یکپارچه نامشخص را پیدا کنید: شروع شروع شد، نمونه هایی از راه حل ها. انتگرال نامشخص نمونه های مفصل از راه حل ها

محاسبات انتگرال

تابع چاپ

تعریف: functionf (x) نامیده می شود یک تابع اولیهfunctionf (x) در بخش، اگر در هر نقطه از این بخش برابری درست باشد:

لازم به ذکر است که ممکن است برای یک عملکرد بسیار بی نهایت وجود داشته باشد. آنها برای برخی از تعداد ثابت از یکدیگر متفاوت خواهند بود.

f 1 (x) \u003d f 2 (x) + c.

نه یکپارچه سازی.

تعریف: جدایی ناپذیرتابع (X) مجموعه ای از توابع ابتدایی است که توسط رابطه تعیین می شود:

رکورد:

شرط وجود یک انتگرال نامحدود در برخی از بخش، تداوم عملکرد در این بخش است.

خواص:

مثال:

پیدا کردن ارزش یک انتگرال نامحدود عمدتا به دلیل پیدا کردن یک عملکرد اولیه است. برای برخی از توابع، این یک کار نسبتا پیچیده است. موارد زیر به نظر می رسد راه های پیدا کردن انتگرال های نامعلوم برای کلاس های پایه توابع - منطقی، غیر منطقی، مثلثاتی، نشانگر و غیره

برای راحتی، اهمیت انتگرال های نامعلوم اکثر توابع ابتدایی به جداول انتگرال ویژه ای که گاهی اوقات بسیار زیاد هستند، مونتاژ می شوند. آنها شامل ترکیبات رایج ترین توابع هستند. اما اکثر فرمول های ارائه شده در این جداول، پیامدهای یکدیگر هستند، بنابراین زیر جدول انتگرال های اصلی که شما می توانید مقادیر انتگرال های نامعلوم از توابع مختلف را دریافت کنید.

انتگرال	مقدار	انتگرال	مقدار

	lnsinx + c.



	لوگاریتم.

روشهای ادغام

سه روش یکپارچه سازی اساسی را در نظر بگیرید.

ادغام مستقیم

روش ادغام مستقیم بر اساس فرض یک مقدار احتمالی یک عملکرد ابتدایی با تایید بیشتر این مقدار به تمایز است. به طور کلی، ما یادآوری می کنیم که تمایز یک ابزار قدرتمند برای بررسی نتایج ادغام است.

استفاده از این روش را با استفاده از مثال در نظر بگیرید:

نیاز به ارزش انتگرال دارد . بر اساس فرمول تمایز شناخته شده
می توان نتیجه گرفت که یکپارچگی مورد نظر برابر است
جایی که C یک عدد ثابت است. با این حال، از سوی دیگر
. بنابراین، ما می توانیم در نهایت نتیجه گیری کنیم:

توجه داشته باشید که در مقایسه با تمایز، جایی که، برای پیدا کردن یک تکنیک مشتق شده و روش های واضح، قوانین برای پیدا کردن یک مشتق شده، در نهایت تعیین مشتق شده، برای ادغام چنین روش هایی در دسترس نیست. اگر، هنگامی که مشتق را پیدا می کنید، ما از آن استفاده کردیم، به طوری که روش های سازنده ای را که براساس قوانین خاص به دست می آید، به دست آوردیم، پس از پیدا کردن یک اولیه، لازم است که به طور کامل بر دانش جداول مشتقات تکیه کنیم اولیه.

همانطور که برای روش ادغام مستقیم، فقط برای برخی از کلاس های بسیار محدود از توابع قابل استفاده است. توابع که ممکن است برای پیدا کردن یک اولیه بسیار کمی از رفتن پیدا کنید. بنابراین، در اغلب موارد، روش های شرح داده شده در زیر استفاده می شود.

روش جایگزینی (جایگزینی متغیرها).

قضیه: اگر می خواهید یک انتگرال پیدا کنید
اما دشوار است برای پیدا کردن یک ابتدایی، سپس با جایگزینی x \u003d  (t) anddx \u003d  (t)، DTP:

شواهد و مدارک : تمایز برابری پیشنهادی:

پس از بررسی توسط اموال شماره 2 یک انتگرال نامحدود:

f.(ایکس.) dx = f.[  (t.)]  (t.) dt

با توجه به اهداف معرفی شده و فرض اولیه است. قضیه ثابت شده است.

