Transformation av logaritmiska uttrycksexempel med lösningen. Transformation av logaritmiska uttryck

grundläggande egenskaper.

1. logax + logay \u003d logga (x · y);
2. logax - logay \u003d logga (x: y).

samma grunder

Log6 4 + Log6 9.

Nu komplicerar lite uppgiften.

Exempel på logaritmlösningar

Vad händer om logaritms bas eller argument kostar en examen? Då kan indikatorn i denna utsträckning tas ut ur logaritmskylten enligt följande regler:

Naturligtvis är alla dessa regler meningsfullt när det överensstämmer med OTZ-logaritmen: A\u003e 0, A ≠ 1, X\u003e

En uppgift. Hitta värdet av uttrycket:

Övergång till en ny bas

Låt Logax Logax. Sedan för varje nummer C så att C\u003e 0 och C ≠ 1 är jämlikheten sant:

En uppgift. Hitta värdet av uttrycket:

Se även:

De huvudsakliga egenskaperna hos logaritmen

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Utställaren är 2 718281828 .... För att komma ihåg utställaren kan du utforska regeln: utställaren är 2,7 och två gånger år för födelseåret för Leo Nikolayevich Tolstoy.

De huvudsakliga egenskaperna hos logaritmen

Att veta denna regel kommer att känna till det exakta värdet på utställningen och födelsedatumet för Lion Tolstoy.

Exempel på logaritmi

Prologate uttryck

Exempel 1.
men). x \u003d 10as ^ 2 (a\u003e 0, c\u003e 0).

Av egenskaper 3.5 Beräkna

2.

3.

4. Var .

Exempel 2. Hitta x om

Exempel 3. Låt värdet av logaritmer är inställda

Beräkna logg (X) om

De huvudsakliga egenskaperna hos logaritmen

Logaritmer, som alla nummer, kan vikas, dra av och konvertera. Men eftersom logaritmer inte är riktiga siffror, finns det sina egna regler som kallas grundläggande egenskaper.

Dessa regler måste nödvändigtvis veta - ingen allvarlig logaritmisk uppgift löses utan dem. Dessutom är de ganska lite - allt kan läras på en dag. Så fortsätt.

Tillägg och subtraktion av logaritmer

Tänk på två logaritm med samma baser: logax och logay. Då kan de vikas och dras av, och:

1. logax + logay \u003d logga (x · y);
2. logax - logay \u003d logga (x: y).

Så är mängden logaritmer lika med arbetets logaritm, och skillnaden är den privata logaritmen. Observera: Den viktigaste punkten här är samma grunder. Om grunden är olika, fungerar inte dessa regler!

Dessa formler hjälper till att beräkna det logaritmiska uttrycket även när enskilda delar inte anses (se lektionen "Vad är logaritm"). Ta en titt på exemplen - och se till att:

Eftersom baserna i logaritmer är desamma använder vi summan av summan:
log6 4 + Log6 9 \u003d Log6 (4 · 9) \u003d Log6 36 \u003d 2.

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log2 48 - log2 3.

Stiftelserna är desamma, med hjälp av skillnaden formel:
log2 48 - Log2 3 \u003d Log2 (48: 3) \u003d Log2 16 \u003d 4.

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: Log3 135 - Log3 5.

Återigen är grunden samma, så vi har:
log3 135 - Log3 5 \u003d Log3 (135: 5) \u003d Log3 27 \u003d 3.

Som du kan se består de ursprungliga uttrycken av "dåliga" logaritmer, som inte är separat avsedda separat. Men efter omvandling erhålls ganska vanliga tal. I detta faktum är många testarbeten byggda. Men vad är kontrollen - sådana uttryck är i sin helhet (ibland - nästan oförändrade) erbjuds på tentamen.

Executive grad från logaritm

Det är lätt att se att den sista regeln följer sina de första två. Men det är bättre att komma ihåg det, i vissa fall kommer det att avsevärt minska mängden beräkningar.

Naturligtvis är alla dessa regler meningsfullt när det överensstämmer med OTZ-logaritmen: A\u003e 0, A ≠ 1, X\u003e 0. Och mer: Lär dig att tillämpa alla formler inte bara från vänster till höger, men tvärtom, dvs. Du kan göra siffror mot logaritmen, till logaritmen själv. Det är oftast nödvändigt.

En uppgift. Hitta värdet av uttrycket: Log7 496.

Bli av med omfattningen i argumentet i den första formeln:
log7 496 \u003d 6 · Log7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

En uppgift. Hitta värdet av uttrycket:

Observera att i denominatorn finns en logaritm, basen och vars argument är korrekta grader: 16 \u003d 24; 49 \u003d 72. Vi har:

Jag tror att det senaste exemplet kräver förklaring. Var försvann logariterna? Fram till sista stund arbetar vi bara med nämnaren.

Formler logaritmer. Logaritmer Exempel på lösningar.

De presenterade grunden och argumentet för en logaritm där i form av grader och utförda indikatorer - fick en "tre våningar" fraktion.

Låt oss nu titta på den grundläggande fraktionen. I en täljare och nämnare är samma nummer: Log2 7. Sedan log2 7 ≠ 0 kan vi minska fraktionen - 2/4 kommer att förbli i nämnaren. Enligt aritmetiska regler kan de fyra överföras till täljaren, som gjordes. Resultatet var svaret: 2.

Övergång till en ny bas

Tala om reglerna för tillägg och subtraktion av logaritmer, understryker jag specifikt att de bara arbetar med samma baser. Och vad händer om grunden är annorlunda? Vad händer om de inte är korrekta grader av samma nummer?

Formler för övergången till en ny bas kommer till räddningen. Vi formulerar dem i form av teorem:

Låt Logax Logax. Sedan för varje nummer C så att C\u003e 0 och C ≠ 1 är jämlikheten sant:

I synnerhet, om du sätter C \u003d X, får vi:

Från den andra formeln följer det att logaritmen bas och argument kan ändras på platser, men samtidigt som uttrycket "är", dvs. Logaritm visar sig vara i denominatorn.

Dessa formler är sällsynta i konventionella numeriska uttryck. Bedömning av hur praktiska de är, är det endast möjligt vid lösning av logaritmiska ekvationer och ojämlikheter.

Det finns dock uppgifter som i allmänhet inte lösts någonstans som en övergång till en ny bas. Tänk på ett par sådana:

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: Log5 16 · Log2 25.

Observera att argumenten för båda logariterna är korrekta grader. Låt oss ta ut indikatorerna: Log5 16 \u003d Log5 24 \u003d 4log5 2; LOG2 25 \u003d LOG2 52 \u003d 2LOG2 5;

Och nu "Invert" den andra logaritmen:

Eftersom arbetet inte ändras från omplacering av multiplikatorer, ändrade vi lugnt de fyra och en två och sedan sorterade med logaritmer.

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: Log9 100 · Lg 3.

Grunden och argumentet för de första logaritmen - exakta grader. Vi skriver det och blir av med indikatorerna:

Skruva nu av med decimal logaritmen, genom att vända sig till den nya basen:

Grundläggande logaritmisk identitet

Ofta krävs lösningen för att skicka ett nummer som en logaritm för en viss bas. I det här fallet kommer formler att hjälpa oss:

I det första fallet blir numret n en indikator på den omfattning i argumentet. Numret n kan vara absolut någon, eftersom det bara är ett logaritmvärde.

Den andra formeln är faktiskt en parafhäxad definition. Det kallas :.

Faktum är att vad som händer om numret B är i en sådan grad att numret B i denna utsträckning ger numret A? Höger: Det visar sig på samma nummer a. Läs noggrant denna paragraf igen - många "hänga" på den.

Liksom övergångsformlerna till en ny bas är den huvudsakliga logaritmiska identiteten ibland den enda möjliga lösningen.

En uppgift. Hitta värdet av uttrycket:

Observera att Log25 64 \u003d Log5 8 - bara gjorde en torg från basen och logaritmens argument. Med tanke på reglerna för multiplikation av grader med samma bas får vi:

Om någon inte är medveten var det en riktig uppgift för ege 🙂

Logaritmisk enhet och logaritmisk noll

Sammanfattningsvis kommer jag att ge två identiteter som det är svårt att namnge egenskaperna - snarare, det här är konsekvensen av definitionen av logaritm. De finns ständigt i uppgifter och, vilket är överraskande, skapa problem även för "avancerade" studenter.

1. loghaa \u003d 1 är. Kom ihåg tider och för alltid: Logaritmen på någon bas A från själva basen är lika med en.
2. logha 1 \u003d 0 är. Basen A kan vara någon mening, men om argumentet är en enhet - logaritm är noll! Eftersom A0 \u003d 1 är en direkt följd av definitionen.

Det är alla egenskaper. Var noga med att träna tillämpa dem i praktiken! Ladda ner spjälsängen i början av lektionen, skriv ut det - och lösa uppgifterna.

Se även:

Logaritmen för numret B baserat på en betecknar uttrycket. Beräkna logaritmen innebär att man hittar en sådan grad X () vid vilken jämlikhet utförs

De huvudsakliga egenskaperna hos logaritmen

Dessa egenskaper måste veta att nästan alla uppgifter är löst och exempel är förknippade med logaritmer. De återstående exotiska egenskaperna kan härledas av matematiska manipuleringar med dessa formler

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

I beräkningarna av formeln för summan och skillnaden mellan logaritmer (3.4) är ganska vanliga. Resten är lite komplicerade, men i ett antal uppgifter är oumbärliga för att förenkla komplexa uttryck och beräkna sina värden.

Det finns fall av logaritm

En av de vanliga logariterna är sådana där basen är jämn tio, exponentiell eller två gånger.
Logaritmen på grundval av tio är vanligt att ringa decimallogaritmen och förenkla LG (X).

Från posten är det tydligt att grunden i posten inte är skrivna. Till exempel

Naturlig logaritm är en logaritm för vilken utställaren är baserad på LN (X)).

Utställaren är 2 718281828 .... För att komma ihåg utställaren kan du utforska regeln: utställaren är 2,7 och två gånger år för födelseåret för Leo Nikolayevich Tolstoy. Att veta denna regel kommer att känna till det exakta värdet på utställningen och födelsedatumet för Lion Tolstoy.

Och en viktigare logaritm på basen två betecknar

Derivatet av logaritmfunktionen är lika med en enhet uppdelad i en variabel

Integrerad eller primitiv logaritm bestäms av missbruk

Ovanstående material är tillräckligt för att lösa en bred klass av uppgifter i samband med logaritmer och logaritmering. För att mastera materialet kommer jag att ge bara några vanliga exempel från skolprogrammet och universiteten.

Exempel på logaritmi

Prologate uttryck

Exempel 1.
men). x \u003d 10as ^ 2 (a\u003e 0, c\u003e 0).

