Denna artikel diskuterar hur man hittar värdena för matematiska uttryck. Låt oss börja med enkla numeriska uttryck och då kommer vi att överväga fall eftersom de ökar deras komplexitet. I slutet ger vi ett uttryck som innehåller brevmärke, fästen, rötter, speciella matematiska tecken, grader, funktioner, etc. All teori, enligt tradition, leverera rikliga och detaljerade exempel.

Yandex.rtb r-a-339285-1

Hur man hittar ett värde av ett numeriskt uttryck?

Numeriska uttryck, bland annat, hjälper till att beskriva problemet med det matematiska språket. Alls matematiska uttryck Det kan vara både mycket enkelt, bestående av ett par siffror och aritmetiska tecken, och mycket komplexa, innehållande funktioner, grader, rötter, parentes, etc. Som en del av uppgiften är det ofta nödvändigt att hitta ett värde av ett visst uttryck. Om hur man gör det, och kommer att diskuteras nedan.

Enklaste fall

Dessa fall när uttrycket inte innehåller något, med undantag för siffror och aritmetiska åtgärder. För att framgångsrikt hitta värdena för sådana uttryck behöver du kunskap om förfarandet för att utföra aritmetiska åtgärder utan parentes, liksom förmågan att utföra åtgärder med olika tal.

Om det bara finns siffror och aritmetiska tecken "+", "·", "-", "÷", "," - "," ÷ ", utförs åtgärderna från vänster till höger i nästa beställning: Första, multiplikation och division, sedan tillägg och subtraktion. Vi ger exempel.

Exempel 1. Numeriskt uttrycksvärde

Låt det vara nödvändigt att hitta värdena för uttryck 14 - 2 × 15 ÷ 6 - 3.

Utför första multiplikation och division. Vi får:

14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 \u003d 14 - 30 ÷ 6 - 3 \u003d 14 - 5 - 3.

Nu utför vi subtraktionen och få det slutliga resultatet:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Exempel 2. Numeriskt uttrycksvärde

Beräkna: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Först genomför vi omvandlingen av fraktioner, division och multiplikation:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 \u003d 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12 \u003d 1 2 - (- 14) + 2 3 · 4 11 · 11 12 \u003d 1 2 - (- 14) + 2 9.

Nu kommer vi att ta itu med missbruk och subtraktion. Groutera fraktionen och ge dem till en gemensam nämnare:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Det önskade värdet finns.

Uttryck med parentes

Om uttrycket innehåller konsoler bestämmer de proceduren i detta uttryck. För det första utförs åtgärder inom parentes, och sedan alla andra. Visa det på exemplet.

Exempel 3. Numeriskt uttrycksvärde

Hitta uttrycksvärdet på 0, 5 · (0, 76 - 0, 06).

I uttrycket finns det fästen, så först utföra driften av subtraktion i parentes, och endast senare multiplikation.

0, 5 · (0, 76 - 0, 06) \u003d 0, 5 · 0, 7 \u003d 0, 35.

Värdet av uttryck som innehåller parentes i parentes ligger på samma princip.

Exempel 4. Numeriskt uttrycksvärde

Vi beräknar värdet på 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4.

Utför åtgärder kommer att börja med de mest inre parenteserna, flytta till extern.

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 \u003d 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4 \u003d 1 + 2 · 1 + 2 · 2, 5 \u003d 1 + 2 · 6 \u003d 13.

För att hitta värden av uttryck med parentes är det viktigaste att följa sekvensen av åtgärder.

Uttryck med rötter

Matematiska uttryck vars värderingar vi behöver hitta kan innehålla rotskyltar. Dessutom kan uttrycket i sig under roten på roten. Hur ska man vara i det här fallet? Först måste du hitta värdet av uttrycket under roten och ta sedan bort roten från det erhållna numret som ett resultat. Om möjligt från rötterna i numeriska uttryck är det bättre att bli av med att ersätta från numeriska värden.

Exempel 5. Numeriskt uttrycksvärde

Beräkna värdet av uttrycket med rötterna - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Först beräkna matningsuttrycken.

2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 \u003d - 6 - 1 + 15 3 \u003d 8 3 \u003d 2

2, 2 + 0, 1 · 0, 5 \u003d 2, 2 + 0, 05 \u003d 2, 25 \u003d 1, 5.

Nu kan du beräkna värdet av hela uttrycket.

2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5 \u003d 2 + 3 · 1, 5 \u003d 6, 5

Ofta att hitta värdet av uttryck med rötter behöver ofta först utföra omvandlingen av det ursprungliga uttrycket. Låt oss förklara det för ett annat exempel.

Exempel 6. Numeriskt uttrycksvärde

Hur många kommer att vara 3 + 1 3 - 1 - 1

Som du kan se har vi inte möjlighet att ersätta roten med ett exakt värde som komplicerar kontotrocessen. I det här fallet kan du dock tillämpa formeln för förkortad multiplikation.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

På det här sättet:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Uttryck med grader

Om det finns grader i uttryck måste deras värden beräknas innan de börjar alla andra åtgärder. Det händer att indikatorn själv eller grunden för graden är uttryck. I det här fallet beräknar först värdet av dessa uttryck, och sedan värdet av graden.

Exempel 7. Värdet av ett numeriskt uttryck

Hitta värdet av uttryck 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Vi börjar beräkna i ordning.

2 3 · 4 - 10 \u003d 2 12 - 10 \u003d 2 2 \u003d 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 \u003d 16 * 0, 5 3 \u003d 16 · 1 8 \u003d 2.

Det är bara att utföra operationstillägget och ta reda på värdet av uttrycket:

2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 \u003d 4 + 2 \u003d 6.

Det är också ofta lämpligt att förenkla uttryck med hjälp av examensegenskaperna.

Exempel 8. Numeriskt uttrycksvärde

Beräkna värde nästa uttryck: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6.

Indikatorerna för grader är återigen så att deras exakta numeriska värden inte kommer att kunna ta emot. Förenkla det ursprungliga uttrycket för att hitta sitt värde.

2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 \u003d 2 - 2 5 · 2 2 5 - 1 + 3 1 3 · 6

2 - 2 5 · 2 2 5 - 1 + 3 1 3 · 6 \u003d 2 - 2 5 · 2 2 · 5 - 2 + 3 2 \u003d 2 2 · 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 · 5 - 2 - 2 5 + 3 2 \u003d 2 - 2 + 3 \u003d 1 4 + 3 \u003d 3 1 4

Uttryck med fraktioner

Om uttrycket innehåller en fraktion, då vid beräkning av ett sådant uttryck, ska alla fraktionerna representeras i form av vanliga fraktioner och beräkna deras värden.

Om uttryck är närvarande i täljaren och denominatorn beräknas värdena för dessa uttryck, och det slutliga värdet av själva fraktionen är skrivet. Aritmetiska åtgärder utförs i standardordern. Tänk på lösningen av exemplet.

Exempel 9. Numeriskt uttrycksvärde

Hitta värdet av uttrycket som innehåller fraktionen: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Som du kan se finns det tre fraktioner i det första uttrycket. Vi beräknar sina värden först.

