Processen att lösa integraler inom naturvetenskap som kallas "matematik" kallas integration. Integration kan användas för att hitta några fysiska kvantiteter: area, volym, massa av kroppar och mycket mer.

Integraler är obestämda och bestämda. Tänk på formen bestämd integral och försök förstå dess fysiska betydelse. Det ser ut som följer: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Utmärkande drag skriva en bestämd integral av en obestämd genom att det finns gränser för integration a och b. Nu ska vi ta reda på vad de är till för och vad en bestämd integral betyder. I geometrisk mening, en sådan integral lika med arean figur avgränsad av kurvan f(x), linjerna a och b samt axeln Ox.

Av fig. 1 kan man se att den bestämda integralen är samma område som är skuggat i grått. Låt oss kolla upp det med ett enkelt exempel. Låt oss hitta arean av figuren i bilden nedan med hjälp av integration, och sedan beräkna den på vanligt sätt genom att multiplicera längden med bredden.

Figur 2 visar att $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Nu sätter vi in ​​dem i definitionen av integralen, vi får att $$ S=\int _a ^bf(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(enhet)^2 $$ Låt oss kolla på vanligt sätt. I vårt fall är längd = 3, formbredd = 1. $$ S = \text(längd) \cdot \text(bredd) = 3 \cdot 1 = 3 \text(enhet)^2 $$ Som du kan se, allt stämde perfekt.

Frågan uppstår: hur löser man obestämda integraler och vad är deras betydelse? Lösningen av sådana integraler är att hitta antiderivata funktioner. Denna process är motsatsen till att hitta derivatan. För att hitta antiderivatan kan du använda vår hjälp för att lösa problem i matematik, eller så behöver du noggrant memorera egenskaperna hos integraler och integrationstabellen för de enklaste elementära funktionerna på egen hand. Att hitta ser ut så här $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(där) F(x) $ är antiderivatan av $ f(x), C = const $.

För att lösa integralen måste du integrera funktionen $ f(x) $ med avseende på variabeln. Om funktionen är tabellformad skrivs svaret in lämplig form. Om inte, reduceras processen till att erhålla en tabellfunktion från funktionen $ f(x) $ genom knepiga matematiska transformationer. För detta finns olika metoder och fastigheter, som vi kommer att diskutera härnäst.

Så låt oss nu göra en algoritm för hur man löser integraler för dummies?

Algoritm för beräkning av integraler

1. Ta reda på den bestämda integralen eller inte.
2. Om odefinierat måste du hitta antiderivatansfunktionen $ F(x) $ för integranden $ f(x) $ med hjälp av matematiska transformationer som för funktionen $ f(x) $ till en tabellform.
3. Om det definieras måste steg 2 utföras och sedan ersätta gränserna för $a$ och $b$ med antiderivatfunktionen $F(x)$. Med vilken formel du ska göra detta får du lära dig i artikeln "Newton Leibniz's formel".

Lösningsexempel

Så du har lärt dig hur man löser integraler för dummies, exempel på att lösa integraler har sorterats ut på hyllorna. De lärde sig deras fysiska och geometriska betydelse. Lösningsmetoder kommer att diskuteras i andra artiklar.

Att hitta en obestämd integral (en uppsättning antiderivator eller "antiderivator") innebär att återställa en funktion från den kända derivatan av denna funktion. Återställd uppsättning antiderivat F(x) + MED för funktion f(x) tar hänsyn till integrationskonstanten C. Enligt rörelsehastigheten för en materiell punkt (derivata) kan rörelselagen för denna punkt (original) återställas; enligt accelerationen av en punkts rörelse - dess hastighet och rörelselagen. Som du kan se är integration ett brett fält för Sherlock Holmes aktivitet från fysiken. Ja, och i ekonomin representeras många begrepp genom funktioner och deras derivator, och därför är det till exempel möjligt att återställa volymen av produktion som produceras vid lämplig tidpunkt av arbetsproduktivitet vid en viss tidpunkt (derivata).

För att hitta den obestämda integralen krävs det ganska många Ett stort antal grundläggande integrationsformler. Men processen att hitta det är mycket svårare än bara tillämpningen av dessa formler. All komplexitet relaterar inte till integration, utan till att föra det integrerbara uttrycket till en sådan form som gör det möjligt att hitta den obestämda integralen med hjälp av de grundläggande formlerna som nämnts ovan. Detta innebär att för att börja praktiken med integration måste du aktivera färdigheterna för att omvandla uttryck som förvärvats i gymnasiet.

Vi kommer att lära oss att hitta integraler med hjälp av egenskaper och tabellen över obestämda integraler från lektionen om de grundläggande begreppen i detta ämne (öppnas i ett nytt fönster).

Det finns flera metoder för att hitta integralen, varav variabel ersättningsmetod och metod för integration av delar- ett obligatoriskt gentlemannaset för alla som har klarat högre matematik. Det är dock mer användbart och trevligt att börja lära sig integration med hjälp av expansionsmetoden baserad på följande två satser om egenskaperna hos den obestämda integralen, som vi kommer att upprepa här för enkelhetens skull.

Sats 3. Konstantfaktorn i integranden kan tas ur den obestämda integralens tecken, d.v.s.

