مجتمع تراپزی مربع. یکپارچه خاص چگونه می توان منطقه را محاسبه کرد

این رقم، محدود شده توسط یک نمودار غیر منفی مداوم در یک توابع $$ $$ $ f (x) $ و مستقیم $ y \u003d 0، \\ x \u003d $ $ و $ x \u003d b $، نامیده می شود trapezium curvilinear.

منطقه مناسب trapezium curvilinear محاسبه شده توسط فرمول:

$ s \u003d \\ int \\ limits_ (a) ^ (b) (f (x) dx). $ (*)

وظایف برای پیدا کردن منطقه از trapezium curvilinear ما به صورت مشروط با $ 4 $ نوع تقسیم می شود. هر نوع خواندن را در نظر بگیرید.

من تایپ می کنم: trapezium curvilinear به وضوح تنظیم شده است. سپس بلافاصله فرمول (*) را اعمال کنید.

به عنوان مثال، پیدا کردن منطقه از Trapezium curvilinear، محدود شده توسط گراف از عملکرد $ y \u003d 4- (x-2) ^ (2) $، و مستقیم $ y \u003d 0، \\ x \u003d 1 $ و $ x \u003d 3 دلار

این تراپزی منحنی را قرعه کشی کنید.

با استفاده از فرمول (*)، ما منطقه این trapezium curvilinear را پیدا خواهیم کرد.

$ s \u003d \\ int \\ limits_ (1) ^ (3) (\\ left (4- (x-2) ^ (2) \\ right) dx) \u003d \\ int \\ limits_ (1) ^ (3) (4dx) - \\ int \\ limits_ (1) ^ (3) ((x-2) ^ (2) dx) \u003d 4x | _ (1) ^ (3) - \\ left. \\ frac ((x-2) ^ (3) ) (3) \\ right | _ (1) ^ (3) \u003d $

$ \u003d 4 (3-1) - \\ frac (1) (3) \\ left (3-2) ^ (3) - (1-2) ^ (3) \\ right) \u003d 4 \\ cdot 2 - \\ frac (1) (3) \\ left ((1) ^ (3) - (- 1) ^ (3) \\ right) \u003d 8 - \\ righ (1) (3) (1 + 1) \u003d $

$ \u003d 8- \\ frac (2) (3) \u003d 7 \\ frac (1) (3) $ (واحد $ ^ (2) $).

II نوع: trapezoid انحصاری به صورت ضمنی تعریف شده است. این مورد معمولا مشخص نیست و یا مشخص شده است به طور جزئی مستقیم $ x \u003d a، \\ x \u003d b $. در این مورد، شما نیاز به پیدا کردن نقاط تقاطع توابع $ y \u003d f (x) $ و $ y \u003d 0 $. این نکات امتیاز $ A $ و $ b $ خواهد بود.

به عنوان مثال، پیدا کردن منطقه ای از شکل محدود توسط نمودارهای توابع $ y \u003d 1-x ^ (2) $ و $ y \u003d 0 $.

نقاط تقاطع را پیدا کنید. برای انجام این کار، بخش های مناسب توابع را معادل کنید.

بنابراین، $ a \u003d -1 $، و $ b \u003d 1 $. این تراپزی منحنی را قرعه کشی کنید.

منطقه این تراکم انحنا را پیدا کنید.

$ s \u003d \\ int \\ limits _ (- 1) ^ (1) (\\ left (1-x ^ (2) \\ right) dx) \u003d \\ int \\ limits _ (- 1) ^ (1) (1dx) - \\ int \\ limits _ (- 1) ^ (1) (x ^ (2) dx) \u003d x | _ (- 1) ^ (1) - \\ left. \\ frac (x ^ (3)) (3) \\ راست | _ (-1) ^ (1) \u003d $

$ \u003d (1 - (- 1)) - \\ fricac (1) (3) \\ left (1 ^ (3) - (- 1) ^ (3) \\ right) \u003d 2 - \\ frac (1) (3) \\ left (1 + 1 \\ right) \u003d 2 - \\ frac (2) (3) \u003d 1 \\ frac (1) (3) $ (واحد $ ^ (2) $).

III نوع: منطقه شکل، محدود شده توسط تقاطع دو توابع غیر منفی مداوم. این رقم یک تراپزی منحنی نیست و بنابراین، با کمک فرمول (*)، منطقه آن محاسبه نمی شود. چگونه باید باشیم؟معلوم می شود که منطقه این رقم را می توان به عنوان تفاوت در زمینه های تراشه های منحنی محدود شده توسط عملکرد فوقانی و $ y \u003d 0 $ ($ s_ (UF) $) یافت می شود و عملکرد پایین تر و $ Y \u003d 0 $ ($ s_ (LF) $)، جایی که در نقش $ x \u003d a، \\ x \u003d b $، مختصات مختصات $ x $ از تقاطع این توابع، I.E.