Av egenskaper 3.5 Beräkna

2.
Av skillnaderna hos skillnaden logaritmer har

3.
Använda egenskaper 3.5 Sök

4. Var .

Formen av ett komplext uttryck med användning av ett antal regler förenklas i åtanke

Hitta värdena för logaritmen

Exempel 2. Hitta x om

Beslut. För beräkning, tillämplig på den sista terminen av 3: e och 13 egenskaper

Vi ersätter att skriva och lura

Eftersom grunderna är lika, varierar sedan uttryck

Logaritmia. Första nivån.

Låt värdet av logaritmer

Beräkna logg (X) om

Lösning: Progruniform variabeln att måla logaritmen genom summan av termerna

På denna bekanta med logaritmer och deras egenskaper börjar bara. Övning i beräkningar, berika praktiska färdigheter - den kunskap som uppnåtts kommer snart att behövas för att lösa logaritmiska ekvationer. Efter att ha studerat de grundläggande metoderna för att lösa sådana ekvationer, kommer vi att expandera din kunskap för ett annat lika viktigt ämne - logaritmiska ojämlikheter ...

De huvudsakliga egenskaperna hos logaritmen

Logaritmer, som alla nummer, kan vikas, dra av och konvertera. Men eftersom logaritmer inte är riktiga siffror, finns det sina egna regler som kallas grundläggande egenskaper.

Dessa regler måste nödvändigtvis veta - ingen allvarlig logaritmisk uppgift löses utan dem. Dessutom är de ganska lite - allt kan läras på en dag. Så fortsätt.

Tillägg och subtraktion av logaritmer

Tänk på två logaritm med samma baser: logax och logay. Då kan de vikas och dras av, och:

1. logax + logay \u003d logga (x · y);
2. logax - logay \u003d logga (x: y).

Så är mängden logaritmer lika med arbetets logaritm, och skillnaden är den privata logaritmen. Observera: Den viktigaste punkten här är samma grunder. Om grunden är olika, fungerar inte dessa regler!

Dessa formler hjälper till att beräkna det logaritmiska uttrycket även när enskilda delar inte anses (se lektionen "Vad är logaritm"). Ta en titt på exemplen - och se till att:

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: Log6 4 + Log6 9.

Eftersom baserna i logaritmer är desamma använder vi summan av summan:
log6 4 + Log6 9 \u003d Log6 (4 · 9) \u003d Log6 36 \u003d 2.

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log2 48 - log2 3.

Stiftelserna är desamma, med hjälp av skillnaden formel:
log2 48 - Log2 3 \u003d Log2 (48: 3) \u003d Log2 16 \u003d 4.

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: Log3 135 - Log3 5.

Återigen är grunden samma, så vi har:
log3 135 - Log3 5 \u003d Log3 (135: 5) \u003d Log3 27 \u003d 3.

Som du kan se består de ursprungliga uttrycken av "dåliga" logaritmer, som inte är separat avsedda separat. Men efter omvandling erhålls ganska vanliga tal. I detta faktum är många testarbeten byggda. Men vad är kontrollen - sådana uttryck är i sin helhet (ibland - nästan oförändrade) erbjuds på tentamen.

Executive grad från logaritm

Nu komplicerar lite uppgiften. Vad händer om logaritms bas eller argument kostar en examen? Då kan indikatorn i denna utsträckning tas ut ur logaritmskylten enligt följande regler:

Det är lätt att se att den sista regeln följer sina de första två. Men det är bättre att komma ihåg det, i vissa fall kommer det att avsevärt minska mängden beräkningar.

Naturligtvis är alla dessa regler meningsfullt när det överensstämmer med OTZ-logaritmen: A\u003e 0, A ≠ 1, X\u003e 0. Och mer: Lär dig att tillämpa alla formler inte bara från vänster till höger, men tvärtom, dvs. Du kan göra siffror mot logaritmen, till logaritmen själv.

Hur man löser logaritm

Det är oftast nödvändigt.

En uppgift. Hitta värdet av uttrycket: Log7 496.

Bli av med omfattningen i argumentet i den första formeln:
log7 496 \u003d 6 · Log7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

En uppgift. Hitta värdet av uttrycket:

Observera att i denominatorn finns en logaritm, basen och vars argument är korrekta grader: 16 \u003d 24; 49 \u003d 72. Vi har:

Jag tror att det senaste exemplet kräver förklaring. Var försvann logariterna? Fram till sista stund arbetar vi bara med nämnaren. De presenterade grunden och argumentet för en logaritm där i form av grader och utförda indikatorer - fick en "tre våningar" fraktion.

Låt oss nu titta på den grundläggande fraktionen. I en täljare och nämnare är samma nummer: Log2 7. Sedan log2 7 ≠ 0 kan vi minska fraktionen - 2/4 kommer att förbli i nämnaren. Enligt aritmetiska regler kan de fyra överföras till täljaren, som gjordes. Resultatet var svaret: 2.

Övergång till en ny bas

Tala om reglerna för tillägg och subtraktion av logaritmer, understryker jag specifikt att de bara arbetar med samma baser. Och vad händer om grunden är annorlunda? Vad händer om de inte är korrekta grader av samma nummer?

Formler för övergången till en ny bas kommer till räddningen. Vi formulerar dem i form av teorem:

Låt Logax Logax. Sedan för varje nummer C så att C\u003e 0 och C ≠ 1 är jämlikheten sant:

I synnerhet, om du sätter C \u003d X, får vi:

Från den andra formeln följer det att logaritmen bas och argument kan ändras på platser, men samtidigt som uttrycket "är", dvs. Logaritm visar sig vara i denominatorn.

Dessa formler är sällsynta i konventionella numeriska uttryck. Bedömning av hur praktiska de är, är det endast möjligt vid lösning av logaritmiska ekvationer och ojämlikheter.

Det finns dock uppgifter som i allmänhet inte lösts någonstans som en övergång till en ny bas. Tänk på ett par sådana:

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: Log5 16 · Log2 25.

Observera att argumenten för båda logariterna är korrekta grader. Låt oss ta ut indikatorerna: Log5 16 \u003d Log5 24 \u003d 4log5 2; LOG2 25 \u003d LOG2 52 \u003d 2LOG2 5;

Och nu "Invert" den andra logaritmen:

Eftersom arbetet inte ändras från omplacering av multiplikatorer, ändrade vi lugnt de fyra och en två och sedan sorterade med logaritmer.

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: Log9 100 · Lg 3.

Grunden och argumentet för de första logaritmen - exakta grader. Vi skriver det och blir av med indikatorerna:

Skruva nu av med decimal logaritmen, genom att vända sig till den nya basen:

Grundläggande logaritmisk identitet

Ofta krävs lösningen för att skicka ett nummer som en logaritm för en viss bas. I det här fallet kommer formler att hjälpa oss:

I det första fallet blir numret n en indikator på den omfattning i argumentet. Numret n kan vara absolut någon, eftersom det bara är ett logaritmvärde.

Den andra formeln är faktiskt en parafhäxad definition. Det kallas :.

Faktum är att vad som händer om numret B är i en sådan grad att numret B i denna utsträckning ger numret A? Höger: Det visar sig på samma nummer a. Läs noggrant denna paragraf igen - många "hänga" på den.

Liksom övergångsformlerna till en ny bas är den huvudsakliga logaritmiska identiteten ibland den enda möjliga lösningen.

En uppgift. Hitta värdet av uttrycket:

Observera att Log25 64 \u003d Log5 8 - bara gjorde en torg från basen och logaritmens argument. Med tanke på reglerna för multiplikation av grader med samma bas får vi:

Om någon inte är medveten var det en riktig uppgift för ege 🙂

Logaritmisk enhet och logaritmisk noll

Sammanfattningsvis kommer jag att ge två identiteter som det är svårt att namnge egenskaperna - snarare, det här är konsekvensen av definitionen av logaritm. De finns ständigt i uppgifter och, vilket är överraskande, skapa problem även för "avancerade" studenter.

1. loghaa \u003d 1 är. Kom ihåg tider och för alltid: Logaritmen på någon bas A från själva basen är lika med en.
2. logha 1 \u003d 0 är. Basen A kan vara någon mening, men om argumentet är en enhet - logaritm är noll! Eftersom A0 \u003d 1 är en direkt följd av definitionen.

Det är alla egenskaper. Var noga med att träna tillämpa dem i praktiken! Ladda ner spjälsängen i början av lektionen, skriv ut det - och lösa uppgifterna.

Idag kommer vi att prata om logarovmov formler och ge vägledande exempel på lösningar.

I själva verket innebär beslutsmönstren enligt de huvudsakliga egenskaperna hos logaritmer. För att först tillämpa logaritmerna för lösningar för att påminna dig, först alla egenskaper:

Nu på grundval av dessa formler (egenskaper), kommer vi att visa exempel på logaritmlösningar.

Exempel på logaritmer baserade på formlerna.

Logaritm Ett positivt tal B baserat på A (betecknad med loggen a b) är en indikator på den grad i vilken A bör genomföras för att erhålla B, med B\u003e 0, A\u003e 0 och 1.

Enligt definitionen av logg A B \u003d X, som motsvarar en X \u003d B, så logga en A x \u003d x.

LogaritmiExempel:

log 2 8 \u003d 3, för 2 3 \u003d 8

log 7 49 \u003d 2, eftersom 7 2 \u003d 49

logga 5 1/5 \u003d -1, eftersom 5 -1 \u003d 1/5

Decimal logaritm - Detta är en vanlig logaritm, vid basen varav 10. betecknas som LG.

log 10 100 \u003d 2, eftersom 10 2 \u003d 100

Naturlig logaritm - Även vanlig logaritmlogaritm, men redan med grunden för E (E \u003d 2,71828 ... - ett irrationellt tal). Betecknar som ln.

Formlerna eller egenskaperna hos logaritmer är önskvärda att komma ihåg eftersom de kommer att behöva i framtiden när de löser logaritmer, logaritmiska ekvationer och ojämlikheter. Låt oss arbeta igen varje formel på exemplen.

• Grundläggande logaritmisk identitet
  En logga A B \u003d B

  8 2LOG 8 3 \u003d (8 2LOG 8 3) 2 \u003d 3 2 \u003d 9

• Logaritm fungerar lika med summan av logaritmer
  Logga a (bc) \u003d logga en b + logga en c

  log 3 8.1 + Log 3 10 \u003d Log 3 (8.1 * 10) \u003d Log 3 81 \u003d 4

• Logaritm Privat lika med skillnaden i logaritmer
  Logga a (b / c) \u003d logga a b - logga en c

  9 LOG 5 50/9 LOG 5 2 \u003d 9 LOG 5 50- LOG 5 2 \u003d 9 LOG 5 25 \u003d 9 2 \u003d 81

• Egenskaper i omfattningen av logaritmatisk nummer och basen

  Indikator för logaritmatisk nummer Logga A B M \u003d MlOG A B

  Indikatorn för grunden för logaritmen loggar A n B \u003d 1 / N * logga A B

  logga a n b m \u003d m / n * logga a b,

  om m \u003d n, vi får logga en n b n \u003d logga en b

  log 4 9 \u003d Log 2 2 3 2 \u003d Log 2 3

• Övergång till en ny bas
  Logga en b \u003d logg c b / log c a,

  om C \u003d B, får vi log B B \u003d 1

  logga sedan på en b \u003d 1 / log b a

  log 0.8 3 * Log 3 1,25 \u003d Log 0.8 3 * Log 0.8 1,25 / Log 0.8 3 \u003d Log 0.8 1,25 \u003d Log 4/5 5/4 \u003d -1

Som du kan se är logariterna inte så komplicerade som det verkar. Nu granskar exempel på lösningen av logaritmer som vi kan flytta till logaritmiska ekvationer. Exempel på att lösa logaritmiska ekvationer kommer vi att överväga närmare i artikeln: "". Missa inte!

