Första nivån

Graden och egenskaperna. Uttömmande guide (2019)

Varför behövs du? Var kommer de till dig? Varför behöver du spendera tid på sin studie?

För att ta reda på allt om graderna, vad de behöver för vad de behöver hur man använder sin kunskap i vardagsliv Läs den här artikeln.

Och naturligtvis kommer kunskapen om grader att ge dig närmare den framgångsrika överlämnandet av Oge eller Ege och att komma in i universitetet i dina drömmar.

Låt oss gå ... (körde!)

Viktig anmärkning! Om istället för formler ser du Abracadabra, rengör cacheminnet. För att göra detta, klicka på Ctrl + F5 (på Windows) eller CMD + R (ON MAC).

FÖRSTA NIVÅN

Övningen är samma matematiska operation som tillägg, subtraktion, multiplikation eller division.

Nu kommer jag att förklara allt mänskligt språk på mycket enkla exempel. Var uppmärksam. Exempel på elementär, men förklarar viktiga saker.

Låt oss börja med tillägg.

Det finns inget att förklara här. Du vet alla allt: Vi är åtta personer. Alla har två flaskor cola. Hur mycket är cola? Rätt - 16 flaskor.

Nu multiplicering.

Samma exempel med en cola kan registreras annorlunda :. Matematik - Människor som listar och lat. De märker först några mönster, och uppfinna sedan hur man "räknar" dem snabbare. I vårt fall märkte de att var och en av de åtta personer hade samma antal colaflaskor och kom upp med en mottagning som heter multiplikation. Håller med om det är lättare och snabbare än.

Så, att läsa snabbare, lättare och utan misstag, behöver du bara komma ihåg tabellmultiplikation. Naturligtvis kan du göra allt långsammare, hårdare och misstag! Men…

Här är multiplikationstabellen. Upprepa.

Och den andra, vackrare:

Och vad mer rensa mottagningar Ökad sjöfartsmatematik? Rätt - erektion.

Erektion

Om du behöver multiplicera numret för dig själv fem gånger, säger matematik att du måste bygga detta nummer i femte graden. Till exempel, . Matematik kommer ihåg att två i femte graden är. Och de löser sådana uppgifter i sinnet - snabbare, lättare och utan fel.

För det här behöver du bara kom ihåg vad som är markerat i färg i tabellen av grader av siffror. Tro det, det kommer mycket att underlätta ditt liv.

Förresten, varför den andra graden kallas fyrkant siffror, och den tredje - kuba? Vad betyder det? I hög grad bra fråga. Nu kommer det att finnas till dig och kvadrater, och Kuba.

Exempel från Life Number 1

Låt oss börja med en torg eller från en andra grad av antal.

Föreställ dig en fyrkantig pool av mätstorlek på en meter. Poolen är på din dacha. Värme och vill verkligen simma. Men ... Pool utan botten! Du måste lagra botten av poolplattorna. Hur mycket behöver du kakel? För att bestämma detta måste du ta reda på området i botten av poolen.

Du kan helt enkelt beräkna, med ett finger, att botten av poolen består av en meter kuber per meter. Om du har en meter kakel för mätare, måste du bitar. Det är lätt ... men var såg du en kakel? Kakel är mer benägna att se för att se och sedan "fingera för att räkna" tortyr. Då måste du multiplicera. Så på ena sidan av botten av poolen passar vi kakel (bitar) och på de andra för kakel. Multiplicera på, får du kakel ().

Märkte du att för att bestämma området i botten av poolen, multiplicerar vi samma nummer själv? Vad betyder det? Detta multipliceras med samma nummer, vi kan utnyttja "utredningen av utrotningen". (Naturligtvis, när du bara har två nummer, multiplicera dem eller höja dem i examen. Men om du har många av dem är det mycket lättare att höja dem när det gäller beräkningar, för mycket mindre. För provet, det är väldigt viktigt).
Så trettio till andra graden kommer (). Eller vi kan säga att trettio på torget kommer att vara. Med andra ord kan den andra graden av tal alltid representeras som en torg. Och tvärtom, om du ser en torg - är det alltid den andra graden av ett antal. Kvadrat är bilden av ett andra graders nummer.

Exempel från Life Number 2

Här är uppgiften, räkna hur många rutor på ett schackbräda med en kvadrat av numret ... på ena sidan av cellerna och på den andra också. För att beräkna deras kvantitet måste du multiplicera åtta eller ... Om du noterar att schackbrädet är en kvadrat på sidan, kan du bygga åtta per kvadrat. Det visar sig celler. () Så?

Exempel från Life Number 3

Nu en kub eller den tredje graden av antal. Samma pool. Men nu behöver du veta hur mycket vatten som måste fylla i denna pool. Du måste räkna volymen. (Volym och vätska, förresten, mäts i kubikmeter. Plötsligt, eller hur?) Rita en pool: botten av mätstorleken och ett djup av mätare och försök att räkna hur mycket kubermätare storlek per meter kommer in i poolen.

Höger visa ditt finger och räkna! En gång, två, tre, fyra ... tjugo två, tjugo tre ... hur mycket hände det? Kom inte ner? Svårt att räkna ditt finger? Så att! Ta ett exempel med matematiker. De är lata, därför märkte att för att beräkna volymen av poolen är det nödvändigt att multiplicera varandra i längd, bredd och höjd. I vårt fall kommer poolens volym att vara lika med kuber ... det är lättare för sanningen?

Och nu föreställ dig, så långt som matematik är lat och listigt, om de är förenklade. Tog med alla en åtgärd. De märkte att längden, bredden och höjden är lika med och att samma nummer varnar sig själv på sig själv ... och vad betyder detta? Det betyder att du kan utnyttja graden. Så, vad tyckte du med ditt finger, de gör i en åtgärd: tre på Kuba är lika. Detta är skrivet så :.

Det är bara kom ihåg bordsgrader. Om du självklart är samma lat och list som matematik. Om du gillar att arbeta mycket och göra misstag - kan du fortsätta att räkna ditt finger.

Tja, för att äntligen övertyga dig om att graderna kom med Lodii och Cunnies för att lösa sina livsproblem, och inte skapa problem du, här är ett annat par exempel från livet.

Exempel från Life Number 4

Du har en miljon rubel. I början av varje år tjänar du varje miljon ytterligare en miljon. Det vill säga, varje miljon kommer att dubbla i början av varje år. Hur mycket pengar har du på åren? Om du sitter nu och "du tycker ditt finger", så är du en mycket hårt arbetande person och .. dumma. Men sannolikt kommer du att svara på några sekunder, för du är smart! Så, under det första året - två multiplicerade två ... under det andra året - vad hände, ytterligare två, på det tredje året ... stopp! Du märkte att numret multiplicerar sig själv. Så, två i den femte examen - en miljon! Och föreställa dig att du har en tävling och dessa miljoner kommer att få den som kommer att hitta snabbare ... det är värt att komma ihåg graden av siffror, vad tycker du?

