انواع معادلات مثلثاتی. معادلات مثلثاتی راهنمای جامع (2019)

زیاد مشکلات ریاضی به خصوص آنهایی که قبل از درجه 10 رخ می دهند، ترتیب اقدامات انجام شده که منجر به هدف می شود به وضوح مشخص شده است. این وظایف شامل، به عنوان مثال، خطی و معادلات درجه دوم، نابرابری های خطی و مربعی، معادلات کسریو معادلاتی که به درجه دوم تقلیل می یابند. اصل حل موفقیت آمیز هر یک از وظایف ذکر شده به شرح زیر است: باید مشخص شود که چه نوع مشکلی باید حل شود، دنباله ای از اقدامات لازم را که منجر به نتیجه مطلوب می شود، به خاطر بسپارید. پاسخ دهید و این مراحل را دنبال کنید.

بدیهی است که موفقیت یا شکست در حل یک مسئله خاص عمدتاً به این بستگی دارد که نوع معادله حل شده به درستی تعیین شود، دنباله تمام مراحل حل آن چقدر درست بازتولید شود. البته در این مورد باید مهارت اجرا داشته باشید تحولات یکسانو محاسبات

وضعیت با معادلات مثلثاتیاثبات این واقعیت که معادله مثلثاتی است اصلاً دشوار نیست. در تعیین توالی اقداماتی که منجر به پاسخ صحیح می شود، مشکلاتی به وجود می آید.

توسط ظاهرتعیین نوع معادله گاهی اوقات دشوار است. و بدون دانستن نوع معادله، تقریباً غیرممکن است که از بین چندین ده فرمول مثلثاتی، مورد دلخواه را انتخاب کنید.

برای حل معادله مثلثاتی باید سعی کنید:

1. تمام توابع موجود در معادله را به "زوایای مساوی" بیاورید.
2. برای آوردن معادله به "توابع یکسان"؛
3. سمت چپ معادله و غیره را فاکتور کنید.

در نظر گرفتن روش های اصلی راه حل معادلات مثلثاتی.

I. تقلیل به ساده ترین معادلات مثلثاتی

طرح راه حل

مرحله 1.یک تابع مثلثاتی را بر حسب مولفه های شناخته شده بیان کنید.

گام 2.آرگومان یک تابع را با فرمول های زیر بیابید:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn، n ЄZ.

گناه x = a; x = (-1) n arcsin a + πn، n Є Z.

tg x = a; x = آرکتان a + πn، n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn، n Є Z.

مرحله 3.متغیر ناشناخته را پیدا کنید

مثال.

2 cos (3x - π / 4) = -√2.

راه حل.

1) cos (3x - π / 4) = -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn، n Є Z;

3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn، n Є Z.

3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn، n Є Z;

x = ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3، n Є Z;

x = ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3، n Є Z.

پاسخ: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3، n Є Z.

II. جایگزینی متغیر

طرح راه حل

مرحله 1.معادله را با توجه به یکی از آنها به شکل جبری کاهش دهید توابع مثلثاتی.

گام 2.تابع به دست آمده را با متغیر t مشخص کنید (در صورت لزوم محدودیت هایی را برای t وارد کنید).

مرحله 3.معادله جبری حاصل را بنویسید و حل کنید.

مرحله 4.یک جایگزین معکوس انجام دهید.

مرحله 5.ساده ترین معادله مثلثاتی را حل کنید.

مثال.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.

راه حل.

1) 2 (1 - sin 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) بگذارید sin (x / 2) = t، جایی که | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 یا e = -3/2، شرط را برآورده نمی کند | t | ≤ 1.

4) گناه (x/2) = 1.

5) x / 2 = π / 2 + 2πn، n Є Z;

x = π + 4πn، n Є Z.

پاسخ: x = π + 4πn، n Є Z.

III. روش کاهش ترتیب معادله

طرح راه حل

مرحله 1.معادله داده شده را با یک معادله خطی جایگزین کنید، با استفاده از فرمول های کاهش درجه برای این:

sin 2 x = 1/2 (1 - cos 2x)؛

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x)؛

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

گام 2.معادله به دست آمده را با استفاده از روش های I و II حل کنید.

مثال.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

راه حل.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ± π / 3 + 2πn، n Є Z;

x = ± π / 6 + πn، n Є Z.

پاسخ: x = ± π / 6 + πn، n Є Z.

