Hur dra av logaritmer med samma bas. Formler logaritmer. Logaritms exempel lösningar

Logaritmer, som alla nummer, kan vikas, dra av och konvertera. Men eftersom logaritmer inte är riktiga siffror, finns det sina egna regler som kallas grundläggande egenskaper.

Dessa regler måste nödvändigtvis veta - ingen allvarlig logaritmisk uppgift löses utan dem. Dessutom är de ganska lite - allt kan läras på en dag. Så fortsätt.

Tillägg och subtraktion av logaritmer

Tänk på två logaritm med samma baser: logg a. x. och logga. a. y.. Då kan de vikas och dras av, och:

logga. a. x. + Logg. a. y. \u003d Logg. a. (x. · y.);
logga. a. x. - Logga. a. y. \u003d Logg. a. (x. : y.).

Så är mängden logaritmer lika med arbetets logaritm, och skillnaden är den privata logaritmen. Notera: nyckelmoment här - samma grunder. Om grunden är olika, fungerar inte dessa regler!

Dessa formler hjälper till att beräkna logaritmiskt uttryck Även när enskilda delar inte beaktas (se lektionen "Vad är logaritm"). Ta en titt på exemplen - och se till att:

Log 6 4 + Log 6 9.

Eftersom baserna i logaritmer är desamma använder vi summan av summan:
log 6 4 + Log 6 9 \u003d Log 6 (4 · 9) \u003d Log 6 36 \u003d 2.

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: Log 2 48 - Log 2 3.

Stiftelserna är desamma, med hjälp av skillnaden formel:
log 2 48 - Log 2 3 \u003d Log 2 (48: 3) \u003d Log 2 16 \u003d 4.

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: Log 3 135 - Log 3 5.

Återigen är grunden samma, så vi har:
log 3 135 - Log 3 5 \u003d Log 3 (135: 5) \u003d Log 3 27 \u003d 3.

Som du kan se består de ursprungliga uttrycken av "dåliga" logaritmer, som inte är separat avsedda separat. Men efter omvandling erhålls ganska vanliga tal. Många är byggda på detta faktum. testpapper. Men vad är kontrollen - sådana uttryck är i sin helhet (ibland - nästan oförändrade) erbjuds på tentamen.

Executive grad från logaritm

Nu komplicerar lite uppgiften. Vad händer om logaritms bas eller argument kostar en examen? Då kan indikatorn i denna utsträckning tas ut ur logaritmskylten enligt följande regler:

Det är lätt att se att den sista regeln följer sina de första två. Men det är bättre att komma ihåg det, i vissa fall kommer det att avsevärt minska mängden beräkningar.

Naturligtvis är alla dessa regler meningsfullt om det överensstämmer med OTZ-logaritmen: a. > 0, a. ≠ 1, x. \u003e 0. Och också: Lär dig att tillämpa alla formler inte bara från vänster till höger, men tvärtom, dvs. Du kan göra siffror mot logaritmen, till logaritmen själv. Det är oftast nödvändigt.

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 7 49 6.

Bli av med omfattningen i argumentet i den första formeln:
log 7 49 6 \u003d 6 · Log 7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

En uppgift. Hitta värdet av uttrycket:
[Signatur till figur]

Observera att i denominatorn finns en logaritm, basen och vars argument är korrekta grader: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. Vi har:

[Signatur till figur]

Jag tror att det senaste exemplet kräver förklaring. Var försvann logariterna? Fram till sista stund arbetar vi bara med nämnaren. De presenterade grunden och argumentet för en logaritm där i form av grader och utförda indikatorer - fick en "tre våningar" fraktion.

Låt oss nu titta på den grundläggande fraktionen. Numret i täljaren och denominatorn är samma nummer: Log 2 7. Sedan log 2 7 ≠ 0 kan vi minska fraktionen - 2/4 kommer att förbli i denominatorn. Enligt aritmetiska regler kan de fyra överföras till täljaren, som gjordes. Resultatet var svaret: 2.

