cos 2 چیست. روشهای حل معادلات مثلثاتی

در این مقاله به شما نشان خواهیم داد که چگونه تعاریف سینوس ، کسینوس ، مماس و همجنس زاویه و عدد در مثلثات... در اینجا ما در مورد تعیین نام ها صحبت می کنیم ، نمونه هایی از مدخل ها را ارائه می دهیم و تصاویر گرافیکی ارائه می دهیم. در خاتمه ، بیایید موازی بین تعاریف سینوس ، کسینوس ، مماس و همرنگ در مثلثات و هندسه ترسیم کنیم.

ناوبری صفحه

تعریف سینوس ، کسینوس ، مماس و همرنگ

بیایید پی ببریم که چگونه ایده سینوس ، کسینوس ، مماس و هم خط در درس ریاضیات مدرسه شکل می گیرد. در درس های هندسه ، تعریف سینوس ، کسینوس ، مماس و هم خطی زاویه حاد در مثلث زاویه دار داده می شود. و بعداً ، مثلثات مورد مطالعه قرار می گیرد ، که در مورد سینوس ، کسینوس ، مماس و همجنس زاویه چرخش و عدد صحبت می کند. ما همه این تعاریف را ارائه می دهیم ، مثال می زنیم و نظرات لازم را ارائه می دهیم.

زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه

تعاریف سینوس ، کسینوس ، مماس و همزاد زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه از درس هندسه شناخته شده است. آنها به عنوان نسبت اضلاع مثلث زاویه دار داده می شوند. اجازه دهید فرمول های آنها را ارائه دهیم.

تعریف.

سینوس زاویه حاد در مثلث قائم الزاویهآیا نسبت پای مخالف به هیپوتنوز است.

تعریف.

کسینوس زاویه حاد در مثلث قائم الزاویهآیا نسبت پای مجاور به هیپوتنوز است.

تعریف.

مماس حاد در مثلث قائم الزاویه- این نسبت پای مخالف به پای مجاور است.

تعریف.

همزاد حاد در مثلث قائم الزاویهآیا نسبت پای مجاور به پای مخالف است.

نامهای سینوس ، کسینوس ، مماس و همجنس نیز به ترتیب در آنجا معرفی شده اند - sin ، cos ، tg و ctg.

به عنوان مثال ، اگر ABC مثلثی با زاویه راست با زاویه C باشد ، سینوس یک زاویه حاد A برابر است با نسبت پای مقابل BC به هیپوتنوز AB ، یعنی sin∠A = BC / AB به

این تعاریف به شما این امکان را می دهد که مقادیر سینوس ، کسینوس ، مماس و همجنس زاویه حاد را از طول شناخته شده اضلاع مثلث قائم الزاویه و همچنین از مقادیر شناخته شده سینوس محاسبه کنید. کسینوس ، مماس ، همجنس و طول یکی از اضلاع برای یافتن طول طرفهای دیگر. به عنوان مثال ، اگر می دانستیم که در مثلث قائم الزاویه ، پای AC 3 و هیپوتنوز AB 7 است ، می توانیم مقدار کسینوس یک زاویه حاد A را با تعریف محاسبه کنیم: cos∠A = AC / AB = 3/7

زاویه چرخش

در مثلثات ، آنها شروع به بررسی بیشتر زاویه می کنند - آنها مفهوم زاویه چرخش را معرفی می کنند. ارزش زاویه چرخش ، بر خلاف زاویه حاد ، با فریم های 0 تا 90 درجه محدود نمی شود ، زاویه چرخش در درجه (و در رادیان) را می توان با هر عدد واقعی از −∞ تا + بیان کرد .

در این راستا ، تعاریف سینوس ، کسینوس ، مماس و همسطح دیگر یک زاویه حاد نیستند ، بلکه زاویه ای با قدر دلخواه - زاویه چرخش هستند. آنها از طریق مختصات x و y نقطه A 1 داده می شوند ، که به اصطلاح نقطه شروع A (1 ، 0) پس از چرخش آن توسط زاویه α در اطراف نقطه O - منشاء مختصات مستطیلی مستطیل سیستم و مرکز دایره واحد.

تعریف.

سینوس زاویه چرخشα مرتب نقطه A 1 است ، یعنی sinα = y.

تعریف.

کسینوس زاویه چرخشα را آبسیسه نقطه A 1 می نامیم ، یعنی cos α = x.

تعریف.

مماس چرخشα نسبت مرتب نقطه A 1 به آبسیسه آن است ، یعنی tgα = y / x.

تعریف.

دو ضلعی زاویه چرخشα نسبت آبسیسه نقطه A 1 به دستور آن است ، یعنی ctgα = x / y.

سینوس و کسینوس برای هر زاویه α تعریف شده است ، زیرا ما همیشه می توانیم آبسیسه و مرتب یک نقطه را تعیین کنیم ، که با چرخاندن نقطه شروع با زاویه α بدست می آید. و مماس و همجنس برای هر زاویه تعریف نشده است. مماس برای چنین زوایایی α تعریف نشده است ، که در آن نقطه شروع به نقطه ای با آبسیسه صفر (0 ، 1) یا (0 ، −1) می رسد ، و این در زاویه های 90 ° + 180 ° k ، k∈ رخ می دهد. Z (π / 2 + π k rad). در واقع ، در چنین زاویه های چرخشی ، عبارت tanα = y / x منطقی نیست ، زیرا شامل تقسیم بر صفر است. در مورد همجنس ، آن را برای چنین زوایایی α تعریف نمی کند ، که در آن نقطه شروع به نقطه ای با مرتبه صفر (1 ، 0) یا (−1 ، 0) می رسد ، و این امر در مورد زوایای 180 درجه k ، k ∈Z (π k rad است).

بنابراین ، سینوس و کسینوس برای هر زاویه چرخشی ، مماس برای همه زوایا بجز 90 ° + 180 ° k ، k∈Z (π / 2 + π k rad) ، و کنتانژنت برای همه زوایا بجز 180 درجه تعریف شده است. K ، k∈Z (π k rad).

