معادلات درجه دوم. راهنمای جامع (2019). فرمول قضیه Vieta و نمونه هایی از راه حل

سطح اول

معادلات درجه دوم. راهنمای جامع (2019)

از لحاظ "معادله مربع"، کلید کلمه "مربع" است. این به این معنی است که متغیر باید در معادله (همان IX) در مربع حضور داشته باشد، و در درجه سوم (و بیشتر) هیچ IC وجود ندارد.

راه حل بسیاری از معادلات به حل معادلات دقیق مربع کاهش می یابد.

بیایید یاد بگیریم که چگونه تعیین کنیم که یک معادله مربع داشته باشیم، و نه دیگر.

مثال 1

هر عضو معادله در مورد معادله و غالبيت از شر خلاص خواهد شد

ما همه چیز را به سمت چپ و اعضای گروه در نزولی درجه ای از ICA انتقال می دهیم

حالا شما می توانید با اطمینان بگویید که این معادله مربع است!

مثال 2

سمت چپ و راست داخلی:

این معادله، اگر چه در اصل در آن بود، مربع نیست!

مثال 3

دامنه همه چیز:

ترسناک؟ درجه چهارم و دوم ... با این حال، اگر ما جایگزین، پس ما خواهیم دید که ما یک معادله مربع ساده داریم:

مثال 4

به نظر می رسد، اما بیایید به شدت نگاه کنیم. ما همه چیز را به سمت چپ انتقال می دهیم:

ببینید، کاهش یافته - و در حال حاضر یک معادله خطی ساده است!

در حال حاضر سعی کنید تعیین کنید که کدام یک از معادلات زیر مربع هستند، و کدام نه:

مثال ها:

پاسخ ها:

مربع؛
مربع؛
نه مربع؛
نه مربع؛
نه مربع؛
مربع؛
نه مربع؛
مربع.

ریاضیات به طور معمول تمام معادلات مربع را در نوع تقسیم می کند:

معادلات مربع کامل - معادلات که در آن ضرایب و، و همچنین یک عضو آزاد برابر صفر نیست (همانطور که در مثال). علاوه بر این، در میان معادلات مربع کامل تخصیص ارایه شده - این معادلات است که در آن ضریب (معادله از مثال یک نه تنها کامل است، بلکه همچنین داده شده است!)

معادلات مربع ناقص - معادلات که در آن ضریب و عضو آزاد صفر است:
به طور ناقص، زیرا آنها نوعی آیتم ندارند. اما معادله همیشه باید در مربع حضور داشته باشد !!! در غیر این صورت، مربع نخواهد بود، بلکه معادله دیگری است.

چرا شما چنین تقسیم کردید؟ به نظر می رسد که X در مربع وجود دارد، و خوب است. چنین بخش به دلیل روش های راه حل ها است. هر یک از آنها را در جزئیات بیشتر در نظر بگیرید.

تصمیم معادلات مربع ناقص

برای شروع، ما در حل معادلات مربع ناقص متوقف خواهیم شد - آنها بسیار ساده تر هستند!

معادلات مربع ناقص نوع هستند:

در این معادله، ضریب برابر است.
در این معادله، یک عضو آزاد برابر است.
در این معادله، ضریب و عضو آزاد برابر هستند.

1. و. همانطور که می دانیم چگونه یک ریشه مربع را استخراج کنیم، بیایید از این معادله بیان کنیم

بیان می تواند هر دو منفی و مثبت باشد. شماره ای که به مربع نصب شده نمی تواند منفی باشد، زیرا با ضرب دو عدد منفی یا دو عدد مثبت - نتیجه همیشه یک عدد مثبت است، به طوری که اگر معادله راه حل نداشته باشد.

و اگر شما دو ریشه را دریافت کنید. این فرمول ها نیازی به حفظ ندارند. مهمترین چیز شما باید بدانید و همیشه به یاد داشته باشید که ممکن است کمتر باشد.

بیایید سعی کنیم چند نمونه را حل کنیم.

مثال 5:

معادله را تعیین کنید

در حال حاضر باقی مانده است که از سمت چپ و راست حذف شود. پس از همه، آیا به یاد دارید که چگونه ریشه ها را استخراج کنید؟

پاسخ:

هرگز در مورد ریشه ها با علامت منفی فراموش نکنید !!!

مثال 6:

معادله را تعیین کنید

پاسخ:

مثال 7:

معادله را تعیین کنید

اوه مربع عدد نمی تواند منفی باشد، یعنی معادله

بدون ریشه!

برای چنین معادلات که در آن هیچ ریشه ای وجود ندارد، ریاضیات با یک آیکون خاص (مجموعه خالی) آمد. و پاسخ را می توان به عنوان:

پاسخ:

بنابراین، این معادله مربع دارای دو ریشه است. در اینجا هیچ محدودیتی وجود ندارد، زیرا ما ریشه را حذف نکردیم.
مثال 8:

معادله را تعیین کنید

من براکت را خلاصه خواهم کرد:

به این ترتیب،

این معادله دارای دو ریشه است.

پاسخ:

ساده ترین نوع معادلات مربع ناقص (اگر چه همه آنها ساده، درست است؟). بدیهی است، این معادله همیشه تنها یک ریشه دارد:

در اینجا ما بدون نمونه انجام خواهیم داد.

