Lösa trigonometriska funktioner. Grundläggande metoder för att lösa trigonometriska ekvationer

Trigonometriska ekvationer - ämnet är inte det enklaste. De skadade dem olika.) Till exempel, sådant:

synd 2 x + cos3x \u003d ctg5x

sIN (5x + π / 4) \u003d CTG (2x-π / 3)

sINX + COS2X + TG3X \u003d CTG4X

Etc...

Men dessa (och alla andra) trigonometriska monster har två vanliga och obligatoriska egenskaper. Den första - du kommer inte att tro - trigonometriska funktioner är närvarande i ekvationerna.) För det andra: alla uttryck med XOM är belägna inom dessa funktioner. Och bara där! Om Xe visas någonstans utanför, t.ex, sin2x + 3x \u003d 3, Detta kommer redan att vara en blandad typ ekvation. Sådana ekvationer kräver ett individuellt tillvägagångssätt. Här kommer vi inte att överväga dem.

Onda ekvationer i den här lektionen kommer vi inte att bestämma.) Här kommer vi att hantera helt enkelt enkla trigonometriska ekvationer. Varför? Ja, för beslutet några Trigonometriska ekvationer består av två steg. I det första steget kommer den onda ekvationen av de mest olika omvandlarna ner till enkla. På den andra - det här är den enklaste ekvationen. Inget annat sätt.

Så, om du har problem i det andra steget - det första steget är inte meningsfullt.)

Vad ser elementära trigonometriska ekvationer ut?

sinx \u003d A.

cosx \u003d A.

tGX \u003d A.

cTGX \u003d A.

Här men Indikerar ett nummer. Några.

Förresten, inuti funktionen kan det inte vara ren X, men något uttryck, som:

cos (3x + π / 3) \u003d 1/2

etc. Detta komplicerar livet, men påverkar inte metoden att lösa den trigonometriska ekvationen.

Hur löser man trigonometriska ekvationer?

Trigonometriska ekvationer kan lösas på två sätt. Det första sättet: Använda logik och trigonometrisk cirkel. Vi kommer att titta på det här sättet här. Det andra sättet är att använda minnet och formlerna - överväga i nästa lektion.

Det första sättet är klart, pålitligt, och det är svårt att glömma.) Det är bra för att lösa och trigonometriska ekvationer och ojämlikhet och alla typer av icke-standardiserade exempel. Logik starkare minne!)

Vi löser ekvationerna med en trigonometrisk cirkel.

Vi slår på den elementära logiken och förmågan att använda den trigonometriska cirkeln. Vet inte hur!? Men ... svårt för dig i trigonometri kommer att ha ...) men inte problem. Ta en titt i lektionerna "trigonometrisk cirkel ...... vad är det?" Och "räknar hörnen på trigonometrisk cirkel." Allt är enkelt där. Till skillnad från läroböcker ...)

Åh du vet!? Och till och med behärskar det "praktiska arbetet med en trigonometrisk cirkel"!? Ge grattis. Detta ämne kommer att vara nära och förståeligt för dig.) Det är särskilt nöjda, den trigonometriska cirkeln är likgiltig med vilken ekvation du bestämmer. Sinus, Kosinus, Tangent, Kothanns - allt är en. Principen om beslut ett.

Här tar vi någon elementär trigonometrisk ekvation. Åtminstone detta:

cosx \u003d 0,5

Vi måste hitta X. Om vi \u200b\u200btalar mänskligt språk behöver du hitta vinkel (x), vars cosinus är 0,5.

Hur använde vi tidigare cirkeln? Vi målade en vinkel på den. I grader eller radianer. Och omedelbart vila Trigonometriska funktioner i denna vinkel. Nu kommer vi att göra tvärtom. Rita en cosinus på en cirkel, lika med 0,5 och omedelbart ser vinkel. Det kommer bara att vara att skriva ner svaret.) Ja, ja!

Vi ritar en cirkel och markerar cosinuset lika med 0,5. På cosininsaxeln, förstås. Så här:

Dra nu vinkeln som ger oss denna cosinus. Mus över musen över bilden (eller tryck på bilder på tabletten) och ser Samma hörn x.

Kosinus Vilken vinkel är 0,5?

x \u003d π / 3

cos. 60 ° \u003d Cos ( π / 3.) = 0,5

Någon skeptiskt kotletter, ja ... de säger om cirkeln var värt, när allt är klart ... kan du självklart slipa ...) Men det är att det är ett felaktigt svar. Snarare, otillräcklig. Cirkelns förmåga att förstå att det fortfarande finns en hel massa vinklar som också ger en cosinus lika med 0,5.