$ s \u003d s_ (uf) -s_ (lf) $. (**)

مهمترین چیز در هنگام محاسبه چنین مناطقی "از دست" با انتخاب عملکرد بالا و پایین نیست.

به عنوان مثال، پیدا کردن منطقه ای از شکل محدود توسط توابع $ y \u003d x ^ (2) $ و $ y \u003d x + $ 6.

نقاط تقاطع این نمودارها را پیدا کنید:

در قضیه Vieta،

$ x_ (1) \u003d - 2، \\ x_ (2) \u003d 3. $

این، $ a \u003d -2، \\ b \u003d $ 3 است. من شکل را نشان خواهم داد:

بنابراین، عملکرد فوقانی $ y \u003d x + $ 6 است، و پایین تر از $ y \u003d x ^ (2) $ است. بعد، ما $ S_ (UF) $ و $ s_ (LF) $ را با فرمول (*) پیدا می کنیم.

$ s_ (uf) \u003d \\ int \\ limits _ (- 2) ^ (3) ((x + 6) dx) \u003d \\ int \\ limits _ (- 2) ^ (3) (xDx) + \\ int \\ limits _ (- 2) ^ (3) (6dx) \u003d \\ left. \\ frac (x ^ (2)) (2) \\ right | _ (- 2) ^ (3) + 6x | _ (- 2) ^ (3 ) \u003d 32، 5 دلار (واحد $ ^ (2) $).

$ s_ (lf) \u003d \\ int \\ limits _ (- 2) ^ (3) (x ^ (2) dx) \u003d \\ left. \\ frac (x ^ (3)) (3) \\ right | _ (- 2 ) ^ (3) \u003d \\ frac (35) (3) $ (واحد $ ^ (2) $).

ما جایگزین (**) یافتیم (**) و ما دریافت می کنیم:

$ s \u003d 32.5- \\ frac (35) (3) \u003d \\ frac (125) (6) $ (واحد $ ^ (2) $).

نوع IV: منطقه شکل، محدود شده توسط تابع (ها)، نه رضایت بخش (ها) شرایط غیر منفی است. به منظور پیدا کردن منطقه ای از چنین رقمی، شما نیاز به متقارن نسبت به محور $ OX $ ( به عبارت دیگر، قبل از عملکردها "منفی ها" را قرار دهید) برای نمایش منطقه و استفاده از روش های تعیین شده در نوع I - III، منطقه ای از منطقه نمایش داده شده را پیدا کنید. این منطقه منطقه مورد نظر خواهد بود. پیش از این، ممکن است مجبور شوید نقاط تقاطع گراف های توابع را پیدا کنید.

به عنوان مثال، پیدا کردن منطقه ای از شکل محدود توسط نمودارهای توابع $ y \u003d x ^ (2) -1 $ و $ y \u003d 0 $.

پیدا کردن نقاط تقاطع نمودارهای توابع:

کسانی که. $ a \u003d -1 $، و $ b \u003d 1 $. منطقه را از بین ببرید

به طور متقارن منطقه را نمایش می دهد:

$ y \u003d 0 \\ \\ \\ rightarrow \\ y \u003d -0 \u003d 0 $

$ y \u003d x ^ (2) -1 \\ \\ rightarrow \\ y \u003d - (x ^ (2) -1) \u003d 1-x ^ (2) $.

به نظر می رسد یک تراپزی منحنی، محدود شده توسط یک نمودار از عملکرد $ y \u003d 1-x ^ (2) $ و $ y \u003d 0 $. این وظیفه پیدا کردن یک تراپزی منحنی از نوع دوم است. ما قبلا آن را حل کرده ایم. پاسخ چنین بود: $ s \u003d 1 \\ frac (1) (3) $ (واحد $ ^ (2) $). این بدان معنی است که منطقه تراکم منحنی مورد نظر برابر است:

$ s \u003d 1 \\ frac (1) (3) $ (واحد $ ^ (2) $).

یکپارچه خاص چگونه می توان منطقه را محاسبه کرد

به بررسی برنامه های کاربردی یکپارچه بروید. در این درس، ما کار معمولی و رایج را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. - نحوه محاسبه شکل هواپیما با یک انتگرال خاص. در آخر دیدن معنی در بالاترین ریاضیات - اجازه دهید او را پیدا کند. مقدار کمی. ما باید در زندگی نزدیکتر باشیم منطقه کلبه کشور توابع ابتدایی و پیدا کردن منطقه آن با استفاده از یک انتگرال خاص.

برای توسعه موفقیت آمیز، لازم است:

1) درک کنید جدایی ناپذیر حداقل در سطح متوسط. بنابراین، قوری باید با درس آشنا باشد نه.

2) برای استفاده از فرمول نیوتن-لایبون و محاسبه استفاده می شود یکپارچه سازی. برای ایجاد گرم روابط دوستانه با انتگرال های خاص، شما می توانید در صفحه یکپارچه خاص نمونه هایی از راه حل ها.

