فرآیند حل انتگرال در علم به نام «ریاضیات» را انتگرال گویند. ادغام می تواند برای پیدا کردن برخی استفاده شود مقادیر فیزیکی: مساحت، حجم، جرم اجسام و موارد دیگر.

انتگرال ها نامعین و معین هستند. فرم را در نظر بگیرید انتگرال معینو سعی کنید معنای فیزیکی آن را درک کنید. به صورت زیر ظاهر می شود: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. ویژگی متمایزنوشتن یک انتگرال معین از یک نامشخص به این دلیل که محدودیت های انتگرال a و b وجود دارد. اکنون خواهیم فهمید که آنها برای چه هستند و انتگرال معین به چه معناست. در مفهوم هندسی چنین انتگرالی برابر مساحتشکل محدود شده توسط منحنی f(x)، خطوط a و b و محور Ox.

از شکل 1 می توان دید که انتگرال معین همان ناحیه ای است که سایه دار شده است به رنگ خاکستری. بیایید با یک مثال ساده آن را بررسی کنیم. بیایید با استفاده از ادغام مساحت شکل را در تصویر زیر پیدا کنیم و سپس با ضرب طول در عرض آن را به روش معمول محاسبه کنیم.

شکل 2 نشان می دهد که $ y=f(x)=3 $، $ a=1، b=2 $. حالا آنها را در تعریف انتگرال جایگزین می کنیم، دریافت می کنیم که $$ S=\int _a ^bf(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$$$=6-3=3 \text(unit)^2 $$ بیایید به روش معمول بررسی کنیم. در مورد ما، طول = 3، عرض شکل = 1. $$ S = \text(length) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(unit)^2 $$ همانطور که می بینید، همه چیز کاملا مطابقت داشت

این سوال مطرح می شود: چگونه انتگرال های نامعین را حل کنیم و معنای آنها چیست؟ راه حل چنین انتگرال هایی یافتن توابع ضد مشتق است. این فرآیند برعکس یافتن مشتق است. برای پیدا کردن پاد مشتق، می توانید از کمک ما در حل مسائل ریاضی استفاده کنید، یا باید به طور مستقل خصوصیات انتگرال ها و جدول ادغام ساده ترین توابع ابتدایی را به خاطر بسپارید. پیدا کردن به این شکل به نظر می رسد $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(که در آن) F(x) $ ضد مشتق $ f(x)، C = const $ است.

برای حل انتگرال، باید تابع $f(x)$ را با توجه به متغیر ادغام کنید. اگر تابع جدولی باشد، پاسخ در آن نوشته می شود فرم مناسب. در غیر این صورت، فرآیند به بدست آوردن یک تابع جدول از تابع $f(x) $ توسط تبدیلات ریاضی پیچیده کاهش می یابد. برای این وجود دارد روش های مختلفو خواص که در ادامه به آنها خواهیم پرداخت.

خب، حالا بیایید الگوریتمی بسازیم که چگونه انتگرال ها را برای آدمک ها حل کنیم؟

الگوریتم محاسبه انتگرال

1. انتگرال معین را پیدا کنید یا نه.
2. اگر تعریف نشده باشد، باید تابع ضد مشتق $ F(x) $ انتگرال $ f(x) $ را با استفاده از تبدیل‌های ریاضی که تابع $f(x) $ را به شکل جدولی می‌آورد، پیدا کنید.
3. اگر تعریف شده باشد، مرحله 2 باید انجام شود، و سپس حدود $a$ و $b$ را در تابع ضد مشتق $F(x)$ جایگزین کنید. با چه فرمولی این کار را انجام دهید، در مقاله "فرمول نیوتن لایب نیتس" خواهید آموخت.

نمونه های راه حل

بنابراین، شما یاد گرفته اید که چگونه انتگرال ها را برای آدمک ها حل کنید، نمونه هایی از حل انتگرال ها در قفسه ها مرتب شده اند. آنها معنای فیزیکی و هندسی خود را آموختند. روش های حل در مقالات دیگر مورد بحث قرار خواهند گرفت.

یافتن یک انتگرال نامعین (مجموعه ای از ضد مشتق ها یا "ضد مشتق ها") به معنای بازیابی یک تابع از مشتق شناخته شده این تابع است. مجموعه ای از آنتی مشتقات بازسازی شده اف(ایکس) + از جانب برای عملکرد f(ایکس) ثابت ادغام را در نظر می گیرد سی. با توجه به سرعت حرکت یک نقطه مادی (مشتق)، قانون حرکت این نقطه (اصلی) قابل بازیابی است. با توجه به شتاب حرکت یک نقطه - سرعت آن و قانون حرکت. همانطور که می بینید، ادغام زمینه وسیعی برای فعالیت شرلوک هلمز از فیزیک است. بله، و در اقتصاد، بسیاری از مفاهیم از طریق توابع و مشتقات آنها نمایش داده می شود و بنابراین، به عنوان مثال، می توان حجم محصول تولید شده را در زمان مناسب توسط بهره وری نیروی کار در یک برهه زمانی خاص (مشتق) بازگرداند.

برای یافتن انتگرال نامعین، به تعداد کمی نیاز است تعداد زیادی ازفرمول های ادغام اولیه اما فرآیند یافتن آن بسیار دشوارتر از استفاده صرف از این فرمول ها است. تمام پیچیدگی ها به ادغام مربوط نمی شود، بلکه مربوط به آوردن عبارت انتگرال پذیر به شکلی است که یافتن انتگرال نامعین را با استفاده از فرمول های اساسی ذکر شده در بالا ممکن می سازد. این بدان معنی است که برای شروع تمرین یکپارچه سازی، باید مهارت های تبدیل عبارات به دست آمده در دبیرستان را فعال کنید.

ما یاد خواهیم گرفت که با استفاده از انتگرال ها را پیدا کنیم خواص و جدول انتگرال های نامعیناز درس مفاهیم اساسی این مبحث (در پنجره ای جدید باز می شود).

روش های مختلفی برای یافتن انتگرال وجود دارد که یکی از آنهاست روش جایگزینی متغیرو روش ادغام توسط قطعات- ست آقایان اجباری برای همه کسانی که ریاضیات بالاتر را با موفقیت گذرانده اند. با این حال، شروع یادگیری ادغام با استفاده از روش بسط بر اساس دو قضیه زیر در مورد خواص انتگرال نامعین مفیدتر و خوشایندتر است که برای سهولت در اینجا تکرار می کنیم.

قضیه 3.عامل ثابت در انتگرال را می توان از علامت انتگرال نامعین خارج کرد، یعنی.

قضیه 4.انتگرال نامعین مجموع جبری تعداد محدودی از توابع برابر است با مجموع جبری انتگرال های نامعین این توابع، یعنی.

