سطح اول

درجه و خواص. راهنمای جامع (2019)

چرا شما نیاز دارید؟ آنها کجا خواهند آمد؟ چرا باید وقت خود را صرف مطالعه خود کنید؟

برای پیدا کردن همه چیز در مورد درجه، آنچه آنها نیاز به آنچه که آنها نیاز به نحوه استفاده از دانش خود را در زندگی روزمره این مقاله را بخوانید.

و البته، دانش درجه به شما نزدیک تر به تسلیم موفقیت آمیز OGE یا EGE و ورود به دانشگاه رویاهای شما خواهد شد.

اجازه دهید برو ... (سوار!)

سخنان مهم! اگر به جای فرمول ها، Abracadabra را ببینید، حافظه پنهان را تمیز کنید. برای انجام این کار، روی Ctrl + F5 (روی ویندوز) یا CMD + R (در Mac) کلیک کنید.

سطح اول

ورزش یک عملیات ریاضی همانند علاوه بر این، تفریق، ضرب یا تقسیم است.

حالا تمام زبان انسانی را خیلی توضیح خواهم داد نمونه های ساده. توجه داشته باشید نمونه هایی از ابتدایی، اما توضیح دادن چیزهای مهم.

بیایید با افزودن شروع کنیم.

هیچ چیز برای توضیح اینجا وجود ندارد. همه شما همه چیز را می دانید: ما هشت نفر هستیم. هر کس دارای دو بطری کولا است. کولا چقدر است؟ راست - 16 بطری

در حال حاضر ضرب

همان مثال با کولا را می توان به صورت متفاوت ثبت کرد :. ریاضیات - مردم حیله گری و تنبل. آنها برای اولین بار برخی از الگوها را متوجه می شوند و پس از آن نحوه "شمارش" آنها را سریعتر اختراع می کنند. در مورد ما، آنها متوجه شدند که هر یک از هشت نفر دارای تعداد مشابهی از بطری های کولا بوده و با پذیرش به نام ضرب به دست آمد. موافقم، آن را ساده تر و سریعتر از آن در نظر گرفته شده است.

بنابراین، برای خواندن سریع تر، ساده تر و بدون اشتباه، شما فقط باید به یاد داشته باشید ضرب میز. البته، شما می توانید همه چیز را به آرامی، سخت تر و اشتباه انجام دهید! ولی…

در اینجا جدول ضرب است. تکرار.

و دیگری، زیبا تر:

و دیگر چه پذیرش پاک کردن افزایش ریاضیات دریایی؟ درست - نعوظ.

نعوظ

اگر شما باید پنج بار تعداد خود را برای خودتان چند برابر کنید، ریاضیات می گویند که شما باید این شماره را در درجه پنجم بسازید. مثلا، . ریاضیات به یاد داشته باشید که دو در درجه پنجم است. و آنها چنین وظایفی را در ذهن حل می کنند - سریع تر، ساده تر و بدون خطا.

برای این شما فقط نیاز دارید به یاد داشته باشید آنچه در رنگ در جدول مقادیر اعداد برجسته شده است. باور کنید، این امر تا حد زیادی زندگی شما را تسهیل می کند.

به هر حال، چرا درجه دوم نامیده می شود مربع اعداد، و سوم - کوبا؟ چه مفهومی داره؟ بسیار سؤال خوبی بود. در حال حاضر به شما و مربع ها و کوبا وجود دارد.

مثال از شماره زندگی 1

بیایید با یک مربع یا از درجه دوم شماره شروع کنیم.

تصور کنید یک استخر مربع از اندازه متر بر روی یک متر. استخر در Dacha شما است. گرما و واقعا می خواهید شنا کنید. اما ... استخر بدون پایین! شما باید پایین کاشی های استخر را ذخیره کنید. چقدر کاشی دارید؟ به منظور تعیین این، شما نیاز به پیدا کردن منطقه پایین استخر.

شما می توانید به سادگی محاسبه کنید، با یک انگشت، که پایین استخر شامل یک مکعب متر در هر متر است. اگر شما یک کاشی متر برای متر دارید، باید به قطعات نیاز داشته باشید. این آسان است ... اما کجا چنین کاشی را دیدید؟ کاشی بیشتر احتمال دارد که ببینید و سپس "انگشت خود را برای شمارش" شکنجه کنید. سپس شما باید چند برابر کنید. بنابراین، در یک طرف پایین استخر، ما کاشی های (قطعات) و در دیگر کاشی ها را مناسب می کنیم. ضرب آن، شما کاشی () دریافت خواهید کرد.

آیا متوجه شدید که به منظور تعیین منطقه پایین استخر، آیا ما همان تعداد خود را چند برابر افزایش دادیم؟ چه مفهومی داره؟ این با همان تعداد ضرب شده است، ما می توانیم از "نعوظ از نابودی" استفاده کنیم. (البته، زمانی که شما فقط دو عدد دارید، آنها را چند برابر کنید یا آنها را به درجه بالا ببرید. اما اگر شما تعداد زیادی از آنها داشته باشید، آنها را بسیار ساده تر می کند تا آنها را از لحاظ محاسبات، بیش از حد کمتر افزایش یابد. برای امتحان، آن خیلی مهم است).
بنابراین سی تا درجه دوم () خواهد بود. یا ما می توانیم بگوییم که سی سی در میدان خواهد بود. به عبارت دیگر، درجه دوم شماره دوم همیشه می تواند به عنوان یک مربع نمایش داده شود. و برعکس، اگر یک مربع را ببینید - همیشه درجه دوم برخی از تعداد است. مربع تصویر از شماره درجه دوم است.

مثال از شماره زندگی 2

در اینجا این کار، شمارش تعداد مربعات بر روی یک شطرنج با یک مربع از تعداد ... در یک طرف سلول ها و از سوی دیگر نیز. برای محاسبه مقدار آنها، شما باید هشت یا ... اگر شما توجه داشته باشید که شطرنج یک مربع از طرف است، پس شما می توانید هشت در هر مربع ساخت. این سلول ها را تبدیل می کند. () بنابراین؟

مثال از شماره زندگی 3

در حال حاضر یک مکعب یا درجه سوم شماره. همان استخر اما اکنون شما باید بدانید که چقدر آب باید این استخر را پر کنید. شما باید حجم را حساب کنید. (حجم و مایع، به هر حال، اندازه گیری می شود متر مکعب. ناگهان، درست؟) قرعه کشی یک استخر: پایین اندازه متر و عمق متر و سعی کنید به شمارش اندازه متر مکعب متر در هر متر وارد استخر خود را وارد کنید.

راست نشان دادن انگشت خود و شمارش! یک بار، دو، سه، چهار ... بیست و دو، بیست و سه ... چقدر این اتفاق افتاد؟ پایین نبود؟ دشوار برای شمارش انگشت خود را؟ به طوری که! یک مثال را با ریاضیدانان بیاورید. آنها تنبل هستند، بنابراین متوجه شده اند که برای محاسبه حجم استخر، لازم است هر یک از دیگر طول، عرض و ارتفاع را افزایش دهید. در مورد ما، حجم استخر برابر با مکعب است ... این حقیقت ساده تر است؟

و اکنون تصور کنید، تا آنجا که ریاضیات تنبل و حیله گر هستند، اگر آنها ساده شوند. همه را به یک اقدام آورده است. آنها متوجه شدند که طول، عرض و ارتفاع برابر است و همان تعداد خود را در خود خود را ... و این به این معنی است؟ این به این معنی است که شما می توانید از درجه استفاده کنید. بنابراین، با انگشت خود چه فکر کردید، آنها در یک اقدام عمل می کنند: سه نفر در کوبا برابر است. این نوشته شده است :.

فقط باقی می ماند به یاد داشته باشید جدول درجه. اگر شما، البته، همان تنبل و حیله گر به عنوان ریاضیات. اگر دوست دارید خیلی کار کنید و اشتباه کنید - می توانید انگشت خود را حساب کنید.

خوب، در نهایت شما را متقاعد کنید که درجه ها با Lodii و Cunnies برای حل مشکلات زندگی خود، و نه ایجاد مشکلات شما، در اینجا چند نمونه از نمونه ها از زندگی است.

