برای ادغام توابع گویا به شکل R (sin x، cos x)، یک جایگزین استفاده می شود که به آن جانشینی مثلثاتی جهانی می گویند. سپس . جایگزینی مثلثاتی عمومی اغلب از نظر محاسباتی فشرده است. بنابراین، در صورت امکان، از جایگزین های زیر استفاده کنید.

ادغام توابع به صورت منطقی بسته به توابع مثلثاتی

1. انتگرالهای شکل ∫ sin n xdx، ∫ cos n xdx، n> 0
الف) اگر n فرد باشد، باید یک درجه از sinx (یا cosx) را زیر علامت دیفرانسیل وارد کرد و از درجه زوج باقیمانده باید به تابع مقابل رفت.
ب) اگر n زوج باشد، از فرمول های کاهش درجه استفاده می کنیم
2. انتگرالهای شکل ∫ tg n xdx، ∫ ctg n xdx، که در آن n یک عدد صحیح است.
شما باید از فرمول ها استفاده کنید

3. انتگرالهای شکل ∫ sin n x · cos m x dx
الف) فرض کنید m و n برابری متفاوتی داشته باشند. اگر n فرد باشد جایگزین t = sin x یا اگر m فرد باشد t = cos x را اعمال می کنیم.
ب) اگر m و n زوج باشند، از فرمول کاهش درجه استفاده می کنیم
2sin 2 x = 1-cos2x، 2cos 2 x = 1 + cos2x.
4. انتگرال های فرم
اگر اعداد m و n همسان باشند، از جایگزینی t = tg x استفاده می کنیم. اغلب استفاده از تکنیک واحد مثلثاتی راحت است.
5.
ما از فرمول ها برای تبدیل حاصل ضرب توابع مثلثاتی به مجموع آنها استفاده می کنیم

نمونه هایی از
1. انتگرال ∫ cos 4 x · sin 3 xdx را ارزیابی کنید.
جایگزینی cos (x) = t را می سازیم. سپس ∫ cos 4 x sin 3 xdx =
2. انتگرال را محاسبه کنید.
با ایجاد تغییر sin x = t، دریافت می کنیم

3. انتگرال را بیابید.
تغییر tg (x) = t را ایجاد می کنیم. با تعویض، می گیریم

توجه داشته باشید که جایگزینی ctg (x) = t در اینجا راحت تر است، از آن زمان، و بنابراین

ادغام عباراتی مانند R (sinx، cosx)

مثال شماره 1. انتگرال ها را محاسبه کنید:

راه حل.
الف) ادغام عبارات به شکل R (sinx، cosx)، که در آن R یک تابع منطقی از sin x و cos x است، با استفاده از جایگزینی مثلثاتی جهانی tg (x / 2) = t به انتگرال توابع گویا تبدیل می شوند.
سپس ما داریم

جایگزینی مثلثاتی جهانی این امکان را فراهم می کند که از یک انتگرال به شکل ∫ R (sinx، cosx) dx به انتگرال یک تابع عقلی کسری عبور کنیم، اما اغلب چنین جایگزینی به عبارات دست و پا گیر منجر می شود. در شرایط خاصجایگزین های ساده تر موثر هستند:

• اگر برابری R (-sin x، cos x) = -R (sin x، cos x) dx برقرار باشد، جایگزینی cos x = t اعمال می شود.
• اگر برابری R (sin x, -cos x) = -R (sin x, cos x) dx برقرار باشد، آنگاه جایگزینی sin x = t.
• اگر برابری R (-sin x، -cos x) = R (sin x، cos x) dx برقرار است، آنگاه جایگزینی tgx = t یا ctg x = t.

در این مورد، برای یافتن انتگرال
جایگزینی مثلثاتی جهانی tg (x / 2) = t را اعمال کنید.
سپس
از آنجایی که کسر نادرست است، با جدا کردن کل قسمت، به دست می آوریم
با بازگشت به متغیر اصلی خواهیم داشت

ب) در مثال دوم یک نکته مهم را در نظر بگیرید مورد خاصوقتی عبارت کلی ∫ R (sinx، cosx) dx به شکل ∫ sin m x cos n xdx باشد. در این مورد خاص، اگر m فرد باشد، جایگزینی cos x = t باید اعمال شود. اگر n فرد باشد، باید از جایگزینی sin x = t استفاده شود. اگر هر دو نوع توان اعدادی حتی غیر منفی باشند (به ویژه، یکی از آنها می تواند برابر با صفر باشد)، جایگزینی طبق فرمول های مثلثاتی معروف انجام می شود:
در این مورد


