در نظر بگیرید یک تراپی منحنی محدود شده توسط محور آه، منحنی y \u003d f (x) و دو راست: x \u003d a و x \u003d b (شکل 85). مقدار دلخواه X را به دست آورید (فقط نه و نه B). ما به او افزایش H \u003d DX را می دهیم و نوار را محدود می کنیم که توسط AV و CD مستقیم، محور آه و قوس BD متعلق به منحنی در نظر گرفته شده است. ما این نوار را با یک نوار ابتدایی تماس خواهیم گرفت. منطقه نوار ابتدایی از منطقه مستطیل ACQB به BQD مثلث منحنی متفاوت است، و منطقه دوم کمتر از منطقه مستطیل BQDM با دو طرف Bq \u003d \u003d H \u003d DX) QD \u003d AY و یک منطقه برابر با یونجه \u003d AY DX. با کاهش بخش H، طرف کنترل از راه دور نیز کاهش می یابد و به طور همزمان با H تلاش برای صفر کاهش می یابد. بنابراین، منطقه BQDM یک مرتبه دوم بی نهایت کوچک است. منطقه نوار ابتدایی افزایش منطقه است، و منطقه مستطیل ACQB، برابر با AV-Speech \u003d\u003d / (X) DX\u003e یک منطقه دیفرانسیل وجود دارد. در نتیجه، من خود را با یکپارچه سازی دیفرانسیل خود پیدا خواهم کرد. در شکل مورد نظر، متغیر مستقل L: از A به B متفاوت است، بنابراین منطقه مورد نظر 5 \u003d 5 \u003d \\ f (x) DX خواهد بود. (i) مثال 1. محاسبه منطقه محدود شده توسط Parabola در - 1 S *، مستقیم X \u003d - FJ-، X \u003d 1 و محور * (شکل 86). در شکل 87. شکل. 86. 1 در اینجا f (x) \u003d 1 - l، محدودیت های یکپارچه سازی a \u003d - و £ \u003d 1، بنابراین j [* -t] \\ - -fl - m -1- ± l_ 1v1 -ll-II- ^ 3) | _ 2 3V 2 / J 3 24 24 24 * مثال 2. محاسبه منطقه محدود شده توسط سینوسی Y \u003d محور Sinxy آه و راست (شکل 87). با استفاده از فرمول (I)، ما L 2 S \u003d J SINXDX \u003d [-cos x] q \u003d 0 - (- 1) \u003d مثال LF 3. (- 1) \u003d مثال LF 3. محاسبه منطقه، محدود Sinuusoids قوس ^ y \u003d SIN JC، نتیجه گرفت بین دو مجاور نقاط تقاطع با محور اوه (به عنوان مثال، بین آغاز مختصات و نقطه با Abscissa I). توجه داشته باشید که از ملاحظات هندسی روشن است که این منطقه دو برابر بسیاری از مناطق نمونه قبلی است. با این حال، ما محاسبات را انجام می دهیم: من 5 \u003d | s \\ nxdx \u003d [- cosh) * - - cos i - (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. واقعا، فرض ما معلوم شد منصفانه است. مثال 4. محاسبه منطقه محدود شده توسط محور سینوسوئید و ^ اوه بر روی یکی NE Rioode (شکل 88). RAF RICE RAF نشان می دهد که این منطقه چهار برابر بیشتر از Ave است. 2. با این حال، محاسبات، ما "من G، * I s - \\ sin x dx \u003d [- cos x] 0 \u003d \u003d - cos 2L - ( - COS 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. این نتیجه نیاز به توضیح دارد. برای تعیین ماهیت مورد، ما محاسبه منطقه محدود شده توسط همان سینوسی Y \u003d SIN L: و محور اوه، اعداد از l تا 2th. با استفاده از فرمول (I)، ما 2 لیتر 2L $ SIN XDX \u003d [- cosx] l \u003d -cos 2، ~) -C05Y \u003d - 1-1 \u003d -2 دریافت می کنیم. به این ترتیب، ما می بینیم که این منطقه منفی است. مقایسه آن با یک منطقه محاسبه شده در خیابان 3، ما به دست می آوریم که مقادیر مطلق آنها یکسان هستند و نشانه ها متفاوت هستند. اگر شما ویژگی V را اعمال کنید (نگاه کنید به Chi، § 4)، من 2 لیتر 2 لیتر دریافت کردم تصادف. همیشه منطقه زیر محور اوه، با توجه به اینکه متغیر مستقل از چپ به راست تغییر می کند، زمانی که محاسبه با انتگرال های منفی محاسبه می شود. در این دوره، ما همیشه مربعات بدون علائم را در نظر خواهیم گرفت. بنابراین، پاسخ در فقط یک مثال جدا شده مانند این خواهد بود: منطقه مورد نظر 2 + | -2 | \u003d 4. مثال 5. محاسبه منطقه OAV مشخص شده در شکل. 89. این منطقه محدود به محور آه، Parabola y \u003d - XG و راست Y - \u003d -X + \\. منطقه تراکم منحنی، منطقه مورد نظر OAV شامل دو بخش است: OAM و MAV. از آنجا که نقطه A نقطه تقاطع پارابولا و راست است، سپس مختصات آن حل می شود حل سیستم معادلات 3 2 y \u003d TX. (ما باید تنها نقاط Abscissa را پیدا کنیم). حل سیستم، ما پیدا می کنیم l؛ \u003d ~ بنابراین، این منطقه باید در قسمت های اول محاسبه شود. OAM، و سپس pl. MAV: .... G 3 2، 3 گرم HP 3 1/2 در 2. qam- ^ x و نشانه خود را بر روی آن تغییر نمی دهد (عکس. 1).منطقه از تراپزی منحنی را می توان با S (G) نشان داد.