Exempel från Life Number 5

Du har en miljon. I början av varje år tjänar du varje miljon ytterligare två. Stor sanning? Varje miljon tripplar. Hur mycket pengar kommer du att ha efter ett år? Låt oss räkna. Det första året är att multiplicera, då är resultatet fortfarande på ... redan tråkigt, för att du redan har förstått allt: tre multipliceras av sig själv. Därför är den fjärde examen lika med en miljon. Det är bara nödvändigt att komma ihåg att tre i fjärde graden är Or.

Nu vet du att med hjälp av erektion av numret kommer du mycket att underlätta ditt liv. Låt oss se bredvid vad du kan göra med graderna och vad du behöver veta om dem.

Villkor och begrepp ... för att inte bli förvirrad

Så, för att börja, låt oss definiera begreppen. Vad tror du, vad är indikatorn på graden? Det är väldigt enkelt - det här är det nummer som är "på toppen" av graden av nummer. Inte vetenskapligt, men det är klart och lätt att komma ihåg ...

Tja, samtidigt som en sådan grundgrad? Ännu lättare - det här är det nummer som ligger under basen.

Här är en ritning för lojalitet.

Tja, B. allmänFör att sammanfatta och bättre komma ihåg ... Graden med fundamentet "" och indikatorn "" läses som "till examen" och skrivs enligt följande:

Graden av antal med en naturlig indikator

Du har nog gissat: Eftersom indikatorn är naturligt nummer. Ja, men vad är det naturligt nummer? Elementärt! Naturliga Dessa är de siffror som används i kontot när du noterar objekt: en, två, tre ... Vi, när vi överväger saker, säger inte: "minus fem", "minus sex", "minus sju". Vi säger också inte: "en tredjedel", eller "noll i hel, fem tiondelar". Dessa är inte naturliga nummer. Och vad dessa siffror tror du?

Siffror som "minus fem", "minus sex", "minus sju" tillhör heltal. I allmänhet, till heltal inkluderar alla naturliga tal är siffrorna motsatta naturliga (det vill säga tas med ett minustecken) och numret. Noll förstår lätt - det här är när ingenting. Och vad menar de negativa ("minus") nummer? Men de uppfanns främst för att ange skulder: Om du har en balans på telefonnumret betyder det att du ska operatörsrubla.

Alla slags fraktioner är rationella nummer. Hur uppstod de, vad tycker du? Väldigt enkelt. För flera tusen år sedan fann våra förfäder att de saknar naturliga nummer för att mäta lång, vikt, fyrkant, etc. Och de uppfann rationella nummer... Jag undrar om det är sant?

Det finns också irrationella nummer. Vad är detta för nummer? Om kort, då oändlig decimal-. Om exempelvis omkretslängden är uppdelad i dess diameter, kommer det irrationella numret att vara.

Sammanfattning:

Vi definierar konceptet, vars indikator är ett naturligt tal (dvs en hel och positiv).

1. Vilket nummer som helst till den första graden till sig själv:
2. Utvärdera numret på torget - det betyder att multiplicera det själv:
3. Utvärdera numret i kuben - det betyder att multiplicera det i sig tre gånger:

Definition. Utvärdera numret i en naturlig examen - det betyder att multiplicera antalet hela tiden för dig själv:
.

Egenskaper av grader

Var kommer dessa egenskaper från? Jag ska visa dig nu.

Låt oss se: Vad är och ?

A-Priory:

Hur många multiplikatorer är här?

Mycket enkelt: Vi avslutade multiplikatorer till multiplikatorer, det visade sig faktorerna.

Men per definition är detta graden av ett tal med en indikator, det vill säga att det var nödvändigt att bevisa.

Exempel: Förenkla uttrycket.

Beslut:

Exempel: Förenkla uttrycket.

Beslut: Det är viktigt att märka det i vår regel innan Måste vara samma grund!
Därför kombinerar vi grader med grunden, men är fortfarande en separat multiplikator:

bara för graden av grader!

I inget fall kan det inte skriva det.

2. Det är Graden av antal

Precis som med föregående egendom, vänder vi oss till definitionen av examen:

Det visar sig att uttrycket multipliceras av sig själv en gång, det vill säga enligt definitionen, det finns ett antal nummer:

Faktum är att detta kan kallas "indikatorn för parentes". Men kan aldrig göra det i mängden:

Minns formeln för förkortad multiplikation: Hur många gånger ville vi skriva?

Men det är felaktigt, för.

Negativ

Upp till denna punkt diskuterade vi bara vad indikatorn skulle vara.

Men vad ska vara grunden?

I graderna av S. naturindikator Basen kan vara vilket nummer som helst. Och sanningen kan vi multiplicera varandra några nummer, oavsett om de är positiva, negativa, eller ens.

Låt oss tänka på vilka tecken ("eller" ") kommer att ha grader av positiva och negativa tal?

Till exempel ett positivt eller negativt tal? MEN? ? Med det första är allt klart: hur många positiva tal som vi inte multipliceras med varandra, kommer resultatet att vara positivt.

Men med negativ lite mer intressant. När allt kommer omkring kommer vi ihåg en enkel regel i klass 6: "Minus för minus ger ett plus." Det är, eller. Men om vi multiplicerar, kommer det att träna.

Bestäm självständigt, vilket tecken på följande uttryck kommer att ha:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Klara?

Här är svaren: I de första fyra exemplen hoppas jag allt är förståeligt? Titta bara på basen och indikatorn och tillämpar lämplig regel.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I exempel 5) är allt inte så läskigt, som det verkar: det spelar ingen roll vad som är lika med basen - graden är jämnt, vilket innebär att resultatet alltid kommer att vara positivt.

Tja, med undantag för fallet när basen är noll. Anledningen är inte lika? Självklart nej, för (för).

Exempel 6) är inte längre så enkelt!

6 exempel för träning

Lösningar av 6 exempel

Om du inte uppmärksammar den åttonde graden, vad ser vi här? Kom ihåg betyget 7-programmet. Så kom ihåg? Detta är en formel för förkortad multiplikation, nämligen - skillnaden i rutor! Vi får:

Se noggrant på nämnaren. Han är mycket lik en av multiplikatorerna i täljaren, men vad är det för fel? Inte villkoren för villkoren. Om de skulle ändra dem på platser, skulle det vara möjligt att tillämpa regeln.

Men hur man gör det? Det visar sig väldigt enkelt: Den jämn grad av denominator hjälper oss.

Magiskt förändrades komponenterna på platser. Detta "fenomen" är tillämpligt för något uttryck i jämn grad: vi kan fritt ändra tecken i parentes.

Men det är viktigt att komma ihåg: alla tecken ändras samtidigt.!

Låt oss gå tillbaka till exempel:

Och igen formeln:

Heltal Vi kallar naturliga nummer motsatta dem (det vill säga med tecknet "") och numret.

hela positivt tal, Och det skiljer sig inte från naturligt, då ser allt ut som i föregående avsnitt.

Och låt oss nu överväga nya fall. Låt oss börja med en indikator lika med.

Vilket nummer som helst som är lika med en:

Som alltid kommer vi att fråga mig: varför är det så?

Överväga någon examen med grunden. Ta till exempel och dominerande på:

Så, vi multiplicerade numret på och fick detsamma som det var. Och för vilket nummer måste multipliceras så att ingenting har förändrats? Det är rätt på. Så.