پاسخ:

فرمول های مثلثاتی پایه و جایگزین های اساسی ارائه شده است. روشهایی برای ادغام توابع مثلثاتی ارائه شده است - ادغام توابع گویا، حاصلضرب توابع توان sin x و cos x، حاصل ضرب چند جمله ای، توان و سینوس یا کسینوس، ادغام توابع مثلثاتی معکوس. روش های غیر استاندارد تحت تأثیر قرار می گیرند.

فرمول های مثلثاتی پایه

در زیر چند فرمول مثلثاتی وجود دارد که ممکن است هنگام ادغام توابع مثلثاتی به آنها نیاز داشته باشید.

sin 2 a + cos 2 a = 1






گناه (الف + ب) = گناه a cos b + cos a sin b
cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b
sin 2 a = 2 sin a cos a
cos 2 a = cos 2 a - sin 2 a = 2 cos 2 a - 1 = 1 - 2 sin 2 a

جایگزینی استاندارد هنگام ادغام توابع مثلثاتی

در اینجا به جایگزین های استاندارد می پردازیم که با کمک آنها در بیشتر موارد، ادغام توابع مثلثاتی انجام می شود.

جایگزینی t = گناه x

تبدیل طبق فرمول انجام می شود:

cos x dx = dt;
گناه x = t; cos 2 x = 1 - t 2;
;

جایگزینی t = cos x

sin x dx = - dt;
cos x = t; sin 2 x = 1 - t 2;
;

جایگزینی t = tg x

; ;
tg x = t; ;
; .

جایگزینی t = ctg x

; ;
ctg x = t; ;
; .

جایگزینی t = tg (x / 2)

;
;
;
; ;
; .

ادغام توابع مثلثاتی معکوس

انتگرال های حاوی توابع مثلثاتی معکوس
آرکسین φ, arctg φو غیره، که در آن φ برخی از تابع های جبری x است، اغلب توسط قطعات ادغام می شوند و u = را تنظیم می کنند. آرکسین φ، u = arctg φ، و غیره.

نمونه هایی از این انتگرال ها:
, , .

روشهای استاندارد برای ادغام توابع مثلثاتی

رویکرد کلی

ابتدا، در صورت لزوم، انتگرال باید طوری تبدیل شود که توابع مثلثاتی به یک آرگومان بستگی داشته باشند که با متغیر انتگرال گیری منطبق است.

برای مثال، اگر انتگرال بستگی به گناه (x + a)و cos (x + b)، سپس باید تبدیل را انجام دهید:
cos (x + b) = cos (x + a - (a-b)) = cos (x + a) cos (b-a) + گناه (x + a) گناه (b-a).
سپس تغییر z = x + a را ایجاد کنید. در نتیجه، توابع مثلثاتی فقط به متغیر ادغام z بستگی دارند.

هنگامی که توابع مثلثاتی به یک آرگومان منطبق با متغیر انتگرال گیری بستگی دارند (مثلاً z است)، یعنی انتگرال فقط از توابعی از نوع تشکیل شده است. گناه z, cos z, tg z, ctg z، سپس باید یک جایگزین انجام دهید
.
این جایگزینی منجر به ادغام توابع منطقی یا غیرمنطقی (در صورت وجود ریشه) می شود و در صورت ادغام شدن در توابع ابتدایی، امکان محاسبه انتگرال را فراهم می کند.

با این حال، اغلب می‌توانید روش‌های دیگری را بیابید که به شما امکان می‌دهد انتگرال را به روشی کوتاه‌تر بر اساس مشخصات انتگرال محاسبه کنید. در زیر خلاصه ای از اصلی ترین این روش ها آورده شده است.

روش های ادغام برای توابع منطقی sin x و cos x

توابع گویا از گناه xو cos xتوابعی هستند که از گناه x, cos xو هر ثابتی که از عملیات جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و افزایش به یک توان صحیح استفاده می کند. آنها به صورت زیر نشان داده می شوند: R (sin x، cos x)... این می تواند شامل مماس ها و کوتانژانت ها نیز باشد، زیرا آنها از تقسیم سینوس بر کسینوس و بالعکس تشکیل می شوند.
انتگرال توابع گویا عبارتند از:
.