3, 2 2 \u003d 3, 2 ÷ 2 \u003d 1, 6

7 - 2 · 3 6 \u003d 7 - 6 6 \u003d 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 \u003d 1 + 2 + 3 9 - 3 \u003d 6 6 \u003d 1.

Vi skriver om vårt uttryck och beräknar sitt värde:

1, 6 - 3 · 1 6 ÷ 1 \u003d 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 \u003d 1, 1

Ofta, när man uttrycker värden är det lämpligt att minska fraktioner. Det finns en kontrollerad regel: vilket uttryck som helst innan det finnas värde är bäst att förenkla det maximala, vilket reducerar alla beräkningar till de enklaste fallen.

Exempel 10. Numeriskt uttrycksvärde

Vi beräknar uttrycket 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Vi kan inte höja roten på fem, men vi kan förenkla det första uttrycket genom omvandlingar.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Det ursprungliga uttrycket tar formen:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Beräkna värdet av detta uttryck:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Uttryck med logaritmer

När logaritmer är närvarande i uttrycket, beräknas deras värde om möjligt från början. Till exempel, i expressionsloggen 2 4 + 2 · 4 kan du omedelbart skriva värdet av den här logaritmen och sedan utföra alla åtgärder. Vi erhåller: log 2 4 + 2 · 4 \u003d 2 + 2 · 4 \u003d 2 + 8 \u003d 10.

Under tecknet på logaritmen själv och i sin grund kan det också finnas numeriska uttryck. I det här fallet är det första är deras betydelser. Ta uttrycket Log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Vi har:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 \u003d Log 3 27 + 7 \u003d 3 + 7 \u003d 10.

Om det är omöjligt att beräkna det exakta värdet av logaritmen, bidrar förenklingen av uttrycket att hitta sitt värde.

Exempel 11. Numeriskt uttrycksvärde

Vi hittar värdet av expressionsloggen 2 Log 2 256 + Log 6 2 + Log 6 3 + Log 5 729 Log 0, 2 27.

log 2 Log 2 256 \u003d Log 2 8 \u003d 3.

Av logaritms egendom:

log 6 2 + Log 6 3 \u003d Log 6 (2 · 3) \u003d Log 6 6 \u003d 1.

Rekommendera egenskaperna hos logaritmer, för den sista fraktionen i uttrycket vi får:

log 5 729 Log 0, 2 27 \u003d Log 5 729 Log 1 5 27 \u003d Log 5 729 - Log 5 27 \u003d - Log 27 729 \u003d - Log 27 27 2 \u003d - 2.

Nu kan du gå till beräkningen av värdet av det ursprungliga uttrycket.

log 2 Log 2 256 + Log 6 + Log 6 3 + Log 5 729 Log 0, 2 27 \u003d 3 + 1 + - 2 \u003d 2.

Uttryck med trigonometriska funktioner

Det händer att i uttrycket finns trigonometriska funktioner av sinus, cosinus, tangent och catangent, såväl som funktioner, vända dem. Från värdet beräknas innan du utför all annan aritmetisk åtgärd. Annars förenklas uttrycket.

Exempel 12. Numeriskt uttrycksvärde

Hitta värdet av uttrycket: T G 2 4 π 3 - SIN - 5 π 2 + COSπ.

Först beräkna värdena för de trigonometriska funktionerna som ingår i uttrycket.

sIN - 5 π 2 \u003d - 1

Vi ersätter värdena i uttrycket och beräkna dess värde:

t G 2 4 π 3 - SIN - 5 π 2 + COSπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Expressionsvärdet finns.

Ofta för att hitta värdet av uttryck med trigonometriska funktionerDet är förhandve det. Låt oss förklara på exemplet.

Exempel 13. Numeriskt uttrycksvärde

Det är nödvändigt att hitta värdet av uttrycket COS 2 π 8 - Sin 2 π 8 Cos 5 π 36 Cos π 9 - Sin 5 π 36 Sin π 9 - 1.

För konvertering, kommer vi att använda trigonometriska formler Cosuin dubbla vinkel och cosinus mängd.

cos 2 π 8 - Sin 2 π 8 Cos 5 π 36 Cos π 9 - Sin 5 π 36 Sin π 9 - 1 \u003d COS 2 π 8 COS 5 π 36 + π 9 - 1 \u003d COS π 4 COS π 4 - 1 \u003d 1 - 1 \u003d 0.

Allmänna fall av numeriskt uttryck

I allmän Trigonometriskt uttryck kan innehålla alla de ovan beskrivna elementen: Fästen, grader, rötter, logaritmer, funktioner. Formulera allmän regel hitta värderingar sådana uttryck.

Hur man hittar ett uttrycksvärde

1. Rötter, grader, logaritmer, etc. Ersatt med sina värden.
2. Åtgärder utförs i parentes.
3. De återstående åtgärderna utförs i ordning från vänster till höger. Första multiplikation och division, sedan tillsats och subtraktion.

Vi kommer att analysera ett exempel.

Exempel 14. Numeriskt uttrycksvärde

Beräkna, vad som är lika med värdet av uttrycket - 2 · synd π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

Uttrycket är ganska komplext och besvärligt. Vi valde inte av misstag ett sådant exempel, med beaktande av alla fall som beskrivits ovan. Hur man hittar betydelsen av ett sådant uttryck?

Det är känt att vid beräkning av värdet av en komplex fraktionerad vy, är det första separat värdena för fraktionens numerator och denominator. Vi kommer att konvertera och förenkla detta uttryck.

Först och främst beräknar vi värdet av matningsuttrycket 2 · Sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. För att göra detta måste du hitta värdet av sinus och uttryck, vilket är argumentet till en trigonometrisk funktion.

π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 \u003d π 6 + 2 · 2 π + 3 π 5 \u003d π 6 + 2 · 5 π 5 \u003d π 6 + 2 π

Nu kan du ta reda på värdet av sinus:

sIN π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 \u003d SIN π 6 + 2 π \u003d SIN π 6 \u003d 1 2.

Beräkna värdet av matningsuttrycket:

2 · Sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 \u003d 2 · 1 2 + 3 \u003d 4

2 · Sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 \u003d 4 \u003d 2.

Med denominatorn är fraktionen alltmer:

Nu kan vi skriva värdet av hela fraktionen:

2 · SIN π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 LN E 2 \u003d 2 2 \u003d 1.

Med detta i åtanke skriver vi ner allt uttryck:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Slutresultat:

2 · Sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 LN E 2 + 1 + 3 9 \u003d 27.

I det här fallet kunde vi beräkna de exakta värdena för rötterna, logaritmerna, bihålorna, etc. Om det inte finns någon sådan möjlighet kan du försöka bli av med dem med matematiska omvandlingar.