در حقیقت، به منظور پیدا کردن منطقه از این رقم، چنین دانش از انتگرال نامشخص و تعریف شده وجود ندارد. وظیفه "محاسبه منطقه با کمک یک انتگرال خاص" همیشه مستلزم ساخت و ساز از نقاشی است، خیلی بیشتر سوال واقعی دانش و مهارت های شما برای ساخت نقشه ها وجود خواهد داشت. در این راستا مفید است که در حافظه گرافیک توابع اصلی اصلی تجدید نظر شود، حداقل، قادر به ساخت یک مستقیم، پارابولا و هیپربولا است. می توان آن را انجام داد (بسیاری - مورد نیاز) با مواد متداول و مقالات در مورد تغییرات هندسی گراف ها.

در واقع، با وظیفه پیدا کردن یک منطقه با کمک یک انتگرال خاص، هر کس از مدرسه آشنا است، و ما کمی به جلو می رویم برنامه مدرسه. این مقاله حتی نمی تواند باشد، اما این واقعیت این است که این وظیفه در 99 مورد از 100 سالگی یافت می شود، زمانی که دانش آموز از یک برج متخلخل با شور و شوق از دوره ریاضیات بالاتر رنج می برد.

مواد این کارگاه به سادگی، به طور دقیق ارائه شده و با حداقل تئوری ارائه شده است.

بیایید با یک trapezium curvilinear شروع کنیم.

trapezium curvilinear یک شکل مسطح یک محور محدود، مستقیما و یک برنامه مداوم در یک بخش از یک تابع نامیده می شود که علامت این فاصله را تغییر نمی دهد. اجازه دهید این رقم واقع شود نه کمتر محور Abscissa:

سپس منطقه تراکم منحنی کنجکاوی عددی برابر با یک انتگرال خاص است. هر یک از انتگرال های خاص (که وجود دارد) دارای معنای بسیار خوبی هندسی است. در درس یکپارچه خاص نمونه هایی از راه حل ها من گفتم که یک انتگرال خاص یک عدد است. و اکنون وقت آن است که یکی دیگر را بیان کنیم واقعیت مفید. از نقطه نظر هندسه، یکپارچگی خاص یک منطقه است.

من، یک انتگرال خاص (اگر آن وجود دارد) به طور هندسی مربوط به منطقه برخی از شکل است. به عنوان مثال، یک انتگرال خاص را در نظر بگیرید. تابع انتگرال منحنی را در هواپیما قرار می دهد که در بالای محور قرار دارد (که مایل می تواند نقاشی را انجام دهد)، و انتگرال تعیین شده خود را به صورت عددی است برابر با مربع trapezium curvilinear مربوطه.

مثال 1

این یک فرمول بندی کار معمول است. اول من. مهم ترین چیز راه حل - طراحی ساختمان. و نقاشی باید ساخته شود درست.

هنگام ساخت یک نقاشی، من توصیه می کنم سفارش بعدی: اولین بهتر است همه ی راست (اگر آنها) و تنها بعد - Parabolas، Hyperbolas، برنامه های دیگر توابع. نمودارهای تابع برای ساخت بیشتر سودآور هستند پوتوچو، با تکنیک چک کردن ساختمانی می تواند در آن پیدا شود مواد مرجع نمودارها و خواص توابع ابتدایی. در اینجا شما همچنین می توانید یک ماده بسیار مفید در رابطه با درس ما مواد ما را پیدا کنید - چگونه به سرعت ساخت یک پارابولا.

در این کار، تصمیم ممکن است به نظر برسد.
انجام نقاشی (توجه داشته باشید که معادله محور را تعیین می کند):

من یک تراکتور انحرافی نخواهم داشت، در اینجا، در مورد آن منطقه واضح است این سخنرانی است. این تصمیم همچنان ادامه دارد:

در برنامه SECTION یک تابع واقع شده است بیش از محور، بنابراین:

پاسخ:

چه کسی با محاسبه یکپارچگی خاص و استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیا مشکلاتی دارد؟ ، به سخنرانی مراجعه کنید یکپارچه خاص نمونه هایی از راه حل ها.

پس از تکمیل کار، همیشه مفید است که به نقاشی و برآورد نگاه کنید، واقعی معلوم شد. در این مورد، "در چشم" ما تعداد سلول ها را در نقاشی شمارش می کنیم - به خوبی، تقریبا 9 پرواز می شود، به نظر می رسد حقیقت است. کاملا روشن است که اگر ما داشتیم، می گویند، پاسخ: 20 واحد مربع، واضح است که یک خطا در جایی ساخته شده است - در شکل 20 سلول، به وضوح از قدرت دوازده ساخته نشده است. اگر پاسخ منفی شد، وظیفه نیز به اشتباه تصمیم گرفته شده است.

مثال 2

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود و محور

این یک مثال برای خود تصمیم گیری. راه حل کامل و پاسخ در پایان درس.

