جدول معادلات مثلثاتی روش های حل معادلات مثلثاتی

دوره ویدئو "دریافت پنج" شامل تمام تم های مورد نیاز برای امتحان موفقیت آمیز در ریاضیات تا 60-65 امتیاز است. به طور کامل تمام وظایف 1-13 امتحان نمایه در ریاضیات. همچنین برای راه اندازی EGE اولیه در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید امتحان را برای 90-100 امتیاز امتحان کنید، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون خطا حل کنید!

آماده سازی دوره برای امتحان برای کلاس 10-11، و همچنین برای معلمان. همه چیز شما نیاز به حل بخش 1 از ege در ریاضیات (12 وظیفه اول) و وظیفه 13 (مثلثات). و این بیش از 70 امتیاز در امتحان است، و بدون آنها این نیست که با چکش، و نه انسانی.

تمام نظریه لازم راه های سریع حل، تله ها و اسرار امتحان. تمام وظایف واقعی بخش 1 از بانک های OPPI جدا شده اند. این دوره به طور کامل با الزامات EGE-2018 مطابقت دارد.

این دوره شامل 5 موضوع بزرگ است، برای 2.5 ساعت هر. هر موضوع از خراش داده می شود، فقط و قابل فهم است.

صدها وظیفه به امتحان. وظایف متن و نظریه احتمال. الگوریتم های حل وظیفه ساده و به راحتی به یاد ماندنی. هندسه. نظریه، مواد مرجع، تجزیه و تحلیل انواع مختلفی از تکالیف استفاده. استمتری تکنیک های گیره راه حل ها، کابین های مفید، توسعه تخیل فضایی. مثلثات از ابتدا - به وظیفه 13. درک به جای شوک. توضیح بصری مفاهیم پیچیده. جبر ریشه ها، درجه ها و لگاریتم ها، عملکرد و مشتق شده. پایه برای حل وظایف پیچیده 2 بخش از امتحان.

این نیاز به دانستن فرمول های اساسی مثلثات - مجموع مربعات سینوس و کوزین، بیان مماس از طریق سینوس و کوزین و دیگران است. برای کسانی که آنها را فراموش کرده اند یا نمی دانند، توصیه می کنیم مقاله را بخوانید "".
بنابراین، ما می دانیم فرمول های اصلی مثلثاتی، وقت آن است که از آنها در عمل استفاده کنیم. حل معادلات مثلثاتی با استفاده از رویکرد درست، یک فعالیت نسبتا هیجان انگیز، مانند مثال، برای جمع آوری مکعب روبیک.

بر اساس این نام، می توان دید که معادله مثلثاتی معادله ای است که در آن ناشناخته تحت یک تابع مثلثاتی است.
به اصطلاح معادلات مثلثاتی ساده وجود دارد. در اینجا چیزی است که آنها نگاه می کنند: sinh \u003d a، cos x \u003d a، tg x \u003d a. در نظر گرفتن چگونه می توان چنین معادلات مثلثاتی را حل کردبرای وضوح، ما از دایره مثلثاتی در حال حاضر آشنا استفاده خواهیم کرد.

sinh \u003d a

cos x \u003d a

tg x \u003d a

کمربند x \u003d a

هر معادله مثلثاتی در دو مرحله حل شده است: معادله را به ساده ترین شکل بدهید و سپس آن را به عنوان ساده ترین معادله مثلثاتی حل کنید.
7 روش اساسی وجود دارد که معادلات مثلثاتی حل می شوند.

1. روش جایگزینی متغیر و جایگزینی

حل معادله 2COS 2 (X + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 \u003d 0

با استفاده از فرمول ها، ما دریافت می کنیم:

2COS 2 (X + / 6) - 3COS (X + / 6) +1 \u003d 0

جایگزین COS (X + / 6) به Y برای ساده سازی و دریافت یک معادله مربع متعارف:

2Y 2 - 3Y + 1 + 0

ریشه های که y 1 \u003d 1، y 2 \u003d 1/2

حالا ما به ترتیب معکوس می رویم

ما مقادیر یافت شده Y را جایگزین می کنیم و دو پاسخ را دریافت می کنیم:

2. حل معادلات مثلثاتی از طریق تجزیه ضربان

چگونه برای حل معادله SIN X + COS X \u003d 1؟

ما همه چیز را به سمت چپ به سمت راست انتقال می دهیم 0:

sIN X + COS X - 1 \u003d 0

ما از هویت های بلند برای ساده سازی معادله استفاده می کنیم:

گناه x - 2 گناه 2 (x / 2) \u003d 0

ما انبساط را گسترش می دهیم:

2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 SIN 2 (x / 2) \u003d 0

2sin (x / 2) * \u003d 0

ما دو معادله را دریافت می کنیم

3. آوردن یک معادله همگن

معادله همگن نسبت به سینوس و کوزین است، اگر همه اعضای آن نسبت به سینوس و کنسوریز از همان درجه زاویه مشابه باشند. برای حل معادله همگن، به صورت زیر وارد کنید:

الف) انتقال تمام اعضای خود را به سمت چپ؛

ب) تمام عوامل مشترک را برای براکت ها؛

ج) برابر هر چندتایی و براکت به 0؛

د) در براکت ها یک معادله همگن را به میزان کم به دست آورد، به نوبه خود به سینوس یا کوزین به درجه بالا تقسیم می شود؛

الف) معادله حاصل از TG را حل کنید.

حل معادله 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x \u003d 2

ما از فرمول SIN 2 X + COS 2 X \u003d 1 استفاده می کنیم و دو بار به سمت راست باز می شود:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x \u003d 2sin 2 x + 2cos 2 x

گناه 2 X + 4 SIN X COS X + 3 COS 2 X \u003d 0

ما در COS X تقسیم می کنیم:

tG 2 X + 4 TG X + 3 \u003d 0

ما جایگزین TG X به Y می شویم و یک معادله مربع دریافت می کنیم:

y 2 + 4Y +3 \u003d 0، ریشه های که y 1 \u003d 1، y 2 \u003d 3

از اینجا ما دو راه حل معادله منبع را پیدا می کنیم:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. حل معادلات، از طریق انتقال به نیم گوشه

حل معادله 3sin X - 5COS x \u003d 7

برو به x / 2:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) \u003d 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

Preen همه چپ:

2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) \u003d 0

ما در COS تقسیم می کنیم (x / 2):

tG 2 (x / 2) - 3TG (x / 2) + 6 \u003d 0

5. معرفی گوشه کمکی

برای در نظر گرفتن معادله فرم: یک گناه x + b cos x \u003d c،

جایی که A، B، C برخی از ضرایب دلخواه است و X ناشناخته است.

هر دو بخش معادله به تقسیم می شوند:



در حال حاضر ضرایب معادله با توجه به فرمول های مثلثاتی، خواص گناه و cos، یعنی: ماژول آنها بیش از 1 نیست و مجموع مربعات \u003d 1. آنها را به ترتیب به عنوان COS و SIN، جایی که آن را نشان می دهد به اصطلاح زاویه کمکی. سپس معادله فرم را می گیرد:

cOS * SIN X + SIN * COS X \u003d C

یا گناه (x +) \u003d c

با راه حل این ساده ترین معادله مثلثاتی خواهد بود

x \u003d (-1) k * arcsin c - + k، جایی که



لازم به ذکر است که تعیین کنندگان COS و SIN قابل تعویض هستند.

حل معادله SIN 3X - COS 3X \u003d 1

در این معادله، ضرایب:

a \u003d، b \u003d -1، بنابراین ما هر دو بخش را با \u003d 2 تقسیم می کنیم

درس برای کاربرد یکپارچه دانش.

اهداف درس

1. روش های مختلفی برای حل معادلات مثلثاتی را در نظر بگیرید.
2. توسعه توانایی های خلاق دانش آموز با حل معادلات.
3. فراموشی دانشجویان به کنترل خود، ارتباط برقرار کردن، خودآموزی از فعالیت های مطالعه آن.

تجهیزات: صفحه نمایش، پروژکتور، مواد مرجع.

در طول کلاس ها

مکالمه مقدماتی

روش اصلی حل معادلات مثلثاتی، اطلاعاتی از ساده ترین آنها است. در این مورد، روش های معمول استفاده می شود، به عنوان مثال، تجزیه چند ضلعی، و همچنین تکنیک های مورد استفاده تنها برای حل معادلات مثلثاتی استفاده می شود. به عنوان مثال، این تکنیک ها بسیار زیاد است، به عنوان مثال، جایگزینی های مختلف مثلثاتی، تبدیل زاویه، تبدیل توابع مثلثاتی. استفاده ناسازگار از هر گونه تحول مثلثاتی معمولا معادله را ساده نمی کند، و باعث می شود فاجعه دشوار باشد. به منظور کار به طور کلی، راه حل های معادله، راه اندازی مسیر معادله را به ساده ترین، باید اول از همه تجزیه و تحلیل زاویه - استدلال از توابع مثلثاتی که در معادله گنجانده شده است.

