Trigonometriska ekvationer med formeln att föra. Hur formler arbetar i problemet B11

Tema lektion

• Byte av sinus, cosinus och tangent med en ökning i vinkeln.

Mål lektion

• Få bekant med nya definitioner och kom ihåg några av de redan studerade.
• Det kommer att bli bekant med mönstret av förändringar i värdena för sinusens sinus och tangent som en ökning i vinkeln.
• Utveckling - utveckla studenternas, uthållighet, uthållighet, logiskt tänkande, matematiskt tal.
• Utbildning - genom en lektion för att utbilda uppmärksam attityd gentemot varandra, instänga förmågan att lyssna på kamrater, ömsesidigt utförande, oberoende.

Uppgifter lektion

• Kontrollera elevernas kunskaper.

Lektionsplanering

1. Upprepning av det tidigare studerade materialet.
2. Uppgifter för upprepning.
3. Byte av sinus, cosinus och tangent med en ökning i vinkeln.
4. Praktisk användning.

Upprepning av det tidigare studerade materialet

Låt oss börja från början och kom ihåg vad som är användbart att uppdatera i minnet. Vad är sinus, cosinus och tangent och till vilken del av geometrin inkluderar dessa begrepp.

Trigonometri- Detta är ett sådant komplext grekiskt ord: trigonon - triangel, tunnelbana - mått. Det blev på grekiska det betyder: de mäts av trianglar.

Ämne\u003e Matematik\u003e Matematik Grade 8

Hur man kommer ihåg formlerna för att få trigonometriska funktioner? Det är lätt om du använder föreningen. Föreningen är inte uppfunnit av mig. Som redan nämnts bör en bra förening "kedja", det vill säga att orsaka ljusa känslor. Jag kan inte namnge de känslor som orsakas av denna förening positiv. Men det ger resultatet - låter dig memorera formeln att föra, och har därför rätt att existera. I slutändan, om du inte gillar det, kan du inte använda den, eller hur?

De resulterande formlerna är: SIN (πN / 2 ± a), COS (πN / 2 ± a), Tg (πN / 2 ± a), CTG (πN / 2 ± a). Vi kommer ihåg att + α ger en rörelse moturs, α är rörelsen medsols.

Att arbeta med formlerna för att föra två saker:

1) Sätt ett tecken som har en första funktion (de skriver i läroböcker: driven. Men för att inte bli förvirrad är det bättre att kalla det första) om du anser α en vinkel på första kvartalet, det är litet .

2) Horisontell diameter - π ± α, 2π ± a, 3π ± α ... - I allmänhet, när det inte finns någon fraktion - ändras inte funktionen. Vertikal π / 2 ± α, 3π / 2 ± α, 5π / 2 ± α ... - När det finns en fraktion - Namnet på funktionen ändras: sinus - på cosinus, cosinus - på sinus, tangent - på kotangenes och Kotangenes - på tangent.

Nu, i själva verket, föreningen:

vertikal diameter (ätfraktion) -

berusad stående. Vad händer med honom tidigt

eller sent? Höger, fall.

Funktionsnamnet ändras.

Om diametern är horisontell - berusning ligger redan. Sova, förmodligen. Med honom händer ingenting, han har redan tagit ett horisontellt läge. Följaktligen ändras inte funktionsnamnet.

Det är synd (π / 2 ± α), synd (3π / 2 ± a), synd (5π / 2 ± a) etc. ge ± cosα

och synd (π ± α), synd (2π ± α), synd (3π ± α), ... - ± sina.

Som vi redan vet.

Hur det fungerar? Vi tittar på exemplen.

1) COS (π / 2 + α) \u003d?

Bli på π / 2. Sedan + α betyder fortsätter vi, moturs. Vi faller vid II-kvartalet, där Cosine har ett tecken "-". Namnet på funktionen ändras ("Drunk det är", vilket betyder - kommer att falla). Så,

cos (π / 2 + α) \u003d - synd α.

Vi blir på 2π. Sedan -α - gå tillbaka, det vill säga medurs. Vi faller i IV-kvartalet, där Tangent har ett tecken "-". Namnet på funktionen ändras inte (diametern är horisontell, "berusad ligger redan"). Således Tg (2π-a) \u003d-TGa.

3) CTG² (3π / 2-a) \u003d?

Exempel på vilka funktionen är uppställd i jämn grad är ännu enklare. En jämn grad "-" tar bort, det vill säga det är nödvändigt att ta reda på om namnet på funktionen ändras eller kvarstår. Diametern är vertikal (det finns en fraktion, "Drunk Costs," Falls), funktionsnamnet ändras. Vi får: CTG² (3π / 2-a) \u003d Tg²α.

Det finns två regler att använda formler.

1. Om vinkeln kan representeras i formuläret (π / 2 ± A) eller (3 * π / 2 ± A), då funktionsnamnet ändras Synd på cos, cos på synd, TG på CTG, CTG på TG. Om vinkeln kan representeras i formuläret (± A) eller (2 * π ± A), då funktionsnamnet förblir oförändrat.

Titta på ritningen nedan, det visas schematiskt när tecknet ska ändras, och när det inte är.

2. Regeln "Hur var du, så du stannade."

Tecknet på den angivna funktionen är densamma. Om källfunktionen hade ett plustecken, har den givna funktionen ett plustecken. Om källfunktionen hade ett minustecken, har den reducerade funktionen ett "minus" -tecken.

Figur nedan visar tecken på de viktigaste trigonometriska funktionerna beroende på kvartalet.