(2)

علاوه بر این، قانون زیر ممکن است در ادغام مفید باشد: اگر بیان انتگرال حاوی یک عامل ثابت باشد، آنگاه بیان ضد مشتق در متقابل عامل ثابت ضرب می شود.

(3)

از آنجایی که این درس مقدمه ای برای حل مشکلات یکپارچه سازی است، توجه به دو چیز که یا قبلا مرحله اولیه، یا کمی بعد ممکن است شما را شگفت زده کند. تعجب به این دلیل است که ادغام عمل معکوس تمایز است و انتگرال نامعین را به درستی می توان «ضد مشتق» نامید.

اولین چیزی که هنگام ادغام نباید تعجب کرد.در جدول انتگرال ها در بین فرمول های جدول مشتق فرمول هایی وجود دارند که مشابهی ندارند . اینها فرمول های زیر هستند:

با این حال، می توان تأیید کرد که مشتقات عبارات سمت راست این فرمول ها با انتگرال های مربوطه مطابقت دارند.

دومین چیزی که هنگام ادغام نباید تعجب کرد. اگرچه مشتق هر تابع ابتدایی نیز یک تابع ابتدایی است، انتگرال های نامعین برخی از توابع ابتدایی دیگر توابع ابتدایی نیستند . نمونه هایی از این انتگرال ها عبارتند از:

مهارت های زیر برای توسعه یک تکنیک انتگرال گیری مفید خواهد بود: کاهش کسرها، تقسیم یک چند جمله ای در صورت یک کسر بر یک تک جمله ای در مخرج (برای به دست آوردن مجموع انتگرال های نامشخص)، تبدیل ریشه ها به یک درجه، ضرب یک تک جمله ای در یک چند جمله ای، افزایش به توان. این مهارت ها برای تبدیل انتگرال مورد نیاز است، که باید به مجموع انتگرال های موجود در جدول انتگرال ها منجر شود.

یافتن انتگرال های نامعین با هم

مثال 1انتگرال نامعین را پیدا کنید

.

راه حل. در مخرج انتگرال چند جمله ای را می بینیم که x در آن مجذور می شود. این تقریباً یک علامت مطمئن است که می توان انتگرال جدول 21 (با مماس قوس حاصل) را اعمال کرد. ضریب دو را از مخرج خارج می کنیم (چنین خاصیتی از انتگرال وجود دارد - یک عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد، که در بالا به عنوان قضیه 3 ذکر شد). نتیجه همه اینها:

حال مخرج مجموع مربع هاست، یعنی می توانیم انتگرال جدول ذکر شده را اعمال کنیم. در نهایت به جواب می رسیم:

.

مثال 2انتگرال نامعین را پیدا کنید

راه حل. ما دوباره قضیه 3 را اعمال می کنیم - خاصیت انتگرال که بر اساس آن می توان عامل ثابت را از علامت انتگرال خارج کرد:

ما فرمول 7 را از جدول انتگرال ها (متغیر درجه) به انتگرال اعمال می کنیم:

.

کسرهای حاصل را کاهش می دهیم و جواب نهایی را داریم:

مثال 3انتگرال نامعین را پیدا کنید

راه حل. با اعمال اول قضیه 4 و سپس قضیه 3 روی خواص، این انتگرال را به صورت مجموع سه انتگرال می یابیم:

هر سه انتگرال به دست آمده به صورت جدولی هستند. ما از فرمول (7) از جدول انتگرال استفاده می کنیم n = 1/2, n= 2 و n= 1/5، و سپس

هر سه ثابت دلخواه را که هنگام یافتن سه انتگرال معرفی شده اند ترکیب می کند. بنابراین، در شرایط مشابه، تنها یک ثابت دلخواه (ثابت) ادغام باید معرفی شود.

مثال 4انتگرال نامعین را پیدا کنید

راه حل. وقتی در مخرج انتگرال یک تک جمله وجود دارد، می توانیم صورت را بر مخرج ترم بر جمله تقسیم کنیم. انتگرال اصلی به مجموع دو انتگرال تبدیل شد:

.

برای اعمال انتگرال جدول، ریشه ها را به توان تبدیل می کنیم و در اینجا پاسخ نهایی است:

ما به یافتن انتگرال های نامعین با هم ادامه می دهیم

مثال 7انتگرال نامعین را پیدا کنید

راه حل. اگر انتگرال را با دوجمله کردن دوجمله ای و تقسیم صورت بر مخرج جمله بر جمله تبدیل کنیم، انتگرال اصلی به مجموع سه انتگرال تبدیل می شود.