نمادهای sin ، cos ، tg و ctg که قبلاً برای ما شناخته شده است در تعاریف ظاهر می شوند ، آنها همچنین برای نشان دادن سینوس ، کسینوس ، مماس و هم خطی زاویه چرخش استفاده می شوند (گاهی اوقات می توانید نام برنزه و تخت مربوط به مماس و همجنس). بنابراین سینوس زاویه چرخش 30 درجه را می توان به صورت sin30 درجه نوشت ، ورودی های tg (-24 ° 17 ′) و ctgα مربوط به مماس زاویه چرخش degrees24 درجه 17 دقیقه و همزمانی زاویه چرخش α به به یاد داشته باشید که هنگام ضبط اندازه شعاعی زاویه ، نام "rad" اغلب حذف می شود. به عنوان مثال ، کسینوس زاویه چرخش سه pi rad معمولاً با cos3 · π نشان داده می شود.

در خاتمه این پاراگراف ، شایان ذکر است که در مکالمه ای درباره سینوس ، کسینوس ، مماس و همجنس زاویه چرخش ، عبارت "زاویه چرخش" یا کلمه "چرخش" اغلب حذف می شود. یعنی معمولاً به جای عبارت "سینوس زاویه چرخش آلفا" عبارت "سینوس زاویه آلفا" یا حتی کوتاهتر "سینوس آلفا" استفاده می شود. همین امر در مورد کسینوس ، مماس و همجنس نیز صدق می کند.

همچنین ، بگذارید بگوییم که تعاریف سینوس ، کسینوس ، مماس و هم خطی زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه با تعاریفی که از سینوس ، کسینوس ، مماس و هم خطی زاویه چرخش بین 0 تا 90 درجه داده شده است ، مطابقت دارد. ما این را توجیه می کنیم.

شماره

تعریف.

سینوس ، کسینوس ، مماس و همجنس یک عدد t یک عدد برابر با سینوس ، کسینوس ، مماس و هم زاویه چرخش در رادیان t است.

به عنوان مثال ، کسینوس 8 · π ، طبق تعریف ، عددی برابر با کسینوس زاویه 8 · π rad است. و کسینوس زاویه در 8 π برابر راد برابر یک است ، بنابراین کسینوس عدد 8 π 1 است.

روش دیگری برای تعیین سینوس ، کسینوس ، مماس و همجنس یک عدد وجود دارد. این شامل این واقعیت است که هر عدد واقعی t با نقطه ای از دایره واحد در مرکز سیستم مختصات مستطیل شکل همراه است و سینوس ، کسینوس ، مماس و هم خطی از طریق مختصات این نقطه تعیین می شود. بیایید در این مورد با جزئیات بیشتر صحبت کنیم.

بیایید نحوه مطابقت بین اعداد واقعی و نقاط یک دایره را نشان دهیم:

عدد 0 با نقطه شروع A (1 ، 0) مرتبط است ؛
اگر در طول دایره از نقطه شروع در جهت خلاف جهت عقربه های ساعت حرکت کنیم و مسیری به طول t را طی کنیم ، یک عدد مثبت t با نقطه دایره واحد در ارتباط است.
عدد منفیاگر با دایره از نقطه شروع در جهت عقربه های ساعت حرکت کرده و مسیری به طول | t | ...

حال به تعاریف سینوس ، کسینوس ، مماس و همجنس عدد t می پردازیم. فرض کنید که عدد t مربوط به نقطه دایره A 1 (x ، y) است (برای مثال ، عدد π / 2 ؛ مربوط به نقطه A 1 (0 ، 1)).

تعریف.

سینوس یک عدد t مرتب نقطه نقطه واحد مربوط به عدد t نامیده می شود ، یعنی sint = y.

تعریف.

شماره کسینوس t آبسیسه نقطه دایره واحد مربوط به عدد t نامیده می شود ، یعنی هزینه = x.

تعریف.

مماس عدد t نسبت مرتب به آبسیسه نقطه دایره واحد مربوط به عدد t است ، یعنی tgt = y / x. در فرمول معادل دیگر ، مماس عدد t نسبت سینوس این عدد به کسینوس است ، یعنی tgt = sint / cost.

تعریف.

عدد همرنگ t نسبت آبسیسه به مرتب نقطه دایره واحد مربوط به عدد t است ، یعنی ctgt = x / y. فرمول دیگر به شرح زیر است: مماس عدد t نسبت کسینوس عدد t به سینوس شماره t است: ctgt = هزینه / سینت.

در اینجا توجه داشته باشید که تعاریفی که ذکر شد با تعریفی که در ابتدای این پاراگراف داده شده است مطابقت دارد. در واقع ، نقطه دایره واحد مربوط به عدد t همزمان با نقطه بدست آمده از چرخش نقطه شروع با زاویه t رادیان است.

همچنین شایسته است این نکته روشن شود. فرض کنیم گناه داریم 3. چگونه می توان فهمید که سینوس عدد 3 یا سینوس زاویه چرخش 3 رادیان در مورد آن صحبت می کنیم؟ این معمولاً از زمینه مشخص است ، در غیر این صورت به احتمال زیاد بی ربط است.

توابع مثلثاتی آرگومان زاویه ای و عددی

با توجه به تعاریفی که در پاراگراف قبلی ارائه شد ، هر زاویه چرخش α با یک مقدار مشخص سینا و همچنین مقدار cosα مطابقت دارد. علاوه بر این ، همه زوایای چرخش به غیر از 90 ° + 180 ° k ، k∈Z (π / 2 + π k rad) مربوط به مقادیر tanα ، و مقادیر دیگر از 180 ° k ، k∈Z است (π k rad) آیا مقادیر ctgα هستند. بنابراین sinα ، cosα ، tgα و ctgα توابع زاویه α هستند. به عبارت دیگر ، آنها توابع بحث زاویه ای هستند.

به طور مشابه ، می توان در مورد توابع سینوس ، کسینوس ، مماس و همجنس یک بحث عددی صحبت کرد. در واقع ، هر عدد t واقعی دارای مقدار مشخصی است ، همانطور که هزینه آن نیز محاسبه می شود. علاوه بر این ، مقادیر tgt مربوط به همه اعداد غیر از π / 2 + π k ، k∈Z و مقادیر ctgt مربوط به اعداد π k، k∈Z است.