Vi kan göra detsamma med ett godtyckligt nummer:

Upprepa regeln:

Vilket nummer som helst till noll lika med en.

Men från många regler finns det undantag. Och här är det också ett nummer (som en bas).

Å ena sidan bör det vara lika med någon utsträckning - hur mycket noll själv är inte multiplicerat, får fortfarande noll, det är klart. Men å andra sidan, som ett nummer till noll grad, borde vara lika. Så vad är sanningen? Matematik bestämde sig för att inte binda och vägrade att upprepa noll till noll. Det är, nu kan vi inte bara delas in i noll, men också att bygga den till noll.

Låt oss gå vidare. Förutom naturliga tal och siffror inkluderar negativa tal. För att förstå vilken negativ grad, kommer vi att göra som förra gången: dömande något normalt tal på samma till en negativ grad:

Härifrån är det redan lätt att uttrycka önskat:

Nu sprider vi den resulterande regeln i godtycklig examen:

Så, vi formulerar regeln:

Numret är en negativ grad tillbaka till samma nummer i en positiv grad. Men samtidigt basen kan inte vara noll: (Eftersom det är omöjligt att dela).

Låt oss sammanfatta:

I. Uttrycket är inte definierat i fallet. Om då.

II. Varje nummer till noll är lika med en :.

III. Ett tal som inte är lika med noll, till en negativ grad tillbaka till samma nummer till en positiv grad :.

Uppgifter för självlösningar:

Tja, som vanligt, exempel på självlösningar:

Uppgiftsanalys för självlösningar:

Jag vet, jag vet, siffrorna är hemska, men tentamen ska vara redo för allt! Dela dessa exempel eller sprida sitt beslut, om jag inte kunde bestämma och du kommer att lära mig att enkelt klara av dem på tentamen!

Fortsätt expandera cirkeln av siffror, "lämplig" som en indikator på graden.

Nu överväga rationella nummer. Vilka nummer kallas rationella?

Svar: Allt som kan representeras i form av fraktioner, där och - heltal, och.

Att förstå vad som är "Fraktexamen", Överväga fraktionen:

Uppförde båda delarna av ekvationen i examen:

Kom nu ihåg regeln om "Grad till examen":

Vilket nummer bör tas till graden för att få?

Denna formulering är definitionen av rotgrad.

Låt mig påminna dig: Roten av numret () kallas det nummer som är lika med utrotningen.

Det vill säga roten är en operation, omvänd övningen i examen :.

Visar sig. Uppenbarligen detta privatfodral Du kan expandera :.

Lägg nu till en täljare: Vad är det? Svaret är lätt att få med hjälp av "examen i examen":

Men kan anledningen vara ett nummer? Trots allt kan roten inte extraheras från alla siffror.

Ingen!

Kom ihåg regeln: vilket nummer som är uppfört i jämn grad är numret positivt. Det är att extrahera rötterna i en jämn grad från negativa tal är det omöjligt!

Det betyder att det är omöjligt att bygga sådana tal i en fraktionalexamen med en jämn nämnare, det vill säga uttrycket är inte meningsfullt.

Vad sägs om uttryck?

Men det är ett problem.

Numret kan representeras i form av DRGIH, reducerade fraktioner, till exempel eller.

Och det visar sig att det finns, men existerar inte, men det är bara två olika register av samma nummer.

Eller ett annat exempel: En gång, då kan du skriva. Men det är värt att skriva till oss på ett annat sätt, och igen får vi en olägenhet: (det vill säga de fick ett helt annat resultat!).

För att undvika liknande paradoxer anser vi endast en positiv grund för grad med fraktionerad indikator.

Så om:

• - naturligt nummer;
• - heltal;

Exempel:

Graderna med rationell indikator är mycket användbara för att konvertera uttryck med rötter, till exempel:

5 exempel för träning

Analys av 5 exempel för träning

Tja, nu - det svåraste. Nu kommer vi att förstå irrationell.

Alla regler och egenskaper hos grader här är exakt samma som för en examen med en rationell indikator, med undantaget

När allt kommer omkring är irrationella tal som inte är siffror som inte kan representeras i form av en fraktion, där och - heltal (det vill säga irrationella siffror är alla giltiga nummer utom rationella).

När vi studerar grader med naturlig, hel och rationell indikator, utgjorde vi varje gång en viss "bild", "analogi" eller en beskrivning i mer välbekanta termer.

Till exempel är en naturlig figur ett tal, flera gånger multiplicerat med sig själv;

...noll- - Så här är numret multiplicerat en gång, det vill säga det ännu inte börjat multiplicera, det betyder att numret själv inte ens har dykt upp - därför är resultatet bara ett visst "billet nummer", nämligen numret;

...grad med en hel negativ indikator "Det verkade ha inträffat en viss" omvänd process ", det vill säga numret multiplicerades inte i sig, men deli.

Förresten, i vetenskapen används ofta med en komplex indikator, det vill säga indikatorn är inte ens ett giltigt nummer.

Men i skolan tänker vi inte på sådana svårigheter, du får möjlighet att förstå dessa nya koncept på institutet.

Där vi är säkra på att du kommer att göra! (Om du lär dig att lösa sådana exempel :))

Till exempel:

Solim själv:

Skräp:

1. Låt oss börja med de vanliga reglerna för övningsreglerna för oss:

Titta nu på indikatorn. Påminner han dig inte om någonting? Kom ihåg formeln för förkortad multiplikation. Kvadratisk skillnader:

I detta fall,

Visar sig att:

Svar: .

2. Vi tar fraktionerna i indikatorerna på grader i samma form: antingen både decimal eller båda vanliga. Vi får till exempel:

Svar: 16.

3. Inget speciellt, vi använder de vanliga egenskaperna i grader:

AVANCERAD NIVÅ

Bestämning av examen

Graden kallas uttryck av formuläret: var:

• — examensbas
• - Indikator.

Graden med den naturliga indikatorn (n \u003d 1, 2, 3, ...)

Bygga en naturlig grad n - det betyder att du multiplicerar numret själv en gång:

Graden med heltalet (0, ± 1, ± 2, ...)

Om en indikator på graden är programvara positiv siffra:

Konstruktion i noll grad:

Uttrycket är obestämd, för, å ena sidan, i vilken utsträckning det är, och å andra sidan - vilket antal i examen är.

Om en indikator på graden är en hel negativ siffra:

(Eftersom det är omöjligt att dela).

Återigen om nollor: uttrycket är inte definierat i fallet. Om då.

Exempel:

Rationell

• - naturligt nummer;
• - heltal;

Exempel:

Egenskaper av grader

För att göra det lättare att lösa problem, låt oss försöka förstå: Var kom dessa egenskaper från? Vi bevisar dem.

Låt oss se: Vad är vad?

A-Priory:

Så, i den högra delen av detta uttryck, erhålls ett sådant arbete:

Men per definition är detta graden av ett tal med en indikator, det vill säga:

Q.e.d.

Exempel : Förenkla uttrycket.

Beslut : .

Exempel : Förenkla uttrycket.