حل معادلات مربع کامل

ما به شما یادآوری می کنیم که معادله مربع کامل معادله معادله ای است که در آن

راه حل معادلات مربع کامل کمی پیچیده تر (بسیار کمی) از بالا است.

یاد آوردن، هر معادله مربع را می توان با کمک تبعیض آمیز حل کرد! حتی ناقص

بقیه راه ها به سرعت آن کمک می کنند، اما اگر مشکلی با معادلات مربع داشته باشید، راه حل با کمک تبعیض نامیده می شود.

1. راه حل معادلات مربع با کمک تبعیض آمیز.

راه حل معادلات مربع به این ترتیب بسیار ساده است، اصلی ترین چیز این است که دنباله ای از اقدامات و چند فرمول را به یاد داشته باشید.

اگر معادله ریشه خاصی داشته باشد، به دنبال یک گام خاص است. تبعیض آمیز () ما را بر تعداد ریشه های معادله نشان می دهد.

اگر، پس فرمول به آن کاهش می یابد. بنابراین، معادله کل ریشه دارد.
اگر، ما قادر به استخراج ریشه از تشخیص در مرحله نیست. این نشان می دهد که معادله ریشه ندارد.

بیایید به معادلاتمان بازگردیم و چند نمونه را در نظر بگیریم.

مثال 9:

معادله را تعیین کنید

مرحله 1 ما پرشدیم

گام 2.

ما تشخیص دادیم:

بنابراین معادله دارای دو ریشه است.

مرحله 3

پاسخ:

مثال 10:

معادله را تعیین کنید

معادله در یک فرم استاندارد ارائه شده است، بنابراین مرحله 1 ما پرشدیم

گام 2.

ما تشخیص دادیم:

بنابراین معادله یک ریشه دارد.

پاسخ:

مثال 11:

معادله را تعیین کنید

معادله در یک فرم استاندارد ارائه شده است، بنابراین مرحله 1 ما پرشدیم

گام 2.

ما تشخیص دادیم:

این نمی تواند ریشه را از تبعیض استخراج کند. ریشه های معادله وجود ندارد

حالا ما می دانیم که چگونه چنین پاسخ هایی را به درستی بنویسیم.

پاسخ:بدون ریشه

2. حل معادلات مربع با استفاده از قضیه Vieta.

اگر به یاد داشته باشید، یعنی نوعی معادلات ارائه شده (زمانی که ضریب A برابر است):

چنین معادلات با استفاده از قضیه Vieta بسیار آسان است:

مجموع ریشه ها مشخص شده معادله مربع برابر است، و محصول ریشه برابر است.

مثال 12:

معادله را تعیین کنید

این معادله مناسب برای حل استفاده از قضیه Vieta است، زیرا .

مقدار ریشه های معادله برابر است، I.E. ما اولین معادله را دریافت می کنیم:

و کار این است:

ما همچنین سیستم را تصمیم خواهیم گرفت:

و. مقدار برابر است؛
و. مقدار برابر است؛
و. مقدار برابر است.

و راه حل سیستم هستند:

پاسخ: ; .

مثال 13:

معادله را تعیین کنید

پاسخ:

مثال 14:

معادله را تعیین کنید

معادله داده شده است، و بنابراین:

پاسخ:

معادلات درجه دوم. سطح متوسط

معادله مربع چیست؟

به عبارت دیگر، معادله مربع معادله گونه ای است که ناشناخته برخی از اعداد است و.

شماره نامیده می شود بزرگتر یا ضریب اول معادله مربع - ضریب دوم، ولی - عضو رایگان.

چرا؟ از آنجا که اگر معادله بلافاصله خطی شود، زیرا ناپدید می شود

در همان زمان، و می تواند صفر باشد. در این مدفوع، معادله ناقص نامیده می شود. اگر تمام اجزای موجود در محل باشد، یعنی معادله کامل است.

راه حل های مختلف انواع معادلات مربع

روش های حل معادلات مربع ناقص:

برای شروع، ما روش های راه حل های معادلات مربع ناقص را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد - آنها آسان تر هستند.

شما می توانید نوع چنین معادلات را انتخاب کنید:

I.، در این معادله، ضریب و عضو آزاد برابر هستند.

دوم در این معادله، ضریب برابر است.

III در این معادله، یک عضو آزاد برابر است.

در حال حاضر راه حل هر یک از این زیرمجموعه ها را در نظر بگیرید.

بدیهی است، این معادله همیشه تنها یک ریشه دارد:

تعداد که به مربع نصب شده نمی تواند منفی باشد، زیرا با ضرب دو عدد منفی یا دو عدد مثبت، نتیجه همیشه یک عدد مثبت است. از این رو:

اگر معادله راه حل نداشته باشد؛

اگر ما دو ریشه را آموخته ایم

این فرمول ها نیازی به حفظ ندارند. مهمترین چیز این است که به یاد داشته باشید که ممکن است کمتر باشد.

مثال ها:

راه حل ها:

پاسخ:

هرگز در مورد ریشه ها با علامت منفی فراموش نکنید!

مربع عدد نمی تواند منفی باشد، یعنی معادله

بدون ریشه

به طور خلاصه ضبط کنید که این کار هیچ راه حل ندارد، از یک آیکون خالی تنظیم استفاده کنید.

پاسخ:

بنابراین، این معادله دارای دو ریشه است: و.