توابع سینوس ، کسینوس ، مماس و همجنس نامیده می شوند توابع اساسی مثلثاتی.

معمولاً از زمینه مشخص می شود که آیا ما با توابع مثلثاتی یک آرگومان زاویه ای سروکار داریم یا یک آرگومان عددی. در غیر این صورت ، می توانیم متغیر مستقل را هم اندازه گیری زاویه (آرگومان زاویه ای) و هم آرگومان عددی در نظر بگیریم.

با این حال ، مدرسه عمدتاً توابع عددی را مطالعه می کند ، یعنی توابع که آرگومان های آنها ، مانند مقادیر مربوط به تابع ، اعداد هستند. بنابراین ، اگر می آیددقیقاً در مورد توابع ، بنابراین توصیه می شود در نظر بگیرید توابع مثلثاتیتوابع آرگومان های عددی

پیوند تعاریف هندسه و مثلثات

اگر زاویه چرخش α را در محدوده 0 تا 90 درجه در نظر بگیریم ، داده ها در زمینه مثلثات برای تعیین سینوس ، کسینوس ، مماس و هم خطی زاویه چرخش کاملاً با تعاریف سینوس ، کسینوس ، مماس و همجنس زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه ، که در درس هندسه آورده شده است. بیایید این را توجیه کنیم.

اجازه دهید دایره واحد را در سیستم مختصات دکارتی مستطیلی Oxy نشان دهیم. بیایید نقطه شروع A (1 ، 0) را مشخص کنیم. بیایید آن را از طریق زاویه α بین 0 تا 90 درجه بچرخانیم ، نقطه A 1 (x ، y) را بدست می آوریم. اجازه دهید عمود A 1 H را از نقطه A 1 به محور Ox بریزیم.

به راحتی می توان دریافت که در مثلث قائم الزاویه زاویه A 1 OH برابر زاویه چرخش α است ، طول ساق پا OH مجاور این زاویه برابر با آبسه قسمت A 1 است ، یعنی | OH | = x ، طول ساق مقابل زاویه ساق A 1 H برابر با دستور نقطه A 1 است ، یعنی | A 1 H | = y ، و طول هیپوتنوز OA 1 برابر است برابر با یک ، زیرا شعاع دایره واحد است. سپس ، با تعریف از هندسه ، سینوس یک زاویه حاد α در یک مثلث راست زاویه A 1 OH برابر است با نسبت پای مقابل به هیپوتنوز ، یعنی sinα = | A 1 H | / | OA 1 | = y / 1 = y و با تعریف مثلثات ، سینوس زاویه چرخش α برابر با دستور نقطه A 1 است ، یعنی sin α = y. از اینجا می توان دریافت که تعیین سینوس یک زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه معادل تعیین سینوس زاویه چرخش α در α از 0 تا 90 درجه است.

به طور مشابه ، می توان نشان داد که تعاریف کسینوس ، مماس و همجنس زاویه حاد α با تعاریف کسینوس ، مماس و هم زاویه زاویه چرخش α موافق است.

کتابشناسی - فهرست کتب.

هندسه. پایه های 7-9: کتاب درسی. برای آموزش عمومی موسسات / [L. S. Atanasyan ، V. F. Butuzov ، S. B. Kadomtsev و دیگران]. - ویرایش 20 M: Education، 2010.- 384 p.: ill. -شابک 978-5-09-023915-8.
A.V. پوگورلوفهندسه: کتاب درسی. برای 7-9 cl. آموزش عمومی. موسسات / A. V. Pogorelov. - ویرایش دوم- M: Education، 2001.- 224 p.: ill. -شابک 5-09-010803-X.
جبر و توابع ابتدایی: آموزشبرای دانش آموزان کلاس نهم دبیرستان / E. S. Kochetkov ، E. S. Kochetkova ؛ ویرایش شده توسط دکتر علوم فیزیکی و ریاضی ON Golovin. - ویرایش چهارم. مسکو: آموزش و پرورش ، 1969.
جبر:کتاب درسی. برای 9 cl چهار شنبه مدرسه / یو N. Makarychev ، N. G. Mindyuk ، K. I. Neshkov ، S. B. Suvorova ؛ اد S. A. Telyakovsky.- M.: Education، 1990.- 272 p.: ill.- ISBN 5-09-002727-7
جبرو آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی. برای 10-11 cl. آموزش عمومی. موسسات / A. N. Kolmogorov ، A. M. Abramov ، Yu. P. Dudnitsyn و دیگران ؛ اد A. N. Kolmogorov. - ویرایش چهاردهم - M.: Education، 2004. - 384 p.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
A. G. Mordkovichجبر و آغاز تجزیه و تحلیل. پایه 10. در 2 ساعت ، قسمت 1: کتاب درسی برای موسسات آموزشی ( سطح نمایه) / A. G. Mordkovich ، P. V. Semenov. - ویرایش چهارم ، افزودن. - M: Mnemosina ، 2007.- 424 ص .: بیمار. شابک 978-5-346-00792-0.
جبرو آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی. پایه دهم: کتاب درسی برای آموزش عمومی موسسات: اساسی و مشخصات سطوح / [یو. M. Kolyagin ، M. V. Tkacheva ، N. E. Fedorova ، M. I. Shabunin] ؛ ویرایش A. B. Zhizhchenko. - ویرایش سوم -I.: Education، 2010.- 368 p: ill.-ISBN 978-5-09-022771-1.
باشماکوف M.I.جبر و آغاز تحلیل: کتاب درسی. برای 10-11 cl. چهار شنبه shk - ویرایش سوم - M: Education، 1993.- 351 p.: ill. -شابک 5-09-004617-4.
گوسف V.A. ، Mordkovich A.G.ریاضیات (راهنمای متقاضیان مدارس فنی): کتاب درسی. کتابچه راهنمای کاربر - M. بالاتر. shk.، 1984.-351 p.، ill.