ضمیمه

انتگرال های آنلاین به سایت برای ادغام مطالب تحت پوشش دانش آموزان و دانش آموزان. و مهارت های عملی خود را تمرین کنید. یک راه حل کامل انتگرال آنلاین برای شما در چند لحظه به شما کمک می کند تا تمام مراحل فرآیند را تعیین کنید. ، به جز انتگرال جدولی. هر انتگرال جدولی به وضوح از یک مثال مشخص قابل مشاهده نیست، گاهی اوقات برای یافتن ضد مشتق باید تابع اصلی را تغییر دهید. در عمل، حل انتگرال ها به تفسیر مسئله یافتن اصل، یعنی پاد مشتق از یک خانواده نامتناهی از توابع ختم می شود، اما اگر حدود انتگرال داده شود، طبق فرمول نیوتن-لایب نیتس، باقی می ماند. فقط یک تابع واحد که محاسبات برای آن اعمال می شود. انتگرال های آنلاین انتگرال نامعین آنلاین و انتگرال معین آنلاین هستند. انتگرال یک تابع آنلاین مجموع هر عددی است که برای ادغام آنها در نظر گرفته شده است. بنابراین، به طور غیررسمی، انتگرال قطعی آنلاین، ناحیه بین نمودار تابع و محور x در داخل ادغام است. نمونه هایی از حل مسائل با انتگرال. اجازه دهید انتگرال مختلط را روی یک متغیر محاسبه کنیم و پاسخ آن را به حل بعدی مسئله مرتبط کنیم. همانطور که می گویند می توانید مستقیماً انتگرال انتگرال را پیدا کنید. هر انتگرال با دقت بالا مساحت یک شکل را که توسط خطوط محدود شده است تعیین می کند. این یکی از معانی هندسی آن است. این روش کار را برای دانش آموزان آسان می کند. در واقع چندین مرحله تأثیر زیادی بر تحلیل برداری نخواهد داشت. انتگرال تابع آنلاین مفهوم اساسی حساب انتگرال است حل انتگرال های نامعین. بر اساس قضیه اساسی تحلیل، انتگرال گیری، عملیات معکوس تمایز است که به حل معادلات دیفرانسیل کمک می کند. چندین تعاریف مختلف از عملیات یکپارچه سازی وجود دارد که در جزئیات فنی متفاوت است. با این حال، همه آنها سازگار هستند، یعنی هر دو روش ادغام، اگر بتوان آنها را برای یک تابع معین اعمال کرد، نتیجه یکسانی را به همراه خواهد داشت. ساده ترین انتگرال ریمان است - یک انتگرال معین یا یک انتگرال نامعین. به طور غیررسمی، انتگرال یک تابع از یک متغیر را می توان به عنوان مساحت زیر نمودار معرفی کرد (شکل محصور شده بین نمودار تابع و محور x). هر گونه مشکل فرعی می تواند توجیه کند که محاسبه انتگرال در همان ابتدای یک رویکرد مهم بسیار ضروری است. فراموشش نکن! در تلاش برای یافتن این ناحیه، می توان شکل هایی متشکل از تعدادی مستطیل عمودی را در نظر گرفت که پایه های آنها با هم یک قطعه یکپارچه را تشکیل می دهند و از تقسیم قطعه به تعداد مربوطه قطعه کوچک به دست می آیند. حل انتگرال آنلاین انتگرال آنلاین - انتگرال نامعین آنلاین و انتگرال معین آنلاین. حل انتگرال آنلاین: انتگرال نامعین آنلاین و انتگرال معین آنلاین. ماشین حساب انتگرال ها را با شرح اقدامات به طور مفصل و رایگان حل می کند! انتگرال نامعین آنلاین برای یک تابع، مجموع همه ضد مشتقات تابع داده شده است. اگر یک تابع در یک بازه تعریف شده و پیوسته باشد، آن را دارد تابع ضد مشتق(یا خانواده ای از بدوی ها). انتگرال فقط یک عبارت را تعریف می کند که شرایط آن توسط شما در صورت بروز چنین نیازی تعیین می شود. بهتر است با دقت به این موضوع برخورد کنید و از کار انجام شده رضایت درونی را تجربه کنید. اما محاسبه انتگرال به روشی متفاوت از انتگرال کلاسیک، گاهی به نتایج غیرمنتظره ای منجر می شود و نباید از این موضوع تعجب کرد. خوشحالم از این واقعیت که تأثیر مثبتی بر آنچه در حال وقوع است خواهد داشت. لیست انتگرال معین و انتگرال نامعین انتگرال با جزئیات کامل راه حل گام به گام. همه انتگرال ها با یک راه حل دقیق آنلاین. انتگرال نامعین. یافتن انتگرال نامعین آنلاین یک کار بسیار رایج در ریاضیات عالی و غیره است بخش های فنیعلوم پایه. روش های اساسی یکپارچه سازی تعریف انتگرال، انتگرال معین و نامعین، جدول انتگرال، فرمول نیوتن لایب نیتس. و دوباره، می توانید انتگرال خود را با استفاده از جدول عبارات انتگرال پیدا کنید، اما هنوز باید به این موضوع برسید، زیرا همه چیز به آن سادگی که در نگاه اول به نظر می رسد نیست. قبل از یافتن اشتباهات، به ساختمان های تکمیل شده فکر کنید. انتگرال معین و روش های محاسبه آن. انتگرال قطعی آنلاین با حد بالایی متغیر. حل انتگرال به صورت آنلاین هر مثالی که به محاسبه انتگرال با استفاده از فرمول های جدولی کمک کند خواهد بود راهنمای مفیداقدام برای دانش آموزان در هر سطح آموزشی. گام بحرانیدر راه رسیدن به پاسخ صحیح. انتگرال های نامعین حاوی توابع نمایی و لگاریتمی. حل انتگرال ها به صورت آنلاین - دریافت خواهید کرد راه حل دقیقبرای انواع متفاوتانتگرال: نامعین، معین، نامناسب. ماشین حساب انتگرال های معین، انتگرال قطعی آنلاین یک تابع را در یک بازه زمانی با استفاده از یکپارچه سازی عددی محاسبه می کند. انتگرال یک تابع مشابه مجموع یک دنباله است. به طور غیررسمی، یک انتگرال معین مساحت بخشی از نمودار یک تابع است. راه حل انتگرال آنلاین انتگرال آنلاین - انتگرال نامعین آنلاین و انتگرال معین آنلاین. اغلب، چنین انتگرالی تعیین می کند که یک جسم چقدر از جسمی با همان چگالی سنگین تر است، و فرقی نمی کند که چه شکلی باشد، زیرا سطح آب را جذب نمی کند. حل انتگرال آنلاین.. انتگرال آنلاین - انتگرال نامعین آنلاین و انتگرال معین آنلاین. هر دانشجوی مقطع کارشناسی می داند که چگونه انتگرال را به صورت آنلاین پیدا کند. روی پایه برنامه آموزشی مدرسهاین بخش از ریاضیات نیز مورد مطالعه قرار می گیرد، اما نه به طور جزئی، بلکه فقط مبانی چنین مبحث پیچیده و مهمی است. در بیشتر موارد، دانش‌آموزان مطالعه انتگرال‌ها را با نظریه‌ای گسترده شروع می‌کنند، که قبل از آن نیز موضوعات مهمی مانند مشتق و مقاطع به حد وجود دارد - آنها نیز حد هستند. حل انتگرال ها به تدریج با ابتدایی ترین مثال ها شروع می شود توابع ساده، و با اعمال بسیاری از رویکردها و قوانین پیشنهادی در قرن گذشته و حتی بسیار قبل از آن به پایان می رسد. حساب انتگرال ماهیت اکتشافی در دبیرستان ها و مدارس، یعنی در موسسات آموزشی متوسطه دارد. سایت ما همیشه به شما کمک می کند و حل انتگرال ها به صورت آنلاین به یک کار معمولی و مهمتر از همه قابل درک برای شما تبدیل می شود. بر اساس این منبع می توانید به راحتی در این بخش ریاضی به برتری دست یابید. با درک گام به گام قوانین آموخته شده، به عنوان مثال، مانند یکپارچه سازی، توسط قطعات یا استفاده از روش چبیشف، می توانید به راحتی هر آزمونی را برای حداکثر تعداد امتیاز حل کنید. پس چگونه می توان با استفاده از جدول انتگرال های شناخته شده برای همه، انتگرال را محاسبه کرد، اما به گونه ای که راه حل صحیح، صحیح و با دقیق ترین پاسخ ممکن باشد؟ چگونه می توان این را یاد گرفت و آیا انجام آن برای یک دانشجوی سال اول معمولی امکان پذیر است؟ در اسرع وقت? ما به این سوال پاسخ مثبت می دهیم - ممکن است! در این صورت شما نه تنها قادر به حل هر مثالی خواهید بود، بلکه به سطح یک مهندس درجه یک خواهید رسید. راز مثل همیشه ساده است - باید حداکثر تلاش را بکنید مقدار مورد نیاززمان برای خودآموزی متأسفانه هنوز هیچ کس راه دیگری را ارائه نکرده است! اما همه چیز آنقدر که در نگاه اول به نظر می رسد ابری نیست. اگر با این سوال به سرویس سایت ما مراجعه کنید، ما زندگی شما را آسانتر می کنیم، زیرا سایت ما می تواند انتگرال های آنلاین را به طور دقیق و با جزئیات محاسبه کند. سرعت بالاو پاسخ کاملا دقیق در هسته خود، انتگرال تعیین نمی کند که چگونه نسبت آرگومان ها بر ثبات سیستم به عنوان یک کل تأثیر می گذارد. اگر فقط همه چیز متعادل بود. همراه با نحوه یادگیری اصول اولیه این کار مبحث ریاضی، سرویس می تواند انتگرال هر انتگرال را پیدا کند، اگر این انتگرال در توابع ابتدایی قابل حل باشد. در غیر این صورت، برای انتگرال هایی که در توابع ابتدایی گرفته نشده اند، در عمل نیازی به یافتن پاسخی به صورت تحلیلی یا به عبارت دیگر به شکل صریح نیست. تمام محاسبات انتگرال ها به تعریف تابع ضد مشتق یک انتگرال معین کاهش می یابد. برای این کار ابتدا انتگرال نامعین را طبق تمام قوانین ریاضی آنلاین محاسبه کنید. سپس، در صورت لزوم، مقادیر بالا و پایین انتگرال را جایگزین کنید. اگر نیازی به تعیین یا محاسبه ندارید مقدار عددیانتگرال نامعین، سپس یک ثابت به تابع ضد مشتق حاصل اضافه می شود و بدین ترتیب خانواده ای از توابع ضد مشتق را تعریف می کند. جایگاه ویژه ای در علم و به طور کلی در هر زمینه مهندسی، از جمله مکانیک پیوسته، ادغام کل سیستم های مکانیکی، حرکات آنها و بسیاری موارد دیگر را توصیف می کند. در بسیاری از موارد، انتگرال کامپایل شده قانون حرکت یک نقطه مادی را تعیین می کند. ابزار بسیار مهمی در مطالعه علوم کاربردی است. بر این اساس، نمی توان در مورد محاسبات در مقیاس بزرگ برای تعیین قوانین وجود و رفتار سیستم های مکانیکی صحبت نکرد. ماشین حساب برای حل انتگرال به صورت آنلاین در وب سایت می باشد ابزار قدرتمند برای مهندسان حرفه ای ما بدون ابهام این را برای شما تضمین می کنیم، اما تنها پس از وارد کردن عبارت صحیح در ناحیه انتگرال، قادر خواهیم بود انتگرال شما را محاسبه کنیم. از اشتباه کردن نترسید، همه چیز در این مورد قابل تعمیر است! معمولاً حل انتگرال ها به استفاده از توابع جدولی از کتاب های درسی یا دایره المعارف های معروف خلاصه می شود. مانند هر انتگرال نامعین دیگری، طبق فرمول استاندارد و بدون هیچ گونه انتقاد خشن محاسبه می شود. دانش آموزان سال اول به راحتی و به طور طبیعی مطالب مورد مطالعه را در پرواز درک می کنند و گاهی اوقات بیش از دو دقیقه طول نمی کشد تا انتگرال را پیدا کنند. و اگر دانش آموزی جدول انتگرال ها را یاد گرفته باشد، به طور کلی می تواند پاسخ ها را در ذهن خود تعیین کند. بسط توابع توسط متغیرها نسبت به سطوح در ابتدا به معنای جهت برداری صحیح در نقطه ای از ابسیسا است. رفتار غیرقابل پیش‌بینی خطوط سطحی، انتگرال‌های خاصی را به عنوان مبنایی در منبع متقابل توابع ریاضی می‌گیرد. اگر به برش در هواپیما نگاه کنید، لبه سمت چپ توپ به استوانه ای که دایره در آن حک شده است، لمس نمی کند. مجموع نواحی کوچک تقسیم شده به صدها تابع پیوسته تکه تکه، انتگرال آنلاین تابع داده شده است. معنای مکانیکی انتگرال در بسیاری از مسائل کاربردی نهفته است، این تعیین حجم اجسام و محاسبه جرم بدن است. انتگرال های سه گانه و دوگانه فقط در این محاسبات دخیل هستند. ما اصرار داریم که انتگرال های آنلاین فقط زیر نظر اساتید مجرب و از طریق بررسی های متعدد حل شود، اغلب از ما در مورد پیشرفت دانش آموزانی که در سخنرانی ها شرکت نمی کنند، بدون دلیل آنها را رد می کنند، می پرسند، چگونه می توانند خود انتگرال را پیدا کنند. ما پاسخ می‌دهیم که دانش‌آموزان افرادی آزاد هستند و ممکن است به خوبی آموزش خارجی ببینند و در شرایط خانه راحت برای آزمون یا امتحان آماده شوند. در عرض چند ثانیه، سرویس ما به هر کسی که بخواهد انتگرال هر تابع معین را با توجه به یک متغیر محاسبه کند، کمک می کند. نتیجه به دست آمده را با گرفتن مشتق تابع ضد مشتق بررسی کنید. در این حالت، ثابت از محلول انتگرال ناپدید می شود. این قانون به وضوح برای همه است. همانطور که عملیات چند جهته اثبات می شود، انتگرال نامعین اغلب به تقسیم منطقه به قطعات کوچک کاهش می یابد. با این حال، برخی از دانش آموزان و دانش آموزان این الزام را نادیده می گیرند. مثل همیشه، انتگرال های آنلاین را می توان با جزئیات توسط سایت خدمات ما حل کرد و محدودیتی در تعداد درخواست ها وجود ندارد، همه چیز رایگان و در دسترس همه است. از این قبیل سایت ها کم نیستند که در عرض چند ثانیه جواب گام به گام بدهند و مهمتر از همه با دقت بالاو به روشی مناسب در آخرین مثال در صفحه پنجم مشق شبیکی را برآورده کرد که نشان دهنده نیاز به محاسبه انتگرال در مراحل است. اما نباید فراموش کنیم که چگونه می توان انتگرال را با استفاده از یک سرویس آماده، با زمان تست شده و آزمایش شده بر روی هزاران نمونه حل شده آنلاین پیدا کرد. این که چگونه چنین انتگرالی حرکت سیستم را تعیین می کند کاملاً به وضوح و به وضوح توسط ماهیت حرکت یک سیال چسبناک، که توسط این سیستم معادلات توصیف می شود، اثبات می شود.