مثال از شماره زندگی 4

شما یک میلیون روبل دارید در ابتدای هر سال هر میلیون میلیون نفر دیگر را کسب می کنید. به عبارت دیگر، هر میلیون در ابتدای هر سال دو برابر خواهد شد. چقدر پول در سالها دارید؟ اگر شما در حال نشستن هستید و "انگشت خود را فکر می کنید"، پس شما یک فرد بسیار سختگیرانه هستید و. احمقانه. اما به احتمال زیاد شما در چند ثانیه پاسخ خواهید داد، زیرا شما هوشمند هستید! بنابراین، در سال اول - دو ضرب دو ... در سال دوم - چه اتفاقی افتاد، دو نفر دیگر، در سال سوم ... توقف! شما متوجه شدید که این تعداد خود را افزایش می دهد. بنابراین، دو در درجه پنجم - یک میلیون! و اکنون تصور کنید که شما یک رقابت دارید و این میلیون نفر کسی را دریافت خواهید کرد که سریعتر پیدا خواهد کرد ... ارزش یادآوری درجه اعداد را دارد، چه فکر می کنید؟

مثال از شماره زندگی 5

شما یک میلیون دارید در ابتدای هر سال، هر میلیون نفر را کسب می کنید. حقیقت بزرگ هر میلیون سه برابر پس از یک سال چقدر پول دارید؟ بیا بشماریم. سال اول آن است که ضرب شود، پس نتیجه هنوز هم در ... در حال حاضر خسته کننده است، زیرا شما قبلا همه چیز را درک کرده اید: سه نفر به خودی خود ضرب می شود. بنابراین، درجه چهارم برابر با یک میلیون است. فقط لازم است به یاد داشته باشید که سه در درجه چهارم یا.

حالا شما می دانید که با کمک نعوظ تعداد، شما تا حد زیادی زندگی خود را تسهیل می کنید. بیایید بعدا به آنچه که می توانید با درجه ها انجام دهید و آنچه را که باید در مورد آنها بدانید انجام دهید.

شرایط و مفاهیم ... به طوری که اشتباه نگیرید

بنابراین، برای شروع، اجازه دهید مفاهیم را تعریف کنیم. شما چی فکر میکنید، شاخص درجه چیست؟؟ این بسیار ساده است - این شماره ای است که "در بالای" درجه شماره است. نه علمی، اما روشن و آسان به یاد داشته باشید ...

خوب، در همان زمان که چنین درجه پایه ای؟ حتی ساده تر - این شماره ای است که در زیر قرار دارد.

در اینجا یک نقاشی برای وفاداری است.

خوب، ب عمومیبه طور خلاصه و بهتر به یاد داشته باشید ... درجه ای با پایه "" و شاخص "" به عنوان "به درجه" خوانده می شود و به شرح زیر نوشته شده است:

درجه شماره با شاخص طبیعی

شما قبلا احتمالا حدس زده اید: از آنجا که شاخص است عدد طبیعی. بله، اما چه چیزی است عدد طبیعی؟ ابتدایی! طبیعی این اعداد هستند که در هنگام لیست مورد استفاده قرار می گیرند: یک، دو، سه ... ما، زمانی که ما موارد را در نظر می گیریم، نمی گویند: "منهای پنج"، "منهای شش"، "منهای هفت". ما همچنین نمی گویم: "یک سوم"، یا "صفر کل، پنج دهم". اینها اعداد طبیعی نیستند. و چه این اعداد فکر می کنید؟

اعداد مانند "منهای پنج"، "منهای شش"، "منهای هفت" متعلق به تمام اعداد. به طور کلی، به طور کلی، به طور کامل شامل تمام اعداد طبیعی، اعداد مخالف طبیعی (یعنی، گرفته شده با علامت منفی)، و تعداد. صفر به راحتی درک می شود - این زمانی است که هیچ چیز نیست. و آنها به معنی منفی ("منهای") اعداد منفی است؟ اما آنها به طور عمده برای تعیین بدهی ها اختراع شدند: اگر تعادل در شماره تلفن دارید، به این معنی است که شما باید اپراتور روبل.

همه انواع فراکسیون ها هستند اعداد گویا. چگونه آنها بوجود می آیند، چه فکر می کنید؟ بسیار ساده. چند هزار سال پیش، اجداد ما دریافتند که آنها دارای اعداد طبیعی برای اندازه گیری طولانی، وزن، مربع و غیره هستند. و آنها اختراع کردند اعداد گویا... من تعجب می کنم که آیا درست است؟

تعداد غیر منطقی نیز وجود دارد. این شماره چیست؟ اگر کوتاه باشد، سپس بی نهایت دهدهی. به عنوان مثال، اگر طول دور به قطر آن تقسیم شود، تعداد غیر منطقی خواهد بود.

خلاصه:

ما مفهوم درجه را تعریف می کنیم، نشانگر آن یک عدد طبیعی است (به عنوان مثال، یک کل و مثبت).

1. هر عدد به درجه اول به همان اندازه به خود:
2. شماره را در مربع ارزیابی کنید - این بدان معنی است که آن را به تنهایی افزایش دهید:
3. شماره را در مکعب ارزیابی کنید - این بدان معنی است که سه بار آن را چند برابر کنید:

تعریف. این تعداد را به صورت طبیعی ارزیابی کنید - این بدان معنی است که تعداد تمام وقت را برای خودتان چند برابر کنید:
.

خواص درجه

این خواص از کجا آمده است؟ من الان به شما نشان خواهم داد.

بیایید ببینیم: چه چیزی است و ?

a-priory:

چند ضرب کننده در اینجا وجود دارد؟

بسیار ساده: ما چند ضلعی را به چند ضلعی تکمیل کردیم، این عوامل را معلوم کردیم.

اما با تعریف، این درجه یک عدد با شاخص است، یعنی این، این لازم بود ثابت شود.

مثال: ساده بیان کنید.

تصمیم گیری:

مثال: بیان را ساده کنید

تصمیم گیری: مهم است که متوجه شوید که در حکومت ما قبل از باید همان بنیاد باشد!
بنابراین، ما درجه را با پایه ترکیب می کنیم، اما یک ضریب جداگانه باقی می ماند:

فقط برای کار درجه!

در هیچ موردی نمی تواند آن را بنویسد.

2. این است درجه شماره

همانطور که با اموال قبلی، ما به تعریف درجه تبدیل می شویم:

به نظر می رسد که بیان خود را یک بار ضرب می شود، یعنی، با توجه به تعریف، این است، تعدادی تعداد وجود دارد:

در حقیقت، این می تواند "شاخص براکت" نامیده شود. اما هرگز نمی تواند آن را در مقدار انجام دهد:

به یاد بیاورید فرمول لغات اختصاری: چند بار ما می خواهیم بنویسیم؟

اما نادرست است، زیرا.

منفی

تا این نقطه، ما فقط بحث کردیم که شاخص باید باشد.

اما چه باید بکنم؟

در درجه های S. شاخص طبیعی پایه می تواند باشد هر عدد. و حقیقت، ما می توانیم هر یک از هر عدد را چند برابر کنیم، چه مثبت، منفی یا حتی.

بیایید فکر کنیم که چه نشانه هایی ("یا" ") دارای درجه های مثبت و منفی هستند؟

به عنوان مثال، تعداد مثبت یا منفی؟ ولی؟ ؟ با اول، همه چیز روشن است: چند عدد مثبت ما با یکدیگر ضرب نمی شوند، نتیجه مثبت خواهد بود.

اما با کمی کمی جالب تر است. پس از همه، ما یک قانون اساسی درجه 6 را به یاد می آوریم: "منهای منهای منفی به علاوه. یعنی، یا. اما اگر ما آن را چند برابر کنیم، کار خواهد کرد.

به طور مستقل تعیین کنید، چه علامت های زیر را امضا کنید:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

مقابله

در اینجا پاسخ ها وجود دارد: در چهار نمونه اول، امیدوارم همه چیز قابل درک باشد؟ فقط به پایه و شاخص نگاه کنید و قانون مناسب را اعمال کنید.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

به عنوان مثال 5)، همه چیز نیز به اندازه ترسناک نیست، به نظر می رسد: مهم نیست که چه چیزی برابر با پایه است - درجه ای است که به این معنی است که نتیجه همیشه مثبت خواهد بود.

خوب، به استثنای مورد زمانی که پایه صفر است. دلیل آن برابر نیست؟ بدیهی است نه، زیرا (زیرا).

مثال 6) دیگر خیلی ساده نیست!

6 نمونه برای آموزش

راه حل های 6 نمونه

اگر به درجه هشتم توجه نکنید، ما اینجا را می بینیم؟ به یاد داشته باشید برنامه کلاس 7. بنابراین، به یاد داشته باشید؟ این فرمول برای ضرب اختصاصی است، یعنی تفاوت مربعات! ما گرفتیم:

به دقت به نام دهنده نگاه کنید. او بسیار شبیه به یکی از ضرب کننده های عددی است، اما اشتباه است؟ نه روش شرایط. اگر آنها را در مکان ها تغییر دهند، ممکن است قانون را اعمال کنید.

اما چگونه این کار را انجام دهید؟ به نظر می رسد بسیار آسان است: درجه حتی از نامزدی به ما کمک می کند.

