Rationell eller irrationell är numret. Vad är rationella och irrationella tal

Rationellt tal - Antalet representerat av en vanlig fraktion av m / n, där täljaren M är ett heltal, och nämnaren n är ett naturligt tal. Eventuellt rationellt tal är ideologiskt i form av en periodisk oändlig decimalfraktion. Satsen av rationella nummer betecknas med Q.

Om ett giltigt nummer inte är rationellt, så är det irrationellt tal. Decimala fraktioner som uttrycker irrationella tal är oändliga och inte periodiska. Många irrationella tal indikeras vanligtvis av titeln Latin Letter I.

Ett giltigt nummer kallas algebraiskOm det är roten till någon polynomial (nonzero-examen) med rationella koefficienter. Något nonalgebraiskt nummer kallas transcendent.

Vissa egenskaper:

Ett flertal rationella tal finns på den numeriska axeln överallt tätt: Mellan två olika rationella nummer är minst ett rationellt tal (och därmed den oändliga uppsättningen rationella nummer). Det visar sig emellertid att uppsättningen rationella nummer Q och uppsättningen naturliga nummer n är ekvivalenta, det vill säga det är möjligt att upprätta en ömsesidigt entydig match mellan dem (alla delar av uppsättningen rationella nummer kan hyras).

De inställda Q-rationella siffrorna är stängt i förhållande till tillsatsen, subtraktion, multiplikation och division, det vill säga mängden, skillnaden, produkten och de privata två rationella siffrorna är också rationella nummer.

Alla rationella tal är algebraiska (motsatt uttalande är felaktigt).

Varje verkligt transcendentalnummer är irrationellt.

Varje irrationellt tal är antingen algebraiskt eller transcendental.

Många irrationella tal överallt tätt på en numerisk direkt: Mellan två nummer finns ett irrationellt tal (och därmed den oändliga uppsättningen irrationella tal).

Många irrationella tal uppstår.

Vid lösning av uppgifter är det bekvämt tillsammans med det irrationella numret A + B√ C (där A, B är rationella nummer, C - en hel kvadrat av ett naturligt nummer) Tänk på "konjugatet" Nummer A - B√ C: dess summa och arbeta med initiala rationella nummer. Så A + B√ C och A - B√ C är rötter av en fyrkantig ekvation med heltalskoefficienter.

Uppgifter med lösningar

1. Bevis det

a) nummer √ 7;

b) Antalet LG 80;

c) Numret √ 2 + 3 √ 3;

Är irrationell.

a) Antag att numret är √ 7 rationellt. Därefter finns det sådana ömsesidigt enkla p och q, vilket är √7 \u003d p / q, varifrån vi får s 2 \u003d 7q 2. Eftersom p och q är ömsesidigt enkla, sedan p 2, och därför är P dividerat med 7. Därefter p \u003d 7k, där K är något naturligt tal. Därför Q 2 \u003d 7K 2 \u003d PK, som strider mot det faktum att P och Q är ömsesidigt enkla.

Så antagandet är falskt, det betyder att numret √ 7 är irrationellt.

b) Antag att antalet LG 80 är rationellt. Då finns det sådana naturliga p och q som LG 80 \u003d P / Q, eller 10 p \u003d 80 Q, varifrån vi får 2 P-4Q \u003d 5 Q-P. Med tanke på att siffrorna 2 och 5 är ömsesidigt enkla, erhåller vi att den sista jämlikheten endast är möjlig vid P-4Q \u003d 0 och QP \u003d 0. Varifrån p \u003d q \u003d 0, vilket inte är möjligt, eftersom p och q är valda av naturliga.

Så antagandet är falskt, det betyder att antalet LG 80 är irrationellt.

c) beteckna med detta nummer genom x.

Sedan (x - √ 2) 3 \u003d 3 eller x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 · (3x 2 + 2). Efter konstruktionen av denna ekvation i torget får vi att X ska uppfylla ekvationen

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 \u003d 0.

Dess rationella rötter kan bara vara siffror 1 och -1. Kontrollera visar att 1 och -1 inte är rötter.

Så, detta nummer är √ 2 + 3 √3 är irrationellt.

2. Det är känt att siffror A, B, √ A -√ B, - Rationellt. Bevisa det √ A och √ b- Även rationella tal.

Tänk på arbetet

(√ A - √ b) · (√ a + √ b) \u003d a - b.

siffra √ A + √ B, som är lika med förhållandet mellan antal A-B och √ A -√ B, Det är rationellt, eftersom den privata från att dela två rationella nummer är ett rationellt tal. Summan av två rationella tal

½ (√ A + √ b) + ½ (√ a - √ b) \u003d √ a

- Numret är rationellt, deras skillnad,

½ (√ A + √ b) - ½ (√ a - √ b) \u003d √ b,

också ett rationellt tal, vilket var nödvändigt att bevisa.