انتگرال نامعین.
نمونه های راه حل تفصیلی

در این درس، مطالعه موضوع را آغاز می کنیم انتگرال نامعین، و همچنین نمونه هایی از راه حل های ساده ترین (و نه کاملاً) انتگرال ها را با جزئیات تجزیه و تحلیل کنید. در این مقاله، من خودم را به حداقل تئوری محدود می کنم، و اکنون وظیفه ما یادگیری نحوه حل انتگرال است.

برای تسلط موفقیت آمیز به مطالب چه چیزهایی باید بدانید؟ برای کنار آمدن با حساب انتگرال، باید بتوانید مشتقات را حداقل در سطح متوسط ​​پیدا کنید. بنابراین، در صورت راه اندازی مطالب، توصیه می کنم ابتدا درس ها را با دقت مطالعه کنید. چگونه مشتق را پیدا کنیم؟و مشتق تابع مختلط. اگر چندین ده (ترجیحاً صد) مشتق مستقل در پشت خود داشته باشید، تجربه اضافی نخواهد بود. حداقل، نباید با وظایفی که برای متمایز کردن ساده‌ترین و رایج‌ترین توابع انجام می‌شود، گیج شوید. به نظر می رسد، اگر مقاله بر انتگرال ها تمرکز کند، مشتقات چه ربطی به آن دارند؟! و موضوع اینجاست. واقعیت این است که یافتن مشتقات و یافتن انتگرال های نامعین (تمایز و انتگرال) دو تا هستند. عمل معکوسمانند جمع/تفریق یا ضرب/تقسیم. بنابراین، بدون مهارت (+ نوعی تجربه) در یافتن مشتقات، متأسفانه نمی توان بیشتر پیش رفت.

در این راستا به موارد زیر نیاز داریم مواد آموزشی: جدول مشتقو جدول انتگرال ها. راهنماهای راهنما را می توان در صفحه باز، دانلود یا چاپ کرد فرمول ها و جداول ریاضی.

دشواری مطالعه انتگرال های نامعین چیست؟ اگر در مشتقات به شدت 5 قانون تمایز، جدول مشتقات و الگوریتم اقدامات نسبتاً واضح وجود داشته باشد، در انتگرال ها همه چیز متفاوت است. ده ها روش و تکنیک ادغام وجود دارد. و اگر روش ادغام در ابتدا اشتباه انتخاب شده باشد (یعنی شما نمی دانید چگونه آن را حل کنید) ، انتگرال را می توان به معنای واقعی کلمه برای چند روز "خارج" کرد ، مانند یک ربوس واقعی که سعی می کند متوجه ترفندها و ترفندهای مختلف شود. . حتی برخی آن را دوست دارند. به هر حال ، این یک شوخی نیست ، من اغلب از دانش آموزان نظری مانند "من هرگز علاقه ای به حل حد یا مشتق نداشته ام ، اما انتگرال ها یک موضوع کاملاً متفاوت هستند ، هیجان انگیز است ، همیشه میل به حل کردن آن وجود دارد." "شکستن" یک انتگرال پیچیده." متوقف کردن. طنز سیاه بس است، بیایید به سراغ این انتگرال های بسیار نامعین برویم.

از آنجایی که راه های زیادی برای حل وجود دارد، پس قوری از کجا شروع به مطالعه انتگرال های نامعین می کند؟ در حساب انتگرال، به نظر من، سه رکن یا نوعی «محور» وجود دارد که هر چیز دیگری حول آن می چرخد. اول از همه، شما باید درک خوبی از ساده ترین انتگرال ها داشته باشید (این مقاله). سپس باید درس را با جزئیات کار کنید. این مهم ترین پذیرش! شاید حتی مهمترین مقاله از تمام مقالات من در مورد انتگرال ها باشد. و ثالثاً باید حتماً با روش ادغام توسط قطعات آشنا شوید ، زیرا با کمک آن کلاس گسترده ای از توابع یکپارچه شده است. اگر حداقل به این سه درس تسلط داشته باشید، در حال حاضر "دو تا" وجود ندارد. انتگرال توابع مثلثاتی، انتگرال کسری، انتگرال توابع کسری-گویا، انتگرال توابع غیرمنطقی (ریشه) را می توان بخشید، اما اگر در روش جایگزینی یا روش انتگرال گیری با قطعات «به گودال افتادید». ، آنگاه بسیار بسیار بد خواهد بود.

در Runet، بی انگیزه ها در حال حاضر بسیار رایج هستند. در چارچوب مطالعه انتگرال ها، برعکس، به سادگی لازم است محرک. همانطور که در آن شوخی در مورد واسیلی ایوانوویچ، که به پتکا و آنکا انگیزه داد. تنبل های عزیز و مفت خور و سایر دانش آموزان عادی حتما مطالب زیر را مطالعه کنید. دانش و مهارت در انتگرال نامعین در مطالعات بعدی، به ویژه هنگام مطالعه انتگرال معین، انتگرال های نامناسب، معادلات دیفرانسیل در سال دوم مورد نیاز خواهد بود. نیاز به گرفتن انتگرال حتی در تئوری احتمال بوجود می آید! به این ترتیب، بدون انتگرال، راه جلسه تابستان و دوره دوم واقعا بسته خواهد شد. جدی میگم نتیجه این است. هر چه انتگرال ها بیشتر باشد انواع مختلفشما حل کنید، زندگی بعدی راحت تر خواهد بود. بله، زمان زیادی طول می کشد، بله، گاهی اوقات شما آن را دوست ندارید، بله، گاهی اوقات "بله، انجیر با او، با این انتگرال، شاید گرفتار نشوید." اما، فکر بعدی باید روح را الهام بخشد و گرم کند، تلاش شما به طور کامل نتیجه خواهد داد! شما معادلات دیفرانسیل را مانند مهره ها شکسته و به راحتی با انتگرال هایی که در سایر بخش های ریاضیات بالاتر با آنها روبرو خواهید شد برخورد خواهید کرد. با پرداختن کیفی به انتگرال نامعین، در واقع بر چند بخش دیگر از برج تسلط دارید.

و بنابراین من نمی‌توانستم از ایجاد کردن خودداری کنم دوره فشردهدر مورد تکنیک یکپارچه سازی، که معلوم شد به طرز شگفت آوری کوتاه است - کسانی که مایلند می توانند از کتاب pdf استفاده کنند و خیلی سریع آماده شوند. اما مواد سایت به هیچ وجه بدتر نیست!