روشهای ادغام توابع مثلثاتی گویا به شرح زیر است.
1) جایگزینی همیشه به انتگرال کسر گویا منتهی می شود. با این حال، در برخی موارد، جایگزین هایی وجود دارد (که در زیر ارائه شده است) که منجر به محاسبات کوتاه تری می شود.
2) اگر R (sin x، cos x) cos x → - cos x گناه x.
3) اگر R (sin x، cos x)ضرب در -1 در هنگام جایگزینی گناه x → - گناه x، سپس جایگزینی t = cos x.
4) اگر R (sin x، cos x)مانند تعویض همزمان تغییر نمی کند cos x → - cos x، و گناه x → - گناه x، سپس جایگزینی t = tg xیا t = ctg x.

مثال ها:
, , .

حاصل ضرب توابع توان cos x و sin x

انتگرال های فرم

انتگرال های توابع مثلثاتی گویا هستند. بنابراین، روش های شرح داده شده در بخش قبلی... روش های مبتنی بر ویژگی های این انتگرال ها در زیر در نظر گرفته شده است.

اگر m و n هستند اعداد گویا، سپس یکی از جایگزین ها t = گناه xیا t = cos xانتگرال به انتگرال یک دوجمله ای دیفرانسیل کاهش می یابد.

اگر m و n اعداد صحیح باشند، ادغام با استفاده از فرمول های کاهش انجام می شود:

;
;
;
.

مثال:
.

انتگرال حاصل ضرب چند جمله ای و سینوس یا کسینوس

انتگرال های فرم:
, ,
که در آن P (x) یک چند جمله ای در x است، توسط قطعات یکپارچه می شوند. در این حالت فرمول های زیر بدست می آید:

;
.

مثال ها:
, .

انتگرال حاصل ضرب چند جمله ای، توان و سینوس یا کسینوس

انتگرال های فرم:
, ,
که در آن P (x) یک چند جمله ای در x است، با استفاده از فرمول اویلر ادغام می شوند
e iax = تبر cos + تبر isin(جایی که من 2 = - 1 ).
برای این کار، با روشی که در پاراگراف قبل توضیح داده شد، انتگرال محاسبه می شود
.
با جداسازی قسمت های واقعی و خیالی از نتیجه، انتگرال های اصلی به دست می آیند.

مثال:
.

روش های غیر استاندارد ادغام توابع مثلثاتی

در زیر تعدادی روش غیر استاندارد وجود دارد که به شما امکان می دهد ادغام توابع مثلثاتی را انجام دهید یا ساده کنید.

وابستگی به (a sin x + b cos x)

اگر انتگرال فقط به a بستگی دارد sin x + b cos x، سپس استفاده از فرمول مفید است:
,
جایی که .

مثلا

تجزیه کسری از سینوس و کسینوس به کسرهای ساده تر

انتگرال را در نظر بگیرید
.
ساده ترین راه برای ادغام این است که با استفاده از تبدیل کسری را به کسرهای ساده تر بسط دهیم:
گناه (a - b) = گناه (x + a - (x + b)) = sin (x + a) cos (x + b) - cos (x + a) sin (x + b)

ادغام کسرهای درجه اول

هنگام محاسبه انتگرال
,
انتخاب قسمت صحیح کسری و مشتق مخرج راحت است
آ 1 گناه x + b 1 cos x =آ (a sin x + b cos x) +ب (a sin x + b cos x) " .
ثابت های A و B با مقایسه سمت چپ و راست به دست می آیند.

منابع:
N.M. گونتر، R.O. کوزمین، مجموعه مسائل در ریاضیات عالی، "لان"، 2003.

انتگرال هایی را در نظر بگیرید که در آنها انتگرال حاصل ضرب سینوس ها و کسینوس های درجه اول x، ضرب در عوامل مختلف است، یعنی انتگرال های شکل

استفاده از فرمول های معروف مثلثاتی

(2)
(3)
(4)
هر یک از محصولات موجود در انتگرال های شکل (31) را می توان به یک مجموع جبری تبدیل کرد و با فرمول ها یکپارچه کرد.