Beräkning av värden av uttryck med rationella metoder

Beräkna de numeriska värdena måste vara sekventiellt och snyggt. Denna process Du kan rationalisera och påskynda med olika egenskaper hos åtgärder med siffror. Det är till exempel känt att arbetet är noll om noll är lika med åtminstone en av multiplikatorerna. Med hänsyn till den här egenskapen kan du omedelbart säga att uttrycket 2 · 386 + 5 + 589 4 1 - Sin 3 π 4 · 0 är noll. Samtidigt är det inte alls nödvändigt att utföra åtgärder i den ordning som beskrivs i artikeln ovan.

Det är också bekvämt att använda avdragsgästen. lika många. Ej utförda åtgärder kan det beställas att värdet av uttryck 56 + 8-3, 789 ln e 2 - 56 + 8-3, 789 ln e 2 är också noll.

En annan teknik som låter dig påskynda processen - användningen av identiska omvandlingar, såsom en gruppering av termer och multiplikatorer och en gemensam faktor för parentes. Ett rationellt tillvägagångssätt för att beräkna uttryck med fraktioner är att minska samma uttryck i en täljare och denominator.

Till exempel tar vi uttryck 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 3 · 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4. Att inte utföra åtgärder inom parentes, men genom att minska fraktionen kan vi säga att värdet av uttrycket är 1 3.

Hitta värden av uttryck med variabler

Värdet av brevuttryck och uttryck med variabler är för specifika specificerade värden för bokstäver och variabler.

Hitta värden av uttryck med variabler

För att hitta värdet av brevuttryck och uttryck med variabler är det nödvändigt att ersätta de angivna värdena för bokstäverna och variablerna i det ursprungliga uttrycket, varefter det är möjligt att beräkna värdet av numret på det numeriska uttrycket.

Exempel 15. Värdet av uttrycket med variabler

Beräkna värdet av uttryck 0, 5 x - Y vid den angivna X \u003d 2, 4 och Y \u003d 5.

Vi ersätter värdena för variabler till uttrycket och beräkna:

0, 5 x - y \u003d 0, 5 · 2, 4 - 5 \u003d 1, 2 - 5 \u003d - 3, 8.

Ibland kan du konvertera ett uttryck för att få sitt värde oavsett värdena för bokstäverna och variablerna. För att göra detta, från bokstäver och variabler i uttryck, är det nödvändigt att bli av med möjligheten att använda identiska omvandlingar, egenskaper av aritmetisk åtgärd och alla möjliga andra sätt.

Exempelvis har uttrycket x + 3, uppenbarligen ett värde av 3, och att beräkna detta värde är det inte alls nödvändigt för att veta värdet av ICS-variabeln. Värdet av detta uttryck är tre för alla värden av exvariabeln från dess giltiga värden.

Ett annat exempel. Värdet av uttrycket x X är lika med en för alla positiva ICS.

Om du märker ett misstag i texten, välj det och tryck på CTRL + ENTER

Numeriska och algebraiska uttryck. Omvandling av uttryck.

Vad är ett uttryck i matematik? Varför behöver jag omvandlingar av uttryck?

Frågan är, som de säger, en intressant ... Faktum är att dessa begrepp är grunden för hela matematiken. All matematik består av uttryck och deras omvandlingar. Inte särskilt tydlig? Jag ska förklara.

Antag att du har ett ondt exempel. Mycket stor och mycket komplicerad. Antag att du är stark i matematik och är inte rädda för någonting! Kan du omedelbart svara?

Du måste lösa Detta exempel. Konsekvent steg för steg, det här exemplet förenkla. Förbi definierade reglerNaturligtvis. De där. do transformation av uttryck. Hur framgångsrik du kommer att spendera dessa omvandlingar, så mycket så starka i matematik. Om du inte vet hur man gör rätt omvandlingar, i matematik kan du inte göra det ingenting...

För att undvika en sådan obekväma framtid (eller nuvarande ...) hindrar det inte att förstå detta ämne.)

För att börja, ta reda på det vad är ett uttryck i matematik. Vad numeriskt uttryck Och vad är algebraiska uttryck.

Vad är ett uttryck i matematik?

Uttryck i matematik - Detta är ett mycket utbrett koncept. Nästan allt, som vi behandlar matematik är en uppsättning matematiska uttryck. Några exempel, formler, fraktioner, ekvationer och så vidare - det består av matematiska uttryck.

3 + 2 är ett matematiskt uttryck. c2 - D 2 - Detta är också ett matematiskt uttryck. Och en hälsosam fraktion, och till och med ett nummer är alla matematiska uttryck. Ekvation, till exempel, detta är:

5x + 2 \u003d 12

består av två matematiska uttryck som är kopplade till användarnamnet. Ett uttryck - till vänster, den andra är till höger.

I allmän termin " matematisk uttryck"Det används, oftast inte att tvätta. Stiga dig, vad är en vanlig fraktion, till exempel? Och hur man svarar?!

Första svaret: "Detta ... mmmm ... En sådan sak ... där ... Kan jag skriva ett bättre skott? Vilken typ av? "

Andra svaralternativ: " Vanlig fraktion - det (glatt och glatt!) matematisk uttryck som består av en täljare och denominator! "

Det andra alternativet kommer på något sätt att vara nöjda, eller hur?)

Här för detta ändamål frasen " matematisk uttryck "Mycket bra. Och rätt och Solid. Men för praktisk applikation behöver förstå väl specifika arter i matematik .

Specifika arter är en annan sak. Det andra saker! Varje typ av matematiska uttryck har sin egen En uppsättning regler och mottagningar som måste användas vid lösning. För att arbeta med fraktioner - en uppsättning. Att arbeta med trigonometriska uttryck - den andra. Att arbeta med logaritmer - den tredje. Etc. Någonstans sammanfaller dessa regler, någonstans - de skiljer sig kraftigt. Men var inte rädd för dessa hemska ord. Logaritmer, trigonometri och andra mystiska saker vi kommer att utforska i de relevanta avsnitten.

Här kommer vi att behärska (eller - upprepa någon som ...) Två huvudtyper av matematiska uttryck. Numeriska uttryck och algebraiska uttryck.

Numeriska uttryck.

Vad numeriskt uttryck? Detta är ett mycket enkelt koncept. Namnet antyder att detta är ett uttryck med siffror. Det är så det är. Ett matematiskt uttryck bestående av blandningar, fästen och märken av aritmetisk verkan kallas ett numeriskt uttryck.

7-3 - Numeriskt uttryck.

(8 + 3.2) · 5.4 - Också numeriskt uttryck.

Och detta monster:

också numeriskt uttryck, ja ...

Det vanliga numret, fraktionen, något exempel på att beräkna utan IC och andra bokstäver är alla numeriska uttryck.

Huvudskylt numerisk uttryck - i den inga bokstäver. Nej. Endast siffror och matematiska ikoner (om det behövs). Allt är enkelt, eller hur?

Och vad kan man göra med numeriska uttryck? Numeriska uttryck, som regel, kan övervägas. För att göra detta händer det, det händer, att avslöja fästen, ändra tecken, att skära, ändra villkoren i linjerna - dvs. do konvertera uttryck. Men om det är något lägre.

