیروی می کنند: - "X" از صفر تا "PI" متفاوت است. ما یک راه حل بیشتر را تهیه می کنیم:

در بخش، نمودار تابع در بالای محور قرار دارد، بنابراین:

(1) نحوه ادغام سینوس ها و کوزین ها در درجه های عجیب و غریب می تواند در درس مشاهده شود انتگرال OT توابع مثلثاتی . این یک پذیرش معمول است، با فشار دادن یک سینوس.

(2) ما از هویت اصلی مثلثاتی در قالب استفاده می کنیم

(3) ما متغیر را جایگزین خواهیم کرد، سپس:

یکپارچه سازی تغییر جدید:

چه کسی چیزهای بسیار بدی را با جایگزینی دارد، لطفا به درس بروید روش جایگزینی در یک انتگرال نامحدود. چه کسی به الگوریتم جایگزینی در یک انتگرال خاص مشخص نیست، از صفحه بازدید کنید یکپارچه خاص نمونه هایی از راه حل ها.

مثال 1 . محاسبه مساحت شکل، خطوط محدود: X + 2U - 4 \u003d 0، Y \u003d 0، X \u003d -3، و X \u003d 2

ما ساخت این رقم را اجرا خواهیم کرد (نگاه کنید به شکل) ما یک X + 2U را مستقیما ساختیم - 4 \u003d 0 به دو نقطه (4؛ 0) و در (0؛ 2) ساختیم. بیان Y از طریق x، ما Y \u003d -0.5X + 2. را با فرمول (1) به دست می آوریم، جایی که f (x) \u003d -0.5x + 2، a \u003d -3، b \u003d 2، ما پیدا می کنیم

s \u003d \u003d [-0.25 \u003d 11.25 kV. دره

مثال 2 محاسبه مساحت شکل، خطوط محدود: X - 2AU + 4 \u003d 0، X + Y - 5 \u003d 0 و Y \u003d 0.

تصمیم گیری ساخت شکل را انجام دهید.

ما یک X - 2au + 4 \u003d 0: y \u003d 0، x \u003d - 4، a (-4؛ 0) را ساختیم؛ x \u003d 0، y \u003d 2، در (0؛ 2).

ما X + Y را مستقیما ساختیم - 5 \u003d 0: Y \u003d 0، X \u003d 5، C (5؛ 0)، x \u003d 0، y \u003d 5، d (0؛ 5).

ما نقطه تقاطع مستقیم را پیدا خواهیم کرد، حل سیستم معادلات:

x \u003d 2، y \u003d 3؛ متر (2؛ 3).

برای محاسبه منطقه مورد نظر، ما مثلث AMS را در دو مثلث AMN و NMS شکست می دهیم، زیرا با تغییر در X از A به N، این منطقه محدود به مستقیم است، و زمانی که X از N به C - مستقیم

برای مثلث AMN ما داریم:؛ Y \u003d 0.5X + 2، I.E. F (X) \u003d 0.5X + 2، A \u003d - 4، B \u003d 2.

برای The Triangle NMS، ما داریم: Y \u003d - X + 5، I.E. F (X) \u003d - X + 5، A \u003d 2، B \u003d 5.

با محاسبه مساحت هر یک از مثلث ها و تاشو نتایج، پیدا کردن:

sq واحدهای

sq واحدهای

9 + 4، 5 \u003d 13.5 متر مربع. واحدهای بررسی: \u003d 0.5AS \u003d 0.5 کیلو ولت. واحدهای

مثال 3 محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود: y \u003d x 2 ، y \u003d 0، x \u003d 2، x \u003d 3.

در این مورد، لازم است که محاسبه منطقه Trapezium curvilinear، محدود توسط parabola y \u003d x 2 ، راست X \u003d 2 و X \u003d 3 و OH (نگاه کنید به شکل) توسط فرمول (1) ما منطقه از trapezium منحنی را پیدا می کنیم

\u003d \u003d 6 کیلووات واحدهای

مثال 4 محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود: y \u003d - X 2 + 4 و y \u003d 0

ساخت شکل را انجام دهید. منطقه مورد نظر بین parabola y \u003d - x نتیجه گیری می شود 2 + 4 و محور آه.