3. Bevisa att det finns positiva irrationella nummer A och B, för vilket numret A B är naturligt.

4. Finns det några rationella nummer A, B, C, D tillfredsställande jämlikhet

(A + B √ 2) 2N + (C + D√ 2) 2N \u003d 5 + 4√ 2,

där n är ett naturligt nummer?

Om jämlikhet utförs, ges i tillståndet, och numret A, B, C, D är rationell, utförs jämlikheten:

(A - b √ 2) 2n + (c - d√ 2) 2n \u003d 5 - 4√ 2.

Men 5 - 4√ 2 (A - B√ 2) 2N + (C - D√ 2) 2N\u003e 0. Den resulterande motsägelseen visar att den ursprungliga jämlikheten är omöjlig.

Svar: existerar inte.

5. Om segmenten med längderna A, B, C bildar en triangel, sedan för alla n \u003d 2, 3, 4 ,. . . Segment med längder n √ a, n √ b, n √ c bildar bara en triangel. Bevisa det.

Om segmenten med längderna av A, B, C bildar en triangel, ger triangelns ojämlikhet

Därför har vi

(n √ a + n √ b) n\u003e a + b\u003e c \u003d (n √ c) n,

N √ a + n √ b\u003e n √ c.

De återstående fallen av verifiering av triangelns ojämlikhet behandlas på samma sätt, varifrån den följer.

6. Bevis att den oändliga decimalafraktionen 0 1234567891011121314 ... (efter semikolonerna i rad, är alla naturliga nummer skrivna i ordning) är ett irrationellt tal.

Såsom är känt uttrycks rationella nummer av decimalfraktioner som har en period från något tecken. Därför är det tillräckligt att bevisa att denna fraktion inte är periodisk från något tecken. Antag att detta inte är fallet, och viss sekvens t, bestående av n-nummer, är en fraktionsperiod, från morgonen efter ett kommatecken. Det är uppenbart att bland siffrorna efter det att M-TH är det finns nonzero, därför finns det en nonzero-siffror i sekvensen av siffror. Det betyder att börja med M-TH-talet efter kommatecken, bland några n-nummer i rad finns en nonzero-siffror. Men i decimalregistret av denna fraktion måste det finnas en decimal rekord över nummer 100 ... 0 \u003d 10 k, där k\u003e m och k\u003e n. Det är uppenbart att denna post kommer att uppfylla höger om M-OH-nummer och innehåller mer n-nollor i rad. Således får vi en motsägelse, slutlig bevis.

7. En oändlig decimalfraktion ges 0, en 1 A 2 .... Bevis att siffrorna i sin decimaltal kan omorganiseras så att den resulterande fraktionen uttrycker rationellt tal.

Minns att fraktionen uttrycker ett rationellt tal i det och bara fallet när det är periodiskt, från ett visst tecken. Siffror från 0 till 9 Vi delar upp i två klasser: I den första klassen kommer vi att inkludera de siffror som finns i den ursprungliga fraktionen. Det sista antalet gånger i den andra klassen - de som uppstod i den ursprungliga fraktionen av ett oändligt antal gånger. Vi börjar skriva en periodisk fraktion som kan erhållas från den ursprungliga permutationen av siffror. Först, efter noll och kommatecken, skriv alla siffror från den första klassen i vilken beställning som helst - var och en som många gånger som det finns i inspelningen av den ursprungliga fraktionen. Inspelade förstklassiga siffror kommer att föregripa perioden i den fraktionella delen av decimalfraktionen. Därefter skriver vi i någon order till en gång siffrorna från den andra klassen. Denna kombination kommer att deklarera perioden och kommer att upprepa sitt oändliga antal gånger. Således tömde vi en önskad periodisk fraktion som uttryckte något rationellt tal.

8. Bevis att i varje oändlig decimalfraktion finns en sekvens av decimalskyltar av godtycklig längd, vilken i sönderdelningen av FRACI inträffar oändligt många gånger.

Låt m vara ett godtyckligt specificerat naturligt nummer. Vi bryter den här oändliga decimalafraktionen på segmenten, på M-nummer i vardera. Det kommer att finnas oändligt många av dessa segment. Å andra sidan existerar olika system som består av M-nummer endast 10 m, dvs det slutliga numret. Följaktligen bör åtminstone ett av dessa system upprepas här obestämt många gånger.