Sats 4. Den obestämda integralen av den algebraiska summan av ett ändligt antal funktioner är lika med den algebraiska summan av dessa funktioners obestämda integraler, dvs.

(2)

Dessutom kan följande regel vara användbar vid integration: om uttrycket av integranden innehåller en konstant faktor, så multipliceras uttrycket av antiderivatan med det reciproka av den konstanta faktorn, dvs.

(3)

Eftersom den här lektionen är en introduktion till att lösa integrationsproblem är det viktigt att notera två saker som antingen redan är det inledande skede, eller lite senare kan överraska dig. Överraskning beror på det faktum att integration är den omvända operationen av differentiering och den obestämda integralen med rätta kan kallas "anti-derivata".

Det första som inte borde bli förvånad när man integrerar. I tabellen över integraler det finns formler som inte har några analoger bland formlerna i derivattabellen . Det här är följande formler:

Man kan dock verifiera att derivatorna av uttrycken på högra sidan av dessa formler sammanfaller med motsvarande integrander.

Den andra saken att inte bli förvånad när man integrerar. Även om derivatan av en elementär funktion också är en elementär funktion, obestämda integraler av vissa elementära funktioner är inte längre elementära funktioner . Exempel på sådana integraler är:

Följande färdigheter kommer att vara användbara för att utveckla en integrationsteknik: reducera bråk, dividera ett polynom i täljaren för ett bråk med ett monom i nämnaren (för att få summan av obestämda integraler), omvandla rötter till en grad, multiplicera ett monom med ett polynom som höjs till en potens. Dessa färdigheter behövs för att transformera integranden, vilket bör resultera i summan av integralerna som finns i tabellen över integraler.

Att hitta obestämda integraler tillsammans

Exempel 1 Hitta den obestämda integralen

.

Lösning. Vi ser i integrandens nämnare ett polynom där x är kvadratiskt. Detta är nästan ett säkert tecken på att tabellintegralen 21 (med bågtangensen för resultatet) kan tillämpas. Vi tar ut faktorn två från nämnaren (det finns en sådan egenskap hos integralen - en konstant faktor kan tas ur integraltecknet, den nämndes ovan som sats 3). Resultatet av allt detta:

Nu är nämnaren summan av kvadrater, vilket betyder att vi kan tillämpa den nämnda tabellintegralen. Äntligen får vi svaret:

.

Exempel 2 Hitta den obestämda integralen

Lösning. Vi tillämpar återigen sats 3 - integralens egenskap, på grundval av vilken den konstanta faktorn kan tas ut ur integraltecknet:

Vi tillämpar formel 7 från tabellen över integraler (variabel i grad) på integranden:

.

Vi minskar de resulterande bråken och vi har det slutliga svaret:

Exempel 3 Hitta den obestämda integralen

Lösning. Genom att först tillämpa sats 4 och sedan sats 3 på egenskaper finner vi denna integral som summan av tre integraler:

Alla tre erhållna integraler är tabellformade. Vi använder formel (7) från tabellen över integraler för n = 1/2, n= 2 och n= 1/5, och sedan

kombinerar alla tre godtyckliga konstanter som introducerades när man hittade de tre integralerna. I liknande situationer bör därför endast en godtycklig integrationskonstant (konstant) införas.

Exempel 4 Hitta den obestämda integralen

Lösning. När det finns en monomial i integrandens nämnare kan vi dividera täljaren med nämnaren term för term. Den ursprungliga integralen förvandlades till summan av två integraler:

.

För att tillämpa tabellintegralen omvandlar vi rötterna till potenser och här är det slutliga svaret:

Vi fortsätter att hitta obestämda integraler tillsammans

Exempel 7 Hitta den obestämda integralen

Lösning. Om vi ​​transformerar integranden genom att kvadrera binomialen och dividera täljaren med nämnaren term för term, så blir den ursprungliga integralen summan av tre integraler.