Om du har några frågor om beslutet, skriv dem i kommentarerna till artikeln.

Obs! Vi bestämde oss för att få bildandet av en annan klassutbildning utomlands som ett alternativ för utveckling av evenemang.

Den här videon jag startar en lång serie lektioner om logaritmiska ekvationer. Nu finns det tre exempel framför dig, på grundval av vilka vi kommer att lära oss att lösa de enklaste uppgifterna som är så kallade - enklast.

log 0,5 (3x - 1) \u003d -3

lG (x + 3) \u003d 3 + 2 lg 5

Låt mig påminna dig om att den enklaste logaritmiska ekvationen är följande:

logga en f (x) \u003d b

Det är viktigt att variabeln X är närvarande endast inuti argumentet, dvs endast i funktionen F (x). A och B-tal är exakt siffror, och i inga fall är inte funktioner som innehåller en variabel x.

Grundläggande lösningsmetoder

Det finns många sätt att lösa sådana strukturer. Till exempel erbjuder de flesta lärare på skolan ett sådant sätt: att omedelbart uttrycka funktionen f (x) med formeln f ( x) \u003d. en b. Det är, när du möter den enklaste designen, omedelbart utan ytterligare åtgärder och byggnader kan gå till lösningen.

Ja, definitivt kommer lösningen att vara rätt. Problemet med denna formel är dock att de flesta studenter förstår inteDär det kommer från och varför brevet och vi är uppställda i bokstaven B.

Som ett resultat, observerar jag ofta mycket offensiva fel när de exempelvis dessa bokstäver ändras på platser. Denna formel måste vara antingen förstådd eller verktyg, och den andra metoden leder till fel i de mest olämpliga och mest ansvariga stunderna: på tentor, kontroll etc.

Det är därför som alla sina elever, jag föreslår att överge standardskolformeln och använda för att lösa logaritmiska ekvationer ett andra tillvägagångssätt, vilket, som du förmodligen gissat från namnet, kallas kanonisk form.

Tanken med kanonisk form är enkel. Låt oss titta på vår uppgift igen: Till vänster har vi logg A, medan under bokstaven A menas exakt numret, och i inget fall är det inte en funktion som innehåller variabeln x. Följaktligen tillämpas alla begränsningar på detta brev, som överlagras på grundval av logaritmen. nämligen:

1 ≠ A\u003e 0

Å andra sidan, från samma ekvation ser vi att logaritmen ska vara lika med nummer B, och här ställer det inte några begränsningar av detta brev, eftersom det kan ta några värden - både positiva och negativa. Allt beror på vilka värden som får funktionen f (x).

Och här kommer vi ihåg vår anmärkningsvärda regel att vilket nummer B kan representeras i form av en logaritm på basen A av A till graden B:

b \u003d logga a b

Hur kommer du ihåg den här formeln? Ja, väldigt enkelt. Låt oss skriva följande design:

b \u003d B · 1 \u003d B · Logga A a

Naturligtvis, medan det finns alla begränsningar som vi spelade in i början. Och nu låt oss använda logaritmen grundläggande egendom och göra en multiplikator B som en examen a. Vi får:

b \u003d b · 1 \u003d b · logga a a \u003d logga a a b

Som ett resultat kommer den ursprungliga ekvationen att skriva om i följande formulär:

logga en f (x) \u003d logga A a b → f (x) \u003d a b

Det är allt. Den nya funktionen innehåller inte längre logaritm och löses med standard algebraiska tekniker.

Naturligtvis kommer någon nu att invändas: varför var det alls uppfunnit någon kanonisk formel, varför gör två ytterligare onödiga steg, om du omedelbart kan flytta från den ursprungliga designen till den slutliga formeln? Ja, åtminstone då, då förstår majoriteten av eleverna inte var den här formeln kommer från och, som ett resultat, tillåter regelbundet fel när de appliceras.

Men denna sekvens av åtgärder som består av tre steg gör det möjligt att lösa den initiala logaritmiska ekvationen, även om du inte förstår var den allra sista formeln tas. Förresten kallas den kanoniska formeln denna post:

logga en f (x) \u003d logga en a b

Bekvämheten hos den kanoniska formen består också i det faktum att det kan användas för att lösa en mycket bred klass av logaritmiska ekvationer, och inte bara det enklaste vi anser idag.

Exempel på lösningar

Låt oss nu överväga riktiga exempel. Så vi bestämmer oss:

log 0,5 (3x - 1) \u003d -3

Låt oss skriva om det enligt följande:

log 0,5 (3x - 1) \u003d Log 0,5 0,5 -3

Många studenter har bråttom och försöker omedelbart bygga nummer 0.5 till den grad som kom till oss från den ursprungliga uppgiften. Och när du redan är välutbildad i att lösa sådana uppgifter, kan du omedelbart utföra det här steget.

Men om du bara börjar studera detta ämne är det bättre att inte skynda någonstans för att förhindra offensiva misstag. Så vi har en kanonisk form. Vi har:

3x - 1 \u003d 0,5 -3

Detta är inte längre en logaritmisk ekvation, men en linjär i förhållande till variabeln x. För att lösa det, låt oss först titta på antalet 0,5 V-grad -3. Observera att 0,5 är 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Alla decimala fraktioner översätter till vanliga när du löser den logaritmiska ekvationen.

Skriva om och få:

3x - 1 \u003d 8
3x \u003d 9.
x \u003d 3.

Allt vi fick svaret. Den första uppgiften är löst.

Andra uppgiften

Gå till den andra uppgiften:

Som vi ser är denna ekvation inte längre det enklaste. Redan åtminstone för till vänster finns det en skillnad, och inte en enda logaritm för en bas.

Följaktligen är det nödvändigt att på något sätt bli av med denna skillnad. I det här fallet är allt väldigt enkelt. Låt oss se uppmärksamt på marken: vänster är numret under roten:

Allmän rekommendation: I alla logaritmiska ekvationer, försök att bli av med radikalerna, det vill säga från poster med rötter och flytta till kraftfunktioner, helt enkelt för att indikatorerna i dessa grader lätt kan utföras för logaritmtecknet och i det slutliga kontot, så En post förenklar signifikant och påskyndar beräkningarna. Här låt oss skriva och skriva ner:

Kom nu ihåg logaritmens anmärkningsvärda egendom: från argumentet, såväl som från basen, kan du utstå grader. När det gäller baser händer följande:

logga en k b \u003d 1 / k logha b

Med andra ord bärs det antal som stod i grunden av fundamentet framåt och samtidigt vänder sig över, dvs det blir ett annat antal. I vårt fall fanns en grundgrad med en indikator 1/2. Följaktligen kan vi ta det som 2/1. Vi får:

5 · 2 Log 5 x - Log 5 x \u003d 18
10 Log 5 x - Log 5 x \u003d 18

Observera: I inget fall kan du bli av med logaritmer vid detta steg. Kom ihåg matematiken på 4-5 klass och procedur: För det första utförs multiplikationen, men endast tillsats och subtraktion. I det här fallet subtraherar vi ett av samma element:

9 Log 5 x \u003d 18
log 5 x \u003d 2

Nu ser vår ekvation ut. Detta är den enklaste designen, och vi löser det med hjälp av en kanonisk form:

log 5 x \u003d logga 5 5 2
x \u003d 5 2
x \u003d 25.

Det är allt. Den andra uppgiften är löst.

Tredje exemplet

Gå till den tredje uppgiften:

lG (x + 3) \u003d 3 + 2 lg 5

Låt mig påminna dig om följande formel:

lG B \u003d log 10 b

Om du av någon anledning är förvirrad av LG B-posten, då när du utför alla beräkningar, kan du bara skriva logg 10 B. Med decimal logaritmer kan du arbeta på samma sätt som med andra: att göra grader, vik och representerar några nummer i form av LG 10.

Det är det med dessa egenskaper, vi kommer nu att använda för att lösa problemet, eftersom det inte är det enklaste, som vi spelade in i början av vår lektion.

Till att börja med noterar vi att multiplikatorn 2 mot LG 5 kan göras och blir en grundgrad 5. Dessutom representerar den fria termen 3 också i form av en logaritm - det är väldigt lätt att observera från vår rekord.

Domare för dig själv: vilket nummer som helst kan representeras i form av logg baserat på 10:

3 \u003d log 10 10 3 \u003d lg 10 3

Vi skriver om källuppgiften, med hänsyn till de mottagna ändringarna:

lG (X-3) \u003d LG 1000 + LG 25
lG (X-3) \u003d LG 1000 · 25
lG (X-3) \u003d LG 25 000

Vi är igen en kanonisk form, och vi fick det, kringgå scenen av omvandlingar, dvs den enklaste logaritmiska ekvationen kom inte över var som helst.

Det var det jag sa i början av lektionen. Den kanoniska formen gör att du kan lösa en bredare klass av uppgifter än den vanliga skolformeln som de flesta skollärare ger.

Tja, alla, bli av med tecknet på decimallogaritmen, och vi får en enkel linjär design:

x + 3 \u003d 25 000
x \u003d 24 997

Allt! Uppgiften är löst.

Notera på definitionen

Här vill jag få en viktig anmärkning om definitionen. Visst nu kommer det att finnas studenter och lärare som kommer att säga: "När vi löser uttryck med logaritmer är det nödvändigt att komma ihåg att argumentet f (x) bör vara större än noll!" I detta avseende finns det en logisk fråga: Varför behövde vi inte i en av de ansedda uppgifterna att denna ojämlikhet utförs?

Oroa dig inte. Inga extra rötter i dessa fall kommer att uppstå. Och det här är ett annat underbart knep som låter dig påskynda beslutet. Bara vet att om uppgiften variabel X finns bara på ett ställe (eller snarare - i ett enda argument av en enda logaritm), och ingen annanstans i vårt fall finns det ingen variabel, skriv sedan definitionområdet inte nödvändigtEftersom det kommer att utföras automatiskt.

Domare för dig själv: I den första ekvationen fick vi att 3X - 1, det vill säga argumentet bör vara lika med 8. Detta innebär automatiskt att 3 - 1 blir större än noll.

Med samma framgång kan vi skriva ner det i det andra fallet X ska vara 5 2, det vill säga är han uppenbarligen mer noll. Och i det tredje fallet, där X + 3 \u003d 25 000, dvs igen, mer än mer noll. Med andra ord utförs definitionsområdet automatiskt, men endast under förutsättning att x bara finns i bara en logaritms argument.