امروز ما در مورد روش های حل معادلات مثلثاتی صحبت خواهیم کرد. روش به درستی انتخاب شده اغلب به شما اجازه می دهد تا به طور قابل توجهی ساده راه حل را ساده کنید، بنابراین تمام روش هایی که ما آموخته ایم، همیشه باید توجه خود را در منطقه برای حل معادلات مثلثاتی مناسب ترین روش را حفظ کنیم.

دوم (با کمک پروژکتور، ما روش های حل معادلات را تکرار می کنیم.)

1. روش آوردن معادله مثلثاتی به جبری.

لازم است تمام توابع مثلثاتی را از طریق یک، با همان استدلال بیان کنید. این را می توان با کمک هویت اصلی مثلثاتی و عواقب آن انجام داد. ما معادله را با یک تابع مثلثاتی دریافت می کنیم. پس از پذیرش آن برای ناشناخته جدید، ما یک معادله جبری دریافت می کنیم. ما آن را ریشه می کنیم و به ناشناخته قدیمی بازگشته ایم، ساده ترین معادلات مثلثاتی را حل می کنیم.

2. روش تجزیه بر ضرب سازی ها.

برای تغییر گوشه ها، فرمول ها، مبالغ و تفاوت های استدلال، و همچنین فرمول برای تحول مقدار (تفاوت) توابع مثلثاتی در کار و بالعکس، اغلب مفید هستند.

sIN X + SIN 3X \u003d SIN 2X + SIN4X

3. روش معرفی یک زاویه اضافی.

4. روش استفاده از جایگزینی جهانی.

معادلات فرم F (SINX، COSX، TGX) \u003d 0 به جبری به جبری کاهش می یابد با کمک یک تعویض مثلثاتی جهانی

بیان سینوس، کوزین و مماس از طریق نیمه زاویه نیمه. این تکنیک می تواند به معادله مرتبه بالا منجر شود. راه حل دشوار است

هنگام حل بسیاری وظایف ریاضیبه خصوص کسانی که تا 10 کلاس مواجه می شوند، روش اقدامات انجام شده، که منجر به هدف می شود، قطعا تعریف شده است. چنین اهدافی عبارتند از: به عنوان مثال، معادلات خطی و مربع، نابرابری های خطی و مربع، معادلات کسر و معادلات که به مربع کاهش می یابد. اصل راه حل موفقیت آمیز هر یک از وظایف ذکر شده به شرح زیر است: لازم است که چگونه نوع حل مسئله مربوطه مربوط می شود، برای به یاد آوردن توالی لازم از اقداماتی که منجر به نتیجه مطلوب می شود، I.E. پاسخ، و انجام این اقدامات.

واضح است که موفقیت یا شکست در حل یک یا چند کار دیگر به طور عمده به چگونگی به درستی نوع معادله تعریف می شود که به درستی به درستی دنباله ای از تمام مراحل راه حل آن، تولید می شود. البته، لازم است که مهارت های انجام تحولات و محاسبات مشابه را داشته باشیم.

وضعیت دیگر با آن به دست می آید معادلات مثلثاتی این واقعیت را تعیین کنید که معادله مثلثاتی است، کاملا دشوار نیست. در هنگام تعیین دنباله ای از اقداماتی که به پاسخ صحیح منجر می شود، مشکلات ظاهر می شود.

با توجه به ظاهر معادله، گاهی اوقات تعیین نوع آن دشوار است. و نه شناخت نوع معادله، تقریبا غیرممکن است که از چندین فرمول مثلثاتی که لازم است انتخاب شود.

برای حل معادله مثلثاتی، باید سعی کنید:

1. ایجاد تمام توابع موجود در معادله به "همان گوشه ها"؛
2. یک معادله را به "توابع یکسان" ایجاد کنید؛
3. قسمت چپ معادله کارخانه را بگذارید و غیره

در نظر گرفتن روش های اساسی برای حل معادلات مثلثاتی.

I. آوردن ساده ترین معادلات مثلثاتی

راه حل اسکیت

مرحله 1 عملکرد مثلثاتی را از طریق اجزای شناخته شده بیان کنید.

گام 2. یک تابع استدلال را با فرمول ها پیدا کنید:

cos x \u003d a؛ x \u003d ± arccos a + 2πn، n Еz.