Om du vrider den rörliga sidan av OA på full vändning, Punkt A kommer att gå till sin ursprungliga position. Med samma cosinje lika med 0,5. De där. vinkeln kommer att förändras 360 ° eller 2π radianer, och cosinus - nej. Den nya vinkeln på 60 ° + 360 ° \u003d 420 ° kommer också att vara lösningen av vår ekvation, eftersom

Sådana kompletta varv kan beläggas med en oändlig uppsättning ... och alla dessa nya hörn kommer att vara lösningar av vår trigonometriska ekvation. Och de måste skrivas som svar på på något sätt. Allt. Annars anses inte beslutet ja ...)

Matematik kan göra det enkelt och elegant. I ett kort svar skriv oändlig uppsättning lösningar. Så här letar det efter vår ekvation:

x \u003d π / 3 + 2π n, n ∈ z

Dechiffrera. Fortfarande skrivande meningslös Det är trevligare än dumt dra några mystiska näbben, eller hur?)

π / 3. - Det här är samma vinkel som vi fick syn på På cirkeln I. försvaras på cosinusbordet.

2π. - Detta är en full tur i radianer.

n. - Detta är antalet kompletta, d.v.s. heltal revolutioner. Det är tydligt att n. Det kan vara lika med 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... och så vidare. Som indikerat med en kort post:

n ∈ Z.

n. tillhör ( ∈ ) Ställ in heltal ( Z. ). Förresten, istället för brevet n. Brev kan användas k, m, t etc.

Denna post innebär att du kan ta något heltal. n. . Även om -3, minst 0, men +55. Vad du vill. Om du ersätter det här numret för att skriva ett svar, få en viss vinkel som definitivt kommer att vara lösningen av vår hårda ekvation.)

Eller, med andra ord, x \u003d π / 3 - Det här är den enda roten till en oändlig uppsättning. För att få alla andra rötter, tillräckligt till π / 3 lägg till ett antal fulla revolutioner ( n. ) i radianer. De där. 2π N. radian.

Allt? Inte. Jag är dyr att sträcka. För att komma ihåg bättre.) Vi fick bara en del av svaren på vår ekvation. Den första delen av beslutet jag ska skriva detta som:

x 1 \u003d π / 3 + 2π n, n ∈ z

x 1 - Inte en rot, det här är en hel serie rötter inspelade i kort form.

Men det finns fortfarande vinklar som också ger cosinus lika med 0,5!

Låt oss återvända till vår bild, där svaret spelades in. Här är hon:

Vi bär musen till bilden och ser Ett annat hörn som ger också Cosine 0,5. Vad tycker du att det är lika med? Trianglar är desamma ... Ja! Det är lika med hörnet h. , skjutna bara i den negativa riktningen. Det här hörnet -H. Men X är redan beräknad. π / 3 eller60 °. Därför kan du säkert skriva:

x 2 \u003d - π / 3

Nåväl, lägga naturligtvis till alla vinklar som erhålls genom fullständiga rev:

x 2 \u003d - π / 3 + 2π n, n ∈ z

Nu allt.) Enligt trigonometrisk cirkel, vi fick syn på (Vem förstår naturligtvis)) allt Hörn som ger en cosinus lika med 0,5. Och de spelade in dessa hörn i en kort matematisk form. Svaret visade sig två oändliga serier av rötter:

x 1 \u003d π / 3 + 2π n, n ∈ z

x 2 \u003d - π / 3 + 2π n, n ∈ z

Detta är det rätta svaret.

jag hoppas allmän princip för att lösa trigonometriska ekvationer Att använda en cirkel är förståelig. Vi noterar på Cosine Circle (sinus, tangent, catangent) från den angivna ekvationen, vi drar motsvarande vinklar och skriv svaret. Naturligtvis måste du ta reda på vilken typ av hörn vi fick syn på På en cirkel. Ibland är det inte så uppenbart. Tja, jag sa att logiken krävs här.)

Till exempel kommer vi att analysera en annan trigonometrisk ekvation:

Jag ber dig att tänka på att numret 0.5 inte är det enda möjliga numret i ekvationerna!) Jag skriver bara det bekvämare för det än rötter och fraktioner.