IV. معادلات همگن

طرح راه حل

مرحله 1.این معادله را به شکل بیاورید

الف) a sin x + b cos x = 0 (معادله همگن درجه اول)

یا به ذهن

ب) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (معادله همگن درجه دوم).

گام 2.دو طرف معادله را تقسیم بر

الف) cos x ≠ 0;

ب) cos 2 x ≠ 0;

و معادله tg x را بدست آورید:

الف) a tg x + b = 0;

ب) a tg 2 x + b آرکتان x + c = 0.

مرحله 3.معادله را با استفاده از روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

راه حل.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x = 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) بگذارید tg x = t، سپس

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 یا t = -4، بنابراین

tg x = 1 یا tg x = -4.

از معادله اول x = π / 4 + πn، n Є Z; از معادله دوم x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

پاسخ: x = π / 4 + πn، n Є Z; x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

V. روش تبدیل یک معادله با استفاده از فرمول های مثلثاتی

طرح راه حل

مرحله 1.با استفاده از انواع فرمول های مثلثاتی، این معادله را به معادله حل شده با روش های I، II، III، IV برسانید.

گام 2.معادله به دست آمده را با روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

راه حل.

1) (سین x + گناه 3x) + گناه 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 یا 2cos x + 1 = 0;

از معادله اول 2x = π / 2 + πn، n Є Z; از معادله دوم cos x = -1/2.

ما x = π / 4 + πn / 2، n Є Z داریم. از معادله دوم x = ± (π - π / 3) + 2πk، k Є Z.

در نتیجه، x = π / 4 + πn / 2، n Є Z. x = ± 2π / 3 + 2πk، k Є Z.

پاسخ: x = π / 4 + πn / 2، n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk، k Є Z.

توانایی حل معادلات مثلثاتی بسیار است مهم است، توسعه آنها نیازمند تلاش های قابل توجهی است، هم از طرف دانش آموز و هم از طرف معلم.

بسیاری از مسائل استریومتری، فیزیک و غیره با حل معادلات مثلثاتی مرتبط است.فرآیند حل چنین مسائلی، همانطور که گفته شد، حاوی دانش و مهارت های بسیاری است که در هنگام مطالعه عناصر مثلثات به دست می آید.

معادلات مثلثاتی جایگاه مهمی در فرآیند آموزش ریاضیات و به طور کلی رشد شخصیت دارند.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی -.
درس اول رایگان است

سایت وبلاگ، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک منبع الزامی است.

نیاز به دانش فرمول های اساسی مثلثات - مجموع مربع های سینوس و کسینوس، بیان مماس از طریق سینوس و کسینوس، و دیگران است. برای کسانی که آنها را فراموش کرده اند یا نمی دانند، خواندن مقاله "" را توصیه می کنیم.
بنابراین، ما فرمول های مثلثاتی اساسی را می دانیم، وقت آن است که از آنها در عمل استفاده کنیم. حل معادلات مثلثاتیبا رویکرد درست، این یک فعالیت بسیار هیجان انگیز است، مثلاً حل مکعب روبیک.

بر اساس نام خود مشخص می شود که معادله مثلثاتی معادله ای است که مجهول در آن تحت علامت تابع مثلثاتی قرار دارد.
به اصطلاح ساده ترین معادلات مثلثاتی وجود دارد. آنها اینگونه به نظر می رسند: sinx = a، cos x = a، tg x = a. در نظر گرفتن چگونه می توان چنین معادلات مثلثاتی را حل کرد، برای وضوح، از دایره مثلثاتی آشنا استفاده خواهیم کرد.

sinx = a

cos x = a

tg x = a

تخت x = a

هر معادله مثلثاتی در دو مرحله حل می شود: معادله را به ساده ترین شکل می آوریم و سپس آن را به عنوان ساده ترین معادله مثلثاتی حل می کنیم.
7 روش اصلی برای حل معادلات مثلثاتی وجود دارد.

