تعمیرات طرح مبلمان
بسط دادن
اصلی ›

توضیح راه حل ساده ترین معادلات مثلثاتی. روش های حل معادلات مثلثاتی

هنگام حل بسیاری وظایف ریاضیبه خصوص کسانی که تا 10 کلاس مواجه می شوند، روش اقدامات انجام شده، که منجر به هدف می شود، قطعا تعریف شده است. چنین اهدافی عبارتند از: به عنوان مثال، معادلات خطی و مربع، نابرابری های خطی و مربع، معادلات کسر و معادلات که به مربع کاهش می یابد. اصل راه حل موفقیت آمیز هر یک از وظایف ذکر شده به شرح زیر است: لازم است که چگونه نوع حل مسئله مربوطه مربوط می شود، برای به یاد آوردن توالی لازم از اقداماتی که منجر به نتیجه مطلوب می شود، I.E. پاسخ، و انجام این اقدامات.

واضح است که موفقیت یا شکست در حل یک یا چند کار دیگر به طور عمده به چگونگی به درستی نوع معادله تعریف می شود که به درستی به درستی دنباله ای از تمام مراحل راه حل آن، تولید می شود. البته، لازم است که مهارت های انجام تحولات و محاسبات مشابه را داشته باشیم.

وضعیت دیگر با آن به دست می آید معادلات مثلثاتی این واقعیت را تعیین کنید که معادله مثلثاتی است، کاملا دشوار نیست. در هنگام تعیین دنباله ای از اقداماتی که به پاسخ صحیح منجر می شود، مشکلات ظاهر می شود.

با توجه به ظاهر معادله، گاهی اوقات تعیین نوع آن دشوار است. و نه شناخت نوع معادله، تقریبا غیرممکن است که از چندین فرمول مثلثاتی که لازم است انتخاب شود.

برای حل معادله مثلثاتی، باید سعی کنید:

1. ایجاد تمام توابع موجود در معادله به "همان گوشه ها"؛
2. یک معادله را به "توابع یکسان" ایجاد کنید؛
3. قسمت چپ معادله کارخانه را بگذارید و غیره

در نظر گرفتن روش های اساسی برای حل معادلات مثلثاتی.

I. آوردن ساده ترین معادلات مثلثاتی

راه حل اسکیت

مرحله 1 عملکرد مثلثاتی را از طریق اجزای شناخته شده بیان کنید.

گام 2. یک تابع استدلال را با فرمول ها پیدا کنید:

cos x \u003d a؛ x \u003d ± arccos a + 2πn، n Еz.

گناه x \u003d a؛ x \u003d (-1) n arcsin a + πn، n є z.

tg x \u003d a؛ x \u003d arctg a + πn، n є z.

ctg x \u003d a؛ x \u003d arcctg a + πn، n є z.

مرحله 3 یک متغیر ناشناخته پیدا کنید

مثال.

2 COS (3x - π / 4) \u003d -√2.

تصمیم گیری

1) COS (3x - π / 4) \u003d -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 \u003d ± (π - π / 4) + 2πn، n є z؛

3x - π / 4 \u003d ± 3π / 4 + 2πn، n є Z.

3) 3x \u003d ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn، n є z؛

x \u003d ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3، n є z؛

x \u003d ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3، n є z.

پاسخ: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3، n є z.

دوم جایگزینی متغیر

راه حل اسکیت

مرحله 1 یک معادله را به فرم جبری نسبت به یکی از توابع مثلثاتی ایجاد کنید.

گام 2. تابع نتیجه متغیر t را تعیین کنید (در صورت لزوم، محدودیت های T را وارد کنید).

مرحله 3 ثبت و حل معادله جبری نتیجه.

مرحله 4 یک جایگزین کنید

مرحله 5 ساده ترین معادله مثلثاتی را حل کنید.

مثال.

2COS 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0.

تصمیم گیری

1) 2 (1 - SIN 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0؛

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 \u003d 0.

2) اجازه دهید گناه (x / 2) \u003d t، جایی که | t | ≤ 1.

3) 2T 2 + 5T + 3 \u003d 0؛

t \u003d 1 یا e \u003d -3/2، شرایط را برآورده نمی کند | T | ≤ 1.

4) گناه (x / 2) \u003d 1.

5) x / 2 \u003d π / 2 + 2πn، n є z؛

x \u003d π + 4πn، n є z.

پاسخ: x \u003d π + 4πn، n є z.

III روش کاهش ترتیب معادله

راه حل اسکیت

مرحله 1 جایگزین این معادله خطی با استفاده از فرمول کاهش درجه برای این موضوع:

sIN 2 x \u003d 1/2 · (1 - cos 2x)؛

cos 2 x \u003d 1/2 · (1 + cos 2x)؛

tG 2 X \u003d (1 - COS 2X) / (1 + COS 2X).

گام 2. معادله به دست آمده را با استفاده از روش های I و II حل کنید.

مثال.

cOS 2X + COS 2 X \u003d 5/4.

تصمیم گیری

1) COS 2X + 1/2 · (1 + COS 2X) \u003d 5/4.

2) COS 2X + 1/2 + 1/2 · COS 2X \u003d 5/4؛

3/2 · COS 2X \u003d 3/4؛

2x \u003d ± π / 3 + 2πn، n є z؛

x \u003d ± π / 6 + πn، n є z.

پاسخ: x \u003d ± π / 6 + πn، n є z.

IV معادلات یکنواخت

راه حل اسکیت

مرحله 1 این معادله را به فرم برسانید

الف) یک گناه x + b cos x \u003d 0 (معادله همگن درجه اول)

یا به دید

ب) یک گناه 2 x + b sin x · x + c cos 2 x \u003d 0 (معادله همگن درجه دوم).

گام 2. تقسیم هر دو بخش از معادله

a) x ≠ 0؛

ب) cos 2 x ≠ 0؛

و معادله نسبت به TG X را دریافت کنید:

a) a tg x + b \u003d 0؛

ب) TG 2 X + B Arctg X + C \u003d 0.

مرحله 3 معادله را با روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 \u003d 0.

تصمیم گیری

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) \u003d 0؛

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x \u003d 0؛

sIN 2 X + 3SIN X · COS X - 4COS 2 X \u003d 0 / COS 2 x ≠ 0.

2) TG 2 X + 3TG X - 4 \u003d 0.

3) اجازه دهید TG x \u003d t، سپس

t 2 + 3T - 4 \u003d 0؛

t \u003d 1 یا t \u003d -4، سپس

tG X \u003d 1 یا TG X \u003d -4.

از اولین معادله x \u003d π / 4 + πn، n є z؛ از معادله دوم x \u003d -Ararctg 4 + Πk، k є z.

پاسخ: x \u003d π / 4 + πn، n є z؛ x \u003d -Ararctg 4 + πk، k є z.

V. روش تبدیل معادله با استفاده از فرمول های مثلثاتی

راه حل اسکیت

مرحله 1 با استفاده از انواع فرمول های مثلثاتی، این معادله را به معادله هدایت می کند، روش های حل شده I، II، III، IV را حل می کند.

گام 2. روش های شناخته شده معادلات را حل کنید.

مثال.

sIN X + SIN 2X + SIN 3X \u003d 0.

تصمیم گیری

1) (SIN X + SIN 3X) + SIN 2X \u003d 0؛

2sin 2x · COS X + SIN 2X \u003d 0.

2) sIN 2X · (2COS X + 1) \u003d 0؛

sIN 2X \u003d 0 یا 2COS X + 1 \u003d 0؛

از اولین معادله 2x \u003d π / 2 + πn، n є z؛ از معادله دوم COS X \u003d -1/2.

ما x \u003d π / 4 + πn / 2، n є z داریم؛ از معادله دوم x \u003d ± (π - π / 3) + 2πk، k є z.

به عنوان یک نتیجه، x \u003d π / 4 + πn / 2، n є z؛ x \u003d ± 2π / 3 + 2πk، k є z.

پاسخ: x \u003d π / 4 + πn / 2، n є z؛ x \u003d ± 2π / 3 + 2πk، k є z.

مهارت ها و مهارت ها برای حل معادلات مثلثاتی بسیار است مهم، توسعه آنها نیاز به تلاش های قابل توجهی دارد، هر دو دانش آموز و از معلم.

با راه حل معادلات مثلثاتی، بسیاری از چالش های کلیتریمتری، فیزیک و دیگران با روند حل این وظایف همراه است، همانطور که بود، بسیاری از دانش و مهارت ها را که در مطالعه عناصر مثلثات خریداری می شود، به دست می آورد.

معادلات مثلثاتی یک مکان مهم در روند یادگیری ریاضیات و توسعه شخصیت را به طور کلی اشغال می کنند.

سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنید؟
برای دریافت کمک معلم - ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است!

سایت، با کپی کامل یا جزئی مرجع مادی به منبع اصلی مورد نیاز است.

این نیاز به دانستن فرمول های اساسی مثلثات - مجموع مربعات سینوس و کوزین، بیان مماس از طریق سینوس و کوزین و دیگران است. برای کسانی که آنها را فراموش کرده اند یا نمی دانند، توصیه می کنیم مقاله را بخوانید "".
بنابراین، ما می دانیم فرمول های اصلی مثلثاتی، وقت آن است که از آنها در عمل استفاده کنیم. حل معادلات مثلثاتی با استفاده از رویکرد درست، یک فعالیت نسبتا هیجان انگیز، مانند مثال، برای جمع آوری مکعب روبیک.

بر اساس این نام، می توان دید که معادله مثلثاتی معادله ای است که در آن ناشناخته تحت یک تابع مثلثاتی است.
به اصطلاح معادلات مثلثاتی ساده وجود دارد. در اینجا چیزی است که آنها نگاه می کنند: sinh \u003d a، cos x \u003d a، tg x \u003d a. در نظر گرفتن چگونه می توان چنین معادلات مثلثاتی را حل کردبرای وضوح، ما از دایره مثلثاتی در حال حاضر آشنا استفاده خواهیم کرد.

sinh \u003d a

cos x \u003d a

tg x \u003d a

کمربند x \u003d a

هر معادله مثلثاتی در دو مرحله حل شده است: معادله را به ساده ترین شکل بدهید و سپس آن را به عنوان ساده ترین معادله مثلثاتی حل کنید.
7 روش اساسی وجود دارد که معادلات مثلثاتی حل می شوند.

  1. روش جایگزینی متغیر و جایگزینی

    2. حل معادله 2COS 2 (X + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 \u003d 0

    با استفاده از فرمول ها، ما دریافت می کنیم:

    2COS 2 (X + / 6) - 3COS (X + / 6) +1 \u003d 0

    جایگزین COS (X + / 6) به Y برای ساده سازی و دریافت یک معادله مربع متعارف:

    2Y 2 - 3Y + 1 + 0

    ریشه های که y 1 \u003d 1، y 2 \u003d 1/2

    حالا ما به ترتیب معکوس می رویم

    ما مقادیر یافت شده Y را جایگزین می کنیم و دو پاسخ را دریافت می کنیم:

  2. حل معادلات مثلثاتی از طریق تجزیه ضربان

    3. چگونه برای حل معادله SIN X + COS X \u003d 1؟

    ما همه چیز را به سمت چپ به سمت راست انتقال می دهیم 0:

    sIN X + COS X - 1 \u003d 0

    ما از هویت های بلند برای ساده سازی معادله استفاده می کنیم:

    گناه x - 2 گناه 2 (x / 2) \u003d 0

    ما انبساط را گسترش می دهیم:

    2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 SIN 2 (x / 2) \u003d 0

    2sin (x / 2) * \u003d 0

    ما دو معادله را دریافت می کنیم

  3. آوردن یک معادله همگن

    4. معادله همگن نسبت به سینوس و کوزین است، اگر همه اعضای آن نسبت به سینوس و کنسوریز از همان درجه زاویه مشابه باشند. برای حل معادله همگن، به صورت زیر وارد کنید:

    الف) انتقال تمام اعضای خود را به سمت چپ؛

    ب) تمام عوامل مشترک را برای براکت ها؛

    ج) برابر هر چندتایی و براکت به 0؛

    د) در براکت ها یک معادله همگن را به میزان کم به دست آورد، به نوبه خود به سینوس یا کوزین به درجه بالا تقسیم می شود؛

    الف) معادله حاصل از TG را حل کنید.

    حل معادله 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x \u003d 2

    ما از فرمول SIN 2 X + COS 2 X \u003d 1 استفاده می کنیم و دو بار به سمت راست باز می شود:

    3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x \u003d 2sin 2 x + 2cos 2 x

    گناه 2 X + 4 SIN X COS X + 3 COS 2 X \u003d 0

    ما در COS X تقسیم می کنیم:

    tG 2 X + 4 TG X + 3 \u003d 0

    ما جایگزین TG X به Y می شویم و یک معادله مربع دریافت می کنیم:

    y 2 + 4Y +3 \u003d 0، ریشه های که y 1 \u003d 1، y 2 \u003d 3

    از اینجا ما دو راه حل معادله منبع را پیدا می کنیم:

    x 2 \u003d arctg 3 + k

  4. حل معادلات، از طریق انتقال به نیم گوشه

    5. حل معادله 3sin X - 5COS x \u003d 7

    برو به x / 2:

    6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) \u003d 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

    Preen همه چپ:

    2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) \u003d 0

    ما در COS تقسیم می کنیم (x / 2):

    tG 2 (x / 2) - 3TG (x / 2) + 6 \u003d 0

  5. معرفی گوشه کمکی

    6. برای در نظر گرفتن معادله فرم: یک گناه x + b cos x \u003d c،

    جایی که A، B، C برخی از ضرایب دلخواه است و X ناشناخته است.

    هر دو بخش معادله به تقسیم می شوند:

    در حال حاضر ضرایب معادله با توجه به فرمول های مثلثاتی، خواص گناه و cos، یعنی: ماژول آنها بیش از 1 نیست و مجموع مربعات \u003d 1. آنها را به ترتیب به عنوان COS و SIN، جایی که آن را نشان می دهد به اصطلاح زاویه کمکی. سپس معادله فرم را می گیرد:

    cOS * SIN X + SIN * COS X \u003d C

    یا گناه (x +) \u003d c

    با راه حل این ساده ترین معادله مثلثاتی خواهد بود

    x \u003d (-1) k * arcsin c - + k، جایی که

    لازم به ذکر است که تعیین کنندگان COS و SIN قابل تعویض هستند.

    حل معادله SIN 3X - COS 3X \u003d 1

    در این معادله، ضرایب:

    a \u003d، b \u003d -1، بنابراین ما هر دو بخش را با \u003d 2 تقسیم می کنیم

مفهوم حل معادلات مثلثاتی.

  • برای حل معادله مثلثاتی، آن را به یک یا چند معادلات اصلی مثلثاتی تبدیل کنید. راه حل معادله مثلثاتی در نهایت به حل چهار معادلات اصلی مثلثاتی می شود.

  • راه حل معادلات اصلی مثلثاتی.

    • 4 نوع معادلات اصلی مثلثاتی وجود دارد:
    • گناه x \u003d a؛ cos x \u003d a
    • tg x \u003d a؛ ctg x \u003d a
    • راه حل معادلات اصلی مثلثاتوری، توجه به مقررات مختلف "X" را بر روی یک دایره واحد، و همچنین استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب) است.
    • مثال 1. SIN X \u003d 0.866. با استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب)، شما یک پاسخ دریافت خواهید کرد: x \u003d π / 3. یک دایره واحد پاسخ دیگری می دهد: 2π / 3. به یاد داشته باشید: تمام توابع مثلثاتی دوره ای هستند، یعنی مقادیر آنها تکرار می شوند. به عنوان مثال، فرکانس SIN X و COS X 2πn است و فرکانس TG X و CTG X برابر با πn است. بنابراین، پاسخ به شرح زیر نوشته شده است:
    • x1 \u003d π / 3 + 2πn؛ x2 \u003d 2π / 3 + 2πn.
    • مثال 2. cos x \u003d -1/2. با استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب)، پاسخ را دریافت خواهید کرد: x \u003d 2π / 3. یک دایره واحد پاسخ دیگری می دهد: -2π / 3.
    • x1 \u003d 2π / 3 + 2π؛ x2 \u003d -2π / 3 + 2π.
    • مثال 3. TG (x - π / 4) \u003d 0.
    • پاسخ: x \u003d π / 4 + πn.
    • مثال 4. CTG 2X \u003d 1.732.
    • پاسخ: x \u003d π / 12 + πn.

  • تحول مورد استفاده در حل معادلات مثلثاتی.

    • برای تبدیل معادلات مثلثاتی، تحولات جبری (تجزیه چندگانه، اعطای اعضای همگن، و غیره) و هویت های مثلثاتی استفاده می شود.
    • مثال 5. استفاده از هویت های مثلثاتی، معادله SIN X + SIN 2X + SIN 3x \u003d 0 به معادله 4COS X * SIN (3x / 2) * COS (x / 2) \u003d 0. تبدیل شده است. بنابراین، معادلات اصلی مثلثاتی زیر باید حل شود: cos x \u003d 0؛ گناه (3x / 2) \u003d 0؛ cos (x / 2) \u003d 0.

    • پیدا کردن زاویه با توجه به مقادیر شناخته شده توابع.

      • قبل از مطالعه روش های حل معادلات مثلثاتی، شما باید یاد بگیرید چگونه به پیدا کردن گوشه ها بر اساس مقادیر شناخته شده توابع. این را می توان با استفاده از جدول تبدیل یا ماشین حساب انجام داد.
      • مثال: COS X \u003d 0.732. ماشین حساب پاسخ X \u003d 42.95 درجه را ارائه می دهد. یک دایره تک زاویه های اضافی را می دهد که Cosin نیز برابر با 0.732 است.

    • تصمیم گیری در یک دایره تک.

      • شما می توانید راه حل های معادله مثلثاتی را روی یک دایره تک به تعویق بیندازید. راه حل های معادله مثلثاتی در یک دایره تک، رأس چند ضلعی درست است.
      • به عنوان مثال: راه حل های x \u003d π / 3 + πn / 2 در یک دایره تک رأی از مربع هستند.
      • به عنوان مثال: راه حل های x \u003d π / 4 + πn / 3 در یک دایره تک رأی از شش ضلعی صحیح هستند.

    • روش ها برای حل معادلات مثلثاتی.

      • اگر این معادله مثلثاتی شامل تنها یک تابع مثلثاتی باشد، این معادله را به عنوان یک معادله مثلثاتی اساسی تعیین کنید. اگر این معادله شامل دو یا چند توابع مثلثاتی باشد، پس از آن 2 روش برای حل چنین معادله وجود دارد (بسته به احتمال تحول آن).
        • روش 1
      • این معادله را به معادله فرم تبدیل کنید: f (x) * g (x) * h (x) \u003d 0، جایی که f (x)، g (x)، h (x) معادلات اصلی مثلثاتی است.
      • مثال 6. 2COS X + SIN 2X \u003d 0. (0< x < 2π)
      • تصمیم گیری با استفاده از فرمول یک زاویه زاویه دوگانه 2x \u003d 2 * SIN X * COS X، SIN 2X را جایگزین کنید.
      • 2sos X + 2 * SIN X * COS X \u003d 2COS X * (SIN X + 1) \u003d 0. اکنون دو معادله اصلی مثلثاتی را انتخاب کنید: COS X \u003d 0 و (SIN X + 1) \u003d 0.
      • مثال 7. COS X + COS 2X + COS 3X \u003d 0. (0< x < 2π)
      • راه حل: استفاده از هویت های مثلثاتی، تبدیل این معادله به معادله فرم: COS 2X (2COS X + 1) \u003d 0. اکنون دو معادله اصلی مثلثاتی را انتخاب کنید: COS 2X \u003d 0 و (2COS X + 1) \u003d 0.
      • مثال 8. SIN X - SIN 3X \u003d COS 2X. (0< x < 2π)
      • راه حل: استفاده از هویت های مثلثاتی، تبدیل این معادله به معادله فرم: -COS 2X * (2Sin X + 1) \u003d 0. اکنون دو معادله اصلی مثلثاتی را انتخاب کنید: COS 2X \u003d 0 و (2Sin X + 1) \u003d 0 .
        • روش 2
      • تبدیل این معادله مثلثاتی را به معادله حاوی تنها یک تابع مثلثاتی تبدیل کنید. سپس این تابع مثلثاتی را به برخی از ناشناخته ها جایگزین کنید، به عنوان مثال، t (sin x \u003d t؛ cos x \u003d t؛ cos 2x \u003d t، tg x \u003d t؛ tg (x / 2) \u003d t، و غیره).
      • مثال 9. 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x \u003d 4sin x + 7 (0< x < 2π).
      • تصمیم گیری در این معادله، جایگزین (cos ^ 2 x) (1 - sin ^ 2 x) (با توجه به هویت). معادله تبدیل شده است:
      • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 \u003d 0. جایگزین SIN X در T. در حال حاضر معادله به نظر می رسد: 5T ^ 2 - 4T - 9 \u003d 0. این یک معادله مربع دارای دو ریشه است: T1 \u003d -1 و T2 \u003d 9/5. ریشه دوم T2 مقادیر ارزش های تابع را برآورده نمی کند (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
      • مثال 10. TG X + 2 TG ^ 2 X \u003d CTG X + 2
      • تصمیم گیری جایگزین TG X در T. معادله اولیه را در فرم زیر حذف کنید: (2T + 1) (T ^ 2 - 1) \u003d 0. اکنون پیدا کنید، و سپس X را برای T \u003d TG X پیدا کنید.

    • هنگام حل بسیاری وظایف ریاضیبه خصوص کسانی که تا 10 کلاس مواجه می شوند، روش اقدامات انجام شده، که منجر به هدف می شود، قطعا تعریف شده است. چنین اهدافی عبارتند از: به عنوان مثال، معادلات خطی و مربع، نابرابری های خطی و مربع، معادلات کسر و معادلات که به مربع کاهش می یابد. اصل راه حل موفقیت آمیز هر یک از وظایف ذکر شده به شرح زیر است: لازم است که چگونه نوع حل مسئله مربوطه مربوط می شود، برای به یاد آوردن توالی لازم از اقداماتی که منجر به نتیجه مطلوب می شود، I.E. پاسخ، و انجام این اقدامات.

    واضح است که موفقیت یا شکست در حل یک یا چند کار دیگر به طور عمده به چگونگی به درستی نوع معادله تعریف می شود که به درستی به درستی دنباله ای از تمام مراحل راه حل آن، تولید می شود. البته، لازم است که مهارت های انجام تحولات و محاسبات مشابه را داشته باشیم.

    وضعیت دیگر با آن به دست می آید معادلات مثلثاتی این واقعیت را تعیین کنید که معادله مثلثاتی است، کاملا دشوار نیست. در هنگام تعیین دنباله ای از اقداماتی که به پاسخ صحیح منجر می شود، مشکلات ظاهر می شود.

    با توجه به ظاهر معادله، گاهی اوقات تعیین نوع آن دشوار است. و نه شناخت نوع معادله، تقریبا غیرممکن است که از چندین فرمول مثلثاتی که لازم است انتخاب شود.

    برای حل معادله مثلثاتی، باید سعی کنید:

    1. ایجاد تمام توابع موجود در معادله به "همان گوشه ها"؛
    2. یک معادله را به "توابع یکسان" ایجاد کنید؛
    3. قسمت چپ معادله کارخانه را بگذارید و غیره

    در نظر گرفتن روش های اساسی برای حل معادلات مثلثاتی.

    I. آوردن ساده ترین معادلات مثلثاتی

    راه حل اسکیت

    مرحله 1 عملکرد مثلثاتی را از طریق اجزای شناخته شده بیان کنید.

    گام 2. یک تابع استدلال را با فرمول ها پیدا کنید:

    cos x \u003d a؛ x \u003d ± arccos a + 2πn، n Еz.

    گناه x \u003d a؛ x \u003d (-1) n arcsin a + πn، n є z.

    tg x \u003d a؛ x \u003d arctg a + πn، n є z.

    ctg x \u003d a؛ x \u003d arcctg a + πn، n є z.

    مرحله 3 یک متغیر ناشناخته پیدا کنید

    مثال.

    2 COS (3x - π / 4) \u003d -√2.

    تصمیم گیری

    1) COS (3x - π / 4) \u003d -√2 / 2.

    2) 3x - π / 4 \u003d ± (π - π / 4) + 2πn، n є z؛

    3x - π / 4 \u003d ± 3π / 4 + 2πn، n є Z.

    3) 3x \u003d ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn، n є z؛

    x \u003d ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3، n є z؛

    x \u003d ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3، n є z.

    پاسخ: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3، n є z.

    دوم جایگزینی متغیر

    راه حل اسکیت

    مرحله 1 یک معادله را به فرم جبری نسبت به یکی از توابع مثلثاتی ایجاد کنید.

    گام 2. تابع نتیجه متغیر t را تعیین کنید (در صورت لزوم، محدودیت های T را وارد کنید).

    مرحله 3 ثبت و حل معادله جبری نتیجه.

    مرحله 4 یک جایگزین کنید

    مرحله 5 ساده ترین معادله مثلثاتی را حل کنید.

    مثال.

    2COS 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0.

    تصمیم گیری

    1) 2 (1 - SIN 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0؛

    2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 \u003d 0.

    2) اجازه دهید گناه (x / 2) \u003d t، جایی که | t | ≤ 1.

    3) 2T 2 + 5T + 3 \u003d 0؛

    t \u003d 1 یا e \u003d -3/2، شرایط را برآورده نمی کند | T | ≤ 1.

    4) گناه (x / 2) \u003d 1.

    5) x / 2 \u003d π / 2 + 2πn، n є z؛

    x \u003d π + 4πn، n є z.

    پاسخ: x \u003d π + 4πn، n є z.

    III روش کاهش ترتیب معادله

    راه حل اسکیت

    مرحله 1 جایگزین این معادله خطی با استفاده از فرمول کاهش درجه برای این موضوع:

    sIN 2 x \u003d 1/2 · (1 - cos 2x)؛

    cos 2 x \u003d 1/2 · (1 + cos 2x)؛

    tG 2 X \u003d (1 - COS 2X) / (1 + COS 2X).

    گام 2. معادله به دست آمده را با استفاده از روش های I و II حل کنید.

    مثال.

    cOS 2X + COS 2 X \u003d 5/4.

    تصمیم گیری

    1) COS 2X + 1/2 · (1 + COS 2X) \u003d 5/4.

    2) COS 2X + 1/2 + 1/2 · COS 2X \u003d 5/4؛

    3/2 · COS 2X \u003d 3/4؛

    2x \u003d ± π / 3 + 2πn، n є z؛

    x \u003d ± π / 6 + πn، n є z.

    پاسخ: x \u003d ± π / 6 + πn، n є z.

    IV معادلات یکنواخت

    راه حل اسکیت

    مرحله 1 این معادله را به فرم برسانید

    الف) یک گناه x + b cos x \u003d 0 (معادله همگن درجه اول)

    یا به دید

    ب) یک گناه 2 x + b sin x · x + c cos 2 x \u003d 0 (معادله همگن درجه دوم).

    گام 2. تقسیم هر دو بخش از معادله

    a) x ≠ 0؛

    ب) cos 2 x ≠ 0؛

    و معادله نسبت به TG X را دریافت کنید:

    a) a tg x + b \u003d 0؛

    ب) TG 2 X + B Arctg X + C \u003d 0.

    مرحله 3 معادله را با روش های شناخته شده حل کنید.

    مثال.

    5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 \u003d 0.

    تصمیم گیری

    1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) \u003d 0؛

    5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x \u003d 0؛

    sIN 2 X + 3SIN X · COS X - 4COS 2 X \u003d 0 / COS 2 x ≠ 0.

    2) TG 2 X + 3TG X - 4 \u003d 0.

    3) اجازه دهید TG x \u003d t، سپس

    t 2 + 3T - 4 \u003d 0؛

    t \u003d 1 یا t \u003d -4، سپس

    tG X \u003d 1 یا TG X \u003d -4.

    از اولین معادله x \u003d π / 4 + πn، n є z؛ از معادله دوم x \u003d -Ararctg 4 + Πk، k є z.

    پاسخ: x \u003d π / 4 + πn، n є z؛ x \u003d -Ararctg 4 + πk، k є z.

    V. روش تبدیل معادله با استفاده از فرمول های مثلثاتی

    راه حل اسکیت

    مرحله 1 با استفاده از انواع فرمول های مثلثاتی، این معادله را به معادله هدایت می کند، روش های حل شده I، II، III، IV را حل می کند.

    گام 2. روش های شناخته شده معادلات را حل کنید.

    مثال.

    sIN X + SIN 2X + SIN 3X \u003d 0.

    تصمیم گیری

    1) (SIN X + SIN 3X) + SIN 2X \u003d 0؛

    2sin 2x · COS X + SIN 2X \u003d 0.

    2) sIN 2X · (2COS X + 1) \u003d 0؛

    sIN 2X \u003d 0 یا 2COS X + 1 \u003d 0؛

    از اولین معادله 2x \u003d π / 2 + πn، n є z؛ از معادله دوم COS X \u003d -1/2.

    ما x \u003d π / 4 + πn / 2، n є z داریم؛ از معادله دوم x \u003d ± (π - π / 3) + 2πk، k є z.

    به عنوان یک نتیجه، x \u003d π / 4 + πn / 2، n є z؛ x \u003d ± 2π / 3 + 2πk، k є z.

    پاسخ: x \u003d π / 4 + πn / 2، n є z؛ x \u003d ± 2π / 3 + 2πk، k є z.

    مهارت ها و مهارت ها برای حل معادلات مثلثاتی بسیار است مهم، توسعه آنها نیاز به تلاش های قابل توجهی دارد، هر دو دانش آموز و از معلم.

    با راه حل معادلات مثلثاتی، بسیاری از چالش های کلیتریمتری، فیزیک و دیگران با روند حل این وظایف همراه است، همانطور که بود، بسیاری از دانش و مهارت ها را که در مطالعه عناصر مثلثات خریداری می شود، به دست می آورد.

    معادلات مثلثاتی یک مکان مهم در روند یادگیری ریاضیات و توسعه شخصیت را به طور کلی اشغال می کنند.

    سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنید؟
    برای کمک به یک معلم -.
    درس اول رایگان است!

    blog.set، با کپی کامل یا جزئی مرجع مواد به منبع اصلی مورد نیاز است.

    انطباق با حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک سیاست حفظ حریم خصوصی را توسعه داده ایم که توضیح می دهد که چگونه ما اطلاعات خود را ذخیره و ذخیره می کنیم. لطفا سیاست حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و اگر سوالی دارید، به ما اطلاع دهید.

    جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

    تحت اطلاعات شخصی، داده می شود که می تواند برای شناسایی یک فرد خاص یا برقراری ارتباط با آن استفاده شود.

    شما می توانید درخواست کنید که اطلاعات شخصی خود را در هر زمانی که با ما ارتباط برقرار کنید، ارائه دهید.

    در زیر برخی از نمونه هایی از انواع اطلاعات شخصی است که ما می توانیم جمع آوری کنیم و چگونه می توانیم از چنین اطلاعاتی استفاده کنیم.

    اطلاعات شخصی ما جمع آوری می کنیم:

    • هنگامی که شما یک برنامه را در سایت ترک می کنید، می توانیم اطلاعات مختلفی را جمع آوری کنیم، از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره

    همانطور که از اطلاعات شخصی شما استفاده می کنیم:

    • ما اطلاعات شخصی را جمع آوری کردیم، به ما اجازه می دهیم با شما تماس بگیریم و به پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و نزدیکترین رویدادها گزارش دهیم.
    • از زمان به زمان، ما می توانیم از اطلاعات شخصی خود برای ارسال اطلاعیه ها و پیام های مهم استفاده کنیم.
    • ما همچنین می توانیم از اطلاعات شخصی برای اهداف داخلی مانند حسابرسی، تجزیه و تحلیل داده ها و مطالعات مختلف برای بهبود خدمات خدمات ما استفاده کنیم و توصیه هایی را برای خدمات ما ارائه دهیم.
    • اگر در جوایز، رقابت یا رویداد تحریک کننده مشابه شرکت کنید، می توانیم از اطلاعاتی که برای مدیریت چنین برنامه هایی ارائه می دهیم استفاده کنیم.

    افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

    ما اطلاعاتی را که از طرف شما به اشخاص ثالث دریافت می کنیم را نشان نمی دهیم.

    استثناها:

    • اگر لازم باشد - مطابق با قانون، روند قضایی، در محاکمه، و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های دولتی دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - برای نشان دادن اطلاعات شخصی شما. ما همچنین می توانیم اطلاعاتی در مورد شما را افشا کنیم اگر تعریف کنیم که چنین افشای ضروری یا مناسب برای هدف امنیت، حفظ قانون و نظم، یا سایر موارد مهم اجتماعی است.
    • در مورد سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ما می توانیم اطلاعات شخصی را که مربوط به شخص ثالث را جمع آوری می کنیم، انتقال دهیم - یک جانشین.

    حفاظت از اطلاعات شخصی

    ما در حال انجام اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - برای محافظت از اطلاعات شخصی شما از از دست دادن، سرقت و استفاده بی نظیر، و همچنین دسترسی غیر مجاز، افشای، افشا و تخریب.

    انطباق با حریم خصوصی شما در سطح شرکت

    به منظور اطمینان از اینکه اطلاعات شخصی شما امن است، ما هنجار محرمانه بودن و امنیت را به کارکنانمان به ارمغان می آوریم و به شدت از اجرای اقدامات محرمانه ای پیروی می کنیم.

    پاسخ به سوال شما پیدا نشد؟ به اینجا نگاه کن
    چگونه عشق شوهرش را به همسرش بازگرداند - راهنمایی های روانشناسچگونه عشق شوهرش را به همسرش بازگرداند - راهنمایی های روانشناس
    چرا شما نمی توانید آیکون ها را ارائه دهیدچرا شما نمی توانید آیکون ها را ارائه دهید
    چرا شما نمی توانید آیکون ها را ارائه دهیدچرا شما نمی توانید آیکون ها را ارائه دهید