چه کاری باید انجام دهید اگر Trapezium curvilinear واقع شود تحت محور؟

مثال 3

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود و محورهای مختصات.

تصمیم: انجام نقاشی:

اگر trapezium curvilinear واقع شده باشد تحت محور (یا حداقل بالاتر نیست این محور)، سپس منطقه آن را می توان توسط فرمول پیدا کرد:
در این مورد:

توجه! دو نوع وظایف را اشتباه نگیرید:

1) اگر شما برای حل یک انتگرال ساده بدون هیچ معنی هندسی دعوت شده اید، ممکن است منفی باشد.

2) اگر شما دعوت شده برای پیدا کردن شکل از شکل با استفاده از یک انتگرال خاص، سپس منطقه همیشه مثبت است! به همین دلیل است که فقط فرمول در نظر گرفته شده به نظر می رسد منفی است.

در عمل، این رقم اغلب در سطح نیمه بالا و پایین قرار دارد و از این رو از ساده ترین نمودارهای مدرسه، به نمونه های معنی دار تر می رود.

مثال 4

پیدا کردن مساحت یک شکل صاف، خطوط محدود ،.

تصمیم: ابتدا باید یک نقاشی را بکشید. به طور کلی، هنگام ساخت یک نقاشی در وظایف به منطقه، ما بیشتر به نقاط تقاطع خطوط علاقه مند هستیم. پیدا کردن نقاط تقاطع پارابولا و مستقیم. این میتواند با دو راه انجام شود. روش اول تحلیلی است. ما معادله را حل می کنیم:

بنابراین، محدودیت ادغام پایین، حد بالایی از ادغام.
به این ترتیب بهتر است، در صورت امکان استفاده نکنید.

برای ساخت خطوط خط بسیار سودآور و سریعتر است، در حالی که محدودیت های ادغام به صورت "خود" روشن می شود. تکنیک پایان دادن به نمودارهای مختلف در جزئیات در نظر گرفته شده است نمودارها و خواص توابع ابتدایی . با این حال، یک روش تحلیلی برای پیدا کردن محدودیت ها پس از همه، گاهی اوقات لازم است که اعمال شود، به عنوان مثال، برنامه به اندازه کافی بزرگ است، یا یک ساخت و ساز آموزش دیده محدودیت های ادغام را نشان نمی دهد (آنها می توانند کسری یا غیر منطقی). و یک مثال، ما نیز در نظر داریم.

ما به کار ما بازگردیم: ابتدا منطقی تر ساخت یک خط مستقیم و تنها پس از آن پارابولا. انجام نقاشی:

من تکرار می کنم که در ساخت و ساز فعلی، محدودیت های ادغام اغلب توسط "خودکار" یافت می شود.

و در حال حاضر فرمول کار: اگر در بخش برخی از عملکرد مداوم بیشتر یا برابر برخی از عملکرد مداوم، منطقه ای از شکل، محدود شده توسط نمودارهای این توابع و مستقیم، می تواند توسط فرمول یافت می شود:

در اینجا دیگر لازم نیست فکر کنیم که در آن شکل واقع شده است - بیش از محور یا زیر محور، و تقریبا صحبت کردن مهمتر از حد نمودار بالاتر است(نسبت به یک برنامه دیگر) و آنچه - در زیر.

در این مثال، واضح است که در بخش پارابولا در بالای راست قرار دارد و بنابراین لازم است که تفریق شود

تکمیل راه حل ممکن است به نظر می رسد:

شکل دلخواه به پارابولا از بالا و پایین مستقیم محدود می شود.
در بخش، با توجه به فرمول مربوطه:

پاسخ:

در واقع، فرمول مدرسه برای منطقه از trapezium منحنی در نیمه نیمه پایین (نگاه کنید به مثال ساده شماره 3) - پرونده خصوصی فرمول ها . از آنجا که محور توسط معادله تعریف شده است، و نمودار تابع واقع شده است بالاتر نیست محور، T.

و حالا چند نمونه برای یک تصمیم مستقل

مثال 5

مثال 6

پیدا کردن منطقه خطوط خطوط محدود ،.

در طول حل وظایف برای محاسبه منطقه با یک انتگرال خاص، یک مورد خنده دار گاهی اوقات رخ می دهد. رسم به درستی تکمیل شده است، محاسبات - درست، اما تشدید ... منطقه را پیدا کرد شکل نیستاین همان چیزی است که بنده فروتنانه شما بسته شده است. در اینجا یک مورد واقعی از زندگی است:

مثال 7

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود ،،،.

تصمیم: ابتدا نقاشی را انجام دهید:

... اوه، نقاشی Khrenovynsky بیرون آمد، اما همه چیز به نظر می رسد برداشتن.

شکل که منطقه ما باید پیدا کنیم، آبی رنگ است (به دقت بر روی وضعیت نگاه کنید - از این رقم محدود است!). اما در عمل، "Glitch" اغلب در ذهن آگاهی مطرح می شود، که شما نیاز به پیدا کردن یک منطقه از شکل، که سایه دار است سبز!