Det är allt du behöver veta för att lösa de enklaste uppgifterna. Redan en av denna regel, tillsammans med omvandlingsreglerna, låter dig lösa en mycket bred klass av uppgifter.

Men låt oss vara ärliga: För att äntligen handla om den här tekniken för att lära sig hur man tillämpar den kanoniska formen av den logaritmiska ekvationen, räcker det inte att bara se en videohandledning. Därför, just nu hämtas alternativ för en oberoende lösning som är anslutna till det här videospråket och börja lösa åtminstone ett av dessa två oberoende arbete.

Du kommer att lämna dig bokstavligen några minuter. Men effekten av sådan träning kommer att vara mycket högre jämfört med den tid du helt enkelt tittade på den här videoklippet.

Jag hoppas att den här lektionen hjälper dig att hantera logaritmiska ekvationer. Använd den kanoniska formen, förenkla uttryck med hjälp av reglerna för att arbeta med logaritmer - och inga uppgifter kommer inte att vara hemska. Och jag har allt idag.

Redovisning av definitionområdet

Låt oss nu prata om fältet att bestämma den logaritmiska funktionen, liksom hur det påverkar lösningen av logaritmiska ekvationer. Tänk på utformningen av vyn

logga en f (x) \u003d b

Detta uttryck kallas det enklaste - i det bara en funktion, och numret A och B är exakt siffror, och i inget fall är det inte en funktion beroende på variabeln x. Det är löst mycket enkelt. Använd bara formeln endast:

b \u003d logga a b

Denna formel är en av de viktigaste egenskaperna hos logaritmen, och när vi ersätter vårt första uttryck får vi följande:

logga en f (x) \u003d logga en a b

f (x) \u003d a b

Detta är redan bekant med hjälp av skolbyggnadsböcker. Många studenter kommer säkert att få en fråga: Eftersom i det första uttrycket är funktionen f (x) under loggskylten, följande begränsningar är överlagda på den:

f (x)\u003e 0

Denna begränsning verkar eftersom logaritmen från negativa tal inte existerar. Så, kanske, som ett resultat, bör restriktionerna åläggas svaren? Kanske måste de ersättas med källan?

Nej, i de enklaste logaritmiska ekvationerna, en extra kontroll av överskott. Och det är varför. Ta en titt på vår sista formel:

f (x) \u003d a b

Faktum är att numret A i alla fall är mer än 0 - Detta krav läggs också över av logaritmen. Nummer A är grunden. Samtidigt är numret B inga begränsningar överlagd. Men det spelar ingen roll, för där en grad skulle vi ha uppfört ett positivt tal får vi fortfarande ett positivt nummer vid utgången. Således utförs kravet f (x)\u003e 0 automatiskt.

Det som verkligen är värt att kontrollera är området att definiera en funktion under loggskylten. Det kan finnas ganska svåra mönster, och i färd med att lösa det är det nödvändigt att följa dem. Låt oss se.

Första uppgiften:

Det första steget: Vi omvandlar fraktionen till höger. Vi får:

Vi blir av med loggaritmens tecken och får den vanliga irrationella ekvationen:

Från de resulterande rötterna är vi nöjda med endast den första, eftersom den andra roten är mindre än noll. Det enda svaret kommer att vara nummer 9. Allt, uppgiften är löst. Inga ytterligare kontroller som uttrycket under logaritmskylten är större än 0 är inte nödvändigt, eftersom det inte är bara större än 0, men med tillståndet av ekvationen är det lika med 2. Följaktligen är kravet "större än noll" utfördes automatiskt.

Gå till den andra uppgiften:

Här är detsamma. Skriv om designen genom att ersätta de tre bästa:

Bli av med logaritmskyltar och få en irrationell ekvation:

Vi bygger båda delarna i en torg med avseende på restriktioner och få:

4 - 6x - x 2 \u003d (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 \u003d x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 -4 + 6x + x 2 \u003d 0

2x 2 + 14x + 12 \u003d 0 |: 2

x 2 + 7x + 6 \u003d 0

Vi löser den erhållna ekvationen genom diskrimineringen:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 \u003d -1

x 2 \u003d -6

Men x \u003d -6 passar oss inte, för om vi ersätter detta nummer i vår ojämlikhet, kommer vi att få:

−6 + 4 = −2 < 0

I vårt fall är det nödvändigt att det finns mer än 0 eller i en nypa är lika. Men X \u003d -1 passar oss:

−1 + 4 = 3 > 0

Det enda svaret i vårt fall kommer att vara x \u003d -1. Det är allt beslut. Låt oss återvända till början av våra beräkningar.

Den viktigaste slutsatsen från den här lektionen: Kontrollera begränsningarna för en funktion i de enklaste logaritmiska ekvationerna är inte nödvändig. Eftersom vid lösningen utförs alla restriktioner automatiskt.

Men det betyder inte att du kan glömma om att kontrollera. I arbetet med att arbeta på den logaritmiska ekvationen kan det väl gå till det irrationella, där det kommer att finnas sina begränsningar och krav för den högra delen, där vi har skickats till två olika exempel.

Lös djärvt sådana uppgifter och vara särskilt uppmärksam om roten står i argumentet.

Logaritmiska ekvationer med olika baser

Vi fortsätter att studera de logaritmiska ekvationerna och vi kommer att analysera två mer ganska intressanta tekniker, med hjälp av vilken det är modernt att lösa mer komplexa strukturer. Men först, låt oss komma ihåg hur enkla uppgifter är löst:

logga en f (x) \u003d b

I den här posten är A och B exakt siffror, och i funktionen F (x) bör variabeln X vara närvarande, och det är bara där, dvs x bör vara endast i argumentet. Vi kommer att omvandla sådana logaritmiska ekvationer med hjälp av en kanonisk form. För att göra detta noterar vi det

b \u003d logga a b

Och en b är argumentet. Låt oss skriva om detta uttryck enligt följande:

logga en f (x) \u003d logga en a b

Vi gör bara detta och söker till vänster, och till höger var det en logaritm på grundval av a. I det här fallet kan vi, figurativt sett korsa loggarna, och från matematikens synvinkel kan vi säga att vi helt enkelt jämställer argumenten:

f (x) \u003d a b

Som ett resultat kommer vi att få ett nytt uttryck som kommer att lösas mycket enklare. Låt oss tillämpa denna regel till våra dagens uppgifter.

Så den första designen:

Först och främst noterar jag att rätten är en fraktion, i denominatorn som är logg. När du ser ett sådant uttryck kommer det inte att vara överflödigt att återkalla logaritms anmärkningsvärda egendom:

Överföring till ryska, det betyder att någon logaritm kan representeras som en privat två logaritm med någon bas med. Naturligtvis 0< с ≠ 1.

Så: Denna formel har ett underbart fall när variabeln C är lika med variabeln b. I det här fallet får vi utformningen av formuläret:

Det är en sådan design som vi observerar från skylten till höger i vår ekvation. Låt oss ersätta denna design på Logga B, vi får:

Med andra ord, i jämförelse med den ursprungliga uppgiften, ändrade vi argumentet och logaritmen. I utbyte var vi tvungna att vända fraktionerna.

Vi kommer ihåg att någon grad kan göras från marken enligt följande regel:

Med andra ord utförs K-koefficienten, som är grunden av grunden, som en inverterad fraktion. Låt oss ta ut det som en inverterad fraktion:

Fraktionella multiplikatorn kan inte lämnas fram, eftersom vi i det här fallet inte kommer att kunna skicka in denna post som en kanonisk form (eftersom i kanonisk form innan den andra logaritmen inte finns någon ytterligare multiplikator). Låt oss följaktligen göra en bråkdel av 1/4 i ett argument i form av en examen:

Nu motsvarar vi argumenten, vars grundar är desamma (och de grundläggande vi är verkligen desamma) och skriver:

x + 5 \u003d 1

x \u003d -4.

Det är allt. Vi fick ett svar på den första logaritmiska ekvationen. Observera: I källuppgiften finns variabeln X endast i en logg, och den är i sitt argument. Följaktligen krävs inte kontroll av definitionområdet, och vårt nummer x \u003d -4 är verkligen svaret.

Gå nu till det andra uttrycket:

lG 56 \u003d LG 2 Log 2 7 - 3LG (x + 4)

Här, förutom vanliga logaritmer, måste vi arbeta med LG F (x). Hur löser man en sådan ekvation? En oförberedd student kan tyckas att det är en slags tenn, men i själva verket är allt löst elementärt.

Se noggrant på termen LG 2 Log 2 7. Vad kan vi säga om det? Baserna och argumenten i loggen och LG sammanfaller, och det borde göra några tankar. Låt oss komma ihåg igen hur grader från logaritmtecknet:

logga en b n \u003d nlog a b

Med andra ord, vad var graden från nummer B i argumentet blir en multiplikator till själva loggen. Låt oss tillämpa denna formel för uttryck LG 2 Log 2 7. Låt dig inte skrämma LG 2 - det här är det vanligaste uttrycket. Du kan skriva om det enligt följande:

Alla regler som agerar för någon annan logaritm är rättvisa för honom. I synnerhet kan multiplikatorn som står fram fram till graden av argument. Låt oss skriva:

Mycket ofta ser eleverna inte den här åtgärden, eftersom det inte är bra att komma in i en logg under tecknet på en annan. Faktum är att inget brott i det. Dessutom får vi en formel som lätt kan övervägas om du kommer ihåg den viktiga regeln:

Denna formel kan betraktas som en definition och som en av dess egenskaper. I vilket fall som helst, om du konverterar den logaritmiska ekvationen, bör denna formel du veta exakt densamma som representationen av ett antal i form av logg.

Återvända till vår uppgift. Omskriva det, med hänsyn till det faktum att den första terminen till rätten till jämställdhetsskylten kommer att vara bara LG 7. Vi har:

lG 56 \u003d LG 7 - 3LG (x + 4)

Låt oss överföra LG 7 till vänster, vi får:

lG 56 - LG 7 \u003d -3LG (X + 4)

Vi subtraherar uttrycket till vänster, eftersom de har samma bas:

lG (56/7) \u003d -3lg (x + 4)

Låt oss nu titta på ekvationen som vi fick. Det är praktiskt taget en kanonisk form, men multiplikatorn är närvarande till höger. Låt oss göra det i rätt LG-argument:

lG 8 \u003d LG (X + 4) -3

Vi har den kanoniska formen av den logaritmiska ekvationen, så vi slår LG-tecknen och likställer argumenten:

(x + 4) -3 \u003d 8

x + 4 \u003d 0,5

Det är allt! Vi löste den andra logaritmiska ekvationen. Samtidigt krävs inga ytterligare kontroller, eftersom det i den ursprungliga uppgiften endast besöktes i ett argument.

Jag kommer att lista de viktigaste punkterna i den här lektionen igen.