در ابتدا ، سینوس و کسینوس از نیاز به محاسبه مقادیر در مثلث های زاویه راست بوجود آمد. مشاهده شد که اگر مقدار اندازه گیری درجه زاویه ها در مثلث قائم الزاویه تغییر نکند ، نسبت ابعاد ، مهم نیست که چقدر این ضلع ها در طول تغییر کنند ، همیشه ثابت می ماند.

بدین ترتیب مفاهیم سینوس و کسینوس معرفی شدند. سینوس یک زاویه حاد در یک مثلث قائم نسبت ساق مقابل به هیپوتنوز و کسینوس زاویه مجاور هیپوتنوز است.

قضایای کسینوس و سینوس

اما کسینوس ها و سینوس ها را می توان نه تنها در مثلث های زاویه راست اعمال کرد. برای یافتن ارزش یک زاویه مبهم یا حاد ، ضلع هر مثلث ، کافی است که قضیه کسینوس ها و سینوس ها را اعمال کنیم.

قضیه کسینوس بسیار ساده است: "مربع ضلع یک مثلث برابر است با مجموع مربع های دو ضلع دیگر منهای حاصلضرب دوگانه این ضلع ها با کسینوس زاویه بین آنها."

دو تفسیر از قضیه سینوس وجود دارد: کوچک و گسترده. با توجه به کوچک: "در مثلث ، زاویه ها متناسب با اضلاع مخالف هستند." این قضیه اغلب به دلیل خاصیت دایره ای که در اطراف یک مثلث قرار گرفته است ، گسترش می یابد: "در یک مثلث ، زوایا با اضلاع مخالف متناسب هستند و نسبت آنها برابر قطر دایره محدود است."

مشتقات

مشتق یک ابزار ریاضی است که نشان می دهد یک تابع چقدر سریع نسبت به تغییر در آرگومان خود تغییر می کند. مشتقات در هندسه و در تعدادی از رشته های فنی استفاده می شود.

هنگام حل مسائل ، باید مقادیر جداول مشتقات توابع مثلثاتی را بدانید: سینوس و کسینوس. مشتق سینوس کسینوس است و کسینوس سینوس است ، اما با علامت منفی.

کاربرد در ریاضیات

به ویژه اغلب سینوس ها و کسینوس ها هنگام حل مثلث های راست زاویه و مشکلات مربوط به آنها استفاده می شوند.

راحتی سینوس ها و کسینوس ها در فناوری منعکس می شود. ارزیابی زوایا و اضلاع با استفاده از قضیه های کسینوس و سینوس آسان بود و اشکال و اشیاء پیچیده را به مثلث های "ساده" تقسیم می کرد. مهندسان و غالباً با محاسبات نسبت ابعاد و اندازه گیری درجه ، زمان و تلاش زیادی را برای محاسبه کسینوس و سینوس زوایای غیر جدولی صرف کرده اند.

سپس جداول برادیس ، شامل هزاران مقدار سینوس ، کسینوس ، مماس و همجنس ، به کمک آمد. زوایای مختلف... V زمان شورویبرخی از معلمان صفحات جداول برادیس را از طریق قلب به بخشهای خود تهیه کردند.

رادیان - قدر زاویه ایطول قوس برابر با شعاع یا 57.295779513 درجه درجه است.

درجه (در هندسه) - 1/360 قسمت دایره یا 1/90 قسمت زاویه راست.

π = 3.141592653589793238462 ... (مقدار تقریبی pi).

جدول کسینوس برای زوایا: 0 درجه ، 30 درجه ، 45 درجه ، 60 درجه ، 90 درجه ، 120 درجه ، 135 درجه ، 150 درجه ، 180 درجه ، 210 درجه ، 225 درجه ، 240 درجه ، 270 درجه ، 300 درجه ، 315 درجه ، 330 درجه ، 360 درجه

زاویه x (بر حسب درجه)	0°	30 درجه	45 درجه	60 درجه	90 درجه	120 درجه	135 درجه	150 درجه	180 درجه	210 درجه	225 درجه	240 درجه	270 درجه	300 درجه	315 درجه	330 درجه	360 درجه
زاویه x (به رادیان)	0	π / 6	π / 4	π / 3	π / 2	2 x π / 3	3 x π / 4	5 x π / 6	π	7 x π / 6	5 x π / 4	4 x π / 3	3 x π / 2	5 x π / 3	7 x π / 4	11 x π / 6	2 x π
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

نسبت پای مخالف به هیپوتنوز نامیده می شود زاویه حاد سینوسیراست گوشه.

\ sin \ alpha = \ frac (a) (c)

کسینوس زاویه حاد مثلث قائم الزاویه

نسبت پای نزدیک به هیپوتنوز نامیده می شود کسینوس زاویه حادراست گوشه.

\ cos \ alpha = \ frac (b) (c)

مماس حاد مثلث قائم الزاویه

نسبت پای مخالف به ساق مجاور نامیده می شود مماس زاویه حادراست گوشه.

tg \ alpha = \ frac (a) (b)

همجنس زاویه حاد مثلث قائم الزاویه

نسبت پای مجاور به پای مخالف نامیده می شود هم زاویه حادراست گوشه.

ctg \ alpha = \ frac (b) (a)

سینوس از زاویه دلخواه

مرتب نقطه ای در دایره واحد که زاویه \ alpha با آن مطابقت دارد ، نامیده می شود سینوس زاویه دلخواهچرخش \ alpha.

\ sin \ alpha = y

کسینوس با زاویه دلخواه

آبسیسه نقطه ای از دایره واحد که زاویه \ alpha با آن مطابقت دارد ، نامیده می شود کسینوس زاویه دلخواهچرخش \ alpha.