این مثال هنوز مفید است و این واقعیت است که در آن منطقه از این رقم با استفاده از دو انتگرال خاص در نظر گرفته شده است. واقعا:

1) یک برنامه مستقیم بر روی بخش بیش از محور قرار دارد؛

2) در بخش بیش از محور نمودار هیپربول ها وجود دارد.

واضح است که مربع می تواند (و نیاز) را تجزیه کند، بنابراین:

پاسخ:

به یکی دیگر از وظایف اساسی بروید

مثال 8

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود،
معادله را در فرم "مدرسه" تصور کنید و نقاشی فعلی را انجام دهید:

از نقاشی روشن است که حد بالا ما "خوب" :.
اما حد پایین تر چیست؟! واضح است که این یک عدد صحیح نیست، اما چه؟ شاید ؟ اما کجا تضمین می شود که نقاشی با دقت کامل ساخته شده است، ممکن است این باشد. یا ریشه و اگر ما به طور کلی یک برنامه را نامطلوب ساختیم؟

در چنین مواردی، شما باید زمان اضافی را صرف کنید و محدودیت های ادغام را به صورت تحلیلی مشخص کنید.

نقاط تقاطع مستقیم و پارابولا را پیدا کنید.
برای انجام این کار، معادله را حل کنید:

,

در واقع.

راه حل بیشتر بی اهمیت است، مهمترین چیز این است که در جایگزینی و نشانه ها اشتباه گرفته شود، محاسبات در اینجا ساده ترین نیستند.

بر روی برش با توجه به فرمول مربوطه:

پاسخ:

خوب، و در نتیجه درس، دو وظیفه را دشوارتر می کنید.

مثال 9

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود ،،

تصمیم: این شکل را در نقاشی نشان دهید.

لعنتی، برنامه را فراموش کرده اید، اما برای تغییر تصویر، متاسفم، نه یک hotz. نه به ارث برده، کوتاه، روز امروز \u003d)

برای چک کردن ساخت و ساز شما باید بدانید ظاهر سینوسی ها (و به طور کلی مفید است بدانید نمودارهای تمام توابع ابتدایی)، و همچنین برخی از مقادیر سینوسی، آنها را می توان یافت جدول مثلثاتی. در بعضی موارد (همانطور که در این)، مجاز به ساخت یک طرح طرح ریزی است که در آن نمودارها و محدودیت های ادغام باید در اصل منعکس شود.

با محدودیت ادغام، هیچ مشکلی در اینجا وجود ندارد، آنها به طور مستقیم از شرایط پیروی می کنند: - "X" از صفر تا "PI" متفاوت است. ما یک راه حل بیشتر را تهیه می کنیم:

در بخش، نمودار تابع در بالای محور قرار دارد، بنابراین:

منطقه تراکم منحنی کنجکاوی عددی برابر با یک انتگرال خاص است

هر یک از انتگرال های خاص (که وجود دارد) دارای معنای بسیار خوبی هندسی است. در درس، من گفتم که یک انتگرال خاص یک عدد است. و اکنون وقت آن است که یک واقعیت مفید دیگر را بیان کنیم. از نقطه نظر هندسه، یکپارچگی خاص یک منطقه است.

من، یک انتگرال خاص (اگر آن وجود دارد) به طور هندسی مربوط به منطقه برخی از شکل است. به عنوان مثال، یک انتگرال خاص را در نظر بگیرید. تابع انتگرال برخی از منحنی را در هواپیما تنظیم می کند (همیشه می تواند در صورت لزوم کشیده شود)، و یک انتگرال خاص خود، عددی برابر با مساحت trapezium curvilinear مربوطه است.

مثال 1

این یک فرمول بندی کار معمول است. اولین و مهمترین نقطه تصمیم گیری - ساخت یک نقاشی. و نقاشی باید ساخته شود درست.

هنگام ساخت یک نقاشی، من سفارش زیر را توصیه می کنم: اولین بهتر است همه ی راست (اگر آنها) و تنها بعد - Parabolas، Hyperbolas، برنامه های دیگر توابع. نمودارهای تابع برای ساخت بیشتر سودآور هستند پوتوچوتکنیک ساخت و ساز در ساخت و ساز را می توان در مواد مرجع یافت.

در اینجا شما همچنین می توانید یک ماده بسیار مفید در رابطه با درس ما مواد ما را پیدا کنید - چگونه به سرعت ساخت یک پارابولا.

در این کار، تصمیم ممکن است به نظر برسد.
انجام نقاشی (توجه داشته باشید که معادله محور را تعیین می کند):

من یک تراپزی منحنی نخواهم خورد، در اینجا واضح است که در آن منطقه سخنرانی وجود دارد. این تصمیم همچنان ادامه دارد:

در برنامه SECTION یک تابع واقع شده است بیش از محور، بنابراین:

پاسخ:

مثال 2

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود و محور

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است. راه حل کامل و پاسخ در پایان درس.