پیدا کردن نقاط تقاطع پارابولا با محور آه. باور کردن y \u003d 0، ما x \u003d را پیدا می کنیم چون این رقم با توجه به محور OU متقارن است، سپس ما منطقه ای از شکل واقع شده در سمت راست محور OU را محاسبه می کنیم، و نتیجه نتیجه دو برابر خواهد شد: \u003d + 4x] kv. واحدهای 2 \u003d 2 کیلو وات واحدهای

مثال 5 محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود: Y 2 \u003d x، yx \u003d 1، x \u003d 4

این نیاز به محاسبه مساحت trapezium curvilinear، محدود به شاخه برتر Parabolia است 2 \u003d x، محور آه و راست X \u003d 1 و \u003d 4 (نگاه کنید به شکل.)

توسط فرمول (1)، جایی که f (x) \u003d a \u003d 1 و b \u003d 4 ما \u003d (\u003d sq.

مثال 6 . محاسبه مساحت شکل، خطوط محدود: y \u003d sinx، y \u003d 0، x \u003d 0، x \u003d.

منطقه مورد نظر محدود به سینوسی نیمه موج و محور اوه (نگاه کنید به شکل).

ما - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 kv. واحدهای

مثال 7 محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود: y \u003d - 6x، y \u003d 0 و x \u003d 4.

این رقم زیر محور اوه (نگاه کنید به شکل).

در نتیجه، منطقه آن توسط فرمول یافت می شود (3)

= =

مثال 8 محاسبه مساحت شکل، خطوط محدود: y \u003d و x \u003d 2. منحنی y \u003d ساخت توسط نقاط (نگاه کنید به شکل). بنابراین، منطقه ارقام توسط فرمول یافت می شود (4)

مثال 9 .

h. 2 + U. 2 \u003d R. 2 .

این نیاز به محاسبه منطقه، دایره محدود X 2 + U. 2 \u003d R. 2 ، به عنوان مثال، منطقه شعاع دایره R با مرکز در ابتدای مختصات. ما بخش چهارم این منطقه را پیدا خواهیم کرد، محدودیت های ادغام را از 0

dor؛ ما داریم: 1 = = [

از این رو، 1 =

مثال 10 محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود: y \u003d x 2 و y \u003d 2x

این رقم محدود به parabola y \u003d x است 2 و مستقیم Y \u003d 2X (نگاه کنید به شکل.) برای تعیین نقاط تقاطع خطوط مشخص شده با حل سیستم معادلات: X 2 - 2x \u003d 0 x \u003d 0 و x \u003d 2

با استفاده از منطقه برای پیدا کردن فرمول منطقه (5)، ما دریافت می کنیم

\u003d (پایه تراپزی منحنی) بر روی n قسمت های مساوی؛ این پارتیشن با کمک امتیاز X 1، X 2، ... K، ... X N-1 انجام می شود. ما به طور مستقیم مستقیم، محورهای موازی را صرف خواهیم کرد. سپس Trapezium curvilinear مشخص شده بر روی N بخش های N، در ستون های باریک محدود می شود. منطقه کل تراپزیوم برابر با مجموع مساحت ستون است.

یک رنگ K-B جداگانه را در نظر بگیرید، به عنوان مثال یک trapezium curvilinear، پایه ای که به یک بخش عمل می کند. جایگزین آن را با یک مستطیل با همان پایه و ارتفاع f (x k) (نگاه کنید به شکل). مساحت مستطیل برابر با \\ (f (x_k) \\ cdot \\ delta x_k \\)، جایی که \\ (\\ delta x_k \\) طول بخش است؛ به طور طبیعی، متشکل از کار با مقدار تقریبی منطقه ستون K-TH را در نظر بگیرید.