پاسخ:

من کارخانه را برای براکت ها خلاصه می کنم:

محصول صفر است، اگر حداقل یکی از ضررهای صفر باشد. این بدان معنی است که معادله یک راه حل دارد:

بنابراین، این معادله مربع دارای دو ریشه است: و.

مثال:

معادله را تعیین کنید

تصمیم گیری:

بخش چپ معادله کارخانه را گسترش دهید و ریشه ها را پیدا کنید:

پاسخ:

روش های حل معادلات مربع کامل:

1. تبعیض آمیز

حل معادلات مربع به این ترتیب آسان است، اصلی ترین چیز این است که به یاد داشته باشید دنباله ای از اقدامات و چند فرمول. به یاد داشته باشید، هر معادله مربع را می توان با کمک تبعیض آمیز حل کرد! حتی ناقص

آیا ریشه را از تبعیض آمیز در فرمول ریشه متوجه شدید؟ اما تبعیض ممکن است منفی باشد. چه باید بکنید؟ ما باید توجه ویژه ای به مرحله 2 داشته باشیم. تبعیض آمیز ما را بر تعداد ریشه های معادله نشان می دهد.

اگر معادله ریشه داشته باشد:
اگر معادله همان ریشه داشته باشد، و در واقع یک ریشه:
چنین ریشه ها دوبار نامیده می شوند.
اگر ریشه تبعیض آمیز حذف نشده باشد. این نشان می دهد که معادله ریشه ندارد.

چرا تعداد ریشه های مختلف وجود دارد؟ اجازه دهید ما را به معنای هندسی معادله مربع تبدیل کنیم. نمودار تابع پارابولا است:

در یک مورد خاص، که یک معادله مربع است. و این بدان معنی است که ریشه های معادله مربع نقاط تقاطع با محور Abscissa (محور) است. پارابولا ممکن است از محور عبور نکند، یا از آن عبور کند (زمانی که بالای پارابولا در محور قرار دارد) یا دو امتیاز.

علاوه بر این، ضریب مسئول جهت شاخه های پارابولا است. اگر شاخه های Parabola به سمت بالا هدایت شوند، و اگر پایین باشد.

مثال ها:

راه حل ها:

پاسخ:

پاسخ:.

پاسخ:

بنابراین، هیچ راه حل وجود ندارد.

پاسخ:.

2. قضیه Vieta

قضیه Vieta بسیار آسان است برای استفاده: شما فقط باید چنین تعداد زیادی از اعداد را انتخاب کنید، محصول آن برابر با یک عضو آزاد از معادله است، و مقدار دوم ضریب گرفته شده با علامت مخالف است.

مهم است که به یاد داشته باشید که قضیه Vieta تنها می تواند مورد استفاده قرار گیرد معادلات مربع کاهش یافته ().

چند نمونه را در نظر بگیرید:

مثال شماره 1:

معادله را تعیین کنید

تصمیم گیری:

این معادله مناسب برای حل استفاده از قضیه Vieta است، زیرا . ضرایب باقی مانده:؛ .

مقدار ریشه های معادله این است:

و کار این است:

ما چنین جفت اعداد را انتخاب خواهیم کرد، محصول آن برابر است و بررسی کنید که آیا مجموع آنها برابر است:

و. مقدار برابر است؛
و. مقدار برابر است؛
و. مقدار برابر است.

و راه حل سیستم هستند:

بنابراین، ریشه های معادله ما.

پاسخ:؛ .

مثال شماره 2:

تصمیم گیری:

ما چنین جفت اعداد را که در کار داده می شود را انتخاب می کنیم و سپس بررسی کنیم که آیا مبلغ آنها برابر است:

و: در مقدار آنها می دهد.

و: در مقدار آنها می دهد. فقط به اندازه کافی برای تغییر علائم ریشه های ادعایی: و به دلیل کار.

پاسخ:

مثال شماره 3:

تصمیم گیری:

عضو آزاد معادله منفی است، که به معنی محصول ریشه - تعداد منفی است. این ممکن است تنها اگر یکی از ریشه ها منفی باشد، و دیگری مثبت است. بنابراین مقدار ریشه ها برابر است تفاوت ماژول های آنها.

ما چنین جفتی از اعداد را که در کار داده می شود را انتخاب می کنیم و تفاوت آن برابر است:

و: تفاوت آنها برابر است - مناسب نیست؛

و: - مناسب نیست؛

و: - مناسب این تنها به یاد می آورد که یکی از ریشه ها منفی است. از آنجا که مقدار آنها باید برابر باشد، پس منفی باید یک ماژول ریشه کوچکتر باشد :. بررسی:

پاسخ:

مثال شماره 4:

معادله را تعیین کنید

تصمیم گیری:

معادله داده شده است، و بنابراین:

عضو آزاد منفی است و بنابراین محصول ریشه منفی است. و این تنها زمانی امکان پذیر است که یک ریشه معادله منفی باشد، و دیگری مثبت است.

ما چنین جفت اعداد را انتخاب خواهیم کرد، محصول آن برابر است، و سپس ما تعریف می کنیم که ریشه ها باید علامت منفی داشته باشند:

بدیهی است، تنها ریشه ها برای شرایط اول مناسب هستند و:

پاسخ:

مثال شماره 5:

معادله را تعیین کنید

تصمیم گیری:

معادله داده شده است، و بنابراین:

مقدار ریشه ها منفی است، به این معنی که حداقل یکی از ریشه ها منفی است. اما از آنجا که کار آنها مثبت است، به معنی هر دو ریشه با علامت منفی است.