بنابراین، بیایید ساده شروع کنیم. بیایید به جدول انتگرال ها نگاه کنیم. همانطور که در مشتقات، چندین قانون یکپارچه سازی و جدولی از انتگرال های برخی از توابع ابتدایی را مشاهده می کنیم. به راحتی می توان دید که هر انتگرال جدولی (و در واقع هر انتگرال نامعین) دارای شکل زیر است:

بیایید مستقیماً به نماد و اصطلاحات بپردازیم:

- نماد یکپارچه

- تابع انتگرال (نوشته شده با حرف "s").

- نماد دیفرانسیل هنگام نوشتن انتگرال و در حین حل، مهم است که این نماد را گم نکنید. نقص قابل توجهی وجود خواهد داشت.

انتگرال یا "پر کردن" انتگرال است.

– تابع ضد مشتق.

مجموعه ای از توابع ضد مشتق است. شما نیازی به بارگذاری شدید عبارت ندارید، مهمترین چیز این است که در هر انتگرال نامشخص، یک ثابت به پاسخ اضافه می شود.

حل یک انتگرال به معنای یافتن یک تابع خاص با استفاده از برخی قوانین، تکنیک ها و یک جدول است.

بیایید دوباره به ورودی نگاه کنیم:

بیایید به جدول انتگرال ها نگاه کنیم.

چه اتفاقی می افتد؟ قسمت های چپ ما در حال چرخش هستندبه توابع دیگر: .

بیایید تعریف خود را ساده کنیم.

حل یک انتگرال نامعین به معنای تبدیل آن به یک تابع معین با استفاده از قوانین، تکنیک ها و جدول است.

برای مثال انتگرال جدول را در نظر بگیرید . چی شد؟ به یک تابع تبدیل شده است.

همانطور که در مورد مشتقات، برای یادگیری نحوه یافتن انتگرال ها، نیازی به آگاهی از انتگرال چیست، تابع ضد مشتق از دیدگاه نظری. فقط انجام دگرگونی ها طبق برخی قوانین رسمی کافی است. بنابراین، در مورد درک اینکه چرا انتگرال دقیقاً به آن تبدیل می شود اصلاً ضروری نیست. در حالی که می توان این فرمول و سایر فرمول ها را بدیهی دانست. همه از الکتریسیته استفاده می کنند، اما تعداد کمی از مردم به این فکر می کنند که چگونه الکترون ها در طول سیم ها حرکت می کنند.

از آنجایی که تمایز و ادغام عملیات متضاد هستند، پس برای هر ضد مشتقی که یافت می شود درست، موارد زیر درست است:

به عبارت دیگر، اگر پاسخ صحیح متمایز شود، لزوماً باید انتگرال اصلی به دست آید.

بیایید به همان انتگرال جدول برگردیم .

بیایید صحت این فرمول را بررسی کنیم. مشتق سمت راست را می گیریم:

انتگرال اصلی است.

به هر حال، واضح تر شد که چرا یک ثابت همیشه به یک تابع اختصاص داده می شود. هنگام تمایز، یک ثابت همیشه به صفر تبدیل می شود.

انتگرال نامعین را حل کنیدیعنی پیدا کردن بسیاری از همهضد مشتقات، و نه یک تابع واحد. در مثال جدولی در نظر گرفته شده،،،، و غیره - همه این توابع راه حل انتگرال هستند. راه حل های بی نهایت زیادی وجود دارد، بنابراین آنها به طور خلاصه می نویسند:

بنابراین، بررسی هر انتگرال نامعین بسیار آسان است (برخلاف مشتقات، که در آن یک بررسی صد پوندی خوب فقط با کمک برنامه های ریاضی انجام می شود). این مقداری جبران برای تعداد زیاد انتگرال است انواع متفاوت.

بیایید به بررسی ادامه دهیم نمونه های عینی. بیایید شروع کنیم، همانطور که در مطالعه مشتق،
با دو قانون ادغام، همچنین نامیده می شود ویژگی های خطی انتگرال نامعین:

- یک عامل ثابت را می توان (و باید) از علامت انتگرال خارج کرد.

– انتگرال مجموع جبری دو تابع برابر است با مجموع جبری دو انتگرال هر تابع به طور جداگانه. این ویژگی برای هر تعداد شرایط معتبر است.

همانطور که می بینید، قوانین اساساً مانند مشتقات است.

مثال 1

راه حل: بازنویسی آن روی کاغذ راحت تر است.

(1) اعمال قانون . فراموش نکنید که علامت دیفرانسیل را زیر هر انتگرال بنویسید. چرا زیر هر کدام؟ یک ضریب کامل است، اگر محلول را با جزئیات زیاد رنگ کنید، مرحله اول باید به صورت زیر نوشته شود:

(2) طبق قاعده ، تمام ثابت ها را از علائم انتگرال ها خارج می کنیم. لطفا توجه داشته باشید که در ترم آخر ثابت است، ما آن را نیز خارج می کنیم.
علاوه بر این، در این مرحله ریشه ها و درجات را برای ادغام آماده می کنیم. همانطور که با تمایز، ریشه ها باید در فرم نشان داده شوند. ریشه ها و درجاتی که در مخرج قرار دارند - به سمت بالا حرکت می کنند.

! نکته: بر خلاف مشتقات، ریشه در انتگرال ها همیشه نباید به شکل آورده شود، بلکه درجات باید به سمت بالا منتقل شوند. به عنوان مثال، یک انتگرال جدولی آماده است، و انواع ترفندهای چینی مانند کاملا غیر ضروری به طور مشابه: - همچنین یک انتگرال جدولی، نشان دادن کسری در شکل معنی ندارد. جدول را با دقت مطالعه کنید!

(3) همه انتگرال ها جدولی هستند. ما تبدیل را با استفاده از جدول و با استفاده از فرمول ها انجام می دهیم: , و .
من به فرمول ادغام توجه ویژه ای دارم تابع توان ، خیلی اوقات اتفاق می افتد، بهتر است آن را به خاطر بسپارید. لازم به ذکر است که جدول انتگرال - مورد خاصهمین فرمول: .
کافی است ثابت را یک بار در انتهای عبارت اضافه کنید (و بعد از هر انتگرال قرار ندهید).
(4) نتیجه به دست آمده را به شکل فشرده تر می نویسیم، دوباره تمام درجات فرم را به عنوان ریشه ارائه می دهیم، درجات با توان منفی به مخرج بازنشانی می شوند.

معاینه. برای انجام بررسی، باید پاسخ دریافتی را متمایز کنید:

اولیه یکپارچه، بنابراین انتگرال به درستی پیدا می شود. از آنچه رقصیدند، به آن بازگشتند. میدونی، خیلی خوبه وقتی داستان انتگرال همینطور به پایان میرسه.