Övergång till en ny bas

Tala om reglerna för tillägg och subtraktion av logaritmer, understryker jag specifikt att de bara arbetar med samma baser. Och vad händer om grunden är annorlunda? Vad händer om de inte är korrekta grader av samma nummer?

Formler för övergången till en ny bas kommer till räddningen. Vi formulerar dem i form av teorem:

Låt logaritmloggen a. x.. Sedan för ett nummer c. Så att c. \u003e 0 I. c. ≠ 1, sant jämlikhet:
[Signatur till figur]
I synnerhet om du sätter c. = x.Vi kommer få:
[Signatur till figur]

Från den andra formeln följer det att logaritmen bas och argument kan ändras på platser, men samtidigt som uttrycket "är", dvs. Logaritm visar sig vara i denominatorn.

Dessa formler finns sällan i vanliga numeriska uttryck. Bedömning av hur praktiska de är, är det endast möjligt vid lösning logaritmiska ekvationer och ojämlikheter.

Det finns dock uppgifter som i allmänhet inte lösts någonstans som en övergång till en ny bas. Tänk på ett par sådana:

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: Log 5 16 · Log 2 25.

Observera att argumenten för båda logariterna är korrekta grader. Jag kommer att sammanfatta: logga 5 16 \u003d log 5 2 4 \u003d 4log 5 2; Log 2 25 \u003d Log 2 5 2 \u003d 2log 2 5;

Och nu "Invert" den andra logaritmen:

[Signatur till figur]

Eftersom arbetet inte ändras från omplacering av multiplikatorer, ändrade vi lugnt de fyra och en två och sedan sorterade med logaritmer.

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: Log 9 100 · Lg 3.

Grunden och argumentet för de första logaritmen - exakta grader. Vi skriver det och blir av med indikatorerna:

[Signatur till figur]

Skruva nu av med decimal logaritmen, genom att vända sig till den nya basen:

[Signatur till figur]

Grundläggande logaritmisk identitet

Ofta krävs lösningen för att skicka ett nummer som en logaritm för en viss bas. I det här fallet kommer formler att hjälpa oss:

I det första fallet n. Det blir en indikator på den omfattning i argumentet. siffra n. Det kan vara absolut någon, för det är bara ett logaritmvärde.

Den andra formeln är faktiskt en parafhäxad definition. Det kallas: den viktigaste logaritmiska identiteten.

Faktum är att vad som händer om numret b. bygga i en sådan grad att numret b. I så utsträckning ger numret a.? Korrekt: det här är det mesta a.. Läs noggrant denna paragraf igen - många "hänga" på den.

Liksom övergångsformlerna till en ny bas är den huvudsakliga logaritmiska identiteten ibland den enda möjliga lösningen.

En uppgift. Hitta värdet av uttrycket:
[Signatur till figur]

Observera att log 25 64 \u003d log 5 8 - bara gjorde en torg från basen och loggaritmens argument. Med tanke på reglerna för multiplikation av grader med samma bas får vi:

[Signatur till figur]

Om någon inte är medveten, det var en riktig uppgift för ege :)

Logaritmisk enhet och logaritmisk noll

Sammanfattningsvis kommer jag att ge två identiteter som det är svårt att namnge egenskaperna - snarare, det här är konsekvensen av definitionen av logaritm. De finns ständigt i uppgifter och, vilket är överraskande, skapa problem även för "avancerade" studenter.

logga. a. a. \u003d 1 är en logaritmisk enhet. Spela in en gång och för alltid: Logaritm på något sätt a. Från själva basen är lika med en.
logga. a. 1 \u003d 0 är en logaritmisk noll. Bas a. Kanske på något sätt, men om argumentet är en enhet - logaritm är noll! Därför att a. 0 \u003d 1 är en direkt följd av definitionen.

Det är alla fastigheter. Var noga med att träna tillämpa dem i praktiken! Ladda ner spjälsängen i början av lektionen, skriv ut det - och lösa uppgifterna.