گناه x \u003d a؛ x \u003d (-1) n arcsin a + πn، n є z.

tg x \u003d a؛ x \u003d arctg a + πn، n є z.

ctg x \u003d a؛ x \u003d arcctg a + πn، n є z.

مرحله 3 یک متغیر ناشناخته پیدا کنید

مثال.

2 COS (3x - π / 4) \u003d -√2.

تصمیم گیری

1) COS (3x - π / 4) \u003d -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 \u003d ± (π - π / 4) + 2πn، n є z؛

3x - π / 4 \u003d ± 3π / 4 + 2πn، n є Z.

3) 3x \u003d ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn، n є z؛

x \u003d ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3، n є z؛

x \u003d ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3، n є z.

پاسخ: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3، n є z.

دوم جایگزینی متغیر

راه حل اسکیت

مرحله 1 یک معادله را به فرم جبری نسبت به یکی از توابع مثلثاتی ایجاد کنید.

گام 2. تابع نتیجه متغیر t را تعیین کنید (در صورت لزوم، محدودیت های T را وارد کنید).

مرحله 3 ثبت و حل معادله جبری نتیجه.

مرحله 4 یک جایگزین کنید

مرحله 5 ساده ترین معادله مثلثاتی را حل کنید.

مثال.

2COS 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0.

تصمیم گیری

1) 2 (1 - SIN 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0؛

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 \u003d 0.

2) اجازه دهید گناه (x / 2) \u003d t، جایی که | t | ≤ 1.

3) 2T 2 + 5T + 3 \u003d 0؛

t \u003d 1 یا e \u003d -3/2، شرایط را برآورده نمی کند | T | ≤ 1.

4) گناه (x / 2) \u003d 1.

5) x / 2 \u003d π / 2 + 2πn، n є z؛

x \u003d π + 4πn، n є z.

پاسخ: x \u003d π + 4πn، n є z.

III روش کاهش ترتیب معادله

راه حل اسکیت

مرحله 1 جایگزین این معادله خطی با استفاده از فرمول کاهش درجه برای این موضوع:

sIN 2 x \u003d 1/2 · (1 - cos 2x)؛

cos 2 x \u003d 1/2 · (1 + cos 2x)؛

tG 2 X \u003d (1 - COS 2X) / (1 + COS 2X).

گام 2. معادله به دست آمده را با استفاده از روش های I و II حل کنید.

مثال.

cOS 2X + COS 2 X \u003d 5/4.

تصمیم گیری

1) COS 2X + 1/2 · (1 + COS 2X) \u003d 5/4.

2) COS 2X + 1/2 + 1/2 · COS 2X \u003d 5/4؛

3/2 · COS 2X \u003d 3/4؛

2x \u003d ± π / 3 + 2πn، n є z؛

x \u003d ± π / 6 + πn، n є z.

پاسخ: x \u003d ± π / 6 + πn، n є z.

IV معادلات یکنواخت

راه حل اسکیت

مرحله 1 این معادله را به فرم برسانید

الف) یک گناه x + b cos x \u003d 0 (معادله همگن درجه اول)

یا به دید

ب) یک گناه 2 x + b sin x · x + c cos 2 x \u003d 0 (معادله همگن درجه دوم).

گام 2. تقسیم هر دو بخش از معادله

a) x ≠ 0؛

ب) cos 2 x ≠ 0؛

و معادله نسبت به TG X را دریافت کنید:

a) a tg x + b \u003d 0؛

ب) TG 2 X + B Arctg X + C \u003d 0.

مرحله 3 معادله را با روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 \u003d 0.

تصمیم گیری

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) \u003d 0؛

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x \u003d 0؛

sIN 2 X + 3SIN X · COS X - 4COS 2 X \u003d 0 / COS 2 x ≠ 0.

2) TG 2 X + 3TG X - 4 \u003d 0.

3) اجازه دهید TG x \u003d t، سپس

t 2 + 3T - 4 \u003d 0؛

t \u003d 1 یا t \u003d -4، سپس

tG X \u003d 1 یا TG X \u003d -4.

از اولین معادله x \u003d π / 4 + πn، n є z؛ از معادله دوم x \u003d -Ararctg 4 + Πk، k є z.

پاسخ: x \u003d π / 4 + πn، n є z؛ x \u003d -Ararctg 4 + πk، k є z.

V. روش تبدیل معادله با استفاده از فرمول های مثلثاتی

راه حل اسکیت

مرحله 1 با استفاده از انواع فرمول های مثلثاتی، این معادله را به معادله هدایت می کند، روش های حل شده I، II، III، IV را حل می کند.