Kommentar. För irrationella tal √ 2, π eller e. Vi vet inte ens vilken siffra upprepas oändligt många gånger för att representera sina oändliga decimalafraktioner, även om var och en av dessa siffror, som lätt kan bevisas, innehåller minst två olika sådana nummer.

9. Bevisa det elementära sättet att den positiva roten av ekvationen

Är irrationell.

För X\u003e 0 ökar den vänstra delen av ekvationen med ökande X, och det är lätt att se att vid X \u003d 1,5 är det mindre än 10, och vid X \u003d 1,6 - mer än 10. Därför är den enda positiva roten av Ekvationen är inuti intervallet (1,5; 1,6).

Vi skriver roten som en ololig fraktion P / Q, där P och Q är några ömsesidigt enkla naturliga nummer. Sedan vid x \u003d p / q kommer ekvationen att ta följande formulär:

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5,

från där det följer att p är divider 10, är \u200b\u200bdärför lika med ett av numren 1, 2, 5, 10., men förskrivning av fraktionerna med siffror 1, 2, 5, 10, märker vi omedelbart att ingen av dem faller inuti intervallet (1,5; 1,6).

Så, den positiva roten av källekvationen kan inte representeras som en vanlig fraktion, vilket innebär ett irrationellt tal.

10. a) Finns det tre sådana punkter A, B och C på planet, som för vilken punkt X som helst X längden av åtminstone ett av segmenten Xa, Xb och Xc irrationell?

b) Koordinaterna för triangelns hörn är rationella. Bevis att koordinaterna för mitten av den beskrivna cirkeln också är rationella.

c) Finns det en sådan sfär där det finns exakt en rationell punkt? (Rationell punkt - en punkt, som har alla tre kartesiska koordinater - rationella nummer.)

a) Ja, existerar. Låt C vara mitten av AB. Då xc 2 \u003d (2xa 2 + 2xb 2 - ab 2) / 2. Om nummer AB 2 är irrationellt kan XA, XB och XC-talet inte samtidigt vara rationella.

b) låt (en 1; b 1), (en 2; b2) och (en 3; b3) - koordinaterna för triangelns hörn. Koordinaterna för mitten av den beskrivna cirkeln ställs in av systemet med ekvationer:

(X-A 1) 2 + (Y-B1) 2 \u003d (X-A2) 2 + (Y-B2) 2,

(X-A 1) 2 + (Y-B1) 2 \u003d (X-A3) 2 + (Y-B3) 2.

Det är lätt att verifiera att dessa ekvationer är linjära, och därför är lösningen av systemet med ekvationer i fråga rationellt.

c) en sådan sfär existerar. Till exempel sfären med ekvationen

(X - √ 2) 2 + y 2 + z 2 \u003d 2.

Punkt o med koordinater (0; 0; 0) - Rationell punkt som ligger på detta område. De återstående punkterna på sfären är irrationell. Vi bevisar det.

Antag motsatsen: Låt (x; y; z) - den rationella punkten på sfären, annorlunda än punkt O. Det är uppenbart att X skiljer sig från 0, eftersom vid x \u003d 0 finns en enda lösning (0; 0; 0) Att vi inte är intresserade av. Markera fästen och Express √ 2:

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 \u003d 2

√ 2 \u003d (x 2 + y 2 + z 2) / (2x),

vad kan inte vara med rationell x, y, z och irrationell √ 2. Så, O (0; 0; 0) är den enda rationella punkten i den aktuella sektorn.

Uppgifter utan lösningar

1. Bevis att numret

\\ [\\ Sqrt (10+ \\ sqrt (24) + \\ sqrt (40) + \\ sqrt (60)) \\]

Är irrationell.

2. På vilken annan m och n jämlikhet utförs (5 + 3√ 2) m \u003d (3 + 5√ 2) n?

3. Finns det ett sådant tal A så att numret A är √3 och 1 / A + √3 var heltal?

4. Kan siffrorna 1, √ 2, 4 vara medlemmar (inte nödvändigtvis intilliggande) aritmetisk progression?

5. Bevisa att med alla naturliga N, har ekvationen (x + o√ 3) 2n \u003d 1 + √ 3 inte lösningar i rationella tal (x; y).

Många irrationella tal indikeras vanligtvis av titeln Latin Letter I (\\ DisplayStyle \\ MathBB (I)) I en djärv inskription utan fyllning. På det här sättet: I \u003d R ∖ Q (\\ DisplayStyle \\ MathBB (I) \u003d \\ MathBB (R) \\ Backslash \\ MathBB (Q))Det är, många irrationella tal har skillnaden i uppsättningar av verkliga och rationella tal.