مثال.یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید
.

ما جایگزین خواهیم شد t. = sINX, dt = cosxdt.

مثال.

جایگزینی
ما گرفتیم:

در زیر نمونه های دیگری از استفاده از روش جایگزینی برای انواع مختلف توابع در نظر گرفته می شود.

ادغام در قطعات.

این روش بر اساس فرمول شناخته شده مشتق شده از کار است:

(UV)  \u003d uv + vu

جایی که UIV برخی از توابع از x است.

در فرم دیفرانسیل: D (UV) \u003d UDV + VDU

ادغام، ما دریافت می کنیم:
، و مطابق با خواص یک انتگرال نامحدود در بالا:

یا
;

فرمول ادغام را در قطعات دریافت کرد، که اجازه می دهد تا انتگرال های بسیاری از توابع ابتدایی.

مثال.

همانطور که دیده می شود، استفاده متوالی از فرمول ادغام در قطعات به شما اجازه می دهد تا به تدریج عملکرد را ساده تر کنید و انتگرال را به جدول بدهید.

مثال.

این می تواند دیده شود که به عنوان یک نتیجه از استفاده مجدد از ادغام در بخش ها، عملکرد نتوانست جدول را ساده کند. با این حال، آخرین انتگرال به دست آمده از منبع متفاوت نیست. بنابراین، ما آن را به سمت چپ برابری حرکت می دهیم.

بنابراین، انتگرال بدون استفاده از جداول انتگرال یافت می شود.

قبل از بررسی دقیق روش های ادغام کلاس های مختلف توابع، ما چند نمونه دیگر از پیدا کردن انتگرال های نامعلوم را با آوردن آنها به جدولی ارائه می دهیم.

مثال.

ادغام بخش های ابتدایی.

تعریف: ابتداییفراوانی چهار نوع زیر نامیده می شود:

من.
III

دوم
IV

متر، n- عدد صحیح (m2، n2) IB 2 - 4AC<0.

اولین دو نوع انتگرال از بخش های ابتدایی به راحتی به جدول جایگزینی T \u003d AX + B اشاره می شود.

روش یکپارچه سازی فراکسیون های ابتدایی نوع III را در نظر بگیرید.

انتگرال کسری از فرم III در فرم ارائه می شود:

در اینجا، به طور کلی، نشان داده شده است که انتگرال از یک بخش از فرم IIIO به دو انتگرال میز را به ارمغان بیاورد.

استفاده از فرمول بالا را در نمونه ها در نظر بگیرید.

مثال.

به طور کلی، اگر سه ستاره 2 + BX + Ensepassb 2 - 4AC\u003e 0، پس از آن، کسری با تعریف ابتدایی نیست، اما می تواند این روش را که در بالا ذکر شد، ادغام شود.

مثال.

ما اکنون روش های یکپارچه سازی ساده ترین بخش های IVTP را در نظر می گیریم.

اول، مورد خاص را در m \u003d 0، n \u003d 1 در نظر بگیرید.

سپس یکپارچه از دیدگاه
ممکن است در پایگاه داده یک مربع کامل به شکل یک مربع کامل ارائه شود
. بیایید تحول زیر را انجام دهیم:

انتگرال دوم وارد شدن به این برابری، قطعات را می گیرد.

مشخص کن:

برای انتگرال منبع ما دریافت می کنیم:

فرمول نتیجه نامیده می شود مکرراگر شما ITN-1 زمان را اعمال می کنید، یکپارچگی جدول خواهد بود
.

اجازه دهید ما را به انتگرال از بخش ابتدایی نوع IVT از پرونده عمومی بازگردانیم.

در برابری حاصل، اولین انتگرال توسط جایگزینی t. = تو 2 + s.واقع در جدول ، و فرمول مکرر در نظر گرفته شده در بالا به یک انتگرال دوم اعمال می شود.

علیرغم پیچیدگی ظاهری ادغام بخش ابتدایی فرم IV، آسان است برای استفاده به اندازه کافی برای کسری با درجه کوچک n.، و تطبیق پذیری و عمومی بودن این روش باعث می شود که اجرای بسیار ساده این روش بر روی کامپیوتر باشد.