Låt oss börja med S. properties Logarithm Enheter. Dess formulering är som följer: Logaritmenheten är noll, det vill säga logga en 1 \u003d 0 För alla A\u003e 0, A ≠ 1. Beviset orsakar inte svårigheter: Eftersom en 0 \u003d 1 för alla A, som uppfyller de ovan angivna förhållandena A\u003e 0 och A 1, följer den prova jämställdhetsloggen A 1 \u003d 0 omedelbart av definitionen av logaritm.

Vi ger exempel på att tillämpa de ansedda egenskaperna: Log 3 1 \u003d 0, LG1 \u003d 0 och.

Gå till K. nästa egendom: logaritmen för antalet som är lika med basen är lika med en, dvs, logga a a \u003d 1 Vid A\u003e 0, A ≠ 1. Faktum är att sedan en 1 \u003d A för någon A, då per definition av logaritm logga A A \u003d 1.

Exempel på att använda denna egenskap av logaritmer är ekvivalgar Log 5 5 \u003d 1, Log 5.6 5.6 och LNE \u003d 1.

Till exempel log 2 2 7 \u003d 7, LG10 -4 \u003d -4 och .

Logaritm arbetar med två positiva siffror X och Y är lika med produkten av logariterna av dessa nummer: logga a (x · y) \u003d logga a x + logga en y, A\u003e 0, A ≠ 1. Vi bevisar egenskapen hos logaritmen för arbetet. På grund av graden en logg A x + logga a y \u003d en logga a x · en logga en y, och sedan den huvudsakliga logaritmiska identiteten en logg A x \u003d x och en logg a y \u003d y, sedan en logg A x · en logg a y \u003d x · y. Således, en logg A x + logg A y \u003d x · y, varifrån definitionen av logaritm innebär bevisad jämlikhet.

Låt oss visa exempel på att använda logaritmegenskaperna: logga 5 (2 · 3) \u003d logga 5 2 + log 5 3 och .

Arbetets logaritm egendom kan generaliseras på produkten av ett ändligt antal N-positiva nummer x 1, x 2, ..., x n som logga a (x 1 · x 2 · ... · x n) \u003d logga a x 1 + logga a x 2 + ... + logga a x n . Denna jämlikhet bevisas utan problem.

Till exempel kan naturliga logaritmarbeten ersättas med summan av tre naturlig logaritov Nummer 4, E, och.

Logaritm för privata två positiva siffror X och Y är lika med skillnaden i logariterna av dessa nummer. Egenskaperna hos den privata logaritmen motsvarar formeln i formuläret, där A\u003e 0, A ^ 1, X och Y är några positiva tal. Giltigheten av denna formel är bevisad som logaritmformeln: sedan , Per definition av logaritm.

Låt oss ge ett exempel på att använda denna logaritm egendom: .

Gå till K. egendom av logaritm examen. Logaritmgraden är lika med produkten av graden i logaritmen hos modulen i den här graden. Vi skriver den här egenskapen i logaritmen i formeln: logga A B P \u003d P · Logga a | B |där a\u003e 0, a ≠ 1, b och p sådanttal som graden b p är meningsfullt och b p\u003e 0.

Först bevisar vi den här egenskapen för positiv b. Den huvudsakliga logaritmiska identiteten gör det möjligt för oss att presentera numret B som en logga B, då B P \u003d (en logg A b) och det resulterande uttrycket på grund av gradegenskapen är en P-logg A b. Så vi kommer till jämlikhet B P \u003d A p · Logga en B, från vilken, per definition av logaritmen, avslutar vi att logga A B P \u003d P · Logga en b.

Det är fortfarande att bevisa den här egenskapen för negativ b. Här märker vi att uttrycket av logg Abp med en negativ B endast är meningsfullt i jämn grad P (eftersom värdet av graden B ska vara större än noll, annars kommer loggaritmen inte att vara meningsfull) och i det här fallet BP \u003d | B | s. Sedan b P \u003d | B | P \u003d (en logga a | b |) p \u003d a p · log a | b |Var LOG A B P \u003d P · Logga a | B | .

Till exempel, och LN (-3) 4 \u003d 4 · LN | -3 | \u003d 4 · LN3.