Vi arbetar enligt den allmänna principen. Vi ritar en cirkel, märke (på sinusens axel, förstås!) 0,5. Rita alla hörnen som motsvarar denna sinus på en gång. Vi får den här bilden:

Först handlar vi om vinkeln h. under första kvartalet. Kom ihåg sinusbordet och bestämma storleken på den här vinkeln. Det är en enkel sak:

x \u003d π / 6

Vi kommer ihåg om fullständiga revisioner och, med ett rent samvete, skriv ner den första serien av svar:

x 1 \u003d π / 6 + 2π n, n ∈ z

Hälften är gjort. Men nu är det nödvändigt att bestämma andra vinkel ... Det är en fortfarande än i Cosine, ja ... men logiken sparar oss! Hur man bestämmer den andra vinkeln genom x? Ja lätt! Trianglar på bilden är desamma och röda vinkel h. lika med hörnet h. . Det räknas bara från vinkeln π i den negativa riktningen. Därför, röd.) Och vi behöver en vinkel, räknas korrekt, från den positiva halvaxeln, dvs. Från en vinkel av 0 grader.

Vi tar markören till ritningen och ser allt. Det första hörnet jag tog bort för att inte komplicera bilden. Vinkeln av intresse för oss (målade grön) kommer att vara lika med:

π - H.

IX Vi vet det här π / 6. . Det blev, det andra hörnet kommer att vara:

π - π / 6 \u003d 5π / 6

Vi minns igen om tillägg av fullvridningar och skriv den andra serien av svar:

x 2 \u003d 5π / 6 + 2π n, n ∈ z

Det är allt. Ett fullfjädrande svar består av två serier av rötter:

x 1 \u003d π / 6 + 2π n, n ∈ z

x 2 \u003d 5π / 6 + 2π n, n ∈ z

Ekvationer med tangent och kotangent kan enkelt lösas av den allmänna principen om att lösa trigonometriska ekvationer. Om du självklart vet hur man ritar tangent och cotangenes på en trigonometrisk cirkel.

I exemplen ovan använde jag sinusens och Cosine-tabellvärdet: 0,5. De där. ett av de värden som studenten vet måste. Och nu kommer vi att expandera våra möjligheter till alla andra värden. Bestäm så lösa!)

Så, låt oss behöva lösa en sådan trigonometrisk ekvation:

Det finns inget sådant värde av cosinusen i korta tabeller. Alt ignorera detta hemska faktum. Vi ritar en cirkel, markerar på Cosine-axeln 2/3 och ritar lämpliga vinklar. Vi får den här bilden.

Vi förstår, till att börja med, med en vinkel under första kvartalet. För att veta vad som är lika med X, skulle jag omedelbart skriva svaret! Vi vet inte ... misslyckande!? Lugn! Eviska matematik i trubbel är inte kastad! Hon uppfann Arkkosinus i det här fallet. Vet inte? Förgäves. Ta reda på det är mycket lättare än du tror. Under den här länken är det inte en enda surround-stavning om "omvänd trigonometriska funktioner" det finns ingen ... är onödigt i det här ämnet.

Om du vet är det tillräckligt att säga till dig själv: "X är en vinkel vars cosinus är 2/3." Och omedelbart, rent per definition av Arkkosinus, kan du skriva:

Vi kommer ihåg om ytterligare revs och skriver lugnt ner den första serien av rötter av vår trigonometriska ekvation:

x 1 \u003d arccos 2/3 + 2π n, n ∈ z

Den andra serien av rötter, för den andra vinkeln, skrivs nästan automatiskt. Samma sak kommer endast X (Arccos 2/3) att vara med en minus:

x 2 \u003d - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ z

Och alla saker! Detta är det rätta svaret. Ännu enklare än med tabellvärden. Jag behöver inte komma ihåg någonting.) Förresten, det mest uppmärksamma märket att den här bilden med beslutet genom Arkkosinus nej, i huvudsak, skiljer sig inte från bilden för COSX \u003d 0,5 ekvation.

Exakt! Allmän princip i allmänhet! Jag målade specifikt två nästan samma bilder. Cirkel visar hörnet h. av hans cosinus. Tablet är en cosinus, eller inte - cirkeln är okänd. Vad är den här vinkeln, π / 3, eller Arcsinus, vad vi kan bestämma.

Sinus samma sång. Till exempel:

Vi ritar igen en cirkel, markera sinusen lika med 1/3, dra hörnen. Det visar sig den här bilden:

Och igen är bilden nästan densamma som för ekvationen sinx \u003d 0,5. Natt börjar från hörnet under första kvartalet. Vad är IX, om dess sinus är 1/3? Inga problem!