(5)

(6)

مثال 1.پیدا کردن

راه حل. طبق فرمول (2) در

مثال 2.پیدا کردن انتگرال تابع مثلثاتی

راه حل. طبق فرمول (3) در

مثال 3.پیدا کردن انتگرال تابع مثلثاتی

راه حل. طبق فرمول (4) در تبدیل انتگرال زیر را بدست می آوریم:

با استفاده از فرمول (6) بدست می آوریم

انتگرال حاصل ضرب توانهای سینوس و کسینوس همان برهان

حال اجازه دهید انتگرال توابعی را در نظر بگیریم که حاصل توانهای سینوس و کسینوس همان آرگومان هستند، یعنی.

(7)

در موارد خاص، یکی از شاخص های ( متریا n) می تواند صفر باشد.

هنگام ادغام چنین توابعی، از آن استفاده می شود که توان زوج کسینوس را می توان بر حسب سینوس و دیفرانسیل سینوس بیان کرد. برابر cos است x dx(یا یک درجه زوج از سینوس را می توان بر حسب کسینوس بیان کرد و دیفرانسیل کسینوس است - گناه x dx ) .

دو مورد باید از هم تفکیک شود: 1) حداقل یکی از شاخص ها مترو nفرد؛ 2) هر دو شاخص زوج هستند.

اجازه دهید مورد اول، یعنی توان n = 2ک+ 1 فرد است. سپس، با توجه به آن

انتگرال به گونه ای ارائه می شود که یک قسمت آن تابعی از سینوس و دیگری دیفرانسیل سینوس است. اکنون با جایگزینی متغیر تی= گناه ایکسراه حل به ادغام چند جمله ای با توجه به کاهش می یابد تی... اگر فقط مدرک مترعجیب است، سپس به همین ترتیب عمل کنید و عامل گناه را جدا کنید ایکس، بقیه انتگرال را بر حسب cos بیان می کند ایکسو با فرض تی= cos ایکس... از این تکنیک می توان برای ادغام قدرت های نسبی سینوس و کسینوس ، چه زمانی حداقل یکی از شاخص ها عجیب و غریب است ... موضوع این است که ضریب درجات سینوس و کسینوس مورد خاصی از محصول آنهاست : وقتی تابع مثلثاتی در مخرج انتگرال باشد درجه آن منفی است. اما مواردی از توابع مثلثاتی خاص نیز وجود دارد که درجات آنها فقط زوج باشد. درباره آنها - پاراگراف بعدی.

اگر هر دو شاخص مترو n- یکنواخت، سپس با استفاده از فرمول های مثلثاتی

نماهای سینوس و کسینوس را کاهش دهید، پس از آن انتگرالی از همان نوع بالا به دست می آید. بنابراین، ادغام باید به همین ترتیب ادامه یابد. اگر یکی از شاخص های زوج منفی باشد، یعنی ضریب درجات زوج سینوس و کسینوس در نظر گرفته شود، این طرح مناسب نیست. ... سپس بسته به نحوه تبدیل انتگرال از جایگزینی متغیر استفاده می شود. این مورد در بخش بعدی بررسی خواهد شد.

مثال 4.پیدا کردن انتگرال تابع مثلثاتی

راه حل. نماي کسینوس فرد است. بنابراین، ما نمایندگی می کنیم

تی= گناه ایکس(سپس dt= cos ایکس dx ). سپس می گیریم

با بازگشت به متغیر قدیمی، بالاخره پیدا می کنیم

مثال 5.پیدا کردن انتگرال تابع مثلثاتی

.

راه حل. توان کسینوس، مانند مثال قبلی، فرد است، اما بیشتر است. تصور کن

و متغیر را تغییر دهید تی= گناه ایکس(سپس dt= cos ایکس dx ). سپس می گیریم

بیایید براکت ها را گسترش دهیم

و دریافت کنید

با بازگشت به متغیر قدیمی، راه حل را دریافت می کنیم

مثال 6.پیدا کردن انتگرال تابع مثلثاتی

راه حل. توان سینوس و کسینوس زوج هستند. بنابراین، انتگرال را به صورت زیر تبدیل می کنیم:

سپس می گیریم

متغیر را در انتگرال دوم با تنظیم تغییر دهید تی= گناه2 ایکس... سپس (1/2)dt= cos2 ایکس dx ... از این رو،

بالاخره می رسیم

با استفاده از روش جایگزینی متغیر

روش جایگزینی متغیرهنگام ادغام توابع مثلثاتی، می توان از آن در مواردی استفاده کرد که در انتگرال فقط سینوس یا کسینوس وجود دارد، حاصل ضرب سینوس و کسینوس که در آن سینوس یا کسینوس در توان اول، مماس یا کوتانژانت و همچنین ضریب توانهای زوج سینوس و کسینوس یک استدلال. در این صورت، می توان نه تنها گناه را انجام داد ایکس = تیو گناه ایکس = تیبلکه tg ایکس = تیو ctg ایکس = تی .