مثال:

ادغام توابع منطقی

ادغام کسرهای منطقی

به منظور ادغام کسری منطقی، لازم است آن را بر روی کسرهای ابتدایی تجزیه کنید.

قضیه: اگر یک
- کسری صحیح منطقی، نامزدی (x) که به عنوان یک محصول از ضریب خطی و درجه دوم نشان داده می شود (ما توجه می کنیم که هر چند جملهای با ضرایب معتبر را می توان در این فرم نشان داد: پ.(ایکس.) = (ایکس. - آ.)  …(ایکس. - ب)  (ایکس. 2 + pX + q.)  …(ایکس. 2 + rX + s.)  )، سپس این کسری را می توان بر روی طرح ابتدایی زیر تجزیه کرد:

جایی که من، B I، M I، N I، R I، \u200b\u200bS من مقادیر دائمی هستم.

در ادغام کسرهای عقلانی، آن را به تجزیه کسر اولیه در ابتدایی متوسل می شود. برای پیدا کردن مقدار I، B I، M I، N I، R I، \u200b\u200bS I، استفاده از به اصطلاح روش ضرایب نامشخصماهیت این است که به منظور دو چندجمله ای که به طور یکسان برابر است، لازم است و به اندازه کافی برابر با ضرایب با همان درجه X است.

استفاده از این روش در یک مثال خاص مورد توجه قرار می گیرد.

مثال.

هنگامی که منجر به یک علامت مشترک و معادل اعداد مربوطه می شود، ما دریافت می کنیم:

مثال.

زیرا کسری اشتباه است، پس باید کل قسمت را برجسته کنید:

6x 5 - 8x 4 - 25x 3 + 20x 2 - 76x- 7 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6

6x 5 - 8X 4 - 34X 3 + 12X 2 2X 2 + 3

9x 3 + 8x 2 - 76x - 7

9x 3 - 12x 2 - 51x +18

20x 2 - 25x - 25

جانباز از کسر حاصل از ضریب ها را گسترش دهید. می توان دید که در x \u003d 3 نامزد، Fraci به صفر تبدیل می شود. سپس:

3x 3 - 4x 2 - 17x + 6x- 3

3x 3 - 9x 2 3x 2 + 5x- 2

بنابراین، 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 \u003d (x- 3) (3x 2 + 5x- 2) \u003d (x-3) (x + 2) (3x- 1). سپس:

به منظور اجتناب از زمانی که شما ضرایب افشای نامشخص، گروه بندی و حل یک سیستم معادلات را پیدا کنید (که در بعضی موارد ممکن است بسیار بزرگ باشد) به اصطلاح استفاده می شود روش مقادیر دلخواه. ماهیت روش این است که بیان به دست آمده در بالا به طور متناوب (با توجه به تعداد ضرایب نامشخص) ارزش های دلخواه X است. برای ساده سازی محاسبات، آن را به عنوان مقادیر دلخواه پذیرفته شده است تا نقاطی را که در آن DenoMoter صفر باشد، پذیرفته شود. در مورد ما - 3، -2، 1/3. ما گرفتیم:

ما در نهایت دریافتیم:

مثال.

پیدا کردن ضرایب نامشخص:

سپس مقدار انتگرال مشخص شده:

ادغام برخی از مثلثات

کارکرد.

انتگرال از توابع مثلثاتی ممکن است بی نهایت زیادی باشد. اکثر این انتگرال ها را نمی توان تحلیلی محاسبه کرد، بنابراین برخی را در نظر بگیرید انواع اصلی توابع که همیشه می توانند یکپارچه شوند.

دیدگاه یکپارچه
.

در اینجا، R - تعیین برخی از عملکرد منطقی از variablessinxacosx.

انتگرال های این گونه توسط جایگزینی محاسبه می شود
. این جایگزینی به شما اجازه می دهد تا عملکرد مثلثاتی را به عقلانیت تبدیل کنید.

سپس

به این ترتیب:

تحول توصیف شده در بالا نامیده می شود جایگزینی مثلثاتی جهانی.

مثال.

مزیت بدون شک از این جایگزینی این است که همیشه ممکن است عملکرد مثلثاتی را به عقلانیت تبدیل کند و انتگرال مربوطه را محاسبه کند. معایب این واقعیت را شامل می شود که هنگام تبدیل آن ممکن است یک تابع منطقی پیچیده را تبدیل کند، ادغام آن زمان و قدرت زیادی را می گیرد.