Bilaga

Integraler online till webbplatsen för att konsolidera materialet som täcks av studenter och skolbarn. Och öva på dina praktiska färdigheter. En komplett lösning av integraler online för dig på några ögonblick hjälper dig att bestämma alla steg i processen. Varje gång du börjar lösa en integral online måste du identifiera dess typ, utan vilken du inte kan använda någon metod, förutom för den integrerade tabellen. Inte varje tabellintegral är tydligt synlig från ett givet exempel, ibland måste du transformera den ursprungliga funktionen för att hitta antiderivatan. I praktiken handlar lösningen av integraler om att tolka problemet med att hitta originalet, det vill säga antiderivatan från en oändlig familj av funktioner, men om gränserna för integration är givna, så finns det enligt Newton-Leibniz formel kvar. endast en enda funktion som beräkningar tillämpas på. Online-integraler är online-obestämda integralen och online-definita integralen. Integralen för en onlinefunktion är summan av alla tal som är avsedda för deras integration. Därför, informellt, är online-definita integralen området mellan grafen för funktionen och x-axeln inom integrationen. Exempel på att lösa problem med integraler. Låt oss beräkna den komplexa integralen över en variabel och relatera dess svar till den fortsatta lösningen av problemet. Du kan, som de säger, direkt hitta integralen av integranden. Varje integral med hög noggrannhet bestämmer arean av en figur som begränsas av linjer. Detta är en av dess geometriska betydelser. Denna metod underlättar för eleverna. Flera stadier kommer faktiskt inte att ha mycket effekt på vektoranalys. Funktionsintegralen online är det grundläggande konceptet för integralkalkyl.Lösa obestämda integraler. Enligt den grundläggande analyssatsen är integration den omvända operationen av differentiering, vilket hjälper till att lösa differentialekvationer. Det finns flera olika definitioner av hur integrationen fungerar, som skiljer sig åt i tekniska detaljer. Men de är alla kompatibla, det vill säga två integrationsmetoder, om de kan tillämpas på en given funktion, ger samma resultat. Den enklaste är Riemann-integralen - en bestämd integral eller en obestämd integral. Informellt kan integralen av en funktion av en variabel införas som arean under grafen (figuren som ligger mellan grafen för funktionen och x-axeln). Varje sådant delproblem kan motivera att det kommer att vara extremt nödvändigt att beräkna integralen i början av ett viktigt tillvägagångssätt. Glöm inte det! För att försöka hitta detta område kan man överväga figurer som består av ett antal vertikala rektanglar, vars baser tillsammans bildar ett integrationssegment och erhålls genom att dela upp segmentet i motsvarande antal små segment. Lösa integraler online Online integral - online obestämd integral och online bestämd integral. Lösa integraler online: online obestämd integral och online bestämd integral. Kalkylatorn löser integraler med en beskrivning av åtgärderna i detalj och gratis! Den online-obestämda integralen för en funktion är helheten av alla antiderivator av den givna funktionen. Om en funktion är definierad och kontinuerlig på ett intervall, så har den antiderivatfunktion(eller en familj av primitiver). Integralen definierar bara ett uttryck, vars villkor ställs av dig vid uppkomsten av ett sådant behov. Det är bättre att noggrant närma sig denna fråga och uppleva inre tillfredsställelse från det utförda arbetet. Men att beräkna integralen på ett annat sätt än det klassiska leder ibland till oväntade resultat och man bör inte bli förvånad över detta. Nöjd med det faktum att det kommer att ha en positiv inverkan på vad som händer. Lista över bestämda integraler och obestämda integraler av integraler med fullständiga detaljer steg för steg lösning. Alla integraler med en detaljerad lösning online. Obestämd integral. Att hitta den obestämda integralen online är en mycket vanlig uppgift inom högre matematik och annat tekniska sektioner Vetenskaper. Grundläggande metoder för integration. Definition av integral, bestämd och obestämd integral, tabell över integraler, Newton-Leibniz formel. Och återigen, du kan hitta din integral med hjälp av tabellen med integraluttryck, men du måste fortfarande komma till detta, eftersom allt inte är så enkelt som det kan verka vid första anblicken. Tänk på färdiga byggnader innan misstag upptäcks. Definitiv integral och metoder för dess beräkning. Online bestämd integral med variabel övre gräns. Lösa integraler online. Alla exempel som hjälper till att beräkna integralen med hjälp av tabellformler kommer att vara användbar guide till åtgärder för elever på alla utbildningsnivåer. Kritiskt steg på väg till rätt svar Integraler online. Obestämda integraler som innehåller exponentiella och logaritmiska funktioner. Lösa integraler online - du kommer att få detaljerad lösning för olika typer integraler: obestämd, bestämd, otillbörlig. Definite Integrals Calculator beräknar online-definita integralen för en funktion över ett intervall med hjälp av numerisk integration. Integralen av en funktion är analog med summan av en sekvens. Informellt sett är en bestämd integral arean av en del av grafen för en funktion. Online integrerad lösning Online integral - online obestämd integral och online bestämd integral. Ofta avgör en sådan integral hur mycket en kropp är tyngre än ett föremål med samma densitet jämfört med det, och det spelar ingen roll vilken form den har, eftersom ytan inte absorberar vatten. Lösa integraler online.. Online-integraler - online-obestämda integraler och online-definite integraler. Varje student på grundutbildningen vet hur man hittar integralen online. På basen Läroplanen detta avsnitt av matematik studeras också, men inte i detalj, utan bara grunderna i ett så komplext och viktigt ämne. I de flesta fall börjar eleverna studera integraler med en omfattande teori, som också föregås av viktiga ämnen, såsom derivatan och passager till gränsen - de är också gränser. Lösningen av integraler börjar gradvis med de mest elementära exemplen från enkla funktioner, och slutar med tillämpningen av många tillvägagångssätt och regler som föreslagits under