تمام اضلاع یک چهار گوش به شکل دایره است. چهارضلعی های حک شده و توصیف شده و خواص آنها موادی برای آمادگی برای امتحان ریاضی هستند. معیار این است که چهارضلعی که از دو مثلث تشکیل شده است در یک دایره محاط شود

قضیه 1. مجموع زوایای مقابل یک چهارضلعی محاطی برابر است با 180 درجه.

بگذارید ABCD چهار ضلعی در دایره ای با مرکز O حک شود (شکل 412). لازم است ثابت شود که ∠A + ∠C = 180 درجه و ∠B + ∠D = 180 درجه.

∠A، همانطور که در دایره O حک شده است، اندازه 1 / 2 \(\breve(BCD)\) است.

∠С همانطور که در همان دایره حک شده است با 1/2 \(\breve(BAD)\) اندازه گیری می شود.

بنابراین، مجموع زوایای A و C با نصف مجموع کمان‌های BCD و BAD اندازه‌گیری می‌شود؛ در مجموع، این کمان‌ها یک دایره را تشکیل می‌دهند، یعنی. دارای 360 درجه

بنابراین ∠A + ∠C = 360 درجه: 2 = 180 درجه.

به طور مشابه ثابت شده است که ∠B + ∠D = 180 درجه. با این حال، این را می توان به روش دیگری نیز استخراج کرد. می دانیم که مجموع زوایای داخلی یک چهارضلعی محدب 360 درجه است. مجموع زوایای A و C 180 درجه است، یعنی مجموع دو زاویه دیگر چهارضلعی نیز 180 درجه باقی می ماند.

قضیه 2 (معکوس). اگر مجموع دو زاویه مقابل در یک چهارضلعی برابر باشد 180 درجه ، می توان دایره ای را در مورد چنین چهارضلعی محدود کرد.

بگذارید مجموع زوایای مقابل چهار ضلعی ABCD 180 درجه باشد، یعنی

∠A + ∠C = 180 درجه و ∠B + ∠D = 180 درجه (شکل 412).

اجازه دهید ثابت کنیم که یک دایره را می توان به دور چنین چهار ضلعی محدود کرد.

اثبات. از هر 3 رأس این چهار ضلعی می توان دایره ای رسم کرد، مثلاً از نقاط A، B و C. نقطه D در کجا قرار خواهد گرفت؟

نقطه D فقط می تواند یکی از سه موقعیت زیر را بگیرد: داخل دایره، خارج از دایره، روی محیط دایره باشد.

فرض کنید راس داخل دایره است و موقعیت D' ​​را می گیرد (شکل 413). سپس در چهارضلعی ABCD' خواهیم داشت:

∠B + ∠D' = 2 د.

با ادامه ضلع AD' تا تقاطع با دایره در نقطه E و اتصال نقاط E و C، چهارضلعی محاطی ABCE را به دست می آوریم که در آن، طبق قضیه مستقیم

∠B + ∠E = 2 د.

از این دو برابری به دست می آید:

∠D' = 2 د-∠B;

∠E = 2 د-∠B;

اما این نمی تواند باشد، زیرا ∠D'، به عنوان خارجی مثلث CD'E، باید بزرگتر از زاویه E باشد. بنابراین، نقطه D نمی تواند داخل دایره باشد.

همچنین ثابت شده است که راس D نمی تواند موقعیت D" را در خارج از دایره اشغال کند (شکل 414).

باید تشخیص داد که راس D باید روی محیط دایره قرار گیرد، یعنی با نقطه E منطبق باشد، به این معنی که یک دایره را می توان در نزدیکی چهار ضلعی ABCD محصور کرد.

عواقب.

1. یک دایره را می توان دور هر مستطیلی محصور کرد.

2. یک دایره را می توان دور یک ذوزنقه متساوی الساقین احاطه کرد.

در هر دو حالت مجموع زوایای مقابل 180 درجه است.

قضیه 3. در چهارضلعی محصور، مجموع اضلاع مقابل برابر است. اجازه دهید چهارضلعی ABCD به دور یک دایره محصور شود (شکل 415)، یعنی اضلاع AB، BC، CD و DA بر این دایره مماس هستند.

اثبات اینکه AB + CD = AD + BC لازم است. نقاط تماس را با حروف M، N، K، P مشخص می کنیم. بر اساس خواص مماس های کشیده شده به دایره از یک نقطه، داریم:

اجازه دهید این برابری ها را ترم به ترم اضافه کنیم. ما گرفتیم:

AR + BP + DN + CN = AK + BM + DK + SM،

یعنی AB + CD = AD + BC که قرار بود ثابت شود.

مواد دیگر

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط‌مشی رازداری ایجاد کرده‌ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را توضیح می‌دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هرگونه سوال با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر نمونه هایی از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آتی به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و پیام‌های مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدماتی که ارائه می کنیم و توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما ارائه می دهیم، استفاده کنیم.
• اگر در قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابه شرکت کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی به دلایل امنیتی، اجرای قانون یا سایر دلایل منافع عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین در برابر دسترسی، افشا، تغییر و تخریب غیرمجاز انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

بخش ها: ریاضی ، مسابقه "ارائه برای درس"

ارائه برای درس

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلاید فقط برای اهداف اطلاعاتی است و ممکن است گستره کامل ارائه را نشان ندهد. اگر به این کار علاقه دارید، لطفا نسخه کامل را دانلود کنید.

اهداف

آموزشی.ایجاد شرایط برای جذب موفقیت آمیز مفهوم چهارضلعی توصیف شده، ویژگی ها، ویژگی های آن و تسلط بر مهارت های به کارگیری آنها در عمل.

در حال توسعه. توسعه توانایی های ریاضی، ایجاد شرایط برای توانایی تعمیم و به کارگیری رشته فکری مستقیم و معکوس.

آموزشی. افزایش حس زیبایی با زیبایی شناسی نقاشی ها، شگفت زده کردن با غیر معمول

تصمیم گیری، تشکیل سازمان، مسئولیت نتایج کار آنها.

1. تعریف چهارضلعی محصور را مطالعه کنید.

2. خاصیت اضلاع چهارضلعی محصور را ثابت کنید.

3. دوگانگی خصوصیات مجموع اضلاع مقابل و زوایای متقابل چهارضلعی های محاطی و محصور را معرفی کنید.

4. دادن تجربه در کاربرد عملی قضایای در نظر گرفته شده در حل مسائل.

5. کنترل اولیه سطح جذب مواد جدید را انجام دهید.

تجهیزات:

• کامپیوتر، پروژکتور؛
• کتاب درسی «هندسه. پایه های 10-11 اینچ برای آموزش عمومی. موسسات: پایه و مشخصات. سطوح خودکار A.V. پوگورلوف.

نرم افزار: Microsoft Word، Microsoft Power Point.

استفاده از کامپیوتر برای آماده کردن معلم برای درس.

با استفاده از برنامه استاندارد سیستم عامل ویندوز ایجاد شده برای درس:

1. ارائه.
2. جداول.
3. نقشه ها
4. جزوه.

طرح درس

زمان سازماندهی (2 دقیقه.)

بررسی تکالیف (5 دقیقه.)

یادگیری مطالب جدید. (28 دقیقه)

کار مستقل. (7 دقیقه)

مشق شب. (1 دقیقه)

خلاصه درس. (2 دقیقه.)

در طول کلاس ها

1. لحظه سازمانی. با درود. پیام در مورد موضوع و هدف درس. تاریخ و موضوع درس را در دفتر یادداشت بنویسید.

2. بررسی تکالیف.

3. یادگیری مطالب جدید.

روی مفهوم چندضلعی محدود کار کنید.

تعریف. چند ضلعی نامیده می شود شرح داده شدهدور دایره اگر همه طرف او نگرانی چند دایره

سوال کدام یک از چند ضلعی های پیشنهادی محدود هستند و کدام نه و چرا؟

<Презентация. Слайд №2>

اثبات خواص چهارضلعی محصور.

<Презентация. Слайд №3>

قضیه. در چهارضلعی محصور، مجموع اضلاع مقابل برابر است.

دانش آموزان با کتاب درسی کار می کنند، صورت بندی قضیه را در یک دفتر یادداشت می کنند.

1. بیان قضیه را به صورت جمله شرطی ارائه کنید.

2. شرط قضیه چیست؟

3. نتیجه قضیه چیست؟

پاسخ. اگرچهار ضلعی محصور در یک دایره، سپسمجموع اضلاع مقابل برابر است

اثبات در حال انجام است، دانش آموزان در یک دفتر یادداشت می کنند.

<Презентация. Слайд №4>

معلم. توجه داشته باشید ثنویت موقعیت هایی برای اضلاع و زوایای چهارضلعی محصور و محاط شده.

تلفیق دانش کسب شده.

وظایف

اضلاع مقابل چهارضلعی 8 متر و 12 متر است آیا می توانید محیط را پیدا کنید؟

وظایف با توجه به نقشه های آماده.<Презентация. Слайд №5>

پاسخ. 1. 10 متر 2. 20 متر 3. 21 متر

اثبات ویژگی چهارضلعی محصور.

قضیه معکوس را بیان کنید.

پاسخ. اگر مجموع اضلاع مقابل در یک چهار ضلعی برابر باشد، می توان دایره ای را در آن حک کرد. (بازگشت به اسلاید 2، شکل 7) <Презентация. Слайд №2>

معلم. فرمول قضیه را اصلاح کنید.

قضیه. اگر مجموع اضلاع مقابل محدبچهار ضلعی ها مساوی هستند، سپس می توان یک دایره در آن حک کرد.

با کتاب درسی کار کنید. برای آشنایی با اثبات علامت ربع توصیف شده طبق کتاب درسی.

کاربرد دانش کسب شده

3. وظایف با توجه به نقشه های آماده.

1. آیا می توان دایره ای را در چهار ضلعی با اضلاع مقابل هم 9 متر و 4 متر و 10 متر و 3 متر حک کرد؟

2. آیا می توان دایره ای را در ذوزنقه متساوی الساقین با پایه های 1 متر و 9 متر و ارتفاع 3 متر حک کرد؟

<Презентация. Слайд №6>

کار مکتوب در دفترچه

.

یک وظیفه.شعاع دایره ای را که در یک لوزی با قطرهای 6 متر و 8 متر محاط شده است را بیابید.

<Презентация. Слайд № 7>

4. کار مستقل.

1 گزینه

1. آیا می توان دایره ای را نوشت؟

1) به یک مستطیل با اضلاع 7 متر و 10 متر،

2. اضلاع مقابل یک چهارضلعی که دور دایره محصور شده است 7 متر و 10 متر است.