Beslut : Det är viktigt att märka det i vår regel innandet måste finnas samma baser. Därför kombinerar vi grader med grunden, men är fortfarande en separat multiplikator:

En annan viktig anmärkning: Det här är en regel - endast för graden av grader!

I inget fall till nerven att skriva det.

Precis som med föregående egendom, vänder vi oss till definitionen av examen:

Vi omgrupperar detta arbete så här:

Det visar sig att uttrycket multipliceras av sig själv en gång, det vill säga enligt definitionen är detta - enligt graden av antal:

Faktum är att detta kan kallas "indikatorn för parentes". Men kan aldrig göra det i mängden:!

Minns formeln för förkortad multiplikation: Hur många gånger ville vi skriva? Men det är felaktigt, för.

Grad med en negativ basis.

Upp till denna punkt diskuterade vi bara vad som skulle vara indikator grad. Men vad ska vara grunden? I graderna av S. naturlig indikator Basen kan vara vilket nummer som helst .

Och sanningen kan vi multiplicera varandra några nummer, oavsett om de är positiva, negativa, eller ens. Låt oss tänka på vilka tecken ("eller" ") kommer att ha grader av positiva och negativa tal?

Till exempel ett positivt eller negativt tal? MEN? ?

Med det första är allt klart: hur många positiva tal som vi inte multipliceras med varandra, kommer resultatet att vara positivt.

Men med negativ lite mer intressant. När allt kommer omkring kommer vi ihåg en enkel regel i klass 6: "Minus för minus ger ett plus." Det är, eller. Men om vi kommer att multiplicera på (), visar det sig.

Och så till oändlighet: Varje gång nästa multiplikation kommer att ändra tecknet. Du kan formulera sådan enkla regler:

1. även grad - nummer positiv.
2. Ett negativt taluppförd av udda grad - nummer negativ.
3. Ett positivt tal i antingen grad är numret positivt.
4. Noll till vilken grad som helst är noll.

Bestäm självständigt, vilket tecken på följande uttryck kommer att ha:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Klara? Här är svaren:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I de första fyra exemplen hoppas jag allt är klart? Titta bara på basen och indikatorn och tillämpar lämplig regel.

I exempel 5) är allt inte så läskigt, som det verkar: det spelar ingen roll vad som är lika med basen - graden är jämnt, vilket innebär att resultatet alltid kommer att vara positivt. Tja, med undantag för fallet när basen är noll. Anledningen är inte lika? Självklart nej, för (för).

Exempel 6) är inte längre så enkelt. Här behöver du veta det mindre: eller? Om du kommer ihåg att det blir klart att, och därför är basen mindre än noll. Det vill säga, vi tillämpar regel 2: Resultatet kommer att vara negativt.

Och igen använder vi graden av examen:

Allt som vanligt - skriv ner definitionen av grader och dela dem till varandra, dela på paren och få:

Innan du demonterar den senaste regeln löser vi flera exempel.

Beräknade uttryck:

Lösningar :

Om du inte uppmärksammar den åttonde graden, vad ser vi här? Kom ihåg betyget 7-programmet. Så kom ihåg? Detta är en formel för förkortad multiplikation, nämligen - skillnaden i rutor!

Vi får:

Se noggrant på nämnaren. Han är mycket lik en av multiplikatorerna i täljaren, men vad är det för fel? Inte villkoren för villkoren. Om de bynnades på platser skulle det vara möjligt att tillämpa regeln 3. Men hur man gör det? Det visar sig väldigt enkelt: Den jämn grad av denominator hjälper oss.

Om du drar det på, kommer ingenting att förändras, eller hur? Men nu visar det sig följande:

Magiskt förändrades komponenterna på platser. Detta "fenomen" är tillämpligt för något uttryck i jämn grad: vi kan fritt ändra tecken i parentes. Men det är viktigt att komma ihåg: alla tecken ändras samtidigt!Du kan inte ersätta på, ändra bara en oenig minus!

Låt oss gå tillbaka till exempel:

Och igen formeln:

Så nu den sista regeln:

Hur kommer vi att bevisa? Naturligtvis, som vanligt: \u200b\u200bJag kommer att avslöja begreppet grad och förenklar:

Tja, nu kommer jag att avslöja parentes. Hur mycket kommer bokstäverna att få? En gång på multiplikatorer - vad påminner det? Det är inget annat än definitionen av operationen multiplikation: Totalt var det faktorer. Det vill säga det är per definition graden av nummer med indikatorn:

Exempel:

Irrationell

Förutom information om grader för genomsnittsnivå analyserar vi graden med den irrationella indikatorn. Alla regler och egenskaper för grader här är exakt samma som för en examen med en rationell indikator, med undantaget - trots allt, per definition är irrationella siffror siffror som inte kan lämnas in i form av en fraktion, där - heltal (dvs irrationella nummer är alla giltiga nummer förutom rationella).

När vi studerar grader med naturlig, hel och rationell indikator, utgjorde vi varje gång en viss "bild", "analogi" eller en beskrivning i mer välbekanta termer. Till exempel är en naturlig figur ett tal, flera gånger multiplicerat med sig själv; Numret i noll grad är på något sätt numret multiplicerat med sig själv, det vill säga det har ännu inte börjat multiplicera, det betyder att numret inte ens har dykt upp - därför är det bara en viss "billet", nämligen, är resultatet ; Graden med en hel negativ indikator är som om en viss "omvänd process" inträffade, det vill säga numret multiplicerades inte av sig själv, men uppdelat.

Föreställ dig att graden med en irrationell indikator är extremt svår (precis som det är svårt att skicka in ett 4-dimensionellt utrymme). Det är snarare ett rent matematiskt objekt som matematik skapade för att utöka begreppet grad till hela platsen av siffror.

Förresten, i vetenskapen används ofta med en komplex indikator, det vill säga indikatorn är inte ens ett giltigt nummer. Men i skolan tänker vi inte på sådana svårigheter, du får möjlighet att förstå dessa nya koncept på institutet.

Så vad gör vi om vi ser en irrationell takt? Vi försöker bli av med det med hela makten! :)

Till exempel:

Solim själv:

1)

2)

3)

Svar:

1. Vi kommer ihåg formeln skillnaden i rutor. Svar:.
2. Vi ger fraktionen till samma form: antingen både decimal, eller båda vanliga. Vi får till exempel:.
3. Inget speciellt, vi använder de vanliga egenskaperna i grader:

Sammanfattning av avsnitt och grundläggande formler

Grad kallas uttrycket av formuläret: var:

Heltal

graden, vars indikator är ett naturligt tal (dvs en hel och positiv).

Rationell

graden, vars indikator är negativ och fraktionsnummer.

Irrationell

graden, vars indikator är en oändlig decimalfraktion eller rot.

Egenskaper av grader

Egenskaper i grader.

• Negativt antal uppförda i även grad - nummer positiv.
• Negativt antal uppförda i udda grad - nummer negativ.
• Ett positivt tal i antingen grad är numret positivt.
• Noll till vilken grad som helst är lika.
• Vilket nummer som helst till noll lika.

Nu behöver du ett ord ...