Från föregående fastighetsflöden root Logarithm Egenskap: Logaritmen för roten enligt N-graden är lika med produkten av fraktionen 1 / N på logaritmen för matningsuttrycket, det vill säga där A\u003e 0, A ≠ 1, N - naturligt nummerFler enheter, b\u003e 0.

Beviset är baserat på jämlikhet (se), vilket är giltigt för eventuella positiva B- och logaritmfastigheter: .

Här är ett exempel på att använda den här egenskapen: .

Nu bevisa formeln för övergången till den nya basen av logaritmen Se . För att göra detta är det tillräckligt att bevisa jämställdhetsloggen C B \u003d logga A B · Log Ca. Den huvudsakliga logaritmiska identiteten tillåter oss att numret B representerar som en log A B, sedan log C B \u003d Log C a b. Det är fortfarande att utnyttja logaritmens egendom: logga till en B \u003d logga A B · Log Ca. Så visade sig lika med logg C B \u003d logga A B · Log Ca, och därför är formeln för övergången till logaritmens nya bas också bevisad.

Låt oss visa ett par exempel på att tillämpa den här egenskapen hos logaritmer: och .

Övergångsformeln till en ny bas gör att du kan flytta till jobbet med logaritmer som har en "bekväm" bas. Till exempel, med det, kan du gå till de naturliga eller decimala logariterna så att du kan beräkna logaritmvärdet längs logaritmbordet. Övergångsformeln till den nya basen av logaritmen tillåter också i vissa fall att hitta värdet av denna logaritm, när värdena för vissa logaritmer med andra baser är kända.

Används ofta privatfodral Formler för övergången till en ny bas av logaritm vid C \u003d B av arten . Det kan ses som loggar en B och log B A. Till exempel, .

Också ofta används formel vilket är bekvämt när du hittar logaritmer. För att bekräfta dina ord visar vi hur det beräknas med värdet av logaritmen av vyn. Ha . För att bevisa formeln Det är tillräckligt att utnyttja övergången till en ny bas av logaritm A: .

Det är fortfarande att bevisa egenskaperna hos jämförelsen av logaritmer.

Vi bevisar att för eventuella positiva nummer B 1 och B 2, B 1 logga en B 2, och vid A\u003e 1 - Ojämlikhetsloggen A B 1

Slutligen är det fortfarande att bevisa de listade egenskaperna hos logaritmer. Vi begränsar oss till beviset på sin första del, det vill säga, vi bevisar att om en 1\u003e 1, en 2\u003e 1 och en 1 1 Fair Log A 1 B\u003e Logga till 2 b. De återstående uttalandena för denna egenskap av logaritmer bevisas av en liknande princip.

Vi använder metoden från motsatsen. Antag att vid en 1\u003e 1, en 2\u003e 1 och en 1 1 Fair Log A 1 B≤Log A 2 B. Enligt logaritmens egenskaper kan dessa ojämlikheter skriva om som och Följaktligen följer det att log B A 1 ≤Log B A 2 och log B A 1 ≥Log B A 2. Därefter, enligt graderna av grader med samma baser, jämlikhet B-log B A 1 ≥B-log B A 2 och B-log B A 1 ≥B-log B A 2, det vill säga en 1 ≥A2. Så vi kom till motsägelse villkor A 1

Bibliografi.

Kolmogorov A.n., Abramov A.M., Dudnitsyn yu.p. et al. Algebra och startanalys: En lärobok för 10-11 klasser av allmänna utbildningsinstitutioner.

Gusev V.A., Mordkovich A.g. Matematik (ersättning för sökande till tekniska skolor).

Logaritmnummer N. Baserat på men kallas en indikator på examen h. där du behöver bygga men för att få ett nummer N.
Förutsatt att
,
,
Från definitionen av logaritm följer det att
.
- Denna jämlikhet är den viktigaste logaritmiska identiteten.
Logaritmer baserade på 10 kallas decimal logaritmer. Istället
skriva
.
Logaritmia baserat på e. kallas naturlig och utsedd
.
De huvudsakliga egenskaperna hos logaritmer.
Logaritmenheter för någon bas är noll

Arbetets logaritm är lika med summan av de aktuella logariterna.