Förekomsten av irrationella tal, mer exakt, de antika matematikerna var redan kända för förekomsten av ett irrationellt tal: de var kända, exempelvis, den diagonala och satsens sida, som är ekvivalent med irrationaliteten hos siffra.

Encyclopedic YouTube.

• 1 / 5

  Irrationella är:

  Exempel på bevis på irrationalitet

  Rot från 2.

  Antag naturligt: 2 (\\ displayStyle (\\ sqrt (2))) rational, det vill säga det verkar i form av en fraktion M n (\\ displayStyle (\\ frac (m) (n)))var M (\\ displayStyle m) - heltal, och N (\\ displayStyle n) - naturligt nummer .

  Uppförde den beräknade jämlikheten på torget:

  2 \u003d mn ⇒ 2 \u003d m 2 n 2 ⇒ m 2 \u003d 2 n 2 (\\ displayStyle (\\ sqrt (2)) \u003d (\\ frac (m) (n)) \\ sagarrow 2 \u003d (\\ frac (m ^ (2 )) (n ^ (2))) \\ rightarrow m ^ (2) \u003d 2n ^ (2)).

  Historia

  Antikvitet

  Begreppet irrationella tal uppfattades implicit av indiska matematiker i VII-talet BC, när Manava (ca 750 f.Kr., E. - OK. 690 f.Kr. ER) upptäckte att kvadratiska rötter av några naturliga nummer, som 2 och 61, kan inte uttryckligen uttryckas [ ] .

  Det första beviset på förekomsten av irrationella tal är vanligtvis hänförliga till hypopen från MetaPont (ca 500 gg. BC), Pythagorean. I pythagorans tid trodde man att det finns en enda längd av längd, en ganska liten och odelbar, vilket är ett heltal i något segment [ ] .

  Det finns inga exakta uppgifter om varrationaliteten av vilket antal bevisades av Hippas. Enligt legenden fann han att han studerade längden på pentagramets sidor. Därför är det rimligt att anta att det var ett gyllene tvärsnitt [ ] .

  Grekiska matematik kallas detta förhållande av inkommensurabla värden alogos. (oförutsägbar), men enligt legenderna gav inte Hippasus på grund av respekt. Det finns en legenden som Hippor gjorde en upptäckt, som var i havet vandra och kastades överbord med andra pythagores "för skapandet av ett element i universum, som förnekar doktrinen att alla enheter i universum kan minskas till heltal och deras relationer. " Öppningen av Hippas har levererat ett allvarligt problem framför den pytagoriska matematiken, som förstör antagandet som har fallit vid basen att siffrorna och geometriska föremålen är förenade och oskiljaktiga.

  Definition av det irrationella numret

  Irrationell kallas sådana nummer som i decimal rekord är oändliga icke-periodiska decimalfraktioner.

  
  
  

  Till exempel är de erhållna siffrorna genom att extrahera en kvadratrot från naturliga tal irrationella och är inte kvadrater av naturliga nummer. Men inte alla irrationella tal erhålls genom att extrahera kvadratiska rötter, eftersom det erhålls genom division, är numret "pi" också irrationellt, och du är osannolikt att få det, försöker ta bort kvadratroten från ett naturligt nummer.

  Egenskaper för irrationella siffror

  Till skillnad från de siffror som registrerats med en oändlig decimalfraktion registreras endast irrationella tal med icke-periodiska oändliga decimala fraktioner.
  Summan av två icke-negativa irrationella nummer som ett resultat kan vara ett rationellt tal.
  Irrationella numren definierar avdragen i avsnittet i en mängd olika rationella nummer, i den nedre klassen, som inte har det största antalet, och det finns inte mindre i övre delen.
  Eventuellt verkligt transcendentalnummer är irrationellt.
  Alla irrationella tal är antingen algebraiska eller transcendentala.
  Ett flertal irrationella nummer på raka är placerade tätt, och mellan sina egna två nummer kommer det att finnas ett irrationellt tal.
  Många irrationella tal är oändligt oändligt och är en mängd 2: a kategorin.
  När du utför någon aritmetisk operation med rationella tal, förutom division med 0, kommer resultatet att vara ett rationellt tal.
  Dessutom är det rationella numret med irrationell, som ett resultat, ett irrationellt antal alltid erhållet.
  Dessutom kan irrationella nummer som ett resultat få ett rationellt tal.
  Många irrationella tal är inte ens.
  

  Siffror är inte irrationella

  Ibland är det ganska svårt att svara på frågan huruvida numret är irrationellt, särskilt i fall där numret har formen av en decimalfraktion eller i form av ett numeriskt uttryck, rot eller logaritm.