Den huvudsakliga formeln som studeras i alla lektioner på den här sidan dedikerad till lösningen av logaritmiska ekvationer är en kanonisk form. Och låt dig inte skrämma det i de flesta skolböcker som du lär dig att lösa sådana uppgifter på ett annat sätt. Det här verktyget fungerar mycket effektivt och låter dig lösa en mycket bredare klass av uppgifter, snarare än det enklaste, som vi studerade i början av vår lektion.

För att lösa logaritmiska ekvationer kommer det att vara användbart att känna till de grundläggande egenskaperna. Nämligen:

1. Övergångsformeln till en bas och ett speciellt fall när vi vrider loggen (det var mycket användbart för oss i den första uppgiften);
2. Formeln för att göra och göra grader från under loggaritmens tecken. Här hänger många elever och betonar att inlämningen och bidraget i sig kan innehålla log F (x). Inget fel med det. Vi kan göra en logg på ett annat tecken och samtidigt för att väsentligt förenkla lösningen av problemet, som vi observerar i det andra fallet.

Sammanfattningsvis skulle jag vilja tillägga att det inte är nödvändigt att kontrollera definitionområdet i vart och ett av dessa fall, för överallt är variabeln X endast närvarande i ett loggmärke och samtidigt är det i sitt argument. Som ett resultat utförs alla kraven i definitionområdet automatiskt.

Variabel basuppgifter

Idag kommer vi att titta på de logaritmiska ekvationerna som för många studenter verkar icke-standard, och till och med oupplöst alls. Vi pratar om uttryck, vid basen av vilka inte är siffror, men variabler och jämnfunktioner. Vi kommer att lösa sådana strukturer med hjälp av vår standardmottagning, nämligen genom den kanoniska formen.

Till att börja med, låt oss komma ihåg hur de enklaste uppgifterna löses, vid basen av vilka det finns vanliga siffror. Så, den enklaste kallas designen av typen

logga en f (x) \u003d b

För att lösa sådana uppgifter kan vi använda följande formel:

b \u003d logga a b

Vi skriver om vårt första uttryck och får:

logga en f (x) \u003d logga en a b

Då likställer vi argumenten, dvs skriv:

f (x) \u003d a b

Således blir vi av med loggen på loggen och vi bestämmer den vanliga uppgiften. Samtidigt kommer rötterna erhållna för att lösa roten och vara rötterna i den ursprungliga logaritmiska ekvationen. Dessutom är posten, när till vänster, och höger, en och samma logaritm med samma bas, kallad den kanoniska formen. Det är en sådan rekord att vi kommer att försöka minska dagens mönster. Låt oss gå.

Första uppgiften:

log X - 2 (2x 2 - 13x + 18) \u003d 1

Vi ersätter 1 på Log X - 2 (X - 2) 1. I den utsträckning vi observerar argumentet är i själva verket numret B som stod till rätt till tecken på jämlikhet. Således omskriver vi vårt uttryck. Vi får:

log X - 2 (2x 2 - 13x + 18) \u003d Log X - 2 (x - 2)

Vad ser vi? Vi har den kanoniska formen av den logaritmiska ekvationen, så vi kan säkert jämföra argumenten. Vi får:

2x 2 - 13x + 18 \u003d x - 2

Men det här beslutet slutar inte, eftersom denna ekvation inte motsvarar den ursprungliga. När allt kommer omkring består den resulterande designen av funktioner som definieras på hela numeriska linjen, och våra första logaritmer är inte definierade överallt och inte alltid.

Därför måste vi separat skriva definitionområdet. Låt oss inte kloka och skriva alla krav för början:

För det första bör argumentet för var och en av logariterna vara större än 0:

2x 2 - 13x + 18\u003e 0

x - 2\u003e 0

För det andra bör basen inte bara vara mer än 0, men också annorlunda än 1:

x - 2 ≠ 1

Som ett resultat får vi systemet:

Men du är inte rädd: Vid bearbetning av logaritmiska ekvationer kan ett sådant system förenklas betydligt.

Döm själv: Å ena sidan kräver vi att den kvadratiska funktionen är större än noll, och å andra sidan är denna kvadratisk funktion lika med ett linjärt uttryck, vilket också kräver att det är större än noll.

I det här fallet, om vi behöver X - 2\u003e 0, kommer kravet 2x 2 - 13x + 18\u003e automatiskt att utföras. Därför kan vi säkert korsa ojämlikheten som innehåller en kvadratisk funktion. Således kommer antalet uttryck som finns i vårt system att minska till tre.

Naturligtvis, med samma framgång, kunde vi korsa den linjära ojämlikheten, dvs ta bort X - 2\u003e 0 och kräva att 2x 2 - 13x + 18\u003e 0. men håller med om att det är mycket snabbare att lösa den enklaste linjära ojämlikheten mycket snabbare Och lättare, den kvadratiska, även om, om, som ett resultat av lösningen av hela systemet, kommer vi att få samma rötter.

I allmänhet, om möjligt, försök att optimera beräkningar. Och i fallet med logaritmiska ekvationer, släcka de mest komplexa ojämlikheterna.

Låt oss skriva om vårt system:

Här är ett system med tre uttryck, varav två vi faktiskt redan har räknat ut. Låt oss separat kassera den kvadratiska ekvationen och lösa det:

2x 2 - 14x + 20 \u003d 0

x 2 - 7x + 10 \u003d 0

Vi har en given torg tre-halv-ett och därför kan vi utnyttja formlerna i Vieta. Vi får:

(x - 5) (x - 2) \u003d 0

x 1 \u003d 5

x 2 \u003d 2

Och nu återvänder vi till vårt system och vi finner att x \u003d 2 passar oss inte, för vi behöver det vara strängt större än 2.

Men X \u003d 5 Vi är ganska nöjda med: Nummer 5 är större än 2, och samtidigt är 5 inte 3. Därför kommer den enda lösningen av detta system att vara X \u003d 5.

Allt, uppgiften är löst, inklusive, med hänsyn till OTZ. Gå till den andra ekvationen. Här väntar vi på mer intressanta och meningsfulla beräkningar:

Det första steget: Som förra gången ger vi allt detta fall till kanonisk form. För detta kan numret 9 skriva som följer:

Basen med roten kan inte röras, men argumentet är bättre att konvertera. Låt oss gå från roten till en examen med en rationell indikator. Vi skriver:

Låt mig inte skriva om all vår stora logaritmiska ekvation, utan bara utjämna argumenten omedelbart:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 \u003d x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 \u003d 0

Vi har en nyligen reducerad tre-halv-en framför oss, vi använder formlerna i Vieta och skriv:

(x + 3) (x + 1) \u003d 0

x 1 \u003d -3

x 2 \u003d -1

Så vi fick rötter, men ingen garanterar oss att de skulle passa den första logaritmiska ekvationen. När allt kommer omkring innebär loggskyltar ytterligare begränsningar (vi måste skriva ner systemet, men på grund av bulkheten i hela designen bestämde jag mig för att beräkna definitionområdet separat).

Först och främst kommer vi ihåg att argumenten borde vara större än 0, nämligen:

Dessa är de krav som definieras av definitionområdet.

Observera omedelbart att eftersom vi liknar de två första uttrycken av systemet till varandra, kan någon av dem radera. Låt oss korsa den första eftersom det ser mer hotande ut än den andra.

Dessutom noterar vi att beslutet från den andra och den tredje ojämlikheten kommer att vara densamma (kub av något antal mer än noll, om det andra är större än noll; på samma sätt och med roten i den tredje graden - dessa ojämlikheter är helt Liknande, så vi kan korsa ut det).

Men med den tredje ojämlikheten kommer det inte att passera. Bli av med tecknet på den radikala stående till vänster, för vilka de upprättar båda delarna i kuben. Vi får:

Så, vi får följande krav:

- 2 ≠ x\u003e -3

Vilka av våra rötter: x 1 \u003d -3 eller x 2 \u003d -1 uppfyller dessa krav? Självklart, bara x \u003d -1, eftersom x \u003d -3 inte uppfyller den första ojämlikheten (för ojämlikhet vi har strikt). Totalt återvänder till vår uppgift får vi en rot: x \u003d -1. Det är allt, uppgiften är löst.

Återigen de viktigaste punkterna i den här uppgiften:

1. Känn dig fri att tillämpa och lösa logaritmiska ekvationer med hjälp av en kanonisk form. Studenter som gör en sådan rekord och passerar inte direkt från det ursprungliga problemet till designen av loggen A f (x) \u003d B-design, tillåta mycket mindre fel än de som är i rush någonstans, passerar mellanliggande steg av beräkningar;
2. Så snart en växlande bas visas i logaritmen, slutar uppgiften vara det enklaste. Följaktligen är det nödvändigt att ta hänsyn till definitionområdet: argumenten måste vara större än noll, och basen är inte bara större än 0, men de bör inte vara lika med 1.

Du kan ange de senaste kraven för slutliga svar på olika sätt. Till exempel kan du lösa ett helt system som innehåller alla krav på definitionområdet. Å andra sidan kan du först lösa själva uppgiften och sedan komma ihåg om definitionområdet, som separat fungerar i form av systemet och pålägger de mottagna rötterna.

Vad är sättet att välja när man löser en specifik logaritmisk ekvation, löser bara dig. I vilket fall som helst kommer svaret att visa sig detsamma.

Listad jämlikhet vid konvertering av uttryck med logaritmer används både till höger och vänster till höger.

Det är värt att notera att för att memorera effekterna från egenskaperna är valfritt: Vid utförande av transformationer är det möjligt att göra med de huvudsakliga egenskaperna hos logaritmer och andra fakta (till exempel i det med b≥0), varav motsvarande konsekvenser flöde. "Biverkningen" av detta tillvägagångssätt uppenbaras bara att beslutet kommer att vara något längre. Till exempel, att göra utan undersökningen, som uttrycks av formeln Och repelly endast från de viktigaste egenskaperna hos logaritmer, måste du utföra en kedja av omvandlingar av följande typ: .

Detsamma kan sägas om den sista egenskapen från ovanstående lista, vilket motsvarar formeln Eftersom det också följer av de huvudsakliga egenskaperna hos logaritmer. Det viktigaste att förstå att det alltid finns möjlighet till ett positivt tal med en logaritm i indikatorn för att ändra grunden för graden och numret under logaritmtecknet. För rättvisaens skull noterar vi att exempel som innebär att genomförandet av omvandlingar av sådant slag är sällsynta i praktiken. Vi ger några exempel under texten.

Transformation av numeriska uttryck med logaritmer

Egenskaperna hos logaritmer kom ihåg, nu är det dags att lära sig att tillämpa dem i praktiken att konvertera uttryck. Börjar naturligtvis med omvandlingen av numeriska uttryck, och inte uttryck med variabler, eftersom de är bekvämare och enklare att känna till grunderna. Så vi kommer att göra, och börja med mycket enkla exempel för att lära sig att välja den önskade egenskapen hos logaritmen, men vi kommer gradvis att komplicera exempel, fram till det ögonblick då du behöver använda flera fastigheter i rad för att få slutresultatet.