جادویی، اجزای تغییر در مکان ها. این "پدیده" برای هر گونه بیان به درجه ای قابل استفاده است: ما می توانیم نشانه ها را در براکت ها تغییر دهیم.

اما مهم است به یاد داشته باشید: تمام نشانه ها در همان زمان تغییر می کنند.!

بیایید به عنوان مثال به عقب برگردیم:

و دوباره فرمول:

عدد صحیح ما شماره های طبیعی را در مقابل آنها تماس می گیریم (یعنی با علامت "" و شماره.

تعداد کل مثبت، و آن را از طبیعت متفاوت نیست، پس همه چیز به نظر می رسد دقیقا همانطور که در بخش قبلی است.

و اکنون اجازه دهید موارد جدید را در نظر بگیریم. بیایید با یک شاخص برابر با آن شروع کنیم.

هر عدد به صفر برابر است:

همانطور که همیشه، ما از من می خواهیم: چرا اینطور است؟

هر درجه را با پایه ای در نظر بگیرید. به عنوان مثال، و سلطه بر روی:

بنابراین، ما تعداد را افزایش دادیم و همینطور بود. و برای چه تعداد باید ضرب شود به طوری که هیچ چیز تغییر نکرده است؟ درست است بنابراین.

ما می توانیم همان را با یک عدد دلخواه انجام دهیم:

قانون را تکرار کنید:

هر عدد به صفر برابر است.

اما از بسیاری از قوانین، استثنائات وجود دارد. و در اینجا نیز یک عدد وجود دارد (به عنوان پایه).

از یک طرف، باید به هر اندازه برابر باشد - چقدر صفر خود را نه ضرب، هنوز صفر، روشن است. اما از سوی دیگر، مانند هر تعداد به درجه صفر، باید برابر باشد. پس حقیقت چیست؟ ریاضیات تصمیم گرفتند به صفر برسند تا صفر را به صفر برسانند. یعنی، در حال حاضر ما نه تنها می توانیم به صفر تقسیم شود، بلکه همچنین آن را به صفر ساخت.

بیایید بیشتر برویم علاوه بر اعداد طبیعی و اعداد شامل اعداد منفی است. برای درک آنچه که درجه منفی، ما به عنوان آخرین بار انجام خواهیم داد: به طوری که به طور معمول برخی از تعداد عادی بر روی یک درجه منفی:

از اینجا این است که در حال حاضر آسان است برای بیان مورد نظر:

در حال حاضر ما قانون نتیجه را به درجه دلخواه گسترش می دهیم:

بنابراین، ما قانون را تشکیل می دهیم:

این تعداد یک درجه منفی به همان تعداد به درجه مثبت است. اما در همان زمان پایه نمی تواند صفر باشد: (از آنجا که تقسیم غیرممکن است).

بیایید خلاصه کنیم:

I. بیان در مورد تعریف نشده است. اگر پس از آن.

دوم هر عدد صفر برابر با یک است :.

III یک عدد که برابر صفر نیست، به درجه منفی بازگشت به همان تعداد به درجه مثبت :.

وظایف برای راه حل های خود:

خوب، به طور معمول، نمونه هایی برای راه حل های خود:

تجزیه و تحلیل وظیفه برای راه حل های خود:

من می دانم، من می دانم، اعداد وحشتناک هستند، اما امتحان باید برای همه چیز آماده باشد! این مثال ها را به اشتراک بگذارید یا تصمیم خود را پراکنده کنید، اگر من نمی توانم تصمیم بگیرم و یاد بگیرید که به راحتی با آنها در امتحان مقابله کنید!

ادامه دایره اعداد را ادامه دهید، "مناسب" به عنوان شاخصی از درجه.

در حال حاضر در نظر گرفتن اعداد گویا. چه اعداد منطقی نامیده می شود؟

پاسخ: همه چیز را می توان به صورت فراکسیون، جایی که و - عدد صحیح و.

برای درک آنچه که هست "درجه حمل و نقل"، کسری را در نظر بگیرید:

هر دو بخش از معادله را به درجه برسانید:

حالا قانون را به یاد داشته باشید "درجه به درجه":

چه تعداد باید به درجه ای برسد؟

این فرمول تعریف درجه ریشه است.

اجازه دهید به شما یادآوری کنم: ریشه شماره () شماره ای است که در نابودی برابر است.

به این ترتیب، درجه ریشه یک عمل است، تمرین را به درجه معکوس می کند :.

معلوم می شود که بدیهی است که این پرونده خصوصی شما می توانید گسترش دهید :.

حالا یک عدد را اضافه کنید: چه چیزی است؟ پاسخ آسان است با کمک "درجه به درجه درجه" قانون:

اما می تواند دلیل هر عدد باشد؟ پس از همه، ریشه را نمی توان از تمام اعداد استخراج کرد.

هیچکس!

به یاد داشته باشید قانون: هر شماره ای که به درجه حقیقی تنظیم شده است، تعداد مثبت است. به عبارت دیگر، برای استخراج ریشه های یک درجه حتی از اعداد منفی غیر ممکن است!

این به این معنی است که این تعداد غیرممکن است که چنین اعداد را به یک درجه کسری تبدیل کنیم، یعنی بیان، این بیان منطقی نیست.

درباره بیان چیست؟

اما یک مشکل وجود دارد.

این تعداد را می توان در فرم DRGIH نشان داد، به عنوان مثال، کاهش بخش ها، یا.

و معلوم می شود که وجود دارد، اما وجود ندارد، اما این فقط دو سوابق مختلف از همان شماره است.

یا مثال دیگری: یک بار، پس شما می توانید بنویسید. اما ارزشمند است که به شیوه ای متفاوت به ما بنویسیم، و دوباره یک مزاحمت دریافت می کنیم: (یعنی، آنها یک نتیجه کاملا متفاوت دریافت کردند!).

برای جلوگیری از پارادوکس های مشابه، ما در نظر داریم تنها پایه مثبت درجه با شاخص کسری است.

بنابراین، اگر:

• - عدد طبیعی؛
• - عدد صحیح؛

مثال ها:

درجه با شاخص عقلانی برای تبدیل عبارات با ریشه بسیار مفید است، به عنوان مثال:

5 نمونه برای آموزش

تجزیه و تحلیل 5 نمونه برای آموزش

خوب، در حال حاضر - سخت ترین. حالا ما درک خواهیم کرد غیر منطقی.

تمام قوانین و خواص درجه در اینجا دقیقا همانند یک درجه با یک شاخص منطقی، با استثنا هستند

پس از همه، با تعریف، اعداد غیر منطقی اعداد هستند که نمی توانند به صورت کسری نشان داده شوند، جایی که و - اعداد صحیح (یعنی اعداد غیر منطقی همه اعداد معتبر به جز منطقی) هستند.

هنگام مطالعه درجه با شاخص طبیعی، کل و عقلانی، هر بار یک "تصویر" خاص، "آنالوگ" یا یک توصیف را در شرایط آشنا تر تشکیل می دهیم.

به عنوان مثال، یک شکل طبیعی یک عدد است، چندین بار به تنهایی ضرب شده است؛

...صفر - این همان چیزی است که تعداد آن یک بار ضرب شده توسط خود یک بار، یعنی آن، هنوز شروع به ضربات، به این معنی است که تعداد خود را حتی ظاهر نشده است - بنابراین نتیجه تنها یک "شماره بیل" خاص، یعنی شماره؛

...درجه با یک شاخص کلی منفی "به نظر می رسید که یک" فرآیند معکوس "خاصی رخ داده است، یعنی این تعداد توسط خود ضرب نشد، اما Deli.

به هر حال، در علم اغلب با یک شاخص پیچیده استفاده می شود، یعنی این نشانگر حتی یک شماره معتبر نیست.

اما در مدرسه ما در مورد چنین مشکلات فکر نمی کنیم، شما فرصتی برای درک این مفاهیم جدید در موسسه خواهید داشت.

ما مطمئن هستیم که شما انجام می دهید! (اگر یاد بگیرید برای حل این نمونه ها :))

مثلا:

سلیل خودت:

باقی مانده:

1. بیایید با قوانین معمول برای قوانین ورزش برای ما شروع کنیم:

در حال حاضر به شاخص نگاه کنید. آیا او به شما چیزی را یادآوری نمی کند؟ به یاد داشته باشید فرمول ضعف ضمیمه. تفاوت های میدان:

در این مورد،

معلوم می شود که:

پاسخ: .