محیط چهار ضلعی را پیدا کنید.

3. ذوزنقه ای متساوی الساقین با قاعده های 4 متر و 16 متر به دور دایره ای احاطه شده است.

1) شعاع دایره محاطی شده،

گزینه 2

1. آیا می توان دایره را نوشت:

1) در متوازی الاضلاع با اضلاع 6 متر و 13 متر،

2) در یک مربع؟

2. اضلاع مقابل چهار ضلعی که دور دایره قرار دارد 9 متر و 11 متر است. محیط چهارضلعی را پیدا کنید.

3. یک ذوزنقه متساوی الساقین با ضلع جانبی 5 متر دور دایره ای به شعاع 2 متر احاطه شده است.

1) پایه ذوزنقه،

2) شعاع دایره محدود شده.

5. تکالیف. ص 86، شماره 28، 29، 30.

6. نتیجه درس. کار مستقل بررسی می شود، نمرات داده می شود.

<Презентация. Слайд № 8>

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

• در هندسه اقلیدسی، چهارضلعی حکاکی شدهچهار ضلعی است که در آن همه رئوس روی یک دایره قرار دارند. این دایره نامیده می شود دایره محدود شدهچهار ضلعی، و گفته می شود که رئوس روی یک دایره قرار دارند. مرکز این دایره و شعاع آن به ترتیب نامیده می شوند مرکزو شعاعدایره محدود شده سایر اصطلاحات این چهارضلعی: چهار ضلعی روی یک دایره قرار دارد، اضلاع چهارضلعی آخر وترهای دایره هستند. معمولاً فرض بر این است که یک چهارضلعی محدب یک چهارضلعی محدب است. فرمول ها و ویژگی های ارائه شده در زیر در حالت محدب معتبر هستند.
• می گویند که اگر یک دایره را می توان دور یک چهار ضلعی محصور کرد، سپس چهارضلعی در این دایره حک شده است، و بالعکس.

معیارهای کلی چهارضلعی که باید درج شود

• در مورد یک چهار ضلعی محدب $\backslash pi$رادیان) یعنی:

$\backslash \; زاویه\; A\; +\backslash \; زاویه\; C\; =\; \backslash \; زاویه\; B\; +\; \backslash \; زاویه\; D\; =\; 180^\backslash circ$

یا در نماد شکل:

$\backslash alpha\; +\; \backslash gamma\; =\; \backslash بتا\; +\; \backslash delta\; =\; \backslash pi\; =\; 180^(\backslash circ).$

• می‌توان دایره‌ای را در اطراف هر چهارضلعی توصیف کرد که در آن چهار نیم‌ساز عمود بر اضلاع آن (یا میانجی‌های اضلاع آن، یعنی عمود بر ضلع‌هایی که از نقاط میانی خود می‌گذرند) در یک نقطه تلاقی می‌کنند.
• می توان دایره ای را در مورد هر چهار ضلعی که یک زاویه خارجی مجاور آن دارد ترسیم کرد زاویه داخلی داده شده، دقیقاً برابر با یک زاویه داخلی دیگر در مقابل گوشه داخلی داده شده. در واقع این شرط شرط ضد موازی بودن دو ضلع متضاد چهارضلعی است. روی انجیر گوشه های بیرونی و مجاور داخلی پنج ضلعی سبز در زیر نشان داده شده است.

$\backslash displaystyle\; AX\backslash cdot\; XC\; =\; BX\backslash cdot\; XD.$

• تقاطع ایکسممکن است داخلی یا خارجی دایره باشد. در حالت اول، چهارضلعی محاط شده است آ ب پ ت، و در حالت دوم یک چهارضلعی محاط به دست می آوریم ABDC. هنگام عبور از داخل یک دایره، تساوی می گوید که حاصل ضرب طول قطعاتی است که در آن نقطه است ایکستقسیم یک مورب برابر است با حاصل ضرب طول قطعاتی که در آن نقطه است ایکسمورب دیگر را تقسیم می کند. این شرط به «قضیه وترهای متقاطع» معروف است. در مورد ما، مورب های چهارضلعی محاطی، وترهای دایره هستند.
• یکی دیگر از معیارهای واجد شرایط بودن. چهارضلعی محدب آ ب پ تیک دایره حک می شود اگر و فقط اگر

$\backslash tan(\backslash frac(\backslash alpha)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash گاما)(2))=\backslash tan(\backslash frac(\backslash بتا)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash delta)(\; 2))\; =\; 1.$

معیارهای خاص برای چهارضلعی که باید درج شود

یک چهار ضلعی ساده محاط شده (بدون خودتقاطع) محدب است. یک دایره را می توان در مورد یک چهار ضلعی محدب محصور کرد اگر و فقط در صورتی که مجموع زوایای مقابل آن 180 درجه باشد. $\backslash pi$رادیان). می توانید یک دایره را در اطراف توصیف کنید:

• هر پاد متوازی الاضلاع
• هر مستطیل (مورد خاص مربع)
• هر ذوزنقه متساوی الساقین
• هر چهار ضلعی با دو زاویه متضاد راست.

خواص

فرمول هایی با مورب

$ef=ac+bd$; $\backslash frac(e)(f)\; =\; \backslash frac(a\backslash cdot\; d+b\backslash cdot\; c)(a\backslash cdot\; b+c\backslash cdot\; d).$

در آخرین فرمول جفت اضلاع مجاور صورتگر آو د, بو جانتهای آنها را روی قطری از طول قرار دهید ه. یک عبارت مشابه برای مخرج وجود دارد.

• فرمول برای طول های مورب(عواقب ):

$e\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ad+bc))(ab+cd))$و $f\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ab+cd))(ad+bc))$

فرمول با گوشه

برای یک چهارضلعی محاطی با دنباله ای از اضلاع آ , ب , ج , د، با نیم محیط پو زاویه آبین طرفین آو دتوابع مثلثاتی زاویه آتوسط فرمول ها داده می شود

$\backslash cos\; A\; =\; \backslash frac(a^2\; +\; d^2\; -\; b^2\; -\; c^2)(2(ad\; +\; bc))،$ $\backslash sin\; A\; =\; \backslash frac(2\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)))((ad+bc))،$ $\backslash tan\; \backslash frac(A)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-a)(p-d))((p-b)(p-c))).$

تزریق θ بین قطرها :p.26 است

$\backslash tan\; \backslash frac(\backslash theta)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d))((p-a)(p-c))).$

• اگر طرف مقابل آو جدر یک زاویه تلاقی می کنند φ ، سپس برابر است با

$\backslash cos(\backslash frac(\backslash varphi)(2))=\backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d)(b+d)^2)((ab+cd)(ad+bc)))،$

جایی که پنیم محیطی است. : p.31

شعاع دایره ای که حدود یک چهارضلعی است

فرمول پارامشوارا (پارامشوارا)

اگر چهارضلعی با اضلاع متوالی آ , ب , ج , دو نیمه محیطی پیک دایره حک شده است، سپس شعاع آن است فرمول پارامسوار:پ. 84

$R=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(\backslash frac((ab+cd)(ad+bc)(ac+bd))((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))).$

توسط ریاضیدان هندی پارامسوار در قرن پانزدهم (حدود 1380-1460) توسعه یافت.

• یک چهارضلعی محدب (شکل سمت راست را ببینید) که توسط چهار داده تشکیل شده است مستقیم میکل، در یک دایره حک می شود اگر و فقط اگر نقطه Miquel باشد ماز چهار ضلعی روی خطی قرار دارد که دو نقطه از شش نقطه تلاقی خطوط را به هم وصل می کند (آنهایی که رئوس چهارضلعی نیستند). آن موقع است که مدراز می کشد EF.

معیار این است که چهارضلعی که از دو مثلث تشکیل شده است در یک دایره محاط شود

$f^2\; =\; \backslash frac((ac+bd)(ad+bc))((ab+cd)).$

• شرط آخر بیانی برای مورب می دهد fچهار ضلعی که به صورت دایره ای از طول چهار ضلع آن حک شده است ( آ, ب, ج, د). این فرمول هنگام ضرب و معادل سازی قسمت های چپ و راست فرمول های بیان کننده ماهیت در یکدیگر بلافاصله دنبال می شود. قضیه اول و دوم بطلمیوس(به بالا نگاه کن).

معیار این است که چهار ضلعی که با یک خط مستقیم از مثلث بریده شده است در یک دایره حک شده است.

• یک خط مستقیم، ضد موازی با ضلع مثلث و قطع آن، یک چهارضلعی را از آن جدا می کند، که همیشه می توان یک دایره را دور آن محصور کرد.
• نتیجه. در نزدیکی یک پاد متوازی الاضلاع، که در آن دو ضلع مقابل هم پاد موازی هستند، همیشه می توان یک دایره را توصیف کرد.

مساحت یک چهارضلعی که به صورت دایره ای محاط شده است

انواع فرمول براهماگوپتا

$S=\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))،$که p نیم محیط چهارضلعی است. $S=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(-\; \backslash begin(vmatrix)$

a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end(vmatrix))

سایر فرمول های منطقه

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ab+cd)\backslash sin(B)$ $S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ac+bd)\backslash sin(\backslash theta)،$

جایی که θ هر یک از زوایای بین قطرها. به شرطی که زاویه آمستقیم نیست، مساحت را می توان به صورت :p.26 نیز بیان کرد

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(4)(a^2-b^2-c^2+d^2)\backslash tan(A).$ $\backslash displaystyle\; S=2R^2\backslash sin(A)\backslash sin(B)\backslash sin(\backslash theta)،$

جایی که آرشعاع دایره محدود شده است. به عنوان یک نتیجه مستقیم، ما نابرابری را داریم

$S\backslash le\; 2R^2،$

که در آن تساوی ممکن است اگر و تنها در صورتی که این چهارضلعی مربع باشد.

چهار گوش براهماگوپتا

چهارگوش براهماگوپتاچهارضلعی است که در دایره ای با طول ضلع های صحیح، مورب های عدد صحیح و مساحت عدد صحیح محاط شده است. تمام چهارضلعی های ممکن براهماگوپتا با اضلاع آ , ب , ج , د، با مورب ه , f، با مساحت اس، و شعاع دایره محدود شده آررا می توان با حذف مخرج عبارات زیر که شامل پارامترهای گویا هستند به دست آورد تی , تو، و v :

$a=$ $b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)$ $c=t(1+u^2)(1+v^2)$ $d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)$ $e=u(1+t^2)(1+v^2)$ $f=v(1+t^2)(1+u^2)$ $S=uv$ $4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).$

مثال ها

• چهارضلعی خصوصی که در دایره محاط شده اند عبارتند از: مستطیل، مربع، متساوی الساقین یا متساوی الساقین ذوزنقه، متوازی الاضلاع.