  Därför kommer det inte att vara överflödigt att veta vilka siffror som inte hör till irrationellt. Om du följer definitionerna av irrationella tal, så är vi redan kända att rationella tal kan inte vara irrationella.

  Irrationella tal är inte:

  Först alla naturliga nummer;
  För det andra, heltal;
  Tredje, vanliga fraktioner;
  Fjärde, olika blandade nummer;
  För det femte är dessa oändliga periodiska decimala fraktioner.
  

  Förutom det listade kan irrationella numret inte vara någon kombination av rationella nummer, som utförs av tecknen på aritmetiska operationer, som +, - ,,, eftersom med resultatet av två rationella tal kommer det också att finnas ett rationellt antal .

  Och nu får vi se vad siffrorna är irrationella:

  
  
  

  Och om du vet om existensen av en fanklubb, där fansen i detta mystiska matematiska fenomen letar efter all ny information om PI, försöker lösa honom. Medlemmen i denna klubb kan stål någon som känner ett visst antal pi efter ett komma.

  Vet du att i Tyskland, under skyddet av UNESCO, KESTADENAL MONTEs palats, på grund av de proportioner som kan beräknas PI. Hela slottet tillägnad detta nummer kung Friedrich II.

  Det visar sig att numret PI försökte använda under byggandet av det babyloniska tornet. Men för att preleal ledde det till projektets kollaps, eftersom det vid den tiden inte studerades tillräckligt av den exakta beräkningen av PI-värdet.

  Sångaren Kate Bush i sin nya disk spelade in en sång som heter "PI", där ett hundra tjugofyra siffror kom från den berömda numeriska serien 3, 141 ... ..

  Tidigare har vi redan visat att $ 1 \\ FRAC25 $ är nära $ \\ sqrt2 $. Om det var exakt $ \\ sqrt2 $ ,. Då är förhållandet $ \\ FRAC (1 \\ FRAC25) (1) $, som kan omvandlas till förhållandet mellan heltal $ \\ FRAC75 $, multiplicera de övre och nedre delarna av fraktionen på 5, och det skulle vara ett önskat värde .

  Men tyvärr är $ 1 \\ FRAC25 $ inte ett korrekt värde på $ \\ sqrt2 $. Det mer exakta svaret är $ 1 \\ frac (41) (100) $, ger oss förhållandet på $ \\ frac (141) (100) $. Vi uppnår ännu större noggrannhet när vi jämställer $ \\ sqrt2 $ till $ 1 \\ frac (207) (500) $. I det här fallet kommer förhållandet i heltal att vara lika med $ \\ frac (707) (500) $. Men både $ 1 \\ Frac (207) (500) $ är inte det exakta värdet av torget från 2. Grekiska matematiker spenderade mycket tid och ansträngning för att beräkna det exakta värdet på $ \\ sqrt2 $, men det var det inte möjlig. De kunde inte representera förhållandet på $ \\ frac (\\ sqrt2) (1) $ i form av förhållandet mellan heltal.

  Slutligen visade den stora grekiska matematikiska eukliden att oavsett hur noggrannheten av beräkningarna ökar, är det omöjligt att få det exakta värdet på $ \\ sqrt2 $. Det finns ingen sådan fraktion, som, förhöjd till torget, kommer att ge som ett resultat. 2. De säger att Pythagoras kom först till denna slutsats, men det här oförklarliga faktum slog den forskaren att han sveade sig och tog eder för att hålla det här öppning i hemlighet. Men kanske denna information inte motsvarar verkligheten.

  Men om numret $ \\ frac (\\ sqrt2) (1) $ inte kan representeras som förhållandet mellan heltal, då inte, innehållande $ \\ sqrt2 $, till exempel $ \\ frac (\\ sqrt2) (2) $ eller $ \\ frac (4) (\\ sqrt2) $ kan också representeras som förhållandet mellan heltal, eftersom alla sådana fraktioner kan omvandlas till $ \\ frac (\\ sqrt2) (1) $ multiplicerad med något antal. Således $ \\ frac (\\ sqrt2) (2) \u003d \\ frac (\\ sqrt2) (1) \\ Times \\ Frac12 $. Eller $ \\ frac (\\ sqrt2) (1) \\ Times 2 \u003d 2 \\ frac (\\ sqrt2) (1) $, som kan konverteras, multiplicera de övre och nedre delarna på $ \\ sqrt2 $ och få $ \\ frac ( 4) (\\ sqrt2) $. (Vi borde inte glömma det oavsett vad som är antalet $ \\ sqrt2 $, om vi multiplicerar det på $ \\ sqrt2 $, då får vi 2.)
  