2. ما کسری را در شاخص های درجه به همان فرم به ارمغان می آوریم: هر دو اعشاری یا هر دو عادی. ما به دست می آوریم، به عنوان مثال:

پاسخ: 16

3. هیچ چیز خاصی، ما از خواص معمول درجه استفاده می کنیم:

سطح پیشرفته

تعیین درجه

درجه بیان فرم نامیده می شود: جایی که:

• — مبنای درجه؛
• - شاخص

درجه با شاخص طبیعی (n \u003d 1، 2، 3، ...)

یک درجه طبیعی N را بسازید - این بدان معنی است که تعداد خود را برای خودتان چند برابر کنید:

درجه ای با عدد صحیح (0، ± 1، ± 2، ...)

اگر شاخصی از درجه باشد نرم افزار مثبت عدد:

ساخت و ساز در درجه صفر:

بیان نامحدود است، زیرا، از یک طرف، به هر حد، آن است، و از سوی دیگر - هر تعداد از درجه است.

اگر شاخصی از درجه باشد یک کل منفی عدد:

(از آنجا که تقسیم غیرممکن است).

بار دیگر در مورد Zeros: بیان در مورد تعریف نشده است. اگر پس از آن.

مثال ها:

گویا

• - عدد طبیعی؛
• - عدد صحیح؛

مثال ها:

خواص درجه

برای حل مشکلات آسان تر، سعی کنید درک کنید: این خواص از کجا آمده است؟ ما آنها را ثابت می کنیم.

بیایید ببینیم: چه چیزی چیست؟

a-priory:

بنابراین، در قسمت راست این عبارت، چنین کاری به دست می آید:

اما با تعریف، این درجه یک عدد با یک شاخص است، یعنی:

Q.E.D.

مثال : ساده بیان کنید.

تصمیم : .

مثال : ساده بیان کنید.

تصمیم : مهم است که متوجه شوید که در حکومت ما قبل ازباید همان پایگاه ها وجود داشته باشد. بنابراین، ما درجه را با پایه ترکیب می کنیم، اما یک ضریب جداگانه باقی می ماند:

یکی دیگر از نکات مهم: این یک قانون است - فقط برای کار درجه!

در هیچ مورد به عصب برای نوشتن آن.

همانطور که با اموال قبلی، ما به تعریف درجه تبدیل می شویم:

ما این کار را مانند این کار می کنیم:

به نظر می رسد که این بیان یک بار ضرب می شود، یعنی، با توجه به تعریف، این است - توسط درجه شماره:

در حقیقت، این می تواند "شاخص براکت" نامیده شود. اما هرگز نمی تواند این کار را در مقدار انجام دهد:!

به یاد بیاورید فرمول لغات اختصاری: چند بار ما می خواهیم بنویسیم؟ اما نادرست است، زیرا.

درجه با پایه منفی.

تا این نقطه، ما فقط بحث کردیم که چه باید باشد شاخص درجه. اما چه باید بکنم؟ در درجه های S. طبیعی شاخص پایه می تواند باشد هر عدد .

و حقیقت، ما می توانیم هر یک از هر عدد را چند برابر کنیم، چه مثبت، منفی یا حتی. بیایید فکر کنیم که چه نشانه هایی ("یا" ") دارای درجه های مثبت و منفی هستند؟

به عنوان مثال، تعداد مثبت یا منفی؟ ولی؟ ؟

با اول، همه چیز روشن است: چند عدد مثبت ما با یکدیگر ضرب نمی شوند، نتیجه مثبت خواهد بود.

اما با کمی کمی جالب تر است. پس از همه، ما یک قانون اساسی درجه 6 را به یاد می آوریم: "منهای منهای منفی به علاوه. یعنی، یا. اما اگر ما در () ضرب شود، معلوم می شود.

و به همین ترتیب به بی نهایت: هر بار ضرب بعدی علامت را تغییر خواهد داد. شما می توانید چنین فرموله کنید قوانین ساده:

1. زوج درجه - شماره مثبت.
2. تعداد منفیتوسط فرد درجه - شماره منفی.
3. تعداد مثبت به هر دو درجه، تعداد مثبت است.
4. صفر به هر درجه صفر است.

به طور مستقل تعیین کنید، چه علامت های زیر را امضا کنید:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

مقابله در اینجا پاسخ ها هستند:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

در چهار نمونه اول، امیدوارم همه چیز روشن باشد؟ فقط به پایه و شاخص نگاه کنید و قانون مناسب را اعمال کنید.

به عنوان مثال 5)، همه چیز نیز به اندازه ترسناک نیست، به نظر می رسد: مهم نیست که چه چیزی برابر با پایه است - درجه ای است که به این معنی است که نتیجه همیشه مثبت خواهد بود. خوب، به استثنای مورد زمانی که پایه صفر است. دلیل آن برابر نیست؟ بدیهی است نه، زیرا (زیرا).

مثال 6) دیگر ساده نیست. در اینجا شما باید بدانید که کمتر: یا؟ اگر به یاد داشته باشید که روشن می شود، و بنابراین پایه کمتر از صفر است. به این ترتیب، ما قانون را اعمال می کنیم 2: نتیجه منفی خواهد بود.

و دوباره از درجه درجه استفاده می کنیم:

همه به طور معمول - تعریف تعریف درجه را بنویسید و آنها را به یکدیگر تقسیم کنید، در جفت ها تقسیم کنید و دریافت کنید:

قبل از اینکه آخرین قاعده را از بین ببرید، چند نمونه را حل می کنیم.

عبارات محاسبه شده:

راه حل های :

اگر به درجه هشتم توجه نکنید، ما اینجا را می بینیم؟ به یاد داشته باشید برنامه کلاس 7. بنابراین، به یاد داشته باشید؟ این فرمول برای ضرب اختصاصی است، یعنی تفاوت مربعات!

ما گرفتیم:

به دقت به نام دهنده نگاه کنید. او بسیار شبیه به یکی از ضرب کننده های عددی است، اما اشتباه است؟ نه روش شرایط. اگر آنها در مکان ها مبادله شدند، ممکن است قانون را اعمال کنید. 3. اما چگونه آن را انجام دهید؟ به نظر می رسد بسیار آسان است: درجه حتی از نامزدی به ما کمک می کند.

اگر شما آن را بکشید، هیچ چیز تغییر نخواهد کرد، درست است؟ اما اکنون معلوم می شود:

جادویی، اجزای تغییر در مکان ها. این "پدیده" برای هر گونه بیان به درجه ای قابل استفاده است: ما می توانیم نشانه ها را در براکت ها تغییر دهیم. اما مهم است به یاد داشته باشید: همه نشانه ها در همان زمان تغییر می کنند!شما نمیتوانید جایگزین کنید، تنها یک منهای ناراضی را تغییر دهید!

بیایید به عنوان مثال به عقب برگردیم:

و دوباره فرمول:

بنابراین حالا آخرین قاعده:

چگونه ما ثابت خواهیم کرد؟ البته، به طور معمول: من مفهوم درجه را نشان می دهم و ساده تر می شود:

خوب، حالا من براکت را آشکار خواهم کرد. نامه ها چقدر خواهد بود؟ یک بار در چندگانگی - چه چیزی یادآوری می کند؟ این چیزی جز تعریف عملیات نیست ضرب: در مجموع عوامل وجود دارد. به عبارت دیگر، با تعریف، درجه شماره با شاخص:

مثال:

غیر منطقی

علاوه بر اطلاعات مربوط به درجه برای سطح متوسط، ما درجه را با شاخص غیر منطقی تحلیل خواهیم کرد. تمام قوانین و خواص درجه در اینجا دقیقا همانند یک درجه با یک شاخص منطقی است، با استثناء - پس از همه، با تعریف، اعداد غیر منطقی اعداد هستند که نمی توانند به صورت کسری ارسال شوند، جایی که - عدد صحیح (به عنوان مثال، اعداد غیر منطقی همه اعداد معتبر علاوه بر عقلانیت هستند).

هنگام مطالعه درجه با شاخص طبیعی، کل و عقلانی، هر بار یک "تصویر" خاص، "آنالوگ" یا یک توصیف را در شرایط آشنا تر تشکیل می دهیم. به عنوان مثال، یک شکل طبیعی یک عدد است، چندین بار به تنهایی ضرب شده است؛ شماره صفر درجه به نحوی به نحوی تعداد ضرب شده توسط خود یک بار، یعنی، هنوز شروع به ضرب، به این معنی است که تعداد خود را حتی ظاهر نشده است - بنابراین، تنها یک "Billet" خاص، یعنی نتیجه است ؛ درجه ای با یک شاخص کل منفی به این معنی است که یک "فرآیند معکوس" مشخص شده است، یعنی این تعداد توسط خود ضرب نشد، بلکه تقسیم شد.

تصور کنید که درجه ای با یک شاخص غیر منطقی بسیار دشوار است (درست همانطور که یک فضای 4 بعدی را ارائه می دهید). این یک شیء صرفا ریاضی است که ریاضیات ایجاد شده برای گسترش مفهوم درجه به کل فضای اعداد.