چه کاری باید انجام دهید اگر Trapezium curvilinear واقع شود تحت محور؟

مثال 3

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود و محورهای مختصات.

راه حل: انجام نقاشی:

اگر یک trapezium curvilinear کاملا زیر محور واقع شده است، سپس منطقه آن را می توان با فرمول پیدا کرد:
در این مورد:

توجه! دو نوع وظایف را اشتباه نگیرید:

1) اگر شما برای حل یک انتگرال ساده بدون هیچ معنی هندسی دعوت شده اید، ممکن است منفی باشد.

مثال 4

پیدا کردن مساحت یک شکل صاف، خطوط محدود ،.

راه حل: ابتدا باید نقاشی کنید. به طور کلی، هنگام ساخت یک نقاشی در وظایف به منطقه، ما بیشتر به نقاط تقاطع خطوط علاقه مند هستیم. پیدا کردن نقاط تقاطع پارابولا و مستقیم. این میتواند با دو راه انجام شود. روش اول تحلیلی است. ما معادله را حل می کنیم:

بنابراین، محدودیت ادغام پایین، حد بالایی از ادغام.
به این ترتیب بهتر است، در صورت امکان، استفاده نکنید.

برای ساخت خطوط خط بسیار سودآور و سریعتر است، در حالی که محدودیت های ادغام به صورت "خود" روشن می شود. تکنیک پایان دادن به نمودارهای مختلف در جزئیات در نظر گرفته شده است نمودارها و خواص توابع ابتدایی. با این حال، یک روش تحلیلی برای پیدا کردن محدودیت ها پس از همه، گاهی اوقات لازم است که اعمال شود، به عنوان مثال، برنامه به اندازه کافی بزرگ است، یا یک ساخت و ساز آموزش دیده محدودیت های ادغام را نشان نمی دهد (آنها می توانند کسری یا غیر منطقی). و یک مثال، ما نیز در نظر داریم.

و در حال حاضر فرمول کار: اگر در بخش برخی از عملکرد مداوم بیشتر یا برابر برخی از عملکرد مداوم، منطقه شکل مربوطه را می توان توسط فرمول یافت می شود:

در این مثال، واضح است که در بخش پارابولا در بالای راست قرار دارد و بنابراین لازم است که تفریق شود

تکمیل راه حل ممکن است به نظر می رسد:

شکل دلخواه به پارابولا از بالا و پایین مستقیم محدود می شود.
در بخش، با توجه به فرمول مربوطه:

پاسخ:

در واقع، فرمول مدرسه برای منطقه تراکم منحنی در نیمه پایین پایین (نگاه کنید به مثال ساده شماره 3) - یک مورد خاص فرمول . از آنجا که محور توسط معادله تعریف شده است، و نمودار تابع در زیر محور قرار دارد،

و حالا چند نمونه برای یک تصمیم مستقل

مثال 5

مثال 6

پیدا کردن منطقه خطوط خطوط محدود ،.

مثال 7

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود ،،،.

ابتدا نقاشی را اجرا کنید:

شکل که منطقه ما باید پیدا کنیم، آبی رنگ است(به دقت بر روی وضعیت نگاه کنید - از این رقم محدود است!). اما در عمل در عدم توجه، اغلب این است که لازم است منطقه ای از شکل را پیدا کنید، که با سبز سایه دار است!

این مثال نیز مفید است که در آن اندازه گیری در اندازه دو انتگرال خاص است. واقعا:

1) یک برنامه مستقیم بر روی بخش بیش از محور قرار دارد؛

2) در بخش بیش از محور نمودار هیپربول ها وجود دارد.

واضح است که مربع می تواند (و نیاز) را تجزیه کند، بنابراین:

پاسخ:

مثال 8

در چنین مواردی، شما باید زمان اضافی را صرف کنید و محدودیت های ادغام را به صورت تحلیلی مشخص کنید.

نقاط تقاطع مستقیم و پارابولا را پیدا کنید.
برای انجام این کار، معادله را حل کنید:

از این رو ،.

بر روی برش با توجه به فرمول مربوطه:

پاسخ:

خوب، و در نتیجه درس، دو وظیفه را دشوارتر می کنید.

مثال 9

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود ،،

راه حل: این شکل را در نقاشی نشان دهید.

برای ساخت فعلی طراحی، لازم است که ظاهر سینوسی ها را بدانیم (و به طور کلی مفید است بدانیم نمودارهای تمام توابع ابتدایی)، و همچنین برخی از مقادیر سینوسی، آنها را می توان یافت جدول مثلثاتی . در بعضی موارد (همانطور که در این)، مجاز به ساخت یک طرح طرح ریزی است که در آن نمودارها و محدودیت های ادغام باید در اصل منعکس شود.

