Den naturliga logaritmen för den naturliga logaritmen är lika med. Egenskaper för naturliga logaritmer: graf, bas, funktioner, gräns, formler och domän

LN-funktionen i Excel är utformad för att beräkna den naturliga logaritmen för ett tal och returnerar motsvarande numeriskt värde. Den naturliga logaritmen är basen e-logaritmen (ett Eulertal på ungefär 2,718).

LOG-funktionen i Excel används för att beräkna logaritmen för ett tal, medan basen för logaritmen kan anges explicit som det andra argumentet till denna funktion.

Funktionen LOG10 i Excel är utformad för att beräkna logaritmen för ett tal med basen 10 (decimallogaritm).

Exempel på användning av funktionerna LN, LOG och LOG10 i Excel

Arkeologer har hittat resterna av ett gammalt djur. För att bestämma deras ålder beslutades det att använda metoden för radiokolanalys. Som ett resultat av mätningar visade det sig att halten av den radioaktiva isotopen C 14 var 17 % av den mängd som vanligtvis finns i levande organismer. Beräkna åldern på resterna om halveringstiden för kol 14-isotopen är 5760 år.

Vy över den ursprungliga tabellen:

Vi använder följande formel för att lösa:

Denna formel erhölls baserat på formeln x=t*(lgB-lgq)/lgp, där:

q är mängden kolisotop i det initiala ögonblicket (vid djurets dödsögonblick), uttryckt som en enhet (eller 100%);
B är mängden av isotopen vid tidpunkten för analysen av resterna;
t är isotopens halveringstid;
p är ett numeriskt värde som anger hur många gånger mängden av ett ämne (kolisotop) förändras under en tidsperiod t.

Som ett resultat av beräkningar får vi:

De funna lämningarna är nästan 15 tusen år gamla.

Inlåningsräknare med ränta i Excel

En bankklient gjorde en insättning på 50 000 rubel med en ränta på 14,5% (sammansatt ränta). Bestäm hur lång tid det tar att fördubbla det investerade beloppet?

Intressant fakta! För snabbt beslut För detta problem kan du använda den empiriska metoden för att approximera tidsramen (i år) för att fördubbla investeringar investerade till sammansatt ränta. Den så kallade regeln 72 (eller 70 eller regel 69). För att göra detta måste du använda en enkel formel - talet 72 dividerat med räntan: 72 / 14,5 \u003d 4,9655 år. Den största nackdelen med regeln om det "magiska" numret 72 är felet. Ju högre ränta, desto högre är felet i regel 72. Till exempel, med en ränta på 100 % per år når felet i år upp till 0,72 (och procentuellt sett är det hela 28 %!).

För att exakt beräkna tidpunkten för fördubbling av investeringar kommer vi att använda LOGG-funktionen. För det första, låt oss kontrollera felet i regel 72 vid en ränta på 14,5 % per år.

Vy över den ursprungliga tabellen:

För att beräkna det framtida värdet av en investering till en känd ränta kan du använda följande formel: S=A(100%+n%) t , där:

S är det förväntade beloppet i slutet av terminen;
A är insättningsbeloppet;
n - ränta;
t är tiden för att hålla insättningsmedel på banken.

För det här exemplet kan den här formeln skrivas som 100000=50000*(100%+14,5%) t eller 2=(100%+14,5%) t . Sedan, för att hitta t, kan du skriva om ekvationen som t=log (114,5%) 2 eller t=log 1,1452 .

För att hitta värdet på t skriver vi följande formel för sammansatt ränta på en insättning i Excel:

LOGG(B4/B2;1+B3)

Beskrivning av argument:

B4/B2 - förhållandet mellan de förväntade och initiala beloppen, vilket är en indikator på logaritmen;
1+B3 - räntevinst (basen för logaritmen).

Som ett resultat av beräkningar får vi:

Insättningen kommer att fördubblas efter lite över 5 år. För exakt definitionår och månader använder vi formeln:

Funktionen SELECT kasserar allt efter decimalkomma i ett bråktal, liknande funktionen INTEGER. Skillnaden mellan funktionerna SELECT och HEL är endast i beräkningar med negativa bråktal. Dessutom har OTBR ett andra argument där du kan ange antalet decimaler som ska lämnas. Därför kan du i det här fallet använda någon av dessa två funktioner efter användarens val.