به هر حال، در علم اغلب با یک شاخص پیچیده استفاده می شود، یعنی این نشانگر حتی یک شماره معتبر نیست. اما در مدرسه ما در مورد چنین مشکلات فکر نمی کنیم، شما فرصتی برای درک این مفاهیم جدید در موسسه خواهید داشت.

پس اگر ما یک نرخ غیر منطقی را ببینیم چه کاری انجام می دهیم؟ ما در حال تلاش برای خلاص شدن از شر آن با تمام ممکن است! :)

مثلا:

سلیل خودت:

1)

2)

3)

پاسخ ها:

1. ما فرمول تفاوت مربعات را به یاد می آوریم. پاسخ:.
2. ما به همان فرم تقسیم می کنیم: هر دو اعشاری یا هر دو عادی. به عنوان مثال، ما دریافت می کنیم:
3. هیچ چیز خاصی، ما از خواص معمول درجه استفاده می کنیم:

خلاصه بخش و فرمول های پایه

درجه بیان فرم فرم: جایی که:

عدد صحیح

درجه، نشانگر آن یک عدد طبیعی است (به عنوان مثال، یک کل و مثبت).

گویا

درجه، شاخص آن اعداد منفی و کسری است.

غیر منطقی

درجه، شاخص آن یک قطعه یا ریشه اعشاری بی نهایت است.

خواص درجه

ویژگی های درجه

• تعداد منفی نصب شده است زوج درجه - شماره مثبت.
• تعداد منفی نصب شده است فرد درجه - شماره منفی.
• تعداد مثبت به هر دو درجه، تعداد مثبت است.
• صفر به هر درجه برابر است.
• هر عدد به صفر برابر است.

حالا شما نیاز به یک کلمه ...

چگونه به یک مقاله نیاز دارید؟ نوشتن در نظرات مانند یا نه.

در مورد تجربه خود در استفاده از خواص درجه به من بگویید.

شاید سوالی دارید یا پیشنهادات

نوشتن در نظرات

و موفق باشید در امتحانات!

در کانال در سایت YouTube سایت ما برای نگه داشتن از همه درس های ویدئویی جدید.

اول، اجازه دهید فرمول های اساسی درجه ها و خواص آنها را به یاد داشته باشیم.

کار تعداد آ. خود را به صورت تصادفی رخ می دهد، این عبارت ما می توانیم به عنوان یک ... a \u003d a n بنویسیم

1. 0 \u003d 1 (a ≠ 0)

3. a n a m \u003d a n + m

4. (a n) m \u003d a nm

5. n b n \u003d (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

قدرت یا معادلات نشان دهنده - اینها معادلات هستند که در آن متغیرها در درجه ها (یا شاخص ها) قرار دارند و اساس آن تعداد است.

نمونه هایی از معادلات شاخصی:

که در این مثال شماره 6 پایه ای است که همیشه در طبقه پایین قرار دارد، اما متغیر است ایکس. درجه یا شاخص

بگذارید نمونه های بیشتری از معادلات نشانگر را ارائه دهیم.
2 x * 5 \u003d 10
16 x - 4 x - 6 \u003d 0

حالا ما تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که چگونه معادلات تظاهرات حل می شوند؟

یک معادله ساده بگیرید:

2 x \u003d 2 3

این مثال را می توان حتی در ذهن حل کرد. این را می توان دید که x \u003d 3. پس از همه، به طوری که بخش چپ و راست باید برابر با شماره 3 به جای X باشد.
حالا بیایید ببینیم چگونه این تصمیم را صادر می کند:

2 x \u003d 2 3
x \u003d 3

به منظور حل چنین معادله، ما حذف کردیم زمینه های مشابه (I.E. دو) و ثبت نام آنچه باقی مانده است، درجه است. پاسخ دلخواه را دریافت کرد.

حالا تصمیم ما را خلاصه کنید.

الگوریتم برای حل معادله نشانگر:
1. نیاز به بررسی همان پایه های لی در معادله در سمت راست و چپ. اگر پایه ها همانند به دنبال گزینه هایی برای حل این مثال نیستند.
2. پس از پایه ها تبدیل به یکسان شد برابر درجه و معادله جدید را حل می کند.

حالا چند مثال را بازنویسی کنید:

بیایید با ساده شروع کنیم.

پایه ها در قسمت چپ و راست برابر با شماره 2 هستند، به این معنی که ما می توانیم درجه های خود را رد و معادل کنیم.

x + 2 \u003d 4 ساده ترین معادله معلوم شد.
x \u003d 4 - 2
x \u003d 2
پاسخ: x \u003d 2

که در مثال بعدی می توان دید که پایه ها این 3 و 9 متفاوت هستند.

3 3x - 9 x + 8 \u003d 0

برای شروع، ما نه به سمت راست انتقال می دهیم، ما دریافت می کنیم:

حالا شما باید همان بنیاد را بسازید. ما می دانیم که 9 \u003d 3 2. ما از فرمول درجه (a n) m \u003d a nm استفاده می کنیم.

3 3x \u003d (3 2) X + 8

ما 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 \u003d 3 2x + 16 به دست می آوریم

3 3x \u003d 3 2X + 16 اکنون روشن است که در سمت چپ و راست پایه همان و برابر با Troika است، به این معنی که ما می توانیم آنها را از بین ببریم و درجه را کنار بگذاریم.

3x \u003d 2x + 16 ساده ترین معادله را دریافت کرد
3x - 2x \u003d 16
x \u003d 16
پاسخ: x \u003d 16.

ما به مثال زیر نگاه می کنیم:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

اول، ما به پایه نگاه می کنیم، پایه ها دو و چهار نفر متفاوت هستند. و ما باید یکسان باشیم. ما چهار را با فرمول (a n) m \u003d a nm تبدیل می کنیم.

4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x

و همچنین از یک فرمول a n a m \u003d a n + m استفاده کنید:

2 2x + 4 \u003d 2 2x 2 4

اضافه کردن به معادله:

2 2x 2 4 - 10 2 2x \u003d 24

ما نمونه ای را به دلایل مشابهی هدایت کردیم. اما ما با اعداد دیگر 10 و 24 تداخل داریم. با آنها چه کار میکنید؟ اگر می بینید که روشن است که ما 2 2 2 داریم، این پاسخ است - 2 2، ما می توانیم براکت ها را از بین ببریم:

2 2X (2 4 - 10) \u003d 24

ما بیان را در براکت محاسبه می کنیم:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

تمام معادله ها به 6:

تصور کنید 4 \u003d 2 2:

2 2x \u003d 22 پایه ها یکسان هستند، آنها را پرتاب می کنند و درجه ها را معادل می کنند.
2X \u003d 2 ساده ترین معادله معلوم شد. ما آن را در 2 تقسیم می کنیم
x \u003d 1
پاسخ: x \u003d 1.

حل معادله:

9 x - 12 * 3 x + 27 \u003d 0

ما تبدیل می کنیم:
9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x

ما معادله را دریافت می کنیم:
3 2x - 12 3 x +27 \u003d 0

پایه های ما همانند سه برابر هستند. در این مثال، می توان دید که سه درجه اول دو بار (2x) بیشتر از دوم (به سادگی X) است. در این مورد، شما می توانید حل کنید روش جایگزینی. شماره C. کوچکترین درجه ما جایگزین می کنیم:

سپس 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

ما در معادله همه درجه ها با حفره ها در T:

t 2 - 12T + 27 \u003d 0
دريافت كردن معادله درجه دوم. ما از طریق تبعیض تصمیم می گیریم، ما دریافت می کنیم:
d \u003d 144-108 \u003d 36
t 1 \u003d 9
t 2 \u003d 3

بازگشت به متغیر ایکس..

T 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

به این معنا که،

3 x \u003d 9
3 x \u003d 3 2
x 1 \u003d 2

یک ریشه یافت شد ما به دنبال دوم هستیم، از T 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x \u003d 3 1
x 2 \u003d 1
پاسخ: x 1 \u003d 2؛ x 2 \u003d 1.

در سایت شما می توانید در کمک به تصمیم گیری تصمیم به درخواست شما بپرسید. ما پاسخ خواهیم داد.

به گروه ملحق بشید

فرمول درجه استفاده شده در فرایند اختصار و ساده سازی عبارات پیچیده، حل معادلات و نابرابری ها.

عدد c. هست یک n.درجه کوچک آ. چه زمانی:

عملیات با درجه.

1. ضرب درجه با همان مبنای، شاخص های آنها برابر:

صبح.· n \u003d a m + n.