در بخش، نمودار تابع در بالای محور قرار دارد، بنابراین:

(1) نحوه ادغام سینوس ها و کوزین ها در درجه های عجیب و غریب می تواند در درس مشاهده شود انتگرال OT توابع مثلثاتی . این یک پذیرش معمول است، با فشار دادن یک سینوس.

(2) ما از هویت اصلی مثلثاتی در قالب استفاده می کنیم

(3) ما متغیر را جایگزین خواهیم کرد، سپس:

یکپارچه سازی تغییر جدید:

چه کسی چیزهای بسیار بدی را با جایگزینی دارد، لطفا به درس بروید روش جایگزینی در یک انتگرال نامحدود. چه کسی به الگوریتم جایگزینی در یک انتگرال خاص مشخص نیست، از صفحه بازدید کنید یکپارچه خاص نمونه هایی از راه حل ها.

برگشت به جلو

توجه! اسلایدهای پیش نمایش به طور انحصاری برای اهداف اطلاعاتی مورد استفاده قرار می گیرند و ممکن است ایده هایی در مورد تمام قابلیت های ارائه ارائه ندهند. اگر شما علاقه مندید این کارلطفا نسخه کامل را دانلود کنید.

کلید واژه ها:یکپارچه، انحنای مجلسی، چهره های مربع محدود شده توسط نیلوفرهای

تجهیزات: مارکر، کامپیوتر، پروژکتور چند رسانه ای

نوع درس: درس سخنرانی

اهداف درس:

آموزشی:ایجاد یک فرهنگ کار ذهنی، ایجاد یک وضعیت موفقیت برای هر دانش آموز، برای ایجاد یک انگیزه مثبت برای تدریس؛ توانایی صحبت کردن و گوش دادن به دیگران را توسعه دهید.
در حال توسعه: تشکیل استقلال دانش آموز تفکر برای استفاده از دانش در موقعیت های مختلف، توانایی تجزیه و تحلیل و نتیجه گیری، توسعه منطق، توسعه توانایی به درستی تنظیم سوالات و پیدا کردن پاسخ به آنها. بهبود شکل گیری مهارت های محاسباتی، حل و فصل، توسعه تفکر دانش آموزان در طول وظایف پیشنهادی، توسعه فرهنگ الگوریتمی.
آموزشی: برای تشکیل مفاهیم Trapezium curvilinear، انتگرال، مهارت های محاسبه مساحت چهره های مسطح را تشکیل می دهند

روش آموزش:توضیح داده شده است.

در طول کلاس ها

در کلاس های قبلی، ما آموختیم که چگونه محاسبه منطقه ای از ارقام، مرزهای آن شکسته شود. در ریاضیات روش هایی وجود دارد که اجازه می دهد محاسبه منطقه ارقام محدود شده توسط منحنی ها. چنین ارقام به نام Trapezes curvilinear نامیده می شوند و با کمک ابتدایی، منطقه خود را محاسبه می کنند.

trapezium curvilinear ( اسلاید 1)

یک trapezoid curvilinear یک شکل محدود توسط یک نمودار از یک تابع نامیده می شود ( sch.m.)، سر راست x \u003d A. و x \u003d b.و محور Abscissa

انواع مختلفی از trapeats curvilinear ( اسلاید 2)

ما در نظر گرفته شده ایم انواع مختلف trapezium curvilinear و توجه: یکی از دژنراسیون مستقیم به نقطه، نقش تابع محدود کننده به طور مستقیم

مربع از trapezium curvilinear (اسلاید 3)

پایان چپ شکاف را رفع کنید ولی،و راست H.ما تغییر خواهیم کرد، به عنوان مثال، ما دیواره سمت راست trapezium curvilinear را حرکت می دهیم و ما یک شکل را تغییر می دهیم. منطقه تراکم متغیر انحصاری، محدود شده توسط گراف تابع، ابتدایی است F. برای عملکرد f.

و در بخش [ آ؛ ب] ناحیه تراپزی منحنی شکل گرفته شده توسط تابع f،برابر با افزایش یک تابع ابتدایی:

تمرین 1:

منطقه ای از trapezoid curvilinear را پیدا کنید، محدود شده توسط نمودار تابع: f (x) \u003d x 2 و مستقیم y \u003d 0، x \u003d 1، x \u003d 2.

تصمیم گیری: ( با توجه به الگوریتم اسلاید 3)

یک برنامه عملکرد و مستقیم را بکشید

پیدا کردن یکی از توابع معتبر f (x) \u003d x 2 :

خود تست بر روی اسلاید

انتگرال

یک تراکم منحنی را که توسط تابع مشخص شده است را در نظر بگیرید f. در بخش [ آ؛ ب] این بخش را به چند بخش بحث کنید. مساحت کل تراپزیوم مقدار مربعات تراکتور کوچکتر را از بین می برد. ( اسلاید 5). هر چنین تراپزی می تواند تقریبا یک مستطیل باشد. مقدار منطقه این مستطیل ها یک ایده تقریبی از کل منطقه تراپزی منحنی را فراهم می کند. کوچکتر ما بخش را شکستیم [ آ؛ ب]، دقیق تر منطقه را محاسبه می کند.