Hur behöver du en artikel? Skriv ner i kommentarerna eller inte.

Berätta om din erfarenhet av att använda egenskaperna i grader.

Kanske har du frågor. Eller förslag.

Skriv i kommentarerna.

Och lycka till på tentamen!

På kanalen på YouTube vår webbplats för att hålla sig ajour med alla nya videolektioner.

Först, låt oss komma ihåg de grundläggande formlerna i graderna och deras egenskaper.

Antalet arbete a. Själv inträffar n gånger, det här uttrycket vi kan skriva ner som en a a ... a \u003d a n

1. A 0 \u003d 1 (a ≠ 0)

3. A n a m \u003d a n + m

4. (a n) m \u003d a nm

5. A n B n \u003d (ab) n

7. A N / A m \u003d A N-M

Kraft eller vägledande ekvationer - Det här är ekvationer där variabler är i grader (eller indikatorer), och grunden är numret.

Exempel på vägledande ekvationer:

I detta exempel Nummer 6 är grunden den alltid står nere, men variabel x. grad eller indikator.

Låt oss ge fler exempel på de vägledande ekvationerna.
2 x * 5 \u003d 10
16 x - 4 x - 6 \u003d 0

Nu kommer vi att analysera hur demonstrationsekvationerna löses?

Ta en enkel ekvation:

2 x \u003d 2 3

Detta exempel kan lösas även i sinnet. Det kan ses att x \u003d 3. När allt kommer omkring, så att vänster och höger del ska vara lika med nummer 3 istället för x.
Låt oss nu se hur det är nödvändigt att utfärda detta beslut:

2 x \u003d 2 3
x \u003d 3.

För att lösa en sådan ekvation, tog vi bort samma grunder (dvs två) och registrerade det som återstår, det är grader. Fått det önskade svaret.

Sammanfattar nu vårt beslut.

Algoritm för att lösa en vägledande ekvation:
1. Behöver kolla det samma Lee Foundations på ekvationen till höger och vänster. Om baserna inte är detsamma som att leta efter alternativ för att lösa detta exempel.
2. Efter att grunden blir desamma, likvärdig grader och lösa den resulterande nya ekvationen.

Skriv nu några exempel:

Låt oss börja med en enkel.

Baserna i vänster och höger del är lika med nummer 2, vilket innebär att vi kan avvisa och jämföra deras grader.

x + 2 \u003d 4 Det visade sig den enklaste ekvationen.
X \u003d 4 - 2
x \u003d 2.
Svar: x \u003d 2

I ytterligare exempel Det kan ses att grunden är olika här 3 och 9.

3 3x - 9 x + 8 \u003d 0

Till att börja med överför vi de nio till höger, vi får:

Nu måste du göra samma grund. Vi vet att 9 \u003d 3 2. Vi använder graden formel (A n) m \u003d en nm.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Vi får 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 Nu är det klart att i vänster och höger sida av basen samma och lika med trojkan, vilket innebär att vi kan kassera dem och jämföra grader.

3x \u003d 2x + 16 fick den enklaste ekvationen
3x - 2x \u003d 16
x \u003d 16.
Svar: x \u003d 16.

Vi tittar på följande exempel:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Först tittar vi på basen, grunden är olika två och fyra. Och vi måste vara desamma. Vi konverterar de fyra med formeln (a n) m \u003d a nm.

4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x

Och använd också en formel A n a m \u003d a n + m:

2 2x + 4 \u003d 2 2x 2 4

Lägg till i ekvation:

2 2x 2 4 - 10 2 2x \u003d 24

Vi ledde ett exempel på samma skäl. Men vi stör andra nummer 10 och 24. Vad ska man göra med dem? Om du kan se att det är klart att vi har 2 2 2, det är svaret - 2 2, vi kan ta ut parenteserna:

2 2x (2 4 - 10) \u003d 24

Vi beräknar uttrycket i parentes:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Alla ekvation delim till 6:

Föreställ dig 4 \u003d 2 2:

2 2x \u003d 2 2 baser är desamma, kasta ut dem och jämföra grader.
2x \u003d 2 Det visade sig den enklaste ekvationen. Vi delar upp det på 2
x \u003d 1.
Svar: x \u003d 1.

Lösande ekvation:

9 x - 12 * 3 x + 27 \u003d 0

Vi förvandlar:
9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x

Vi får ekvationen:
3 2x - 12 3 x +27 \u003d 0

De fundament som vi har samma är lika med tre. I det här exemplet kan det ses att den första tre graden två gånger (2x) är större än den för den andra (helt enkelt X). I det här fallet kan du lösa ersättningsmetod. Nummer C. den minsta graden Vi ersätter:

Sedan 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Vi ersätter i ekvation alla grader med håligheter på t:

t 2 - 12T + 27 \u003d 0
Motta kvadratisk ekvation. Vi bestämmer oss genom diskrimineringen, vi får:
D \u003d 144-108 \u003d 36
T 1 \u003d 9
T 2 \u003d 3

Återgå till variabeln x..

Ta T 1:
T 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Det är,

3 x \u003d 9
3 x \u003d 3 2
x 1 \u003d 2

En rot hittad. Vi letar efter den andra, från t 2:
T 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x \u003d 3 1
x 2 \u003d 1
Svar: x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 1.

På webbplatsen kan du i hjälp med lösa beslut att fråga dig ställa frågor. Vi kommer att svara.

Gå med i gruppen

Formler Används i förkortningsprocessen och förenkling komplexa uttryck, lösa ekvationer och ojämlikheter.

siffra c. är en n.Liten examen a. när:

Operationer med grader.

1. Multiplicera graden med samma basis, viks deras indikatorer:

en M.· A n \u003d a m + n.

2. I delningsgrader med samma grund dras deras indikatorer:

3. Graden av arbete 2 eller mer Multiplar är lika med verkningarna av dessa faktorer:

(ABC ...) n \u003d a n · b n · c n ...

4. Graden av fraktion är lika med förhållandet mellan grader av dividering och divider:

(A / b) n \u003d a n / b n.

5. Örhänge Graden i examen är indikatorerna för grader förlängda:

(A m) n \u003d en m n.

Varje ovanstående formel är sant i riktningar från vänster till höger och vice versa.

till exempel. (2 · 3 · 5/15) ² \u003d 2 ^ · 3 ^ 5 ^ / 15 ² \u003d 900/225 \u003d 4.

Rotoperationer.

1. Roten av flera faktorer är lika med produkten av dessa faktors rötter:

2. Roten av förhållandet är lika med attityden hos klyftan och delaren av rötterna:

3. När roten är uppbyggd är den ganska inbyggd i denna grad.

4. Om du ökar graden av rot i n. en gång och samtidigt bygga in n.Graden av matningsnumret, värdet av roten kommer inte att förändras:

5. Om du minskar roten i n. En gång och samtidigt extrahera roten n.Grad från ett undercurnerat nummer, kommer roten av roten inte att ändras:

Grad med en negativ indikator.Graden av ett visst antal med en obestridlig (hel) indikator bestäms som en enhet dividerad med graden av samma nummer med en indikator som är lika med det absoluta värdet av den icke-positiva indikatorn:

Formel en M.: a n \u003d a m - n kan användas inte bara när m.> n. men också m.< n..

till exempel. a. 4: A 7 \u003d A 4 \u200b\u200b- 7 \u003d A -3.