با این حال، اگر غیر ممکن است جایگزینی منطقی تر از متغیر استفاده شود، این روش تنها یک مورد است.

مثال.

دیدگاه یکپارچه
اگر یک

تابعR.cosx.

علیرغم امکان محاسبه چنین انتگرال با جایگزینی مثلثاتی جهانی، منطقی تر برای جایگزینی جایگزینی t. = sINX.

تابع
این ممکن است به عنوان بسیاری از در درجه های حتی در درجه، و بنابراین، می توان آن را می توان به یک عملکرد منطقی از entivesinx تبدیل شده است.

مثال.

به طور کلی، برای استفاده از این روش، تنها عجیب و غریب عملکرد نسبت به کوزین مورد نیاز است، و درجه سینوسی که در تابع گنجانده شده است می تواند هر دو در هر دو کسری باشد.

دیدگاه یکپارچه
اگر یک

تابعR. عجیب استsINX.

به طور مشابه با مورد مورد بحث در بالا، تعویض t. = cosx.

مثال.

دیدگاه یکپارچه

تابعR. حتی در موردsINX وcosx.

برای تبدیل عملکرد RV، جایگزینی استفاده می شود

t \u003d tgx

مثال.

آثار انتگرال سینوس ها و کوزین

استدلال های مختلف

بسته به نوع محصول، یکی از سه فرمول اعمال خواهد شد:

مثال.

گاهی اوقات، هنگام ادغام توابع مثلثاتی، مناسب برای استفاده از فرمول های سه گانه شناخته شده برای کاهش نظم توابع است.

مثال.

گاهی اوقات برخی از تکنیک های غیر استاندارد اعمال می شود.

مثال.

ادغام برخی از توابع غیر منطقی

نه هر تابع غیر منطقی ممکن است یکپارچه با توابع ابتدایی بیان شود. برای پیدا کردن انتگرال از عملکرد غیر منطقی، یک جایگزین را اعمال کنید که اجازه می دهد تبدیل یک تابع به عقلانی، انتگرال که همیشه می تواند یافت شود.

برخی از تکنیک ها را برای ادغام انواع مختلف توابع غیر منطقی در نظر بگیرید.

دیدگاه یکپارچه
جایی کهn.- عدد طبیعی.

با کمک جایگزینی
این تابع منطقی است.

مثال.

اگر ترکیب عملکرد غیر منطقی شامل ریشه های درجه های مختلف باشد، سپس به عنوان یک متغیر جدید، به طور منطقی ریشه درجه برابر با کوچکترین درجه چند کل ریشه های موجود در عبارت است.

ما این را در مثال نشان خواهیم داد.

مثال.

ادغام تفاوت های دیوممین.

تعریف: دیفرانسیل Bininominalنامیده می شود

ایکس. m. (آ. + bx n. ) پ. dx

جایی که m., n., و پ.- اعداد گویا.

همانطور که توسط آکادمی Chebyshev P.L. (1821-1894)، انتگرال از دیفرانسیل دیوممین را می توان از طریق توابع ابتدایی تنها در سه مورد زیر بیان کرد:

اگر یک r- یک عدد صحیح، پس از آن یک انتگرال با جایگزینی منطقی است

کجا - یک نام مشترک m.و n..

راه حل انتگرال ها وظیفه نور است، اما فقط برای انتخاب است. این مقاله برای کسانی است که می خواهند یاد بگیرند که انتگرال ها را درک کنند، اما هیچ چیز در مورد آنها یا تقریبا هیچ چیز نمی دانند. انتگرال ... چرا لازم است؟ چگونه آن را محاسبه کنیم؟ یک انتگرال خاص و نامحدود چیست؟ اگر تنها درخواست انتگرال شناخته شده برای شما این است که یک قلاب بافی را به صورت یک آیکون انتگرال دریافت کنید. چیزی مفید است سخت برای رسیدن به مکان ها، سپس خوش آمدید! یاد بگیرید چگونه به حل انتگرال ها و چرا بدون آن انجام غیر ممکن است.