یک انتگرال خاص ʃ a b f (x) dx برای تابع f (x)، که پیوسته و غیر منفی در بخش [a؛ ب]، و یک منطقه از trapezium curvilinear مربوطه وجود دارد.

یعنی، برای پیدا کردن منطقه از شکل G، محدود شده توسط خطوط y \u003d f (x)، y \u003d 0، x \u003d a و x \u003d b، لازم است برای محاسبه یکپارچه خاص ʃ ab f (x ) DX

به این ترتیب، s (g) \u003d ʃ a b f (x) dx.

در صورتی که تابع y \u003d f (x) در مورد [a؛ ب]، سپس ناحیه تراپزی منحنی می تواند توسط فرمول پیدا شود s (g) \u003d -ʃ a b f (x) dx.

مثال 1

محاسبه منطقه ای از شکل محدود شده توسط خطوط y \u003d x 3؛ y \u003d 1؛ x \u003d 2

تصمیم گیری

خطوط مشخص شده یک شکل ABC را تشکیل می دهند که توسط آن نشان داده شده است شکل. 2

منطقه مورد نظر برابر با تفاوت بین مناطق تراکم منحنی منحنی و مربع Dabe است.

با استفاده از فرمول S \u003d ʃ A B F (X) DX \u003d S (B) - S (A)، ما محدودیت های ادغام را پیدا خواهیم کرد. برای انجام این کار، سیستم دو معادله را حل کنید:

(y \u003d x 3،
(y \u003d 1.

بنابراین، ما X 1 \u003d 1 - محدودیت پایین و x \u003d 2 - حد بالایی داریم.

بنابراین، S \u003d S Dace - S dabe \u003d ʃ 1 2 x 3 DX - 1 \u003d x 4/4 | 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (sq.).

پاسخ: 11/4 کیلووات. واحدهای

مثال 2

محاسبه منطقه ای از شکل محدود توسط خطوط y \u003d √h؛ y \u003d 2؛ x \u003d 9

تصمیم گیری

خطوط مشخص شده یک شکل از ABC را تشکیل می دهند که از بالای نمودار محدود شده است

y \u003d √h، و زیر نمودار تابع y \u003d 2. رقم حاصل از آن نشان داده شده است شکل. 3

منطقه مورد نظر S \u003d ʃ A B (√X - 2) است. ما محدودیت های ادغام را پیدا خواهیم کرد: B \u003d 9، برای پیدا کردن یک سیستم، با حل سیستم دو معادله:

(y \u003d √h،
(y \u003d 2.

بنابراین، ما دارای X \u003d 4 \u003d A محدودیت پایین تر است.

بنابراین، s \u003d ∫ 4 9 (√X - 2) dx \u003d ∫ 4 9 √X DX-∫ 4 9 2dx \u003d 2/3 x√ x | 4 9 - 2X | 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (sq.).

پاسخ: S \u003d 2 2/3 متر مربع. واحدهای

مثال 3

محاسبه مساحت شکل، محدود شده توسط خطوط y \u003d x 3 - 4x؛ y \u003d 0؛ x ≥ 0.

تصمیم گیری

ما یک نمودار از تابع y \u003d x 3 - 4x در x ≥ 0. را ساختیم، برای انجام این کار، مشتق از ":

y '\u003d 3x 2 - 4، y' \u003d 0 در x \u003d ± 2 / √3 ≈ 1.1 - نقاط بحرانی.

اگر نقاط بحرانی را در محور عددی نشان دهید و نشانه های مشتق را تنظیم کنید، ما به دست می آوریم که عملکرد از صفر تا 2 / √3 کاهش می یابد و از 2 / √3 به علاوه بی نهایت افزایش می یابد. سپس x \u003d 2 / √3 حداقل نقطه، حداقل مقدار تابع در min \u003d -16 / (3√3) ≈ -3 است.