اگر شما هم همین کار را با تمام ستون های دیگر انجام دهید، ما به نتیجه زیر می آیند: منطقه S از یک تراپی منحنی داده شده تقریبا برابر با منطقه S N مرحله ای است که از n مستطیل های N تشکیل شده است (نگاه کنید به شکل):
\\ (s_n \u003d f (x_0) \\ delta x_0 + \\ dots + f (x_k) \\ delta x_k + \\ dots + f (x_ (n - 1)) \\ delta x_ (n - 1) \\)
در اینجا، به خاطر یکنواختی تعیین، ما معتقدیم a \u003d x 0، b \u003d x n؛ \\ (\\ delta x_0 \\) - طول بخش، \\ (\\ delta x_1 \\) - طول طول، و غیره؛ در همان زمان، همانطور که در بالا موافقت کردیم، \\ (\\ delta x_0 \u003d \\ dots \u003d \\ delta x_ (n-1) \\)

بنابراین، \\ (s \\ aftim s_n \\)، و این یک برابری تقریبی است، دقیق تر، بیشتر n.
با تعریف، اعتقاد بر این است که منطقه مورد نظر از تراپزی منحنی برابر با محدودیت توالی (S n) است:
$$ s \u003d \\ lim_ (n \\ to \\ infty) s_n $$

وظیفه 2 (در مورد نقطه حرکت)
نقطه مادی به سمت راست حرکت می کند. وابستگی سرعت در زمان توسط فرمول v \u003d v (t) بیان شده است. حرکت نقطه را در طول فاصله زمانی پیدا کنید [a؛ ب].
تصمیم گیری اگر جنبش یکنواخت باشد، این کار بسیار ساده خواهد بود: S \u003d VT، I.E. s \u003d v (b - a). برای ترافیک ناهموار، شما باید از همان ایده هایی که تصمیم به انجام وظیفه قبلی انجام شده است استفاده کنید.
1) ما فاصله زمانی را تقسیم می کنیم [a؛ ب] بر روی قطعات مساوی n.
2) فاصله زمانی را در نظر بگیرید و فرض می کنیم که در طول این مدت زمان، سرعت ثابت بود، مانند در زمان T K. بنابراین، ما معتقدیم که v \u003d v (t k).
3) مقدار تقریبی حرکت نقطه را در طول فاصله زمانی پیدا کنید، این مقدار تقریبی نشان دهنده S k است
\\ (s_k \u003d v (t_k) \\ delta t_k \\)
4) حرکت تقریبی S را پیدا کنید:
\\ (s \\ uprop s_n \\) کجا
\\ (s_n \u003d s_0 + \\ dots + s_ (n-1) \u003d v (t_0) \\ delta t_0 + \\ dots + v (t_ (n - 1)) \\ delta t_ (n-1) \\)
5) جنبش مورد نظر برابر با محدودیت توالی (ها) است:
$$ s \u003d \\ lim_ (n \\ to \\ infty) s_n $$

بیایید خلاصه کنیم راه حل های وظایف مختلف به همان مدل ریاضی رفته است. بسیاری از چالش های بسیاری از زمینه های مختلف علم و فناوری منجر به روند حل همان مدل می شود. بنابراین این مدل ریاضی باید به طور خاص آموخته شود.

مفهوم یک انتگرال خاص

ما توصیف ریاضی از مدل را که در سه وظیفه در نظر گرفته شده برای عملکرد y \u003d f (x) ساخته شده است، به طور مداوم (اما نه لزوما غیرقابل انکار، به عنوان آن را در وظایف در نظر گرفته شده) در بخش [a؛ ب]:
1) بخش را تقسیم کنید [a؛ ب] بر روی قطعات مساوی؛
2) ما مقدار $$ s_n \u003d f (x_0) \\ delta x_0 + f (x_1) \\ delta x_1 + \\ dots + f (x_ (n-1)) \\ delta x_ (n-1) $$
3) محاسبه $$ \\ lim_ (n \\ به \\ infty) s_n $$

در جریان تجزیه و تحلیل ریاضی، ثابت شده است که این محدودیت در مورد یک تابع پیوسته (یا قطعه قطعه قطعه) وجود دارد. او نامیده می شود یک انتگرال خاص از تابع y \u003d f (x) توسط بخش [a؛ ب] و نشان دادن:
\\ (\\ int \\ limits_a ^ b f (x) DX \\)
اعداد A و B محدودیت های یکپارچه (به ترتیب پایین و بالا) نامیده می شوند.