3) Den privata logaritmen är lika med skillnaden mellan logaritmer

Faktor
kallas övergångsmodulen från logaritmer vid basen a. till logaritmer vid basen b. .
Med användning av egenskaper 2-5 är det ofta möjligt att minska logaritmen för ett komplext uttryck till resultatet av enkel aritmetisk verkan över logaritmer.
Till exempel,
Sådana omvandlingar av logaritm kallas logaritmering. Konverterar invers logaritmering kallas potentiering.
Kapitel 2. Element av högre matematik.
1. Begränsningar
Gränsfunktion
är ett ändligt nummer A, om med önskan xx 0 för varje definierad
Det finns ett sådant nummer
det så snart som
T.
.
Funktionen som har en gräns skiljer sig från den till ett oändligt lågt värde:
där --- b.m.v., dvs.
.
Exempel. Tänk på en funktion
.
Med önskan
fungera y. Hon strävar efter noll:
1,1. De viktigaste teoremerna är om gränser.
Konstantvärdesgränsen är lika med detta konstanta värde.

.
Gränsen för mängden (skillnad) av det slutliga antalet funktioner är lika med summan av gränserna för dessa funktioner.

Gränsen för det ändliga antalet funktioner är lika med produkten av dessa funktioner.

Gränsen för de privata två funktionerna är lika med de privata gränserna för dessa funktioner, om gränsen för denominatorn inte är noll.

Underbara gränser
,
var
1,2. Exempel på beräkningsgränser
Men inte alla gränser beräknas så enkelt. Ofta reduceras beräkningen av gränsen till upplysningen av osäkerheten hos typen: Eller.
.
2. Derivatfunktion
Låt vi ha en funktion
kontinuerlig på segmentet
.
Argument fick lite inkrement
. Då kommer funktionen att få inkrement
.
Betydelsen av argumentet motsvarar värdet av funktionen
.
Betydelsen av argumentet
matchar värdet på funktionen.
Därav, .
Vi hittar gränsen för detta förhållande när
. Om den här gränsen existerar kallas det derivatet av denna funktion.
Definition av den 3-produktion den här funktionen
av argumentet det kallas gränsen för förhållandet mellan funktionen hos funktionen till ökningen av argumentet, när ökningen av argumentet godtyckligt tenderar att noll.
Härledd funktion
det kan anges som följer:
; ; ; .
Bestämning 4 Drift av att hitta ett derivat av en funktion som heter differentiering.
2.1. Mekaniskt förnuftsderivat.
Tänk på den enkla rörelsen av en viss fast eller materiell punkt.
Låt vid någon tidpunkt rörlig punkt
var på avstånd från den ursprungliga positionen
.
Efter en tid
hon flyttade till avstånd
. Attityd =- Genomsnittligt material av materialpunkten
. Vi finner gränsen för detta förhållande, med tanke på det
.
Följaktligen reduceras definitionen av den momentana hastigheten hos materialpunkten för att finna ett derivat från tiden.
2,2. Det geometriska värdet av derivatet
Låt oss få en grafiskt given någon funktion
.
Fikon. 1. Geometrisk mening derivat
Om en
, då punkt
kommer att flytta runt kurvan, närmar sig punkten
.
Därav
. Värdet av derivatet med detta värde av argumentet det är numeriskt lika med tangenten av en vinkel av utbildad tangent vid denna punkt med en positiv axelriktning.
.
2,3. Bord över grundläggande differentiering formler.
Kraftfunktion