گام 2. روش های شناخته شده معادلات را حل کنید.

مثال.

sIN X + SIN 2X + SIN 3X \u003d 0.

تصمیم گیری

1) (SIN X + SIN 3X) + SIN 2X \u003d 0؛

2sin 2x · COS X + SIN 2X \u003d 0.

2) sIN 2X · (2COS X + 1) \u003d 0؛

sIN 2X \u003d 0 یا 2COS X + 1 \u003d 0؛

از اولین معادله 2x \u003d π / 2 + πn، n є z؛ از معادله دوم COS X \u003d -1/2.

ما x \u003d π / 4 + πn / 2، n є z داریم؛ از معادله دوم x \u003d ± (π - π / 3) + 2πk، k є z.

به عنوان یک نتیجه، x \u003d π / 4 + πn / 2، n є z؛ x \u003d ± 2π / 3 + 2πk، k є z.

پاسخ: x \u003d π / 4 + πn / 2، n є z؛ x \u003d ± 2π / 3 + 2πk، k є z.

مهارت ها و مهارت ها برای حل معادلات مثلثاتی بسیار است مهم، توسعه آنها نیاز به تلاش های قابل توجهی دارد، هر دو دانش آموز و از معلم.

با راه حل معادلات مثلثاتی، بسیاری از چالش های کلیتریمتری، فیزیک و دیگران با روند حل این وظایف همراه است، همانطور که بود، بسیاری از دانش و مهارت ها را که در مطالعه عناصر مثلثات خریداری می شود، به دست می آورد.

معادلات مثلثاتی یک مکان مهم در روند یادگیری ریاضیات و توسعه شخصیت را به طور کلی اشغال می کنند.

سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنید؟
برای دریافت کمک معلم - ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است!

سایت، با کپی کامل یا جزئی مرجع مادی به منبع اصلی مورد نیاز است.

مفهوم حل معادلات مثلثاتی.

• برای حل معادله مثلثاتی، آن را به یک یا چند معادلات اصلی مثلثاتی تبدیل کنید. راه حل معادله مثلثاتی در نهایت به حل چهار معادلات اصلی مثلثاتی می شود.

راه حل معادلات اصلی مثلثاتی.

• 4 نوع معادلات اصلی مثلثاتی وجود دارد:
• گناه x \u003d a؛ cos x \u003d a
• tg x \u003d a؛ ctg x \u003d a
• راه حل معادلات اصلی مثلثاتوری، توجه به مقررات مختلف "X" را بر روی یک دایره واحد، و همچنین استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب) است.
• مثال 1. SIN X \u003d 0.866. با استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب)، شما یک پاسخ دریافت خواهید کرد: x \u003d π / 3. یک دایره واحد پاسخ دیگری می دهد: 2π / 3. به یاد داشته باشید: تمام توابع مثلثاتی دوره ای هستند، یعنی مقادیر آنها تکرار می شوند. به عنوان مثال، فرکانس SIN X و COS X 2πn است و فرکانس TG X و CTG X برابر با πn است. بنابراین، پاسخ به شرح زیر نوشته شده است:
• x1 \u003d π / 3 + 2πn؛ x2 \u003d 2π / 3 + 2πn.
• مثال 2. cos x \u003d -1/2. با استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب)، پاسخ را دریافت خواهید کرد: x \u003d 2π / 3. یک دایره واحد پاسخ دیگری می دهد: -2π / 3.
• x1 \u003d 2π / 3 + 2π؛ x2 \u003d -2π / 3 + 2π.
• مثال 3. TG (x - π / 4) \u003d 0.
• پاسخ: x \u003d π / 4 + πn.
• مثال 4. CTG 2X \u003d 1.732.
• پاسخ: x \u003d π / 12 + πn.

تحول مورد استفاده در حل معادلات مثلثاتی.

• برای تبدیل معادلات مثلثاتی، تحولات جبری (تجزیه چندگانه، اعطای اعضای همگن، و غیره) و هویت های مثلثاتی استفاده می شود.
• مثال 5. استفاده از هویت های مثلثاتی، معادله SIN X + SIN 2X + SIN 3x \u003d 0 به معادله 4COS X * SIN (3x / 2) * COS (x / 2) \u003d 0. تبدیل شده است. بنابراین، معادلات اصلی مثلثاتی زیر باید حل شود: cos x \u003d 0؛ گناه (3x / 2) \u003d 0؛ cos (x / 2) \u003d 0.