det senaste århundradet och till och med mycket tidigare. Integralkalkyl är av utforskande karaktär i lyceum och skolor, det vill säga i gymnasieskolor. Vår sajtsajt kommer alltid att hjälpa dig och att lösa integraler online kommer att bli en vanlig, och viktigast av allt, förståelig uppgift för dig. Baserat på denna resurs kan du enkelt uppnå excellens i detta matematiska avsnitt. Genom att förstå steg för steg inlärda regler, till exempel, såsom integration, genom delar eller tillämpningen av Chebyshev-metoden, kan du enkelt lösa vilket test som helst för det maximala antalet poäng. Så hur kan vi fortfarande beräkna integralen med hjälp av tabellen över integraler som är kända för alla, men på ett sådant sätt att lösningen är korrekt, korrekt och med det mest exakta svaret som möjligt? Hur man lär sig detta och är det möjligt att göra det för en vanlig nybörjare i Så snart som möjligt? Vi svarar jakande på denna fråga - det är möjligt! I det här fallet kommer du inte bara att kunna lösa vilket exempel som helst, utan också nå nivån på en högklassig ingenjör. Hemligheten är lika enkel som någonsin - du måste anstränga dig maximalt, ge erforderligt belopp tid för egenträning. Tyvärr har ingen kommit på något annat sätt än! Men allt är inte så grumligt som det verkar vid första anblicken. Om du hänvisar till vår webbplatstjänst med den här frågan kommer vi att göra ditt liv enklare, eftersom vår webbplats kan beräkna integraler online i detalj, och med mycket hög hastighet och helt korrekt svar. I sin kärna bestämmer inte integralen hur förhållandet mellan argument påverkar stabiliteten i systemet som helhet. Om bara allt var balanserat. Tillsammans med hur du kommer att lära dig grunderna i detta matematik ämne, kan tjänsten hitta integralen för vilken integrand som helst, om denna integral kan lösas i elementära funktioner. Annars, för integraler som inte tas i elementära funktioner, är det i praktiken inte nödvändigt att hitta ett svar i en analytisk eller, med andra ord, i en explicit form. Alla beräkningar av integraler reduceras till definitionen av en antiderivativ funktion av en given integrand. För att göra detta, beräkna först den obestämda integralen enligt alla matematikens lagar online. ersätt sedan vid behov de övre och nedre värdena på integralen. Om du inte behöver bestämma eller beräkna numeriskt värde obestämd integral, sedan adderas en konstant till den resulterande antiderivata funktionen, varigenom en familj av antiderivata funktioner definieras. En speciell plats inom vetenskapen och i allmänhet inom alla tekniska områden, inklusive kontinuummekanik, integration beskriver hela mekaniska system, deras rörelser och mycket mer. I många fall bestämmer den kompilerade integralen rörelselagen för en materiell punkt. Det är ett mycket viktigt verktyg i studiet av tillämpad vetenskap. Baserat på detta är det omöjligt att inte säga om storskaliga beräkningar för att bestämma lagarna för existens och beteende hos mekaniska system. Kalkylator för att lösa integraler online på webbplatsen webbplats är kraftfullt verktyg för professionella ingenjörer. Vi garanterar otvetydigt detta till dig, men vi kommer att kunna beräkna din integral först efter att du har skrivit in det korrekta uttrycket i området för integranden. Var inte rädd för att göra ett misstag, allt går att fixa i denna fråga! Vanligtvis reduceras lösningen av integraler till användning av tabellfunktioner från välkända läroböcker eller uppslagsverk. Liksom alla andra obestämda integraler kommer den att beräknas enligt standardformeln utan grov kritik. Enkelt och naturligt förstår förstaårselever det studerade materialet i farten, och ibland tar det inte mer än två minuter för dem att hitta integralen. Och om en elev har lärt sig tabellen över integraler, kan han i allmänhet bestämma svaren i sitt sinne. Att utöka funktioner med variabler i förhållande till ytor betyder initialt rätt vektorriktning någon gång på abskissan. Det oförutsägbara beteendet hos ytlinjer tar vissa integraler som grund i den ömsesidiga källan till matematiska funktioner. Kulans vänstra kant berör inte cylindern som cirkeln är inskriven i, om man tittar på snittet i planet. Summan av små områden uppdelade i hundratals styckvis kontinuerliga funktioner är online-integralen för den givna funktionen. Den mekaniska betydelsen av integralen ligger i många tillämpade problem, detta är bestämning av kroppsvolymen och beräkning av kroppsmassa. Trippel- och dubbelintegraler är inblandade i just dessa beräkningar. Vi insisterar på att online-integraler endast löses under överinseende av erfarna lärare och genom många kontroller. Vi får ofta frågor om framstegen hos studenter som inte går på föreläsningar, hoppar över dem utan anledning, hur lyckas de hitta integralen själva. Vi svarar att studenter är fria människor och kan mycket väl utbildas externt, förbereda sig för ett prov eller tentamen i bekväma hemförhållanden. På några sekunder kommer vår tjänst att hjälpa alla som vill beräkna integralen av en given funktion med avseende på en variabel. Kontrollera resultatet som erhålls genom att ta derivatan av antiderivatfunktionen. I detta fall försvinner konstanten från integralens lösning. Denna regel är uppenbarligen för alla. Eftersom flerriktade operationer är underbyggda, reduceras den obestämda integralen ofta till att dela upp regionen i små delar. Vissa elever och skolbarn försummar dock detta krav. Som alltid kan onlineintegraler lösas i detalj av vår servicesajt och det finns inga begränsningar för antalet förfrågningar, allt är gratis och tillgängligt för alla. Det finns inte många sådana sajter som ger ett steg-för-steg svar på några sekunder, och viktigast av allt med hög precision och på ett bekvämt sätt. I det sista exemplet på den femte sidan läxa träffat en som indikerar behovet av att beräkna integralen i etapper. Men vi ska inte glömma hur det är möjligt att hitta integralen med hjälp av en färdig tjänst, tidstestad och testad på tusentals lösta exempel online. Hur en sådan integral bestämmer systemets rörelse framgår ganska tydligt och tydligt av arten av rörelsen hos en viskös vätska, som beskrivs av detta ekvationssystem.