2. در تقسیم مقادیر با همان مبنای، شاخص های آنها کسر می شوند:

3. درجه کار 2 یا بیشتر چند ضلعی برابر کار درجه این عوامل است:

(abc ...) n \u003d a n · b n · c n ...

4. درجه کسری برابر با نسبت درجه تقسیم و تقسیم بندی است:

(a / b) n \u003d a n / b n.

5. گوش دادن به درجه، شاخص های درجه طولانی مدت است:

(a m) n \u003d a m n.

هر فرمول بالا در جهت چپ به راست و بالعکس درست است.

مثلا. (2 · 3 · 5/15) ² \u003d 22 · 3² · 5² / 15 ² \u003d 900/225 \u003d 4.

عملیات ریشه

1. ریشه کار عوامل متعددی برابر با محصول ریشه این عوامل است:

2. ریشه رابطه برابر با نگرش تقسیم و تقسیم ریشه ها است:

3. هنگامی که ریشه نصب شده است، آن را به اندازه کافی ساخته شده است.

4. اگر درجه ریشه را افزایش دهید n. یک بار و در همان زمان ساخت n.درجه شماره خوراک، مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:

5. اگر درجه ریشه را در آن کاهش دهید n. یک بار و در عین حال ریشه را استخراج کنید n.درجه از یک عدد ناچیز، مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:

درجه با شاخص منفی.درجه یک عدد مشخص با شاخص غیر قابل انکار (کل) به عنوان یک واحد تقسیم شده توسط درجه یک عدد با شاخص برابر با ارزش مطلق شاخص غیر مثبت تعیین می شود:

فرمول صبح.: a n \u003d a m - n می تواند نه تنها زمانی استفاده شود m.> n. اما همچنین m.< n..

مثلا. آ. 4: 7 \u003d A 4 \u200b\u200b- 7 \u003d A -3.

به فرمول صبح.: a n \u003d a m - n منصفانه شد m \u003d n.حضور یک درجه صفر مورد نیاز است.

درجه با شاخص صفر.درجه ای از هر عدد که برابر صفر نیست، با نشانگر صفر برابر با یک است.

مثلا. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

درجه با شاخص کسریبرای ساخت یک شماره معتبر ولی در درجه m / n.، لازم است که ریشه را استخراج کنید n.درجه از m.درجه این شماره ولی.

نوع درس: درس تعمیم و سیستماتیک دانش

اهداف:

• آموزشی - تکرار درجه، قوانین ضرب و تقسیم درجه، ساخت یک درجه به درجه، تثبیت توانایی برای حل نمونه هایی که حاوی درجه است
• در حال توسعه - توسعه تفکر منطقی دانش آموزان، علاقه به مواد مورد مطالعه،
• بالا بردن - آموزش نگرش مسئولانه نسبت به مطالعه، فرهنگ ارتباطات، احساسات کلکسیون گرایی.

تجهیزات:کامپیوتر، پروژکتور چند رسانه ای، هیئت مدیره تعاملی، ارائه "درجه" برای حساب دهان، کارت با وظایف، مواد توزیع.

طرح درس:

1. زمان سازماندهی
2. تکرار قوانین
3. شمارش کلامی
4. مرجع تاریخی
5. کار در هیئت مدیره
6. fizkultminutka.
7. کار بر روی یک هیئت مدیره تعاملی.
8. کار مستقل.
9. مشق شب.
10. جمع کردن درس

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی

تم های پیام و اهداف درس.

در درس های قبلی که برای خودتان کشف کردید دنیای شگفت انگیز درجه، آموخته به ضرب و شتم و به اشتراک گذاری درجه، آنها را به درجه ای را به درجه. امروز ما باید دانش را که در حل نمونه ها به دست آورده ایم، تثبیت کنیم.

دوم تکرار قوانین(شفاهی)

1. تعریف را با یک شاخص طبیعی تعریف کنید؟ (درجه اعداد ولی با یک شاخص طبیعی، بزرگ 1، یک کار نامیده می شود n. چند ضلعی، هر کدام برابر است ولی.)
2. چگونه دو درجه را چند برابر کنید؟ (برای ضرب درجه با زمینه های یکسان، لازم است پایه را ترک کنید، و شاخص ها بسته بندی شده اند.)
3. چگونه می توان درجه را به درجه تقسیم کرد؟ (برای تقسیم درجه با همان پایگاه، لازم است پایه پایه را ترک کنید، و شاخص های تفریق می شود.)
4. چگونه یک محصول را به یک درجه بسازیم؟ (برای ساخت یک محصول به درجه، هر چندتایی به این درجه ضروری است)
5. چگونه می توان یک درجه را در درجه ای ساخت؟ (برای ساخت یک درجه به درجه، لازم است که زمین را به همان اندازه، و شاخص های ضرب)

III شمارش کلامی(چند رسانه ای)

IV مرجع تاریخی

تمام وظایف Papyrus Akhmes، که حدود 1650 پیش از میلاد ثبت شده است. e همراه با عمل ساخت و ساز، قرار دادن قطعه زمین، و غیره وظایف در موضوعات گروه بندی شده است. مزیت این است که وظیفه یافتن منطقه مثلث، چهار عامل و یک دایره، فعالیت های گوناگون با عدد صحیح و کسری، بخش متناسب، پیدا کردن روابط، ساختارهای مختلف، راه حل معادلات وجود دارد درجه اول و دوم با یک ناشناخته.

هیچ توضیحی یا شواهدی وجود ندارد. نتیجه دلخواه به طور مستقیم یا یک الگوریتم مختصر برای محاسبه آن داده می شود. این روش ارائه، معمول کشورهای علمی از شرق، نشان می دهد که ریاضیات توسط تعمیم ها و حدس زدن توسعه یافته است که هیچ نظریه مشترک را تشکیل نمی دهند. با این وجود، در پاپیروس وجود دارد کل خط شواهدی مبنی بر اینکه ریاضیدانان مصری می دانستند چگونه ریشه ها را استخراج کنند و به درجه ای برسند، معادلات را حل کنند و حتی حملات جبر را تحمل کنند.

V. کار در هیئت مدیره

مقدار بیان را پیدا کنید راه عقلایی:

مقدار بیان را محاسبه کنید:

vi fizkultminutka

1. برای چشم ها
2. برای گردن
3. برای دست
4. برای مشعل
5. برای پاها

vii وظایف حل(با صفحه نمایش در یک هیئت مدیره تعاملی)

آیا ریشه معادله یک عدد مثبت است؟

a) 3x + (-0،1) 7 \u003d (-0.496) 4 (x\u003e 0)

ب) (10،381) 5 \u003d (-0،012) 3 - 2x (x< 0)

هشتم کار مستقل

IX مشق شب

H. خلاصه درس

تجزیه و تحلیل نتایج، اعلامیه ها.

ما دانش را در مورد درجه در حل معادلات، وظایف در دبیرستان اعمال خواهیم کرد، آنها اغلب در امتحان نیز یافت می شوند.

بخش ها: ریاضیات

نوع درس: درس تعمیم و سیستماتیک دانش

اهداف:

آموزشی - تکرار درجه، قوانین ضرب و تقسیم درجه، ساخت یک درجه به درجه، تثبیت توانایی برای حل نمونه هایی که حاوی درجه است

در حال توسعه - توسعه تفکر منطقی دانش آموزان، علاقه به مواد مورد مطالعه،

بالا بردن - آموزش نگرش مسئولانه نسبت به مطالعه، فرهنگ ارتباطات، احساسات کلکسیون گرایی.

تجهیزات: کامپیوتر، پروژکتور چند رسانه ای، هیئت مدیره تعاملی، ارائه "درجه" برای حساب دهان، کارت با تکالیف، مواد توزیع.

طرح درس:

زمان سازماندهی

تکرار قوانین

شمارش کلامی

مرجع تاریخی

کار در هیئت مدیره

fizkultminutka.

کار بر روی یک هیئت مدیره تعاملی.

کار مستقل.

مشق شب.

جمع کردن درس

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی

تم های پیام و اهداف درس.

در درس های قبلی، دنیای شگفت انگیز درجه ها را کشف کردید، یاد گرفتم تا درجه ها را چند برابر و به اشتراک بگذارم، آنها را به درجه ای برسانید. امروز ما باید دانش را که در حل نمونه ها به دست آورده ایم، تثبیت کنیم.