Här kommer vi att ta itu med ett sådant roligt fall när det är ett numeriskt uttryck gör ingenting.Tja, ganska ingenting! Denna trevliga operation är inget att göra) - Perfekt när uttrycket det låter inte rimligt.

När det numeriska uttrycket inte är meningsfullt?

Förståelig, om vi ser någon form av abracadabra, som

gör det ingenting och vi kommer inte. Eftersom det inte är klart vad man ska göra åt det. Någon form av nonsens. Är det, för att beräkna antalet plusser ...

Men det finns externt väl anständiga uttryck. Till exempel, detta:

(2 + 3): (16 - 2 · 8)

Men detta uttryck också det låter inte rimligt! Av den enkla anledningen att i de andra parenteserna - om du anser - det visar sig noll. Och på noll är det omöjligt att dela! Detta är en förbjuden operation i matematik. Därför är det inte nödvändigt att göra någonting med detta uttryck. Med någon uppgift med ett sådant uttryck kommer svaret alltid att vara en: "Uttrycket är inte meningsfullt!"

För att ge ett sådant svar, var jag tvungen att tro att det skulle finnas i parentes. Och ibland finns det i parentes, ... ja, ingenting kan göras här.

Förbjudna verksamhet i matematik är inte så mycket. I det här ämnet - bara en. Dividera med noll. Ytterligare förbud som uppstår i rötter och logaritmer diskuteras i relevanta ämnen.

Så, tanken på vad som är numeriskt uttryck - mottagen. Begrepp numeriskt uttryck är inte meningsfullt - realiserad. Går längre.

Algebraiska uttryck.

Om bokstäverna visas i numeriskt uttryck - blir detta uttryck ... uttrycket blir ... Ja! Det blir algebraiska uttryck. Till exempel:

5A 2; 3x-2y; 3 (Z-2); 3,4m / n; x 2 + 4x-4; (A + B) 2; ...

Fler sådana uttryck kallas bokstäver uttryck. Eller uttryck med variabler. Detta är praktiskt taget samma sak. Uttryck 5A + S., Till exempel, både alfabetisk, algebraisk och uttryck med variabler.

Begrepp algebraiska uttryck - bredare än numerisk. Det inkluderar Och alla numeriska uttryck. De där. Numeriskt uttryck är också ett algebraiskt uttryck, bara utan bokstäver. Varje selens - fisk, men inte alla fiskar - Selline ...)

Varför bokstavlig - förstående. Tja, eftersom bokstäverna är ... fras uttryck med variabler Också inte mycket pussel. Om du förstår att siffrorna är dolda under bokstäverna. Alla siffror kan döljas under bokstäverna ... och 5, och -18, och vad som helst. Det vill säga brevet kan vara byta ut på olika siffror. Därför kallas bokstäverna variabler.

I uttryck i + 5., t.ex, w. - Variabelt värde. Eller de säger helt enkelt " variabel", utan ordet "värde". Till skillnad från de fem bästa, vilket är ett permanent värde. Eller bara - konstant.

Termin algebraiska uttryck innebär att du ska arbeta med detta uttryck måste du använda lagar och regler algebra. Om en aritmetisk Arbetar med specifika nummer, då algebra - med alla siffror. Ett enkelt exempel för förklaring.

I aritmetik kan du skriva ner det

Men om vi skriver liknande jämlikhet genom algebraiska uttryck:

a + B \u003d B + A

vi bestämmer omedelbart allt Frågor. För alla nummer stroke. För all oändlig mängd. För under bokstäverna men och b. Menande allt tal. Och inte bara siffror, men även andra matematiska uttryck. Det är hur algebraen fungerar.

När ett algebraiskt uttryck inte är meningsfullt?

Om numeriskt uttryck Allt är klart. Det är omöjligt att dela på noll. Och med bokstäver, kan du ta reda på vad vi delar upp?!

Ta till exempel här ett sådant uttryck med variabler:

2: (men - 5)

Betyder det? Ja, vem känner honom? men - Vilket nummer som helst ...

Någon som helst ... men det finns ett värde meni vilket detta uttryck säkert Det låter inte rimligt! Och vad är numret? ja! Detta är 5! Om variabeln men Byt ut (säg - "ersättning") till nummer 5, i parentes noll kommer att visas. Vilket är omöjligt att dela. Så det visar sig att vårt uttryck det låter inte rimligt, Om en a \u003d 5.. Men vid de andra värdena men Finns det en mening? Andra nummer kan ersättas?

Säker. Bara i sådana fall säger uttrycket

2: (men - 5)

är vettig för alla värden men, utom a \u003d 5 .

Hela uppsättningen nummer som burk ersätt i ett givet uttryck som kallas området med tillåtna värden Detta uttryck.

Som du kan se är ingenting listigt. Vi tittar på uttrycket med variabler, ja vi förstår: med vilket värde av variabeln är den förbjudna operationen (division på noll)?

Och då tittar vi definitivt på frågan om uppgiften. Vad frågar du?

det låter inte rimligt, vårt förbjudna värde och kommer att vara svaret.

Om du frågar, med vilket värde variabelt uttryck har meningen (Känna skillnaden!), Svaret kommer att vara alla andra nummerförutom förbjudet.

Varför behöver vi meningen med uttryck? Han är det, det finns ingen ... Vad är skillnaden?! Faktum är att detta koncept blir mycket viktigt i gymnasiet. Extremt viktigt! Detta är grunden för sådana fasta begrepp som området med tillåtna värden eller funktionen att bestämma funktionen. Utan detta kan du inte lösa allvarliga ekvationer eller ojämlikheter alls. Så här.

Omvandling av uttryck. Identiska omvandlingar.

Vi bekanta oss med numeriska och algebraiska uttryck. De förstod vad frasen betyder "uttrycket inte är meningsfullt." Nu måste vi ta reda på vad omvandling av uttryck. Svaret är enkelt, att skämma bort.) Detta är några åtgärder med uttrycket. Och det är allt. Du gjorde dessa omvandlingar från första klassen.

Ta ett brant numeriskt uttryck 3 + 5. Hur kan det konverteras? Ja, väldigt enkelt! Beräkna

Denna beräkning är omvandlingen av uttrycket. Du kan skriva ner samma uttryck annorlunda:

Här räknade vi inte alls. Skrev bara ett uttryck i en annan form. Detta kommer också att vara omvandlingen av uttrycket. Du kan skriva så här:

Och det här är också - omvandlingen av uttrycket. Sådana omvandlingar kan ställas om hur mycket du vill ha.

Någon Åtgärd över uttrycket några Inspelning av den i en annan form kallas en uttryckskonvertering. Och alla saker. Allt är väldigt enkelt. Men det finns en mycket viktig regel. Så viktigt att det kan vara fetbart huvudregel All matematik. Brott mot denna regel oundvikligen leder till fel. Inbydligt?)

Antag att vi förvandlade vårt uttryck när det föll, så här:

Omvandling? Säker. Vi spelade in uttrycket i en annan form, vad är det för fel här?