مثال 8.پیدا کردن انتگرال تابع مثلثاتی

.

راه حل. بیایید متغیر: را تغییر دهیم، سپس. انتگرال حاصل به راحتی روی جدول انتگرال ها ادغام می شود:

.

مثال 9.پیدا کردن انتگرال تابع مثلثاتی

راه حل. مماس را به نسبت سینوس و کسینوس تبدیل می کنیم:

بیایید متغیر: را تغییر دهیم، سپس. انتگرال به دست آمده است انتگرال جدولیبا علامت منفی:

.

با بازگشت به متغیر اصلی، در نهایت دریافت می کنیم:

.

مثال 10.پیدا کردن انتگرال تابع مثلثاتی

راه حل. بیایید متغیر: را تغییر دهیم، سپس.

ما انتگرال را برای اعمال هویت مثلثاتی تبدیل می کنیم :

ما متغیر را تغییر می دهیم، به یاد داشته باشیم که یک علامت منفی جلوی انتگرال قرار دهیم (بالا را ببینید که برابر است با dt). سپس، انتگرال را به فاکتورها گسترش می دهیم و روی جدول ادغام می کنیم:

با بازگشت به متغیر اصلی، در نهایت دریافت می کنیم:

.

انتگرال یک تابع مثلثاتی را خودتان پیدا کنید و سپس راه حل را ببینید

جایگزینی مثلثاتی جهانی

جایگزینی مثلثاتی جهانی می تواند در مواردی استفاده شود که انتگرال با مواردی که در پاراگراف های قبلی مورد بحث قرار گرفت مطابقت ندارد. اساساً وقتی سینوس یا کسینوس (یا هر دو) در مخرج کسری باشند. ثابت شده است که سینوس و کسینوس را می توان با عبارت دیگری که حاوی مماس نصف زاویه اصلی است جایگزین کرد:

اما توجه داشته باشید که جایگزینی مثلثاتی جهانی اغلب مستلزم تبدیلات جبری نسبتاً پیچیده است، بنابراین بهتر است زمانی که هیچ روش دیگری کار نمی کند از آن استفاده کنید. اجازه دهید مثال هایی را تجزیه و تحلیل کنیم که همراه با جایگزینی مثلثاتی جهانی، از علامت دیفرانسیل و روش ضرایب نامشخص استفاده می شود.

مثال 12.پیدا کردن انتگرال تابع مثلثاتی

.

راه حل. راه حل. ما استفاده خواهیم کرد جایگزینی مثلثاتی جهانی... سپس
.

کسرهای صورت و مخرج را در ضرب می کنیم و آن دو را خارج می کنیم و جلوی علامت انتگرال می گذاریم. سپس

انتگرال توابع مثلثاتی
نمونه هایی از راه حل ها

در این درس انتگرال های توابع مثلثاتی را در نظر می گیریم، یعنی پر شدن انتگرال ها سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها در ترکیب های مختلف خواهد بود. همه نمونه ها با جزئیات، قابل دسترس و قابل درک حتی برای یک قوری تجزیه و تحلیل خواهند شد.

برای مطالعه موفقیت آمیز انتگرال های توابع مثلثاتی، باید در ساده ترین انتگرال ها به خوبی مسلط باشید و همچنین بر برخی از تکنیک های ادغام مسلط باشید. می توانید در سخنرانی ها با این مطالب آشنا شوید انتگرال نامعین. نمونه هایی از راه حل هاو .

و اکنون ما نیاز داریم: جدول انتگرال, جدول مشتقاتو مرجع فرمول مثلثاتی... همه چيز وسایل کمک آموزشیرا می توان در صفحه یافت فرمول ها و جداول ریاضی... من توصیه می کنم همه چیز را چاپ کنید. توجه خاصی را جلب می کنم فرمول های مثلثاتی, آنها باید جلوی چشمان شما باشند- بدون این، بازده کار به طور قابل توجهی کاهش می یابد.