ما چنین جفت اعداد را انتخاب خواهیم کرد، محصول آن عبارت است از:

بدیهی است، ریشه ها اعداد هستند و.

پاسخ:

موافقم، بسیار راحت است - به جای آن با توجه به این تبعیض تند و زننده، ریشه های خوراکی را به صورت خوراکی اختراع کنید. سعی کنید از قضیه Vieta تا آنجا که ممکن است استفاده کنید.

اما قضیه Vieta به منظور تسهیل و سرعت بخشیدن به پیدا کردن ریشه ها مورد نیاز است. برای کمک به شما از آن استفاده کنید، باید به اتوماستی اقدام کنید. و برای این، پاشنه های بیشتری از نمونه ها. اما نه پوسته پوسته شدن: تشخیص نمی تواند مورد استفاده قرار گیرد! فقط قضیه Vieta:

راه حل های کار برای کار مستقل:

وظیفه 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

در قضیه Vieta:

به طور معمول، ما انتخاب کار را آغاز می کنیم:

به دلیل مقدار مناسب نیست

: مقدار - آنچه شما نیاز دارید.

پاسخ:؛ .

وظیفه 2

و دوباره، قضیه Vieta مورد علاقه ما: در مقدار باید تبدیل شود، و کار برابر است.

اما از آنجایی که نباید باشد، اما علائم ریشه ها را تغییر دهید و (در مقدار).

پاسخ:؛ .

وظیفه 3

hmm ... و کجا چیست؟

لازم است تمام شرایط را در یک بخش انتقال دهیم:

مقدار ریشه ها برابر است، کار.

بنابراین، توقف! معادله داده نشده است. اما قضیه Vieta تنها در معادلات فوق قابل استفاده است. بنابراین ابتدا باید معادله را بیاورید. اگر کار نکنید، این ایده را بچرخانید و به شیوه ای متفاوت تصمیم بگیرید (به عنوان مثال از طریق تبعیض آمیز). اجازه دهید به شما یادآوری کنم که معادله مربع را به ارمغان بیاورد - این بدان معنی است که ضریب ارشد را به:

عالی. سپس مقدار ریشه ها برابر است، و کار.

در اینجا ساده تر است انتخاب کنید ساده تر: پس از همه، یک شماره ساده (متاسفم برای tautology).

پاسخ:؛ .

وظیفه 4

عضو آزاد منفی است در این چه خاص است؟ و این واقعیت که ریشه ها علائم مختلفی خواهد بود. و در حال حاضر در طول انتخاب، ما مقدار ریشه ها را بررسی نمی کنیم، اما تفاوت بین ماژول های آنها: این تفاوت برابر است، و کار.

بنابراین، ریشه ها برابر هستند، اما یکی از آنها با منهای. تئوری Vieta به ما می گوید که مقدار ریشه ها برابر با ضریب دوم با علامت مخالف است، یعنی. بنابراین منهای یک ریشه کوچکتر خواهد بود: و از آن زمان.

پاسخ:؛ .

وظیفه 5

چه چیزی باید برای اولین بار انجام شود؟ راست، معادله را به ارمغان بیاورید:

باز هم: ما ضرب کننده تعداد را انتخاب می کنیم، و تفاوت آنها باید برابر باشد:

ریشه ها برابر هستند و یکی از آنها با منهای. چی؟ مقدار آنها باید برابر باشد، به این معنی است که منهای ریشه بزرگتر خواهد بود.

پاسخ:؛ .

من خلاصه خواهم کرد:

قضیه Vieta تنها در معادلات مربع داده شده استفاده می شود.
با استفاده از قضیه Vieta شما می توانید ریشه ها را انتخاب کنید، به صورت خوراکی.
اگر معادله داده نشود یا هیچ جفتی از ضرب کننده های یک عضو آزاد وجود ندارد، به این معنی که هیچ ریشه ای کامل وجود ندارد و لازم است که روش دیگری را حل کنیم (به عنوان مثال از طریق تبعیض آمیز).

3. روش تخصیص یک مربع کامل

اگر تمام اصطلاحات شامل ناشناخته، برای ارائه در قالب اجزای ضریب ضریب ضریب جمع یا تفاوت، پس از جایگزینی متغیرها، معادله ای در قالب یک معادله مربع ناقص نوع می تواند نشان داده شود .

مثلا:

مثال 1:

معادله را انتخاب کنید :.

تصمیم گیری:

پاسخ:

مثال 2:

معادله را انتخاب کنید :.

تصمیم گیری:

پاسخ:

به طور کلی، تحول به نظر می رسد:

این دلالت می کنه که: .

هیچ چیز به یاد نمی آورد؟ این تبعیض است! این، فرمول تبعیض آمیز است.

معادلات درجه دوم. به طور خلاصه در مورد چیز اصلی

معادله درجه دوم- این معادله گونه است، جایی که - ناشناخته، - ضرایب معادله مربع، یک عضو آزاد است.

معادله مربع کامل - معادله ای که در آن ضرایب برابر با صفر نیست.

معادله مربع کاهش یافته - معادله ای که ضریب آن است، یعنی:.

معادله مربع ناقص - معادله ای که در آن ضریب و عضو آزاد صفر است:

اگر ضریب، معادله این است:
اگر یک عضو آزاد، معادله فرم را داشته باشد:
اگر معادله فرم را داشته باشد:.