Val av de önskade egenskaperna hos logaritmer

Fastigheterna hos logaritmer är inte så lite, och det är klart att du måste kunna välja mellan dem, vilket i det här fallet kommer att leda till det önskade resultatet. Det är oftast svårt att göra detta, jämföra typen av transformerad logaritm eller uttryck med utsikten över de vänstra och högra delarna av formlerna som uttrycker egenskaperna hos logaritmer. Om vänster eller höger sida av en av formlerna sammanfaller med en given logaritm eller uttryck, är det troligt att det är den här egenskapen som behöver tillämpas vid konvertering. Följande exempel är tydligt demonstrerade.

Låt oss börja med exempel på konvertering av uttryck med hjälp av definitionen av en logaritm som motsvarar formeln A LOG A B \u003d B, A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0.

Exempel.

Beräkna om möjligt: \u200b\u200ba) 5 Log 5 4, b) 10 lg (1 + 2 · π), b) , d) 2 log 2 (-7), e).

Beslut.

I exemplet, under bokstaven A) är strukturen en logg A B tydligt synlig, där A \u003d 5, B \u003d 4. Dessa siffror uppfyller villkoren A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, så du kan använda jämlikheten en logga A B \u003d B. Vi har 5 log 5 4 \u003d 4.

b) här a \u003d 10, b \u003d 1 + 2 · π, betingelser A\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0 är gjorda. I det här fallet finns det en jämlikhet av 10 lg (1 + 2 · π) \u003d 1 + 2 · π.

c) Och i det här exemplet har vi en rad en logg A B, där och B \u003d Ln15. Så .

Trots den som tillhör samma typ av en log A B (här A \u003d 2, B \u003d -7) kan uttrycket under bokstaven d) inte omvandlas med formeln A LOG A B \u003d B. Anledningen är att det inte är meningsfullt, eftersom det innehåller ett negativt tal under logaritmens tecken. Dessutom uppfyller numret B \u003d -7 inte tillståndet b\u003e 0, vilket inte tillåter att tillgripa formeln A-loggen A B \u003d B, eftersom det kräver uppfyllande av förhållandena A\u003e 0, A ≠ 1, B \u003e 0. Så det är omöjligt att prata om beräkningen av värdet av 2 log 2 (-7). I det här fallet kommer inspelningen 2 log 2 (-7) \u003d -7 att vara ett fel.

På samma sätt, i exemplet under bokstaven d) kan lösningen inte bringas Eftersom det första uttrycket inte är meningsfullt.

Svar:

a) 5 log 5 4 \u003d 4, b) 10 lg (1 + 2 · π) \u003d 1 + 2 · π, c) , d), e) uttryck är inte meningsfulla.

Det är ofta användbart för omvandlingen vid vilken ett positivt tal presenteras i form av en grad av något positivt och annorlunda tal med en logaritm i indikatorn. Den är baserad på samma definition av logaritm en logg A B \u003d B, A\u003e 0, A ^ 1, B\u003e \u200b\u200b0, men formeln appliceras åt höger, det vill säga i form B \u003d en logg A b. Till exempel 3 \u003d E ln3 eller 5 \u003d 5 log 5 5.

Gå till användningen av logaritms egenskaper för att konvertera uttryck.

Exempel.

Hitta värdet av uttrycket: a) log -2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, e) lg1, g) log 3,75, s) logg 5 · π 7 1.

Beslut.

I exemplen under bokstäverna a), b) och c) Uttrycken av loggen -2 1, log 1 1, log 0 1, som inte är meningsfull, eftersom logaritmen vid basen inte ska vara ett negativt tal, Noll eller enhet, eftersom vi bestämde logaritmen endast för positiv och annorlunda än basenheten. Därför kan i exempel a) - c) ingen fråga om att hitta expressionsvärdet.

I alla andra uppgifter är det uppenbart att det finns positiva och olika antal från enheten 7, E, 10, 3,75 och 5 · π 7, och under tecknen på logaritmer överallt finns enheter. Och vi känner till logaritmenhetens egendom: logga A 1 \u003d 0 för alla A\u003e 0, A ≠ 1. Således är värdena för uttryck b) - e) lika med noll.

Svar:

a), b), c) uttryck gör inte mening, d) log 7 1 \u003d 0, d) ln1 \u003d 0, e) lg1 \u003d 0, g) Log 3,75 1 \u003d 0, h) Log 5 · E 7 1 \u003d 0.

Exempel.

Beräkna: A), B) LNE, C) LG10, D) log 5 · π 3 -2 (5 · π 3 -2), e) log -3 (-3), e) Log 1 1.

Beslut.

Det är uppenbart att vi måste utnyttja egenskapen hos logaritmen hos basen, vilket motsvarar formeln Logga A A \u003d 1 vid A\u003e 0, A ≠ 1. I uppgifterna under alla bokstäver sammanfaller antalet under tecknet på logaritmen med sin grund. Således vill jag omedelbart säga att betydelsen av var och en av de angivna uttrycken är 1. Det är emellertid inte nödvändigt att skynda med slutsatserna: i uppgifterna enligt bokstäverna a) - d) Värdena för uttryck är verkligen lika med en, och i uppgifterna d) och e) gör de ursprungliga uttrycken inte Känsla, därför kan det inte sägas att värdena för dessa uttryck är 1.

Svar:

a), b) lne \u003d 1, c) lg10 \u003d 1, d) log 5 · π 3 -2 (5 · π 3 -2) \u003d 1, D), e) uttryck är inte meningsfulla.

Exempel.

Hitta ett värde: a) Log 3 3 11, b) , c), d) log -10 (-10) 6.

Beslut.

Självklart, under tecknen på logaritmer finns det några grader av stiftelse. Baserat på detta förstår vi att det är användbart för oss här Grunden av stiftelsen: logga A A p \u003d P, där A\u003e 0, A ≠ 1 och P är något giltigt nummer. Med tanke på detta har vi följande resultat: a) Log 3 3 11 \u003d 11, b) , i) . Är det möjligt att spela in liknande jämlikhet för exemplet under bokstaven d) av typen av log -10 (-10) 6 \u003d 6? Nej, det är omöjligt, eftersom expressionsloggen -10 (-10) 6 inte är meningsfullt.

Svar:

a) log 3 3 11 \u003d 11, b) , i) , d) Uttrycket är inte meningsfullt.

Exempel.

Föreställ dig ett uttryck i form av en summa eller skillnaden mellan logaritmer på samma sätt: a) , b), c) LG ((- 5) · (-12)).

Beslut.

a) Under loggaritmens tecken är ett arbete, och vi känner till logaritm-egenskapen hos logg A (X · Y) \u003d Log Ax + Log AY, A\u003e 0, A ≠ 1, X\u003e 0, Y\u003e 0. I vårt fall är numret vid logaritmen och numret i arbetet positivt, det vill säga uppfyller villkoren för den valda egendomen, så vi kan lugnt använda det: .

b) Här använder vi egenskapen hos den privata logaritmen, där A\u003e 0, A ≠ 1, X\u003e 0, Y\u003e 0. I vårt fall är logaritmens bas ett positivt tal E, siffror och nämnaren π är positiva, vilket innebär att villkoren för fastigheten är tillfredsställande, så vi har rätt att använda den valda formeln: .

c) För det första noterar vi att uttrycket LG ((- 5) · (-12)) är meningsfullt. Men samtidigt, för honom, har vi inte rätt att tillämpa logaritmformeln för logg A (X · Y) \u003d Log Ax + Log AY, A\u003e 0, A ≠ 1, X\u003e 0, Y\u003e 0, sedan siffrorna -5 och -12 - negativa och inte uppfyller villkoren x\u003e 0, y\u003e 0. Det är det omöjligt att genomföra en sådan omvandling: lG ((- 5) · (-12)) \u003d LG (-5) + LG (-12). Och vad ska man göra? I sådana fall behöver det ursprungliga uttrycket en preliminär transformation som gör att du kan komma ifrån negativa tal. Vi kommer att prata om sådana fall av omvandling av uttryck med negativa tal under tecknet på logaritmen i detalj i ett av följande exempel, vilket är förståeligt och utan förklaring: lG ((- 5) · (-12)) \u003d LG (5 · 12) \u003d LG5 + LG12.

Svar:

men) b) , c) LG ((- 5) · (-12)) \u003d LG5 + LG12.

Exempel.

Förenkla uttrycket: a) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5, b).

Beslut.

Här hjälper vi alla samma egenskaper hos logaritmen för det privata arbetet och logaritmen, som vi använde i tidigare exempel, bara nu kommer vi att tillämpa dem till höger till vänster. Det vill säga, mängden logaritmer omvandlas till logaritmen för arbetet och skillnaden mellan logaritmer - i logaritmen av privat. Ha
men) log 3 0.25 + Log 3 16 + Log 3 0,5 \u003d Log 3 (0,25 · 16 · 0,5) \u003d Log 3 2.
b) .

Svar:

men) log 3 0.25 + Log 3 16 + Log 3 0.5 \u003d Log 3 2b) .

Exempel.

Bli av med den utsträckning under loggaritmens tecken: a) Log 0.7 5 11, b) , c) log 3 (-5) 6.

Beslut.

Det är lätt att se att vi har att göra med uttryck av loggen A B P. Den motsvarande egenskapen hos logaritmen har typ av logg A B P \u003d P · Logga A B, där A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, P är något giltigt nummer. Det vill säga när de utför förhållandena A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0 från logaritmen i graden av logg A B P, kan vi flytta till produkten P · Logga en B. Vi kommer att genomföra denna omvandling med angivna uttryck.

a) I detta fall a \u003d 0,7, b \u003d 5 och p \u003d 11. Så logg 0,7 5 11 \u003d 11 · Log 0.7 5.

b) här, betingelser A\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0 utförs. därför

c) Expressionsloggen 3 (-5) 6 har samma struktur LOG A B P, A \u003d 3, B \u003d -5, P \u003d 6. Men för B är tillståndet B\u003e 0 inte nöjda, vilket gör det omöjligt att använda loggen A B P \u003d P · Logga en B. Så det är omöjligt att klara av uppgiften? Det är möjligt, men ett förkonverterande uttryck krävs, vi kommer att prata om i detalj nedan i rubrikpunkten. Beslutet kommer att vara: log 3 (-5) 6 \u003d Log 3 5 6 \u003d 6 · Log 3 5.

Svar:

a) Log 0.7 5 11 \u003d 11 · Log 0.7 5,
b)
c) Log 3 (-5) 6 \u003d 6 · Log 3 5.

Ganska ofta är logaritmformeln i graden under omvandling nödvändig för att applicera rätt till vänster som P · Logga en B \u003d logga A B P (detta kräver prestanda av samma förhållanden för A, B och P). Till exempel 3 · LN5 \u003d LN5 3 och LG2 · Log 2 3 \u003d Log 2 3 Lg2.