Här är det första paketet av rötter:

x 1 \u003d arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ z

Vi förstår med den andra vinkeln. I exemplet med ett tabellvärde av 0,5 var det lika med:

π - H.

Så här kommer han att vara exakt densamma! Endast X är en annan, Arcsin 1/3. Än sen då!? Du kan säkert skriva det andra paketet av rötterna:

x 2 \u003d π - Arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ z

Detta är absolut rätt svar. Även om det inte ser väldigt bekant ut. Men det är klart, jag hoppas.)

Så här löses trigonometriska ekvationer med en cirkel. Denna väg är visuell och förstå. Det är han som sparar i trigonometriska ekvationer med urval av rötter vid ett givet intervall, i trigonometriska ojämlikhet - de som i allmänhet lösts nästan alltid i en cirkel. Kort sagt, i alla uppgifter som är lite komplicerade av standard.

Applicera kunskap i praktiken?)

Lös trigonometriska ekvationer:

Först, lättare, rätt på den här lektionen.

Nu mer omfattande.

Tips: Här måste du reflektera över cirkeln. Personligen.)

Och nu utåt enkelt ... kallas de fortfarande privata fall.

sinx. = 0

sinx. = 1

cosx. = 0

cosx. = -1

Tips: Här är det nödvändigt att räkna ut i en cirkel, där två serier av svar, och där en ... och hur istället för två episoder av svar att skriva en. Ja, så att ingen rot från det oändliga mängden är förlorad!)

Tja, ganska enkelt):

sinx. = 0,3

cosx. = π

tGX. = 1,2

cTGX. = 3,7

Tips: Här behöver du veta vad Arksinus är, Arkkosinus? Vad är Arctangent, Arkkothangence? De enklaste definitionerna. Men kom ihåg några tabellvärden som inte är nödvändiga!)

Svar, naturligtvis, i disarray):

x 1 \u003d arcsin0.3 + 2π n, n ∈ z
x 2 \u003d π - arcsin0,3 + 2

Inte allt fungerar? Det händer. Läs lektionen igen. Endast omtänksam (Det finns ett sådant föråldrat ord ...) och klicka på länkarna. De viktigaste länkarna är om cirkeln. Utan honom i trigonometri - hur vägen ska röra sig med blindfoldade ögon. Ibland visar det sig.)

Om du gillar den här sidan ...

Förresten har jag ett annat par intressanta platser för dig.)

Det kan nås i att lösa exempel och ta reda på din nivå. Test med omedelbar kontroll. Lär dig - med intresse!)

Du kan bekanta dig med funktioner och derivat.

När man löser många matematiska uppgifterSärskilt de som uppstod upp till 10 klass, förfarandet för utförda åtgärder, som leder till målet, definitivt definieras. Sådana mål innefattar till exempel linjära och kvadratiska ekvationer, linjära och kvadratiska ojämlikheter, fraktionella ekvationer och ekvationer som reduceras till kvadrat. Principen om framgångsrik lösning av var och en av de nämnda uppgifterna är följande: det är nödvändigt att fastställa hur typen är den löst uppgiften, för att återkalla den nödvändiga sekvensen av åtgärder som leder till det önskade resultatet, dvs. Svara, och utför dessa åtgärder.

Det är uppenbart att framgången eller misslyckandet med att lösa en eller annan uppgift beror främst på hur rätt typ av ekvation definieras hur korrekt sekvensen av alla steg i dess lösning reproduceras. Naturligtvis är det nödvändigt att äga färdigheter att utföra identiska omvandlingar och beräkningar.

Annan situation erhålls med trigonometriska ekvationer. Fastställa det faktum att ekvationen är trigonometrisk, absolut inte svår. Svårigheter visas när man bestämmer sekvensen av åtgärder som skulle leda till det korrekta svaret.

Enligt utseendet på ekvationen är det ibland svårt att bestämma sin typ. Och inte veta typ av ekvation, det är nästan omöjligt att välja mellan flera dussin trigonometriska formler som är nödvändiga.

För att lösa trigonometriska ekvationen måste du försöka:

1. Skapa alla funktioner som ingår i ekvationen till "samma hörn";
2. Skapa en ekvation till "identiska funktioner";
3. Lägg den vänstra delen av fabriksekvationen etc.

Överväga grundläggande metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

I. Att föra till de enklaste trigonometriska ekvationerna

Schematisk lösning

Steg 1. Express trigonometrisk funktion genom kända komponenter.