\ cos \ alpha = x

مماس زاویه دلخواه

نسبت سینوس یک زاویه چرخش دلخواه \ آلفا به کسینوس آن نامیده می شود مماس زاویه دلخواهچرخش \ alpha.

tg \ alpha = y_ (A)

tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha)

همجنس زاویه دلخواه

نسبت کسینوس زاویه چرخش دلخواه \ آلفا به سینوس آن نامیده می شود همزمانی یک زاویه دلخواهچرخش \ alpha.

ctg \ alpha = x_ (A)

ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha)

نمونه ای از یافتن زاویه دلخواه

اگر \ alpha مقداری AOM زاویه ای است ، جایی که M نقطه ای از دایره واحد است ، پس

\ sin \ alpha = y_ (M) ، \ cos \ alpha = x_ (M) ، tg \ alpha = \ frac (y_ (M)) (x_ (M)), ctg \ alpha = \ frac (x_ (M)) (y_ (M)).

به عنوان مثال ، اگر \ angle AOM = - \ frac (\ pi) (4)، سپس: مرتب نقطه M برابر است با - \ frac (\ sqrt (2)) (2)، آبسیسه است \ frac (\ sqrt (2)) (2)و به همین دلیل

\ sin \ left ( - \ frac (\ pi) (4) \ right) = - \ frac (\ sqrt (2)) (2);

\ cos \ left (\ frac (\ pi) (4) \ right) = \ frac (\ sqrt (2)) (2);

tg;

ctg \ چپ ( - \ frac (\ pi) (4) \ راست) = - 1.

جدول مقادیر سینوس های کسینوس از مماس های همرنگ

مقادیر اصلی زوایای مشترک در جدول آورده شده است:

	0 ^ (\ circ) (0)	30 ^ (\ circ) \ left (\ frac (\ pi) (6) \ right)	45 ^ (\ circ) \ left (\ frac (\ pi) (4) \ right)	60 ^ (\ circ) \ left (\ frac (\ pi) (3) \ right)	90 ^ (\ circ) \ left (\ frac (\ pi) (2) \ right)	180 ^ (\ circ) \ left (\ pi \ right)	270 ^ (\ circ) \ left (\ frac (3 \ pi) (2) \ right)	360 ^ (\ circ) \ چپ (2 \ pi \ راست)
\ sin \ alpha	0	\ frac12	\ frac (\ sqrt 2) (2)	\ frac (\ sqrt 3) (2)	1	0	−1	0
\ cos \ alpha	1	\ frac (\ sqrt 3) (2)	\ frac (\ sqrt 2) (2)	\ frac12	0	−1	0	1
tg \ alpha	0	\ frac (\ sqrt 3) (3)	1	\ sqrt3	—	0	—	0
ctg \ alpha	—	\ sqrt3	1	\ frac (\ sqrt 3) (3)	0	—	0	—

روابط بین توابع اصلی مثلثاتی - سینوس ، کسینوس ، مماس و همجنس - تنظیم شده است فرمول های مثلثاتی... و از آنجا که ارتباطات زیادی بین توابع مثلثاتی وجود دارد ، این امر فراوانی فرمول های مثلثاتی را توضیح می دهد. برخی از فرمولها توابع مثلثاتی یک زاویه را متصل می کنند ، برخی دیگر - توابع یک زاویه چندگانه ، برخی دیگر - به شما امکان می دهد درجه را پایین بیاورید ، چهارم - برای بیان همه توابع از طریق مماس نیم زاویه و غیره.

در این مقاله ، ما همه اصلی را لیست می کنیم فرمول های مثلثاتی، که برای حل اکثریت قریب به اتفاق مسائل مثلثاتی کافی است. برای سهولت حفظ و استفاده ، آنها را بر اساس هدف گروه بندی کرده و در جداول وارد می کنیم.

ناوبری صفحه

هویت های مثلثاتی اولیه

هویت های مثلثاتی اولیهرابطه بین سینوس ، کسینوس ، مماس و هم زاویه یک زاویه را تعیین کنید. آنها از تعاریف سینوس ، کسینوس ، مماس و همسطح و همچنین مفهوم دایره واحد پیروی می کنند. آنها به شما امکان می دهند یک تابع مثلثاتی را بر حسب کارکرد دیگر بیان کنید.

برای شرح مفصل این فرمول های مثلثات ، مشتق آنها و نمونه هایی از کاربرد ، مقاله را ببینید.

فرمول های ریخته گری

فرمول های ریخته گریاز خواص سینوس ، کسینوس ، مماس و همجنس پیروی می کند ، یعنی ویژگی دوره ای بودن توابع مثلثاتی ، ویژگی تقارن و همچنین ویژگی تغییر در زاویه معین را منعکس می کند. این فرمول های مثلثاتی به شما این امکان را می دهد که از کار با زوایای دلخواه به زوایای صفر تا 90 درجه برسید.

توجیه این فرمولها ، حکومت یادگاریبرای حفظ آنها و نمونه هایی از استفاده از آنها را می توان در مقاله مطالعه کرد.

فرمول های اضافی

فرمولهای جمع مثلثاتنشان می دهد که چگونه توابع مثلثاتی مجموع یا تفاوت دو زاویه بر حسب توابع مثلثاتی این زوایا بیان می شوند. این فرمول ها به عنوان پایه ای برای به دست آوردن فرمول های مثلثاتی زیر عمل می کنند.

فرمول های دو ، سه و غیره گوشه

فرمول های دو ، سه و غیره زاویه (فرمول های زاویه چندگانه نیز نامیده می شود) نشان می دهد که عملکردهای مثلثاتی دو ، سه و غیره چگونه است. زاویه ها () بر اساس توابع مثلثاتی یک زاویه واحد بیان می شوند. اشتقاق آنها بر اساس فرمولهای افزودنی است.

اطلاعات دقیق تر در مقاله فرمول دو ، سه و غیره جمع آوری شده است. گوشه.

فرمول های نیم زاویه

فرمول های نیم زاویهنشان دهید که چگونه توابع مثلثاتی نیم زاویه بر حسب کسینوس یک زاویه صحیح بیان می شوند. این فرمول های مثلثاتی از فرمول های دو زاویه به دست می آیند.

نتیجه گیری و نمونه های کاربرد آنها را می توان در مقاله یافت.