ما نقاط تقاطع گراف را با محورهای مختصات تعریف می کنیم:

اگر x \u003d 0، سپس y \u003d 0، و بنابراین، و (0؛ 0) - نقطه تقاطع با محور OU؛

اگر y \u003d 0، سپس x 3 - 4x \u003d 0 یا x (x 2 - 4) \u003d 0، یا x (x - 2) (x + 2) \u003d 0، جایی که x 1 \u003d 0، x 2 \u003d 2، x 3 \u003d -2 (مناسب نیست، زیرا x ≥ 0).

امتیاز A (0؛ 0) و در (2؛ 0) - نقاط تقاطع گراف با محور آه.

خطوط مشخص شده یک شکل از OAV را تشکیل می دهند که توسط آن نشان داده شده است شکل. چهار.

از آنجا که تابع y \u003d x 3 - 4x طول می کشد (0؛ 2) مقدار منفی، سپس

s \u003d | ʃ 0 2 (x 3 - 4x) DX |.

ما: ʃ 0 2 (x 3 - 4x) dx \u003d (x 4/4 - 4x 2/2) | 0 2 \u003d -4، از کجا S \u003d 4 متر مربع. واحدهای

پاسخ: S \u003d 4 متر مربع. واحدهای

مثال 4

پیدا کردن منطقه ای از شکل محدود توسط Parabola Y \u003d 2X 2 - 2X + 1، مستقیم X \u003d 0، Y \u003d 0 و مماس از این پاراابول در نقطه با Abscissa X 0 \u003d 2.

تصمیم گیری

اول، معادله مماسی به Parabole Y \u003d 2x 2 - 2x + 1 در نقطه با Abscissa X₀ \u003d 2 است.

از آنجا که مشتق Y '\u003d 4X - 2، سپس در x 0 \u003d 2، ما به دست آوردن k \u003d y' (2) \u003d 6.

ما نقطه تنظیم لمس را پیدا می کنیم: در 0 \u003d 2 · 2 2 - 2 · 2 + 1 \u003d 5.

در نتیجه، معادله مماس دارای فرم است: y - 5 \u003d 6 (x - 2) یا y \u003d 6x - 7.

ساخت یک شکل خطوط محدود:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1، y \u003d 0، x \u003d 0، y \u003d 6x - 7.

g y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabola. نقاط تقاطع با محورهای مختصات: a (0؛ 1) - با محور OU؛ با محور اوه - هیچ نقطه ای از تقاطع وجود ندارد، زیرا معادله 2x 2 - 2x + 1 \u003d 0 راه حل ندارد (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2؛

y B \u003d 1/2، یعنی، رأس پارابولا نقطه B در (1/2، 1/2) مختصات را مختل کرده است.

بنابراین، شکل که منطقه مورد نیاز برای تعیین آن است، نشان داده شده است شکل. پنج

ما: S O A در D \u003d S AABC - S ADBC.

ما مختصات نقطه D را از شرایط پیدا خواهیم کرد:

6x - 7 \u003d 0، I.E. x \u003d 7/6، به معنی DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6 است.

منطقه Triangle DBC با توجه به فرمول SDBC \u003d 1/2 · DC · BC پیدا کنید. به این ترتیب،

s adbc \u003d 1/2 · 5/6 · 5 \u003d 25/12 kv. واحدهای

s oabc \u003d ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1) dx \u003d (2x 3/3 - 2x 2/2 + x) | 0 2 \u003d 10/3 (sq. غذا).

ما در نهایت به دست می آوریم: S o a in d \u003d s oabc - s adbc \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (sq. m. zh).

پاسخ: S \u003d 1 1/4 KV. واحدهای

ما نمونه هایی را جدا کردیم پیدا کردن مربع های ارقام محدود شده توسط خطوط مشخص شده. برای حل این وظایف، شما باید قادر به ساخت در هواپیما از خط و نمودارهای توابع، پیدا کردن نقاط تقاطع خطوط، فرمول را برای پیدا کردن منطقه اعمال کنید، که نشان دهنده حضور مهارت ها و مهارت ها برای محاسبه خاص است انتگرال

سایت، با کپی کامل یا جزئی مرجع مادی به منبع اصلی مورد نیاز است.

هر یک از انتگرال های خاص (که وجود دارد) دارای معنای بسیار خوبی هندسی است. در درس، من گفتم که یک انتگرال خاص یک عدد است. و اکنون وقت آن است که یک واقعیت مفید دیگر را بیان کنیم. از نقطه نظر هندسه، یکپارچگی خاص یک منطقه است.

من، یک انتگرال خاص (اگر آن وجود دارد) به طور هندسی مربوط به منطقه برخی از شکل است. به عنوان مثال، یک انتگرال خاص را در نظر بگیرید. تابع انتگرال برخی از منحنی را در هواپیما تنظیم می کند (همیشه می تواند در صورت لزوم کشیده شود)، و یک انتگرال خاص خود، عددی برابر با مساحت trapezium curvilinear مربوطه است.