ما مفهوم "انتگرال" را مطالعه می کنیم

ادغام در مصر باستان شناخته شد. البته، نه در ویدیو مدرن، اما هنوز. از آن به بعد، ریاضیات کتاب های زیادی را در این موضوع نوشت. به خصوص متمایز نیوتن و leibnits اما ماهیت چیزها تغییر نکرده است. نحوه درک انتگرال ها از ابتدا؟ به هیچ وجه! برای درک این موضوع، دانش پایه ای از مبانی تجزیه و تحلیل ریاضی هنوز هم نیاز است. این اطلاعات اساسی در مورد شما در وبلاگ ما پیدا خواهد شد.

جدایی ناپذیر

اجازه دهید ما نوعی از عملکرد داشته باشیم f (x) .

تابع انتگرال نامعلوم f (x) این ویژگی نامیده می شود f (x) ، مشتق از آن برابر با عملکرد است f (x) .

به عبارت دیگر، انتگرال یک مشتق شده بر خلاف یا ابتدایی است. به هر حال، در مورد چگونگی خواندن در مقاله ما.

پیش بینی کننده برای تمام توابع پیوسته وجود دارد. همچنین، علامت ثابت اغلب به ابتدایی اضافه می شود، زیرا مشتقات در معرض هماهنگی متفاوت است. فرآیند پیدا کردن یکپارچگی یکپارچه سازی نامیده می شود.

مثال ساده:

به طور مداوم برای محاسبه توابع ابتدایی ابتدایی، راحت است که جدول را کاهش دهید و از مقادیر آماده شده استفاده کنید:

یکپارچه سازی

داشتن معامله با مفهوم انتگرال، ما با ارزش های بی نهایت کوچک برخورد می کنیم. انتگرال کمک خواهد کرد که محاسبه شکل شکل، جرم بدن ناهمگونی، تحت مسیر حرکت ناهموار و خیلی بیشتر. باید به یاد داشته باشید که انتگرال مقدار بی نهایت است تعداد زیادی شرایط بی نهایت کوچک.

به عنوان مثال، یک برنامه برخی از عملکرد را تصور کنید. چگونه برای پیدا کردن یک منطقه از ارقام محدود شده توسط یک نمودار از عملکرد؟

با کمک انتگرال! ما تراکتوز منحنی را تقسیم می کنیم، توسط محورهای مختصات و نمودار تابع، در بخش های بی نهایت کوچک محدود می شود. بنابراین، این رقم به ستون های نازک تقسیم می شود. مجموع مساحت ستون ها منطقه تراپزی خواهد بود. اما به یاد داشته باشید که چنین محاسباتی یک نتیجه نمونه را ارائه می دهد. با این حال، بخش های کوچکتر در حال حاضر خواهد بود، دقیق تر محاسبه خواهد شد. اگر ما آنها را به اندازه ای کاهش دهیم که طول به صفر تلاش می کند، مقدار بخش ها برای منطقه این رقم تلاش می کنند. این یک انتگرال خاص است که به شرح زیر نوشته شده است:

نقاط A و B محدودیت های ادغام نامیده می شوند.

Baria Alibasov و گروه "انتگرال"

راستی! برای خوانندگان ما اکنون تخفیف 10٪ وجود دارد

قوانین برای محاسبه انتگرال برای dummies

خواص یکپارچه نامشخص

چگونه یک انتگرال نامحدود را حل کنیم؟ در اینجا ما خواص یکپارچگی نامعلوم را در نظر می گیریم، که در هنگام حل نمونه مفید خواهد بود.

مشتق از انتگرال برابر با تابع انتگرال است:

ثابت می تواند از علامت انتگرال ساخته شود:

انتگرال از مقدار برابر با مقدار انتگرال است. همچنین برای تفاوت:

خواص یکپارچگی خاص

خطی بودن:

علامت انتگرال تغییر می کند اگر محدودیت های ادغام مبادله شود:

برای هر چیزی نکته ها آ., ب و از جانب:

ما قبلا متوجه شده ایم که یک انتگرال خاص محدودیت مقدار است. اما چگونه می توان یک مقدار خاص را در هنگام حل مثال به دست آورد؟ برای این، یک فرمول نیوتن-لایبنیک وجود دارد:

نمونه هایی از راه حل های انتگرال

در زیر چند نمونه از پیدا کردن انتگرال های نامعلوم را در نظر می گیرد. ما پیشنهاد می کنیم که شما مستقل از ظرافت های راه حل را درک کنید، و اگر چیزی غیر قابل درک باشد، در نظرات سوال کنید.