فرمول های کاهش درجه

فرمول های کاهش درجه مثلثاتیبرای تسهیل گذار از درجات طبیعی توابع مثلثاتی به سینوس ها و کسینوس ها در درجه اول ، اما چند زاویه طراحی شده اند. به عبارت دیگر ، آنها به شما امکان می دهند درجه های توابع مثلثاتی را به اولین درجه کاهش دهید.

فرمول جمع و تفاوت برای توابع مثلثاتی

مقصد اصلی فرمولهای جمع و تفاوت توابع مثلثاتیرفتن به محصول توابع ، که برای ساده سازی عبارات مثلثاتی بسیار مفید است. این فرمول ها نیز به طور گسترده ای برای حل استفاده می شوند معادلات مثلثاتی، زیرا آنها به شما امکان می دهند مجموع و تفاوت سینوس ها و کسینوس ها را تعیین کنید.

فرمولهای حاصل از سینوس ، کسینوس و سینوس توسط کسینوس

انتقال از حاصلضرب توابع مثلثاتی به مجموع یا تفاوت با استفاده از فرمولهای حاصل از سینوس ، کسینوس و سینوس توسط کسینوس انجام می شود.

باشماکوف M.I.جبر و آغاز تحلیل: کتاب درسی. برای 10-11 cl. چهار شنبه shk - ویرایش سوم - M: Education، 1993.- 351 p.: ill. -شابک 5-09-004617-4.

جبرو آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی. برای 10-11 cl. آموزش عمومی. موسسات / A. N. Kolmogorov ، A. M. Abramov ، Yu. P. Dudnitsyn و دیگران ؛ اد A. N. Kolmogorov. - ویرایش چهاردهم - M.: Education، 2004. - 384 p.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.

گوسف V.A. ، Mordkovich A.G.ریاضیات (راهنمای متقاضیان مدارس فنی): کتاب درسی. کتابچه راهنمای کاربر - M. بالاتر. shk.، 1984.-351 p.، ill.

حق چاپ توسط دانش آموزان هوشمند

همه حقوق محفوظ است.
تحت حمایت قانون کپی رایت. هیچ بخشی از سایت www.site ، از جمله مصالح داخلیو طراحی خارجی، نمی تواند به هر شکلی تکثیر شود یا بدون اجازه کتبی قبلی دارنده حق چاپ استفاده شود.

مفاهیم سینوس ، کسینوس ، مماس و همجنس دسته های اصلی مثلثات - شاخه ای از ریاضیات - هستند و با تعریف زاویه پیوند ناگسستنی دارند. داشتن این علم ریاضی به حفظ و درک فرمول ها و قضایا و همچنین تفکر فضایی توسعه یافته نیاز دارد. به همین دلیل است که محاسبات مثلثاتی اغلب برای دانش آموزان و دانش آموزان مشکل ایجاد می کند. برای غلبه بر آنها ، باید در مورد توابع و فرمول های مثلثاتی اطلاعات بیشتری کسب کنید.

مفاهیم در مثلثات

برای درک مفاهیم اساسی مثلثات ، ابتدا باید تعیین کنید که مثلث راست زاویه و زاویه در یک دایره چیست و چرا همه محاسبات اصلی مثلثاتی با آنها مرتبط است. مثلثی که یکی از گوشه های آن 90 درجه باشد مستطیل شکل است. از لحاظ تاریخی ، این چهره اغلب توسط افراد در معماری ، ناوبری ، هنر ، نجوم استفاده می شد. بر این اساس ، با مطالعه و تجزیه و تحلیل خواص این شکل ، مردم به محاسبه نسبت های مربوطه پارامترهای آن رسیدند.

دسته های اصلی مرتبط با مثلث های راست زاویه عبارتند از: هیپوتنوز و پاها. هیپوتنوز طرف مثلث مقابل زاویه راست است. پاها ، به ترتیب ، دو طرف دیگر هستند. مجموع زوایای مثلث ها همیشه 180 درجه است.

مثلثات کروی بخشی از مثلثات است که در مدرسه مورد مطالعه قرار نمی گیرد ، اما دانشمندان در علوم کاربردی مانند نجوم و زمین شناسی از آن استفاده می کنند. ویژگی مثلث در مثلثات کروی این است که همیشه دارای مجموع زوایای بیش از 180 درجه است.

زوایای مثلث

در مثلث قائم الزاویه ، سینوس یک زاویه نسبت ساق پا مخالف زاویه مورد نظر به هیپوتنوز مثلث است. بر این اساس ، کسینوس نسبت پای مجاور و هیپوتنوز است. هر دوی این مقادیر همیشه کمتر از یک هستند ، زیرا هیپوتنوز همیشه بلندتر از پا است.

مماس زاویه مقداری برابر با نسبت پای مخالف به ساقه مجاور زاویه مورد نظر یا سینوس به کسینوس است. Cotangent ، به نوبه خود ، نسبت پای مجاور زاویه مورد نظر به پای مخالف است. همزمانی یک زاویه را نیز می توان با تقسیم یک بر مقدار مماس به دست آورد.

دایره واحد

واحد دایره در هندسه دایره ای است که شعاع آن برابر یک است. چنین دایره ای در یک سیستم مختصات دکارتی ساخته می شود ، در حالی که مرکز دایره با نقطه مبدا منطبق است و موقعیت اولیه بردار شعاع در امتداد جهت مثبت محور X (آبسیسه) تعیین می شود. هر نقطه از دایره دارای دو مختصات است: XX و YY ، یعنی مختصات آبسه و دستورات. با انتخاب هر نقطه ای از دایره در صفحه XX و پایین آمدن عمود از آن به محور آبسه ، یک مثلث راست زاویه ای ایجاد می کنیم که از شعاع به نقطه انتخاب شده (آن را با حرف C نشان می دهد) ، به صورت عمود بر رسم شده به دست می آوریم. به محور X (نقطه تقاطع با حرف G نشان داده می شود) ، و قسمتی از محور آبسیسه بین مبدا (نقطه با حرف A مشخص شده است) و نقطه تقاطع G. مثلث ACG حاصله یک راست است مثلث زاویه دار که در یک دایره نوشته شده است ، جایی که AG هیپوتنوز است و AC و GC پاها هستند. زاویه بین شعاع دایره AC و بخش محور آبسه را با نام AG ، ما به عنوان α (آلفا) تعریف می کنیم. بنابراین ، cos α = AG / AC. با توجه به اینکه AC شعاع دایره واحد است و برابر یک است ، به دست می آید که cos α = AG. به طور مشابه ، sin α = CG.