مثال 1

این یک فرمول بندی کار معمول است. اولین و مهمترین نقطه تصمیم گیری - ساخت یک نقاشی. و نقاشی باید ساخته شود درست.

هنگام ساخت یک نقاشی، من سفارش زیر را توصیه می کنم: اولین بهتر است همه ی راست (اگر آنها) و تنها بعد - Parabolas، Hyperbolas، برنامه های دیگر توابع. نمودارهای تابع برای ساخت بیشتر سودآور هستند پوتوچوتکنیک ساخت و ساز در ساخت و ساز را می توان در مواد مرجع یافت.

در اینجا شما همچنین می توانید یک ماده بسیار مفید در رابطه با درس ما مواد ما را پیدا کنید - چگونه به سرعت ساخت یک پارابولا.

در این کار، تصمیم ممکن است به نظر برسد.
انجام نقاشی (توجه داشته باشید که معادله محور را تعیین می کند):

من یک تراپزی منحنی نخواهم خورد، در اینجا واضح است که در آن منطقه سخنرانی وجود دارد. این تصمیم همچنان ادامه دارد:

در برنامه SECTION یک تابع واقع شده است بیش از محور، بنابراین:

پاسخ:

چه کسی با محاسبه یکپارچگی خاص و استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیا مشکلاتی دارد؟ ، به سخنرانی مراجعه کنید یکپارچه خاص نمونه هایی از راه حل ها.

پس از تکمیل کار، همیشه مفید است که به نقاشی و برآورد نگاه کنید، واقعی معلوم شد. در این مورد، "در چشم" ما تعداد سلول ها را در نقاشی شمارش می کنیم - به خوبی، تقریبا 9 پرواز می شود، به نظر می رسد حقیقت است. کاملا روشن است که اگر ما داشتیم، می گویند، پاسخ: 20 واحد مربع، واضح است که یک خطا در جایی ساخته شده است - در شکل 20 سلول، به وضوح از قدرت دوازده ساخته نشده است. اگر پاسخ منفی شد، وظیفه نیز به اشتباه تصمیم گرفته شده است.

مثال 2

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود و محور

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است. راه حل کامل و پاسخ در پایان درس.

چه کاری باید انجام دهید اگر Trapezium curvilinear واقع شود تحت محور؟

مثال 3

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود و محورهای مختصات.

راه حل: انجام نقاشی:

اگر یک trapezium curvilinear کاملا زیر محور واقع شده است، سپس منطقه آن را می توان با فرمول پیدا کرد:
در این مورد:

توجه! دو نوع وظایف را اشتباه نگیرید:

1) اگر شما برای حل یک انتگرال ساده بدون هیچ معنی هندسی دعوت شده اید، ممکن است منفی باشد.

2) اگر شما دعوت شده برای پیدا کردن شکل از شکل با استفاده از یک انتگرال خاص، سپس منطقه همیشه مثبت است! به همین دلیل است که فقط فرمول در نظر گرفته شده به نظر می رسد منفی است.

در عمل، این رقم اغلب در سطح نیمه بالا و پایین قرار دارد و از این رو از ساده ترین نمودارهای مدرسه، به نمونه های معنی دار تر می رود.

مثال 4

پیدا کردن مساحت یک شکل صاف، خطوط محدود ،.

راه حل: ابتدا باید نقاشی کنید. به طور کلی، هنگام ساخت یک نقاشی در وظایف به منطقه، ما بیشتر به نقاط تقاطع خطوط علاقه مند هستیم. پیدا کردن نقاط تقاطع پارابولا و مستقیم. این میتواند با دو راه انجام شود. روش اول تحلیلی است. ما معادله را حل می کنیم:

بنابراین، محدودیت ادغام پایین، حد بالایی از ادغام.
به این ترتیب بهتر است، در صورت امکان، استفاده نکنید.

برای ساخت خطوط خط بسیار سودآور و سریعتر است، در حالی که محدودیت های ادغام به صورت "خود" روشن می شود. تکنیک پایان دادن به نمودارهای مختلف در جزئیات در نظر گرفته شده است نمودارها و خواص توابع ابتدایی. با این حال، یک روش تحلیلی برای پیدا کردن محدودیت ها پس از همه، گاهی اوقات لازم است که اعمال شود، به عنوان مثال، برنامه به اندازه کافی بزرگ است، یا یک ساخت و ساز آموزش دیده محدودیت های ادغام را نشان نمی دهد (آنها می توانند کسری یا غیر منطقی). و یک مثال، ما نیز در نظر داریم.