Allt är fel.) Faktum är att omvandlingarna "Som hit" Matematik är inte intresserad alls.) All matematik är byggd på transformationer där den ändras utseende, men essensen i uttrycket förändras inte. Tre plus fem kan skrivas på något sätt, men det borde vara åtta.

Omvandlingar inte förändrar essensen av uttrycket kallad identisk.

Exakt identiska omvandlingar och tillåta oss steg för steg, sväng komplicerat exempel I ett enkelt uttryck, hålla essens av exemplet. Om vi \u200b\u200bgör ett misstag i omvandlingskedjan, gör vi inte identiska omvandling, då bestämmer vi redan Övrig exempel. Med andra svar som inte är relaterade till höger.)

Här är det den viktigaste reglerna att lösa alla uppgifter: överensstämmelse med omvandlingens identitet.

Ett exempel med numeriskt uttryck 3 + 5 Jag tog för tydlighet. I algebraiska uttryck ges identiska omvandlingar av formler och regler. Säg, det finns en formel i algebra:

a (B + C) \u003d AB + AC

Så vi kan istället för uttryck i något exempel a (B + C) Skriv djärvt ett uttryck aB + AC. Och vice versa. Det identisk omvandling. Matematik ger oss ett val av dessa två uttryck. Och vilken av dem skriver - från specifikt exempel Beror på

Ett annat exempel. En av de viktigaste och nödvändiga omvandlingarna är fraktionens huvudsakliga egendom. Du kan se mer detaljer, och här kommer du bara ihåg regeln: om numrerings- och nämnaren av FRACI multiplicerar (delad) per och samma nummer, eller ojämlika nolluttryck, kommer fraktionen inte att förändras. Här är ett exempel på identiska omvandlingar på den här egenskapen:

Som du antagligen gissat kan den här kedjan fortsätta med oändligheten ...) En mycket viktig egendom. Det är det som låter dig vända några monster-exempel i vit och fluffig.)

Formlerna specificerar identiska omvandlingar - mycket. Men det viktigaste är ganska rimligt belopp. En av de grundläggande transformationerna är sönderdelning av multiplikatorer. Den används i hela matematiken - från elementär till högst. Från honom och börja. I nästa lektion.)

Om du gillar den här sidan ...

Förresten har jag ett annat par intressanta platser för dig.)

Det kan nås i att lösa exempel och ta reda på din nivå. Test med omedelbar kontroll. Lär dig - med intresse!)

Du kan bekanta dig med funktioner och derivat.

I regel börjar barnen att studera algebra redan i juniorklasser. Efter att ha behärskat de grundläggande principerna om att arbeta med siffror, löser de exempel med en eller flera okända variabler. Hitta värdet av uttrycket av denna plan kan vara ganska svårt, men om du förenklar det med hjälp av kunskapen om grundskolan, blir allt enkelt och snabbt.

Vad är meningen med uttryck

Numeriskt uttryck kallas algebraisk inspelningbestående av siffror, parentes och tecken i händelse av att det är vettigt.

Med andra ord, om du kan hitta värdet av uttrycket, betyder det att rekordet inte är berövad av mening och vice versa.

Exempel på följande poster är korrekta numeriska strukturer:

• 3*8-2;
• 15/3+6;
• 0,3*8-4/2;
• 3/1+15/5;

Ett separat tal kommer också att vara ett numeriskt uttryck som nummer 18 i ovanstående exempel.
Exempel på felaktiga numeriska strukturer som inte är meningsfulla:

• *7-25);
• 16/0-;
• (*-5;

Felaktiga numeriska exempel är bara en uppsättning matematiska tecken och har ingen mening.

Hur man hittar värdet av uttryck

Eftersom aritmetiska tecken är närvarande i sådana exempel, kan man dra slutsatsen att de tillåter aritmetiska beräkningar. För att beräkna tecken eller, talar, för att hitta värdet av uttrycket, måste du utföra motsvarande aritmetiska manipuleringar.

Som ett exempel kan du överväga följande struktur: (120-30) / 3 \u003d 30. Nummer 30 kommer att vara värdet av det numeriska uttrycket (120-30) / 3.

Instruktion:

Begreppet numerisk jämlikhet

Numerisk jämlikhet kallas situationen när två delar av exemplet är dividerat med tecknet "\u003d". Det är, en del är helt lika (identisk) en annan, även om symbolerna och siffrorna visas som andra kombinationer.
Till exempel kan någon konstruktion av typ 2 + 2 \u003d 4 kallas en numerisk jämlikhet, eftersom även byte av delar av platser, meningen kommer inte att förändras: 4 \u003d 2 + 2. Detsamma gäller för mer komplexa strukturer, inklusive parentes, division, multiplikation, action med fraktioner och så vidare.

Hur man hittar värdet av uttryck korrekt

För att korrekt hitta värdet på uttrycket måste du utföra beräkningar enligt ett visst förfarande. Denna procedur lärs också i lärdomarna av matematik, och senare - i klassen av algebra i grundskola. Det är också känt som scenen av aritmetisk verkan.

Aritmetiska steg:

1. Det första steget är tillägget och subtraktionen av siffror.
2. Det andra steget är en division och multiplikation.
3. Det tredje steget - siffrorna är uppställda i en kvadrat eller kub.

Att observera följande regler kan du alltid bestämma värdet av uttrycket korrekt:

1. Utför åtgärder som börjar med det tredje steget som slutar först om det inte finns några parentes i exemplet. Det är först bygga en kvadrat eller kub, sedan dela eller multiplicera och sedan vika och subtrahera.
2. I konstruktioner med fästen först utföra åtgärder i parentes och följ sedan det ovan beskrivna proceduren. Om det finns flera fästen, använd också proceduren från det första objektet.
3. I exemplen i form av en fraktion först, ta reda på resultatet i täljaren, sedan i denominatorn, varefter den första klyftan på den andra.

Det är inte svårt att hitta ett uttrycksvärde om du assimilerar den grundläggande kunskapen om de första kurserna i algebra och matematik. Guidad av den information som beskrivs ovan kan du lösa någon uppgift, till och med ökad komplexitet.

Ta reda på lösenordet från vk, som känner till inloggningen

Första nivån

Omvandling av uttryck. Detaljerad teori (2019)

Transformation av uttryck

Ofta hör vi denna obehagliga fras: "Förenkla uttrycket." Vanligtvis har vi dessutom någon form av läskig av denna typ:

"Ja, mycket lättare" - vi säger, men det här svaret rullar vanligtvis inte.

Nu ska jag lära dig att inte vara rädd för några sådana uppgifter. Dessutom, i slutet av lektionen kommer du att förenkla det här exemplet före (bara!) Vanligt nummer (ja, till helvetet med dessa bokstäver).

Men innan du fortsätter till den här lektionen måste du kunna hantera fraktioner och lägga polynomerna till multiplikatorerna. Därför, först, om du inte gjorde det här förut, nödvändigtvis ämnet "" och "".

Läsa? Om så är fallet är du redo.