چهار ضلعی محاط شده در دایره با قطرهای عمود بر هم (چهارضلعی متعامد محاط)

خواص چهار ضلعی محاط شده در دایره با قطرهای عمود بر هم

شعاع دایره و مساحت محدود شده

برای چهار ضلعی محاط شده در دایره ای با قطرهای عمود بر هم، فرض کنید که محل تلاقی مورب ها یک مورب را به قطعات طولی تقسیم می کند. پ 1 و پ 2، و مورب دیگر را به قطعات طول تقسیم می کند q 1 و q 2. سپس (اولین برابری گزاره 11 در ارشمیدس است. کتاب لماس)

$D^2=p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2،$

جایی که دی- قطر دایره این درست است زیرا مورب ها بر وتر دایره عمود هستند. از این معادلات نتیجه می شود که شعاع دایره محدود شده است آررا می توان در قالب نوشت

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2)$

یا بر حسب اضلاع یک چهارضلعی در شکل

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(a^2+c^2)=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(b^2+d^2).$

همچنین از این نتیجه می شود که

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

• برای چهارضلعی های متعامد محاط، قضیه براهماگوپتا صادق است:

اگر یک چهار ضلعی محاطی دارای مورب های عمود بر هم باشد که در یک نقطه قطع می شوند $م$، سپس دو جفتآنتی مدیتریس از نقطه عبور کند $م$.

اظهار نظر. در این قضیه، آنتی مدیتریسبخش را درک کنید $F.E.$چهار ضلعی در شکل سمت راست (بر اساس قیاس با نیمساز عمود بر ضلع مثلث). بر یک ضلع عمود است و همزمان از وسط ضلع مقابل چهارضلعی می گذرد.

نظری در مورد مقاله "چهار ضلعی حک شده در یک دایره" بنویسید.

یادداشت

1. بردلی، کریستوفر جی (2007)، جبر هندسه: مختصات دکارتی، مساحتی و پروجکتیوادراک بالا، ص. 179, ISBN 1906338000, OCLC
2. . چهارضلعی محاط.
3. سیدونز، ا. دبلیو و هیوز، آر تی (1929)، مثلثات، انتشارات دانشگاه کمبریج، ص. 202، OCLC
4. Durell, C.V. & Robson, A. (2003) پیک دوور، ISBN 978-0-486-43229-8 ,
5. آلسینا، کلودی و نلسن، راجر بی. (2007)، ""، انجمن Geometricorum T. 7: 147-9 ,
6. جانسون، راجر آ. هندسه اقلیدسی پیشرفته، انتشارات دوور، 2007 (منبع 1929).
7. هوهن، لری (مارس 2000)، "شعاع چهارضلعی حلقوی"، روزنامه ریاضی T. 84 (499): 69-70
8. .
9. Altshiller-Court، Nathan (2007)، هندسه کالج: مقدمه ای بر هندسه مدرن مثلث و دایره(ویرایش دوم)، Courier Dover, ss. 131، 137–8، ISBN 978-0-486-45805-2، OCLC
10. هانسبرگر، راس (1995)، . اپیزودهای هندسه اقلیدسی قرن نوزدهم و بیستم، جلد 37، کتابخانه ریاضی جدید، انتشارات دانشگاه کمبریج، ص. 35–39، ISBN 978-0-88385-639-0
11. وایستاین، اریک دبلیو.(انگلیسی) در وب سایت Wolfram MathWorld.
12. بردلی، کریستوفر (2011) ,
13. .
14. کاکستر، هارولد اسکات مک دونالد و گریتزر، ساموئل ال. (1967)، . هندسه بازبینی شد، انجمن ریاضی آمریکا، صص. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
15. .
16. آندریسکو، تیتو و انسکو، بوگدان (2004)، . گنجینه های المپیاد ریاضی, Springer, ss. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
17. .
18. Buchholz, R. H. & MacDougall, J. A. (1999)، ""، بولتن انجمن ریاضی استرالیا T. 59 (2): 263-9 , DOI 10.1017/S0004972700032883
19. .
20. جانسون، راجر آ. هندسه اقلیدسی پیشرفته، انتشارات دوور شرکت، 2007
21. ، از جانب. 74.
22. .
23. .
24. .
25. پیتر، توماس (سپتامبر 2003)، "به حداکثر رساندن مساحت یک چهارضلعی"، مجله ریاضیات کالج T. 34 (4): 315-6
26. پراسولوف، ویکتور، ,
27. آلسینا، کلودی و نلسن، راجر (2009)، ، انجمن ریاضی آمریکا، ص. 64, ISBN 978-0-88385-342-9 ,
28. ساستری، ک.ر.س. (2002). "" (PDF). انجمن Geometricorum 2 : 167–173.
29. پوزامنتیر، آلفرد اس و سالکیند، چارلز تی (1970)، . مسائل چالش برانگیز در هندسه(ویرایش دوم)، Courier Dover, ss. 104–5، ISBN 978-0-486-69154-1
30. .
31. .
32. .