برای محافظت از مواد، ویدیو را در مورد چگونگی انتگرال ها در عمل ببینید. اگر انتگرال بلافاصله داده نشود، ناامید نکنید. بپرسید، و آنها را در مورد محاسبه انتگرال های همه چیز که خود را می دانند، به شما خواهند گفت. با کمک ما، هر یکپارچگی سه گانه یا منحنی در یک سطح بسته، نیروها می شود.

یک انتگرال نامحدود (بسیاری از اولیه یا "ضد مشتق شده" را پیدا کنید) به معنای بازگرداندن عملکرد با توجه به مشتق شناخته شده این تابع است. ترمیم چندگانه F.(ایکس.) + از جانب برای عملکرد f.(ایکس.) به طور مداوم ادغام را در نظر می گیرد C.. با سرعت حرکت نقطه ماده (مشتق شده)، قانون حرکت این نقطه (ابتدایی) می تواند بازسازی شود؛ با سرعت بخشیدن به حرکت نقطه - سرعت آن و قانون جنبش. همانطور که دیده می شود، ادغام یک میدان گسترده ای برای فعالیت های شرلوک هولمز از فیزیک است. بله، و در اقتصاد، بسیاری از مفاهیم از طریق توابع و مشتقات آنها نشان داده می شوند و بنابراین، به عنوان مثال، ممکن است حجم محصول را در یک نقطه خاص در زمان (مشتق شده) بازگرداند تا میزان محصولات صادر شده در زمان مناسب را بازگرداند .

برای پیدا کردن یک انتگرال نامحدود، تعداد کمی از فرمول های ادغام اساسی مورد نیاز است. اما روند محل سکونت آن بسیار سخت تر از استفاده از این فرمول ها است. تمام پیچیدگی به ادغام اشاره نمی کند، بلکه بیان یکپارچه را به این گونه می رساند که امکان پیدا کردن یک انتگرال نامحدود در فرمول های فوق ذکر شده در بالا ذکر شده است. این به این معنی است که برای شروع تمرین ادغام، شما باید مهارت های تبدیل بیان به دست آمده در دبیرستان را فعال کنید.

یاد بگیرید برای پیدا کردن انتگرال ما استفاده خواهد کرد خواص و جدول انتگرال های نامعلوم از درس در مفاهیم اساسی این موضوع (در یک پنجره جدید باز می شود).

روش های متعددی برای پیدا کردن یک انتگرال وجود دارد روش جایگزینی متغیر و روش ادغام در قطعات - مجموعه نجیبانه اجباری از هر کسی که با موفقیت به بالاترین ریاضیات منتقل شد. با این حال، برای شروع یکپارچه سازی، با استفاده از یک روش تجزیه، با استفاده از روش تجزیه، بر اساس دو قضیه زیر در خواص یکپارچه نامحدود، مفید تر و دلپذیر تر است، که برای سهولت ارجاع اینجاست.

قضیه 3.چند ضلعی دائمی در انتگرال می تواند برای نشانه ای از یک انتگرال نامحدود، I.E.

قضیه 4.انتگرال نامحدود از مقدار جبری تعداد محدودی از توابع برابر با مجموع جبری انتگرال های نامحدود این توابع است، I.E.

(2)

علاوه بر این، قانون زیر می تواند در ادغام مفید باشد: اگر بیان تابع انتگرال حاوی یک ضریب دائمی باشد، پس بیان ابتدایی بر اساس تعداد، معکوس عامل ثابت، این است

(3)

از آنجا که این درس به حل وظایف ادغام معرفی شده است، مهم است که دو چیز را که قبلا در آن وجود داشته باشد، توجه داشته باشید مرحله اولیهیا تا حدودی بعدا آنها ممکن است شما را متعجب کنند. تعجب ناشی از این واقعیت است که ادغام - عملیات تمایز معکوس و یکپارچگی نامشخص می تواند به درستی "ضد مشتق" نامیده می شود.

اولین چیزی که نباید در یکپارچگی شگفت زده شود. در جدول انتگرال فرمول هایی وجود دارد که هیچ گونه آنالوگ در میان فرمول های جدول مشتق شده وجود ندارد . این فرمول های زیر است:

با این حال، ممکن است اطمینان حاصل شود که مشتقات عبارات در قسمت های راست این فرمول ها با توابع یکپارچه مربوطه همخوانی دارند.