Grundläggande förenklingsverksamhet

Nu kommer vi att analysera de viktigaste teknikerna som används för att förenkla uttryck.

Det enklaste av dem är

1. Att föra liknande

Vad är liknande? Du passerade det i klass 7, så snart bokstäverna uppträdde i matematik istället för siffror. Liknande är komponenterna (singel) med samma alfabetiska del. Till exempel, i mängden av sådana komponenter - detta är.

Kom ihåg?

Vissa liknande saker - det betyder att vika flera liknande termer med varandra och få en term.

Men hur viks vi med varandra bokstäver? - Du frågar dig.

Det är väldigt lätt att förstå om du föreställer dig att bokstäver är några föremål. Till exempel är brevet en stol. Då vad är uttrycket? Två avföring plus tre avföring, hur mycket kommer det att vara? Det är rätt, stolar :.

Och försök nu ett sådant uttryck :.

För att inte bli förvirrad, låt de olika bokstäverna ange olika föremål. Till exempel är det (som vanligt) en stol, och är ett bord. Sedan:

Stol bordsstolar stolar på avföring stolar

Siffror för vilka bokstäver som multiplicerar i sådana termer kallas koefficienter. Till exempel är i enkelvakningskoefficient lika. Och i den är lika.

Så, regeln att föra liknande:

Exempel:

Ge liknande:

Svar:

2. (och liknande, eftersom dessa termer därför har samma bokstavsdel).

2. Nedbrytning av multiplikatorer

Detta är vanligtvis den viktigaste delen i förenkling av uttryck. När du ledde liknande, bör oftast det resulterande uttrycket sönderdelas på multiplikatorer, det vill säga att föreställa sig i form av ett arbete. Detta är särskilt viktigt i bedrägeriet: trots allt, så att du kan skära fraktionen, måste täljaren och nämnaren representeras som ett arbete.

I detalj, sätt att sönderdela uttryck på multiplikatorer, passerade du i ämnet "", så här kan du bara komma ihåg det lärde. För att göra detta, lösa flera exemplar (Du måste sönderdelas på multiplikatorer):

Lösningar:

3. Minska fraktionen.

Tja, vad kan vara trevligare än att korsa en del av täljaren och denominatorn och kasta dem bort från ditt liv?

Detta är all charm av reduktion.

Allt är enkelt:

Om täljaren och denominatorn innehåller samma multiplikatorer kan de skäras, det vill säga bort från fraktionen.

Denna regel följer från FRACI: s främsta egendom:

Det vill säga, är kärnan i reduktionen att numeratorn och denominatorn för fraktionerna delar upp samma nummer (eller på samma uttryck).

För att förkorta fraktionen behöver du:

1) Täljare och denominator sönderdelas på multiplikatorer

2) Om det finns en täljare och denominator vanliga multiplikatorerDe kan raderas.

Princip, tror jag, är tydlig?

Jag vill uppmärksamma en typiskt misstag Med en minskning. Även om detta ämne är enkelt, men mycket många gör allt fel, inte förstå det skära - det betyder dela upp Täljare och denominator per och samma nummer.

Inga förkortningar, om i en täljare eller denominatormängd.

Till exempel: det är nödvändigt att förenkla.

Vissa gör det här: Vad är helt fel.

Ett annat exempel: Klipp.

"Den smartaste" kommer att göra det här:.

Berätta vad som är fel här? Det verkar: - Det här är en multiplikator, det betyder att du kan klippa.

Men nej: - Det här är multiplikatorn på endast en term i täljaren, men numret själv är inte utlagd på multiplikatorerna.

Här är ett annat exempel :.

Detta uttryck sönderdelas på multiplikatorer, det betyder att du kan skära, det vill säga att dela upp täljaren och denominatorn, och sedan på:

Du kan omedelbart dela med:

För att förhindra sådana misstag, kom ihåg enkla vägenHur man bestämmer om uttrycket på multiplikatorer avvisas:

Den aritmetiska åtgärden som utförs av den sista vid beräkning av värdena för uttrycket är "huvud". Det är, om du ersätter några (några) nummer istället för bokstäver, och du kommer att försöka beräkna värdet av uttrycket, om den sista åtgärden är multiplikation - det betyder att vi har ett arbete (uttryck sönderdelas på multiplikatorer). Om den senare åtgärden är tillägg eller subtraktion betyder det att uttrycket inte sönderdelas på faktorerna (och därför inte kan minskas).

För konsolidering bestämmer vi dig för dina egna exemplar:

Svar:

1. Jag hoppas att du inte har rusat omedelbart minska och? Inte tillräckligt "snitt" sådant sådant:

Den första åtgärden bör vara en sönderdelning av multiplikatorer:

4. Tillägg och subtraktion av fraktioner. Bringa fraktioner till en gemensam nämnare.

Tillägg och subtraktion av vanliga fraktioner - Operationen är väl bekant: Vi letar efter en gemensam nämnare, vi är dominerande varje bråkdel på den saknade multiplikatorn och vik / avdrag av siffrorna. Låt oss komma ihåg:

Svar:

1. Denominatorerna är ömsesidigt enkla, det vill säga de har inte vanliga multiplikatorer. Följaktligen är NOC av dessa siffror lika med sitt arbete. Detta kommer att bli en gemensam nämnare:

2. Här är den övergripande nämnaren:

3. Här är det första blandade fraktioner Vi blir felaktiga, och sedan - av det vanliga systemet:

Det är helt annat om fraktionerna innehåller bokstäver, till exempel:

Låt oss börja med enkelt:

a) Denominatorer innehåller inte bokstäver

Här är detsamma som med konventionella numeriska fraktioner: Vi hittar en gemensam nämnare, vi är dominerande varje fraktion på den saknade multiplikatorn och vik / drog siffrorna:

nu i täljaren kan du ge liknande, om någon, och läggs ut på multiplikatorer:

Prova själv:

b) Denominatorer innehåller bokstäver

Låt oss komma ihåg principen att hitta en gemensam nämnare utan bokstäver:

· Först och främst definierar vi allmänna faktorer.

· Sedan skriver vi ut alla allmänna faktorer en gång;

· Och de är dominerande för alla andra multiplikatorer, inte vanliga.

För att bestämma de allmänna multiplikatorerna i nämnare, lägg först dem på enkla faktorer:

Vi betonar allmänna faktorer:

Nu kommer vi att skriva ner de allmänna faktorerna för en gång och lägga till alla alternativ (inte understrukna) multiplikatorer till dem:

Detta är en vanlig nämnare.

Låt oss gå tillbaka till bokstäverna. Danneller ges av exakt samma schema:

· Bestäm nämnare för multiplikatorer

· Bestäm de allmänna (identiska) multiplikatorerna;

· Vi skriver alla allmänna faktorer en gång;

· Vi är dominerande för alla andra multiplikatorer, inte vanliga.