Till formel en M.: a n \u003d a m - n blev rättvist som m \u003d N.Närvaron av en nollgrad behövs.

Graden med nollindikatorn.Graden av något antal som inte är lika med noll, med nollindikatorn är lika med.

till exempel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad med fraktionerad indikator.Att bygga ett giltigt nummer men i examen m / n., det är nödvändigt att extrahera roten n.examen från m.grad av detta nummer men.

Typ av lektion: Lektion av generalisering och systematisering av kunskap

Mål:

• pedagogisk - upprepa bestämningen av graden, reglerna för multiplikation och division av grader, konstruktion av en examen i examen, konsolidera förmågan att lösa exempel som innehåller grader
• utvecklande - Utveckling av logiskt tänkande av studenter, intresse för det studerade materialet,
• höja - Utbildning av en ansvarsfull inställning till att studera, kultur av kommunikation, känslor av kollektivismen.

Utrustning:dator, multimedia projektor, interaktiv styrelse, Presentation av "examen" för oralt konto, kort med uppgifter, distributionsmaterial.

Lektionsplanering:

1. Organiseringstid.
2. Repetition av regler
3. Muntlig räkning.
4. Historisk referens.
5. Arbeta i styrelsen.
6. Fizkultminutka.
7. Arbeta på en interaktiv styrelse.
8. Självständigt arbete.
9. Läxa.
10. Summera upp lektionen.

Under klasserna

I. Organisationsmoment

Meddelande teman och lektionsändamål.

I tidigare lektioner upptäckte du själv fantastisk värld grader, lärde sig att multiplicera och dela grader, upprepa dem i en examen. Idag måste vi konsolidera kunskapen som uppnåtts i att lösa exempel.

II. Repetition av regler(oralt)

1. Ge definitionen en naturlig indikator? (Grad av siffror men med en naturlig indikator, stor 1, kallad ett arbete n. multiplikatorer, var och en är lika men.)
2. Hur multiplicerar man två grader? (Att multiplicera grader med identiska grunder, Det är nödvändigt att lämna basen densamma, och indikatorerna är vikta.)
3. Hur man delar upp graden i examen? (För att dela grader med samma baser är det nödvändigt att lämna basen densamma, och indikatorerna subtraherar.)
4. Hur man bygger en produkt i en examen? (För att bygga en produkt i examen är det nödvändigt varje multiplikator i den här graden)
5. Hur man bygger en examen i en examen? (Att bygga en examen i examen är det nödvändigt att lämna marken till samma och multiplicera indikatorer)

III. Muntlig räkning(Multimedia)

Iv. Historisk referens

Alla uppgifter från Papyrus Akhmes, som spelas in om 1650 f.Kr. e. I samband med konstruktion av konstruktion är placeringen av markplottor, etc. uppgifter grupperade om ämnen. Fördelen är uppgiften att hitta området av triangel, fyra-triggers och en cirkel, en mängd aktiviteter med heltal och fraktioner, proportionell division, hitta relationer, det finns också byggandet av olika grader, lösningen av ekvationer av den första och andra graden med en okänd.

Det finns ingen förklaring eller bevis. Det önskade resultatet ges antingen direkt eller en kort algoritm för dess beräkning ges. Denna presentationsmetod, typisk för vetenskapsländerna i öst, föreslår att matematik där utvecklats av generaliseringar och gissningar som inte bildar någon vanlig teori. Ändå finns det i Papyrus hel linje Bevis för att egyptiska matematiker visste hur man extraherar rötter och höjer i en examen, löser ekvationer och ägde till och med attackerna av algebra.

V. Arbeta i styrelsen

Hitta värdet av uttrycket rationell väg:

Beräkna värdet av uttrycket:

Vi. Fizkultminutka

1. för ögonen
2. för nacke
3. för händer
4. för fackla
5. för benen

VII. Lösa uppgifter(med en bildskärm på en interaktiv bräda)

Är roten till ekvationen av ett positivt tal?

a) 3x + (-0,1) 7 \u003d (-0,496) 4 (x\u003e 0)

b) (10,381) 5 \u003d (-0,012) 3 - 2x (x< 0)

Viii. Självständigt arbete

Ix. Läxa

H. summera upp lektionen

Analys av resultaten, deklarationerna.

Vi kommer att tillämpa kunskapen om grader för att lösa ekvationer, uppgifter i gymnasiet, de finns också ofta i tentamen.

Sektioner: Matematik

Typ av lektion: Lektion av generalisering och systematisering av kunskap

Mål:

pedagogisk - upprepa bestämningen av graden, reglerna för multiplikation och division av grader, konstruktion av en examen i examen, konsolidera förmågan att lösa exempel som innehåller grader

utvecklande - Utveckling av logiskt tänkande av studenter, intresse för det studerade materialet,

höja - Utbildning av en ansvarsfull inställning till att studera, kultur av kommunikation, känslor av kollektivismen.

Utrustning: Dator, multimediaprojektor, interaktiv styrelse, presentation "examen" för oralt konto, kort med uppdrag, distributionsmaterial.

Lektionsplanering:

Organiseringstid.

Repetition av regler

Muntlig räkning.

Historisk referens.

Arbeta i styrelsen.

Fizkultminutka.

Arbeta på en interaktiv styrelse.

Självständigt arbete.

Läxa.

Summera upp lektionen.

Under klasserna

I. Organisationsmoment

Meddelande teman och lektionsändamål.

I tidigare lektioner upptäckte du den fantastiska världen av grader, lärde sig att multiplicera och dela grader, upprepa dem i en examen. Idag måste vi konsolidera kunskapen som uppnåtts i att lösa exempel.

II. Repetition av regler (oralt)

1. Ge definitionen en naturlig indikator? (Grad av siffror men med en naturlig indikator, stor 1, kallad ett arbete n. multiplikatorer, var och en är lika men.)
2. Hur multiplicerar man två grader? (För att multiplicera grader med samma baser är det nödvändigt att lämna basen på samma sätt, och indikatorerna är vikta.)
3. Hur man delar upp graden i examen? (För att dela grader med samma baser är det nödvändigt att lämna basen densamma, och indikatorerna subtraherar.)
4. Hur man bygger en produkt i en examen? (För att bygga en produkt i examen är det nödvändigt varje multiplikator i den här graden)
5. Hur man bygger en examen i en examen? (Att bygga en examen i examen är det nödvändigt att lämna marken till samma och multiplicera indikatorer)

III. Muntlig räkning (Multimedia)

Iv. Historisk referens

Alla uppgifter från Papyrus Akhmes, som spelas in om 1650 f.Kr. e. I samband med konstruktion av konstruktion är placeringen av markplottor, etc. uppgifter grupperade om ämnen. Fördelen är uppgiften att hitta området av triangel, fyra-triggers och en cirkel, en mängd aktiviteter med heltal och fraktioner, proportionell division, hitta relationer, det finns också byggandet av olika grader, lösningen av ekvationer av den första och andra graden med en okänd.