را نیز ببینید

بر اساس تعداد اضلاع درست مثلثها چهار ضلعی را نیز ببینید

مقاله حاوی ارجاعات کوتاه ("هاروارد") به انتشاراتی است که فهرست نشده اند یا به اشتباه در بخش کتابشناسی توضیح داده نشده اند. لیست لینک های غیر کار: , , , , , , , , , , - خب چیه قزاق من؟ (ماریا دیمیتریونا ناتاشا را قزاق نامید) - او گفت و با دست ناتاشا را نوازش کرد که بدون ترس و با خوشحالی به دست او نزدیک شد. -میدونم معجون دختره ولی دوستش دارم. او از شبکه بزرگش گوشواره های یاخون را با گلابی بیرون آورد و با دادن آنها به ناتاشا که در روز تولدش می درخشید و سرخ می شد ، بلافاصله از او دور شد و به سمت پیر چرخید. - آه، آه! نوع! بیا اینجا،» با صدایی آرام و باریک تمسخرآمیز گفت. -بیا عزیزم... و آستین هایش را به طرز تهدیدآمیزی حتی بالاتر زد. پیر آمد و ساده لوحانه از پشت عینک به او نگاه کرد. "بیا، بیا، عزیزم!" من حقیقت را به تنهایی به پدرت گفتم که اتفاقاً او شد و سپس خداوند به تو دستور می دهد. او مکث کرد. همه ساکت بودند و منتظر چیزی بودند که قرار بود بیاید و احساس می کردند که فقط یک مقدمه وجود دارد. - باشه، حرفی برای گفتن نیست! پسر خوب!... پدر روی تخت دراز می کشد، و خودش را سرگرم می کند، ربع را بر یک خرس سوار بر اسب می نشاند. شرمنده بابا، شرمنده! بهتره بریم جنگ برگشت و دستش را به کنت داد که به سختی می توانست جلوی خنده اش را بگیرد. - خوب، خوب، سر میز، من چای می خورم، وقتش است؟ ماریا دیمیتریونا گفت. شمارش با ماریا دیمیتریونا پیش رفت. سپس کنتس، که توسط یک سرهنگ هوسر رهبری می شد، فرد مناسبی که قرار بود نیکلای با هنگ برسد. Anna Mikhailovna با Shinshin است. برگ دستش را به ورا داد. جولی کاراژینا خندان با نیکولای به سمت میز رفت. پشت سر آنها زوج های دیگری آمدند که در سراسر سالن دراز کشیده بودند، و پشت سر آنها به تنهایی، کودکان، معلمان و فرمانداران. پیشخدمت ها تکان می خوردند، صندلی ها به صدا در می آمدند، موسیقی در غرفه های گروه کر پخش می شد و مهمانان در آنجا مستقر شدند. صداهای موسیقی خانگی کنت با صدای چاقو و چنگال، صدای مهمانان، صدای قدم های آرام پیشخدمت ها جایگزین شد. در یک سر میز، کنتس سر میز نشست. در سمت راست ماریا دمیتریونا، در سمت چپ آنا میخایلوونا و سایر مهمانان قرار دارد. در انتهای دیگر یک کنت، در سمت چپ یک سرهنگ هوسر، در سمت راست شینشین و سایر مهمانان مرد نشسته بودند. در یک طرف میز بلند، جوانان مسن تر: ورا در کنار برگ، پیر در کنار بوریس. از سوی دیگر، کودکان، معلمان و فرمانداران. کنت از پشت کریستال، بطری ها و گلدان های میوه، نگاهی به همسرش و کلاه بلند او با روبان های آبی انداخت و با جدیت برای همسایه ها شراب ریخت، بدون اینکه خود را فراموش کند. کنتس نیز به دلیل آناناس ها، بدون اینکه وظایف خود را به عنوان میزبان فراموش کند، نگاه های قابل توجهی به شوهرش انداخت که به نظر می رسید سر و صورت طاس او به شدت با قرمزی موهای خاکستری متمایز شده بود. صدای غوغای معمولی در انتهای خانم ها شنیده می شد. صداها بلندتر و بلندتر از مرد شنیده می شد، به خصوص سرهنگ هوسر، که آنقدر می خورد و می نوشید و بیشتر و بیشتر سرخ می شد که شمارش قبلاً او را به عنوان نمونه ای برای مهمانان دیگر قرار می داد. برگ، با لبخندی ملایم، با ورا در مورد این واقعیت صحبت کرد که عشق یک احساس زمینی نیست، بلکه آسمانی است. بوریس دوست جدیدش پیر را مهمانانی که پشت میز بودند صدا زد و با ناتاشا که روبروی او نشسته بود نگاهی رد و بدل کرد. پیر کم حرف می زد، به چهره های جدید نگاه می کرد و زیاد می خورد. از دو سوپ شروع کرد که از بین آنها یک لا تورتو، [لاک پشت] و کوله‌بیاکی انتخاب کرد و تا باقرقره، یک غذا و یک شراب را از دست نداد، که ساقی در بطری پیچیده شده در دستمال به طرز مرموزی بیرون زد. از روی شانه همسایه‌اش، می‌گوید یا «دیرای مادیرا، یا مجارستانی، یا شراب راین». اولین لیوان از چهار لیوان کریستالی را با مونوگرام کنت جایگزین کرد که جلوی هر وسیله ای می ایستاد و با لذت می نوشید و با نگاه دلپذیرتر به مهمانان نگاه می کرد. ناتاشا که روبروی او نشسته بود، به بوریس نگاه کرد، همانطور که دختران سیزده ساله به پسری که برای اولین بار با او بوسیده بودند و عاشق او هستند نگاه می کنند. همین نگاه او گاهی به پیر تبدیل می شد و زیر نگاه این دختر بامزه و سرزنده می خواست خودش بخندد، بی آنکه بداند چرا. نیکولای دورتر از سونیا، کنار جولی کاراژینا نشسته بود و دوباره با همان لبخند غیرارادی، چیزی به او گفت. سونیا لبخند هوشمندانه ای زد ، اما ظاهراً او از حسادت عذاب می داد: رنگ پریده شد ، سپس سرخ شد و با تمام توان به آنچه نیکولای و جولی به یکدیگر می گفتند گوش داد. فرماندار با ناراحتی به اطراف نگاه می کرد، گویی خود را برای رد کردن آماده می کرد، اگر کسی به فکر توهین به بچه ها بود. معلم آلمانی سعی کرد دسته بندی غذاها، دسرها و شراب ها را به خاطر بسپارد تا در نامه ای به خانواده اش در آلمان همه چیز را به تفصیل شرح دهد و از این که ساقی با بطری پیچیده شده در یک دستمال، اطراف را محاصره کرده بود، بسیار آزرده شد. به او. آلمانی اخم کرد، سعی کرد نشان دهد که نمی‌خواهد این شراب را دریافت کند، اما آزرده شد زیرا کسی نمی‌خواست بفهمد که او به شراب نیاز دارد تا تشنگی خود را برطرف نکند، نه از روی طمع، بلکه از روی کنجکاوی وجدانی. در انتهای مرد میز، گفتگو بیشتر و بیشتر زنده می شد. سرهنگ گفت که مانیفست اعلان جنگ قبلاً در پترزبورگ صادر شده بود و نسخه ای که خود او دیده بود اکنون با پیک به فرمانده کل تحویل داده شده است. - و چرا مبارزه با بناپارت برای ما سخت است؟ شینشین گفت. - II a deja rabattu le caquet a l "Autriche. Je crains, que cette fois ce ne soit notre tour. [او قبلاً استکبار را از اتریش به زمین زده است. می ترسم که نوبت ما نرسد.] سرهنگ یک آلمانی تنومند، بلند قد و خوش اخلاق بود، مشخصاً مبارز و میهن پرست. او از سخنان شینشین آزرده خاطر شد. او با تلفظ e به جای e و b به جای b گفت: «و پس، ما یک حاکم فربه هستیم. او به دلایلی به ویژه با گرایش گفت: "سپس، که امپراتور این را می داند. او در مانیفست خود گفت که نمی تواند به خطراتی که روسیه را تهدید می کند بی تفاوت نگاه کند و امنیت امپراتوری، عزت آن و قداست اتحادها". در مورد کلمه "اتحادیه ها"، گویی این اصل موضوع است. و با خاطره بی خطا و رسمی خود ، کلمات مقدماتی مانیفست را تکرار کرد ... "و آرزو ، هدف یگانه و ضروری حاکم ، برقراری صلح در اروپا بر پایه های محکم است - آنها تصمیم گرفتند بخشی از ارتش اکنون در خارج از کشور است و تلاش های جدیدی برای دستیابی به این هدف انجام می دهد. او با نوشیدن یک لیوان شراب آموزنده و برای تشویق به شمارش نگاه کرد: «به همین دلیل است، ما یک حاکم شایسته هستیم.» - Connaissez vous le proverbe: [این ضرب المثل را می دانی:] شینشین در حالی که می پیچید و می خندید گفت: «یرما، یرما، اگر می خواهی در خانه بنشینی، دوک هایت را تیز کن». – Cela nous convient a merveille. [این اتفاقاً برای ماست.] چرا سووروف - و او شکافته شد، یک بشقاب کوتور، [روی سر،] و سووروف‌های ما الان کجا هستند؟ Je vous demande un peu، [از شما می‌پرسم] - او مدام از روسی به فرانسوی می‌پرید. سرهنگ با کوبیدن به میز گفت: "ما باید تا روز بعد از قطره خون بجنگیم." و تا آنجا که ممکن است (او به خصوص صدایش را روی کلمه "ممکن" بیرون آورد)، تا حد امکان کمتر،" او پایان داد و دوباره به شمارش روی آورد. - پس ما هوسارهای قدیمی را قضاوت می کنیم، همین. و ای جوان و جوان هوسر چگونه قضاوت می کنی؟ او افزود و رو به نیکولای کرد که با شنیدن این که موضوع در مورد جنگ است، همکار خود را ترک کرد و با تمام چشمان خود نگاه کرد و با تمام گوش به سرهنگ گوش داد. نیکولای در حالی که همه جا برافروخته شد، بشقاب را برگرداند و لیوان ها را با چنان قیافه ای مصمم و ناامیدانه مرتب کرد، گفت: "من کاملاً با شما موافقم." من متقاعد شده ام که روس ها باید بمیر یا پیروز شو.» او گفت که خودش نیز مانند دیگران احساس می‌کرد، بعد از اینکه این کلمه قبلاً گفته شده بود، برای موقعیت کنونی بسیار پرشور و پرشور و در نتیجه ناجور است. جولی که کنارش نشسته بود و آه می‌کشید، گفت: سونیا همه جا می‌لرزید و تا گوش‌هایش، پشت گوش‌هایش سرخ شد. گردن و شانه های او در حالی که نیکلای صحبت می کرد. او گفت: "این خوب است." سرهنگ فریاد زد: "یک هوسر واقعی، مرد جوان." - اونجا در مورد چی حرف میزنی؟ صدای باس ماریا دمیتریونا ناگهان از روی میز شنیده شد. برای چی داری روی میز میکوبی؟ او رو به حصر کرد، "در مورد چه کسی هیجان زده می شوید؟ درست است، شما فکر می کنید که فرانسوی ها در مقابل شما هستند؟ هوسر با لبخند گفت: "راست را می گویم." کنت از روی میز فریاد زد: «همه چیز در مورد جنگ است. "بالاخره ، پسرم می آید ، ماریا دمیتریونا ، پسرم می آید. - و من چهار پسر در ارتش دارم، اما غمگین نیستم. همه چیز خواست خداست: روی اجاق دراز کشیده خواهید مرد و خداوند در جنگ رحمت خواهد کرد. - درست است. و گفتگو دوباره متمرکز شد - خانم ها در انتهای میز، مردها در انتهای میزشان. برادر کوچک به ناتاشا گفت: "اما تو نخواهی پرسید" ناتاشا پاسخ داد: "من می پرسم." صورتش ناگهان شعله ور شد و عزم ناامیدانه و شادی را نشان می داد. او نیمه بلند شد و پیر را که روبروی او نشسته بود دعوت کرد تا با یک نگاه گوش کند و رو به مادرش کرد: - مادر! صدای سینه کودکانه اش در سراسر میز به صدا درآمد. - چه چیزی می خواهید؟ کنتس ترسیده پرسید، اما وقتی از چهره دخترش دید که این یک شوخی است، دست خود را به شدت تکان داد و با سر خود یک حرکت تهدیدآمیز و منفی انجام داد. گفتگو خاموش شد. - مادر! چه کیکی خواهد بود - صدای ناتاشا قاطعانه تر به نظر می رسید، بدون شکست. کنتس می خواست اخم کند، اما نتوانست. ماریا دمیتریونا انگشت ضخیم خود را تکان داد. او با تهدید گفت: "قزاق." بیشتر مهمانان به بزرگان نگاه می کردند، نمی دانستند چگونه این شیرین کاری را انجام دهند. - من اینجام! کنتس گفت. - مادر! کیک چی میشه ناتاشا قبلاً جسورانه و با هوس باز فریاد زد و از قبل مطمئن بود که ترفند او مورد استقبال قرار خواهد گرفت. سونیا و پتیا چاق از خنده پنهان شده بودند. ناتاشا با برادر کوچکش و پیر که دوباره به آنها نگاه کرد زمزمه کرد: "بنابراین من پرسیدم." ماریا دمیتریونا گفت: "بستنی، اما آنها به شما نمی دهند." ناتاشا دید که چیزی برای ترسیدن وجود ندارد و بنابراین از ماریا دمیتریونا نیز نمی ترسید. - ماریا دمیتریونا؟ چه بستنی! من کره دوست ندارم - هویج. - نه، چی؟ ماریا دمیتریونا، کدام یک؟ او تقریباً فریاد زد. - میخواهم بدانم! ماریا دمیتریونا و کنتس خندیدند و همه مهمانان دنبال کردند. همه نه به پاسخ ماریا دمیتریونا، بلکه به شجاعت و مهارت غیرقابل درک این دختر، که می دانست و جرات داشت با ماریا دمیتریونا چنین رفتار کند، خندیدند. ناتاشا فقط زمانی عقب ماند که به او گفتند که آناناس وجود خواهد داشت. شامپاین قبل از بستنی سرو می شد. دوباره موسیقی شروع به نواختن کرد، کنت کنتس را بوسید و مهمانان که برخاستند به کنتس تبریک گفتند و با کنت، بچه ها و یکدیگر لیوان ها را روی میز به هم زدند. دوباره پیشخدمت ها دویدند، صندلی ها به صدا درآمدند، و مهمان ها به همان ترتیب، اما با چهره های قرمزتر، به اتاق پذیرایی و اتاق کار کنت بازگشتند. میزهای بوستون از هم جدا شدند، مهمانی ها برپا شد و مهمانان کنت در دو اتاق نشیمن، یک اتاق مبل و یک کتابخانه اسکان داده شدند. کنت که مثل یک هوادار کارت هایش را پخش می کرد، به سختی می توانست در برابر عادت چرت بعد از ظهر مقاومت کند و به همه چیز می خندید. جوانان، با تحریک کنتس، دور کلاویکورد و چنگ جمع شدند. جولی اولین کسی بود که به درخواست همه، قطعه ای را با تغییرات در چنگ نواخت و همراه با دختران دیگر از ناتاشا و نیکولای که به موسیقیایی خود معروف بودند، خواست که چیزی بخوانند. ناتاشا که به عنوان یک فرد بزرگ خطاب می شد، ظاهراً به این موضوع بسیار افتخار می کرد، اما در عین حال خجالتی بود. - چی بخونیم؟ او پرسید. نیکولای پاسخ داد: "کلید". -خب زود باش ناتاشا گفت بوریس بیا اینجا. - سونیا کجاست؟ نگاهی به اطراف انداخت و چون دید دوستش در اتاق نیست به دنبالش دوید. ناتاشا که به اتاق سونیا دوید و دوستش را در آنجا پیدا نکرد، به مهد کودک دوید - و سونیا آنجا نبود. ناتاشا متوجه شد که سونیا روی یک سینه در راهرو است. صندوقچه در راهرو محل غم و اندوه نسل جوان زن خانه روستوف ها بود. در واقع، سونیا، با لباس صورتی هوای خود، در حالی که آن را له می کرد، روی تخت پر دایه راه راه کثیف، روی سینه دراز کشید و در حالی که صورتش را با انگشتانش پوشانده بود، به شدت گریه می کرد و با شانه های برهنه می لرزید. صورت ناتاشا، پر جنب و جوش، در تمام طول روز، ناگهان تغییر کرد: چشمانش متوقف شد، سپس گردن پهنش لرزید، گوشه های لبش آویزان شد. - سونیا! چی هستی؟... چی شده، چه خبره؟ وو وو!… و ناتاشا که دهان بزرگ خود را باز کرد و کاملاً زشت شد ، مانند یک کودک غرش کرد ، بدون اینکه دلیلش را بداند و فقط به این دلیل که سونیا گریه می کرد. سونیا می خواست سرش را بلند کند، می خواست جواب بدهد، اما نتوانست و حتی بیشتر پنهان شد. ناتاشا گریه می کرد، روی تخت پر آبی نشسته بود و دوستش را در آغوش می گرفت. سونیا با جمع آوری قدرت از جایش بلند شد و شروع به پاک کردن اشک هایش کرد و گفت. - نیکولنکا یک هفته دیگر می رود، ... کاغذش ... بیرون آمد ... خودش به من گفت ... بله، گریه نمی کردم ... (کاغذی را که در دست داشت نشان داد: شعر نوشته نیکلای بود) من گریه نمی کردم، اما تو نمی توانی، تو نمی توانی... هیچ کس نمی تواند بفهمد... او چه روحی دارد. و او دوباره شروع به گریه کرد زیرا روح او بسیار خوب بود. او گفت: "این برای تو خوب است ... من حسادت نمی کنم ... من شما را دوست دارم و همچنین بوریس" ، او در حالی که کمی قدرتش را جمع می کند ، گفت: "او ناز است ... هیچ مانعی برای شما وجود ندارد. و نیکولای پسر عموی من است ... لازم است ... خود کلانشهر ... و این غیر ممکن است. و بعد، اگر مادرم ... (سونیا کنتس را در نظر گرفت و مادرش را صدا کرد) می گوید که من کار نیکولای را خراب می کنم ، قلب ندارم ، که ناسپاس هستم ، اما درست است ... به خدا ... ( او از خودش عبور کرد) من هم خیلی دوستش دارم و همه شما فقط ورا یکی هستید... برای چی؟ من با او چه کردم؟ من آنقدر از شما سپاسگزارم که خوشحال می شوم همه چیز را فدا کنم ، اما هیچ چیز ندارم ... سونیا دیگر نمی توانست صحبت کند و دوباره سرش را بین دستان و تخت پرش پنهان کرد. ناتاشا شروع به آرام شدن کرد، اما از چهره اش معلوم بود که اهمیت غم دوستش را درک کرده است. - سونیا! او ناگهان گفت که گویی دلیل واقعی غم و اندوه پسر عمویش را حدس می زند. "درسته، ورا بعد از شام با شما صحبت کرد؟" آره؟ - بله، خود نیکلای این اشعار را نوشت و من دیگران را نوشتم. او آنها را روی میز من پیدا کرد و گفت که آنها را به مامان نشان خواهد داد، و همچنین گفت که من ناسپاس هستم، که مامان هرگز اجازه نمی دهد او با من ازدواج کند و او با جولی ازدواج خواهد کرد. می بینید که او در تمام روز چگونه با او است ... ناتاشا! برای چی؟… و دوباره به شدت گریه کرد. ناتاشا او را بلند کرد، او را در آغوش گرفت و در حالی که اشک هایش لبخند می زد، شروع به دلداری دادن به او کرد. "سونیا، به او اعتماد نکن، عزیزم، نکن. یادت هست چگونه هر سه ما با نیکولنکا در اتاق مبل صحبت کردیم. بعد از شام یادت هست؟ پس از همه، ما تصمیم گرفته ایم که چگونه خواهد بود. یادم نیست چگونه، اما به یاد داشته باشید که چگونه همه چیز خوب بود و همه چیز ممکن است. برادر عمو شینشین با یک پسر عمو ازدواج کرده است و ما پسر عمویم. و بوریس گفت که این بسیار ممکن است. میدونی همه چی رو بهش گفتم و او بسیار باهوش و بسیار خوب است،" ناتاشا گفت ... "تو، سونیا، گریه نکن، عزیزم، عزیزم، سونیا. و او را بوسید و خندید. -ایمان بد است، خدا پشت و پناهش! و همه چیز خوب خواهد شد و او به مادرش نخواهد گفت. نیکولنکا به خودش خواهد گفت و او حتی به جولی فکر نمی کرد. و سرش را بوسید. سونیا از جایش بلند شد و بچه گربه بلند شد، چشمانش برق زد و به نظر می رسید آماده است دمش را تکان دهد، روی پنجه های نرمش بپرد و دوباره با توپ بازی کند، همانطور که برای او مناسب بود. - تو فکر می کنی؟ درست؟ بوسیله خداوند؟ گفت و سریع لباس و موهایش را مرتب کرد. - درسته به خدا! - ناتاشا پاسخ داد و دوستش را زیر داس یک رشته موی درشت که افتاده بود صاف کرد. و هر دو خندیدند. - خب بریم «کلید» بخونیم. - بریم به - و می دانی، این پیر چاق که روبروی من نشسته بود، خیلی بامزه است! ناتاشا ناگهان گفت و متوقف شد. -خیلی خوشم میاد! و ناتاشا در راهرو دوید. سونیا، با برس کشیدن کرک ها و پنهان کردن اشعار در آغوشش، تا گردن با استخوان های سینه بیرون زده، با قدم های سبک و شاد، با چهره ای برافروخته، در امتداد راهرو تا مبل به دنبال ناتاشا دوید. به درخواست مهمانان، جوانان کوارتت «کلید» را خواندند که همه آن را بسیار پسندیدند. سپس نیکولای دوباره آهنگی را که آموخته بود خواند. در یک شب دلپذیر، زیر نور ماه، شاد بودن را تصور کنید اینکه کس دیگری در دنیا هست کی به تو هم فکر میکنه! که او با یک دست زیبا، قدم زدن در امتداد چنگ طلایی، با هارمونی پرشورش خودش را صدا می کند، تو را می خواند! یک روز دیگر، دو، و بهشت ​​خواهد آمد... اما آه! دوستت زنده نخواهد ماند! و هنوز خواندن آخرین کلمات را تمام نکرده بود که در سالن جوانان برای رقص آماده شدند و نوازندگان در گروه های کر پاهای خود را به صدا درآوردند و سرفه کردند. پیر در اتاق نشیمن نشسته بود، جایی که شینشین، مانند یک بازدیدکننده از خارج، یک گفتگوی سیاسی را با او آغاز کرد که برای پیر کسل کننده بود، که دیگران نیز به آن ملحق شدند. وقتی موسیقی شروع شد، ناتاشا وارد اتاق نشیمن شد و در حالی که مستقیم به سمت پیر رفت و خنده و سرخ شده بود گفت: مامان به من گفت از تو بخواهم برقصی. پیر گفت: "من از اشتباه گرفتن چهره ها می ترسم، اما اگر می خواهید معلم من باشید ... و دست کلفتش را به دختر لاغر پایین آورد. در حالی که زوج ها در حال آماده شدن بودند و نوازندگان در حال ساختن بودند، پیر با خانم کوچکش نشست. ناتاشا کاملاً خوشحال بود. او با یک بزرگ که از خارج آمده بود رقصید. جلوی همه می نشست و مثل آدم بزرگی با او حرف می زد. او یک پنکه در دست داشت که یک خانم جوان به او داد تا آن را نگه دارد. و با گرفتن سکولارترین ژست (خدا میدونه از کجا و کی اینو یاد گرفت) در حالی که با یه پنکه خودش رو هواکش میکرد و از بین فن لبخند میزد با آقاش صحبت کرد. - چیه، چیه؟ کنتس پیر گفت، نگاه کن، از سالن عبور کرد و به ناتاشا اشاره کرد. ناتاشا سرخ شد و خندید. -خب مامان تو چی؟ خب دنبال چی میگردی؟ اینجا چه چیز تعجب آور است؟ در اواسط اکوسای سوم، صندلی های اتاق پذیرایی که کنت و ماریا دمیتریونا در حال بازی بودند شروع به هم زدن کردند و بیشتر مهمانان محترم و پیرمردها پس از یک نشستن طولانی دراز کردند و کیف و کیف پول را در خود گذاشتند. جیب، از درهای سالن بیرون رفت. ماریا دمیتریونا با کنت جلو رفت، هر دو با چهره های شاد. کنت، با ادب بازیگوش، گویی به شیوه ای باله، دست گرد خود را به سمت ماریا دمیتریونا دراز کرد. راست شد و صورتش با لبخندی مکر و شجاعانه روشن شد و به محض اینکه آخرین چهره اکوسیز رقصیده شد، دستانش را به طرف نوازندگان زد و بر سر گروه کر فریاد زد و به سمت اولین ویولن چرخید: - سمیون! آیا دانیلا کوپور را می شناسید؟ این رقص مورد علاقه کنت بود که در جوانی توسط او می رقصید. (دانیلو کوپور در واقع یکی از چهره های آنگلیز بود.) ناتاشا به کل سالن فریاد زد: "به پدر نگاه کن" (کاملاً فراموش کرد که با یک بزرگ می رقصد)، سر فرفری خود را تا زانوهایش خم کرد و در سراسر سالن به خنده های بلند خود منفجر شد. در واقع، همه حاضران در سالن با لبخند شادی به پیرمرد شادی نگاه کردند، که در کنار بانوی بزرگوارش، ماریا دمیتریونا، که از او بلندتر بود، دستانش را گرد کرد، به موقع تکان داد، شانه هایش را صاف کرد، دستانش را پیچاند. پاها، کمی پاهایش را می کوبد، و با لبخندی شکوفاتر و شکوفاتر روی صورت گردش، حاضران را برای اتفاقات بعدی آماده می کرد. به محض شنیدن صداهای شاد و سرسختانه دانیلا کوپور، شبیه یک جغجغه شاد، ناگهان تمام درهای سالن از یک سو توسط مردان و از سوی دیگر توسط چهره های خندان زن حیاط ها ساخته شد. بیرون تا به آقا شاد نگاه کنم. - پدر مال ماست! عقاب! دایه با صدای بلند از یک در گفت. کنت خوب می رقصید و می دانست، اما خانمش نمی دانست چطور و نمی خواست خوب برقصد. بدن بزرگ او با بازوهای قدرتمندش که آویزان شده بود، ایستاده بود (کیف را به کنتس داد). فقط صورت خشن اما زیبایش می رقصید. آنچه در کل شکل گرد شمارش، با ماریا دمیتریونا بیان می شد، فقط در چهره ای خندان و بینی متحرک بیان می شد. اما از سوی دیگر، اگر شمارش، پراکنده‌تر و پراکنده‌تر، تماشاگران را با ترفندهای ماهرانه و پرش‌های سبک پاهای نرمش مجذوب می‌کرد، ماریا دمیتریونا با کوچک‌ترین غیرتی در حرکت دادن شانه‌ها یا گرد کردن دست‌هایش به نوبت و لگدمال کردن، تأثیری کمتر بر شایستگی گذاشت، که مورد قدردانی همگان قرار گرفت. رقص بیشتر و پر جنب و جوش تر شد. همتایان نتوانستند برای یک دقیقه توجه را به خود جلب کنند و حتی سعی نکردند این کار را انجام دهند. همه چیز توسط کنت و ماریا دیمیتریونا اشغال شده بود. ناتاشا آستین ها و لباس های همه حاضران را که قبلاً چشمان خود را از رقصندگان برنداشته بودند کشید و از آنها خواست که به بابا نگاه کنند. در فواصل رقص، کنت نفس عمیقی می کشید، دست تکان می داد و به نوازندگان فریاد می زد که سریعتر بنوازند. سریع‌تر، سریع‌تر و سریع‌تر، بیشتر و بیشتر و بیشتر، شمارش باز شد، حالا روی نوک پا، حالا روی پاشنه پا، با عجله به اطراف ماریا دمیتریونا می‌چرخد و در نهایت، بانویش را به جایش می‌چرخاند، آخرین قدم را برداشته و پای نرمش را به سمت بالا بلند می‌کند. پشت سرش را خم کرد و با چهره ای خندان، دست راستش را در میان صدای تشویق و خنده، به خصوص ناتاشا، تکان داد. هر دو رقصنده ایستادند و به شدت نفس می‌کشیدند و خود را با دستمال‌های کامبریک پاک می‌کردند. کنت گفت: "در زمان ما اینگونه می رقصیدند، مادر." - اوه بله دانیلا کوپور! ماریا دمیتریونا گفت: نفسش را به شدت و پیوسته بیرون داد و آستین‌هایش را بالا زد. در حالی که انگلیس ششم در سالن روستوف ها با صدای نوازندگان خسته و بی صدا در حال رقصیدن بود و پیشخدمت ها و آشپزهای خسته مشغول تهیه شام ​​بودند، ضربه ششم با کنت بزوخیم اتفاق افتاد. پزشکان اعلام کردند که امیدی به بهبودی وجود ندارد. به بیمار اعتراف ناشنوا داده شد و به او اشتراک گذاشت. مقدمات وصال فراهم شده بود و خانه پر از هیاهو و اضطراب انتظار بود که در چنین لحظاتی رایج بود. بیرون از خانه، پشت دروازه‌ها، دفن‌کنان ازدحام می‌کردند و از کالسکه‌های نزدیک پنهان می‌شدند و منتظر سفارشی غنی برای تشییع جنازه کنت بودند. فرمانده کل مسکو که دائماً آجودانانی را برای اطلاع از موقعیت کنت می فرستاد، خود عصر همان روز برای خداحافظی با نجیب زاده معروف کاترین، کنت بزوخیم، آمد. اتاق پذیرایی باشکوه پر بود. همه با احترام از جا برخاستند که فرمانده کل قوا پس از حدود نیم ساعت خلوت با بیمار از آنجا بیرون آمد و کمی به تعظیم پاسخ داد و سعی کرد هر چه زودتر از چشم پزشکان و روحانیون و اقوام بگذرد. روی او ثابت شده است. شاهزاده واسیلی که در این روزها لاغرتر و رنگ پریده تر شده بود، فرمانده کل قوا را دید و بی سر و صدا چند بار چیزی را برای او تکرار کرد. شاهزاده واسیلی پس از رؤیت فرمانده کل قوا ، به تنهایی در سالن روی صندلی نشست ، پاهای خود را بالای پاهای خود انداخت ، آرنج خود را روی زانویش گذاشت و چشمانش را با دست بست. پس از مدتی نشستن به این صورت، از جایش بلند شد و با قدم های غیرعادی شتابزده، با چشمانی ترسیده به اطراف نگاه کرد، از راهروی طولانی به نیمه پشتی خانه رفت، به سمت شاهزاده خانم بزرگ. کسانی که در اتاق کم نور بودند با زمزمه ای ناهموار در میان خود صحبت می کردند و هر بار سکوت می کردند و با چشمانی پر از سوال و انتظار به دری که به اتاق مرد در حال مرگ می رفت نگاه می کردند و صدای ضعیفی در می آوردند که کسی آن را ترک کرد یا وارد آن شد. پیرمرد روحانی به بانویی که کنارش نشسته بود و ساده لوحانه به حرفش گوش می‌داد، گفت: «محدودیت تعیین شده است، اما نمی‌توانی از آن بگذری». - فکر می‌کنم برای انحراف خیلی دیر نیست؟ - با اضافه کردن یک عنوان معنوی، خانم پرسید که انگار در این مورد نظری ندارد.