دومین چیزی که نباید در ادغام شگفت زده شود. اگر چه مشتق از هر تابع ابتدایی نیز یک تابع ابتدایی است، انتگرال های نامشخص از برخی از توابع ابتدایی دیگر توابع ابتدایی نیستند. . نمونه هایی از چنین انتگرال ها ممکن است موارد زیر باشد:

برای توسعه تکنیک های ادغام، مهارت های زیر مورد استفاده قرار می گیرد: کاهش فراکسیون ها، تقسیم چندجمله ای در عددی کسر بر روی یک بال در یکپارچه (برای به دست آوردن مقدار انتگرال های نامحدود)، تبدیل ریشه به درجه ضرب، ضرب به چندجمله ای، نابودی است. این مهارت ها برای تبدیل انتگرال مورد نیاز است، زیرا در نتیجه مقدار انتگرال موجود در جدول انتگرال باید بدست آید.

ما انتگرال های نامحدود را با هم پیدا می کنیم

مثال 1یکپارچه نامشخص پیدا کنید

تصمیم گیری ما در مورد بیانگر بیان انتگرال چندجمله ای که X در مربع است، می بینیم. این یک نشانه تقریبا وفادار است که می توانید یک جدول یکپارچه 21 (با نتیجه ArcTangent) اعمال کنید. ما دو بار چند برابر از جانباز را انجام می دهیم (یک ویژگی از یکپارچگی وجود دارد - یک ضریب دائمی می تواند از علامت انتگرال خارج شود، بالاتر از آن به عنوان قضیه 3 ذکر شده است). نتیجه این همه:

در حال حاضر در تعویض مجموع مربعات، به این معنی که ما می توانیم یک انتگرال جدولی ذکر شده را اعمال کنیم. در نهایت پاسخ را دریافت کنید:

مثال 2یکپارچه نامشخص پیدا کنید

تصمیم گیری ما دوباره قضیه 3 را اعمال می کنیم - اموال انتگرال، بر اساس آن چند ضلعی ثابت را می توان برای علامت انتگرال ساخته شده است:

ما از فرمول 7 از جدول انتگرال (متغیر به درجه) به تابع انتگرال استفاده می کنیم:

ما بخش های حاصل را کاهش می دهیم و قبل از ما جواب نهایی را کاهش می دهیم:

مثال 3یکپارچه نامشخص پیدا کنید

تصمیم گیری با استفاده از قضیه اول 4، و سپس قضیه 3 در خواص، ما این انتگرال را به عنوان مجموع سه انتگرال پیدا خواهیم کرد:

همه سه انتگرال دریافت شده - جدول. ما از فرمول (7) از جدول انتگرال در n. = 1/2, n. \u003d 2 I. n. \u003d 1/5، و سپس

ترکیبی از تمام سه ثابت دلخواه است که زمانی که سه انتگرال در نظر گرفته شده اند، معرفی شدند. بنابراین، در شرایط مشابه، تنها یکپارچگی دائمی دائمی دائمی (ثابت) باید اداره شود.

مثال 4یکپارچه نامشخص پیدا کنید

تصمیم گیری هنگامی که در یک جانباز از کسر یکپارچه - Unrochene، ما می توانیم عددی را به نام معیوب به حداقل برسانیم. انتگرال اولیه تبدیل به دو انتگرال شده است:

برای اعمال یک انتگرال جدول، ما ریشه ها را به درجه تبدیل می کنیم و اکنون پاسخ نهایی این است:

ما همچنان به دنبال انتگرال های نامحدود با هم هستیم

مثال 7یکپارچه نامشخص پیدا کنید

تصمیم گیری اگر ما یک تابع واکنشی را تغییر دهیم، نصب شده به یک مربع پیچ خورده و عددی را تقسیم می کند، انتگرال اولیه، مجموع سه انتگرال تبدیل خواهد شد.

فرایند حل انتگرال ها در علم تحت نام "ریاضیات" ادغام نامیده می شود. با کمک یکپارچه سازی می توانید برخی از آنها را پیدا کنید مقادیر فیزیکی: منطقه، حجم، وزن بدن و خیلی بیشتر.