Det finns ingen förklaring eller bevis. Det önskade resultatet ges antingen direkt eller en kort algoritm för sin beräkning ges. Denna presentationsmetod, som är typisk för vetenskapen om länderna i det antika öst, föreslår att matematik utvecklas där genom generaliseringar och gissningar som inte bildar någon vanlig teori. Men i Papyrus finns det ett antal bevis på att egyptiska matematiker visste hur man extraherar rötter och höjer graden, löser ekvationerna och ägde till och med attackerna av algebra.

V. Arbeta i styrelsen

Hitta värdet på uttrycket Rational Way:

Beräkna värdet av uttrycket:



Vi. Fizkultminutka

6. för ögonen
7. för nacke
8. för händer
9. för fackla
10. för benen

VII. Lösa uppgifter (med en bildskärm på en interaktiv bräda)

Är roten till ekvationen av ett positivt tal?

xn - i1abbnckbmcl9fb.xn - p1ai

Formlerna av grader och rötter.

Formler Används i förkorta och förenkla komplexa uttryck, för att lösa ekvationer och ojämlikheter.

siffra c. är en n.Liten examen a. när:



Operationer med grader.

1. Multiplicera graden med samma basis, viks deras indikatorer:

2. I delningsgrader med samma grund dras deras indikatorer:



3. Graden av arbete med 2 eller flera multiplikatorer är lika med produkten av dessa faktorer:

(ABC ...) n \u003d a n · b n · c n ...

4. Graden av fraktion är lika med förhållandet mellan grader av dividering och divider:

5. Örhänge Graden i examen är indikatorerna för grader förlängda:

Varje ovanstående formel är sant i riktningar från vänster till höger och vice versa.

Rotoperationer.

1. Roten av flera faktorer är lika med produkten av dessa faktors rötter:

2. Roten av förhållandet är lika med attityden hos klyftan och delaren av rötterna:



3. När roten är uppbyggd är den ganska inbyggd i denna grad.



4. Om du ökar graden av rot i n. en gång och samtidigt bygga in n.Graden av matningsnumret, värdet av roten kommer inte att förändras:



5. Om du minskar roten i n. En gång och samtidigt extrahera roten n.Grad från ett undercurnerat nummer, kommer roten av roten inte att ändras:



Graden av ett visst antal med en obestridlig (hel) indikator bestäms som en enhet dividerad med graden av samma nummer med en indikator som är lika med det absoluta värdet av den icke-positiva indikatorn:



Formel en M. : a n \u003d a m - n kan användas inte bara när m. > n. men också m. 4: A 7 \u003d A 4 \u200b\u200b- 7 \u003d A -3.

Till formel en M. : a n \u003d a m - n blev rättvist som m \u003d N.Närvaron av en nollgrad behövs.

Graden av något antal som inte är lika med noll, med nollindikatorn är lika med.

Att bygga ett giltigt nummer men i examen m / n., det är nödvändigt att extrahera roten n.Examen från m.grad av detta nummer men:



Formler grader.

6. a. — n. = - Division av grader;

7. - Division av grader;

8. A 1 / n \u003d ;

Examensregler med grader

1. Graden av två eller flera livmoder är lika med arbetet enligt dessa faktorer (med samma indikator):

(Abc ...) n \u003d a n b n c n ...

Exempel 1. (7 2 10) 2 \u003d 7 2 2 2 10 2 \u003d 49 4 100 \u003d 19600. Exempel 2. (x 2 -a 2) 3 \u003d [(x + a) (x - a)] 3 \u003d ( x + a) 3 (x - a) 3

Nästan viktig omvänd omvandling:

a n b n c n ... \u003d (abc ...) n

de där. Produkten av samma grader av flera kvantiteter är lika med samma grad av produkten av dessa värden.

Exempel 3. Exempel 4. (A + B) 2 (A 2-ab + B2) 2 \u003d [(A + B) (A 2 - AB + B2)] 2 \u003d (A3 + B3) 2

2. Graden av privat (fraktion) är lika med den privata från att dela samma grad dividerat med samma grad av divideraren:

Exempel 5. Exempel 6.

Omvänd transformation:. Exempel 7. . Exempel 8. .

3. När du multiplicerar grader med samma baser viks grader:

Exempel 9.2 2 2 5 \u003d 2 2 + 5 \u003d 2 7 \u003d 128. Exempel 10. (A-4C + x) 2 (a-4c + x) 3 \u003d (a - 4c + x) 5.

4. Vid delningsgrader med samma baser dras divideringsgraden från graden av klyftan

Exempel 11. 12 5:12 3 \u003d 12 5-3 \u003d 12 2 \u003d 144. Exempel 12. (X-Y) 3: (X-Y) 2 \u003d X-Y.

5. Vid upprepa graden i examen är examensindikatorerna variabla:

Exempel 13. (2 3) 2 \u003d 2 6 \u003d 64. Exempel 14.

www.maths.yfa1.ru.

Grader och rötter

Verksamhet med grader och rötter. Grad med negativ ,

noll och fraktionerad indikator. Om uttryck som inte är meningsfulla.

Operationer med grader.

1. När du multiplicerar grader med samma bas, viks deras indikatorer:

en M. · a n \u003d a m + n.

2. Vid delningsgrader med samma grund, deras indikatorer avlägsna .



3. Graden av arbetet med två eller flera vaknar är lika med arbetet i graden av dessa faktorer.

4. Graden av relation (fraktion) är lika med förhållandet mellan dividens grader (täljare) och delaren (nämnaren):

(a / B.) n \u003d a n / b n.

5. Vid upprepa en examen i examen multipliceras deras indikatorer:

Alla ovanstående formler läses och utförs i båda riktningarna från vänster till höger och vice versa.

Prima (2 · 3 · 5/15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² \u003d 900/225 \u003d 4 .

Rotoperationer. I alla följande formler betyder symbolen aritmetisk rot (Courted uttryck positivt).

1. Roten av arbetet med flera livmoder är lika med produkten av dessa faktors rötter:

2. Roten från förhållandet är lika med attityden hos dividers och delarens rötter:



3. När roten är uppställd är det tillräckligt att bygga denna examen Ämne:



4. Om du ökar graden av rot i M gånger och samtidigt bygger ett matningsnummer i en m-grad, kommer rotvärdet inte att förändras:



5. Om du minskar graden av rot i M gånger och samtidigt ta bort roten i m-graden från matningsnumret, kommer rotvärdet inte att ändras:




Utbyggnad av begreppet examen. Hittills har vi endast övervägt grader med en naturlig indikator; Men handlingarna med grader och rötter kan också leda till negativ, noll- och fraktionerad Indikatorer. Alla dessa indikatorer på grader kräver ytterligare definition.

Grad med en negativ indikator. Graden av ett visst antal med en negativ (hel) indikator definieras som en enhet dividerad med graden av samma nummer med en indikator som är lika med den absoluta veliveren av den negativa indikatorn:



T heathe formel en M. : eTT. = en m - n kan användas inte bara när m. mer än n. men också m. mindre än n. .