نمونه هایی از چهار ضلعی های توصیف شده دلتوئیدها هستند که شامل لوزی ها هستند که به نوبه خود شامل مربع هستند. دلتوئیدها دقیقاً همان چهارضلعی های محصور هستند که متعامد هم هستند. اگر چهارضلعی چهارضلعی محصور و محاطی باشد به آن می گویند دو مرکزی.

خواص

در چهارضلعی توصیف شده، چهار نیمساز در مرکز دایره قطع می شوند. برعکس، یک چهارضلعی محدب که در آن چهار نیمساز در یک نقطه قطع می‌شوند، باید محصور شود و نقطه تلاقی نیم‌سازها مرکز دایره محاطی است.

اگر اضلاع مقابل در یک چهارضلعی محدب آ ب پ ت(که ذوزنقه نیست) در نقاطی تلاقی می کنند Eو اف، سپس آنها مماس بر دایره هستند اگر و فقط اگر

B E + B F = D E + D F (\displaystyle \displaystyle BE+BF=DE+DF) A E - E C = A F - F C. (\displaystyle \displaystyle AE-EC=AF-FC.)

تساوی دوم تقریباً همان برابری در است قضیه اورکوهارت. تفاوت فقط در علائم است - در قضیه اورکوهارت، مجموع، و در اینجا تفاوت ها (شکل سمت راست را ببینید).

شرط لازم و کافی دیگر چهارضلعی محدب است آ ب پ تتوضیح داده می شود اگر و فقط اگر مثلث های محاط شده ABCو ADCدایره ها یکدیگر را لمس می کنند.

توضیحات در گوشه های تشکیل شده توسط مورب BDبا اضلاع یک چهارضلعی آ ب پ ت، متعلق به ایوسیفسکو است. او در سال 1954 ثابت کرد که یک چهارضلعی محدب دایره دارد اگر و فقط اگر

tan ⁡ ∠ A B D 2 ⋅ tan ⁡ ∠ B D C 2 = tan ⁡ ∠ A D B 2 ⋅ tan ⁡ ∠ D B C 2 . (\displaystyle \tan (\frac (\ زاویه ABD)(2))\cdot \tan (\frac (\ زاویه BDC)(2))=\tan (\frac (\ زاویه ADB)(2))\cdot \ tan (\frac (\ زاویه DBC)(2)).) R a R c = R b R d (\displaystyle R_(a)R_(c)=R_(b)R_(d)),

جایی که آر آ , آر ب , آر ج , آر دشعاع دایره هایی هستند که از بیرون مماس بر اضلاع هستند آ, ب, ج, دبه ترتیب و ادامه اضلاع مجاور در هر طرف.

برخی از توصیفات دیگر برای چهار مثلث تشکیل شده توسط قطرها شناخته شده است.

برش های خاص

هشت بخش های مماساز چهار ضلعی محصور، قطعات بین رئوس و نقاط تماس در اضلاع هستند. هر رأس دارای دو بخش مماس مساوی است.

نقاط تماس یک چهار ضلعی محاط را تشکیل می دهند.

حوزه

فرمول های غیر مثلثاتی

K = 1 2 p 2 q 2 − (ac − bd) 2 (\displaystyle K=(\tfrac (1)(2))(\sqrt (p^(2)q^(2)-(ac-bd) ^(2)))),

دادن مساحت بر حسب مورب پ, qو مهمانی ها آ, ب, ج, دچهارضلعی مماس

مساحت را می توان بر حسب بخش های مماس نیز نشان داد (به بالا مراجعه کنید). اگر با آنها نشان داده شوند ه, f, g, ساعت، پس چهارضلعی مماس مساحت دارد

K = (e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f) . (\displaystyle K=(\sqrt ((e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef))).)

علاوه بر این، مساحت یک چهارضلعی مماس را می توان بر حسب اضلاع بیان کرد آ ب پ تو طول متناظر قطعات مماس e، f، g، h

K = a b c d − (eg − f h) 2 . (\displaystyle K=(\sqrt (abcd-(eg-fh)^(2))).)

تا جایی که به عنوان مثال = fhاگر و فقط اگر حک شده باشد، حداکثر مساحت را بدست می آوریم a b c d (\displaystyle (\sqrt(abcd)))فقط در چهارضلعی که هم زمان محصور و هم محاط هستند قابل دستیابی است.

فرمول های مثلثاتی

K = a b c d sin ⁡ A + C 2 = a b c d sin ⁡ B + D 2 . (\displaystyle K=(\sqrt (abcd))\sin (\frac (A+C)(2))=(\sqrt (abcd))\sin (\frac (B+D)(2)).)

برای یک حاصل ضرب اضلاع، مساحت حداکثر زمانی خواهد بود که چهارضلعی نیز یک محاط باشد. در این مورد K = a b c d (\displaystyle K=(\sqrt (abcd)))، از آنجایی که زوایای مقابل مکمل یکدیگر هستند. این را می توان به روش دیگری و با استفاده از تحلیل ریاضی ثابت کرد.