اجازه دهید ما به وظایف فوق بازگردیم تعریف یک منطقه داده شده در وظیفه 1 می تواند به شرح زیر بازنویسی کند:
\\ (s \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \\)
در اینجا S منطقه از تراپزی منحنی است که در شکل بالا نشان داده شده است. این متشکل است معنای هندسی یک انتگرال خاص.

تعیین نقطه حرکت نقطه حرکت در یک خط مستقیم با سرعت v \u003d v (t) در طول زمان از t \u003d a به t \u003d b، داده شده در Task 2، شما می توانید آن را بازنویسی کنید:

فرمول نیوتن - لایبنیا

برای شروع، آنها به سوال پاسخ خواهند داد: رابطه بین یکپارچگی خاص و ابتدایی چیست؟

پاسخ را می توان در مشکل یافت 2. از یک طرف، حرکت نقطه حرکت در یک خط مستقیم با سرعت v \u003d v (t) در طول دوره زمانی از t \u003d a به t \u003d b و محاسبه شده توسط فرمول
\\ (s \u003d \\ int \\ limits_a ^ b v v (t) dt \\)

از سوی دیگر، مختصات نقطه متحرک یک ابتدایی برای سرعت است - نشان دادن S (T)؛ این بدان معنی است که جنبش S توسط فرمول S \u003d S (B) - S (a) بیان شده است. در نتیجه، ما دریافت می کنیم:
\\ (s \u003d \\ int \\ limits_a ^ b v v (t) dt \u003d s (b) -s (a) \\)
جایی که S (T) ابتدایی برای v (t) است.

قضیه زیر در جریان تجزیه و تحلیل ریاضی ثابت شده است.
قضیه اگر تابع y \u003d f (x) در بخش پیوسته باشد [a؛ ب]، سپس فرمول معتبر است
\\ (s \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \u003d f (b) -f (a) \\)
جایی که f (x) ابتدایی برای f (x) است.

فرمول حاصل معمولا نامیده می شود نیوتن فرمول - لایبنیا به افتخار فیزیک انگلیسی اسحاق نیوتن (1643-1727) و فیلسوف آلمان Gottfried Leibnitsa (1646-1716)، که آن را به طور مستقل از یکدیگر و تقریبا به طور همزمان دریافت کرد.

در عمل، به جای ضبط f (b) - f (a)، آنها از ضبط \\ (\\ left f (x) \\ right | _a ^ b \\) استفاده می کنند (گاهی اوقات آن را نامیده می شود جایگزینی دوگانه) و بر این اساس، فرمول نیوتن را بازنویسی کنید - Leibnitsa در این فرم:
\\ (s \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \u003d \\ left. f (x) \\ right | _a ^ b \\)

محاسبه یکپارچگی خاص، ابتدا ابتدایی را پیدا کنید و سپس یک جایگزین را انجام دهید.

تکیه بر فرمول نیوتن - Leibnitsa، شما می توانید دو ویژگی یکپارچه خاص را دریافت کنید.