علاوه بر این ، با دانستن این داده ها ، می توانید مختصات نقطه C روی دایره را تعیین کنید ، زیرا cos α = AG و sin α = CG ، به این معنی که نقطه C دارای مختصات مشخص شده است (cos α ؛ sin α). با دانستن اینکه مماس برابر با نسبت سینوس به کسینوس است ، می توانیم تعیین کنیم که tg α = y / x و ctg α = x / y. با در نظر گرفتن زوایای موجود در یک سیستم مختصات منفی ، می توانید محاسبه کنید که مقادیر سینوس و کسینوس برخی از زوایا ممکن است منفی باشد.

محاسبات و فرمول های اساسی

مقادیر توابع مثلثاتی

با در نظر گرفتن ماهیت توابع مثلثاتی از طریق واحد واحد ، می توانید مقادیر این توابع را برای برخی زوایا بدست آورید. مقادیر در جدول زیر ذکر شده است.

ساده ترین هویت های مثلثاتی

معادلاتی که در آنها ، تحت علامت تابع مثلثاتی ، وجود دارد مقدار نامعلوممثلثاتی نامیده می شوند. هویت با مقدار sin x = α ، k هر عدد صحیح است:

sin x = 0 ، x = πk.
2.sin x = 1 ، x = π / 2 + 2πk.
sin x = -1 ، x = -π / 2 + 2πk.
sin x = a، | a | > 1 ، بدون راه حل
sin x = a، | a | ≦ 1 ، x = (-1) ^ k * arcsin α + πk

هویت با مقدار cos x = a ، که در آن k هر عدد صحیح است:

cos x = 0 ، x = π / 2 + πk.
cos x = 1 ، x = 2πk.
cos x = -1 ، x = π + 2πk.
cos x = a، | a | > 1 ، بدون راه حل
cos x = a، | a | ≦ 1 ، x = ± arccos α + 2πk.

هویت هایی با مقدار tg x = a ، جایی که k هر عدد صحیح است:

tg x = 0 ، x = π / 2 + πk.
tg x = a ، x = arctan α + πk.

هویت هایی با مقدار ctg x = a ، جایی که k هر عدد صحیح است:

ctg x = 0 ، x = π / 2 + πk.
ctg x = a ، x = arcctg α + πk.

فرمول های ریخته گری

این دسته از فرمول های ثابت روش هایی را نشان می دهد که به وسیله آنها می توانید از توابع مثلثاتی فرم به توابع استدلال برسید ، یعنی سینوس ، کسینوس ، مماس و هم زاویه هر زاویه ای را به شاخص های مربوطه زاویه فاصله 0 تا 90 درجه برای راحتی بیشتر محاسبات.

فرمولهای تبدیل توابع سینوس زاویه به این شکل است:

گناه (900 - α) = α ؛
sin (900 + α) = cos α ؛
گناه (1800 - α) = گناه α ؛
گناه (1800 + α) = -sin α ؛
گناه (2700 - α) = -cos α ؛
گناه (2700 + α) = -cos α ؛
گناه (3600 - α) = -sin α ؛
sin (3600 + α) = sin α.

برای کسینوس یک زاویه:

cos (900 - α) = sin α؛
cos (900 + α) = -sin α ؛
cos (1800 - α) = -cos α ؛
cos (1800 + α) = -cs α ؛
cos (2700 - α) = -sin α ؛
cos (2700 + α) = sin α؛
cos (3600 - α) = cos α ؛
cos (3600 + α) = cos α.

استفاده از فرمول های فوق با توجه به دو قانون امکان پذیر است. اول ، اگر زاویه را می توان به عنوان یک مقدار (π / 2 ± a) یا (3π / 2 ± a) نشان داد ، مقدار تابع تغییر می کند:

از گناه به cos ؛
از cos تا گناه ؛
از tg به ctg ؛
از ctg به tg

اگر زاویه را می توان به صورت (π ± a) یا (2π ± a) نشان داد ، مقدار تابع بدون تغییر باقی می ماند.

ثانیاً ، علامت کاهش عملکرد تغییر نمی کند: اگر در ابتدا مثبت بود ، همچنان باقی می ماند. همینطور در مورد توابع منفی.

فرمول های اضافی

این فرمولها بیانگر ارزشهای سینوس ، کسینوس ، مماس و همجنس مجموع و تفاوت دو زاویه چرخش بر حسب توابع مثلثاتی آنهاست. زاویه ها معمولاً α و β نامیده می شوند.

فرمول ها به این شکل هستند:

sin (α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
cos (α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
tan (α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
ctg (α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

این فرمول ها برای هر مقداری از زوایای α و β معتبر هستند.

فرمول های زاویه ای دو و سه گانه

فرمول های مثلثاتی دو زاویه ای و سه گانه فرمول هایی هستند که به ترتیب توابع زاویه 2α و 3α را به توابع مثلثاتی زاویه α مربوط می کنند. برگرفته از فرمول های اضافی:

sin2α = 2sinα * cosα.
cos2α = 1 - 2sin ^ 2 α.
tg2α = 2tgα / (1 - tg ^ 2 α).
sin3α = 3sinα - 4sin ^ 3 α.
cos3α = 4cos ^ 3 α - 3cosα.
tg3α = (3tgα - tan ^ 3 α) / (1 -tan ^ 2 α).

گذار از جمع به محصول

با در نظر گرفتن اینکه 2sinx * cozy = sin (x + y) + sin (x -y) ، با ساده سازی این فرمول ، هویت sinα + sinβ = 2sin (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2 را بدست می آوریم. به طور مشابه ، sinα - sinβ = 2sin (α - β) / 2 * cos (α + β) / 2 ؛ cosα + cosβ = 2cos (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2 ؛ cosα - cosβ = 2sin (α + β) / 2 * sin (α - β) / 2 ؛ tgα + tgβ = sin (α + β) / cosα * cosβ ؛ tgα - tgβ = sin (α - β) / cosα * cosβ؛ cosα + sinα = in2sin (π / 4 ∓ α) = √2cos (π / 4 ± α).