1. الگوریتم حل معادلات مربع ناقص

1.1. معادله مربع ناقص گونه که در آن:

1) ابراز ناشناخته:

2) بررسی علامت بیان:

اگر معادله راه حل نداشته باشد،
اگر معادله دو ریشه داشته باشد.

1.2 معادله مربع ناقص گونه که در آن:

1) من کارخانه را برای براکت ها خلاصه می کنم:

2) محصول صفر است، اگر حداقل یکی از چند ضلعی صفر باشد. بنابراین، معادله دارای دو ریشه است:

1.3. معادله مربع ناقص گونه، جایی که:

این معادله همیشه تنها یک ریشه دارد :.

2. الگوریتم برای حل معادلات مربع کامل گونه که در آن

2.1. راه حل با کمک تبعیض آمیز

1) ما معادله را به فرم استاندارد ارائه می دهیم:

2) محاسبه تبعیض بر اساس فرمول: که نشان دهنده تعداد ریشه های معادله است:

3) پیدا کردن ریشه های معادله:

اگر معادله ریشه ای داشته باشد که در فرمول است:
اگر معادله ریشه داشته باشد، که توسط فرمول است:
اگر معادله ریشه نداشته باشد.

2.2. راه حل با استفاده از تئوری Vieta

مجموع ریشه های معادله مربع کاهش یافته (معادله فرم، جایی که) برابر است، و محصول ریشه برابر است، I.E. ، ولی.

2.3. روش روش راه حل مربع کامل

قضیه Vieta (دقیق تر، قضیه، قضیه معکوس ویتا) زمان را برای حل معادلات مربع کاهش می دهد. فقط باید بتوانید از آن استفاده کنید. چگونه یاد بگیرند که معادلات مربع را در قضیه Vieta حل کنند؟ این آسان است، اگر ما کمی رسیدن.

در حال حاضر ما فقط در مورد راه حل در قضیه Vieta از معادله مربع کنونی صحبت خواهیم کرد. معادله مربع تحویل معادله ای است که در آن یک ضرر در مقابل X² برابر است. شما همچنین می توانید معادلات مربع را در قضیه Vieta حل نکنید، اما حداقل یکی از ریشه ها وجود دارد یک عدد صحیح نیست. حدس می زنم سخت تر است.

قضیه، قضیه معکوس ویتا، می گوید: اگر اعداد x1 و x2 به گونه ای هستند

سپس X1 و X2 - ریشه های معادله مربع

هنگام حل معادله مربع در قضیه، Vieta تنها 4 گزینه ممکن است. اگر شما دوره استدلال را به یاد داشته باشید، پیدا کردن کل ریشه ها می تواند بسیار سریع آموخته شود.

I. اگر Q یک عدد مثبت باشد،

این بدان معنی است که ریشه های X1 و X2 تعداد علامت های مشابه هستند (از آنجا که تنها ضرب اعداد با علائم مشابه یک عدد مثبت است).

I.A. اگر -P یک عدد مثبت باشد (به ترتیب، p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.B. اگر -P تعداد منفی باشد (به ترتیب، p\u003e 0)، هر دو ریشه اعداد منفی هستند (تعداد یک علامت وجود داشت، تعداد منفی به دست آمد).

دوم اگر q یک عدد منفی باشد،

این به این معنی است که ریشه های X1 و X2 دارای علائم مختلفی هستند (با ضرب اعداد تعداد منفی تنها در مورد زمانی که علائم مختلفی از multipliers وجود دارد، به دست می آید). در این مورد، X1 + X2 دیگر مقدار نیست، اما با تفاوت (از آنجا که هنگام اضافه کردن اعداد با علائم مختلف، ما کمتر از ماژول کوچکتر کسر می شود). بنابراین، X1 + X2 نشان می دهد که ریشه های x1 و x2 متفاوت هستند، یعنی چقدر ریشه بیشتر از دیگر (توسط ماژول) است.

II.A. اگر -P یک عدد مثبت باشد (به عنوان مثال<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.B. اگر -P تعداد منفی باشد (P\u003e 0)، ریشه بزرگتر (ماژول) یک عدد منفی است.

راه حل معادلات مربع در قضیه Vieta را در نمونه ها در نظر بگیرید.

حل معادله مربع کاهش یافته در قضیه Vieta:

در اینجا q \u003d 12\u003e 0، بنابراین ریشه های x1 و x2 تعداد یک علامت هستند. مقدار آنها -P \u003d 7\u003e 0 است، بنابراین هر دو ریشه اعداد مثبت هستند. ما عدد صحیح را انتخاب می کنیم که محصول آنها 12 است. این 1 و 12، 2 و 6، 3 و 4 است. مقدار 7 در جفت 3 و 4 است. بنابراین، 3 و 4 ریشه های معادله هستند.

در این مثال، q \u003d 16\u003e 0، به این معنی است که ریشه ها X1 و X2 هستند - تعداد یک نشانه. مقدار آنها -P \u003d -10 است<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

در اینجا q \u003d -15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0، تعداد طولانی تر مثبت است. بنابراین، ریشه های 5 و -3 هستند.

q \u003d -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

در ریاضیات تکنیک های خاصی وجود دارد که بسیاری از معادلات مربع به سرعت و بدون تبعیض حل می شوند. علاوه بر این، با آموزش مناسب، بسیاری از آنها شروع به حل معادلات مربع به صورت خوراکی، به معنای واقعی کلمه "در نگاه اول".