1. جایگزینی متغیر و روش جایگزینی

حل معادله 2cos 2 (x + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 = 0

با استفاده از فرمول های کاهش، به دست می آوریم:

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 = 0

برای سادگی cos (x + / 6) را با y جایگزین کنید و معادله درجه دوم معمول را بدست آورید:

2 سال 2 - 3 سال + 1 + 0

که ریشه های آن y 1 = 1، y 2 = 1/2

حالا به ترتیب معکوس برویم

مقادیر y یافت شده را جایگزین می کنیم و دو پاسخ می گیریم:

2. حل معادلات مثلثاتی از طریق فاکتورسازی

چگونه معادله sin x + cos x = 1 را حل کنیم؟

همه چیز را به سمت چپ حرکت دهید تا 0 در سمت راست باقی بماند:

sin x + cos x - 1 = 0

بیایید از هویت های بالا برای ساده کردن معادله استفاده کنیم:

sin x - 2 sin 2 (x / 2) = 0

ما فاکتورسازی را انجام می دهیم:

2 sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) = 0

2سین (x/2) * = 0

دو معادله بدست می آوریم

3. کاهش به یک معادله همگن

یک معادله از نظر سینوس و کسینوس همگن است در صورتی که تمام عبارات آن نسبت به سینوس و کسینوس همان توان یک زاویه باشند. برای حل یک معادله همگن به صورت زیر عمل کنید:

الف) تمام اعضای خود را به سمت چپ منتقل کنید.

ب) همه عوامل مشترک را از پرانتز خارج کنید.

ج) همه عوامل و براکت ها را با 0 برابر کنید.

د) یک معادله همگن با درجه کمتر در پرانتز به دست می آید، به نوبه خود به سینوس یا کسینوس در بالاترین درجه تقسیم می شود.

ه) معادله حاصل را برای tg حل کنید.

حل معادله 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

بیایید از فرمول sin 2 x + cos 2 x = 1 استفاده کنیم و از شر دو باز سمت راست خلاص شویم:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

تقسیم بر cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tg x را با y جایگزین کنید و یک معادله درجه دوم بدست آورید:

y 2 + 4y + 3 = 0، که ریشه های آن y 1 = 1، y 2 = 3

از اینجا دو راه حل برای معادله اصلی پیدا می کنیم:

x 2 = آرکتان 3 + k

4. حل معادلات با رفتن به نیم زاویه

معادله 3sin x - 5cos x = 7 را حل کنید

حرکت به سمت x / 2:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) = 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

همه چیز را به سمت چپ حرکت دهید:

2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) = 0

تقسیم بر cos (x/2):

tg 2 (x / 2) - 3tg (x / 2) + 6 = 0

5. یک زاویه کمکی معرفی کنید

برای در نظر گرفتن، معادله ای به شکل: a sin x + b cos x = c،

که در آن a، b، c برخی از ضرایب دلخواه هستند و x ناشناخته است.

دو طرف معادله را به زیر تقسیم کنید:



حال ضرایب معادله با توجه به فرمول های مثلثاتیدارای خصوصیات sin و cos هستند، یعنی: مدول آنها بیشتر از 1 نیست و مجموع مربع ها = 1 است. بیایید آنها را به ترتیب به عنوان cos و sin نشان دهیم، جایی که - این به اصطلاح زاویه کمکی است. سپس معادله به شکل زیر در می آید:

cos * sin x + sin * cos x = С

یا گناه (x +) = C

راه حل این ساده ترین معادله مثلثاتی است

x = (-1) k * arcsin С - + k، که در آن



توجه داشته باشید که cos و sin به جای یکدیگر استفاده می شوند.

معادله sin 3x - cos 3x = 1 را حل کنید

در این معادله ضرایب عبارتند از:

a =، b = -1، بنابراین هر دو طرف را بر 2 تقسیم می کنیم

درس کاربرد پیچیده دانش.

اهداف درس

1. در نظر گرفتن روش های مختلفحل معادلات مثلثاتی
2. پرورش خلاقیت دانش آموزان با حل معادلات.
3. تشویق دانش آموزان به خودکنترلی، کنترل متقابل، درون نگری در فعالیت های آموزشی.

تجهیزات: صفحه نمایش، پروژکتور، مواد مرجع.