ما به کار ما بازگردیم: ابتدا منطقی تر ساخت یک خط مستقیم و تنها پس از آن پارابولا. انجام نقاشی:

من تکرار می کنم که در ساخت و ساز فعلی، محدودیت های ادغام اغلب توسط "خودکار" یافت می شود.

و در حال حاضر فرمول کار: اگر در بخش برخی از عملکرد مداوم بیشتر یا برابر برخی از عملکرد مداوم، منطقه شکل مربوطه را می توان توسط فرمول یافت می شود:

در اینجا دیگر لازم نیست فکر کنیم که در آن شکل واقع شده است - بیش از محور یا زیر محور، و تقریبا صحبت کردن مهمتر از حد نمودار بالاتر است(نسبت به یک برنامه دیگر) و آنچه - در زیر.

در این مثال، واضح است که در بخش پارابولا در بالای راست قرار دارد و بنابراین لازم است که تفریق شود

تکمیل راه حل ممکن است به نظر می رسد:

شکل دلخواه به پارابولا از بالا و پایین مستقیم محدود می شود.
در بخش، با توجه به فرمول مربوطه:

پاسخ:

در واقع، فرمول مدرسه برای منطقه تراکم منحنی در نیمه پایین پایین (نگاه کنید به مثال ساده شماره 3) - یک مورد خاص فرمول . از آنجا که محور توسط معادله تعریف شده است، و نمودار تابع در زیر محور قرار دارد،

و حالا چند نمونه برای یک تصمیم مستقل

مثال 5

مثال 6

پیدا کردن منطقه خطوط خطوط محدود ،.

در طول حل وظایف برای محاسبه منطقه با یک انتگرال خاص، یک مورد خنده دار گاهی اوقات رخ می دهد. رسم به درستی تکمیل شده است، محاسبات - درست، اما تشدید ... منطقه را پیدا کرد شکل نیستاین همان چیزی است که بنده فروتنانه شما بسته شده است. در اینجا یک مورد واقعی از زندگی است:

مثال 7

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود ،،،.

ابتدا نقاشی را اجرا کنید:

شکل که منطقه ما باید پیدا کنیم، آبی رنگ است(به دقت بر روی وضعیت نگاه کنید - از این رقم محدود است!). اما در عمل در عدم توجه، اغلب این است که لازم است منطقه ای از شکل را پیدا کنید، که با سبز سایه دار است!

این مثال نیز مفید است که در آن اندازه گیری در اندازه دو انتگرال خاص است. واقعا:

1) یک برنامه مستقیم بر روی بخش بیش از محور قرار دارد؛

2) در بخش بیش از محور نمودار هیپربول ها وجود دارد.

واضح است که مربع می تواند (و نیاز) را تجزیه کند، بنابراین:

پاسخ:

مثال 8

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود،
معادله را در فرم "مدرسه" تصور کنید و نقاشی فعلی را انجام دهید:

از نقاشی روشن است که حد بالا ما "خوب" :.
اما حد پایین تر چیست؟! واضح است که این یک عدد صحیح نیست، اما چه؟ شاید ؟ اما کجا تضمین می شود که نقاشی با دقت کامل ساخته شده است، ممکن است این باشد. یا ریشه و اگر ما به طور کلی یک برنامه را نامطلوب ساختیم؟

در چنین مواردی، شما باید زمان اضافی را صرف کنید و محدودیت های ادغام را به صورت تحلیلی مشخص کنید.

نقاط تقاطع مستقیم و پارابولا را پیدا کنید.
برای انجام این کار، معادله را حل کنید:

از این رو ،.

راه حل بیشتر بی اهمیت است، مهمترین چیز این است که در جایگزینی و نشانه ها اشتباه گرفته شود، محاسبات در اینجا ساده ترین نیستند.

بر روی برش با توجه به فرمول مربوطه:

پاسخ:

خوب، و در نتیجه درس، دو وظیفه را دشوارتر می کنید.

مثال 9

محاسبه منطقه شکل، خطوط محدود ،،

راه حل: این شکل را در نقاشی نشان دهید.

برای ساخت فعلی طراحی، لازم است که ظاهر سینوسی ها را بدانیم (و به طور کلی مفید است بدانیم نمودارهای تمام توابع ابتدایی)، و همچنین برخی از مقادیر سینوسی، آنها را می توان یافت جدول مثلثاتی. در بعضی موارد (همانطور که در این)، مجاز به ساخت یک طرح طرح ریزی است که در آن نمودارها و محدودیت های ادغام باید در اصل منعکس شود.

با محدودیت ادغام، هیچ مشکلی در اینجا وجود ندارد، آنها به طور مستقیم از شرایط پیروی می کنند: - "X" از صفر تا "PI" متفاوت است. ما یک راه حل بیشتر را تهیه می کنیم:

در بخش، نمودار تابع در بالای محور قرار دارد، بنابراین:

(1) نحوه ادغام سینوس ها و کوزین ها در درجه های عجیب و غریب می تواند در درس مشاهده شود انتگرال از توابع مثلثاتی. این یک پذیرش معمول است، با فشار دادن یک سینوس.