گاه به گاه رویکرد کمی متفاوت برای بررسی انتگرال نامعین وجود دارد، نه مشتق، اما دیفرانسیل از پاسخ گرفته می شود:

اونایی که از ترم اول فهمیدن فهمیدن ولی الان به ظرافت های نظری علاقه نداریم ولی مهم اینه که با این دیفرانسیل چیکار کنیم. باید آشکار شود، و از نظر فنی رسمی، این تقریباً مشابه یافتن یک مشتق است. دیفرانسیل به صورت زیر آشکار می شود: نماد را حذف می کنیم، یک ضربه در سمت راست بالای براکت قرار می دهیم، در پایان عبارت ضریب را نسبت می دهیم:

اولیه دریافت کرد یکپارچه، بنابراین انتگرال به درستی پیدا می شود.

من روش دوم را برای بررسی کمتر دوست دارم، زیرا باید علاوه بر این باید براکت های بزرگ بکشم و نماد دیفرانسیل را تا انتهای بررسی بکشم. هر چند صحیح تر یا «محکم تر» یا چیزی شبیه به آن باشد.

در واقع، من به طور کلی می توانستم در مورد روش دوم تأیید سکوت کنم. نکته در روش نیست، بلکه در این است که ما یاد گرفته ایم دیفرانسیل را باز کنیم. از نو.

دیفرانسیل به صورت زیر آشکار می شود:

1) نماد را حذف کنید.
2) یک سکته مغزی در سمت راست بالای براکت قرار دهید (تعریف مشتق).
3) در پایان عبارت فاکتور را نسبت می دهیم.

مثلا:

این را به خاطر بسپار. ما خیلی زود به تکنیک در نظر گرفته شده نیاز خواهیم داشت.

مثال 2

انتگرال نامعین را پیدا کنید. یک چک اجرا کنید.

وقتی یک انتگرال نامعین پیدا می کنیم، همیشه سعی می کنیم بررسی کنیمعلاوه بر این، یک فرصت عالی برای این وجود دارد. همه انواع مسائل در ریاضیات عالی از این نظر هدیه نیستند. مهم نیست که تأیید اغلب در کارهای کنترلی مورد نیاز نیست، هیچ کس، و هیچ چیز مانع از انجام آن در یک پیش نویس نمی شود. فقط زمانی می توان استثنا قائل شد که زمان کافی وجود نداشته باشد (مثلاً در آزمون، امتحان). من شخصاً همیشه انتگرال ها را بررسی می کنم و عدم تأیید را یک هک و یک کار ضعیف می دانم.

مثال 3

انتگرال نامعین را پیدا کنید. یک چک اجرا کنید.

راه‌حل: با تجزیه و تحلیل انتگرال، می‌بینیم که حاصلضرب دو تابع داریم و حتی یک عبارت کامل را به توان می‌رسانیم. متاسفانه در میدان نبرد انتگرال هیچ فرمول خوب و مناسبی برای ادغام محصول و ضریب وجود ندارد. , .

و بنابراین، هنگامی که یک محصول یا یک ضریب داده می شود، همیشه منطقی است که ببینیم آیا امکان تبدیل انتگرال به مجموع وجود دارد؟

مثال در نظر گرفته شده موردی است که ممکن است. اول میارم راه حل کامل، نظرات در زیر خواهد بود.

(1) از فرمول خوب قدیمی مجذور مجموع برای خلاص شدن از درجه استفاده می کنیم.

(2) ما در براکت ها قرار می دهیم و از شر محصول خلاص می شویم.

مثال 4

انتگرال نامعین را پیدا کنید. یک چک اجرا کنید.

این یک مثال برای حل خود است. پاسخ و حل کامل در پایان درس.

مثال 5

انتگرال نامعین را پیدا کنید. یک چک اجرا کنید.

که در این مثالانتگرال کسری است. وقتی کسری را در انتگرال می بینیم، اولین فکر باید این سوال باشد: آیا می توان به نحوی از شر این کسر خلاص شد یا حداقل آن را ساده کرد؟

متوجه می‌شویم که مخرج دارای یک ریشه تنها از "x" است. یکی در میدان جنگجو نیست، به این معنی که می توانید صورت را به مخرج ترم تقسیم کنید:

اقدامات با قدرت های کسریمن نظری نمی دهم، زیرا آنها بارها در مقالات در مورد مشتق یک تابع مورد بحث قرار گرفته اند. اگر هنوز در مورد چنین مثالی گیج هستید و به هیچ وجه نمی توانید پاسخ درست را دریافت کنید، توصیه می کنم به کتاب های درسی مدرسه مراجعه کنید. در ریاضیات بالاتر، در هر مرحله با کسرها و عملیات با آنها مواجه می شویم.

همچنین توجه داشته باشید که راه حل یک مرحله، یعنی اعمال قوانین را نادیده می گیرد , . معمولاً حتی با تجربه اولیه حل انتگرال ها، این ویژگی ها بدیهی تلقی می شوند و به تفصیل توضیح داده نمی شوند.

مثال 6

انتگرال نامعین را پیدا کنید. یک چک اجرا کنید.

این یک مثال برای حل خود است. پاسخ و حل کامل در پایان درس.

که در مورد کلیبا کسری در انتگرال چندان ساده نیست، مواد اضافیدر مورد ادغام کسری از برخی از انواع را می توان در مقاله یافت ادغام برخی کسرها.

! اما، قبل از رفتن به مقاله بالا، باید درس را بخوانید. روش جایگزینی در انتگرال نامعین. واقعیت این است که جمع کردن یک تابع تحت یک روش تغییر دیفرانسیل یا متغیر است نقطه کلیدی در مطالعه موضوع، زیرا نه تنها "در تکالیف خالص برای روش جایگزینی"، بلکه در بسیاری از انواع دیگر انتگرال ها نیز یافت می شود.

من واقعاً می خواستم چند مثال دیگر را در این درس قرار دهم، اما اکنون در حال تایپ این متن در Verde هستم و متوجه شدم که مقاله قبلاً به اندازه مناسبی رسیده است.
و بنابراین دوره مقدماتی انتگرال برای آدمک ها به پایان رسیده است.

برای شما آرزوی موفقیت می کنم!

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2: راه حل:

مثال 4: راه حل:

در این مثال از فرمول ضرب کاهش یافته استفاده کردیم

مثال 6: راه حل:

من چک کردم، شما؟ ;)

قبلاً، برای یک تابع معین، با فرمول ها و قوانین مختلف، مشتق آن را پیدا کردیم. این مشتق کاربردهای متعددی دارد: سرعت حرکت (یا به طور کلی، سرعت هر فرآیند) است. شیب مماس بر نمودار تابع؛ با استفاده از مشتق، می توانید تابع را برای یکنواختی و افراط بررسی کنید. به حل مسائل بهینه سازی کمک می کند.