حرکت از محل کار به جمع

این فرمولها از هویت انتقال مجموع به محصول ناشی می شوند:

sinα * sinβ = 1/2 *؛
cosα * cosβ = 1/2 *؛
sinα * cosβ = 1/2 *.

فرمول های کاهش درجه

در این هویت ها ، درجه های مربع و مکعب سینوس و کسینوس را می توان بر حسب سینوس و کسینوس درجه اول زاویه چندگانه بیان کرد:

sin ^ 2 α = (1 - cos2α) / 2 ؛
cos ^ 2 α = (1 + cos2α) / 2 ؛
sin ^ 3 α = (3 * sinα - sin3α) / 4 ؛
cos ^ 3 α = (3 * cosα + cos3α) / 4 ؛
sin ^ 4 α = (3 - 4cos2α + cos4α) / 8 ؛
cos ^ 4 α = (3 + 4cos2α + cos4α) / 8.

جایگزینی جهانی

فرمولهای جایگزینی مثلثاتی جهانی توابع مثلثاتی را بر حسب مماس نیم زاویه بیان می کنند.

sin x = (2tgx / 2) * (1 + tan ^ 2 x / 2) ، در حالی که x = π + 2πn ؛
cos x = (1 - tan ^ 2 x / 2) / (1 + tan ^ 2 x / 2) ، جایی که x = π + 2πn ؛
tan x = (2tgx / 2) / (1 - tan ^ 2 x / 2) ، جایی که x = π + 2πn ؛
ctg x = (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2) ، در حالی که x = π + 2πn.

موارد خاص

موارد خاص ساده ترین معادلات مثلثاتی در زیر آورده شده است (k هر عدد صحیح است).

خصوصی برای سینوس:

گناه x ارزش	مقدار X
0	πk
1	π / 2 + 2πk
-1	-π / 2 + 2πk
1/2	π / 6 + 2πk یا 5π / 6 + 2πk
-1/2	-π / 6 + 2πk یا -5π / 6 + 2πk
√2/2	π / 4 + 2πk یا 3π / 4 + 2πk
-√2/2	-π / 4 + 2πk یا -3π / 4 + 2πk
√3/2	π / 3 + 2πk یا 2π / 3 + 2πk
-√3/2	-π / 3 + 2πk یا -2π / 3 + 2πk

ضرایب کسینوس عبارتند از:

مقدار x x	مقدار X
0	π / 2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	± π / 3 + 2πk
-1/2	π 2π / 3 + 2πk
√2/2	± π / 4 + 2πk
-√2/2	π 3π / 4 + 2πk
√3/2	± π / 6 + 2πk
-√3/2	π 5π / 6 + 2πk

خصوصی برای مماس:

مقدار Tg x	مقدار X
0	πk
1	π / 4 + πk
-1	-π / 4 + πk
√3/3	π / 6 + πk
-√3/3	-π / 6 + πk
√3	π / 3 + πk
-√3	-π / 3 + πk

خصوصی برای همزاد:

مقدار Ctg x	مقدار X
0	π / 2 + πk
1	π / 4 + πk
-1	-π / 4 + πk
√3	π / 6 + πk
-√3	-π / 3 + πk
√3/3	π / 3 + πk
-√3/3	-π / 3 + πk

قضایا

قضیه سینوسی

دو نسخه از قضیه وجود دارد - ساده و گسترده. قضیه ساده سینوس ها: a / sin α = b / sin β = c / sin γ. در این حالت ، a ، b ، c اضلاع مثلث و α ، β ، γ به ترتیب زاویه مخالف هستند.

قضیه سینوسی گسترده برای مثلث دلخواه: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R. در این هویت ، R نشان دهنده شعاع دایره ای است که مثلث داده شده در آن درج شده است.

قضیه کسینوس

هویت به صورت زیر نمایش داده می شود: a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * b * c * cos α. در فرمول ، a ، b ، c اضلاع مثلث و α زاویه مقابل ضلع a است.

قضیه مماس

فرمول رابطه بین مماس های دو زاویه و طول اضلاع مقابل آنها را بیان می کند. اضلاع به صورت a ، b ، c نشان داده شده و زوایای متقابل مربوطه α ، β ، γ هستند. فرمول قضیه مماس این است: (a - b) / (a + b) = tan ((α - β) / 2) / tan ((α + β) / 2).

قضیه کاتانژانت

شعاع دایره ای که در مثلث نوشته شده است را با طول اضلاع آن متصل می کند. اگر a ، b ، c اضلاع مثلث باشند ، و A ، B ، C ، به ترتیب ، زاویه مخالف باشند ، r شعاع دایره ثبت شده است و p نیم محیط مثلث است ، هویت های زیر معتبر هستند:

ctg A / 2 = (p-a) / r ؛
ctg B / 2 = (p-b) / r ؛
ctg C / 2 = (p-c) / r.

برنامه کاربردی

مثلثات تنها یک علم نظری مربوط به فرمول های ریاضی نیست. خواص ، قضایا و قوانین آن در عمل توسط شاخه های مختلف فعالیت های بشری مورد استفاده قرار می گیرد - نجوم ، ناوبری هوا و دریا ، نظریه موسیقی ، زمین شناسی ، شیمی ، آکوستیک ، اپتیک ، الکترونیک ، معماری ، اقتصاد ، مهندسی مکانیک ، اندازه گیری کار ، گرافیک رایانه ای ، نقشه برداری ، اقیانوس شناسی و بسیاری دیگر.

سینوس ، کسینوس ، مماس و همرنگ مفاهیم اساسی مثلثات هستند که با کمک آنها می توانید رابطه بین زوایا و طول اضلاع یک مثلث را به صورت ریاضی بیان کرده و از طریق هویت ها ، قضایا و قوانین ، مقادیر مورد نیاز را بیابید.