Steg 2. Hitta ett argumentfunktion av formler:

cos x \u003d a; x \u003d ± arccos a + 2πn, n єz.

synd x \u003d a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n є z.

tG X \u003d A; X \u003d ArcTG A + πN, N є Z.

cTG X \u003d A; x \u003d arcctg a + πn, n є z.

Steg 3. Hitta en okänd variabel.

Exempel.

2 COS (3x - π / 4) \u003d -√2.

Beslut.

1) Cos (3x - π / 4) \u003d -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 \u003d ± (π - π / 4) + 2πn, n є z;

3x - π / 4 \u003d ± 3π / 4 + 2πn, n є Z.

3) 3x \u003d ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n є z;

x \u003d ± 3π / 12 + π / 12 + 2πN / 3, n є z;

x \u003d ± π / 4 + π / 12 + 2πN / 3, n є z.

Svar: ± π / 4 + π / 12 + 2πN / 3, n є z.

II. Ersätter variabeln

Schematisk lösning

Steg 1. Skapa en ekvation till algebraisk form i förhållande till en av de trigonometriska funktionerna.

Steg 2. Ange den resulterande funktionen hos variabeln (om det behövs, ange begränsningarna på t).

Steg 3. Spela in och lösa den resulterande algebraiska ekvationen.

Steg 4. Göra en ersättare.

Steg 5. Lös den enklaste trigonometriska ekvationen.

Exempel.

2COS 2 (X / 2) - 5SIN (X / 2) - 5 \u003d 0.

Beslut.

1) 2 (1 - SIN 2 (X / 2)) - 5SIN (X / 2) - 5 \u003d 0;

2SIN 2 (X / 2) + 5SIN (X / 2) + 3 \u003d 0.

2) Låt synden (x / 2) \u003d t, var | t | ≤ 1.

3) 2T2 + 5T + 3 \u003d 0;

t \u003d 1 eller e \u003d -3/2, uppfyller inte tillståndet | t | ≤ 1.

4) synd (x / 2) \u003d 1.

5) x / 2 \u003d π / 2 + 2πn, n є z;

x \u003d π + 4πn, n є z.

Svar: x \u003d π + 4πn, n є z.

III. Metoden att sänka ekvationens ordning

Schematisk lösning

Steg 1. Byt ut denna linjära ekvation med hjälp av en gradvis reduktionsformel för detta:

synd 2 x \u003d 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x \u003d 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x \u003d (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Steg 2. Lös den erhållna ekvationen med användning av metoder I och II.

Exempel.

cos 2x + cos 2 x \u003d 5/4.

Beslut.

1) COS 2X + 1/2 · (1 + COS 2X) \u003d 5/4.

2) Cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x \u003d 5/4;

3/2 · cos 2x \u003d 3/4;

2x \u003d ± π / 3 + 2πn, n є z;

x \u003d ± π / 6 + πn, n є z.

Svar: x \u003d ± π / 6 + πn, n є z.

Iv. Likformiga ekvationer

Schematisk lösning

Steg 1. Ta med denna ekvation till formuläret

a) en synd x + b cos x \u003d 0 (homogen ekvation i första graden)

eller till sikte

b) en synd 2 x + b synd x · cos x + c cos 2 x \u003d 0 (homogen ekvation i andra graden).

Steg 2. Delade båda delarna av ekvationen på

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

och få ekvationen i förhållande till TG X:

a) en Tg x + b \u003d 0;

b) en Tg 2 x + B arCTG x + C \u003d 0.

Steg 3. Löser ekvation med kända metoder.

Exempel.

5SIN 2 x + 3SIN X · COS X - 4 \u003d 0.

Beslut.

1) 5SIN 2 x + 3SIN X · COS X-4 (SIN 2 X + COS 2 x) \u003d 0;

5SIN 2 x + 3SIN X · COS X - 4SIN² X-4COS 2 x \u003d 0;

synd 2 x + 3sin x · cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) Tg 2 x + 3tg x - 4 \u003d 0.

3) Låt tg x \u003d t då

t2 + 3T - 4 \u003d 0;

t \u003d 1 eller t \u003d -4, sedan

tG X \u003d 1 eller TG X \u003d -4.

Från den första ekvationen x \u003d π / 4 + πn, n є z; Från den andra ekvationen x \u003d -ARCTG 4 + πk, k є z.

Svar: x \u003d π / 4 + πn, n є z; X \u003d -ARCTG 4 + πk, k є z.