متأسفانه، در دوره مدرن ریاضیات مدرسه، چنین فن آوری ها تقریبا مورد مطالعه قرار نگرفته اند. و شما باید بدانید! و امروز ما به یکی از این تکنیک ها - قضیه Vieta نگاه خواهیم کرد. برای شروع، یک تعریف جدید را معرفی می کنیم.

معادله مربع فرم X 2 + BX + C \u003d 0 به نام فوق نامیده می شود. توجه: ضریب x 2 1. هیچ محدودیتی دیگر در ضرایب وجود ندارد.

x 2 + 7x + 12 \u003d 0 یک معادله مربع مشخص است؛
x 2 - 5x + 6 \u003d 0 - همچنین داده شده؛
2x 2 - 6x + 8 \u003d 0 - اما این Nifiga نیست، زیرا ضریب x 2 2 است.

البته، هر معادله مربع از نوع AX 2 + BX + C \u003d 0 می تواند داده شود - کافی است که تمام ضرایب را به شماره A تقسیم کنید. ما همیشه می توانیم این کار را انجام دهیم، از آنجایی که از تعریف معادله مربع پیروی می کند، یک ≠ 0.

درست است، نه همیشه این تحولات برای پیدا کردن ریشه مفید خواهد بود. درست در زیر، ما اطمینان می دهیم که تنها زمانی لازم است که در مربع نهایی معادله تمام ضرایب، عدد صحیح باشد. در عین حال، ساده ترین نمونه ها را در نظر بگیرید:

یک وظیفه. معادله مربع را به بالا تبدیل کنید:

3x 2 - 12x + 18 \u003d 0؛

-4x2 + 32x + 16 \u003d 0؛

1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0؛

2x 2 + 7x - 11 \u003d 0.

ما هر معادله را در ضریب با متغیر x 2 تقسیم می کنیم. ما گرفتیم:

3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ X 2 - 4X + 6 \u003d 0 - تقسیم بر همه توسط 3؛
-4x 2 + 32x + 16 \u003d 0 ⇒ X 2 - 8X - 4 \u003d 0 - تقسیم به -4؛
1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - تقسیم بر 1.5، تمام ضرایب به صورت صحیح تبدیل شد؛
2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ X 2 + 3.5X - 5.5 \u003d 0 - تقسیم بر 2. در این مورد، ضرایب کسری بود.

همانطور که می بینید، معادلات مربع ارائه شده ممکن است ضرایب کامل داشته باشند حتی اگر معادله اولیه حاوی کسری باشد.

در حال حاضر قضیه اصلی را تشکیل می دهیم که در واقع، مفهوم یک معادله مربع مشخص شده معرفی شد:

قضیه Vieta معادله مربع داده شده از فرم X 2 + BX + C \u003d 0. فرض کنید که این معادله ریشه های معتبر x 1 و x 2 دارد. در این مورد، اظهارات زیر درست است:

x 1 + x 2 \u003d -b. به عبارت دیگر، مجموع ریشه های معادله مربع فعلی برابر با ضریب x با متغیر X است که با علامت مخالف گرفته شده است؛

x 1 · x 2 \u003d c. محصول ریشه های معادله مربع برابر با ضریب آزاد است.

مثال ها. برای سادگی، ما تنها معادلات مربع فوق را در نظر خواهیم گرفت که نیازی به تحولات اضافی ندارند:

x 2 - 9x + 20 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d - (-9) \u003d 9؛ x 1 · x 2 \u003d 20؛ ریشه: x 1 \u003d 4؛ x 2 \u003d 5؛
x 2 + 2x - 15 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d -2؛ x 1 · x 2 \u003d -15؛ ریشه ها: x 1 \u003d 3؛ x 2 \u003d -5؛
x 2 + 5x + 4 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d -5؛ x 1 · x 2 \u003d 4؛ ریشه: x 1 \u003d -1؛ x 2 \u003d -4.

قضیه Vieta به ما اطلاعات بیشتری در مورد ریشه های معادله مربع می دهد. در نگاه اول، این ممکن است دشوار باشد، اما حتی با حداقل آموزش، شما یاد خواهید گرفت که ریشه ها را ببینید و به معنای واقعی کلمه آنها را در عرض چند ثانیه حدس بزنید.

یک وظیفه. معادله مربع را حل کنید:

x 2 - 9x + 14 \u003d 0؛

x 2 - 12x + 27 \u003d 0؛

3x 2 + 33x + 30 \u003d 0؛

-7x 2 + 77x - 210 \u003d 0.