اما ابتدا در مورد کدام انتگرال ها در این مقاله آمده است خیر... هیچ انتگرالی از فرم وجود ندارد کسینوس، سینوس، ضرب در چند جمله ای (کمتر چیزی با مماس یا کتانژانت). این گونه انتگرال ها توسط قطعات ادغام می شوند و برای یادگیری روش به درس Integration by Parts مراجعه کنید. نمونه هایی از راه حل ها همچنین، هیچ انتگرالی با "قوس" وجود ندارد - آرکتانژانت، آرکسین، و غیره، آنها نیز اغلب توسط قطعات یکپارچه می شوند.

هنگام یافتن انتگرال توابع مثلثاتی، از تعدادی روش استفاده می شود:

(4) ما از فرمول جدولی استفاده می کنیم ، تنها تفاوت این است که به جای "x" یک عبارت پیچیده داریم.

مثال 2

مثال 3

پیدا کردن انتگرال نامعین.

کلاسیک این ژانر برای کسانی که در جدول رده بندی غرق می شوند. همانطور که احتمالا متوجه شدید، در جدول انتگرال ها هیچ انتگرالی مماس و کوتانژانت وجود ندارد، اما، با این وجود، چنین انتگرال هایی را می توان یافت.

(1) از فرمول مثلثاتی استفاده می کنیم

(2) تابع را تحت علامت دیفرانسیل قرار می دهیم.

(3) ما از انتگرال جدولی استفاده می کنیم .

مثال 4

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

این یک مثال برای تصمیم مستقل، حل کامل و پاسخ - در پایان درس.

مثال 5

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

درجه ما به تدریج افزایش می یابد =).
راه حل اول:

(1) ما از فرمول استفاده می کنیم

(2) ما از هویت مثلثاتی اولیه استفاده می کنیم ، که از آن نتیجه می شود که .

(3) جمله صورت را بر مخرج تقسیم کنید.

(4) از ویژگی خطی بودن انتگرال نامعین استفاده می کنیم.

(5) با استفاده از جدول ادغام می کنیم.

مثال 6

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

این یک مثال برای یک راه حل مستقل، یک راه حل و پاسخ کامل - در پایان درس است.

انتگرال های مماس و کوتانژانت نیز وجود دارد که در درجات بالاتری قرار دارند. انتگرال مماس در یک مکعب در درس در نظر گرفته شده است چگونه مساحت یک شکل صاف را محاسبه کنم؟انتگرال مماس (کتانژانت) در درجه چهارم و پنجم را می توانید در صفحه پیدا کنید. انتگرال های مختلط.

کاهش درجه انتگرال

این تکنیک زمانی کار می کند که انتگرال ها با سینوس ها و کسینوس ها پر شده باشند زوجدرجه. برای کاهش درجه از فرمول های مثلثاتی استفاده می شود , و علاوه بر این، آخرین فرمول اغلب در جهت مخالف استفاده می شود: .

مثال 7

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

راه حل:

اساساً در اینجا چیز جدیدی وجود ندارد، به جز اینکه ما فرمول را اعمال کردیم (با کاهش درجه انتگرال). لطفا توجه داشته باشید که من راه حل را کوتاه کرده ام. با انباشت تجربه، انتگرال از را می توان به صورت شفاهی یافت، این باعث صرفه جویی در زمان می شود و هنگام اتمام کارها کاملا قابل قبول است. در این مورد، توصیه می شود که قاعده را توصیف نکنید ، ابتدا انتگرال 1 را به صورت شفاهی می گیریم سپس - of را.

مثال 8

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

این یک مثال برای یک راه حل مستقل، یک راه حل و پاسخ کامل - در پایان درس است.

اینها افزایش وعده داده شده در مدرک هستند:

مثال 9

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

اول راه حل بعد نظر بده:

(1) انتگرال را برای اعمال فرمول آماده کنید .

(2) در واقع ما فرمول را اعمال می کنیم.

(3) مخرج را مربع کنید و ثابت را خارج از علامت انتگرال حرکت دهید. یکی می توانست کمی متفاوت عمل کند، اما، به نظر من، این گونه راحت تر است.

(4) ما از فرمول استفاده می کنیم

(5) در ترم سوم، دوباره درجه را پایین می آوریم، اما این بار با استفاده از فرمول .