Obestämd integral.
Detaljerade lösningsexempel

I den här lektionen kommer vi att börja studera ämnet Obestämd integral, och analysera också i detalj exempel på lösningar på de enklaste (och inte riktigt) integralerna. I den här artikeln kommer jag att begränsa mig till ett minimum av teori, och nu är vår uppgift att lära mig hur man löser integraler.

Vad behöver du veta för att lyckas bemästra materialet? För att klara av integralkalkylen behöver du kunna hitta derivator, åtminstone på en genomsnittlig nivå. Därför, om materialet lanseras, rekommenderar jag att du först noggrant läser lektionerna. Hur hittar man derivatan? och Derivat av en komplex funktion. Det kommer inte att vara överflödig erfarenhet om du har flera dussintals (helst hundra) oberoende hittade derivat bakom dig. Åtminstone bör du inte bli förvirrad av uppgifter för att särskilja de enklaste och vanligaste funktionerna. Det verkar, vad har derivator att göra med det om artikeln fokuserar på integraler ?! Och här är grejen. Faktum är att hitta derivator och hitta obestämda integraler (differentiering och integration) är två ömsesidigt omvänd åtgärd, som addition/subtraktion eller multiplikation/division. Utan skickligheten (+ någon slags erfarenhet) att hitta derivat kan man alltså tyvärr inte avancera längre.

I detta avseende behöver vi följande läromedel: Derivattabell och Tabell över integraler. Hjälpguider kan öppnas, laddas ner eller skrivas ut på sidan Matematiska formler och tabeller.

Vad är svårigheten med att studera obestämda integraler? Om det i derivat finns strikt 5 regler för differentiering, en tabell med derivator och en ganska tydlig algoritm för åtgärder, så är allt annorlunda i integraler. Det finns dussintals integrationsmetoder och tekniker. Och om integrationsmetoden ursprungligen valdes felaktigt (det vill säga du vet inte hur man löser det), kan integralen "prickas" bokstavligen i dagar, som en riktig rebus, och försöker lägga märke till olika tricks och tricks. Vissa gillar det till och med. Det här är förresten inte ett skämt, jag hörde ganska ofta från elever en åsikt som ”Jag har aldrig haft ett intresse av att lösa gränsen eller derivatan, men integraler är en helt annan sak, det är spännande, det finns alltid en önskan att "bryta" en komplex integral." Sluta. Nog med svart humor, låt oss gå vidare till dessa mycket obestämda integraler.

Eftersom det finns många sätt att lösa, var börjar då en tekanna att studera obestämda integraler? I integralkalkylen finns det enligt mig tre pelare eller en slags "axel" som allt annat kretsar kring. Först och främst bör du ha en god förståelse för de enklaste integralerna (denna artikel). Sedan måste du räkna ut lektionen i detalj. DET DET VIKTIGASTE RECEPTIONEN! Kanske till och med den viktigaste artikeln av alla mina artiklar om integraler. Och för det tredje bör du definitivt bekanta dig med metoden för integrering av delar, eftersom en omfattande klass av funktioner integreras med hjälp av den. Om du behärskar åtminstone dessa tre lektioner, så finns det redan "inte två". Du kan bli förlåten för att du inte känner till integraler av trigonometriska funktioner, integraler av bråk, integraler av bråk-rationella funktioner, integraler av irrationella funktioner (rötter), men om du "kommer i en pöl" på ersättningsmetoden eller metoden för integration med delar , då blir det väldigt, väldigt illa.

I Runet är demotivatorer nu mycket vanliga. I samband med att studera integraler är det tvärtom helt enkelt nödvändigt MOTIVATOR. Som i det där skämtet om Vasilij Ivanovich, som motiverade både Petka och Anka. Kära lata människor, frilastare och andra normala studenter, se till att läsa följande. Kunskaper och färdigheter i den obestämda integralen kommer att krävas i fortsatta studier, särskilt när man studerar den bestämda integralen, oegentliga integraler, differentialekvationer under det andra året. Behovet av att ta integralen uppstår även i sannolikhetsteorin! På det här sättet, utan integraler KOMMER vägen till sommarpasset och 2:a kursen RIKTIGT STÄNGD. Jag är seriös. Slutsatsen är denna. Ju fler integraler olika typer du löser, desto lättare blir det senare i livet. Ja, det kommer att ta ganska lång tid, ja, ibland känner du inte för det, ja, ibland "ja, fikon med honom, med denna integral, kanske du inte blir fångad." Men, nästa tanke borde inspirera och värma själen, dina ansträngningar kommer att löna sig fullt ut! Du kommer att knäcka differentialekvationer som nötter och enkelt hantera integraler som du kommer att möta i andra avsnitt av högre matematik. Efter att ha tagit itu med den obestämda integralen kvalitativt, behärskar DU FAKTISKT NÅGRA FLER AVDELNINGAR AV TORNET.

Så jag kunde bara inte låta bli att skapa intensivkurs på integrationstekniken, som visade sig vara förvånansvärt kort - den som vill kan använda pdf-boken och förbereda sig MYCKET snabbt. Men sajtens material är inte på något sätt sämre!