(2) ما از هویت اصلی مثلثاتی در قالب استفاده می کنیم

(3) ما متغیر را جایگزین خواهیم کرد، سپس:

یکپارچه سازی تغییر جدید:

چه کسی چیزهای بسیار بدی را با جایگزینی دارد، لطفا به درس بروید روش جایگزینی در یک انتگرال نامحدود. چه کسی به الگوریتم جایگزینی در یک انتگرال خاص مشخص نیست، از صفحه بازدید کنید یکپارچه خاص نمونه هایی از راه حل ها.

معرفی

پیدا کردن یک مشتق F "(X) یا دیفرانسیل DF \u003d F" (X) عملکرد DX F (X) وظیفه اصلی محاسبات دیفرانسیل است. در محاسبه انتگرال، مشکل معکوس حل شده است: با توجه به یک تابع داده شده f (x) لازم است که چنین تابع f (x) را پیدا کنید، که f "(x) \u003d f (x) یا f (x) \u003d f "(x) dx \u003d f (x) dx. بنابراین، وظیفه اصلی محاسبات انتگرال، بازسازی تابع f (x) با توجه به مشتق شده (دیفرانسیل) این تابع است. محاسبه یکپارچه کاربرد های متعدد در هندسه، مکانیک، فیزیک و تکنولوژی دارد. این یک روش کلی برای پیدا کردن فضا، حجم، مراکز گرانش و غیره را ارائه می دهد.

البته تجزیه و تحلیل ریاضی شامل مواد مختلفی است، با این حال، یکی از پارتیشن های مرکزی آن یک انتگرال خاص است. ادغام بسیاری از انواع توابع گاهی اوقات یکی از سخت ترین مشکلات تجزیه و تحلیل ریاضی است.

محاسبه یکپارچگی خاص نه تنها علاقه های نظری را ندارد. گاهی اوقات به محاسبه آن کاهش می یابد، وظایف مرتبط با فعالیت های عملی یک فرد کاهش می یابد.

همچنین، مفهوم یک انتگرال خاص به طور گسترده ای در فیزیک استفاده می شود.

پیدا کردن منطقه trapezium curvilinear

یک تراپزی منحنی شکل به نام یک شکل واقع شده در یک سیستم مختصات مستطیلی و محور Abscissa محدود، مستقیم است x \u003d A. و x \u003d b. و منحنی، و غیر منفی در بخش. تقریبا مساحت تراپزی منحنی می تواند مانند این باشد:

1. برش برش محور Abscissa را در n. بخش های مساوی؛

2. بخش هایی از بخش های عمودی را به محور Abscissa، به تقاطع با منحنی انجام دهید؛

3. ستون های مستطیل حاصل را با پایه و ارتفاع برابر با ارزش تابع جایگزین کنید f. در انتهای چپ هر بخش؛

4. مجموع مربعات این مستطیل را پیدا کنید.

اما شما می توانید منطقه Curvilinear را در غیر این صورت پیدا کنید: طبق فرمول نیوتن لابیتسا. برای اثبات فرمول که شروع می شود، ما ثابت می کنیم که منطقه تراکتوز منحنی برابر است، جایی که - هر یک از توابع ابتدایی که نمودار آن را محدود می کند trapezium منحنی.

محاسبه ناحیه تراپزی منحنی به شرح زیر نوشته شده است:

1. هر یک از توابع ابتدایی وجود دارد.

2. ضبط شده - این یک فرمول نیوتن-لایبنیت است.

پیدا کردن منطقه بخش انحصاری

منحنی را در نظر بگیرید؟ \u003d؟ (؟) در سیستم مختصات قطبی، کجا؟ (؟) - مداوم و غیر منفی در [؟؛ ؟] تابع. شکل، منحنی محدود؟ (؟) و اشعه؟ \u003d؟،؟ \u003d؟، به نام بخش انحنا نامیده می شود. منطقه بخش انحصاری برابر است

پیدا کردن طول منحنی قوس

مختصات مستطیلی

فرض کنید در مختصات مستطیلی یک منحنی صاف AB داده شده است، معادله آن y \u003d f (x)، که در آن؟ ایکس؟ ب (شکل 2)

در زیر طول قوس، AB به عنوان محدودیتی که طول آن طول خط شکسته است، در این قوس ثبت شده است، زمانی که تعداد لینک های شکسته به طور فزاینده ای افزایش می یابد، و طول بزرگترین لینک باید برای صفر تلاش کند.

طرح را اعمال کنید (جمع).