در طول کلاس ها

گفتگوی مقدماتی

روش اصلی برای حل معادلات مثلثاتی کاهش آنها به ساده ترین است. در این مورد، از روش های معمول استفاده می شود، به عنوان مثال، فاکتورسازی، و همچنین تکنیک هایی که فقط برای حل معادلات مثلثاتی استفاده می شود. تعداد کمی از این تکنیک ها وجود دارد، به عنوان مثال، جانشینی های مختلف مثلثاتی، تبدیل زوایا، تبدیل توابع مثلثاتی. استفاده بی رویه از هر تبدیل مثلثاتی معمولاً معادله را ساده نمی کند، اما به طرز فاجعه باری آن را پیچیده می کند. برای کار کردن به طور کلی طرحی برای حل معادله، برای ترسیم روش کاهش معادله به ساده ترین، ابتدا باید زوایا را تجزیه و تحلیل کنید - آرگومان های توابع مثلثاتی موجود در معادله.

امروز در مورد روش های حل معادلات مثلثاتی صحبت خواهیم کرد. یک روش به درستی انتخاب شده اغلب ساده کردن قابل توجه راه حل را امکان پذیر می کند، بنابراین، تمام روش هایی که مطالعه کرده ایم باید همیشه در منطقه مورد توجه ما باشد تا معادلات مثلثاتی را با مناسب ترین روش حل کنیم.

II. (با استفاده از پروژکتور روش های حل معادلات را تکرار می کنیم.)

1. روش تقلیل معادله مثلثاتی به جبری.

لازم است همه توابع مثلثاتی را بر حسب یک و با همان آرگومان بیان کنیم. این را می توان با استفاده از هویت مثلثاتی اولیه و پیامدهای آن انجام داد. بیایید معادله ای با یک تابع مثلثاتی بدست آوریم. با در نظر گرفتن آن به عنوان یک مجهول جدید، یک معادله جبری به دست می آوریم. ما ریشه های آن را پیدا می کنیم و با حل ساده ترین معادلات مثلثاتی به مجهول قدیمی باز می گردیم.

2. روش فاکتورسازی.

برای تغییر زوایا، فرمول های تبدیل، مجموع و تفاضل آرگومان ها و همچنین فرمول های تبدیل مجموع (تفاوت) توابع مثلثاتی به حاصلضرب و بالعکس اغلب مفید هستند.

sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x

3. روش معرفی یک زاویه اضافی.

4. روش استفاده از جایگزینی جهانی.

معادلات شکل F (sinx، cosx، tgx) = 0 با استفاده از جایگزینی مثلثاتی جهانی به جبری تقلیل می‌یابند.

با بیان سینوس، کسینوس و مماس بر حسب مماس نیم زاویه. این ترفند می تواند به یک معادله مرتبه بالاتر منجر شود. که راه حل آن دشوار است.

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط‌مشی رازداری ایجاد کرده‌ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را توضیح می‌دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هرگونه سوال با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اطلاق می شود که می توان از آنها برای شناسایی یک فرد خاص یا تماس با او استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• وقتی درخواستی را در سایت می گذارید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما را جمع آوری کنیم پست الکترونیکو غیره.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما اجازه می دهد با شما تماس بگیریم و گزارش دهیم پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و پیام‌های مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود استفاده کنیم.
• اگر در قرعه‌کشی جوایز، مسابقه یا رویداد تبلیغاتی مشابه شرکت می‌کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای مدیریت آن برنامه‌ها استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، حکم دادگاه، در مراحل دادرسی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای امنیت، اجرای قانون یا سایر دلایل مهم اجتماعی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث مناسب - جانشین قانونی انتقال دهیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

به حریم خصوصی خود در سطح شرکت احترام بگذارید

به منظور اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، قوانین محرمانه و امنیتی را برای کارمندان خود آورده و بر اجرای اقدامات محرمانه به شدت نظارت می کنیم.

معادلات مثلثاتی ساده ترین موضوع نیستند. به طور دردناکی، آنها متنوع هستند.) به عنوان مثال، مانند:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

و غیره...

اما این هیولاهای مثلثاتی (و بقیه) دو ویژگی مشترک و اجباری دارند. اول - باور نمی کنید - توابع مثلثاتی در معادلات وجود دارد. دوم: تمام عبارات با x پیدا می شوند. داخل همین توابعو فقط آنجا! اگر x در هر جایی ظاهر شود خارج از،مثلا، sin2x + 3x = 3،این قبلاً یک معادله از نوع مختلط خواهد بود. چنین معادلاتی نیاز به رویکرد فردی دارد. ما آنها را در اینجا در نظر نخواهیم گرفت.

معادلات شیطانی را هم در این درس حل نمی کنیم.) در اینجا به آن می پردازیم ساده ترین معادلات مثلثاتیچرا؟ بله، زیرا راه حل هرمعادلات مثلثاتی دو مرحله دارند. در مرحله اول، معادله شر با دگرگونی های مختلف به یک معادله ساده کاهش می یابد. در دوم، این ساده ترین معادله حل می شود. راه دیگری نیست.

بنابراین، اگر در مرحله دوم مشکل دارید، مرحله اول چندان منطقی نیست.)

معادلات مثلثاتی ابتدایی چگونه هستند؟

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

اینجا آ نشان دهنده هر عددی است هر کسی.

به هر حال، در داخل تابع ممکن است یک x خالص وجود نداشته باشد، اما نوعی عبارت، مانند:

cos (3x + π / 3) = 1/2

و غیره. این زندگی را پیچیده می کند، اما روش حل معادله مثلثاتی را تحت تأثیر قرار نمی دهد.

چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنیم؟

معادلات مثلثاتی را می توان به دو روش حل کرد. راه اول: با استفاده از منطق و دایره مثلثاتی. در اینجا این مسیر را در نظر خواهیم گرفت. راه دوم - استفاده از حافظه و فرمول - در درس بعدی مورد بحث قرار خواهد گرفت.

راه اول واضح، قابل اعتماد و به سختی فراموش می شود.) برای حل معادلات مثلثاتی، نابرابری ها و انواع مشکل خوب است. نمونه های غیر استاندارد... منطق قوی تر از حافظه است!)

حل معادلات با استفاده از دایره مثلثاتی

ما شامل منطق ابتدایی و توانایی استفاده از دایره مثلثاتی هستیم. نمیدونی چطوری!؟ با این حال ... در مثلثات برای شما سخت است ...) اما مهم نیست. نگاهی به دروس "دایره مثلثاتی ...... چیست؟" و «شمارش زوایا روی دایره مثلثاتی». آنجا همه چیز ساده است. بر خلاف آموزش...)

اوه میدونی!؟ و حتی در "کار عملی با دایره مثلثاتی" تسلط یافت!؟ تبریک می گویم. این موضوع برای شما نزدیک و قابل درک خواهد بود.) آنچه که به خصوص خوشایند است، دایره مثلثاتی اهمیتی نمی دهد که کدام معادله را حل کنید. سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت - همه چیز برای او یکی است. تنها یک اصل راه حل وجود دارد.

بنابراین هر معادله مثلثاتی ابتدایی را در نظر می گیریم. حداقل این:

cosx = 0.5

ما باید X را پیدا کنیم. از نظر انسانی، شما نیاز دارید زاویه (x) را پیدا کنید که کسینوس آن 0.5 است.

چگونه قبلا از دایره استفاده می کردیم؟ گوشه ای روی آن کشیدیم. بر حسب درجه یا رادیان. و بلافاصله مشاهده گردید توابع مثلثاتی این زاویه حالا برعکس عمل کنیم. بیایید یک کسینوس مساوی 0.5 روی دایره و بلافاصله رسم کنیم دیدن تزریق. تنها چیزی که باقی می ماند نوشتن پاسخ است.) بله، بله!

دایره ای رسم کنید و کسینوس 0.5 را علامت بزنید. البته در محور کسینوس. مثل این:

حالا بیایید زاویه ای را که این کسینوس به ما می دهد ترسیم کنیم. نشانگر ماوس را روی نقاشی حرکت دهید (یا روی تصویر روی رایانه لوحی ضربه بزنید)، و دیدنهمین گوشه NS.

کسینوس 0.5 چه زاویه ای است؟

x = π / 3

cos 60 درجه= cos ( π / 3) = 0,5

کسی با شک می خندد، بله ... آنها می گویند، آیا ارزش دایره را داشت، وقتی همه چیز از قبل مشخص است ... البته می توانید بخندید ...) اما واقعیت این است که این یک پاسخ اشتباه است. یا بهتر است بگوییم ناکافی است. خبره های دایره می دانند که هنوز یک دسته کامل از زاویه ها در اینجا وجود دارد که همچنین کسینوس برابر با 0.5 را نشان می دهد.

اگر طرف متحرک OA را بچرخانید نوبت کامل، نقطه A به موقعیت اولیه خود باز می گردد. با کسینوس یکسان برابر با 0.5. آن ها زاویه تغییر خواهد کرد 360 درجه یا 2π رادیان، و کسینوس نیست.زاویه جدید 60 ° + 360 ° = 420 ° نیز راه حل معادله ما خواهد بود، زیرا

شما می توانید بی نهایت از چنین پیچ های کامل را بچرخانید ... و همه این زوایای جدید راه حل هایی برای معادله مثلثاتی ما خواهند بود. و همه آنها باید به نحوی در پاسخ نوشته شوند. همه چيز.در غیر این صورت، تصمیم به حساب نمی آید، بله ...)

ریاضیات می داند که چگونه این کار را به روشی ساده و زیبا انجام دهد. در یک پاسخ کوتاه، بنویسید مجموعه بی پایانراه حل ها این چیزی است که برای معادله ما به نظر می رسد:

x = π / 3 + 2π n، n ∈ Z

رمزگشایی خواهم کرد. هنوز بنویس معنی دارخوشایندتر از کشیدن احمقانه برخی حروف مرموز، درست است؟)

π / 3 - این همان گوشه ای است که ما داریم ارهروی دایره و شناخته شده استمطابق جدول کسینوس

2π یک انقلاب کامل در رادیان است.

n تعداد کامل است، i.e. کلانقلاب. واضح است که n می تواند 0، 1 ±، 2 ±، 3 ± .... و غیره باشد. که اشاره شده است یک یادداشت کوتاه:

n ∈ Z

n متعلق ( ∈ ) به مجموعه اعداد صحیح ( ز ). اتفاقا به جای نامه n ممکن است از حروف به خوبی استفاده شود k، m، t و غیره.

این ورودی به این معنی است که شما می توانید هر کل را بگیرید n ... حداقل -3، حداقل 0، حداقل +55. آنچه شما می خواهید. اگر آن عدد را به پاسخ خود متصل کنید، زاویه خاصی به دست می آید که قطعا معادله سخت ما را حل می کند.)

یا به عبارت دیگر x = π / 3 تنها ریشه مجموعه نامتناهی است. برای به دست آوردن تمام ریشه های دیگر، کافی است هر تعداد دور کامل را به π / 3 اضافه کنید ( n ) به رادیان. آن ها 2π n رادیان

همه چيز؟ خیر من عمداً لذت را دراز می کنم. برای اینکه آن را بهتر به خاطر بسپاریم.) ما فقط بخشی از پاسخ های معادله خود را دریافت کردیم. این قسمت اول راه حل را به صورت زیر می نویسم:

x 1 = π / 3 + 2π n، n ∈ Z

x 1 - نه یک ریشه، یک سری ریشه کامل است که به صورت کوتاه نوشته شده است.

اما زوایایی هم هست که کسینوس 0.5 را هم می دهد!

بیایید به تصویر خودمان برگردیم که برای نوشتن پاسخ استفاده شده است. او آنجاست:

ماوس را روی عکس ببرید و دیدنگوشه ای دیگر که همچنین کسینوس 0.5 می دهد.به نظر شما برابر با چه چیزی است؟ مثلث ها یکی هستند... بله! برابر است با گوشه NS ، فقط در جهت منفی قرار دهید. این گوشه است -NS. اما ما قبلاً x را کشف کرده ایم. π / 3 یا 60 درجه بنابراین، می توانیم با خیال راحت بنویسیم:

x 2 = - π / 3

خوب، البته، ما تمام زوایایی که از طریق چرخش کامل به دست می آیند را اضافه می کنیم:

x 2 = - π / 3 + 2π n، n ∈ Z

اکنون تمام است.) در دایره مثلثاتی، ما اره(البته کی میفهمه)) همهزاویه هایی که کسینوس برابر با 0.5 می دهد. و این زوایا را به صورت کوتاه ریاضی نوشتند. پاسخ دو سری بی پایان ریشه ایجاد کرد:

x 1 = π / 3 + 2π n، n ∈ Z

x 2 = - π / 3 + 2π n، n ∈ Z

این جواب درست است.

امید، اصل کلی حل معادلات مثلثاتیاستفاده از دایره واضح است. از معادله داده شده کسینوس (سینوس، مماس، کتانژانت) را روی دایره علامت گذاری می کنیم و زوایای مربوط به آن را رسم می کنیم و پاسخ را یادداشت می کنیم.البته، شما باید بفهمید که ما چه نوع گوشه هایی هستیم ارهروی دایره گاهی اوقات آنقدر واضح نیست. خب، بنابراین گفتم که منطق در اینجا لازم است.)

به عنوان مثال، اجازه دهید به یک معادله مثلثاتی دیگر نگاه کنیم:

لطفا توجه داشته باشید که عدد 0.5 تنها عدد ممکن در معادلات نیست!) نوشتن آن از ریشه و کسر برای من راحت تر است.

ما طبق اصل کلی کار می کنیم. یک دایره بکشید، علامت بزنید (البته روی محور سینوسی!) 0.5. همه زوایای مربوط به این سینوس را به یکباره رسم می کنیم. بیایید تصویر زیر را دریافت کنیم:

ابتدا با زاویه برخورد کنید NS در سه ماهه اول جدول سینوس ها را به یاد می آوریم و مقدار این زاویه را تعیین می کنیم. این یک موضوع ساده است:

x = π / 6

ما انقلاب های کامل را به یاد می آوریم و با وجدان پاک، ما اولین سری از پاسخ ها را می نویسیم:

x 1 = π / 6 + 2π n، n ∈ Z

نیمه تمام. اما حالا باید تعریف کنیم گوشه دوم...این حیله گرتر از کسینوس است، بله... اما منطق ما را نجات خواهد داد! نحوه تعیین زاویه دوم از طریق x بله آسان! مثلث های تصویر یکسان هستند و گوشه قرمز رنگ NS برابر با زاویه NS ... فقط از زاویه π در جهت منفی اندازه گیری می شود. بنابراین، قرمز است.) و برای پاسخ به یک زاویه نیاز داریم که به درستی اندازه گیری شده باشد، از نیم محور OX مثبت، یعنی. از زاویه 0 درجه

مکان نما را روی عکس ببرید و همه چیز را ببینید. گوشه اول را برداشتم تا تصویر پیچیده نشود. زاویه مورد نظر ما (به رنگ سبز ترسیم شده) برابر خواهد بود با:

π - x

X ما آن را می دانیم π / 6 ... بنابراین، زاویه دوم خواهد بود:

π - π / 6 = 5π / 6

ما دوباره اضافه شدن انقلاب های کامل را به یاد می آوریم و سری دوم پاسخ ها را می نویسیم:

x 2 = 5π / 6 + 2π n، n ∈ Z

همین. پاسخ کامل شامل دو سری ریشه است:

x 1 = π / 6 + 2π n، n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n، n ∈ Z

معادلات با مماس و کتانژانت را می توان با استفاده از همان اصل کلی برای حل معادلات مثلثاتی به راحتی حل کرد. البته اگر بلد باشید که چگونه مماس و کتانژانت را روی یک دایره مثلثاتی رسم کنید.

در مثال های بالا از مقدار سینوس و کسینوس جدول استفاده کردم: 0.5. آن ها یکی از آن معانی که دانش آموز می داند باید.حالا بیایید توانایی های خود را گسترش دهیم تمام ارزش های دیگرتصمیم بگیر پس تصمیم بگیر!)

بنابراین، فرض کنید باید این معادله مثلثاتی را حل کنیم:

این مقدار کسینوس در میزهای کوتاهنه ما با خونسردی این واقعیت وحشتناک را نادیده می گیریم. یک دایره رسم کنید، 2/3 را روی محور کسینوس علامت بزنید و زوایای مربوطه را رسم کنید. ما دقیقاً چنین تصویری دریافت می کنیم.

بیایید آن را برای شروع، با یک زاویه در سه ماهه اول مشخص کنیم. اگر می دانستم ایکس چیست، همان موقع جواب را یادداشت می کردند! نمی دانیم ... شکست !؟ آرام! ریاضی خود را در مشکل رها نمی کند! او برای این مورد آرکوزین ها را اختراع کرد. نمیدانم؟ بیهوده. دریابید، خیلی ساده تر از آن چیزی است که فکر می کنید. در این پیوند، یک افسانه حیله‌آمیز در مورد "توابع مثلثاتی معکوس" وجود ندارد ... این در این مبحث اضافی است.

اگر می دانید کافی است با خود بگویید: "X زاویه ای است که کسینوس آن 2/3 است". و بلافاصله، صرفاً با تعریف آرکوزین، می توانید بنویسید:

چرخش های اضافی را به یاد می آوریم و با آرامش اولین سری از ریشه های معادله مثلثاتی خود را یادداشت می کنیم:

x 1 = آرکوس 2/3 + 2π n، n ∈ Z

سری دوم ریشه ها نیز تقریباً به طور خودکار برای زاویه دوم ضبط می شود. همه چیز یکسان است، فقط x (arccos 2/3) با منهای خواهد بود:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n، n ∈ Z

و بس! این جواب درست است. حتی ساده تر از مقادیر جدول. لازم نیست چیزی را به خاطر بسپارید.) به هر حال، بیشترین توجه متوجه خواهد شد که این تصویر با راه حل از طریق کسینوس معکوس در اصل، برای معادله cosx = 0.5 با تصویر تفاوتی ندارد.

دقیقا! اصل کلیبرای آن و کلی! من به طور خاص دو تصویر تقریباً یکسان کشیدم. دایره زاویه را به ما نشان می دهد NS توسط کسینوس آن جدول کسینوس است یا نه - دایره نمی داند. این زاویه، π/3، یا چه نوع کسینوس معکوس چیست - این به ما بستگی دارد.

با سینوس همان آهنگ. مثلا:

دوباره دایره را بکشید، سینوس را برابر با 1/3 علامت بزنید، گوشه ها را بکشید. تصویر به این صورت است:

و دوباره تصویر تقریباً مشابه معادله است sinx = 0.5.باز هم، در کوارتر اول از گوشه شروع کنید. اگر سینوس آن 1/3 باشد x چیست؟ مشکلی نیست!

بنابراین اولین بسته ریشه آماده است:

x 1 = آرکسین 1/3 + 2π n، n∈ Z

ما با گوشه دوم سروکار داریم. در مثال با مقدار جدول 0.5، این بود:

π - x

پس اینجا هم دقیقاً همینطور خواهد بود! فقط x متفاوت است، arcsin 1/3. پس چی!؟ می توانید با خیال راحت بسته دوم ریشه ها را یادداشت کنید:

x 2 = π - آرکسین 1/3 + 2π n، n ∈ Z

این یک پاسخ کاملا درست است. اگرچه خیلی آشنا به نظر نمی رسد. اما قابل درک است، امیدوارم.)

به این ترتیب معادلات مثلثاتی با استفاده از دایره حل می شوند. این مسیر روشن و قابل درک است. این اوست که در معادلات مثلثاتی با انتخاب ریشه ها در یک بازه معین، در نابرابری های مثلثاتی صرفه جویی می کند - آنها معمولاً تقریباً همیشه در یک دایره حل می شوند. به طور خلاصه، در هر کاری که کمی دشوارتر از کارهای استاندارد است.

بیایید دانش خود را در عمل به کار ببریم؟)

حل معادلات مثلثاتی:

در ابتدا از این درس ساده تر است.

حالا سخت تر

نکته: اینجاست که باید روی دایره فکر کنید. شخصا.)

و اکنون آنها ظاهراً بی تکلف هستند ... به آنها موارد خاص نیز می گویند.

سینکس = 0

سینکس = 1

cosx = 0

cosx = -1

نکته: در اینجا شما باید در یک دایره بفهمید که کجا دو سری پاسخ وجود دارد و یکی کجا ... و چگونه به جای دو سری پاسخ، یکی را یادداشت کنید. بله، به طوری که حتی یک ریشه از تعداد نامتناهی گم نمی شود!)

خب موارد خیلی ساده):

سینکس = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

نکته: در اینجا باید بدانید که آرکسین، آرکوزین چیست؟ مماس قوس، کوتانژانت قوس چیست؟ بیشترین تعاریف ساده... اما شما نیازی به به خاطر سپردن مقادیر جدول ندارید!)

پاسخ ها البته به هم ریخته است:

x 1= arcsin0،3 + 2π n، n ∈ Z
x 2= π - arcsin0،3 + 2

همه چیز درست نمی شود؟ اتفاق می افتد. دوباره درس را بخوانید. فقط متفکرانه(یک کلمه قدیمی وجود دارد ...) و لینک ها را دنبال کنید. لینک های اصلی در مورد دایره هستند. بدون آن، در مثلثات، مانند عبور از جاده با چشم بند است. گاهی اوقات کار می کند.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست اعتبار سنجی فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.