Så låt oss börja enkelt. Låt oss titta på tabellen över integraler. Liksom i derivator lägger vi märke till flera integrationsregler och en tabell med integraler för vissa elementära funktioner. Det är lätt att se att vilken tabellintegral som helst (och faktiskt vilken obestämd integral som helst) har formen:

Låt oss gå direkt till notationen och termerna:

- integrerad ikon.

- integrand funktion (skriven med bokstaven "s").

– differentialikon. När du skriver integralen och under lösningen är det viktigt att inte tappa denna ikon. Det kommer att finnas ett märkbart fel.

är integranden eller "fyllningen" av integralen.

– antiderivatfunktion.

är uppsättningen av antiderivata funktioner. Du behöver inte vara tungt laddad med termer, det viktigaste är att i varje obestämd integral läggs en konstant till svaret.

Att lösa en integral innebär att hitta en specifik funktion med hjälp av några regler, tekniker och en tabell.

Låt oss ta en titt på inlägget igen:

Låt oss titta på tabellen över integraler.

Vad händer? Våra vänstra delar vänder sig till andra funktioner: .

Låt oss förenkla vår definition.

Att lösa en obestämd integral innebär att förvandla den till en bestämd funktion, med hjälp av några regler, tekniker och en tabell.

Ta till exempel tabellintegralen . Vad hände? förvandlats till en funktion.

Som i fallet med derivat, för att lära sig att hitta integraler, är det inte nödvändigt att vara medveten om vad är en integral, antiderivatfunktionen ur en teoretisk synvinkel. Det räcker bara att utföra omvandlingar enligt några formella regler. Så i fallet det är inte alls nödvändigt att förstå varför integralen blir exakt. Även om det är möjligt att ta denna och andra formler för givna. Alla använder el, men få människor tänker på hur elektroner löper längs ledningarna.

Eftersom differentiering och integration är motsatta operationer, då för alla antiderivat som hittas höger, följande är sant:

Med andra ord, om det korrekta svaret är differentierat, måste den ursprungliga integranden nödvändigtvis erhållas.

Låt oss gå tillbaka till samma tabellintegral .

Låt oss verifiera giltigheten av denna formel. Vi tar derivatan av höger sida:

är den ursprungliga integranden.

Det blev förresten tydligare varför en konstant alltid tilldelas en funktion. Vid differentiering förvandlas en konstant alltid till noll.

Lös den obestämda integralen det betyder att hitta ett gäng Allt antiderivat, och inte någon enskild funktion. I det övervägda tabellexemplet, , , , etc. - alla dessa funktioner är lösningen av integralen . Det finns oändligt många lösningar, så de skriver kort:

Således är vilken obestämd integral som helst ganska lätt att kontrollera (till skillnad från derivator, där en bra hundra pundskontroll endast kan göras med hjälp av matematiska program). Detta är en viss kompensation för det stora antalet integraler olika typer.

Låt oss gå vidare till övervägande konkreta exempel. Låt oss börja, som i studien av derivatan,
med två integrationsregler, även kallade linjäritetsegenskaper obestämd integral:

– en konstant faktor kan (och bör) tas ur integraltecknet.

– integralen av den algebraiska summan av två funktioner är lika med den algebraiska summan av två integraler av varje funktion separat. Den här egenskapen är giltig under valfritt antal villkor.

Som du kan se är reglerna i princip desamma som för derivat.

Exempel 1

Lösning: Det är bekvämare att skriva om det på papper.

(1) Tillämpa regeln . Glöm inte att skriva ner differentialtecknet under varje integral. Varför under varje? är en full multiplikator, om du målar lösningen i detalj, bör det första steget skrivas så här:

(2) Enligt regeln , tar vi alla konstanter ur integralernas tecken. Observera att den sista terminen är en konstant, vi tar också ut den.
Dessutom förbereder vi i detta steg rötterna och graderna för integration. På samma sätt som vid differentiering måste rötterna representeras i formen. Rötter och grader som finns i nämnaren – flytta uppåt.

! Notera: till skillnad från derivator bör rötter i integraler inte alltid föras till formen, men graderna bör överföras uppåt. Till exempel är en färdig tabellintegral, och alla möjliga kinesiska trick som helt onödigt. På samma sätt: - även en tabellintegral, det är meningslöst att representera ett bråk i formen. Studera tabellen noggrant!

(3) Alla integraler är tabellformade. Vi utför transformationen med hjälp av tabellen, med hjälp av formlerna: , och .
Jag ägnar särskild uppmärksamhet åt integrationsformeln kraftfunktion , det förekommer väldigt ofta, det är bättre att komma ihåg det. Det bör noteras att tabellintegralen - specialfall samma formel: .
Det räcker att lägga till konstanten en gång i slutet av uttrycket (och inte sätta dem efter varje integral).
(4) Vi skriver resultatet som erhållits i en mer kompakt form, vi representerar återigen alla grader av formen som rötter, graderna med en negativ exponent återställs till nämnaren.

Undersökning. För att utföra kontrollen måste du särskilja det mottagna svaret:

Första integrand, så att integralen hittas korrekt. Från det de dansade, till det återvände de. Du vet, det är väldigt bra när historien med integralen slutar precis så.