Det blev 5 år och 1 månad och 12 dagar. Låt oss nu jämföra de exakta resultaten med regeln 72 och bestämma mängden fel. För det här exemplet är formeln:

Vi måste multiplicera värdet på cell B3 med 100 eftersom dess nuvarande värde är 0,145, vilket visas i procent. Som ett resultat:

Efter att vi kopierat formeln från cell B6 till cell B8 och i cell B9:

Låt oss beräkna feltermerna:

Kopiera sedan formeln från cell B6 igen i cell B10. Som ett resultat får vi skillnaden:

Och slutligen, låt oss beräkna den procentuella skillnaden för att kontrollera hur storleken på avvikelsen förändras och hur avsevärt ökningen av räntan påverkar nivån på avvikelsen mellan regel 72 och faktum:

Nu, för att visualisera det proportionella beroendet av ökningen av felet och ökningen av räntenivån, kommer vi att höja räntan till 100% per år:

Vid första anblicken är skillnaden i fel inte signifikant jämfört med 14,5% per år - bara cirka 2 månader och 100% per år - inom 3 månader. Men andelen fel i återbetalningstiden är mer än ¼, eller snarare 28 %.

Låt oss göra en enkel graf för visuell analys av hur beroendet av förändringen i räntan och procentandelen av felet i regel 72 korrelerar med faktum:

Ju högre ränta, desto sämre fungerar regel 72. Som ett resultat kan vi dra följande slutsats: upp till 32,2 % per år kan du säkert använda regel 72. Då är felet mindre än 10 procent. Det kommer att fungera om korrekta, men komplexa beräkningar av återbetalningstiden för investeringar med 2 gånger inte krävs.

Kalkylator för investeringssammansatta räntesatser med kapitalisering i Excel

Bankklienten erbjöds att göra en insättning med en kontinuerlig ökning av det totala beloppet (aktivering med sammansatt ränta). Räntan är 13 % per år. Bestäm hur lång tid det tar att tredubbla det ursprungliga beloppet (250 000 rubel). Hur mycket ska räntan höjas för att halvera väntetiden?

Obs: eftersom vi är inne detta exempel vi tredubblar mängden investeringar, då fungerar inte regel 72 här.

Vy över den ursprungliga datatabellen:

Kontinuerlig tillväxt kan beskrivas med formeln ln(N)=p*t, där:

N är förhållandet mellan det slutliga insättningsbeloppet och det initiala;
p är räntan;
t är antalet år som har gått sedan insättningen gjordes.

Då t=ln(N)/p. Baserat på denna likhet skriver vi formeln i Excel:

Beskrivning av argument:

B3/B2 - förhållandet mellan det slutliga och initiala beloppet för insättningen;
B4 - ränta.

Det kommer att ta nästan 8,5 år att tredubbla det ursprungliga insättningsbeloppet. För att beräkna hastigheten som kommer att halvera väntetiden använder vi formeln:

LN(B3/B2)/(0,5*B5)

Resultat:

Det vill säga det är nödvändigt att fördubbla den initiala räntan.

Funktioner för att använda funktionerna LN, LOG och LOG10 i Excel

LN-funktionen har följande syntax:

LN(tal)

nummer är det enda obligatoriska argumentet som accepterar reella tal från en rad positiva värden.

Anmärkningar:

LN-funktionen är den omvända funktionen av EXP. Den senare returnerar värdet som erhållits genom att höja talet e till den angivna potensen. LN-funktionen anger den potens till vilken talet e (bas) måste höjas för att få logaritmexponenten (talargumentet).
Om talargumentet är ett tal i intervallet negativa värden eller noll, är resultatet av LN-funktionen felkoden #NUM!.

Syntaxen för LOG-funktionen är som följer:

LOG(tal ;[bas])

Beskrivning av argument:

nummer - ett obligatoriskt argument som kännetecknar det numeriska värdet av logaritmexponenten, det vill säga talet som erhålls som ett resultat av att höja basen av logaritmen till en viss potens, som kommer att beräknas av LOG-funktionen;
[bas] är ett valfritt argument som kännetecknar det numeriska värdet på basen för logaritmen. Om argumentet inte är explicit specificerat, antas logaritmen vara decimal (det vill säga basen är 10).

Anmärkningar:

Även om resultatet av LOG-funktionen kan vara ett negativt tal (till exempel funktionen =LOG(2;0,25) returnerar -0,5), måste argumenten till denna funktion tas från intervallet med positiva värden. Om något av argumenten är ett negativt tal, returnerar LOG-funktionen #NUM!-felkoden.
Om 1 skickas som [bas]-argument kommer LOG-funktionen att returnera #DIV/0!-felkoden, eftersom resultatet av att höja 1 till valfri potens alltid kommer att vara detsamma och lika med 1.