انتگرال ها نامعلوم و تعریف شده اند. نوع یک انتگرال خاص را در نظر بگیرید و سعی کنید معنای فیزیکی آن را درک کنید. به نظر می رسد در این فرم: $$ \\ int ^ a _b f (x) dx $$. صفت متمایز نوشتن یک انتگرال خاص از نامشخص در این واقعیت که محدودیت های یکپارچه سازی A و B وجود دارد. در حال حاضر ما آنچه را که نیاز داریم پیدا خواهیم کرد و هنوز به معنای یک انتگرال خاص است. در معنای هندسی، چنین انتگرال برابر با مربع ارقام محدود شده توسط منحنی F (X)، خطوط A و B و محور اوه.

شکل 1 نشان می دهد که یک انتگرال خاص همان منطقه ای است که نقاشی شده است خاکستری. بیایید آن را در ساده ترین مثال بررسی کنیم. ما منطقه ای از شکل را در تصویر زیر را با ادغام پیدا خواهیم کرد و سپس آن را به طور معمول محاسبه کردیم تا طول عرض را افزایش دهیم.

شکل 2 نشان می دهد که $ y \u003d f (x) \u003d $ 3، $ a \u003d 1، b \u003d $ 2. در حال حاضر ما آنها را به تعریف انتگرال جایگزین می کنیم، ما دریافت می کنیم که $$ s \u003d \\ int _a ^ bf (x) dx \u003d \\ int _1 ^ 2 3 dx \u003d $$$$ \u003d (3x) \\ big | _1 ^ 2 \u003d (3 \\ cdot 2) - (3 \\ cdot 1) \u003d $$$$ \u003d 6-3 \u003d 3 \\ text (ur) ^ 2 $$ بیایید به روش معمول بررسی کنیم. در مورد ما، طول \u003d 3، عرض شکل \u003d 1. $ $ s \u003d \\ text (طول) \\ cdot / text (عرض) \u003d 3 \\ cdot 1 \u003d 3 \\ text (ur) ^ 2 $$ به عنوان شما می توانید ببینید، همه چیز کاملا همزمان بود.

سوال به نظر می رسد: نحوه حل انتگرال ها نامشخص هستند و معنی چیست؟ راه حل این انتگرال ها، پیدا کردن توابع ابتدایی است. این فرایند مخالف یافتن مشتق شده است. به منظور پیدا کردن اولیه، شما می توانید از کمک ما در حل مشکلات در ریاضیات استفاده کنید و یا شما باید به طور مستقل از ویژگی های انتگرال ها و جدول ادغام ساده ترین توابع ابتدایی استفاده کنید. یافته ها این است که $$ \\ int f (x) dx \u003d f (x) + c / text (که در آن) f (x) $ $ f (x) $ f (x)، c \u003d const $ است.

برای حل انتگرال، شما باید از طریق متغیر، عملکرد $ f (x) را ادغام کنید. اگر تابع یک جدول باشد، پس پاسخ ثبت می شود ویدیو مناسب. اگر نه، این فرآیند برای به دست آوردن یک تابع جدول از عملکرد $ f (x) $ توسط تحولات ریاضی حیله گر کاهش می یابد. برای این است روش های مختلف و خواص که بیشتر در نظر می گیرند.

بنابراین، در حال حاضر یک الگوریتم چگونه برای حل انتگرال برای dummies؟

الگوریتم برای محاسبه انتگرال ها

ما یک انتگرال خاص را یاد می گیریم یا نه.
اگر نامشخص باشد، باید پیدا کنید تابع چاپ $ f (x) $ از $ f (x) $ با تحولات ریاضی منجر به فرم جدول $ f (x) $.
اگر تعریف شود، پس شما باید مرحله 2 را انجام دهید، و سپس محدودیت های $ A $ و $ b $ را به عملکرد اولیه $ f (x) $ جایگزین کنید. چه فرمول این است که این کار را در مقاله "فرمول نیوتن Leibnitsa" انجام دهید.

نمونه هایی از راه حل ها

بنابراین، شما آموختید که چگونه به حل انتگرال ها برای dummies، نمونه هایی از حل انتگرال ها قفسه ها را جدا کنید. آنها معنی فیزیکی و هندسی را آموختند. روش های تصمیم گیری در مقالات دیگر تعیین می شود.