  Eftersom numret $ \\ sqrt2 $ inte kan skickas i form av förhållandet mellan heltal, fick det ett namn irrationellt tal. Å andra sidan kallas alla siffror som kan representeras i form av förhållandet mellan heltal rationell.

  Alla andra och fraktionella nummer är rationella, både positiva och negativa.

  Som det visade sig är de flesta kvadratiska rötter irrationella siffror. Rationella kvadratiska rötter är endast i de siffror som ingår i ett antal kvadratiska nummer. Dessa siffror kallas också perfekta rutor. Rationella siffror är också fraktioner som består av dessa idealiska rutor. Till exempel är $ \\ sqrt (1 \\ frac79) $ är ett rationellt nummer, eftersom $ \\ sqrt (1 \\ frac79) \u003d \\ frac (\\ sqrt16) (\\ sqrt9) \u003d \\ frac43 $ eller $ 1 \\ frac13 $ (4 är Root Square från 16, och 3 kvadratrot av 9).

  Förstå siffror, särskilt naturliga nummer, är en av de äldsta matematiska "färdigheterna." Många civilisationer, även moderna, berodde på siffrorna några mystiska egenskaper på grund av deras stora betydelse i naturens beskrivning. Även om modern vetenskap och matematik inte bekräftar dessa "magiska" egenskaper är värdet av teorin om siffror obestridligt.

  Historiskt sett uppstod många naturliga nummer först, då tillsattes en fraktion och positivt irrationellt tal till dem. Noll och negativa tal introducerades efter dessa delmängder av många giltiga nummer. Den sista uppsättningen, många komplexa nummer, visade sig bara med utvecklingen av modern vetenskap.

  I modern matematik är siffrorna inte i historisk ordning, men i ganska nära det.

  Naturnummer $ \\ \\ MathBB (n) $

  Satsen av naturliga nummer indikeras ofta som $ \\ mathBB (n) \u003d \\ lbrace 1,2,3,4 ... \\ rbrace $, och ofta kompletteras det med noll, betecknar $ \\ mathBB (n) _0 $.

  I $ \\ MathBB (n) $ definieras tilläggsverksamheten (+) och multiplicering ($ \\ CDOT $) med följande egenskaper för alla $ A, B, C \\ i \\ MathBB (n) $:

  1. $ a + b \\ in \\ mathbb (n) $, $ a \\ cdot b \\ in \\ mathbb (n) $ set $ \\ mathbb (n) $ är stängd i förhållande till tillsatsen och multiplikation
  2. $ a + b \u003d b + a $, $ a \\ cdot b \u003d b \\ cdot en $ kommutativitet
  3. $ (A + B) + C \u003d A + (B + C) $, $ (A \\ CDOT B) \\ CDOT C \u003d A \\ CDOT (B \\ cdot c) $ associativitet
  4. $ a \\ cdot (b + c) \u003d a \\ cdot b + a \\ cdot c $ distribution
  5. $ a \\ cdot 1 \u003d a $ är ett neutralt element för multiplikation

  Eftersom den uppsättning $ \\ \\ mathBB (n) $ innehåller ett neutralt element för multiplikation, men inte för tillsats, säkerställer tillsatsen av noll till denna uppsättning införandet av ett neutralt element i det för tillsats.

  Förutom dessa två operationer definierar uppsättningen $ \\ \\ mathBB (n) $ förhållandet "mindre" ($

  1. $ a b $ trichotomy
  2. Om $ a \\ leq b $ och $ b \\ leq a $, då $ a \u003d b $ antisymmetri
  3. Om $ a \\ leq b $ och $ b \\ leq c $, då $ a \\ leq c $ transitivity
  4. Om $ a \\ leq b $, då $ a + c \\ leq b + c $
  5. Om $ a \\ leq b $, då $ a \\ cdot c \\ leq b \\ cdot c $

  Heltal $ \\ \\ mathbb (z) $

  Exempel på heltal:
  $1, -20, -100, 30, -40, 120...$

  Lösningen av ekvationen $ a + x \u003d b $, där $ a $ och $ b $ är kända naturliga nummer, och $ x $ är ett okänt naturnummer, kräver introduktion av en ny operation - subtraktion (-). Om det finns ett naturligt antal $ X $, tillfredsställande denna ekvation, då $ X \u003d B-A $. Denna speciella ekvation har emellertid inte nödvändigtvis en lösning på en uppsättning av $ \\ mathBB (n) $, därför kräver praktiska överväganden expansion av uppsättningen naturliga nummer på ett sådant sätt att det innefattar lösningar av en sådan ekvation. Detta leder till introduktionen av många heltal: $ \\ MathBB (Z) \u003d \\ LBRACE 0,1, -1,2, -2,3, -3 ... \\ rbrace $.