Exponentiell funktion

Logaritmisk funktion

Trigonometrisk funktion

Omvänd trigonometrisk funktion

2,4. Differentiering regler.
Härrörande från

Härledd mängd (skillnad) av funktioner

Derivatarbete av två funktioner

Derivat av privata två funktioner

2,5. Härledd från komplex funktion.
Låt funktionen ges
så att det kan representeras som
och
där variabeln är ett mellanliggande argument då
Derivatet av den komplexa funktionen är lika med produkten av derivatet av denna funktion av det mellanliggande argumentet på derivatet av det mellanliggande argumentet med x.
Exempel1.
Exempel2.
3. Differentiell funktion.
Låt det vara
differentierbar på vissa segment
släpp det w. denna funktion är härledd
,
då kan du spela in
(1),
var - oändligt litet värde,
sen när
Multiplicera alla medlemmar av jämlikhet (1) på
vi har:
Var
- B.M.V. Topporder.
Värde
kallad differentialfunktion
och betecknar
.
3.1. Differensens geometriska värde.
Låt funktionen ges
.
Fig. 2. Geometrisk mening av differential.
.
Självklart, differentialfunktion
det är lika med inkrementet av ordinatet tangent vid denna tidpunkt.
3.2. Derivat och differentialer av olika order.
Om det
då då
kallas det första derivatet.
Derivatet av det första derivatet kallas ett andra orderderivat och inspelat
.
N-th orderderivat från funktion
derivatet (N-1) kallas order och poster:
.
Differential från differentiell funktion kallas den andra differential- eller andra ordningens differential.
.

.
3.3 Lösa biologiska problem med användningen av differentiering.
Uppgift 1. Studier har visat att tillväxten av kolonin av mikroorganismer är föremål för lagen
var N. - Antalet mikroorganismer (i tusentals), t. - Stora (dagar).
b) kommer det att bli en ökning eller minskad under denna period?
Svar. Antalet koloni kommer att öka.
Uppgift 2. Vatten i sjön testas periodiskt för att styra innehållet i patogena bakterier. Genom t. dagar efter testning bestäms koncentrationen av bakterier av förhållandet
.
När kommer sjön i sjön en minsta koncentration av bakterier och kan jag simma i den?
Definitivt når max eller min, när dess derivat är noll.
,
Vi definierar max eller min kommer att vara efter 6 dagar. För att göra detta, ta det andra derivatet.

Svar: Efter 6 dagar kommer det att finnas en minsta koncentration av bakterier.

Kontrollera om det inte finns några negativa tal eller en enhet under logaritmskylten. Denna metod är tillämplig på formulärets uttryck. Log B \u2061 (x) Log B \u2061 (a) (\\ displayStyle (\\ frac (\\ log _ (b) (x)) (\\ log _ b) (a)))). Det är dock inte lämpligt för vissa speciella tillfällen:
Logaritmen för ett negativt tal definieras inte vid någon bas (till exempel, Logga \u2061 (- 3) (\\ DisplayStyle \\ Log (-3)) eller Log 4 \u2061 (- 5) (\\ DisplayStyle \\ Log _ (4) (- 5))). Skriv i det här fallet "Ingen lösning".

Logaritm noll på någon anledning är inte heller definierad. Om du fångade ln \u2061 (0) (\\ displayStyle \\ ln (0)), Skriv ner "Ingen lösning."

Logaritm enheter av någon anledning ( Logga \u2061 (1) (\\ DisplayStyle \\ Log (1))) alltid lika med noll eftersom x 0 \u003d 1 (\\ displayStyle x ^ (0) \u003d 1) För alla värden x.. Skriv ner istället för en sådan logaritm 1 och använd inte metoden nedan.

Om logaritmer har olika baser, till exempel L o g 3 (x) l o g 4 (a) (\\ displayStyle (\\ frac (log_ (3) (x)) (log_ (4) (a)))), Och minskar inte till heltalsnummer, expressionsvärdet kan inte hittas manuellt.

Konvertera ett uttryck till en logaritm. Om uttrycket inte gäller de ovan aktuella fallen kan den representeras som en enda logaritm. Använd för detta följande formel: Log B \u2061 (x) log b \u2061 (a) \u003d logga a \u2061 (x) (\\ displayStyle (\\ frac (\\ log _ (b) (x)) (\\ log _ (b) (a))) \u003d \\ Logg _ (a) (x)).
Exempel 1: Tänk på uttrycket Logga \u2061 16 Log \u2061 2 (\\ DisplayStyle (\\ FRAC (\\ Log (16)) (\\ Log (2)))).
Till att börja med kommer vi att skicka ett uttryck i form av en logaritm med hjälp av ovanstående formel: Logga \u2061 16 Log \u2061 2 \u003d Log 2 \u2061 (16) (\\ DisplayStyle (\\ FRAC (\\ Log (16)) (\\ Logga (2))) \u003d \\ Log _ (2) (16)).