Exempel.

a) Beräkna värdet av logg 2 5, om det är känt att LG2≈0,3010 och LG5≈0,6990. b) presentera en fraktion i form av en logaritm baserad på 3.

Beslut.

a) Formeln för övergången till en ny bas av logaritmen tillåter att denna logaritm representerar i form av ett förhållande av decimaliska logaritmer, vars värden är kända för oss :. Det är bara att utföra beräkningar, vi har .

b) Här är det tillräckligt att utnyttja övergången till en ny bas och applicera den till höger, det vill säga i form av . Motta .

Svar:

a) Log 2 5≈2,3223, b) .

I detta skede ansåg vi tillräckligt noggrant omvandlingen av de enklaste uttrycken med hjälp av de viktigaste egenskaperna hos logaritmer och definitionen av logaritm. I dessa exempel var vi tvungna att tillämpa någon form av egendom och inget mer. Nu med ett lugnt samvete kan du flytta till exempel, vars omvandling kräver användning av flera egenskaper hos logaritmer och andra ytterligare transformationer. Vi kommer att gå i nästa stycke. Men före det, kortfattat, kommer vi kortfattat att fokusera på exemplen på konsekvenserna av de huvudsakliga egenskaperna hos logaritmer.

Exempel.

a) Bli av med roten under loggaritmens tecken. b) Konvertera fraktion i logaritmen på basen 5. c) ofta från graderna under logaritmskylten och i sin stiftelse. d) Beräkna värdet av uttrycket . e) ersätta uttrycket av graden med basen 3.

Beslut.

a) Om du kommer ihåg om konsekvensen av logaritmens egendom Du kan omedelbart svara: .

b) Vi använder formeln Rätt till vänster har vi .

c) I det här fallet leder resultatet formeln . Motta .

d) Och här är det tillräckligt att tillämpa en konsekvens att formeln är ansvarig . Så .

e) Fastighetslogaritm Tillåter oss att uppnå det önskade resultatet: .

Svar:

men) . b) . i) . d) . e) .

Sekventiell användning av flera egenskaper

Verkliga uppgifter för omvandling av uttryck med hjälp av logariternas egenskaper är vanligtvis mer komplicerade av de som vi bedriver i föregående stycke. I dem, som regel, är resultatet inte ett steg, och lösningen är redan i den konsekventa appliceringen av en egenskap efter en annan, tillsammans med ytterligare identitetstransformationer, såsom beskrivning av fästen, vilket medför liknande termer, reduktion av fraktioner, etc. . Så låt oss komma närmare sådana exempel. Det är inget svårt i detta, det viktigaste är att agera snyggt och konsekvent, observera proceduren för att utföra åtgärder.

Exempel.

Beräkna värdet av uttrycket (Log 3 15-log 3 5) · 7 Log 7 5.

Beslut.

Skillnaden i logaritmer i parentes för egenskapen hos logaritmen hos en privat kan ersättas med logaritmlogg 3 (15: 5) och beräkna vidare dess värde log 3 (15: 5) \u003d log 3 3 \u003d 1. Och värdet av uttryck 7 log 7 5 per definition av logaritm är lika med 5. Ersätta dessa resultat i det ursprungliga uttrycket, vi får (Log 3 15-log 3 5) · 7 Log 7 5 \u003d 1 · 5 \u003d 5.

Låt oss ge en lösning utan förklaring:
(Log 3 15-log 3 5) · 7 Log 7 5 \u003d Log 3 (15: 5) · 5 \u003d
\u003d Log 3 3 · 5 \u003d 1 · 5 \u003d 5.

Svar:

(Log 3 15-log 3 5) · 7 Log 7 5 \u003d 5.

Exempel.

Vad är värdet av den numeriska expressionslog 3 log 2 2 3 -1?

Beslut.

Vi omvandlar först logaritmen, som ligger under logaritmens tecken, enligt logaritmen Formel: Log 2 2 3 \u003d 3. Således log 3 log 2 2 3 \u003d log 3 3 och ytterligare logg 3 3 \u003d 1. Så logg 3 log 2 2 3 -1 \u003d 1-1 \u003d 0.

Svar:

log 3 Log 2 2 3 -1 \u003d 0.

Exempel.

Förenkla uttrycket.

Beslut.

Övergångsformeln till den nya basen av logaritmen möjliggör förhållandet mellan logaritmer till en bas som ska representeras som logg 3 5. I det här fallet kommer det ursprungliga uttrycket att ta formen. Per definition av logaritm 3 log 3 5 \u003d 5, det vill säga , Och värdet av det erhållna uttrycket, på grund av samma definition av logaritmen, är två.

Här är en kort version av lösningen som vanligtvis ges: .

Svar:

.

För en smidig övergång till följande artikelinformation, låt oss ta en titt på uttrycken 5 2 + log 5 3 och LG0.01. Deras struktur är inte lämplig för alla av logaritmens egenskaper. Så vad händer, kan de inte konverteras med hjälp av logaritms egenskaper? Det är möjligt om du kan utföra preliminära omvandlingar som förbereder dessa uttryck till tillämpningen av logaritms egenskaper. Så 5 2 + Log 5 3 \u003d 5 2 · 5 Log 5 3 \u003d 25 · 3 \u003d 75, och LG0.01 \u003d LG10 -2 \u003d -2. Då förstår vi i detalj hur en sådan utbildning av uttryck utförs.

Förberedelse av uttryck för tillämpning av logaritms egenskaper

Logaritmer i kompositionen av det transformerade uttrycket skiljer sig ofta ofta från de vänstra och högra delarna av formlerna som motsvarar logaritmens egenskaper. Men inte mindre ofta omvandlingen av dessa uttryck innebär användningen av logaritms egenskaper: att använda dem bara kräver preliminär förberedelse. Och denna beredning är att utföra vissa identiska transformationer som leder logaritmer till formen, lämplig för att tillämpa egenskaper.

För rättvisa noterar vi att nästan alla omvandlingar av uttryck kan fungera som preliminära omvandlingar, från banalaktuatorn av sådana villkor för användning av trigonometriska formler. Detta är förståeligt, eftersom de transformerade uttrycken kan innehålla några matematiska föremål: fästen, moduler, fraktioner, rötter, grader etc. Således måste du vara redo att utföra någon nödvändig omvandling för att ytterligare kunna använda logaritms egenskaper.

Omedelbart, låt oss säga att vi i den här tiden inte ställer oss till uppgiften att klassificera och demontera alla tänkbara preliminära omvandlingar, vilket vidare tillämpar logaritmens egenskaper eller definitionen av logaritm. Här kommer vi bara att bo på fyra av dem, som är mest karakteristiska och oftast finns i praktiken.

Och nu i detalj om var och en av dem, varefter, som en del av vårt ämne, kommer det bara att förbli att hantera omvandlingen av uttryck med variabler under tecknen på logaritmer.

Urval av grader under tecknet på logaritmen och i grunden

Låt oss börja omedelbart från exemplet. Låt oss vara logaritm. Självklart, i detta form, behöver dess struktur inte använda logaritms egenskaper. Är det möjligt att på något sätt omvandla detta uttryck för att förenkla det, och ännu bättre beräkna sitt värde? För att svara på den här frågan, låt oss noga i antal 81 och 1/9 i samband med vårt exempel. Det är lätt att notiskt här att dessa siffror tillåter representation av graden av nummer 3, faktiskt 81 \u003d 3 4 och 1/9 \u003d 3 -2. I det här fallet presenteras den ursprungliga logaritmen i formen och möjligheten att tillämpa formeln . Så, .

En analys av det demonterade exemplet skapar följande tanke: Om möjligt kan du försöka markera graden under loggaritmens tecken och i sin grund för att tillämpa logaritmen eller dess konsekvens. Det är bara att ta reda på hur man fördelar dessa grader. Låt oss ge några rekommendationer om denna fråga.

Ibland är det ganska uppenbart att numret under loggaritmens tecken och / eller i sin stiftelse är några av hela graden som i exemplet ovan. Praktiskt taget ständigt måste hantera detekter av TWOS, som var väl genomtänkt: 4 \u003d 2 2, 8 \u003d 2 3, 16 \u003d 2 4, 32 \u003d 2 5, 64 \u003d 2 6, 128 \u003d 2 7, 256 \u003d 2 8 , 512 \u003d 2 9, 1024 \u003d 2 10. Detta kan sägas om graden av trippel: 9 \u003d 3 2, 27 \u003d 3 3, 81 \u003d 3 4, 243 \u003d 3 5, ... i allmänhet gör det inte ont om det kommer att vara före våra ögon tabell av grader av naturliga nummer inom ett dussin. Det är inte heller svårt att arbeta med heltal grader av tio, hundra tusentals etc.

Exempel.

Beräkna värdet eller förenkla uttrycket: a) Log 6 216, b), c) Log 0.000001 0,001.

Beslut.

a) Det är uppenbart att 216 \u003d 6 3, därför logg 6 216 \u003d log 6 6 3 \u003d 3.

b) Tabell av grader av naturliga tal gör det möjligt att presentera siffror 343 och 1/243 i form av grader 7 3 respektive 3-4. Därför är det möjligt att följa följande omvandling av en given logaritm:

c) som 0,000001 \u003d 10 -6 och 0,001 \u003d 10-3, sedan log 0.000001 0.001 \u003d Log 10 -6 10 -3 \u003d (- 3) / (- 6) \u003d 1/2.

Svar:

a) Log 6 216 \u003d 3, b) , c) Log 0.000001 0.001 \u003d 1/2.

I mer komplexa fall, för att markera graderna av siffror måste tillgripa.

Exempel.

Konvertera uttrycket till en enklare typ av logg 3 648 · Log 2 3.

Beslut.

Låt oss se vad som är en sönderdelning av ett antal 648 per enkla faktorer:

Det vill säga 648 \u003d 2 3 · 3 4. På det här sättet, log 3 648 · Log 2 3 \u003d Log 3 (2 3 · 3 4) · Log 2 3.

Nu omvandlar logaritmen för verk i mängden logaritmer, varefter egenskaperna hos logaritmen i graden är tillämpliga:
log 3 (2 3 · 3 4) · Log 2 3 \u003d (Log 3 2 3 + Log 3 3 4) · Log 2 3 \u003d
\u003d (3 · Log 3 2 + 4) · Log 2 3.

På grund av undersökningen från den logaritms egendom till vilken formeln är ansvarig Produktlog32 · Log23 är ett arbete, och det är känt att vara en. Med tanke på det får vi 3 · Log 3 2 · Log 2 3 + 4 · Log 2 3 \u003d 3 · 1 + 4 · Log 2 3 \u003d 3 + 4 · Log 2 3.

Svar:

log 3 648 · Log 2 3 \u003d 3 + 4 · Log 2 3.

Ofta är uttryck under logaritmskylten och i sin stiftelse verk eller förhållanden av rötter och / eller grader av vissa nummer, till exempel. Sådana uttryck kan representeras som en examen. För detta, övergången från rötter till grader och tillämpas. Dessa omvandlingar tillåter dig att lyfta fram grader under logaritmskylten och i sin bas, varefter du tillämpar logaritms egenskaper.