Så, i ordning:

1) Utöka nämnare för multiplikatorer:

2) Bestäm de allmänna (identiska) multiplikatorerna:

3) Vi skriver ut alla allmänna faktorer en gång och dominerande av dem på alla andra (otroliga) multiplikatorer:

Så är den allmänna nämnaren här. Den första fraktionen måste multiplicera på, den andra:

Förresten är det ett knep:

Till exempel: .

Vi ser samma multiplikatorer i nämnare, bara alla med olika indikatorer. I den övergripande denominatorn kommer att gå:

i examen

i examen

i examen

till examen.

Komplicera uppgift:

Hur man gör samma nämnare?

Låt oss komma ihåg FRACI: s främsta egendom:

Ingenstans sägs inte att fraktionen kan subtraheras från täljaren och denominatorn) (eller lägg till) samma nummer. Eftersom det är felaktigt!

Rengör dig själv: Ta till exempel någon fraktion och lägg till till täljaren och denominatorn något nummer. Vad sa du?

Så, nästa oskadliga regel:

När du tar en fraktion till en gemensam nämnare, använd endast multiplikationsoperation!

Men vad behöver du för att multiplicera för att få?

Här är på och Dominat. Och Domanki på:

Uttryck som inte kan sönderdelas på multiplikationer kommer att kallas "elementära multiplikatorer". Det är till exempel en elementär multiplikator. - också. Men - nej: det sönderdelas på multiplikatorer.

Vad säger du om uttrycket? Det är elementärt?

Nej, eftersom det kan sönderdelas på multiplikatorer:

(Vid sönderdelning av multiplikatorer läser du redan i ämnet "").

Så, de elementära multiplikatorerna som du avböjer uttrycket med bokstäver är en analog av enkla multiplikatorer som du sprider siffror. Och vi kommer att agera med dem på samma sätt.

Vi ser att i båda nämnare finns en multiplikator. Han kommer till en gemensam nämnare i en examen (kom ihåg varför?).

Multiplikatorn är elementär, och de har inte en allmän, vilket innebär att den första fraktionen på den måste bara rita:

Ett annat exempel:

Beslut:

Förfaller än i en panik multiplicera dessa nämnare, du måste tänka på hur man sönderdelar dem för multiplikatorer? Båda representerar:

Excellent! Sedan:

Ett annat exempel:

Beslut:

Som vanligt, sönderdela nämnare för multiplikatorer. I den första nämnaren uthärdar vi bara bakom parenteserna; I den andra - skillnaden i rutor:

Det verkar som om det inte finns några allmänna faktorer. Men om du tittar på, så är de liknande ... och sanningen:

Så skriv:

Det är, det visade sig så här: Inne i konsolen ändrade vi platserna på platser, och samtidigt ändrades tecknet före motsatsen. Notera, så det måste göra ofta.

Nu ger vi en gemensam nämnare:

Hjälp? Kontrollera nu.

Uppgifter för självlösningar:

Svar:

Här är det nödvändigt att komma ihåg en annan - skillnaden i kuber:

Var uppmärksam på att i denominatorn är den andra fraktionen inte formeln "kvadratmängd"! Kvadratisk mängd skulle se ut så här:.

Och - det här är den så kallade ofullständiga kvadraten av mängden: den andra termen i det är det första och sista och inte fördubblat sitt arbete. Det ofullständiga kvadraten av mängden är en av multiplikatorerna i sönderdelning av kuberskillnaden:

Vad ska man göra om fraktioner är redan tre stycken?

Och samma sak! Först och främst gör vi det att det maximala antalet multiplikatorer i nämnare var detsamma:

Var uppmärksam: Om du ändrar skyltarna i en konsol, ändras tecknet innan fraktionen motsatsen. När vi ändrar skyltarna i den andra konsolen ändras tecknet innan fraktionen igen motsatsen. Som ett resultat har han (tecknet före fraktionen) inte förändrats.

I den övergripande nämnaren släpps den första nämnaren och lägger sedan till alla faktorer som inte skrivs, från den andra, och sedan från den tredje (och så vidare, om freinsna är mer). Det är, det visar sig så här:

Hmm ... med fraktioner, det är klart vad man ska göra. Men hur man ska vara med en två?

Allt är enkelt: du vet hur man lägger en bråkdel? Så måste du göra det två gånger blir en bråkdel! Vi kommer ihåg: Fraktionen är en divisionsoperation (täljaren delar denominatorn om du plötsligt glömde). Och det är inget lättare än att dela upp numret på. Samtidigt kommer numret själv inte att förändras, men kommer att bli en fraktion:

Exakt vad som behövs!

5. Multiplikation och uppdelning av fraktioner.

Tja, det svåraste nu bakom. Och vi har det enklaste, men det viktigaste är:

Procedur

Vad är förfarandet för att räkna ett numeriskt uttryck? Kom ihåg att med tanke på vikten av ett sådant uttryck:

Beräknad?

Måste hända.

Så, jag påminner.

Det första är beräknad examen.

Den andra är multiplikation och division. Om multiplikationer och divisioner samtidigt är flera, kan du göra dem i vilken ordning som helst.

Och slutligen utför vi tillägg och subtraktion. Igen, i vilken ordning som helst.

Men: Uttrycket i parentes beräknas ur tur!

Om flera fästen multipliceras eller delas på varandra, beräknar vi uttrycket i var och en av parenteserna först och multiplicerar sedan eller levererade dem.

Och om det fortfarande finns några parentes inuti parenteserna? Tja, låt oss tänka: Några uttryck skrivs inuti fästena. Och när du beräknar uttrycket, först och främst måste du göra vad? Det är rätt, beräkna fästen. Tja, så räknat ut: Först beräknar vi de inre parenteserna, då allt annat.

Så, förfarandet för uttrycket är högre än detta (de aktuella värdena är allokerade röda, det vill säga den åtgärd som jag utför just nu):

Tja, det är enkelt.

Men det här är inte detsamma som uttrycket med bokstäver?

Nej, det är detsamma! Endast i stället för aritmetiska åtgärder bör göras algebraiska, det vill säga de åtgärder som beskrivs i föregående avsnitt: med liknande, Justera fraktioner, skärfraktioner, och så vidare. Den enda skillnaden kommer att vara verkan av sönderdelning av polynomier på multiplikatorer (vi applicerar det ofta när du arbetar med fraktioner). Oftast, för sönderdelning på multiplikatorer, måste jag ansöka eller helt enkelt ta ut en gemensam faktor för parentes.

Vanligtvis är vårt mål att skicka ett uttryck i form av ett arbete eller privat.

Till exempel:

Vi förenklar uttryck.

1) Först förenklar vi uttrycket i parentes. Där har vi en skillnadsfraktion, och vårt mål är att presentera det som ett arbete eller privat. Så vi ger en bråkdel för en gemensam nämnare och vikning:

Mer Detta uttryck är lätt att förenkla, alla faktorer här är elementära (du kommer fortfarande ihåg vad det betyder?).

2) Vi får:

Multiplikation av fraktioner: Vad kan vara enklare.

3) Nu kan du minska:

Det är allt. Inget svårt, eller hur?

Ett annat exempel:

Förenkla uttryck.