Funktionen LOG10 har följande syntaxnotation:

LOG10(nummer)

nummer är det enda och obligatoriska argumentet, vars betydelse är identisk med argumentet med samma namn för funktionerna LN och LOG.

Obs: Om ett negativt tal eller 0 skickades som talargument, returnerar funktionen LOG10 felkoden #NUM!.

Lektion och presentation om ämnena: "Naturliga logaritmer. Bas av en naturlig logaritm. Logaritm av ett naturligt tal"

Ytterligare material
Kära användare, glöm inte att lämna dina kommentarer, feedback, förslag! Allt material kontrolleras av ett antivirusprogram.

Läromedel och simulatorer i webbutiken "Integral" för årskurs 11
Interaktiv manual för årskurs 9-11 "Trigonometri"
Interaktiv manual för årskurs 10-11 "Logarithms"

Vad är naturlig logaritm

Killar, på den senaste lektionen lärde vi oss ett nytt, speciellt nummer - e. Idag kommer vi att fortsätta arbeta med detta nummer.
Vi har studerat logaritmer och vi vet att basen för logaritmen kan vara en uppsättning tal som är större än 0. Idag kommer vi också att betrakta logaritmen, som bygger på talet e. En sådan logaritm brukar kallas den naturliga logaritmen . Den har sin egen notation: $\ln(n)$ är den naturliga logaritmen. Denna notation motsvarar: $\log_e(n)=\ln(n)$.
De exponentiella och logaritmiska funktionerna är inversa, då är den naturliga logaritmen inversen av funktionen: $y=e^x$.
Inversa funktioner är symmetriska med avseende på den räta linjen $y=x$.
Låt oss plotta den naturliga logaritmen genom att plotta exponentialfunktionen med avseende på den räta linjen $y=x$.

Det är värt att notera att lutningen för tangenten till grafen för funktionen $y=e^x$ i punkten (0;1) är 45°. Då kommer lutningen för tangenten till grafen för den naturliga logaritmen vid punkten (1; 0) också att vara lika med 45°. Båda dessa tangenter kommer att vara parallella med linjen $y=x$. Låt oss skissa tangenterna:

Egenskaper för funktionen $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Är varken jämnt eller udda.
3. Ökar över hela definitionsdomänen.
4. Inte begränsat från ovan, inte begränsat underifrån.
5. Det finns inget maxvärde, det minsta värdet Nej.
6. Kontinuerlig.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Konvexa uppåt.
9. Differentiera överallt.

Under högre matematik har det bevisats derivatan av en invers funktion är den reciproka av derivatan av den givna funktionen.
Det är inte så meningsfullt att fördjupa sig i beviset, låt oss bara skriva formeln: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Exempel.
Beräkna värdet på derivatan av funktionen: $y=\ln(2x-7)$ vid punkten $x=4$.
Lösning.
I allmän syn vår funktion representerar funktionen $y=f(kx+m)$, vi kan beräkna derivatan av sådana funktioner.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Låt oss beräkna värdet på derivatan vid den nödvändiga punkten: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Svar: 2.

Exempel.
Rita en tangent till grafen för funktionen $y=ln(x)$ i punkten $x=e$.
Lösning.
Ekvationen för tangenten till grafen för funktionen, vid punkten $x=a$, minns vi väl.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Låt oss sekventiellt beräkna de erforderliga värdena.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Tangentekvationen i punkten $x=e$ är funktionen $y=\frac(x)(e)$.
Låt oss plotta den naturliga logaritmen och tangenten.

Exempel.
Undersök funktionen för monotonitet och extrema: $y=x^6-6*ln(x)$.
Lösning.
Domän för funktionen $D(y)=(0;+∞)$.
Hitta derivatan av den givna funktionen:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Derivatan finns för alla x från definitionsdomänen, då finns det inga kritiska punkter. Låt oss hitta stationära punkter:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Punkten $х=-1$ tillhör inte definitionsdomänen. Då har vi en stationär punkt $х=1$. Hitta intervallen för ökning och minskning:

Punkten $x=1$ är minimipunkten, sedan $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Svar: Funktionen minskar på segmentet (0;1), funktionen ökar på strålen $)