املاک 1 انتگرال از مقدار توابع برابر با مجموع انتگرال ها است:
\\ (\\ int \\ limits_a ^ b (f (x) + g (x)) dx \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx + \\ int \\ limits_a ^ b g (x) dx \\)

املاک 2 یک ضریب دائمی را می توان با علامت انتگرال به دست آورد:
\\ (\\ int \\ limits_a ^ b kf (x) dx \u003d k \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \\)

محاسبه ویژگی های مسطح با استفاده از یک انتگرال خاص

با کمک انتگرال، شما می توانید منطقه را نه تنها trapeats منحنی، بلکه همچنین چهره های مسطح بیشتر محاسبه کنید نمایش پیچیدهبرای مثال، این در این رقم ارائه شده است. شکل P محدود به X \u003d a، x \u003d B و نمودارهای توابع پیوسته Y \u003d f (x)، y \u003d g (x)، و در بخش [a؛ ب] نابرابری \\ (g (x) \\ leq f (x) \\) انجام می شود. برای محاسبه مربع چنین رقم، ما به شرح زیر عمل خواهیم کرد:
\\ (s \u003d s_ (abcd) \u003d s_ (ADCB) - s_ (aabb) \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx - \\ int \\ limits_a ^ b g (x) dx \u003d \\)
\\ (\u003d \\ int \\ limits_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \\)

بنابراین، منطقه S یک رقم محدود شده توسط X \u003d a، X \u003d B و نمودارهای توابع y \u003d f (x)، y \u003d g (x)، به طور مداوم در بخش و مانند هر X از بخش [ آ؛ ب] نابرابری \\ (g (x) \\ leq f (x) \\) انجام می شود، محاسبه شده توسط فرمول
\\ (s \u003d \\ int \\ limits_a ^ b (f (x) -g (x)) DX \\)

جدول انتگرال های نامحدود (ابتدایی) برخی از توابع

$$ \\ int 0 \\ cdot dx \u003d c $$$$ \\ int 1 \\ cdot dx \u003d x + c $$$$ \\ int x ^ n dx \u003d \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + c \\؛ \\؛ (n \\ neq -1) $$$$ \\ int \\ frac (1) (x) dx \u003d \\ ln | x | + C $$$$ \\ int e ^ x dx \u003d ^ x + c $$$$ \\ int a ^ x dx \u003d \\ frac (a ^ x) (\\ ln a) + c \\؛ \\؛ (a\u003e 0، \\؛ \\ nq 1) $$$$ \\ int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + c $$$$ \\ int \\ sin x dx \u003d - \\ cos x + c $$$ $ \\ int \\ frac (dx) (\\ cos ^ 2 x) \u003d \\ text (tg) x + c $$$$ \\ int \\ frac (DX) (\\ sin ^ 2 x) \u003d - \\ text (ctg) x + c $$$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ text (arcsin) x + c $$$$$ \\ int \\ frac (DX) (1 + x ^ 2) ) \u003d \\ text (arctg) x + c $$$$ \\ int \\ text (ch) x dx \u003d \\ text (sh) x + c $$$$ \\ int \\ text (sh) x dx \u003d \\ text (ch ) X + C $$

این رقم، محدود شده توسط یک نمودار غیر منفی مداوم در یک توابع $$ $$ $ f (x) $ و مستقیم $ y \u003d 0، \\ x \u003d $ $ و $ x \u003d b $، نامیده می شود trapezium curvilinear.

منطقه تراکم متناوب کنجکاو توسط فرمول محاسبه می شود:

$ s \u003d \\ int \\ limits_ (a) ^ (b) (f (x) dx). $ (*)

وظایف برای پیدا کردن منطقه از trapezium curvilinear ما به صورت مشروط با $ 4 $ نوع تقسیم می شود. هر نوع خواندن را در نظر بگیرید.

من تایپ می کنم: trapezium curvilinear به وضوح تنظیم شده است. سپس بلافاصله فرمول (*) را اعمال کنید.

به عنوان مثال، پیدا کردن منطقه از Trapezium curvilinear، محدود شده توسط گراف از عملکرد $ y \u003d 4- (x-2) ^ (2) $، و مستقیم $ y \u003d 0، \\ x \u003d 1 $ و $ x \u003d 3 دلار

این تراپزی منحنی را قرعه کشی کنید.