Först försök att lösa mig själv och bara se beslutet.

Först definierar vi proceduren för åtgärd. Först kommer vi att utföra tillägg av fraktioner i parentes, det visar sig istället för två fraktioner en. Då kommer vi att utföra delningsfraktioner. Tja, kommer resultatet att ligga med den sista fraktionen. Schematiskt antal åtgärder:

Nu visar jag nyhetsprocessen, knackar på den aktuella åtgärden i rött:

Slutligen kommer du att ge dig två användbara råd:

1. Om det är liknande måste de omedelbart tas med. I vilken tidpunkt som helst har vi liknande liknande, det är lämpligt att ta med dem omedelbart.

2. Detsamma gäller för minskningen av fraktioner: Så snart förmågan att minska, behöver den användas. Undantaget är de fraktioner som du viker eller drar: Om de har samma nämnare nu, måste förkortningen lämnas för senare.

Här är dina uppgifter för självlösningar:

Och lovat i början:

Lösningar (kort):

Om du accepterade åtminstone med de tre första exemplen, överväger du, masterad.

Nu vidarebefordra till lärande!

Omvandling av uttryck. Sammanfattning och grundläggande formler

Grundläggande förenklingsverksamhet:

• Med liknande: För att vikas (bly) liknande komponenter är det nödvändigt att vika sina koefficienter och ange bokstavsdelen.
• Faktorisering:tar en gemensam faktor för parentes, applikation, etc.
• Reduktion av fraktioner: Fraktionens täljare och nämnaren kan multipliceras eller uppdelas i ett och samma icke-nolltal, från vilket fraktionen inte ändras.
  1) Täljare och denominator sönderdelas på multiplikatorer
  2) Om det finns allmänna multiplikatorer i en täljare och denominator kan de raderas.

  VIKTIGT: Endast multiplikatorer kan klippas!

• Tillägg och subtraktion av fraktioner:
  ;
• Multiplikation och uppdelning av fraktioner:
  ;

Nu, när vi lärde oss att vika och multiplicera enskilda fraktioner, kan du överväga mer komplexa strukturer. Till exempel, vad om uppgiften också är beroende av och subtraherar och multiplicerar fraktioner?

Först och främst är det nödvändigt att översätta alla fraktionerna i fel. Då utför vi konsekvent de nödvändiga åtgärderna - på samma sätt som för konventionella tal. Nämligen:

1. För det första är det upptaget till en examen - bli av med alla uttryck som innehåller indikatorer;
2. Då - Division och multiplikation;
3. Det sista steget är gjord och subtraktion.

Naturligtvis, om det finns konsoler i uttrycket, ändras proceduren - allt som står inuti fästena bör övervägas först. Och kom ihåg de felaktiga fraktioner: det är nödvändigt att allokera hela delen när alla andra åtgärder redan har uppfyllts.

Vi översätter alla fraktionerna från det första uttrycket till fel och utför sedan åtgärder:

Hitta nu värdet av det andra uttrycket. Här frän s. hel del Nej, men det finns konsoler, så första utföra tillägg, och bara då - division. Observera att 14 \u003d 7 · 2. Sedan:

Slutligen anser vi det tredje exemplet. Det finns konsoler och en examen - de betraktas bättre separat. Med tanke på att 9 \u003d 3 · 3 har vi:

Var uppmärksam på det sista exemplet. För att bygga en fraktion i omfattningen är det nödvändigt att separera täljaren separat i denna grad och separat denominatorn.

Du kan lösa annorlunda. Om du minns graden av grad kommer uppgiften att minskas till vanlig multiplikation Fraktioner:

Multi-våningsfraktioner

Hittills har vi bara ansett de "rena" fraktionerna när täljaren och denominatorn är vanliga siffror. Detta motsvarar helt bestämning av den numeriska fraktionen som ges i den allra första lektionen.

Men vad om i en täljare eller denominator för att placera ett mer komplext objekt? Till exempel, en annan numerisk fraktion? Sådana strukturer uppstår ganska ofta, särskilt när man arbetar med långa uttryck. Här är ett par exempel:

Arbetsreglerna med multi-våningar fraktioner är bara en sak: det är nödvändigt att bli av med dem omedelbart. Ta bort de "extra" golven är ganska enkelt om du kommer ihåg att fraktionens funktion betyder en standard divisionsoperation. Därför kan någon fraktion omskrivas enligt följande:

Med detta faktum och observera proceduren kommer vi lätt att minska någon multi-våningsfraktion till normal. Ta en titt på exemplen:

En uppgift. Översätt multi-våningar fraktioner till normal:

Skriv i varje fall om bulkfraktionen, byte av separationsfunktionen hos divisionen. Vi kommer också ihåg att något heltal representerar i form av en fraktion med denominator 1. De. 12 \u003d 12/1; 3 \u003d 3/1. Vi får:

I det sista exemplet reducerades den slutliga multiplikationen av fraktionen.

Specificitet att arbeta med multi-våningar fraktioner

I multi-våningar fraktioner finns det en subtilitet som du alltid behöver komma ihåg, annars kan du få ett felaktigt svar, även om alla beräkningar var korrekta. Ta en titt:

1. Numener är ett separat nummer 7, och i nämnaren - skottet 12/5;
2. I täljaren finns en fraktion 7/12, och i denominatorn - ett separat nummer 5.

Så, för en post, fick två helt olika tolkningar. Om beräkning av, kommer svaren också att vara annorlunda:

För att spela in alltid läs definitivt, använd en enkel regel: den delade linjen av huvudfraktionen bör vara längre än den egenskap som nested. Företrädesvis - flera gånger.

Om du följer denna regel ska de ovanhandlade fraktionerna spelas in så här:

Ja, kanske är det ful och tar för mycket utrymme. Men du kommer att överväga korrekt. Slutligen uppstår ett par exempel där flervåningsfraktioner verkligen uppstår:

En uppgift. Hitta värdena för uttryck:

Så arbetar vi med det första exemplet. Vi översätter alla fraktionerna i fel och utför sedan tilläggsverksamheten och divisionen:

På samma sätt fortsätt med det andra exemplet. Vi översätter alla fraktionerna i fel och utför den nödvändiga operationerna. För att inte trösta läsaren kommer jag att ge några uppenbara beräkningar. Vi har:

På grund av det faktum att i täljaren och denominatorn av de huvudsakliga fraktionerna finns det mängder, respekteras inspelningsregeln för flera våningar frigjor automatiskt. Dessutom, i det senare exempel, lämnade vi avsiktligt nummer 46/1 i form av en fraktion för att uppfylla divisionen.

Jag noterar också att i båda exempelen ersätter en fraktionerad egenskap faktiskt parentes: det första vi hittade mängden, och bara då är privata.

Någon kommer att säga att övergången till felfraktioner i det andra exemplet var klart överdrivet. Kanske det är. Men med detta försäkrar vi oss själva från fel, för nästa gång ett exempel kan vara mycket mer komplicerat. Välj dig själv, ännu viktigare: hastighet eller tillförlitlighet.