فرمول دیگری برای مساحت یک چهارضلعی محصور شده آ ب پ ت، با استفاده از دو زاویه مخالف

K = (OA ⋅ OC + OB ⋅ OD) sin ⁡ A + C 2 (\displaystyle K=\left(OA\cdot OC+OB\cdot OD\right)\sin (\frac (A+C)(2) )),

جایی که Oمرکز دایره محاطی است.

در واقع مساحت را فقط می توان بر حسب دو ضلع مجاور و دو زاویه مخالف بیان کرد.

K = a b sin⁡ B 2 csc ⁡ D 2 sin ⁡ B + D 2 . (\displaystyle K=ab\sin (\frac (B)(2))\csc (\frac (D)(2))\sin (\frac (B+D)(2)).) K = 1 2 | (a c − b d) tan⁡ θ | , (\displaystyle K=(\tfrac (1)(2))|(ac-bd)\tan (\theta )|,)

جایی که θ زاویه (هر) بین قطرها. این فرمول در مورد دلتوئیدها قابل اجرا نیست، زیرا در این مورد θ 90 درجه است و مماس آن تعریف نشده است.

نابرابری ها

همانطور که در بالا ذکر شد، مساحت یک چندضلعی مماس با اضلاع است آ, ب, ج, دنابرابری را ارضا می کند

K ≤ a b c d (\displaystyle K\leq (\sqrt (abcd)))

و برابری حاصل می شود اگر و تنها در صورتی که چهارضلعی باشد دو مرکزی.

به گفته T. A. Ivanova (1976)، نیم محیط سچهارضلعی محدود نابرابری را برآورده می کند

s ≥ 4r (\displaystyle s\geq 4r),

جایی که rشعاع دایره محاطی است. نابرابری به برابری تبدیل می شود اگر و فقط اگر چهارضلعی مربع باشد. این بدان معناست که برای منطقه ک = rs، نابرابری

K ≥ 4 r 2 (\displaystyle K\geq 4r^(2))

با انتقال به برابری اگر و فقط اگر چهارضلعی مربع باشد.

ویژگی های اجزای یک چهارضلعی

چهار پاره خط بین مرکز دایره محاط شده و نقاط تماس، چهار ضلعی را به چهار تقسیم می کند. دلتوئید مستطیل شکل؟!.

اگر خط مستقیم چهارضلعی را به دو چند ضلعی با مساحت مساوی و محیطهای مساوی تقسیم کند، آنگاه این خط از مرکز می گذرد.

شعاع دایره محاطی

شعاع دایره محاطی یک چهارضلعی محاطی با اضلاع آ, ب, ج, دتوسط فرمول ارائه شده است

r = K s = K a + c = K b + d (\displaystyle r=(\frac (K)(s))=(\frac (K)(a+c))=(\frac (K)( ب+د))),

جایی که کمساحت چهارضلعی است و س- نیمه محیطی برای چهار ضلعی محاط شده با یک نیم محیط معین، شعاع دایره محاطی زمانی حداکثر است که چهارضلعی نیز یک محاط باشد.

از نظر قطعات مماس، شعاع دایره محاطی.

r = e f g + f g h + g h e + h e f e + f + g + h . (\displaystyle \displaystyle r=(\sqrt (\frac (efg+fgh+ghe+hef)(e+f+g+h))).

شعاع دایره محاطی را می توان بر حسب فاصله از مرکز نیز بیان کرد Oبه رئوس چهارضلعی محدود شده آ ب پ ت. اگر u = AO, v=BO, x=COو y=DO، سپس

r = 2 (σ - uvx) (σ - vxy) (σ - xyu) (σ - yuv) uvxy (uv + xy) (ux + vy) (uy + vx) (\displaystyle r=2(\sqrt (\ frac ((\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv))(uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx))))),

جایی که σ = 1 2 (u v x + v x y + x y u + y u v) (\displaystyle \sigma =(\tfrac (1)(2))(uvx+vxy+xyu+yuv)) .

فرمول های زاویه

اگر ه, f, gو ساعتقطعات مماس از رئوس آ, ب, سیو دیبه ترتیب به نقاط مماس دایره توسط چهار ضلعی آ ب پ ت، سپس زوایای چهارضلعی را می توان با فرمول ها محاسبه کرد

sin⁡ A 2 = efg + fgh + ghe + hef (e + f) (e + g) (e + h) , (\displaystyle \sin (\frac (A)(2))=(\sqrt (\frac (e+fgh+ghe+hef)((e+f)(e+g)(e+h)))) sin⁡ B 2 = efg + fgh + ghe + hef (f + e) ​​(f + g) (f + h) , (\displaystyle \sin (\frac (B)(2))=(\sqrt ( \frac (efg+fgh+ghe+hef)((f+e)(f+g)(f+h))))) sin⁡ C 2 = efg + fgh + ghe + hef (g + e) ​​(g + f) (g + h) , (\displaystyle \sin (\frac (C)(2))=(\sqrt ( \frac (efg+fgh+ghe+hef)((g+e)(g+f)(g+h))))) sin⁡ D 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (h + e) ​​(h + f) (h + g) . (\displaystyle \sin (\frac (D)(2))=(\sqrt (\frac (efg+fgh+ghe+hef)((h+e)(h+f)(h+g)))) .)

زاویه بین آکوردها کیلومترو لوگاریتمبا فرمول ارائه شده است (شکل را ببینید)

sin⁡ φ = (e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + f) (f + g) (g + h) (h + e) ​​. (\displaystyle \sin (\varphi )=(\sqrt (\frac ((e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef))((e+f)(f+g)(g+h )(h+e)))))

مورب ها

اگر ه, f, gو ساعتبخش هایی از مماس از آ, ب, سیو دیبه نقاط مماس دایره محاط شده توسط چهارضلعی آ ب پ ت، سپس طول قطرها p=ACو q=BDبرابر

p = e + gf + h ((e + g) (f + h) + 4 fh) , (\displaystyle \displaystyle p=(\sqrt ((\frac (e+g)(f+h))(\ بزرگ ()(e+g)(f+h)+4fh(\بزرگ))))) q = f + h e + g ((e + g) (f + h) + 4 e g) . (\displaystyle \displaystyle q=(\sqrt ((\frac (f+h)(e+g))(\Big ()(e+g)(f+h)+4eg(\Big)))). )

آکوردهای نقطه ای را لمس کنید

اگر ه, f, gو ساعتقطعاتی از رئوس به نقاط مماس هستند، سپس طول وترها تا نقاط مماس مخالف هستند.

k = 2 (efg + fgh + ghe + hef) (e + f) (g + h) (e + g) (f + h) , (\displaystyle \displaystyle k=(\frac (2(efg+fgh+ghe +hef))(\sqrt ((e+f)(g+h)(e+g)(f+h))))) l = 2 (efg + fgh + ghe + hef) (e + h) (f + g) (e + g) (f + h) , (\displaystyle \displaystyle l=(\frac (2(efg+fgh+ghe +hef))(\sqrt ((e+h)(f+g)(e+g)(f+h)))))

آکورد کجاست کدو طرف را به طول ها متصل می کند آ = ه + fو ج = g + ساعت، و آکورد لکناره ها را با طول به هم متصل می کند ب = f + gو د = ساعت + ه. مربع نسبت آکوردها رابطه را برآورده می کند

k 2 l 2 \u003d b d a c. (\displaystyle (\frac (k^(2))(l^(2)))=(\frac (bd)(ac)).)

دو آکورد

آکورد بین طرفین ABو سی دیدر چهارضلعی محدود شده آ ب پ تبلندتر از وتر بین دو طرف قبل از میلاد مسیحو DAاگر و فقط اگر خط میانی بین دو طرف باشد ABو سی دیکوتاهتر از خط میانی بین دو طرف قبل از میلاد مسیحو DA .

اگر چهارضلعی محصور آ ب پ تنقاط تماس دارد مبر روی ABو نبر روی سی دیو آکورد MNاز مورب عبور می کند BDدر نقطه پ، سپس نسبت قطعات مماس B M D N (\displaystyle (\tfrac (BM)(DN)))برابر با نسبت است B P D P (\displaystyle (\tfrac (BP)(DP)))بخش های مورب BD.

نقاط خطی

اگر M1و M2نقاط میانی قطرها هستند ACو BDبه ترتیب در چهارضلعی محدود شده آ ب پ ت O، و جفت ضلع مخالف در نقاطی قطع می شوند Eو افو M3- وسط بخش EF، سپس نقاط M3, M1, O، و M2روی یک خط مستقیم قرار بگیرید.خط مستقیمی که این نقاط را به هم متصل می کند، خط نیوتنی چهارضلعی نامیده می شود.

Eو افو امتداد اضلاع مقابل چهارضلعی که توسط نقاط تماس تشکیل شده است در نقاط متقاطع می شوند. تیو اس، سپس چهار امتیاز E, اف, تیو اسدر همان خط دراز بکش

AB, قبل از میلاد مسیح, سی دی, DAدر نقاط م, ک, نو البه ترتیب، و اگر تی ام, تی ک, تی ن, تی النقاط مزدوج ایزوتومی این نقاط هستند (یعنی دستگاه خودپرداز = BMو غیره)، سپس نقطه ناگلبه عنوان تقاطع خطوط تعریف می شود T N T Mو T K T L. هر دوی این خطوط محیط چهارضلعی را به دو قسمت مساوی تقسیم می کنند. مهمتر از همه، نکته ناگل است س, "منطقه مرکزی" جیو مرکز دایره محاطی Oروی همان خط مستقیم دراز بکشید، و QG = 2برو. این خط نامیده می شود مستقیم ناگلچهارضلعی محصور شده

در چهارضلعی محصور آ ب پ تبا مرکز دایره محاطی O پ، بگذار H M, H K, H N, H Lمرکز متعامد مثلث ها هستند AOB, BOC, CODو DOAبه ترتیب. سپس نقاط پ, H M, H K, H Nو H Lدر همان خط دراز بکش

خطوط رقابتی و عمود بر هم

دو مورب یک چهار ضلعی و دو وتر که نقاط تماس مقابل را به هم متصل می کنند (راس های متضاد یک چهارضلعی محاط) به هم پیوسته هستند (یعنی در یک نقطه قطع می شوند). برای نشان دادن این موضوع، می‌توانیم از یک مورد خاص از قضیه برایانشون استفاده کنیم، که بیان می‌کند یک شش ضلعی که همه اضلاع آن مماس بر یک مقطع مخروطی هستند، دارای سه قطر است که در یک نقطه قطع می‌شوند. از چهارضلعی شرح داده شده، به راحتی می توان یک شش ضلعی با دو زاویه 180 درجه را با قرار دادن دو راس جدید در نقاط مماس مخالف به دست آورد. هر شش ضلع شش ضلعی حاصل بر دایره مماس هستند، به طوری که قطرهای آن در یک نقطه قطع می شوند. اما دو قطر شش ضلعی با قطرهای چهارضلعی منطبق است و قطر سوم از نقاط تماس مخالف می گذرد. با تکرار همین استدلال برای دو نقطه تماس دیگر، نتیجه لازم را به دست می آوریم.