با استفاده از فرمول (*)، ما منطقه این trapezium curvilinear را پیدا خواهیم کرد.

$ s \u003d \\ int \\ limits_ (1) ^ (3) (\\ left (4- (x-2) ^ (2) \\ right) dx) \u003d \\ int \\ limits_ (1) ^ (3) (4dx) - \\ int \\ limits_ (1) ^ (3) ((x-2) ^ (2) dx) \u003d 4x | _ (1) ^ (3) - \\ left. \\ frac ((x-2) ^ (3) ) (3) \\ right | _ (1) ^ (3) \u003d $

$ \u003d 4 (3-1) - \\ frac (1) (3) \\ left (3-2) ^ (3) - (1-2) ^ (3) \\ right) \u003d 4 \\ cdot 2 - \\ frac (1) (3) \\ left ((1) ^ (3) - (- 1) ^ (3) \\ right) \u003d 8 - \\ righ (1) (3) (1 + 1) \u003d $

$ \u003d 8- \\ frac (2) (3) \u003d 7 \\ frac (1) (3) $ (واحد $ ^ (2) $).

II نوع: trapezoid انحصاری به صورت ضمنی تعریف شده است. این مورد معمولا مشخص نیست و یا مشخص شده است به طور جزئی مستقیم $ x \u003d a، \\ x \u003d b $. در این مورد، شما نیاز به پیدا کردن نقاط تقاطع توابع $ y \u003d f (x) $ و $ y \u003d 0 $. این نکات امتیاز $ A $ و $ b $ خواهد بود.

به عنوان مثال، پیدا کردن منطقه ای از شکل محدود توسط نمودارهای توابع $ y \u003d 1-x ^ (2) $ و $ y \u003d 0 $.

نقاط تقاطع را پیدا کنید. برای انجام این کار، بخش های مناسب توابع را معادل کنید.

بنابراین، $ a \u003d -1 $، و $ b \u003d 1 $. این تراپزی منحنی را قرعه کشی کنید.

منطقه این تراکم انحنا را پیدا کنید.

$ s \u003d \\ int \\ limits _ (- 1) ^ (1) (\\ left (1-x ^ (2) \\ right) dx) \u003d \\ int \\ limits _ (- 1) ^ (1) (1dx) - \\ int \\ limits _ (- 1) ^ (1) (x ^ (2) dx) \u003d x | _ (- 1) ^ (1) - \\ left. \\ frac (x ^ (3)) (3) \\ راست | _ (-1) ^ (1) \u003d $

$ \u003d (1 - (- 1)) - \\ fricac (1) (3) \\ left (1 ^ (3) - (- 1) ^ (3) \\ right) \u003d 2 - \\ frac (1) (3) \\ left (1 + 1 \\ right) \u003d 2 - \\ frac (2) (3) \u003d 1 \\ frac (1) (3) $ (واحد $ ^ (2) $).

III نوع: منطقه شکل، محدود شده توسط تقاطع دو توابع غیر منفی مداوم. این رقم یک تراپزی منحنی نیست و بنابراین، با کمک فرمول (*)، منطقه آن محاسبه نمی شود. چگونه باید باشیم؟معلوم می شود که منطقه این رقم را می توان به عنوان تفاوت در زمینه های تراشه های منحنی محدود شده توسط عملکرد فوقانی و $ y \u003d 0 $ ($ s_ (UF) $) یافت می شود و عملکرد پایین تر و $ Y \u003d 0 $ ($ s_ (LF) $)، جایی که در نقش $ x \u003d a، \\ x \u003d b $، مختصات مختصات $ x $ از تقاطع این توابع، I.E.

$ s \u003d s_ (uf) -s_ (lf) $. (**)

مهمترین چیز در هنگام محاسبه چنین مناطقی "از دست" با انتخاب عملکرد بالا و پایین نیست.

به عنوان مثال، پیدا کردن منطقه ای از شکل محدود توسط توابع $ y \u003d x ^ (2) $ و $ y \u003d x + $ 6.