• پیدا کردن زاویه با توجه به مقادیر شناخته شده توابع.

  • قبل از مطالعه روش های حل معادلات مثلثاتی، شما باید یاد بگیرید چگونه به پیدا کردن گوشه ها بر اساس مقادیر شناخته شده توابع. این را می توان با استفاده از جدول تبدیل یا ماشین حساب انجام داد.
  • مثال: COS X \u003d 0.732. ماشین حساب پاسخ X \u003d 42.95 درجه را ارائه می دهد. یک دایره تک زاویه های اضافی را می دهد که Cosin نیز برابر با 0.732 است.

• تصمیم گیری در یک دایره تک.

  • شما می توانید راه حل های معادله مثلثاتی را روی یک دایره تک به تعویق بیندازید. راه حل های معادله مثلثاتی در یک دایره تک، رأس چند ضلعی درست است.
  • به عنوان مثال: راه حل های x \u003d π / 3 + πn / 2 در یک دایره تک رأی از مربع هستند.
  • به عنوان مثال: راه حل های x \u003d π / 4 + πn / 3 در یک دایره تک رأی از شش ضلعی صحیح هستند.

• روش ها برای حل معادلات مثلثاتی.

  • اگر این معادله مثلثاتی شامل تنها یک تابع مثلثاتی باشد، این معادله را به عنوان یک معادله مثلثاتی اساسی تعیین کنید. اگر این معادله شامل دو یا چند توابع مثلثاتی باشد، پس از آن 2 روش برای حل چنین معادله وجود دارد (بسته به احتمال تحول آن).
    • روش 1
  • این معادله را به معادله فرم تبدیل کنید: f (x) * g (x) * h (x) \u003d 0، جایی که f (x)، g (x)، h (x) معادلات اصلی مثلثاتی است.
  • مثال 6. 2COS X + SIN 2X \u003d 0. (0< x < 2π)
  • تصمیم گیری با استفاده از فرمول یک زاویه زاویه دوگانه 2x \u003d 2 * SIN X * COS X، SIN 2X را جایگزین کنید.
  • 2sos X + 2 * SIN X * COS X \u003d 2COS X * (SIN X + 1) \u003d 0. اکنون دو معادله اصلی مثلثاتی را انتخاب کنید: COS X \u003d 0 و (SIN X + 1) \u003d 0.
  • مثال 7. COS X + COS 2X + COS 3X \u003d 0. (0< x < 2π)
  • راه حل: استفاده از هویت های مثلثاتی، تبدیل این معادله به معادله فرم: COS 2X (2COS X + 1) \u003d 0. اکنون دو معادله اصلی مثلثاتی را انتخاب کنید: COS 2X \u003d 0 و (2COS X + 1) \u003d 0.
  • مثال 8. SIN X - SIN 3X \u003d COS 2X. (0< x < 2π)
  • راه حل: استفاده از هویت های مثلثاتی، تبدیل این معادله به معادله فرم: -COS 2X * (2Sin X + 1) \u003d 0. اکنون دو معادله اصلی مثلثاتی را انتخاب کنید: COS 2X \u003d 0 و (2Sin X + 1) \u003d 0 .
    • روش 2
  • تبدیل این معادله مثلثاتی را به معادله حاوی تنها یک تابع مثلثاتی تبدیل کنید. سپس این تابع مثلثاتی را به برخی از ناشناخته ها جایگزین کنید، به عنوان مثال، t (sin x \u003d t؛ cos x \u003d t؛ cos 2x \u003d t، tg x \u003d t؛ tg (x / 2) \u003d t، و غیره).
  • مثال 9. 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x \u003d 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • تصمیم گیری در این معادله، جایگزین (cos ^ 2 x) (1 - sin ^ 2 x) (با توجه به هویت). معادله تبدیل شده است:
  • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 \u003d 0. جایگزین SIN X در T. در حال حاضر معادله به نظر می رسد: 5T ^ 2 - 4T - 9 \u003d 0. این یک معادله مربع دارای دو ریشه است: T1 \u003d -1 و T2 \u003d 9/5. ریشه دوم T2 مقادیر ارزش های تابع را برآورده نمی کند (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • مثال 10. TG X + 2 TG ^ 2 X \u003d CTG X + 2
  • تصمیم گیری جایگزین TG X در T. معادله اولیه را در فرم زیر حذف کنید: (2T + 1) (T ^ 2 - 1) \u003d 0. اکنون پیدا کنید، و سپس X را برای T \u003d TG X پیدا کنید.