Prima a. 4: a. 7 \u003d A. 4 — 7 \u003d A. — 3 .

Om vi \u200b\u200bvill ha formeln en M. : eTT. = en M. — n. Det var rättvist för m \u003d N. Vi måste bestämma nollexamen.

Graden med nollindikatorn. Graden av något nonzero-nummer med noll är lika med 1.

PRI MERS. 2 0 \u003d 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grad med fraktionerad indikator. För att bygga ett giltigt nummer A i examen m / n är det nödvändigt att extrahera roten i N-graden från M-graden av detta nummer A:



Om uttryck som inte är meningsfulla. Det finns flera sådana uttryck.

var a. ≠ 0 , existerar inte.

I själva verket, förutsatt att x. - Ett nummer, sedan i enlighet med definitionen av divisionsoperationen, har vi: a. = 0· x.. a. \u003d 0, vilket motsäger tillståndet: a. ≠ 0

— vilket nummer som helst.

I själva verket, förutsatt att detta uttryck är lika med något antal x., enligt definitionen av divisionsoperationen, har vi: 0 \u003d 0 · x. . Men denna jämlikhet äger rum när vilket nummer som helst X.Som krävs för att bevisa.

0 0 — vilket nummer som helst.



Tänk på tre grundläggande ärenden:

1) x. = 0 – Detta värde uppfyller inte denna ekvation.

2) för x. \u003e 0 Vi får: x / X. \u003d 1, dvs. 1 \u003d 1, varifrån det följer

vad x. - vilket nummer som helst; Men med hänsyn till det i

vårt fall x. \u003e 0, svaret är x. > 0 ;

Egenskaper av examen

Vi påminner om det i den här lektionen förstår du egenskaper av grader med naturliga indikatorer och noll. Graderna med rationella indikatorer och deras egenskaper kommer att övervägas i lektioner för 8 klasser.

Förhållandet med en naturlig indikator har flera viktiga egenskaper som gör att du kan förenkla beräkningar i exempel med grader.

Fastighetsnummer 1.
Graden av grader

Vid multiplicering grader med samma baser, förblir basen oförändrad, och indikatorerna på grader är vikta.

a m · a n \u003d a m + n, där "a" är ett nummer och "m", "n" - några naturliga nummer.

Denna egenskap av examen verkar också på arbetet med tre och fler grader.

• Förenkla uttrycket.
  b · B 2 · B 3 · B 4 · B 5 \u003d B 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \u003d B 15
• Representera i form av grad.
  6 15 · 36 \u003d 6 15 · 6 2 \u003d 6 15 · 6 2 \u003d 6 17
• Representera i form av grad.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 \u003d (0,8) 3 + 12 \u003d (0,8) 15

Observera det i angiven egendom Det var bara om multiplicering grader med samma stiftelser. . Det gäller inte deras tillägg.

Det är omöjligt att ersätta mängden (3 3 + 3 2) med 3 5. Detta är förståeligt om
beräkna (3 3 + 3 2) \u003d (27 + 9) \u003d 36, en 3 5 \u003d 243

Fastighetsnummer 2.
Privat examen

Vid delningsgrader med samma baser, är basen oförändrad, och från indikatorn på divisionen avdragsgilla dividerens grad.

• Skriv privat i form av examen
  (2b) 5: (2b) 3 \u003d (2b) 5 - 3 \u003d (2b) 2
• Beräkna.

11 3 - 2 · 4 2 - 1 \u003d 11 · 4 \u003d 44
Exempel. Löser ekvation. Vi använder privata grader.
3 8: t \u003d 3 4

Svar: t \u003d 3 4 \u003d 81

Med hjälp av egenskaper nr 1 och nr 2 kan du enkelt förenkla uttryck och göra beräkningar.

Exempel. Förenkla uttrycket.
4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 5 m + 6 + M + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 6m + 8 - 4m - 3 \u003d 4 2m + 5

Exempel. Hitta värdet av uttrycket med hjälp av examensegenskaperna.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Observera att i fastigheten 2 var det bara om delningsgrader med samma baser.

Det är omöjligt att ersätta skillnaden (4 3 -4 2) med 4 1. Detta är förståeligt om du beräknar (4 3 -4 2) \u003d (64-16) \u003d 48, en 4 1 \u003d 4

Fastighetsnummer 3.
Upprätt

Vid uppförandet av graden i examen är grunden oförändrad, och indikatorerna i grader är variabla.

(a n) m \u003d a n · m, där "a" är ett nummer, och "m", "n" - några naturliga nummer.

Exempel.
(A 4) 6 \u003d A4 · 6 \u003d A 24

Exempel. Present 3 20 i form av en grad med en bas av 3 2.

Av övningsområdet till examen Det är känt att när graden höjs är indikatorerna variabla, det betyder:

Egenskaper 4.
Arbetsdag

Vid uppställning av graden i graden av arbete uppförs varje multiplikator i denna grad, och resultaten multipliceras.

(a · b) n \u003d a n · b n, där "A", "b" - eventuella rationella nummer "N" - något naturligt nummer.

• Exempel 1.
  (6 · A 2 · B3 · C) 2 \u003d 6 2 · A 2 · 2 · B 3 · 2 · Ci · 2 \u003d 36 A 4 · B 6 · C2
• Exempel 2.
  (-X 2 · Y) 6 \u003d ((-1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) \u003d x 12 · y 6

Observera att egendomsnummer 4, liksom andra egenskaper i grader, gäller i omvänd ordning.

(A n · b n) \u003d (a · b) n

Det är för att multiplicera graderna med samma indikatorer är det möjligt att multiplicera baserna, och gradindikatorn är oförändrad.

• Exempel. Beräkna.
  2 4 · 5 4 \u003d (2 · 5) 4 \u003d 10 4 \u003d 10 000
• Exempel. Beräkna.
  0,5 16 · 2 16 \u003d (0,5 · 2) 16 \u003d 1

I mer komplexa exempel Det kan finnas fall när multiplikation och division måste utföras över grader med olika baser och olika indikatorer. I det här fallet rekommenderar vi att det fungerar som följer.

Till exempel, 4 5 · 3 2 \u003d 4 3 · 4 2 · 3 2 \u003d 4 3 · (4 · 3) 2 \u003d 64 · 12 2 \u003d 64 · 144 \u003d 9216

Exempel på decimalfraktion.

4 21 · (-0,25) 20 \u003d 4 · 4 20 · (-0,25) 20 \u003d 4 · (4 · (-0,25)) 20 \u003d 4 · (-1) 20 \u003d 4 · 1 \u003d fyra

Egenskaper 5.
Privat examen (fraktion)

För att bjuda in examen i privat kan du bygga en separat och divider i den här examen, och det första resultatet är uppdelat i det andra.

(A: b) n \u003d a n: b n, där "a", "b" - eventuella rationella nummer, b ≠ 0, n - vilket naturligt nummer som helst.

• Exempel. Presentera ett uttryck i form av privata grader.
  (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Vi påminner dig om att privat kan representeras som en fraktion. Därför, på ämnet, kommer vi att fokusera mer mer detaljerat på nästa sida.