Från tid till annan finns det ett lite annorlunda tillvägagångssätt för att kontrollera den obestämda integralen, inte derivatan, men differentialen är hämtad från svaret:

De som förstod från första terminen förstod, men nu är vi inte intresserade av teoretiska finesser, utan det som är viktigt är vad man ska göra med denna differential. Det måste avslöjas, och från en formell teknisk synvinkel är detta nästan detsamma som att hitta ett derivat. Skillnaden avslöjas på följande sätt: vi tar bort ikonen, vi lägger ett streck till höger ovanför parentesen, i slutet av uttrycket tillskriver vi multiplikatorn:

Mottagen initial integrand, så att integralen hittas korrekt.

Jag gillar det andra sättet att kontrollera mindre, eftersom jag dessutom måste rita stora parenteser och dra differentialikonen till slutet av kontrollen. Fast det är mer korrekt eller "fastare" eller något.

Faktum är att jag i allmänhet skulle kunna hålla tyst om den andra verifieringsmetoden. Poängen ligger inte i metoden, utan i att vi har lärt oss att öppna differentialen. Om igen.

Skillnaden avslöjas enligt följande:

1) ta bort ikonen;
2) sätt ett slag till höger ovanför konsolen (beteckningen för derivatan);
3) i slutet av uttrycket tillskriver vi faktorn .

Till exempel:

Kom ihåg det här. Vi kommer att behöva den övervägda tekniken mycket snart.

Exempel 2

Hitta den obestämda integralen. Kör en kontroll.

När vi hittar en obestämd integral försöker vi ALLTID kontrollera Dessutom finns det en stor möjlighet för detta. Inte alla typer av problem i högre matematik är en gåva ur denna synvinkel. Det spelar ingen roll att verifiering ofta inte krävs i kontrolluppgifter, ingen, och ingenting hindrar att det utförs på ett utkast. Ett undantag kan endast göras när det inte finns tillräckligt med tid (till exempel vid provet, tentamen). Personligen kontrollerar jag alltid integraler, och jag anser att bristen på verifiering är ett hack och en dåligt genomförd uppgift.

Exempel 3

Hitta den obestämda integralen. Kör en kontroll.

Lösning: Genom att analysera integralen ser vi att vi har en produkt av två funktioner, och till och med höjer ett helt uttryck till en makt. Tyvärr finns det inga bra och bekväma formler för att integrera produkten och kvoten inom området för den integrerade striden , .

Och därför, när en produkt eller en kvot ges, är det alltid vettigt att se om det är möjligt att omvandla integranden till en summa?

Det övervägda exemplet är fallet när det är möjligt. Först tar jag med komplett lösning, kommentarer kommer nedan.

(1) Vi använder den gamla goda formeln för summans kvadrat för att bli av med graden.

(2) Vi sätter inom parentes och blir av med produkten.

Exempel 4

Hitta den obestämda integralen. Kör en kontroll.

Detta är ett exempel på självlösning. Svara och slutföra lösningen i slutet av lektionen.

Exempel 5

Hitta den obestämda integralen. Kör en kontroll.

V detta exempel integranden är en bråkdel. När vi ser en bråkdel i integranden bör den första tanken vara frågan: Är det möjligt att på något sätt bli av med denna bråkdel, eller åtminstone förenkla den?

Vi märker att nämnaren innehåller en ensam rot av "x". En i fältet är inte en krigare, vilket innebär att du kan dela upp täljaren i nämnaren term för term:

Åtgärder med bråkdelar Jag kommenterar inte, eftersom de upprepade gånger har diskuterats i artiklar om derivatan av en funktion. Om du fortfarande är förbryllad över ett sådant exempel som, och du inte kan få rätt svar på något sätt, rekommenderar jag att du vänder dig till skolböcker. I högre matematik påträffas bråk och operationer med dem vid varje steg.

Observera också att lösningen hoppar över ett steg, nämligen att tillämpa reglerna , . Vanligtvis, även med den första erfarenheten av att lösa integraler, tas dessa egenskaper för givna och beskrivs inte i detalj.

Exempel 6

Hitta den obestämda integralen. Kör en kontroll.

Detta är ett exempel på självlösning. Svara och slutföra lösningen i slutet av lektionen.

V allmänt fall med bråk i integraler är inte så enkelt, ytterligare material om integration av fraktioner av vissa typer finns i artikeln Integration av några fraktioner.

! Men innan du går vidare till artikeln ovan måste du läsa lektionen. Ersättningsmetod i obestämd integral. Faktum är att summering av en funktion under en differential- eller variabeländringsmetod är viktig punkt i studiet av ämnet, eftersom det inte bara finns "i rena uppdrag för ersättningsmetoden", utan också i många andra varianter av integraler.

Jag ville verkligen ha med några fler exempel i den här lektionen, men nu sitter jag och skriver den här texten på Verde och jag märker att artikeln redan har vuxit till en hyfsad storlek.
Och så har introduktionskursen för integraler för dummies kommit till sitt slut.

Önskar dig framgång!

Lösningar och svar:

Exempel 2: Lösning:

Exempel 4: Lösning:

I det här exemplet använde vi formeln för reducerad multiplikation

Exempel 6: Lösning:

Jag kollade, gjorde du? ;)

Tidigare, för en given funktion, styrd av olika formler och regler, hittade vi dess derivata. Derivatan har många tillämpningar: det är rörelsens hastighet (eller, mer allmänt, hastigheten för vilken process som helst); lutningen av tangenten till grafen för funktionen; med hjälp av derivatan kan du undersöka funktionen för monotonitet och extrema; Det hjälper till att lösa optimeringsproblem.