بیایید سعی کنیم ضرایب را در قضیه Vieta بنویسیم و "حدس" ریشه ها:

x 2 - 9x + 14 \u003d 0 یک معادله مربع مشخص است.
توسط قضیه، ما داریم: x 1 + x 2 \u003d - (- 9) \u003d 9؛ x 1 · x 2 \u003d 14. آسان است توجه کنید که ریشه ها تعداد 2 و 7 هستند؛
x 2 - 12x + 27 \u003d 0 - همچنین داده شده است.
توسط تئوری Vieta: x 1 + x 2 \u003d - (- 12) \u003d 12؛ x 1 · x 2 \u003d 27. از این رو ریشه ها: 3 و 9؛
3x 2 + 33x + 30 \u003d 0 - این معادله داده نشده است. اما ما آن را اصلاح خواهیم کرد، تقسیم هر دو طرف معادله به ضریب A \u003d 3. ما به دست می آوریم: X 2 + 11X + 10 \u003d 0.
ما در مورد قضیه Veetore تصمیم می گیریم: x 1 + x 2 \u003d -11؛ x 1 · x 2 \u003d 10 ⇒ ریشه: -10 و -1؛
-7x2 + 77x - 210 \u003d 0 - باز هم ضریب x 2 برابر با 1، I.E. معادله داده نشده است. ما همه چیز را برای شماره A \u003d -7 تقسیم می کنیم. ما دریافت می کنیم: X 2 - 11X + 30 \u003d 0.
توسط قضیه Vieta: X 1 + X 2 \u003d - (- 11) \u003d 11؛ x 1 · x 2 \u003d 30؛ از این معادلات، این آسان است که حدس بزنید: 5 و 6.

از استدلال فوق، دیده می شود که چگونه قضیه Vieta راه حل معادلات مربع را ساده می کند. هیچ محاسبات ترکیبی، ریشه های ریاضی و کسری وجود ندارد. و حتی تبعیض آمیز (نگاه کنید به درس "راه حل معادلات مربع") ما نیازی نیست.

البته، در تمام بازتاب ها، ما از دو فرضیه مهم انجام دادیم، که به طور کلی، همیشه در وظایف واقعی انجام نمی شود:

معادله مربع داده شده است، به عنوان مثال ضریب x 2 است 1؛
معادله دارای دو ریشه متفاوت است. از نقطه نظر جبر، در این مورد discriminant d\u003e 0 - در واقع، ما در ابتدا فرض کنیم که این نابرابری درست است.

با این حال، در وظایف معمول ریاضی، این شرایط انجام می شود. اگر به عنوان یک نتیجه از محاسبات، معادله مربع "بد" معلوم شد (ضریب x 2 از 1 متفاوت است)، آسان است برای تعمیر - نگاهی به نمونه ها در ابتدای درس. در مورد ریشه ها در تمام ساکت: این کار چیست که در آن هیچ پاسخی وجود ندارد؟ البته، ریشه ها خواهند بود.

بنابراین، طرح کلی حل معادلات مربع در قضیه Vieta به نظر می رسد مانند این است:

معادله مربع را به یک معادله تقسیم کنید اگر هنوز در شرایط مشکل انجام نشده است؛
اگر ضرایب در معادله مربع مشخص مشخص شده کسری باشد، از طریق تبعیض حل شود. شما حتی می توانید به معادله اولیه بازگردید تا با اعداد "راحت" بیشتر کار کنید.
در مورد ضرایب عدد صحیح، معادله را در قضیه Vieta حل می کنیم؛
اگر در عرض چند ثانیه، نتوانست ریشه ها را حدس بزند، در قضیه ویتا به ثمر رساند و از طریق تبعیض حل شود.

یک وظیفه. معادله را انتخاب کنید: 5x 2 - 35x + 50 \u003d 0.

بنابراین، در مقابل ما، معادله ای که داده نشده است، زیرا ضریب a \u003d 5. ما همه را با 5 تقسیم می کنیم، ما دریافت می کنیم: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

تمام ضرایب معادله مربع INTEGER هستند - ما سعی خواهیم کرد در مورد قضیه Vieta تصمیم گیری کنیم. ما داریم: x 1 + x 2 \u003d - (- 7) \u003d 7؛ x 1 · x 2 \u003d 10. در این مورد، ریشه ها به راحتی حدس می زنند - این 2 و 5 است. لازم نیست از طریق تبعیض شمارش کنید.

یک وظیفه. معادله را تعیین کنید: -5X 2 + 8X - 2.4 \u003d 0.

ما نگاه می کنیم: -5x 2 + 8X - 2.4 \u003d 0 - این معادله داده نشده است، ما هر دو طرف را به ضریب a \u003d -5 تقسیم می کنیم. ما دریافت می کنیم: x 2 - 1.6x + 0.48 \u003d 0 - معادله با ضرایب کسری.

بهتر است به معادله اولیه بازگردید و از طریق تبعیض آمیز: -5X 2 + 8X - 2.4 \u003d 0 ⇒ D \u003d 8 2 - 4 · (-5) · (-2.4) \u003d 16 ⇒ ... ⇒ ⇒ 1 \u003d 1.2؛ x 2 \u003d 0.4.

یک وظیفه. حل معادله: 2x 2 + 10x - 600 \u003d 0.

برای شروع، ما همه چیز را به ضریب a \u003d 2. تقسیم می کنیم. معادله x 2 + 5x - 300 \u003d 0 را به دست می آورد.

این معادله کاهش یافته، در قضیه Vieta، ما داریم: x 1 + x 2 \u003d -5؛ x 1 · x 2 \u003d -300. حدس بزنید ریشه های معادله مربع در این مورد دشوار است - شخصا، من به طور جدی "آویزان" زمانی که من حل این کار را حل کرد.

ما باید به دنبال ریشه های از طریق تشخیص: d \u003d 5 2 - 4 · 1 · (-300) \u003d 1225 \u003d 35 2. اگر شما ریشه را از تبعیض به یاد نمی آورید، به سادگی متوجه شدم که 1225: 25 \u003d 49. بنابراین، 1225 \u003d 25 · 49 \u003d 5 2 · 7 2 \u003d 35 2.