V. Förfarande för omvandling av en ekvation med användning av trigonometriska formler

Schematisk lösning

Steg 1. Genom att använda alla typer av trigonometriska formler, ledde denna ekvation till ekvationen, lösta metoderna I, II, III, IV.

Steg 2. Lös den resulterande ekvationen kända metoderna.

Exempel.

synd x + synd 2x + synd 3x \u003d 0.

Beslut.

1) (Synd x + synd 3x) + synd 2x \u003d 0;

2SIN 2X · COS X + SIN 2X \u003d 0.

2) synd 2x · (2cos x + 1) \u003d 0;

synd 2x \u003d 0 eller 2cos x + 1 \u003d 0;

Från den första ekvationen 2x \u003d π / 2 + πn, n є z; Från den andra ekvationen Cos X \u003d -1/2.

Vi har x \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; Från den andra ekvationen x \u003d ± (π - π / 3) + 2πk, k є z.

Som ett resultat, X \u003d π / 4 + πN / 2, N є Z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k є z.

Svar: x \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k є z.

Färdigheter och färdigheter för att lösa trigonometriska ekvationer är mycket viktigt, deras utveckling kräver stora ansträngningar, både av studenten och från läraren.

Med lösningen av trigonometriska ekvationer är många utmaningar av stereometri, fysik och andra förknippade med processen att lösa sådana uppgifter, som det var, avslutar många kunskaper och färdigheter, som köps i studien av element i trigonometri.

Trigonometriska ekvationer upptar en viktig plats i processen att lära sig matematik och personlighetsutveckling som helhet.

Har frågor? Vet inte hur man ska lösa trigonometriska ekvationer?
För att få en handledare hjälp - Registrera.
Den första lektionen är gratis!

webbplatsen, med full eller partiell kopiering av materialreferensen till den ursprungliga källan krävs.

Lektionen för den integrerade kunskapsansökan.

Mål lektion.

1. Tänk på olika metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.
2. Utveckling av studentens kreativa förmågor genom att lösa ekvationer.
3. Frågan av studenter till självkontroll, sammankopplad, självanalys av sin studieaktiviteter.

Utrustning: Skärm, projektor, referensmaterial.

Under klasserna

Inledande konversation.

Den huvudsakliga metoden för att lösa trigonometriska ekvationer är informationen i deras enklaste. I detta fall används vanliga metoder, till exempel sönderdelning av multiplikatorer, såväl som tekniker som endast används för att lösa trigonometriska ekvationer. Dessa tekniker är ganska mycket, till exempel olika trigonometriska substitutioner, omvandling av vinklar, omvandling av trigonometriska funktioner. Den oordnade tillämpningen av alla trigonometriska transformationer förenklar vanligtvis inte ekvationen, och det gör det svårt att katastrofalt. För att fungera i allmänna termer måste ekvationslösningsplanen, skissera vägen för ekvationen till det enklaste, först och främst analysera vinklarna - argumenten i de trigonometriska funktionerna som ingår i ekvationen.

Idag kommer vi att prata om metoderna för att lösa trigonometriska ekvationer. Den korrekt valda metoden gör det möjligt för dig att väsentligt förenkla lösningen, så alla metoder vi har lärt oss behöver alltid hålla sin uppmärksamhet i zonen för att lösa trigonometriska ekvationer den mest lämpliga metoden.

II. (Med hjälp av projektorn upprepar vi metoderna för att lösa ekvationer.)

1. Metoden att föra den trigonometriska ekvationen till algebraisk.

Det är nödvändigt att uttrycka alla trigonometriska funktioner genom en, med samma argument. Detta kan göras med hjälp av den viktigaste trigonometriska identiteten och dess konsekvenser. Vi får ekvation med en trigonometrisk funktion. Efter att ha accepterat det för ett nytt okänt, får vi en algebraisk ekvation. Vi finner det rötter och återvänder till det gamla okända och löser de enklaste trigonometriska ekvationerna.

2. Metoden för sönderdelning på multiplikatorer.

För att byta hörn är formlerna, summorna och skillnaderna i argument, liksom formeln för omvandling av mängden (skillnad) av trigonometriska funktioner i arbetet och vice versa, ofta användbara.

synd x + synd 3x \u003d sin 2x + sin4x

3. Metod för införande av en ytterligare vinkel.

4. Metod för användning av en universell substitution.

Ekvationer av formuläret F (Sinx, Cosx, TGX) \u003d 0 reduceras till algebra med hjälp av en universell trigonometrisk substitution

Uttrycka sinus, cosinus och tangent genom en halv vinkel tangent. Denna teknik kan leda till högbeställning. Vars lösning är svår.