Denna formel "basbyte" logaritm är härledd från de huvudsakliga egenskaperna hos logaritmer.

Om möjligt, beräkna värdet av uttrycket manuellt. Att hitta Logga in \u2061 (x) (\\ displayStyle \\ log _ (a) (x)), föreställ dig ett uttryck " A? \u003d x (\\ displayStyle a ^ (?) \u003d x)", det vill säga, fråga följande fråga:" Vilken grad behöver du bygga a., För att uppnå x.? ". För att svara på den här frågan kan du behöva en räknare, men om du har tur kan du hitta den manuellt.
Exempel 1 (fortsättning): Skriv om som 2? \u003d 16 (\\ displayStyle 2 ^ (?) \u003d 16). Det är nödvändigt att hitta vilket nummer som ska vara istället för tecknet "?". Detta kan göras av prover och fel:
2 2 \u003d 2 * 2 \u003d 4 (\\ displaystyle 2 ^ (2) \u003d 2 * 2 \u003d 4)
2 3 \u003d 4 * 2 \u003d 8 (\\ displaystyle 2 ^ (3) \u003d 4 * 2 \u003d 8)
2 4 \u003d 8 * 2 \u003d 16 (\\ displayStyle 2 ^ (4) \u003d 8 * 2 \u003d 16)
Så det önskade numret är 4: Log 2 \u2061 (16) (\\ DisplayStyle \\ Log _ (2) (16)) = 4 .

Lämna svaret i den logaritmiska formen om du inte kan förenkla det. Många logaritmer är mycket svåra att beräkna manuellt. I det här fallet, för att få ett korrekt svar, behöver du en räknare. Men om du bestämmer uppgiften i lektionen, är läraren sannolikt att uppfylla svaret i den logaritmiska formen. Nedan används den aktuella metoden för att lösa ett mer komplext exempel:
exempel 2: Vad är lika Log 3 \u2061 (58) Log 3 \u2061 (7) (\\ DisplayStyle (\\ FRAC (\\ Log _ (3) (58)) (\\ Log _ (3) (7))))?

Vi omvandlar detta uttryck till en logaritm: Log 3 \u2061 (58) Log 3 \u2061 (7) \u003d Log 7 \u2061 (58) (\\ displayStyle (\\ frac (\\ log _ (3) (58)) (\\ log _ (3) (7)) \u003d \\ log _ (7) (58)). Observera att basen för båda logaritmerna 3 försvinner; Detta är sant av någon anledning.

Skriv om ett uttryck i formuläret 7? \u003d 58 (\\ displayStyle 7 ^ (?) \u003d 58) Och försök att hitta ett värde?:
7 2 \u003d 7 * 7 \u003d 49 (\\ displayStyle 7 ^ (2) \u003d 7 * 7 \u003d 49)
7 3 \u003d 49 * 7 \u003d 343 (\\ displayStyle 7 ^ (3) \u003d 49 * 7 \u003d 343)
Eftersom 58 är mellan dessa två nummer, uttrycks inte i ett heltal.

Lämna ett svar i logaritmisk form: Log 7 \u2061 (58) (\\ DisplayStyle \\ Log _ (7) (58)).

Logaritmen för det positiva numret B för basen A (A\u003e 0, A är inte lika med 1) de kallar ett sådant tal med det AC \u003d B: log AB \u003d C ⇔ AC \u003d B (A\u003e 0, A ≠ 1 , B\u003e 0) & nbsp &p & nbsp & nbsp & nbsp &