اما در کنار مشکل یافتن سرعت از یک قانون شناخته شده حرکت، یک مشکل معکوس نیز وجود دارد - مشکل بازگرداندن قانون حرکت از یک سرعت شناخته شده. بیایید یکی از این مشکلات را در نظر بگیریم.

مثال 1یک نقطه مادی در امتداد یک خط مستقیم حرکت می کند، سرعت حرکت آن در زمان t با فرمول v=gt به دست می آید. قانون حرکت را پیدا کنید.
راه حل. اجازه دهید s = s(t) قانون حرکت مورد نظر باشد. مشخص است که s"(t) = v(t). بنابراین، برای حل مشکل، باید یک تابع s = s(t) را انتخاب کنید که مشتق آن برابر با gt است. حدس زدن اینکه \( s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \) در واقع
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \راست)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t=gt\)
پاسخ: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

بلافاصله توجه می کنیم که مثال به درستی حل شده است، اما ناقص است. ما \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \) دریافت کردیم. در واقع، مسئله بی نهایت راه حل دارد: هر تابعی از شکل \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C \)، که در آن C یک ثابت دلخواه است، می تواند به عنوان قانون عمل کند. حرکت، از آنجایی که \(\ چپ (\frac(gt^2)(2) +C \راست)" = gt \)

برای مشخص‌تر کردن مشکل، باید وضعیت اولیه را برطرف می‌کردیم: مختصات نقطه متحرک را در یک نقطه از زمان نشان دهید، به عنوان مثال، در t = 0. اگر، مثلا، s(0) = s 0، پس از برابری s(t) = (gt 2)/2 + C را می گیریم: s(0) = 0 + C، یعنی C = s 0. اکنون قانون حرکت به طور منحصر به فردی تعریف شده است: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

در ریاضیات، عملیات معکوس متقابل به نام های مختلف اختصاص داده می شود، آنها با نمادهای خاصی می آیند، به عنوان مثال: مربع (x 2) و استخراج ریشه دوم(\(\sqrt(x) \))، سینوس (sin x) و arcsine (arcsin x) و غیره. فرآیند یافتن مشتق با توجه به یک تابع داده شده نامیده می شود. تفکیکو عمل معکوس، یعنی فرآیند یافتن یک تابع توسط یک مشتق معین، - ادغام.

خود اصطلاح "مشتق" را می توان "به روشی دنیوی" توجیه کرد: تابع y \u003d f (x) "به دنیا تولید می کند" یک تابع جدید y" \u003d f "(x). تابع y \u003d f (x) به عنوان یک "والد" عمل می کند، اما ریاضیدانان، البته، آن را "والد" یا "تولیدکننده" نمی نامند، آنها می گویند که این در رابطه با تابع y است. = f" (x)، تصویر اولیه یا ضد مشتق.

تعریف.تابع y = F(x) پاد مشتق برای تابع y = f(x) در بازه X نامیده می شود اگر \(x\in X\) برابری F"(x) = f(x) را برآورده کند.

در عمل، بازه X معمولاً مشخص نمی شود، بلکه ضمنی (به عنوان دامنه طبیعی تابع).

بیایید مثال بزنیم.
1) تابع y \u003d x 2 یک پاد مشتق برای تابع y \u003d 2x است، زیرا برای هر x برابری (x 2) "\u003d 2x درست است
2) تابع y \u003d x 3 یک پاد مشتق برای تابع y \u003d 3x 2 است، زیرا برای هر x برابری (x 3)" \u003d 3x 2 درست است
3) تابع y \u003d sin (x) یک پاد مشتق برای تابع y \u003d cos (x) است، زیرا برای هر x برابری (sin (x)) "= cos (x) صادق است

هنگام یافتن ضد مشتقات، و همچنین مشتقات، نه تنها از فرمول ها استفاده می شود، بلکه از برخی قوانین نیز استفاده می شود. آنها به طور مستقیم با قوانین مربوطه برای محاسبه مشتقات مرتبط هستند.

می دانیم که مشتق یک جمع برابر است با مجموع مشتقات. این قانون قانون مربوطه را برای یافتن ضد مشتقات ایجاد می کند.

قانون 1ضد مشتق یک جمع برابر است با مجموع ضد مشتقات.

می دانیم که عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد. این قانون قانون مربوطه را برای یافتن ضد مشتقات ایجاد می کند.

قانون 2اگر F(x) یک پاد مشتق برای f(x) باشد، پس kF(x) یک پاد مشتق برای kf(x) است.

قضیه 1.اگر y = F(x) پاد مشتق برای تابع y = f(x) باشد، پس ضد مشتق برای تابع y = f(kx + m) تابع \(y=\frac(1)(k)F است. (kx+m) \)

قضیه 2.اگر y = F(x) یک پاد مشتق برای تابع y = f(x) در بازه X باشد، تابع y = f(x) بی نهایت پاد مشتق دارد و همه آنها به شکل y = F(x) هستند. + سی.

روش های یکپارچه سازی

روش جایگزینی متغیر (روش جایگزینی)

روش ادغام جایگزینی شامل معرفی یک متغیر ادغام جدید (یعنی جایگزینی) است. در این حالت، انتگرال داده شده به یک انتگرال جدید کاهش می یابد که به صورت جدولی یا قابل تقلیل به آن است. روش های عمومیانتخاب جایگزین وجود ندارد. توانایی تعیین صحیح جایگزینی با تمرین به دست می آید.
اجازه دهید برای محاسبه انتگرال \(\textstyle \int F(x)dx \) لازم باشد. بیایید یک جایگزین \(x= \varphi(t) \) بسازیم که در آن \(\varphi(t) \) تابعی است که مشتق پیوسته دارد.
سپس \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) و بر اساس ویژگی عدم تغییر فرمول انتگرال انتگرال نامشخص، فرمول انتگرال گیری جایگزینی را بدست می آوریم:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

ادغام عباراتی مانند \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

اگر m فرد باشد، m > 0، آنگاه راحت تر است که جایگزینی را sin x = t انجام دهیم.
اگر n فرد باشد، n> 0، آنگاه راحت تر است که جایگزینی cos x = t را ایجاد کنیم.
اگر n و m زوج باشند، بهتر است جایگزینی tg x = t را انجام دهیم.

یکپارچه سازی توسط قطعات

ادغام با قطعات - با استفاده از فرمول زیر برای یکپارچه سازی:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
یا:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

جدول انتگرال های نامعین (ضد مشتق) برخی از توابع

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $ $ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x + C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$