اگر دایره محاطی بر اضلاع مماس باشد AB, قبل از میلاد مسیح, سی دیو DAدر نقاط م, ک, ن, البه ترتیب، سپس خطوط مستقیم MK, لوگاریتمو ACرقابتی

اگر امتداد اضلاع مخالف چهارضلعی محصور در نقاطی قطع شود Eو اف، و قطرها در یک نقطه قطع می شوند پ، سپس خط مستقیم EFعمود بر ادامه OP، جایی که Oمرکز دایره محاطی است.

خصوصیات دایره حکاکی شده

نسبت دو ضلع مقابل چهار ضلعی محاط شده را می توان بر حسب فاصله از مرکز دایره محاطی بیان کرد. Oبه طرف های مربوطه

A B C D = O A ⋅ O B O C ⋅ O D , B C D A = O B ⋅ O C O D ⋅ O A . (\displaystyle (\frac (AB)(CD))=(\frac (OA\cdot OB)(OC\cdot OD)),\quad \quad (\frac (BC)(DA))=(\frac ( OB\cdot OC)(OD\cdot OA)).)

حاصل ضرب دو ضلع مجاور یک چهارضلعی محصور شده آ ب پ تبا مرکز دایره محاطی Oرابطه را ارضا می کند

A B ⋅ B C = O B 2 + O A ⋅ O B ⋅ O C O D. (\displaystyle AB\cdot BC=OB^(2)+(\frac (OA\cdot OB\cdot OC)(OD)).)

اگر O- مرکز دایره محاطی چهارضلعی آ ب پ ت، سپس

O A ⋅ O C + O B ⋅ O D = A B ⋅ B C ⋅ C D ⋅ D A . (\displaystyle OA\cdot OC+OB\cdot OD=(\sqrt (AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA)).)

مرکز دایره محاطی Oمنطبق با "راس های مرکز" چهارضلعی if و only if است

O A ⋅ O C = O B ⋅ O D . (\displaystyle OA\cdot OC=OB\cdot OD.)

اگر M1و M2نقاط میانی قطرها هستند ACو BDبه ترتیب، پس از آن

OM 1 OM 2 = OA ⋅ OCOB ⋅ OD = e + gf + h , (\displaystyle (\frac (OM_(1))(OM_(2)))=(\frac (OA\cdot OC)(OB\cdot OD))=(\frac (e+g)(f+h))

جایی که ه, f, gو ساعت- بخش هایی از مماس ها در راس ها آ, ب, سیو دیبه ترتیب. با ترکیب تساوی اول با تساوی آخر، دریافتیم که "مرکز رئوس" چهارضلعی محاط شده با مرکز دایره محاطی منطبق است اگر و فقط اگر مرکز دایره محاطی در وسط راه بین نقاط وسط قطرها قرار گیرد.

1 r 1 + 1 r 3 = 1 r 2 + 1 r 4 . (\displaystyle (\frac (1)(r_(1)))+(\frac (1)(r_(3)))=(\frac (1)(r_(2)))+(\frac (1) )(r_(4))))

این ویژگی پنج سال قبل توسط واینستین ثابت شده بود. در حل مشکل او، ملک مشابهی توسط واسیلیف و سندروف داده شد. اگر از طریق ساعتم ساعتک، ساعت N و ساعت L نشان دهنده ارتفاع مثلث های مشابه (از محل تقاطع مورب ها افتاده است پ)، سپس چهارضلعی محدود می شود اگر و فقط اگر

1 ساعت M + 1 ساعت N = 1 ساعت K + 1 ساعت L . (\displaystyle (\frac (1)(h_(M)))+(\frac (1)(h_(N)))=(\frac (1)(h_(K)))+(\frac (1) )(h_(L))))

یکی دیگر از ویژگی های مشابه در مورد شعاع دایره ها صدق می کند r م , r ک , r نو r البرای همان چهار مثلث (چهار دایره بر هر یک از اضلاع چهارضلعی و امتداد قطرها مماس هستند). یک چهارضلعی محدود می شود اگر و فقط اگر

1 r M + 1 r N = 1 r K + 1 r L . (\displaystyle (\frac (1)(r_(M)))+(\frac (1)(r_(N)))=(\frac (1)(r_(K)))+(\frac (1) )(r_(L))))

اگر آرم آرک، آر N و آر L - شعاع دایره های مثلث APB, BPC, CPDو DPAبه ترتیب، سپس مثلث آ ب پ تتوضیح داده شده است اگر و فقط اگر

R M + R N = R K + R L . (\displaystyle R_(M)+R_(N)=R_(K)+R_(L).)

در سال 1996، به نظر می رسد واینستین اولین کسی بود که یکی دیگر از ویژگی های قابل توجه چهارضلعی محدود شده را اثبات کرد، که بعداً در چندین مجله و وب سایت ظاهر شد. این ویژگی بیان می‌کند که اگر یک چهار ضلعی محدب توسط قطرهایش به چهار مثلث غیر همپوشانی تقسیم شود، مراکز دایره‌ای آن مثلث‌ها روی یک دایره قرار می‌گیرند، اگر و فقط اگر چهار ضلعی محصور باشد. در واقع، مرکز دایره های محاط شده، یک چهار گوشه متعامد - محاط شده را تشکیل می دهند. در اینجا دایره های محاط شده را می توان با دایره ها (مماس به اضلاع و ادامه مورب های چهارضلعی) جایگزین کرد. سپس یک چهار ضلعی محدب محصور می شود اگر و تنها در صورتی که مرکز دایره ها رئوس چهارضلعی محاط باشد.

چهارضلعی محدب آ ب پ تجایی که مورب ها در یک نقطه قطع می شوند پ، محدود می شود اگر و فقط در صورتی که چهار مرکز دایره های مثلث ها باشد APB, BPC, CPDو DPAروی همان دایره دراز بکشید (در اینجا دایره ها اضلاع چهار ضلعی را قطع می کنند، برخلاف عبارت مشابه بالا، جایی که دایره ها خارج از چهارضلعی قرار دارند). اگر Rm, R n, Rkو Rl- شعاع دایره ها APB, BPC, CPDو DPAبه ترتیب مقابل رئوس بو دی، پس شرط لازم و کافی دیگر برای چهارضلعی بودن آن است

1 Rm + 1 R n = 1 R k + 1 R l . (\displaystyle (\frac (1)(R_(m)))+(\frac (1)(R_(n)))=(\frac (1)(R_(k)))+(\frac (1) )(R_(l)))) m △ (APB) + n △ (CPD) = k △ (BPC) + l △ (DPA) (\displaystyle (\frac (m)(\مثلث (APB))+(\frac (n)(\مثلث (CPD)))=(\frac (k)(\مثلث (BPC)))+(\frac (l)(\مثلث (DPA))))

جایی که متر, ک, n, ل- طول های جانبی AB, قبل از میلاد مسیح, سی دیو DA، و ∆( APB) - مساحت یک مثلث APB.

اجازه دهید بخش هایی را که روی آن نقطه قرار دارند را مشخص کنیم پمورب را تقسیم می کند ACچگونه AP = پیک و کامپیوتر = پج به همان شیوه پقطر را تقسیم کنید BDبه بخش ها BP = پباند PD = پد سپس چهارضلعی محدود می شود اگر و فقط در صورتی که یکی از تساوی ها برقرار باشد:

m p c p d + n p a q b = k p a p d + l p c p b (\displaystyle mp_(c)p_(d)+np_(a)q_(b)=kp_(a)p_(d)+lp_(c)p_(b)) (pa + pb - m) (pc + pd - n) (pa + pb + m) (pc + pd + n) = (pc + pb - k) (pa + pd - l) (pc + pb + k) (pa + pd + l) (\displaystyle (\frac ((p_(a)+p_(b)-m)(p_(c)+p_(d)-n))((p_(a)+p_( b)+m)(p_(c)+p_(d)+n)))=(\frac ((p_(c)+p_(b)-k)(p_(a)+p_(d)-l ))((p_(c)+p_(b)+k)(p_(a)+p_(d)+l)))) (m + pa - pb) (n + pc - pd) (m - pa + pb) (n - pc + pd) = (k + pc - pb) (l + pa - pd) (k - pc + pb) (l − pa + pd) . (\displaystyle (\frac ((m+p_(a)-p_(b))(n+p_(c)-p_(d)))((m-p_(a)+p_(b))(n -p_(c)+p_(d))))=(\frac ((k+p_(c)-p_(b))(l+p_(a)-p_(d)))((k-p_ (c)+p_(b))(l-p_(a)+p_(d)))))

شرایط چهارضلعی محصور که نوع دیگری از چهارضلعی باشد

لوزی اگر و فقط اگر زوایای مقابل برابر باشند.

اگر دایره محاطی بر اضلاع مماس باشد AB, قبل از میلاد مسیح, سی دی, DAدر نقاط م, ک, ن, البه ترتیب، پس از آن آ ب پ تهمچنین یک چهارضلعی محاطی است اگر و فقط اگر

اولین جمله از این سه عبارت به این معنی است چهار ضلعی را لمس کنید MKNLمتعامد است.

یک چهارضلعی محصور دومرکز است (یعنی محصور و محاط شده در یک زمان) اگر و فقط در صورتی که شعاع دایره محاطی بزرگترین باشد در بین تمام چهارضلعی های محصور که دنباله ای از طول اضلاع یکسان دارند.

چهارضلعی توصیف شده یک دلتوئید است اگر و فقط اگر یکی از شرایط زیر وجود داشته باشد:

• مساحت نصف حاصل ضرب قطرها است
• مورب ها عمود بر هم هستند
• دو پاره خطی که نقاط تماس مقابل را به هم متصل می کنند دارای طول مساوی هستند
• یک جفت قسمت مخالف از راس تا نقطه تماس، طول یکسانی دارند
• طول خطوط وسط یکسان است
• حاصل ضرب اضلاع مقابل برابر است
• مرکز دایره محاط شده روی قطری قرار دارد که محور تقارن است.