Begreppet lösning av trigonometriska ekvationer.

• För att lösa trigonometriska ekvationen, omvandla den till en eller flera av de viktigaste trigonometriska ekvationerna. Lösningen av trigonometriska ekvationen reduceras slutligen för att lösa fyra huvudtrigonometriska ekvationer.

Lösning av de viktigaste trigonometriska ekvationerna.

• Det finns 4 typer av grundläggande trigonometriska ekvationer:
• synd x \u003d a; Cos x \u003d a
• tG X \u003d A; CTG X \u003d A
• Lösningen av de viktigaste trigonometriska ekvationerna innebär övervägande av olika bestämmelser "X" på en enda cirkel, såväl som att använda konverteringstabellen (eller kalkylatorn).
• Exempel 1. SIN X \u003d 0,866. Med hjälp av konverteringstabellen (eller kalkylatorn) får du ett svar: x \u003d π / 3. En enda cirkel ger ett annat svar: 2π / 3. Kom ihåg: Alla trigonometriska funktioner är periodiska, det vill säga att deras värden upprepas. Till exempel är frekvensen av synd X och COS X 2πN, och frekvensen av Tg x och CTG X är lika med πN. Därför är svaret skrivet enligt följande:
• x1 \u003d π / 3 + 2πn; x2 \u003d 2π / 3 + 2πn.
• Exempel 2. Cos X \u003d -1/2. Med hjälp av konverteringstabellen (eller kalkylatorn) får du svaret: X \u003d 2π / 3. En enda cirkel ger ett annat svar: -2π / 3.
• x1 \u003d 2π / 3 + 2π; x2 \u003d -2π / 3 + 2π.
• Exempel 3. Tg (x - π / 4) \u003d 0.
• Svar: x \u003d π / 4 + πn.
• Exempel 4. CTG 2x \u003d 1,732.
• Svar: x \u003d π / 12 + πn.

Transformation som används för att lösa trigonometriska ekvationer.

• För att transformera trigonometriska ekvationer används algebraiska transformationer (sönderdelning av multiplikatorer, med homogena delar etc.) och trigonometriska identiteter.
• Exempel 5. Använda trigonometriska identiteter, konverteras ekvationen SIN X + SIN 2X + SIN 3X \u003d 0 till 4COS X * SIN-ekvation (3X / 2) * COS (X / 2) \u003d 0. Således bör följande huvudtrigonometriska ekvationer lösas: cos x \u003d 0; synd (3x / 2) \u003d 0; Cos (x / 2) \u003d 0.

• Hitta vinklar enligt kända värden på funktioner.

  • Innan du studerar metoderna för att lösa trigonometriska ekvationer, måste du lära dig hur man hittar hörn enligt kända värden på funktioner. Detta kan göras med hjälp av konverterings- eller kalkylatorbordet.
  • Exempel: COS X \u003d 0,732. Kalkylator kommer att ge ett svar x \u003d 42,95 grader. En enda cirkel ger ytterligare vinklar vars cosinus också är lika med 0,732.

• Postulera beslutet på en enda cirkel.

  • Du kan skjuta upp lösningarna av den trigonometriska ekvationen på en enda cirkel. Lösningarna av trigonometriska ekvationen på en enda cirkel är hörn av den korrekta polygonen.
  • Exempel: Lösningar X \u003d π / 3 + πN / 2 på en enda cirkel är torgets hörn.
  • Exempel: Lösningar X \u003d π / 4 + πN / 3 på en enda cirkel är de korrekta hexagonens hörn.

• Metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

  • Om denna trigonometriska ekvation endast innehåller en trigonometrisk funktion, bestäm det här ekvationen som en grundläggande trigonometrisk ekvation. Om denna ekvation innefattar två eller flera trigonometriska funktioner, är det 2 förfaranden för att lösa en sådan ekvation (beroende på möjligheten för dess omvandling).
    • Metod 1.
  • Konvertera denna ekvation till ekvationen av formen: f (x) * g (x) * h (x) \u003d 0, där f (x), g (x), h (x) är de viktigaste trigonometriska ekvationerna.
  • Exempel 6. 2COS X + SIN 2X \u003d 0. (0< x < 2π)
  • Beslut. Med hjälp av formeln för en dubbelvinkel synd 2x \u003d 2 * sin x * cos x, ersätt synd 2x.
  • 2SOS X + 2 * SIN X * COS X \u003d 2COS X * (SIN X + 1) \u003d 0. Bestäm nu två huvudtrigonometriska ekvationer: Cos X \u003d 0 och (Sin x + 1) \u003d 0.
  • Exempel 7. COS X + COS 2X + COS 3X \u003d 0. (0< x < 2π)
  • Lösning: Använda trigonometriska identiteter, omvandla denna ekvation till ekvationen av formen: COS 2X (2COS X + 1) \u003d 0. Bestäm nu de två huvudtrigonometriska ekvationerna: COS 2X \u003d 0 och (2COS X + 1) \u003d 0.
  • EXEMPEL 8. SIN X - SIN 3X \u003d COS 2X. (0.< x < 2π)
  • Lösning: Använda trigonometriska identiteter, omvandla denna ekvation till ekvationen av formen: -cos 2x * (2sin x + 1) \u003d 0. Bestäm nu de två huvudtrigonometriska ekvationerna: COS 2x \u003d 0 och (2sin x + 1) \u003d 0 och (2sin x + 1) \u003d 0 och (2sin x + 1) \u003d 0 .
    • Metod 2.
  • Konvertera denna trigonometriska ekvation till en ekvation innehållande endast en trigonometrisk funktion. Sedan ersätt denna trigonometriska funktion till några okända, till exempel, t (synd x \u003d t; cos x \u003d t; cos 2x \u003d t, tg x \u003d t; tg (x / 2) \u003d t, etc.).
  • Exempel 9. 3SIN ^ 2 x - 2cos ^ 2 x \u003d 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Beslut. Byt ut (Cos ^ 2 x) på (1 - sin ^ 2 x) (enligt identiteten). Den transformerade ekvationen är:
  • 3SIN ^ 2 x - 2 + 2SIN ^ 2 x - 4SIN X - 7 \u003d 0. Byt ut Sin X på t. Nu ser ekvationen ut: 5T ^ 2 - 4T - 9 \u003d 0. Detta är en fyrkantig ekvation med två rötter: T1 \u003d -1 och T2 \u003d 9/5. Den andra roten T2 uppfyller inte värdena för funktionsvärdena (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Exempel 10. Tg x + 2 tg ^ 2 x \u003d ctg x + 2
  • Beslut. Byt ut Tg x på T. Lossa den ursprungliga ekvationen i följande formulär: (2T + 1) (T ^ 2 - 1) \u003d 0. Hitta nu och hitta sedan X för t \u003d Tg x.

Överensstämmelse med din integritet är viktigt för oss. Av denna anledning har vi utvecklat en sekretesspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs vår sekretesspolicy och informera oss om du har några frågor.

Insamling och användning av personuppgifter

Under personlig information är föremål för data som kan användas för att identifiera en viss person eller kommunicera med den.

Du kan bestå av din personliga information när som helst när du ansluter till oss.

Nedan finns några exempel på de typer av personuppgifter som vi kan samla, och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information samlar vi:

• När du lämnar en applikation på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

När vi använder din personliga information:

• Vi samlade personlig information gör det möjligt för oss att kontakta dig och rapportera om unika förslag, kampanjer och andra evenemang och närmaste evenemang.
• Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och meddelanden.
• Vi kan också använda personlig information för interna ändamål, till exempel revision, dataanalys och olika studier för att förbättra tjänsterna i våra tjänster och ge dig rekommendationer för våra tjänster.
• Om du deltar i priserna, konkurrensen eller liknande stimulerande händelse, kan vi använda den information du tillhandahåller för att hantera sådana program.

Informationsupplysning till tredje part

Vi avslöjar inte informationen från dig till tredje part.

Undantag:

• Om det är nödvändigt - i enlighet med lag, rättsligt förfarande, i rättegången och / eller på grundval av offentliga frågor eller begäran från statliga organ på Ryska federationens territorium - att avslöja din personliga information. Vi kan också avslöja information om dig om vi definierar att sådant offentliggörande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhet, upprätthållande av lag och ordning eller andra socialt viktiga fall.
• När det gäller omorganisation, fusioner eller försäljning kan vi förmedla den personliga information som vi samlar in motsvarande tredje part - en efterträdare.

Skydd av personlig information

Vi gör försiktighetsåtgärder - inklusive administrativ, teknisk och fysisk - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och skrupelfri användning, liksom från obehörig åtkomst, avslöjande, förändringar och förstörelse.

Överensstämmelse med din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker, ger vi normen för sekretess och säkerhet till våra anställda, och följaktligen följer genomförandet av sekretessåtgärder.