Men tillsammans med problemet med att hitta hastigheten från en känd rörelselag, finns det också ett omvänt problem - problemet med att återställa rörelselagen från en känd hastighet. Låt oss överväga ett av dessa problem.

Exempel 1 En materialpunkt rör sig längs en rät linje, hastigheten för dess rörelse vid tidpunkten t ges av formeln v=gt. Hitta rörelselagen.
Lösning. Låt s = s(t) vara den önskade rörelselagen. Det är känt att s"(t) = v(t). Så för att lösa problemet måste du välja en funktion s = s(t), vars derivata är lika med gt. Det är lätt att gissa att \( s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \) Verkligen
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t=gt\)
Svar: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Vi noterar direkt att exemplet är löst korrekt, men ofullständigt. Vi fick \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Faktum är att problemet har oändligt många lösningar: vilken funktion som helst av formen \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C \), där C är en godtycklig konstant, kan fungera som en lag för rörelse, eftersom \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

För att göra problemet mer specifikt var vi tvungna att fixa den initiala situationen: ange koordinaten för den rörliga punkten vid någon tidpunkt, till exempel vid t = 0. Om, säg, s(0) = s 0, då från likheten s(t) = (gt 2)/2 + C får vi: s(0) = 0 + C, dvs C = s 0 . Nu är rörelselagen unikt definierad: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

Inom matematiken tilldelas ömsesidigt inversa operationer olika namn, de kommer med speciella notationer, till exempel: kvadrera (x 2) och extrahera roten ur(\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) och arcsine (arcsin x), etc. Processen att hitta derivatan med avseende på en given funktion kallas differentiering, och den inversa operationen, dvs processen att hitta en funktion med en given derivata, - integration.

Själva termen "derivata" kan motiveras "på ett världsligt sätt": funktionen y \u003d f (x) "producerar till världen" en ny funktion y" \u003d f "(x). Funktionen y \u003d f (x) fungerar som en "förälder", men matematiker, naturligtvis, kallar det inte en "förälder" eller "producent", de säger att detta är, i förhållande till funktionen y " = f" (x), den primära bilden eller antiderivatan.

Definition. En funktion y = F(x) kallas en antiderivata för en funktion y = f(x) på ett intervall X om \(x \i X \) uppfyller likheten F"(x) = f(x)

I praktiken är intervallet X vanligtvis inte specificerat, utan underförstått (som funktionens naturliga domän).

Låt oss ge exempel.
1) Funktionen y \u003d x 2 är en antiderivata för funktionen y \u003d 2x, eftersom för alla x är likheten (x 2) "\u003d 2x sann
2) Funktionen y \u003d x 3 är en antiderivata för funktionen y \u003d 3x 2, eftersom för alla x är likheten (x 3)" \u003d 3x 2 sann
3) Funktionen y \u003d sin (x) är en antiderivata för funktionen y \u003d cos (x), eftersom för varje x är likheten (sin (x)) "= cos (x) sann

När man hittar antiderivat, såväl som derivat, används inte bara formler, utan också vissa regler. De är direkt relaterade till motsvarande regler för beräkning av derivat.

Vi vet att derivatan av en summa är lika med summan av derivatorna. Denna regel genererar motsvarande regel för att hitta antiderivat.

Regel 1 Antiderivatan av en summa är lika med summan av antiderivatan.

Vi vet att konstantfaktorn kan tas ur derivatans tecken. Denna regel genererar motsvarande regel för att hitta antiderivat.

Regel 2 Om F(x) är ett antiderivat för f(x), så är kF(x) ett antiderivat för kf(x).

Sats 1. Om y = F(x) är antiderivatan för funktionen y = f(x), så är antiderivatan för funktionen y = f(kx + m) funktionen \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Sats 2. Om y = F(x) är en antiderivata för en funktion y = f(x) på ett intervall X, så har funktionen y = f(x) oändligt många antiderivator, och de har alla formen y = F(x) + C.

Integrationsmetoder

Variabel ersättningsmetod (ersättningsmetod)

Substitutionsintegrationsmetoden består i att introducera en ny integrationsvariabel (det vill säga en substitution). I detta fall reduceras den givna integralen till en ny integral, som är tabellformad eller reducerbar till den. Allmänna metoder ersättningsval finns inte. Förmågan att korrekt bestämma substitutionen förvärvas genom övning.
Låt det krävas att man beräknar integralen \(\textstil \int F(x)dx \). Låt oss göra en substitution \(x= \varphi(t) \) där \(\varphi(t) \) är en funktion som har en kontinuerlig derivata.
Sedan \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) och baserat på invariansegenskapen för den obestämda integralintegreringsformeln, får vi:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integrering av uttryck som \(\textstil \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Om m är udda, m > 0, är ​​det bekvämare att göra substitutionen sin x = t.
Om n är udda, n > 0, är ​​det lämpligare att göra substitutionen cos x = t.
Om n och m är jämna, är det bekvämare att göra substitutionen tg x = t.

Integrering av delar

Integrering av delar - tillämpa följande formel för integration:
\(\textstil \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
eller:
\(\textstil \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tabell över obestämda integraler (antiderivator) för vissa funktioner

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) )x+C $$