امتیاز x \u003d a، x، ...، x \u003d b (x؟ x \u003d x \u003d b (x؟ x؟ x) بخش جدیدی در بخش های N. اجازه دهید این نکات مربوط به نقاط m \u003d a، m، ...، m \u003d b در منحنی AB باشد. ما آکورد MM، MM، ...، MM را انجام خواهیم داد، که طول آنها به ترتیب از طریق؟ l، l، ...، l.

ما MMM شکسته را به دست می آوریم، طول آن L \u003d؟ L +؟ L + ... +؟ L \u003d؟ L.

طول وتر (یا Lymannaya link)؟ من می توانم در قضیه Pythagoree از یک مثلث با آداب و رسوم پیدا کنم؟ X و؟ Y:

l \u003d، کجا؟ x \u003d x - x،؟ y \u003d f (x) - f (x).

با توجه به قضیه لاگرانژ در افزایش نهایی عملکرد

y \u003d (c)؟ x، جایی که c (x، x).

و طول تمام شکسته MMM ... MM برابر است

طول منحنی AB، با تعریف، برابر است

توجه داشته باشید که وقتی L 0 نیز و؟ x 0 (؟ l \u003d و از این رو |؟ x |< ?L). Функция непрерывна на отрезке , так как, по условию, непрерывна функция f (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L=?L= , кода max ?X 0:

بنابراین، l \u003d dx.

به عنوان مثال: طول دایره شعاع R را پیدا کنید (شکل 3)

پیدا کردن؟ بخشی از طول آن از نقطه (0؛ r) به نقطه (r؛ 0). مانند

№ ____ تاریخ ________

موضوع:trapezium curvilinear و مربع آن ب

اهداف درس: تعریف یک trapezium curvilinear و مربع آن را یاد بگیرید، یاد بگیرید که محدوده تراپزی منحنی را محاسبه کنید.

در طول کلاس ها

1. لحظه سازمانی.

دانش آموزان تبریک، بررسی آمادگی طبقاتی برای درس، سازماندهی توجه دانش آموزان، افشای اهداف کلی درس و طرح آن.

2. مرحله بررسی تکالیف.

اهداف: برقراری صحت، تکمیل و آگاهی از اجرای تمام دانش آموزان D / S، شناسایی شکاف در دانش و شیوه های فعالیت دانش آموزان را تعیین کنید. تعیین علل وقوع مشکلات، از بین بردن فضاهای کشف شده.

3. به روز رسانی بالا

وظایف: ارائه انگیزه آموزه های دانش آموزان، ورود به فعالیت های مشترک برای تعیین اهداف درس. تجربه دانش آموزان ذهنی را به دست آورید.

به یاد بیاورید مفاهیم اساسی و فرمول ها.

تعریف. تابع y \u003d.f.(x)، x (a، b)، نامیده می شود اولیه برای عملکرد y \u003d f (x)، x (a، b)، اگر برای همه ایکس. (a، b) برابری انجام می شود

F. (x) \u003d f (x).

اظهار نظر. اگر یک f.(ایکس) برای عملکرد اولیه وجود دارد f (x)، سپس با هر ثابت از جانب, f (x) + c همچنین یک ابتدایی است f (x).

وظیفه پیدا کردن تمام توابع ابتدایی f (x) به نام ادغام، و مجموعه ای از تمام اولیه یکپارچه نامشخص برای عملکرد نامیده می شود f (x) توسط dx و نشان دهنده

خواص عبارتند از:

1 ؛

2 اگر یک c \u003d.Const، T.
;

3
.

اظهار نظر. در دوره مدرسه ریاضیات، اصطلاح "انتگرال نامحدود" استفاده نمی شود، به جای آنها می گویند "بسیاری از همه اولیه".

ما یک جدول از انتگرال های نامعلوم را ارائه می دهیم.

مثال 1 یک تابع اولیه را پیدا کنید
عبور از نقطه M.(2;4).

تصمیم گیری بسیاری از تمام توابع ابتدایی
یک انتگرال نامحدود وجود دارد
. من آن را با استفاده از خواص انتگرال 1 و 2 درجه محاسبه می کنم. ما داریم:

دریافت کرد که مجموعه ای از تمامی ابتدایی توسط خانواده توابع داده می شود y \u003d f (x) + c، من y \u003d x 3 – 2x + c.جایی که از جانب - دائمی دلخواه

دانستن اینکه اولیه از طریق نقطه M.(2، 4)، ما مختصات خود را در بیان قبلی جایگزین خواهیم کرد از جانب.

4=2 3 –2 2+از جانب  از جانب=4–8+4; از جانب=0.

پاسخ: f (x) \u003d x 3 - 2ایکس. - ابتدایی مطلوب

4. تشکیل مفاهیم جدید و روش های عمل.