نقاط تقاطع این نمودارها را پیدا کنید:

در قضیه Vieta،

$ x_ (1) \u003d - 2، \\ x_ (2) \u003d 3. $

این، $ a \u003d -2، \\ b \u003d $ 3 است. من شکل را نشان خواهم داد:

بنابراین، عملکرد فوقانی $ y \u003d x + $ 6 است، و پایین تر از $ y \u003d x ^ (2) $ است. بعد، ما $ S_ (UF) $ و $ s_ (LF) $ را با فرمول (*) پیدا می کنیم.

$ s_ (uf) \u003d \\ int \\ limits _ (- 2) ^ (3) ((x + 6) dx) \u003d \\ int \\ limits _ (- 2) ^ (3) (xDx) + \\ int \\ limits _ (- 2) ^ (3) (6dx) \u003d \\ left. \\ frac (x ^ (2)) (2) \\ right | _ (- 2) ^ (3) + 6x | _ (- 2) ^ (3 ) \u003d 32، 5 دلار (واحد $ ^ (2) $).

$ s_ (lf) \u003d \\ int \\ limits _ (- 2) ^ (3) (x ^ (2) dx) \u003d \\ left. \\ frac (x ^ (3)) (3) \\ right | _ (- 2 ) ^ (3) \u003d \\ frac (35) (3) $ (واحد $ ^ (2) $).

ما جایگزین (**) یافتیم (**) و ما دریافت می کنیم:

$ s \u003d 32.5- \\ frac (35) (3) \u003d \\ frac (125) (6) $ (واحد $ ^ (2) $).

نوع IV: منطقه شکل، محدود شده توسط تابع (ها)، نه رضایت بخش (ها) شرایط غیر منفی است. به منظور پیدا کردن منطقه ای از چنین رقمی، شما نیاز به متقارن نسبت به محور $ OX $ ( به عبارت دیگر، قبل از عملکردها "منفی ها" را قرار دهید) برای نمایش منطقه و استفاده از روش های تعیین شده در نوع I - III، منطقه ای از منطقه نمایش داده شده را پیدا کنید. این منطقه منطقه مورد نظر خواهد بود. پیش از این، ممکن است مجبور شوید نقاط تقاطع گراف های توابع را پیدا کنید.

به عنوان مثال، پیدا کردن منطقه ای از شکل محدود توسط نمودارهای توابع $ y \u003d x ^ (2) -1 $ و $ y \u003d 0 $.

پیدا کردن نقاط تقاطع نمودارهای توابع:

کسانی که. $ a \u003d -1 $، و $ b \u003d 1 $. منطقه را از بین ببرید

به طور متقارن منطقه را نمایش می دهد:

$ y \u003d 0 \\ \\ \\ rightarrow \\ y \u003d -0 \u003d 0 $

$ y \u003d x ^ (2) -1 \\ \\ rightarrow \\ y \u003d - (x ^ (2) -1) \u003d 1-x ^ (2) $.

به نظر می رسد یک تراپزی منحنی، محدود شده توسط یک نمودار از عملکرد $ y \u003d 1-x ^ (2) $ و $ y \u003d 0 $. این وظیفه پیدا کردن یک تراپزی منحنی از نوع دوم است. ما قبلا آن را حل کرده ایم. پاسخ چنین بود: $ s \u003d 1 \\ frac (1) (3) $ (واحد $ ^ (2) $). این بدان معنی است که منطقه تراکم منحنی مورد نظر برابر است:

$ s \u003d 1 \\ frac (1) (3) $ (واحد $ ^ (2) $).

لازم است که محاسبه منطقه ای از تراکم منحنی محدود شده توسط مستقیما،
,
هر دو منحنی
.

ما قطع می کنیم
سخنگو بخش های ابتدایی، طول
بخش دوم
. بازگرداندن عمود بر نقاط جداسازی بخش به تقاطع با منحنی
، بگذارید
. در نتیجه، ما دریافت می کنیم تراپزی های ابتدایی، مجموع مساحت آنها به وضوح برابر با مجموع یک تراپزی منحصر به فرد است.