ما این استدلال را در فرمول فرمول بنویسیم.

ما بخش را تقسیم می کنیم [ آ؛ ب] در نقاط قسمت N x 0 \u003d a، x1، ...، xn \u003d b. طول k-برو نشان دادن xk \u003d xk - xk-1. بیایید آرایش کنیم

به طور هندسی، این مقدار یک منطقه از شکل است، سایه دار در شکل ( sch.m..)

مجموع گونه، مبلغ انتگرال برای عملکرد نامیده می شود. f.. (SCH.M.)

مبلغ انتگرال یک مقدار تقریبی منطقه را ارائه می دهد. مقدار دقیق با استفاده از انتقال محدود به دست می آید. تصور کنید که ما تقسیم بخش را خرد می کنیم [ آ؛ ب] به طوری که طول تمام بخش های کوچک به صفر برسد. سپس مساحت شکل تشکیل شده به منطقه تراپزی منحنی نزدیک می شود. می توان گفت که مساحت تراپزی منحنی برابر با محدودیت مبالغ انتگرال است sk.t. (SCH.M.)یا انتگرال، به عنوان مثال،

تعریف:

تابع انتگرال f (x) از جانب آ. قبل از ب محدودیت مقدار یکپارچه را نام برد

= (SCH.M.)

فرمول نیوتون لابیتسا.

به یاد داشته باشید که محدودیت مقادیر یکپارچه برابر با مساحت تراپزی کنجکاوی است، به این معنی است که شما می توانید بنویسید:

sk.t. \u003d. (SCH.M.)

از سوی دیگر، منطقه تراپزی Cryvilinear توسط فرمول محاسبه می شود

s k t. (SCH.M.)

مقایسه این فرمول ها، ما دریافت می کنیم:

= (SCH.M.)

این برابری فرمول نیوتن Labits نامیده می شود.

برای راحتی محاسبات، فرمول در قالب نوشته شده است:

= = (SCH.M.)

وظایف: (shch.m.)

1. محاسبه انتگرال با توجه به فرمول نیوتن Labits: ( چک کردن اسلاید 5)

2. ایجاد یک انتگرال با توجه به نقاشی ( ما در اسلاید 6 را بررسی می کنیم)

3. پیدا کردن منطقه خطوط محدود خطوط: y \u003d x 3، y \u003d 0، x \u003d 1، x \u003d 2. ( اسلاید 7)

پیدا کردن مربع چهره های مسطح ( اسلاید 8)

چگونه می توان مربع از ارقام را پیدا کرد که ترافیک های منحنی نیست؟

اجازه دهید دو توابع داده شود، نمودارهایی که در اسلاید مشاهده می کنید . (SCH.M.) لازم است که منطقه ای از شکل رنگ را پیدا کنید . (SCH.M.). این رقم که در آن صحبت می کند، یک تراپزی منحنی است؟ و چگونه می توانم منطقه خود را با استفاده از اموال افزودنی منطقه پیدا کنم؟ دو تدارکات منحنی را در نظر بگیرید و از مربع یکی از آنها برای تفریق منطقه دیگری ( sch.m.)

ما یک الگوریتم برای پیدا کردن یک منطقه انیمیشن بر روی اسلاید ایجاد خواهیم کرد:

ساخت نمودارهای توابع
نقاط تقاطع نمودارها را در محور Abscissa Sprogit کنید
شارپ شکل به دست آمده در هنگام عبور از نمودارها
پیدا کردن Trapeats Curvilinear، تقاطع یا ترکیب که یک شکل خاص است.
محاسبه منطقه هر یک از آنها
پیدا کردن تفاوت یا مقدار فضا

وظیفه شفاهی: چگونگی دریافت منطقه از شکل سایه دار (با کمک انیمیشن به ما بگویید اسلاید 8 و 9)

مشق شب:کار چکیده، № 353 (a)، شماره 364 (a).

کتابشناسی - فهرست کتب

جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: یک کتاب درسی برای کلاس 9-11 کلاس شبانه (قابل تعویض) / اد. gd گلاسر - M: آموزش و پرورش، 1983.
BashMakov M.I. جبر و تجزیه و تحلیل شروع: آموزش برای 10-11 kl.sed.Shk. / BashMakov M.I. - M: آموزش و پرورش، 1991.
BashMakov M.I. ریاضیات: آموزش برای موسسات آغاز. و رسانه ها پروفسور آموزش و پرورش / M.I. کفش. - M: آکادمی، 2010.
Kolmogorov A.N. جبر و تجزیه و تحلیل شروع: آموزش برای 10-11 سلول. موسسات آموزشی / A.N. Kolmogorov. - M: روشنگری، 2010.
Ostrovsky S.L. چگونه برای ارائه به درس؟ / C.L. Ostrovsky. - متر: اولین سپتامبر 2010.