حالا که ریشه تبعیض آمیز شناخته شده است، معادله حل نخواهد شد. ما دریافت می کنیم: x 1 \u003d 15؛ x 2 \u003d -20.

یکی از روش های راه حل های معادله مربع نرم افزار است فرمول های Vietaکه به افتخار Francois Vieta نامیده شد.

او یک وکیل معروف بود و در قرن شانزدهم در پادشاه فرانسوی خدمت کرد. در زمان آزاد خود، درگیر در نجوم و ریاضیات بود. این رابطه بین ریشه ها و ضرایب معادله مربع را ایجاد کرده است.

مزایای فرمول:

1 . استفاده از فرمول، شما می توانید به سرعت یک راه حل را پیدا کنید. از آنجا که شما نیازی به وارد کردن ضریب دوم در مربع نیستید، سپس 4As را از آن جدا کنید، یک تبعیض را پیدا کنید، برای پیدا کردن ارزش آن در فرمول برای پیدا کردن ریشه ها.

2 . بدون راه حل، شما می توانید علائم ریشه را تعریف کنید، مقادیر ریشه را انتخاب کنید.

3 . تصمیم گیری سیستم دو سوابق، آسان است برای پیدا کردن ریشه خود را. در معادله مربع فعلی، مقدار ریشه ها برابر با ارزش ضریب دوم با علامت منفی است. محصول ریشه ها در معادله مربع مشخص شده برابر با ارزش ضریب سوم است.

4 . با توجه به ریشه ها، یک معادله مربع را بنویسید، یعنی، برای حل وظیفه مخالف. به عنوان مثال، این روش در حل مشکلات مکانیک نظری مورد استفاده قرار می گیرد.

5 . مناسب است که از فرمول استفاده کنید زمانی که ضریب قدیمی برابر با یک است.

معایب:

1 . فرمول جهانی نیست

تئوری Vieta درجه 8

فرمول
اگر X 1 و X 2 ریشه های معادله مربع داده شده X 2 + PX + Q \u003d 0 باشد، پس از آن:

مثال ها
x 1 \u003d -1؛ x 2 \u003d 3 - ریشه های معادله x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

p \u003d -2، q \u003d -3.

x 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -P،

x 1 x 2 \u003d -1 3 \u003d -3 \u003d Q.

قضیه معکوس

فرمول
اگر اعداد x 1، x 2، p، q مربوط به شرایط هستند:

که X 1 و X 2 ریشه های معادله x 2 + px + q \u003d 0 هستند.

مثال
بیایید یک معادله مربع برای ریشه های آن ایجاد کنیم:

x 1 \u003d 2 -؟ 3 و x 2 \u003d 2 +؟ 3

p \u003d x 1 + x 2 \u003d 4؛ p \u003d -4؛ q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 - 3) (2 +؟ 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

معادله مورد نظر عبارتند از: x 2 - 4x + 1 \u003d 0.

هنگام مطالعه نحوه حل معادلات مرتبه دوم در سال تحصیلی جبر، خواص ریشه های دریافت شده را در نظر بگیرید. آنها در حال حاضر تحت نام قضیه Vieta شناخته شده اند. نمونه هایی از استفاده از آن در این مقاله ارائه شده است.

معادله درجه دوم

معادله دوم مرتبه برابری است که در عکس زیر نشان داده شده است.

در اینجا، نمادها A، B، C برخی از اعداد پوشیدنی نام ضرایب معادله مورد بررسی قرار می گیرند. برای حل برابری، لازم است که چنین مقادیر x را پیدا کنید که درست آن را انجام دهند.

توجه داشته باشید که از آنجا که حداکثر مقدار درجه ای که X نصب شده است به دو، تعداد ریشه ها در مورد کلی نیز دو است.

برای حل این نوع معادلات، چندین راه وجود دارد. در این مقاله یکی از آنها را در نظر بگیرید، که شامل استفاده از قضیه به اصطلاح Vieta می شود.

متن تئوری Vieta

در پایان XVI، ریاضیدان شناخته شده Francois Vieta (فرانسوی) با تجزیه و تحلیل خواص ریشه های معادلات مربع مختلف که ترکیبات خاص خود را برآورده می کنند، متوجه شده اند. به طور خاص، این ترکیبات کار و مقدار آنها هستند.

قضیه Vieta موارد زیر را تنظیم می کند: ریشه های معادله مربع تحت مبلغ آنها نسبت به ضرایب خطی به درجه دوم که با علامت مخالف گرفته شده است و زمانی که آنها تولید می شوند، منجر به نسبت یک عضو آزاد به درجه دوم می شود ضریب

اگر دیدگاه کلی از معادله به عنوان ارائه شده در عکس در بخش قبلی مقاله ثبت شود، سپس ریاضیات این قضیه را می توان در قالب دو برابر ثبت کرد:

r 2 + r 1 \u003d -b / a؛
r 1 x r 2 \u003d c / a.

جایی که R 1، R 2 ارزش ریشه های معادله مورد بررسی است.

این مسائل را می توان برای حل تعدادی از وظایف مختلف ریاضی استفاده کرد. استفاده از قضیه Vieta در نمونه هایی با راه حل در بخش های زیر مقاله داده شده است.