  Eftersom $ \\ \\ mathbb (n) \\ subset \\ mathbb (z) $ är det logiskt att anta att den tidigare introducerade operationen $ + $ och $ \\ cdot $ och förhållandet på $ 1. $ 0 + a \u003d a + 0 \u003d En $ Det finns ett neutralt element för tillägg
  2. $ a + (- a) \u003d (- a) + a \u003d 0 $ Det finns motsatt nummer $ -A $ för $ a $
  

  Egendom 5.:
  5. Om $ 0 \\ leq a $ och $ 0 \\ leq b $, då $ 0 \\ leq a \\ cdot b $

  Den inställda $ \\ \\ mathBB (Z) $ är också stängd och i förhållande till subtraktionsoperationen, det vill säga $ (\\ Forall A, B \\ In \\ MathBB (Z)) (A-B \\ In \\ MathBB (Z)) $.

  Rational Numbers $ \\ MathBB (Q) $

  Exempel på rationella nummer:
  $ \\ Frac (1) (2), \\ frac (4) (7), - \\ frac (5) (8), \\ frac (10) (20) ... $

  Nu överväga ekvationerna av typen av $ a \\ cdot x \u003d b $, där $ en $ och $ b $ är kända heltal, och $ x $ är ett okänt. För att lösningen är möjlig är det nödvändigt att introducera divisionen ($: $), och lösningen förvärvar formuläret $ X \u003d B: A $, det vill säga $ X \u003d \\ Frac (B) (A ) $. Återigen finns det ett problem att $ X $ inte alltid hör till $ \\ MathBB (Z) $, så många heltal måste utökas. Således introduceras ett flertal rationella nummer $ \\ \\ mathbb (q) $ med element $ \\ frac (p) (q) $, där $ p \\ in \\ mathbb (z) $ och $ q \\ in \\ mathbb (n) $. Den uppsättning $ \\ \\ mathbb (z) $ är en delmängd, där varje element $ q \u003d 1 $, därför fördelas $ \\ mathbb (z) \\ subset \\ mathbb (q) $ och driften av tillägg och multiplikation fördelas och för detta Ange enligt följande regler, som behåller alla ovanstående egenskaper och på den inställda $ \\ mathBB (q) $:
  $ \\ Frac (p_1) (q_1) + \\ frac (p_2) (q_2) \u003d \\ frac (p_1 \\ cdot q_2 + p_2 \\ cdot q_1) (q_1 \\ cdot q_2) $
  $ \\ Frac (p-1) (q_1) \\ cdot \\ frac (p_2) (q_2) \u003d \\ frac (p_1 \\ cdot p_2) (q_1 \\ cdot q_2) $

  Divisionen injiceras på detta sätt:
  $ \\ Frac (p_1) (q_1): \\ frac (p_2) (q_2) \u003d \\ frac (p_1) (q_1) \\ cdot \\ frac (q_2) (p_2) $

  På den uppsättning $ \\ \\ mathBB (q) $ har $ a \\ cdot x \u003d b $ ekvation en enda lösning för varje $ a \\ nq 0 $ (divisionen till noll är inte definierad). Det betyder att det finns ett omvänd element $ \\ frac (1) (a) $ eller $ a ^ (- 1) $:
  $ (\\ Forall a \\ in \\ mathbb (q) \\ setminus \\ lbrace 0 \\ rbrace) (\\ existera \\ frac (1) (a)) (a \\ cdot \\ frac (1) (a) \u003d \\ frac (1) (a) \\ cdot a \u003d a) $

  Ordern av Mängden $ \\ MathBB (Q) $ kan utökas på detta sätt:
  $ \\ Frac (p_1) (q_1)

  Många $ \\ \\ MathBB (Q) $ har en viktig egendom: det finns oändligt många andra rationella nummer mellan två rationella tal, därför finns det inga två närliggande rationella nummer, till skillnad från de naturliga och heltal.