دوم تکرار قوانین (شفاهی)

1. تعریف را با یک شاخص طبیعی تعریف کنید؟ (درجه اعداد ولی با یک شاخص طبیعی، بزرگ 1، یک کار نامیده می شود n. چند ضلعی، هر کدام برابر است ولی.)
2. چگونه دو درجه را چند برابر کنید؟ (برای ضرب درجه ها با همان پایگاه ها، لازم است پایه را به همان شیوه ترک کنید، و شاخص ها بسته بندی می شوند.)
3. چگونه می توان درجه را به درجه تقسیم کرد؟ (برای تقسیم درجه با همان پایگاه، لازم است پایه پایه را ترک کنید، و شاخص های تفریق می شود.)
4. چگونه یک محصول را به یک درجه بسازیم؟ (برای ساخت یک محصول به درجه، هر چندتایی به این درجه ضروری است)
5. چگونه می توان یک درجه را در درجه ای ساخت؟ (برای ساخت یک درجه به درجه، لازم است که زمین را به همان اندازه، و شاخص های ضرب)

III شمارش کلامی (چند رسانه ای)

IV مرجع تاریخی

تمام وظایف Papyrus Akhmes، که حدود 1650 پیش از میلاد ثبت شده است. e همراه با عمل ساخت و ساز، قرار دادن قطعه زمین، و غیره وظایف در موضوعات گروه بندی شده است. مزیت این است که وظیفه یافتن منطقه مثلث، چهار عامل و یک دایره، فعالیت های گوناگون با عدد صحیح و کسری، بخش متناسب، پیدا کردن روابط، ساختارهای مختلف، راه حل معادلات وجود دارد درجه اول و دوم با یک ناشناخته.

هیچ توضیحی یا شواهدی وجود ندارد. نتیجه دلخواه به طور مستقیم یا یک الگوریتم مختصر برای محاسبه آن داده می شود. این روش ارائه، نمونه ای از علم کشورهای شرق باستان، نشان می دهد که ریاضیات به طور کلی و حدس می زند که هیچ نظریه مشترک را تشکیل نمی دهند. با این حال، در پاپیروس، مدرکی وجود دارد که ریاضیدانان مصری می دانستند که چگونه ریشه ها را استخراج کرده و درجه را افزایش دهند، معادلات را حل کنند و حتی حملات جبر را تحمل کنند.

V. کار در هیئت مدیره

مقدار روش عقلانی را پیدا کنید:

مقدار بیان را محاسبه کنید:



vi fizkultminutka

6. برای چشم ها
7. برای گردن
8. برای دست
9. برای مشعل
10. برای پاها

vii وظایف حل (با صفحه نمایش در یک هیئت مدیره تعاملی)

آیا ریشه معادله یک عدد مثبت است؟

xn - i1abbnckbmcl9fb.xn - p1ai

فرمول های درجه و ریشه ها.

فرمول درجه در فرآیند اختصار استفاده می شود و ساده سازی عبارات پیچیده، در حل معادلات و نابرابری ها را ساده می کند.

عدد c. هست یک n.درجه کوچک آ. چه زمانی:



عملیات با درجه.

1. ضرب درجه با همان مبنای، شاخص های آنها برابر:

2. در تقسیم مقادیر با همان مبنای، شاخص های آنها کسر می شوند:



3. درجه کار 2 یا بیشتر ضیافت برابر با محصول این عوامل است:

(abc ...) n \u003d a n · b n · c n ...

4. درجه کسری برابر با نسبت درجه تقسیم و تقسیم بندی است:

5. گوش دادن به درجه، شاخص های درجه طولانی مدت است:

هر فرمول بالا در جهت چپ به راست و بالعکس درست است.

عملیات ریشه

1. ریشه کار عوامل متعددی برابر با محصول ریشه این عوامل است:

2. ریشه رابطه برابر با نگرش تقسیم و تقسیم ریشه ها است:



3. هنگامی که ریشه نصب شده است، آن را به اندازه کافی ساخته شده است.



4. اگر درجه ریشه را افزایش دهید n. یک بار و در همان زمان ساخت n.درجه شماره خوراک، مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:



5. اگر درجه ریشه را در آن کاهش دهید n. یک بار و در عین حال ریشه را استخراج کنید n.درجه از یک عدد ناچیز، مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:



درجه یک عدد مشخص با شاخص غیر قابل انکار (کل) به عنوان یک واحد تقسیم شده توسط درجه یک عدد با شاخص برابر با ارزش مطلق شاخص غیر مثبت تعیین می شود:



فرمول صبح. : a n \u003d a m - n می تواند نه تنها زمانی استفاده شود m. > n. اما همچنین m. 4: 7 \u003d A 4 \u200b\u200b- 7 \u003d A -3.

به فرمول صبح. : a n \u003d a m - n منصفانه شد m \u003d n.حضور یک درجه صفر مورد نیاز است.

درجه ای از هر عدد که برابر صفر نیست، با نشانگر صفر برابر با یک است.

برای ساخت یک شماره معتبر ولی در درجه m / n.، لازم است که ریشه را استخراج کنید n.درجه از m.درجه این شماره ولی:



فرمول های فرمول

6. آ. — n. = - تقسیم درجه؛

7. - تقسیم درجه؛

8. 1 / n \u003d ;

قوانین درجه ای از عمل با درجه

1. درجه کار دو یا چند رحم برابر با کار درجه این عوامل (با همان شاخص) است:

(abc ...) n \u003d a n b n c n ...

مثال 1 (7 2 10) 2 \u003d 7 2 2 2 10 2 \u003d 49 4 100 \u003d 19600. مثال 2. (x 2 -a 2) 3 \u003d [(x + a) (x - a)] 3 \u003d ( x + a) 3 (x - a) 3

تقریبا مهم تبدیل معکوس:

یک n b n c n ... \u003d (abc ...) n

کسانی که. محصول همان درجه چندین مقادیر برابر با همان میزان محصول این ارزش ها است.

مثال 3 مثال 4 (A + B) 2 (A 2 - AB + B 2) 2 \u003d [(A + B) (A 2 - AB + B 2)] 2 \u003d (3 + B 3) 2

2. درجه خصوصی (شکسته) برابر با خصوصی تقسیم شده است از تقسیم همان درجه تقسیم شده به همان درجه تقسیم شده:

مثال 5 مثال 6

تحول معکوس: مثال 7 . مثال 8 .

3. هنگامی که ضرب درجه با همان پایگاه ها، درجه ها بسته می شوند:

مثال 9.2 2 2 5 \u003d 2 2 + 5 \u003d 2 7 \u003d 128. مثال 10. (a - 4c + x) 2 (a - 4c + x) 3 \u003d (a - 4c + x) 5.

4. هنگامی که تقسیم درجه با همان پایگاه ها، درجه تقسیم کننده از درجه تقسیم کسر می شود

مثال 11. 12 5:12 3 \u003d 12 5-3 \u003d 12 2 \u003d 144. مثال 12. (x-y) 3: (x - y) 2 \u003d x-y.

5. هنگام نصب درجه به درجه، شاخص های درجه متغیر هستند:

مثال 13. (2 3) 2 \u003d 2 6 \u003d 64. مثال 14

www.maths.yfa1.ru.

درجه و ریشه

عملیات با درجه و ریشه ها. درجه منفی ,

صفر و کسری شاخص درباره عباراتی که منطقی نیست

عملیات با درجه.

1. هنگامی که ضرب درجه با همان پایه، شاخص های آنها برابر است:

صبح. · n \u003d a m + n.

2. هنگام تقسیم درجه با همان مبنای، شاخص های آنها برداشتن .



3. درجه کار دو یا چند ویگلها برابر با کار درجه این عوامل است.

4. میزان ارتباط (فساد) برابر با نسبت درجه تقسیم (عددی) و تقسیم کننده (مخرب) است:

(a / b.) n \u003d a n / b n.

5. هنگام نصب درجه به درجه، شاخص های آنها ضرب می شوند:

تمام فرمول های بالا خواندن و در هر دو جهت از چپ به راست انجام می شود و بالعکس.

pri mers (2 · 3 · 5/15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² \u003d 900/225 \u003d 4 .

عملیات ریشه در تمام فرمول های زیر، نماد به معنی است ریشه ریاضی (بیان دلخواه مثبت).

1. ریشه کار چند رحم برابر با محصول ریشه این عوامل است:

2. ریشه از رابطه برابر با نگرش ریشه های تقسیم و تقسیم بندی است:



3. هنگامی که ریشه نصب شده است، به اندازه کافی برای ساخت این درجه کافی است موضوع:



4. اگر درجه ریشه را در M بار افزایش دهید و در عین حال یک عدد خوراک را به یک درجه M ساخت، مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:



5. اگر درجه ریشه را در M بار کاهش دهید و در عین حال ریشه M-MDER را از شماره خوراک حذف کنید، مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:




گسترش مفهوم درجه. تا کنون، ما فقط با یک شاخص طبیعی درجه بندی کرده ایم؛ اما اقدامات با درجه ها و ریشه ها نیز می تواند منجر شود منفی, صفر و کسری شاخص ها. تمام این شاخص های درجه نیاز به تعریف اضافی دارند.