Exempel.

Beräkna: A) , b).

Beslut.

a) Uttrycket vid basen av logaritmen är produkten av grader med samma baser, enligt lämplig egenskap av grader, har vi 5 2 · 5 -0,5 · 5 -1 \u003d 5 2-0,5-1 \u003d 5 0,5.

Nu omvandlar vi fraktionen under loggaritmens tecken: vi vänder från roten till examen, varefter vi kommer att använda grader av grader med samma grunder: .

Det återstår att ersätta de resultat som erhållits i det ursprungliga uttrycket, använd formeln och avsluta omvandlingar:

b) Eftersom 729 \u003d 3 6 och 1/9 \u003d 3 -2, kan det initiala uttrycket omskrivas i formen.

Därefter, använd egenskapen hos roten från examen, vi utför övergången från roten till examen och använder examen för att konvertera logaritmen till examen: .

Med tanke på det sista resultatet har vi .

Svar:

men) , b).

Det är uppenbart att i allmänhet, för att erhålla grader under loggaritmens tecken och, i sin grund, kan olika omvandlingar av olika uttryck krävas. Vi ger ett par exempel.

Exempel.

Vad är värdet av uttrycket: a) b) .

Beslut.

Därför noterar vi att det angivna uttrycket har form av logg A B P, där A \u003d 2, B \u003d X + 1 och P \u003d 4. Numeriska uttryck av sådant slag omvandlades vi av egenskapen hos logaritmen i den utsträckning logg ABP \u003d P · Log AB, därför med ett givet uttryck, jag vill göra detsamma som och från logg 2 (x + 1) 4 Gå till 4 · Log 2 (x + 1). Och nu låt oss beräkna värdet av det initiala uttrycket och uttrycket erhållet efter transformationen, t ex med X \u003d -2. Har logg 2 (-2 + 1) 4 \u003d log 2 1 \u003d 0, och 4 · Log 2 (-2 + 1) \u003d 4 · Log 2 (-1) - Ej menande uttryck. Detta orsakar en naturlig fråga: "Vad gjorde vi fel"?

Och orsaken är följande: Vi utförde omvandlingsloggen 2 (X + 1) 4 \u003d 4 · Log 2 (X + 1), baserat på formel Log Abp \u003d P · Log AB, men vi har rätt att tillämpa detta Formel endast när villkoret a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, p - vilket giltigt antal. Det vill säga, omvandlingen som görs av oss äger rum om X + 1\u003e 0, vilket är samma X\u003e -1 (för A och P - villkoren är gjorda). I vårt fall består dock OTZ-variabeln X för det ursprungliga uttrycket inte bara från intervallet X\u003e -1, men också från perioden X<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Behovet av att ta hänsyn till ...

Vi kommer att fortsätta att demontera omvandlingen av logg 2 (x + 1) 4 valda uttryck av oss, och nu låt oss se vad som händer med OTZ när du flyttar till uttryck 4 · Log 2 (x + 1). I föregående stycke fann vi även källuttryck - det här är en uppsättning (-∞, -1) ∪ (-1, + ∞). Nu hittar vi området med tillåtna värden på variabeln X för expression 4 · Log 2 (x + 1). Det bestäms av tillståndet X + 1\u003e 0, vilket motsvarar uppsättningen (-1, + ∞). Självklart, när man flyttar från logg 2 (x + 1) 4 till 4 · log 2 (x + 1), inträffar området med giltiga värden. Och vi kom överens om att undvika omvandlingar som ledde till minskning av OTZ, eftersom detta kan leda till olika negativa konsekvenser.

Det är värt att notera här för dig själv att det är användbart att styra OTZ vid varje steg i omvandlingen och förhindra att det är smalande. Och om plötsligt, vid ett steg av omvandlingen, var det en smalning av OST, då är det värt att se mycket noga och om denna omvandling är tillåten och om vi har rätt att utföra det.

Låt oss till exempel säga att det i praktiken är nödvändigt att arbeta med uttryck, vars OTZ-variabler är sådana att, vid utförande av omvandlingar, använder de aktuella egenskaperna utan begränsningar i den form som redan är känd för oss, och båda från vänster till höger och höger till vänster. Du blir snabbt van vid det, och du börjar utföra transformationer mekaniskt, utan att tänka, och om det var möjligt att utföra dem. Och vid sådana stunder, som utsläppt, slipper mer komplexa exempel där den felaktiga användningen av egenskaperna hos logaritmer leder till fel. Så du måste alltid vara på en check, och följer att det inte finns någon smalning av OTZ.

Det gör inte ont separat Välj de viktigaste omvandlingarna baserat på logaritms egenskaper som måste utföras mycket noggrant, vilket kan leda till en smalning av OTZ, och som ett resultat - till fel:

Några omvandlingar av uttryck enligt logaritms egenskaper kan leda till den inverse - expansionen av OTZ. Till exempel expanderar övergången från 4 · log 2 (x + 1) till logg 2 (x + 1) 4 udda från uppsättningen (-1, + ∞) till (-∞, -1) ∪ (-1, + ∞). Sådana omvandlingar uppstår om de är kvar i ODZD för det ursprungliga uttrycket. Så den enda nämnda omvandlingen 4 · log 2 (x + 1) \u003d log 2 (x + 1) 4 sker på OTZ-variabeln X för det ursprungliga expressionen 4 · Log 2 (X + 1), det vill säga med X + 1\u003e 0, som är densamma (-1, + ∞).

Nu när vi diskuterade de nyanser för vilka du behöver vara uppmärksam på när man konverterar uttryck med variabler med hjälp av logaritms egenskaper, är det fortfarande att räkna ut hur korrekt dessa omvandlingar behöver utföras.

X + 2\u003e 0. Fungerar det i vårt fall? För att svara på den här frågan, ta en titt på OTZ-variabeln X. Det bestäms av ojämlikhetssystemet vilket motsvarar villkoret x + 2\u003e 0 (om det behövs, se artikeln lösning av ojämlikhetssystem). Således kan vi lugnt tillämpa logaritm-egenskapen.

Ha
3 · Lg (x + 2) 7-lg (x + 2) -5 · lg (x + 2) 4 \u003d
\u003d 3 · 7 · LG (x + 2) -lg (x + 2) -5 · 4 · lg (x + 2) \u003d
\u003d 21 · lg (x + 2) -lg (x + 2) -20 · lg (x + 2) \u003d
\u003d (21-1-20) · lg (x + 2) \u003d 0.

Du kan agera och annars kan gynnen med OTZ göra det, till exempel:

Svar:

3 · LG (x + 2) 7-lg (x + 2) -5 · lg (x + 2) 4 \u003d 0.

Och vad ska man göra när villkoren för de medföljande egenskaperna hos logaritmer inte är uppfyllda? Vi kommer att ta itu med detta på exemplen.

Antag från oss för att förenkla uttrycket LG (x + 2) 4-lg (x + 2) 2. Transformationen av detta uttryck, i motsats till uttrycket från föregående exempel, tillåter inte loggaritmgraden. Varför? OTZ-variabel X I detta fall är en kombination av två luckor x\u003e -2 och x<−2 . При x>-2 Vi kan lugnt tillämpa logaritm-egenskapen och agera som demonterad ovan: lg (x + 2) 4-lg (x + 2) 2 \u003d 4 · lg (x + 2) -2 · lg (x + 2) \u003d 2 · lg (x + 2). Men OTZ innehåller en annan period av X + 2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к lG (- | x + 2 |) 4-lg (- | x + 2 |) 2 Och vidare med kraft av examensegenskaper till LG | x + 2 | 4-lg | x + 2 | 2. Det resulterande uttrycket kan omvandlas av logaritm-egenskapen, sedan | x + 2 |\u003e 0 för alla värden av variabeln. Ha lG | x + 2 | 4-lg | x + 2 | 2 \u003d 4 · LG | x + 2 | -2 · lg | x + 2 | \u003d 2 · lg | x + 2 |. Nu kan du frigöra dig från modulen, som han gjorde sitt jobb. Eftersom vi leder omvandling vid x + 2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Tänk på ett annat exempel så att arbetet med moduler har blivit bekant. Låt vi ha tänkt från uttrycket Gå till summan och skillnaden mellan logariterna av linjära studs X-1, X-2 och X-3. Först hittar vi ...

Vid intervallet (3, + ∞) är värdena för uttryck x-1, x-2 och x-3 positiva, så vi tillämpar lugnt egenskaperna hos logaritmen av summor och skillnader:

Och på intervallet (1, 2) är värdena för uttrycket X-1 positiva, och värdena av uttryck X-2 och X-3 är negativa. Därför, i det aktuella intervallet, presenterar vi X-2 och X-3 med modulen som - X-2 | och - | X-3 | respektive. Vart i

Nu kan du tillämpa egenskaperna hos logaritmen för arbetet och privat, eftersom det är på intervallet (1, 2) värdena av uttryck x-1, | x-2 | och | X-3 | - Positiv.

Ha

Resultaten kan kombineras:

I allmänhet tillåter liknande argument logaritmformlerna på grundval av logaritmen, relationer och grader för att erhålla tre praktiskt användbara resultat, vilket är ganska lämpligt att använda:

• Logaritmen fungerar av två godtyckliga uttryck x och y av typen av logg A (x · y) kan ersättas med den summabel logaritmlogg A | x | + logga a | y | , A\u003e 0, A ≠ 1.
• Logaritm Privat Log A (X: Y) kan ersättas med skillnaden mellan logaritmer Logga a | x | -log a | y | , A\u003e 0, A ≠ 1, X och Y - godtyckliga uttryck.
• Från logaritmen för något uttryck B i en jämn grad P i loggen A B P-formuläret kan du gå till uttrycket P · Logga A | B | , där A\u003e 0, A ≠ 1, p är ett jämnt tal och B - ett godtyckligt uttryck.

Liknande resultat ges till exempel i instruktioner för att lösa indikativa och logaritmiska ekvationer i samlingen av problem i matematik för sökande till universitet under redaktörerna i M. I. Scanavi.

Exempel.

Förenkla uttryck .

Beslut.

Det skulle vara bra att tillämpa logaritmens egenskaper, mängder och skillnader. Men kan vi göra det här? För att svara på den här frågan måste vi veta OTZ.

Vi definierar det:

Det är ganska uppenbart att uttrycken x + 4, x-2 och (x + 4) 13 på värdena för de tillåtna värdena för variabeln X kan ta både positiva och negativa värden. Därför måste vi agera genom moduler.

Modulens egenskaper tillåter dig att skriva om som därför

Också hindrar ingenting från logaritmsegenskapen, vilket ger liknande villkor för att:

Den andra sekvensen av transformationer leder till samma resultat:

Och eftersom uttrycket X-2 kan ta både positiva och negativa värden, då vid inlämning av en jämn grad på 14