  Irrationella tal $ \\ MathBB (I) $

  Exempel på irrationella tal:
  $0.333333...$
  $ \\ Sqrt (2) \\ ca 1.41422135 ... $
  $ \\ pi \\ ca 3.1415926535 ... $

  På grund av det faktum att det finns oändligt många andra rationella nummer mellan två rationella tal är det lätt att göra en felaktig slutsats att många rationella tal är så täta att det inte finns något behov av dess ytterligare expansion. Även pythagoras på en gång gjorde ett sådant misstag. Men hans samtidiga har redan nekat denna slutsats i studien av lösningar av ekvationen $ X \\ cdot x \u003d 2 $ ($ x ^ 2 \u003d $ 2) på ett flertal rationella nummer. För att lösa en sådan ekvation är det nödvändigt att införa begreppet en kvadratisk rot, och sedan har lösningen av denna ekvation en formulär $ X \u003d \\ sqrt (2) $. Equation Type $ X ^ 2 \u003d A $, där $ a $ är ett känt rationellt nummer, och $ X $ är ett okänt, har inte alltid en lösning på ett flertal rationella nummer, och det finns det ett behov av att expandera uppsättningen. Många irrationella nummer uppstår, och sådana nummer som $ \\ sqrt (2) $, $ \\ sqrt (3) $, $ \\ pi $ ... tillhör denna uppsättning.

  Faktiska nummer $ \\ MathBB (R) $

  Kombinationen av uppsättningar rationella och irrationella tal är mycket giltiga nummer. Eftersom $ \\ mathBB (q) \\ subset \\ mathbb (r) är återigen logiskt för att anta att de angivna aritmetiska operationerna och förhållandet behåller sina egenskaper på en ny uppsättning. Det formella beviset på detta är mycket svårt, därför anges de ovannämnda egenskaperna hos aritmetiska operationer och förhållandet på uppsättningen av reella tal som axiom. I algebra kallas ett sådant objekt ett fält, så de säger att många giltiga nummer är ett beställt fält.

  För att definitionen av en rad giltiga nummer ska vara fullständigt är det nödvändigt att införa en extra axiom, som skiljer uppsättningarna av $ \\ mathBB (q) $ och $ \\ mathbb (r) $. Antag att $ s $ är en icke-tom delmängd av många giltiga nummer. Element $ b \\ in \\ mathbb (r) $ kallas den övre gränsen för $ s $ set om $ \\ forall x \\ in s $ är rättvis $ x \\ leq b $. Då säger de att många $ s $ är begränsat ovanifrån. Den minsta övre gränsen för mängden $ s $ kallas ett supremum och betecknar $ \\ sup s $. På samma sätt introduceras begreppen av den nedre gränsen, den uppsättning, begränsad till botten och infinum av $ \\ infinum. Nu är den saknade axiom som följer:

  Varje icke-tom och begränsad delmängd av många giltiga nummer har en suprame.
  Det kan också bevisas att området för giltiga nummer, bestämt ovan, är det enda.

  Komplexnummer $ \\ MathBB (c) $

  Exempel på komplexa nummer:
  $(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
  $ 1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i ... $ var $ i \u003d \\ sqrt (-1) $ eller $ i ^ 2 \u003d -1 $

  Ett flertal komplexa nummer är alla beställda par av giltiga nummer, det vill säga $ \\ \\ mathbb (c) \u003d \\ mathbb (r) ^ 2 \u003d \\ mathbb (r) \\ times \\ mathbb (r) $, där verksamheten av Tillägg och multiplikation bestäms på följande sätt:
  $ (A, B) + (C, D) \u003d (A + B, C + D) $
  $ (A, B) \\ CDOT (C, D) \u003d (AC-BD, AD + BC) $

  Det finns flera former av inspelningskomplexnummer, varav den vanligaste har formuläret $ Z \u003d A + IB $, där $ (A, B) är ett par giltiga nummer och numret $ i \u003d (0.1) $ kallas en imaginär enhet.

  Det är lätt att visa att $ i ^ 2 \u003d -1 $. Expansionen av Mängden $ \\ MathBB (R) $ per set $ \\ mathBB (c) $ kan du bestämma kvadratroten av de negativa siffrorna, vilket orsakade introduktionen av en uppsättning komplexa tal. Det är också lätt att visa att en delmängd av den flera $ \\ mathBB (c) $, som anges som $ \\ MathBB (C) _0 \u003d \\ Lbrrace (A, 0) | A \\ In \\ MathBB (R) \\ RBRACE $, uppfyller alla axiom för giltiga nummer, därför $ \\ \\ mathBB (c) _0 \u003d \\ mathbb (r) $, eller $ r \\ subset \\ mathbb (c) $.

  Den algebraiska strukturen i Mängden $ \\ MathBB (C) $ i förhållande till tillsatsens verksamhet och multiplikation har följande egenskaper:
  1. Commucativitet av tillägg och multiplikation
  2. Associativitet av tillägg och multiplikation
  3. $ 0 + I0 $ - Neutral element för tillägg
  4. $ 1 + I0 $ - Neutral element för multiplikation
  5. Multiplikationsfördelning med avseende på tillägg
  6. Det finns ett enda omvänd element för både tillsats och multiplikation.