درجه با شاخص منفی. درجه یک عدد معینی با یک شاخص منفی (کل) به عنوان یک واحد تقسیم شده توسط درجه همان شماره با یک شاخص برابر با بالدار مطلق شاخص منفی تعریف شده است:



فرمول the the the صبح. : یک N. = m - n می تواند نه تنها زمانی استفاده شود m. بیشتر از n. اما همچنین m. کمتر از n. .

pri mers آ. 4: آ. 7 \u003d A. 4 — 7 \u003d A. — 3 .

اگر ما فرمول را می خواهیم صبح. : یک N. = صبح. — n. برای منصفانه بود m \u003d n. ما باید درجه صفر را تعیین کنیم.

درجه با شاخص صفر. درجه هر شماره غیر صفر با صفر برابر با 1 است.

pri mers 2 0 \u003d 1، ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

درجه با شاخص کسری به منظور ایجاد یک شماره معتبر A به درجه M / N، لازم است که ریشه N-degre را از درجه m از این شماره A:



درباره عباراتی که منطقی نیست چندین اصطلاح وجود دارد.

جایی که آ. ≠ 0 , وجود ندارد.

در واقع، فرض کنید که ایکس. - بعضی از شماره ها، سپس مطابق با تعریف عملیات تقسیم، ما داریم: آ. = 0· ایکس.. آ. \u003d 0، که با این شرط تناقض دارد: آ. ≠ 0

— هر عدد

در حقیقت، فرض بر این است که این عبارت برابر با تعداد است ایکس.، با توجه به تعریف عملیات تقسیم، ما داریم: 0 \u003d 0 · ایکس. . اما این برابری زمانی اتفاق می افتد هر عدد X.به عنوان مورد نیاز برای اثبات

0 0 — هر عدد



سه مورد اساسی را در نظر بگیرید:

1) ایکس. = 0 – این مقدار این معادله را برآورده نمی کند.

2) برای ایکس. \u003e 0 ما دریافت می کنیم: x / x. \u003d 1، I.E. 1 \u003d 1، از جایی که به دنبال آن است

چی ایکس. - هر عدد؛ اما با توجه به آن در

مورد ما ایکس. \u003e 0، پاسخ است ایکس. > 0 ;

خواص درجه

ما به شما یادآوری می کنیم که در این درس شما را درک می کنید خواص درجه با شاخص های طبیعی و صفر. درجه با شاخص های عقلانی و خواص آنها در درس های 8 کلاس در نظر گرفته می شود.

نسبت با شاخص طبیعی دارای چندین ویژگی مهم است که به شما امکان می دهد تا محاسبات را در نمونه هایی با درجه ها ساده کنید.

اموال شماره 1
کار درجه

هنگامی که ضرب درجه با همان پایگاه ها، پایه بدون تغییر باقی می ماند، و شاخص های درجه بندی شده اند.

a m · a n \u003d a m + n، جایی که "A" هر عدد است و "m"، "n" - هر عدد طبیعی است.

این ویژگی درجه نیز بر روی کار سه و چند درجه عمل می کند.

• بیان را ساده کنید
  b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 \u003d b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \u003d b 15
• نمایندگی در قالب درجه.
  6 15 · 36 \u003d 6 15 · 6 2 \u003d 6 15 · 6 2 \u003d 6 17
• نمایندگی در قالب درجه.
  (0.8) 3 · (0.8) 12 \u003d (0.8) 3 + 12 \u003d (0.8) 15

لطفا توجه داشته باشید که در املاک مشخص شده این تنها در مورد افزایش درجه با پایه های مشابه بود. . این به علاوه آنها اعمال نمی شود.

غیر ممکن است جایگزین مقدار (3 3 + 3 2) توسط 3 5. این قابل درک است اگر
محاسبه (3 3 + 3 2) \u003d (27 + 9) \u003d 36، 3 5 \u003d 243

املاک شماره 2
درجه خصوصی

هنگامی که تقسیم درجه با همان پایگاه ها، پایه باقی می ماند بدون تغییر، و از نشانگر تقسیم depision درجه تقسیم بندی.

• خصوصی را به صورت مدرک بنویسید
  (2b) 5: (2b) 3 \u003d (2b) 5 - 3 \u003d (2b) 2
• محاسبه.

11 3 - 2 · 4 2 - 1 \u003d 11 · 4 \u003d 44
مثال. حل معادله ما از اموال خصوصیات خصوصی استفاده می کنیم.
3 8: T \u003d 3 4

پاسخ: t \u003d 3 4 \u003d 81

با استفاده از Properties شماره 1 و شماره 2، شما به راحتی می توانید عبارات را ساده تر کنید و محاسبات را انجام دهید.

مثال. بیان را ساده کنید
4 5M + 6 · 4 M + 2: 4 4M + 3 \u003d 4 5M + 6 + M + 2: 4 4M + 3 \u003d 4 6M + 8 - 4M - 3 \u003d 4 2M + 5

مثال. مقدار بیان را با استفاده از خواص درجه ای پیدا کنید.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

لطفا توجه داشته باشید که در اموال 2 تنها در مورد تقسیم درجه با همان پایگاه ها بود.

غیر ممکن است جایگزین تفاوت (4 3 -4 2) توسط 4 1. این قابل درک است اگر شما محاسبه (4 3 -4 2) \u003d (64 - 16) \u003d 48، 4 1 \u003d 4

املاک شماره 3
درست کردن

هنگام نصب درجه به درجه، پایه بدون تغییر باقی می ماند، و شاخص های درجه متغیر هستند.

(a n) m \u003d a n · m، جایی که "A" هر عدد است، و "m"، "n" - هر عدد طبیعی است.

مثال.
(4) 6 \u003d a 4 · 6 \u003d a 24

مثال. در حال حاضر 3 20 در قالب یک درجه با پایه ای از 3 2 وجود دارد.

توسط زمینه ورزش به درجه شناخته شده است که زمانی که درجه افزایش می یابد، شاخص ها متغیر هستند، به این معنی است:

خواص 4
درجه کار

هنگام صحت درجه به درجه کار، هر چندتایی به این درجه نصب می شود و نتایج ضرب می شود.

(a · b) n \u003d a n · b n، جایی که "A"، "B" - هر عدد منطقی؛ "n" - هر عدد طبیعی.

• مثال 1
  (6 · 2 · b 3 · c) 2 \u003d 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · 2 · b 3 · 2 · 2 · 2 \u003d 36 a 4 · b 6 · c 2
• مثال 2
  (-x 2 · y) 6 \u003d ((-1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) \u003d x 12 · y 6

لطفا توجه داشته باشید که اموال شماره 4، و همچنین خواص دیگر درجه، در جهت معکوس اعمال می شود.

(a n · b n) \u003d (a · b) n

یعنی، به منظور افزایش درجه با شاخص های مشابه، ممکن است پایه ها را چند برابر کنید، و شاخص شاخص بدون تغییر است.

• مثال. محاسبه.
  2 4 · 5 4 \u003d (2 · 5) 4 \u003d 10 4 \u003d 10 000
• مثال. محاسبه.
  0.5 16 · 2 16 \u003d (0،5 · 2) 16 \u003d 1

در بیشتر موارد نمونه های پیچیده ممکن است مواردی وجود داشته باشد که ضرب و تقسیم باید بالاتر از درجه انجام شود پایگاه های مختلف و شاخص های مختلف. در این مورد، توصیه می کنیم به شرح زیر عمل کنید.

به عنوان مثال، 4 5 · 3 2 \u003d 4 3 · 4 2 · 3 2 \u003d 4 3 · (4 · 3) 2 \u003d 64 · 12 2 \u003d 64 · 144 \u003d 9216

مثال از قطر دهدهی.

4 21 · (-0.25) 20 \u003d 4 · 4 20 · (-0.25) 20 \u003d 4 · (4 · (-0.25)) 20 \u003d 4 · (-1) 20 \u003d 4 · 1 \u003d چهار

خواص 5
درجه خصوصی (کسری)

برای دعوت از درجه خصوصی، شما می توانید جداگانه و تقسیم کننده را به این درجه بسازید، و نتیجه اول به دوم تقسیم می شود.

(a: b) n \u003d a n: b n، جایی که "A"، "B" - هر عدد منطقی، b ≠ 0، n - هر عدد طبیعی است.

• مثال. بیان را در قالب دوره های خصوصی ارائه دهید.
  (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

ما به شما یادآوری می کنیم که خصوصی می تواند به عنوان یک کسری نمایانگر باشد. بنابراین، در موضوع، ما بیشتر در جزئیات بیشتر در صفحه بعدی تمرکز خواهیم کرد.