Observera: Logaritmen från ett otillräckligt nummer är inte definierat. Vidare bör vid basen av logaritmen vara ett positivt tal, inte lika med 1. Till exempel, om vi är uppställda på en torg, får vi nummer 4, men det betyder inte att logaritmen på basen är - 2 från 4 är 2.
Grundläggande logaritmisk identitet
En logga A B \u003d B (A\u003e 0, A ≠ 1) (2)
Det är viktigt att områdena att bestämma de högra och vänstra delarna av denna formel är olika. Den vänstra delen definieras endast vid B\u003e 0, A\u003e 0 och A ≠ 1. Höger sida definieras vid vilken som helst B, och det beror inte på A alls. Således kan användningen av den huvudsakliga logaritmiska "identiteten" i att lösa ekvationer och ojämlikheter leda till en förändring i OTZ.
Två uppenbara konsekvenser av definitionen av logaritm
Logga A A \u003d 1 (A\u003e 0, A ≠ 1) (3)
Logga A 1 \u003d 0 (A\u003e 0, A ≠ 1) (4)
När numret A är uppbyggd i första graden får vi samma nummer, och när det uppförs i en nollexamen.
Logarithm arbetar och logaritm privat
Logga a (b c) \u003d logga a b + loggac (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0) (5)
Logga A B C \u003d logga A B - Loggac (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0) (6)
Jag skulle vilja varna skolbarn från tanklös tillämpning av dessa formler för att lösa logaritmiska ekvationer och ojämlikheter. När du använder dem, "från vänster till höger" finns det en smalning av OTZ, och i övergången från mängden eller skillnaden i logaritmer till logaritmen för arbetet eller privat - expansionen av OTZ.

Faktum är att expressionsloggen a (f (x) g (x)) definieras i två fall: när båda funktionerna är strängt positiva eller när f (x) och g (x) är mindre än noll.

Omvandling av detta uttryck i mängden log A F (x) + logg A G (x), vi tvingas begränsa endast i fallet när f (x)\u003e 0 och g (x)\u003e 0. Det finns ett minskande område med tillåtna värden, och det är kategoriskt oacceptabelt, eftersom det kan leda till förlust av beslut. Ett liknande problem finns för formel (6).
Graden kan göras för logaritmskylten
Logga A B P \u003d P Logga till B (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0) (7)
Och igen skulle jag vilja kräva noggrannhet. Tänk på följande exempel:
Logga a (f (x) 2 \u003d 2 logga a f (x)
Den vänstra delen av jämlikhet bestäms självklart med alla värden på f (x), med undantag för noll. Höger del - bara på f (x)\u003e 0! Efter en examen från logaritmen syller vi OTZ. Det omvända förfarandet leder till att expandera området med tillåtna värden. Alla dessa kommentarer hänvisar inte bara till grad 2, men också till någon jämn grad.
Övergången till en ny bas
Logga A B \u003d Log C B Log Ca (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, C\u003e 0, C ≠ 1) (8)
Det sällsynta fallet när OTZ inte ändras vid konvertering. Om du klokt valde basen med (positiv och inte lika med 1) är övergångsformeln till en ny bas absolut säker.

Om som en ny bas med val av nummer B får vi ett viktigt speciellt fall med formel (8):
Logga a b \u003d 1 log b a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, b ≠ 1) (9)
Några enkla exempel med logaritmer

Exempel 1. Beräkna: LG2 + LG50.
Beslut. LG2 + LG50 \u003d LG100 \u003d 2. Vi använde formel summan av logaritmer (5) och bestämningen av decimallogaritmen.

Exempel 2. Beräkna: LG125 / LG5.
Beslut. LG125 / LG5 \u003d Log 5 125 \u003d 3. Vi använde övergången till en ny bas (8).
Bordsformler relaterade till logaritmer
En logga A B \u003d B (A\u003e 0, A ≠ 1)
Logga A A \u003d 1 (A\u003e 0, A ≠ 1)
Logga A 1 \u003d 0 (A\u003e 0, A ≠ 1)
Logga a (b c) \u003d logga a b + loggac (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0)
Logga A B C \u003d logga A B - Loggac (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0)
Logga A B P \u003d P Logga till B (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0)
Logga en B \u003d Log C B Log Ca (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, C\u003e 0, C ≠ 1)
Logga A B \u003d 1 Log B A (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, B ≠ 1)