(6) ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می کنیم (در اینجا من بر اساس تقسیم می کنم و اضافه را انجام داد).

(7) در واقع ما انتگرال، قانون خطی را می گیریم و روش آوردن تابع زیر علامت دیفرانسیل به صورت شفاهی انجام می شود.

(8) شانه زدن پاسخ.

! در یک انتگرال نامعین، اغلب می توان پاسخ را به چندین روش نوشت

در مثالی که اکنون در نظر گرفته شده است، پاسخ نهایی می تواند متفاوت نوشته شود - برای گسترش پرانتزها و حتی انجام این کار حتی قبل از ادغام عبارت، یعنی پایان مثال زیر کاملاً قابل قبول است:

کاملاً ممکن است که این گزینه حتی راحت تر باشد ، من فقط آن را توضیح دادم همانطور که به حل آن عادت داشتم). در اینجا یک مثال معمولی دیگر برای یک راه حل انجام دهید:

مثال 10

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

این مثال را می توان به دو روش حل کرد و ممکن است دریافت کنید دو پاسخ کاملا متفاوت(به طور دقیق تر، آنها کاملاً متفاوت به نظر می رسند و از نظر ریاضی معادل خواهند بود). این احتمال وجود دارد که شما بیشترین را نبینید راه منطقیو با استفاده از فرمول های مثلثاتی دیگر خود را با باز کردن براکت ها عذاب دهید. اکثر راه حل موثردر پایان درس داده شده است.

با جمع بندی پاراگراف، نتیجه می گیریم: هر انتگرال فرم ، کجا و - زوجعدد با روش کاهش درجه انتگرال حل می شود.
من در عمل به انتگرال های 8 و 10 درجه برخورد کرده ام و مجبور شدم با چند بار پایین آوردن درجه، بواسیر وحشتناک آنها را حل کنم که جواب های طولانی مدت را در پی داشت.

روش جایگزینی متغیر

همانطور که در مقاله ذکر شد روش تغییر متغیر در انتگرال نامعینپیش نیاز اصلی برای استفاده از روش جایگزینی، وجود تابع و مشتق آن در انتگرال است:
(کارکردها، نه لزوماً در محصول)

مثال 11

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

ما به جدول مشتقات نگاه می کنیم و به فرمول ها توجه می کنیم، ، یعنی در انتگرال ما یک تابع و مشتق آن وجود دارد. با این حال، می بینیم که در هنگام تمایز، کسینوس و سینوس متقابلاً به یکدیگر تبدیل می شوند و این سؤال مطرح می شود: چگونه متغیر را تغییر دهیم و چه چیزی را با سینوسی یا کسینوس نشان دهیم؟! این سوال را می توان با یک فشار علمی حل کرد: اگر جایگزینی را به اشتباه انجام دهیم، هیچ چیز خوبی از آن حاصل نخواهد شد.

دستورالعمل کلی: در موارد مشابه، باید تابعی را که در مخرج است مشخص کنید.

ما محلول را قطع می کنیم و جایگزینی را انجام می دهیم

در مخرج، همه چیز با ما خوب است، همه چیز فقط به آن بستگی دارد، اکنون باقی مانده است که بفهمیم به چه چیزی تبدیل خواهد شد.
برای انجام این کار، دیفرانسیل را پیدا می کنیم:

یا به طور خلاصه:
از برابری به دست آمده، طبق قاعده تناسب، عبارت مورد نیاز را بیان می کنیم:

بنابراین:

اکنون کل یکپارچه فقط به این بستگی دارد و می توانید راه حل را ادامه دهید

آماده. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که هدف از جایگزینی ساده کردن انتگرال است، در این مورد همه چیز به یکپارچه سازی خلاصه شد. تابع توانمطابق جدول

تصادفی نیست که من این مثال را با این جزئیات نقاشی کردم، این به منظور تکرار و تجمیع مطالب درس انجام می شود. روش تغییر متغیر در انتگرال نامعین.

و اکنون دو مثال برای یک راه حل مستقل:

مثال 12

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

مثال 13

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

راه حل ها و پاسخ ها را در پایان درس کامل کنید.