وظایف: اطمینان از ادراک، درک و حفظ دانش آموز تحت مطالب مورد مطالعه. اطمینان از روش یادگیری برای بازتولید مواد مورد مطالعه، درک فلسفی مفاهیم، \u200b\u200bقوانین، قوانین، فرمول ها را ترویج کنید. برای ایجاد صحت و آگاهی از مواد مورد مطالعه آموخته شده، برای شناسایی شکاف های درک اولیه، اصلاح را انجام دهید. ارائه دانش آموزان تجربه ذهنی خود را با نشانه های دانش علمی مرتبط می کنند.

پیدا کردن چهره های چهره های مسطح

وظیفه پیدا کردن یک منطقه از یک شکل مسطح نزدیک به وظیفه پیدا کردن اولیه (ادغام) است. یعنی: منطقه گراف محدود Curvilinear Trapeziumy \u003d f (x) (f (x)\u003e 0) راستx \u003d a؛ x \u003d b؛ y \u003d. 0، برابر با تفاوت های تفاوت تفاوت برای عملکردy \u003d f (x) در نقاطب وآ. :

s \u003d f (b) -f (a)

اجازه دهید ما تعریف یک انتگرال خاص را ارائه دهیم.

در باره
نسبت اجازه دهید تابع y \u003d f (x) تعریف شده و یکپارچه در بخش [ a، ب] رهایش کن f (x) - برخی از ابتدایی او. سپس شماره f (b) -f (a) به نام انتگرال OT. ولی قبل از ب کارکرد f (x) و نشان دهنده

.

برابری
به نام نیوتن لابیتسا فرمول.

این فرمول، وظیفه پیدا کردن یک شکل مسطح را با یکپارچگی متصل می کند.

به طور کلی، اگر این رقم به نمودارهای توابع محدود شود y \u003d f (x); y \u003d g (x) (f (x)\u003e g (x)) و راست x \u003d A.; x \u003d b.سپس منطقه آن برابر است:

.

مثال 2 در چه نقطه برنامه تابع است y \u003d x 2 + 1 لازم است که یک مماس را نگه دارید، به طوری که آن را از شکل شکل گرفته شده توسط برنامه این تابع و مستقیما کاهش می یابد y \u003d.0، x \u003d0، x \u003d1 تراپزی بزرگترین مربع؟

تصمیم گیری بیایید M. 0 (ایکس. 0 ، y 0 ) - عملکرد گرافیک عملکرد y \u003d x 2 + 1، که در آن مماس مورد نظر است.

معادله معادله را پیدا کنید y \u003d y 0 + F. (ایکس. 0 ) (x-x 0 ) .

ما داریم:

از این رو

.

مربع trapezium را پیدا کنید اوج.

.

ب - نقطه تقاطع مماس با مستقیم x \u003d.1 

این کار برای پیدا کردن بزرگترین ارزش عملکرد کاهش می یابد.

S.(ایکس.)\u003d -x 2 + x +.1 در بخش پیدا کردن S. (ایکس.)=– 2x +1. یک نقطه بحرانی از شرایط پیدا کنید S. (ایکس.)= 0  x \u003d..

ما می بینیم که تابع به بالاترین مقدار می رسد x \u003d.. پیدا کردن
.

پاسخ: Tangentic نیاز به صرف در نقطه
.

توجه داشته باشید که وظیفه پیدا کردن انتگرال اغلب بر اساس معنای هندسی آن یافت می شود. بگذارید در مثال نشان دهیم که چگونه چنین کاری حل می شود.

مثال 4 با استفاده از معنای هندسی یکپارچه برای محاسبه

ولی )
؛ ب)
.

تصمیم گیری

ولی)
- برابر با مساحت trapezium curvilinear، خطوط محدود است.

پ اصلاحات

- نیمه بالای دایره با مرکز r(1؛ 0) و شعاع r \u003d.1.

از این رو
.

پاسخ:
.

ب) به طور مشابه استدلال می کنیم، ما یک منطقه را با نمودارها محدود خواهیم کرد .2 – 2x +2، مماس به آن در نقاط آ.
, ب(4;2)

y \u003d.–9ایکس-59، پارابولا y \u003d.3ایکس. 2 + تبر +1، اگر شما می دانید که مماس به پارابولا در نقطه x \u003d -2 با محور است گاو زاویه قدر aRCTG6.

برای پیدا کردن ولیاگر شناخته شده است که منطقه Trapezium curvilinear Limited y \u003d.3ایکس. 3 + 2x، x \u003d a، y \u003d0، برابر با یک.

کوچکترین ارزش منطقه ای از شکل محدود توسط Parabola را پیدا کنید y \u003d x 2 + 2ایکس-3 و مستقیم y \u003d kx +1.

6. اطلاعات در مورد تکالیف خود را.

وظایف: برای اطمینان از درک اهداف، محتوا و روش های Homewwork.18، 19،20،21 عدد

7. در این درس درس.

وظیفه: ارزیابی کیفی از کار کلاس و دانش آموزان فردی را ارائه دهید.