ما بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع بر روی هر فاصله ابتدایی را در اولین فاصله زمانی تعریف می کنیم.
، در دوم
و غیره. محاسبه مبلغ

مبلغ اول منطقه ای از همه موارد توصیف شده است، دوم - منطقه ای از همه موجود در تراپزی کورتیک مستطیل وجود دارد.

واضح است که مقدار اول مقدار تقریبی منطقه تراپزی "با بیش از حد"، دوم - "با معایب" می دهد. مقدار اول مقدار بالایی Darboux نامیده می شود، دوم - با توجه به مقدار پایین Darboua. بنابراین، منطقه تراکم منحنی نابرابری را برآورده می کند
. پیدا کردن چگونگی مقادیر Darboux با افزایش تعداد نقاط تقسیم بندی رفتار کنید
. اجازه دهید تعداد نقاط پارتیشن توسط یکی افزایش یابد، و آن را در وسط فاصله است
. در حال حاضر تعداد شبیه است

بازرسی شده و مستطیل های توصیف شده توسط یک افزایش یافته است. در نظر بگیرید که مقدار پایین Darbu تغییر کرده است. به جای مربع
یک مستطیل فیشر برابر است
ما مقدار دو مستطیل را دریافت می کنیم
از زمان طول
نمی تواند کمتر باشد
کوچکترین ارزش عملکرد بر روی
. از سوی دیگر،
، تا آنجا که
نمی تواند بیشتر باشد
بزرگترین ارزش عملکرد در فاصله
. بنابراین، اضافه کردن نقاط شکستن بخش جدید، مقدار مقدار پایین Darboux را افزایش می دهد و مقدار بالایی Darbou را کاهش می دهد. در عین حال، مقدار پایین Darboux با افزایش تعداد نقاط پارتیشن نمی تواند از مقادیر هر مقدار بالایی تجاوز کند، زیرا مجموع قسمت های مستطیل های توصیف شده همیشه است مبلغ بیشتر مربع ها در یک قطعه قطعه قطعه قطعه قطعه قطعه شده است.

بنابراین، دنباله ای از مقادیر پایین Darboux با افزایش تعداد نقاط تقسیم بندی بخش افزایش می یابد و از بالا محدود است، با توجه به قضیه شناخته شده، آن را محدود می کند. این محدودیت منطقه یک تراپزی منحصر به فرد است.

به طور مشابه، دنباله ای از مقادیر بالایی Darboux با افزایش تعداد نقاط جداسازی فاصله کاهش می یابد و از پایین هر مقدار پایین Darboux محدود می شود، به این معنی است که آن را نیز محدودیتی دارد و همچنین برابر است منطقه تراپزی منحنی.

بنابراین، برای محاسبه منطقه تراپزی منحنی، کافی است تقسیم فاصله برای تعیین پایین یا مقدار بالایی Darboua و سپس محاسبه
، یا
.

با این حال، چنین راه حلی برای این کار با هر یک از پارتیشن های متعددیانه خودسرانه فرض می شود
، پیدا کردن هر یک از دوره های ابتدایی بزرگترین یا کوچکترین ارزش تابع، که یک کار بسیار وقت گیر است.

یک راه حل ساده تر توسط مقدار انتگرال ریمان به دست می آید، که است

جایی که
برخی از نقاط هر دوره ابتدایی، یعنی
. در نتیجه، مقدار انتگرال Riemann مجموع مناطق همه نوع مستطیل ها است، و
. همانطور که در بالا نشان داده شد، محدودیت های مقدار بالا و پایین Darboux یکسان هستند و برابر با مساحت trapezium curvilinear هستند. با استفاده از یکی از خواص محدودیت عملکرد (حاکمیت دو پلیس)، ما این را با هر گونه تقسیم بخش دریافت می کنیم
و انتخاب امتیاز منطقه تراپزی منحنی را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد
.