مثال 14

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

در اینجا دوباره، در انتگرال، یک سینوس با کسینوس (یک تابع با مشتق) وجود دارد، اما قبلاً در محصول وجود دارد، و یک معضل پیش می‌آید - سینوس یا کسینوس چه چیزی را نشان دهیم؟

می توانید جایگزینی را با روش علمی poke انجام دهید، و اگر چیزی درست نشد، آن را برای عملکرد دیگری تعیین کنید، اما وجود دارد:

دستورالعمل کلی: زیرا لازم است عملکردی را تعیین کرد که به معنای واقعی کلمه در "موقعیت ناراحت کننده" است..

ما آن را در این مثالکسینوس دانش آموز از درجه "رنج می کشد" و سینوس آزادانه به خودی خود می نشیند.

بنابراین، ما جایگزین خواهیم کرد:

اگر کسی هنوز با الگوریتم جایگزینی متغیر و یافتن دیفرانسیل مشکل دارد، باید به درس برگردید. روش تغییر متغیر در انتگرال نامعین.

مثال 15

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

ما انتگرال را تجزیه و تحلیل می کنیم، چه چیزی باید نشان داده شود؟
ما نشانه های خود را به یاد می آوریم:
1) تابع به احتمال زیاد در مخرج است.
2) تابع در "موقعیت نامناسب" قرار دارد.

به هر حال، این دستورالعمل ها نه تنها برای توابع مثلثاتی معتبر هستند.

سینوس با هر دو معیار مطابقت دارد (مخصوصاً معیار دوم)، بنابراین جایگزینی پیشنهاد می شود. در اصل ، جایگزینی قبلاً قابل انجام است ، اما در ابتدا خوب است که آن را بفهمیم ، اما با چه باید کرد؟ ابتدا، یک کسینوس را "نیز" می کنیم:

ما برای دیفرانسیل "آینده" خود رزرو می کنیم

و ما از طریق سینوس با استفاده از هویت مثلثاتی اصلی بیان می کنیم:

حالا این جایگزین است:

قانون کلی: اگر در انتگرال یکی از توابع مثلثاتی (سینوس یا کسینوس) در باشد فرددرجه، سپس لازم است یک تابع را از درجه فرد "گزیده" کرد و تابع دیگری را تعیین کرد.ما فقط در مورد انتگرال صحبت می کنیم که کسینوس و سینوس وجود دارد.

در مثال در نظر گرفته شده، ما یک کسینوس به درجه فرد داشتیم، بنابراین یک کسینوس را از درجه جدا کردیم و یک سینوس پشت آن را نشان دادیم.

مثال 16

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

درجه در حال افزایش است =).
این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. راه حل کاملو پاسخ در پایان درس.

جایگزینی مثلثاتی جهانی

جایگزینی مثلثاتی عمومی استفاده متداول از روش جایگزینی متغیر است. می‌توانید زمانی که «نمی‌دانید چه کار کنید» آن را اعمال کنید. اما در واقع دستورالعمل هایی برای کاربرد آن وجود دارد. انتگرال های معمولی که در آنها باید جایگزینی مثلثاتی جهانی را اعمال کنید انتگرال های زیر هستند: , , , و غیره.

مثال 17

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

در این حالت، جایگزینی مثلثاتی جهانی به روش زیر اجرا می شود. جایگزین کنیم:. من از یک حرف استفاده نمی کنم، اما از یک حرف، این نوعی قانون نیست، فقط این است که، دوباره، من خیلی به حل کردن عادت کرده ام.

پیدا کردن تفاوت در اینجا راحت تر است، برای این از برابری، من بیان می کنم:
آرکتانژانت را به هر دو قسمت وصل می کنم:

مماس قوس و مماس یکدیگر را خنثی می کنند:

بدین ترتیب:

در عمل، شما نمی توانید با این جزئیات توضیح دهید، اما به سادگی از نتیجه نهایی استفاده کنید:

! این عبارت فقط در صورتی معتبر است که در زیر سینوس ها و کسینوس ها فقط "x" برای انتگرال داشته باشیم (که بعداً در مورد آن صحبت خواهیم کرد) همه چیز کمی متفاوت خواهد بود!

هنگام جایگزینی سینوس ها و کسینوس ها به کسرهای زیر تبدیل می شویم:
، این برابری ها بر اساس فرمول های مثلثاتی شناخته شده است: ,

بنابراین، طراحی نهایی می تواند به صورت زیر باشد:

بیایید یک جایگزین مثلثاتی جهانی ایجاد کنیم: