زاویه بین خطوط موازی در فضا. زاویه بین خطوط عبور شده (2019). موقعیت نسبی دو خط مستقیم

ABو باداز خط سوم عبور کرد MN، سپس زوایای تشکیل شده در این مورد نامهای زیر را به صورت جفت دریافت می کنند:

زوایای مربوطه: 1 و 5 ، 4 و 8 ، 2 و 6 ، 3 و 7 ؛

گوشه های متقاطع داخلی: 3 و 5 ، 4 و 6 ؛

گوشه های متقاطع خارجی: 1 و 7 ، 2 و 8 ؛

گوشه های داخلی یک طرفه: 3 و 6 ، 4 و 5 ؛

گوشه های یک طرفه خارجی: 1 و 8 ، 2 و 7.

بنابراین ، ∠ 2 = ∠ 4 و ∠ 8 = ∠ 6 ، اما با آنچه ثابت شده است ∠ 4 = 6.

بنابراین ، ∠ 2 = 8 ∠.

3. زوایای مربوطه 2 و 6 یکسان هستند ، زیرا ∠ 2 = ∠ 4 ، و ∠ 4 = ∠ 6. ما همچنین مطمئن می شویم که سایر زوایای متناظر مساوی هستند.

4. جمع گوشه های داخلی یک طرفه 3 و 6 دو برابر می شود زیرا مجموع گوشه های مجاور 3 و 4 برابر 2d = 180 0 است و 4 ∠ را می توان با یک عدد 6 جایگزین کرد. ما همچنین مطمئن می شویم که مجموع زوایا 4 و 5 برابر 2d است.

5. جمع گوشه های یک طرفه خارجیدو بعدی خواهد بود زیرا این زوایا به ترتیب مساوی هستند گوشه های داخلی یک طرفهمانند گوشه ها عمودی.

از توجیه فوق به دست می آوریم قضایای معکوس

هنگامی که در تقاطع دو خط مستقیم یک خط مستقیم دلخواه سوم ، به این نتیجه می رسیم:

1. زوایای داخلی که به صورت متقاطع قرار دارند یکسان هستند.

یا 2گوشه های بیرونی یکسان هستند ؛

یا 3زوایای مربوطه یکسان هستند ؛

یا 4مجموع زوایای یک طرفه داخلی 2d = 180 0 است.

یا 5مجموع یک طرفه بیرونی 2d = 180 0 است ,

سپس دو خط اول موازی هستند.

دو خط مستقیم AB و CD نامیده می شوند موازی اگر آنها در یک صفحه دراز بکشند و تلاقی نکنند ، مهم نیست چند مورد از آنها ادامه می یابد (AB || CD). زاویه بین خطوط موازی صفر است.

طول بخش عمود بر ، بین دو خط مستقیم موازی محصور شده است ، - فاصلهبین آنها.

اصل:از طریق نقطه ای که روی یک خط مستقیم معین قرار ندارد ، تنها یک خط مستقیم موازی با این خط مستقیم می توان ترسیم کرد.

ویژگیهای خطوط موازی:

1. اگر دو خط موازی خط سوم باشند ، پس موازی یکدیگر هستند.

2. اگر دو خط عمود بر خط سوم باشند ، آنگاه موازی یکدیگر هستند.

هنگام عبور دو خط موازی خط سوم ،هشت گوشه شکل می گیرد (شکل 13) ، که به صورت جفت نامیده می شوند:

1) زوایای مربوطه (1 و 5; 2 و 6; 3 و 7; 4 و 8 );

گوشه ها جفت به هم برابر: (https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 src = "> 5; https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 "> 6; https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 "> 7; https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 "> 8 );

2) درونی؛ داخلی گوشه های متقاطع (4 و 5; 3 و 6 )؛ آنها جفت به هم برابر;

3) گوشه های متقاطع خارجی(1 و 8; 2 و 7 )؛ آنها از نظر جفت برابر هستند ؛

4) درونی؛ داخلی گوشه های یک طرفه (3 و 5; 4 و 6 ); مجموع گوشه های یک طرفه 180 است°

(https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 "> 5 = 180 درجه ؛ 4 + 6 = 180 درجه) ؛

5) گوشه های یک طرفه خارجی (1 و 7; 2 و 8 )؛ مجموع آنها 180 درجه است (https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 "> 7 = 180 درجه ؛ 2 + 8 = 180 درجه)

قضیه تالس. وقتی کناره های گوشه با خطوط مستقیم موازی تلاقی می کنند(شکل 16) کناره های گوشه به بخشهای متناسب تقسیم می شوند:

مثلث های مشابه

دو مثلث نامیده می شود پسندیدناگر زوایای آنها به ترتیب مساوی باشند و اضلاع یک مثلث با ضلعهای مشابه دیگر متناسب باشد. مشابهاضلاع این مثلثها اضلاعی هستند که در زاویه برابر قرار گرفته اند.

https://pandia.ru/text/78/187/images/image006_51.gif "alt =" (! LANG: مثلث های مشابه" width="13" height="14">A = !} https://pandia.ru/text/78/187/images/image006_51.gif "alt =" (! LANG: مثلث های مشابه" width="13" height="14">B = B1, С = С1 !}و عدد کبرابر نسبت ضلع های مشابه مثلث نامیده می شود ضریب شباهت.

علائم شباهت:

1. اگر دو گوشه از یکمثلث به ترتیب برابر با دو زاویهدیگری ، سپس آهنگها مشابه هستند.

2. اگر دو طرفیک مثلث متناسب با دو طرف طرف دیگرمثلث و گوشه ها ، زندانیان بین این احزاب, برابر هستندسپس مثلث ها مشابه هستند.

3. اگر سه طرف یکیمثلث متناسب با سه ضلع دیگر، سپس چنین مثلث هایی مشابه هستند.

پیامدها: 1.مساحت مثلث های مشابه به عنوان مربع ضریب شباهت مرتبط است:

2. نگرش محیط هامثلث های مشابه و نیمساز، میانه ، ارتفاع و عمود بر برابر ضریب تشابه است.

کارآفرینی به عنوان یک سیستم خود سازماندهی شده تحت تأثیر یک سیستم عوامل وجود دارد و توسعه می یابد. در اواخر دهه 70. قرن بیستم محققانی مانند T. Bachkai ، D. Mesena ، D. Miko و دیگران ، با مطالعه تأثیر عوامل خطر ، نشان دادند که همه آنها به هم مرتبط هستند. در کنار "طبیعی" ...

معیارهای ارزیابی و ارزیابی ارزش ریسک

مدیریت ریسک بدون ارزیابی میزان آن غیرممکن است. روش ارزیابی بستگی به نوع ریسک دارد. با توجه به تنوع خطرات و پیچیدگی وظایف مدیریتی آنها ، در عمل از سه نوع ارزیابی استفاده می شود: کیفی ، ارزش شناختی و کمی. ارزیابی کیفی ریسک به طور گسترده ای مورد استفاده قرار می گیرد و به شما این امکان را می دهد تا به سرعت ...
(خطرات حسابداری)

خطوط مستقیم را قطع می کند

اگر خطوط مستقیم متقاطع شوند ، برآمدگی های آنها با همین نام در نقطه ای که برآمدگی نقطه تقاطع این خطوط مستقیم است ، قطع می شوند. در واقع (شکل 2.30) ، اگر نقطه بهمتعلق به هر دو مستقیم است ABو سی دی ،سپس فرافکنی این نقطه باید نقطه تقاطع باشد ...
(گرافیک مهندسی)

از خطوط مستقیم عبور کرد

خطوط مستقیم متقاطع متقاطع یا موازی یکدیگر نیستند. شکل 2.32 دو خط مستقیم متقاطع را در موقعیت کلی نشان می دهد: اگرچه برآمدگی های یک نام یکدیگر را قطع می کنند ، اما نقاط متقاطع آنها را نمی توان با خط پیوند موازی خطوط پیوند متصل کرد. LL"و ...
(گرافیک مهندسی)

فاصله بین خط عبور

فاصله بین خطوط عبور شده آو ببا طول بخش عمود بر تعیین می شود کیلومتر ،متقاطع هر دو خط (a _1_ KM ؛ Y.KM) (شکل 349 ، قبل از میلاد مسیح).اگر یکی از خطوط در حال نمایش باشد ، مشکل به سادگی حل می شود. به عنوان مثال α ± π ، سپس بخش مورد نیاز را بگذارید کیلومتر...
(هندسه توصیفی)

موقعیت نسبی یک خط مستقیم و یک صفحه ، دو صفحه

علائم موقعیت نسبی یک خط مستقیم و یک صفحه ، دو صفحهاجازه دهید نشانه های موقعیت متقابل یک خط مستقیم و یک صفحه و همچنین دو صفحه را که از حالت کلیشه ای آشنا هستند به خاطر بیاوریم. 1. اگر یک خط مستقیم و یک صفحه دارای یک نقطه مشترک باشند ، خط مستقیم و صفحه قطع می شوند (شکل 3.6 الف). 2. اگر خط و هواپیما ...
(مبانی مهندسی گرافیک)

علائم موقعیت نسبی یک خط مستقیم و یک صفحه ، دو صفحه

اجازه دهید نشانه های موقعیت متقابل یک خط مستقیم و یک صفحه و همچنین دو صفحه را که از حالت کلیشه ای آشنا هستند به خاطر بیاوریم. 1. اگر یک خط مستقیم و یک صفحه دارای یک نقطه مشترک باشند ، خط مستقیم و صفحه قطع می شوند (شکل 3.6 الف). 2. اگر خط مستقیم و صفحه دو نقطه مشترک داشته باشند ، آنگاه خط مستقیم در صفحه قرار دارد (شکل 3.66) ....
(مبانی مهندسی گرافیک)

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل ، ما یک سیاست حفظ حریم خصوصی ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً سیاست حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هرگونه سوال به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اطلاق می شود که می توان از آنها برای شناسایی شخص خاصی یا تماس با وی استفاده کرد.

ممکن است در هر زمان که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از چنین اطلاعاتی آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی را جمع آوری می کنیم:

• وقتی درخواست خود را در سایت می گذارید ، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام ، شماره تلفن ، آدرس ایمیل شما و غیره را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که ما جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و پیشنهادات منحصر به فرد ، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده را گزارش دهیم.
• هر از گاهی ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان ها و پیام های مهم استفاده کنیم.
• همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای اهداف داخلی مانند انجام ممیزی ، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جایزه ، مسابقه یا رویداد تبلیغاتی مشابه شرکت می کنید ، ممکن است از اطلاعاتی که ارائه می دهید برای اداره آن برنامه ها استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را به اشخاص ثالث فاش نمی کنیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق قانون ، دستور دادگاه ، در مراحل دادگاه و / یا بر اساس استعلامات عمومی یا درخواست مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای امنیت ، اجرای قانون یا سایر دلایل مهم اجتماعی ضروری یا مناسب است ، ممکن است اطلاعاتی در مورد شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد ، ادغام یا فروش ، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث مناسب - جانشین قانونی ، منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری ، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن ، سرقت و سوء استفاده ، و همچنین در برابر دسترسی غیر مجاز ، افشا ، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

به حریم خصوصی خود در سطح شرکت احترام بگذارید

به منظور اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما ، قوانین محرمانگی و امنیت را برای کارکنان خود آورده و بر اجرای اقدامات محرمانه نظارت دقیق می کنیم.

در این درس ما تعریفی از پرتوهای هم جهت ارائه می دهیم و قضیه برابری زاویه ها با اضلاع هم جهت را اثبات می کنیم. در مرحله بعد ، تعریف زاویه بین خطوط مستقیم متقاطع و خطوط مستقیم متقاطع را ارائه می دهیم. بیایید در نظر بگیریم که زاویه بین دو خط مستقیم چقدر می تواند باشد. در پایان درس ، چندین مشکل را در زمینه یافتن زوایای بین خطوط متقاطع حل خواهیم کرد.

موضوع: موازی خطوط و صفحات

درس: گوشه هایی با طرف های مشترک زاویه بین دو خط مستقیم

به عنوان مثال ، هر خط مستقیم OO 1(شکل 1.) ، هواپیما را به دو نیم سطح تقسیم می کند. اگر اشعه ها OAو О 1 А 1موازی هستند و در یک نیم صفحه قرار دارند ، سپس آنها نامیده می شوند کارگردانی مشترک.

تیرها О 2 А 2و OAجهت دار نیستند (شکل 1). آنها موازی هستند ، اما در یک نیم صفحه قرار ندارند.

اگر اضلاع دو زاویه با هم جهت داشته باشند ، چنین زوایایی مساوی هستند.

اثبات

اجازه دهید به ما پرتوهای موازی داده شود OAو О 1 А 1و تیرهای موازی OVو حدود 1 در 1(شکل 2.). یعنی ما دو گوشه داریم AOBو A 1 O 1 B 1طرفین آنها بر روی اشعه های هم جهت قرار گرفته است. اجازه دهید ثابت کنیم که این زوایا برابر هستند.

در کنار تیر OAو О 1 А 1نقاط را انتخاب کنید آو الف 1به طوری که بخش های خط OAو О 1 А 1برابر بودند به طور مشابه ، نقاط Vو در 1به گونه ای انتخاب کنید که بخش ها OVو حدود 1 در 1برابر بودند

یک چهار ضلعی را در نظر بگیرید A 1 O 1 OA(شکل 3.) OAو О 1 А 1 A 1 O 1 OA A 1 O 1 OA OO 1و AA 1موازی و مساوی هستند

یک چهار ضلعی را در نظر بگیرید В 1 О 1 ОВ... در این ضلع چهار ضلعی OVو حدود 1 در 1موازی و مساوی هستند متوازی الاضلاع ، چهار ضلعی В 1 О 1 ОВمتوازی الاضلاع است زیرا В 1 О 1 ОВ- متوازی الاضلاع ، سپس اضلاع OO 1و BB 1موازی و مساوی هستند

و مستقیم AA 1موازی با خط مستقیم OO 1، و مستقیم BB 1موازی با خط مستقیم OO 1به معنی مستقیم AA 1و BB 1موازی هستند

یک چهار ضلعی را در نظر بگیرید B 1 A 1 AB... در این ضلع چهار ضلعی AA 1و BB 1موازی و مساوی هستند متوازی الاضلاع ، چهار ضلعی B 1 A 1 ABمتوازی الاضلاع است زیرا B 1 A 1 AB- متوازی الاضلاع ، سپس اضلاع ABو A 1 B 1موازی و مساوی هستند

مثلث ها را در نظر بگیرید AOBو A 1 O 1 B 1.مهمانی OAو О 1 А 1از نظر ساختار برابر هستند مهمانی OVو حدود 1 در 1همچنین از نظر ساخت و ساز برابر هستند. و همانطور که ثابت کردیم ، هر دو طرف ABو A 1 B 1نیز برابر هستند بنابراین مثلث ها AOBو A 1 O 1 B 1از سه طرف مساوی مثلث های مساوی دارای زوایای مساوی در مقابل اضلاع مساوی هستند. بنابراین زوایا AOBو A 1 O 1 B 1برابر است ، در صورت لزوم

1) خطوط مستقیم را قطع کنید.

اگر خطوط متقاطع باشند ، ما چهار زاویه متفاوت داریم. زاویه بین دو خط مستقیم، کوچکترین زاویه بین دو خط مستقیم نامیده می شود. زاویه بین خطوط مستقیم متقاطع آو ببا α نشان دهید (شکل 4.). زاویه α به گونه ای است که

برنج. 4. زاویه بین دو خط مستقیم متقاطع

2) عبور از خطوط مستقیم

اجازه دهید خطوط مستقیم باشد آو بآمیختن یک نقطه دلخواه را انتخاب کنید O... از طریق نقطه Oبیایید یک خط مستقیم بکشیم یک 1موازی با خط مستقیم آ، و مستقیم ب 1موازی با خط مستقیم ب(شکل 5.). مستقیم یک 1و ب 1در نقطه قطع می شود O... زاویه بین دو خط مستقیم متقاطع یک 1و ب 1، زاویه φ ، و زاویه بین خطوط عبور نامیده می شود.

برنج. 5. زاویه بین دو خط مستقیم متقاطع

آیا مقدار زاویه به نقطه انتخاب شده O بستگی دارد؟بیایید یک نقطه را انتخاب کنیم حدود 1... از طریق نقطه حدود 1بیایید یک خط مستقیم بکشیم یک 2موازی با خط مستقیم آ، و مستقیم ب 2موازی با خط مستقیم ب(شکل 6.). زاویه بین خطوط مستقیم متقاطع یک 2و ب 2مشخص کن φ 1... سپس زوایا φ و φ 1 -گوشه هایی با اضلاع مشترک همانطور که نشان دادیم ، چنین زوایایی برابر یکدیگر هستند. بنابراین ، ارزش زاویه بین خطوط عبور به انتخاب نقطه بستگی ندارد O.

مستقیم OVو سی دیموازی، OAو سی دینژاد زاویه بین خطوط مستقیم را پیدا کنید OAو سی دی، اگر:

1) ∠AOB= 40 درجه

بیایید یک نقطه را انتخاب کنیم با... مستقیم از آن عبور کنید سی دی... انجام خواهیم داد CA 1موازی OA(شکل 7.). سپس زاویه یک سی دی 1- زاویه بین عبور از خطوط مستقیم OAو سی دی... با قضیه در زوایای دارای ضلع جهت ، زاویه یک سی دی 1برابر با زاویه AOB، یعنی 40 درجه

برنج. 7. زاویه بین دو خط مستقیم را بیابید

2) ∠AOB= 135 درجه

بیایید همان ساختار را ایجاد کنیم (شکل 8.). سپس زاویه بین خطوط عبور OAو سی دیبرابر 45 درجه است ، زیرا کوچکترین زاویه ای است که هنگام قطع خطوط به دست می آید سی دیو CA 1.

3) ∠AOB= 90 درجه

بیایید همان ساختار را ایجاد کنیم (شکل 9.). سپس تمام زوایایی که در تقاطع خطوط مستقیم به دست می آیند سی دیو CA 1برابر 90 درجه است زاویه مورد نظر 90 درجه است.

1) ثابت کنید که نقاط میانی اضلاع یک چهارضلعی فضایی راس های یک متوازی الاضلاع است.

اثبات

بگذارید یک چهار ضلعی فضایی به ما داده شود آ ب پ ت. م ،N ،K ،ال- وسط دنده ها BD ،آگهی،AC ،قبل از میلاد مسیحبه ترتیب (شکل 10.). اثبات آن لازم است MNKL- متوازی الاضلاع.

مثلثی را در نظر بگیرید ABD. МN МNموازی ABو برابر نصف آن است.

مثلثی را در نظر بگیرید ABC. LK- خط میانی با خاصیت خط میانی ، LKموازی ABو برابر نصف آن است.

و МN، و LKموازی AB... به معنای، МNموازی LKتوسط قضیه سه خط موازی

ما آن را در چهار ضلعی دریافت می کنیم MNKL- طرفین МNو LKموازی و مساوی هستند ، زیرا МNو LKبرابر با نصف AB... بنابراین ، بر اساس متوازی الاضلاع ، چهار ضلعی MNKLمطابق نیاز ، یک متوازی الاضلاع است.

2) زاویه بین خطوط مستقیم را پیدا کنید ABو سی دیاگر زاویه MNK= 135 درجه

همانطور که قبلاً ثابت کردیم ، МNموازی با خط مستقیم AB. NK- خط وسط مثلث ACD، از نظر دارایی ، NKموازی DC... بنابراین ، از طریق نقطه Nدو خط مستقیم وجود دارد МNو NKموازی با عبور از خطوط مستقیم ABو DCبه ترتیب. بنابراین ، زاویه بین خطوط مستقیم МNو NKزاویه بین خطوط عبور است ABو DC... به ما یک زاویه گنگ داده شده است MNK= 135 درجه زاویه بین خطوط مستقیم МNو NK- کوچکترین زاویه به دست آمده در تقاطع این خطوط مستقیم ، یعنی 45 درجه.

بنابراین ، ما زوایایی را که دارای جهت مشترک هستند در نظر گرفتیم و برابری آنها را ثابت کردیم. ما زوایای بین خطوط متقاطع و متقاطع را در نظر گرفتیم و چندین مشکل را برای یافتن زاویه بین دو خط مستقیم حل کردیم. در درس بعدی ، ما با حل مسئله و بازنگری نظریه ادامه می دهیم.

1. هندسه. کلاس 10-11: یک کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزشی (سطوح پایه و مشخصات) / I. M. Smirnova ، V. A. Smirnov. - چاپ پنجم ، بازبینی و تکمیل شده - M .: Mnemosina ، 2008. - 288 ص. : مریض

2. هندسه. پایه 10-11: کتاب درسی برای موسسات آموزشی عمومی / Sharygin I.F. - M: Bustard، 1999. - 208 p .: Ill.

3. هندسه. پایه 10: کتاب درسی برای موسسات آموزشی با مطالعه عمیق و تخصصی ریاضیات / E. V. Potoskuev ، L. I. Zvalich. - چاپ ششم ، کلیشه ای. - M .: Bustard ، 008.- 233 ص. : مریض

V) قبل از میلاد مسیحو د 1 در 1.

برنج. 11. زاویه بین خطوط مستقیم را بیابید

4. هندسه. کلاس 10-11: یک کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزشی (سطوح پایه و مشخصات) / I. M. Smirnova ، V. A. Smirnov. - چاپ 5 ، تجدید نظر شده و تکمیل شده - M: Mnemozina، 2008. - 288 ص: بیمار.

وظایف 13 ، 14 ، 15 ص 54