Beräkna synd (150˚)

Vi använder formlerna:

Sin (150˚) är under andra kvartalet, på ritningen ser vi att syndens tecken i kvartalet är +. Så ovanstående funktionen kommer också att vara ett tecken "plus". Detta gällde vi den andra regeln.

Nu 150˚ \u003d 90˚ + 60˚. 90˚ Detta är π / 2. Det vill säga, vi har att göra med fallet π / 2 + 60, därför, enligt den första regeln, ändra funktionen med synd på cos. Som ett resultat blir vi synd (150˚) \u003d cos (60˚) \u003d ½.

Om så önskas kan alla formler minskas till ett bord. Men det är fortfarande lättare att komma ihåg dessa två regler och använda dem.

Behöver du hjälp med att studera?

Föregående ämne:

Definition. Formlerna kallas formler som gör att du kan flytta från trigonometriska funktioner i formuläret till argumentets funktioner. Med sin hjälp kan sinus, cosinus, tangent och catangenes av en godtycklig vinkel tas till sinus, cosinus, tangent och catangent vinkel från intervallet från 0 till 90 grader (från 0 till radian). Således kan formlerna att föra oss att flytta till att arbeta med vinklar inom 90 grader, vilket utan tvekan är mycket bekvämt.

Hävda formler:

Det finns två regler att använda formler.

1. Om en vinkel kan representeras i formuläret (π / 2 ± A) eller (3 * π / 2 ± A), då funktionsnamnet ändrassynd på cos, cos på synd, TG på CTG, CTG på TG. Om vinkeln kan representeras i formuläret (± A) eller (2 * π ± A), då funktionsnamnet förblir oförändrat.

Titta på ritningen nedan, det är schematiskt visat när tecknet ska ändras, och när det inte är

2. Tecknet på den presenterade funktionen Det är detsamma. Om källfunktionen hade ett plustecken, har den givna funktionen ett plustecken. Om källfunktionen hade ett minustecken, har den reducerade funktionen ett "minus" -tecken.

Figur nedan visar tecken på de viktigaste trigonometriska funktionerna beroende på kvartalet.

Exempel:

Beräkna

Vi använder formlerna:

Sin (150˚) är under andra kvartalet, på ritningen ser vi att syndens tecken i kvartalet är "+". Så ovanstående funktionen kommer också att vara ett "+" -tecken. Detta gällde vi den andra regeln.

Nu 150˚ \u003d 90˚ + 60˚. 90˚ Detta är π / 2. Det vill säga, vi har att göra med fallet π / 2 + 60, därför, enligt den första regeln, ändra funktionen med synd på cos. Som ett resultat blir vi synd (150˚) \u003d cos (60˚) \u003d ½.

Och en annan uppgift B11 på samma ämne - från den verkliga ege av matematik.

En uppgift. Hitta värdet av uttrycket:

I den här korta videohandledningen lär vi oss hur man ansöker formler av gjutet För att lösa verkliga problem B11 från matematiken Ege. Som du ser, före oss - två trigonometriska uttryck, som alla innehåller sina sys och cosines, liksom ganska brutala numeriska argument.

Innan du löser dessa uppgifter, låt oss komma ihåg att en sådan formel att föra. Så, om vi har uttryck för formuläret:

Då kan vi bli av med den första termen (arten k · π / 2) med särskilda regler. Rita en trigonometrisk cirkel, vi noterar huvudpunkterna: 0, π / 2; π; 3π / 2 och 2π. Sedan tittar vi på den första termen under tecknet på en trigonometrisk funktion. Vi har:

1. Om komponenterna i termen som intresserar oss på den trigonomcirkelns vertikala axel (till exempel: 3π / 2, π / 2, etc.), ersätts den ursprungliga funktionen med en samfunktion: sinusen ersätts av cosinus , och cosinus - tvärtom, sinus.
2. Om vår term ligger på den horisontella axeln, ändras inte den ursprungliga funktionen. Rengör bara den första termen i uttryck - och det är det.

Således får vi en trigonometrisk funktion som inte innehåller villkoren för arten k · / 2. Men på detta arbete med formlerna för att föra. Faktum är att framför vår nya funktion som erhållits efter att "kassering" av den första termen kan stå ett plus eller minustecken. Hur bestämmer du detta tecken? Nu kommer jag att ta reda på det.

Föreställ dig att vinkeln a, kvar i den trigonometriska funktionen efter transformationer, har en mycket liten grad. Men vad betyder "liten åtgärd"? Antag att α ∈ (0; 30 °) är tillräckligt. Tänk på funktionen:

Därefter, efter våra antaganden att α ∈ (0; 30 °), drar vi slutsatsen att vinkeln på 3π / 2 - α ligger i det tredje koordinatkvartalet, dvs. 3π / 2 - α ∈ (π; 3π / 2). Kom ihåg tecknet på den ursprungliga funktionen, d.v.s. Y \u003d synd x på detta intervall. Det är uppenbart att bihålen i det tredje koordinatkvartalet är negativt, eftersom Sinus är, per definition, är ordinaten i slutet av den rörliga radien (kortare sinus är y-koordinaten). Tja, koordinatet Y i det nedre halvplanet tar alltid negativa värden. Det betyder att du i tredje kvartalet också är negativt.

Baserat på dessa reflektioner kan vi skriva ner det slutliga uttrycket:

Uppgift B11 - 1 Alternativ

Här är samma tekniker är ganska lämpliga för att lösa problemet B11 från tentamen i matematik. Den enda skillnaden är att i många verkliga problem B11 istället för strålningsmått (dvs siffror π, π / 2, 2π, etc.) använd en gradåtgärd (dvs 90 °, 180 °, 270 ° och etc) Låt oss titta på den första uppgiften:

Först kommer vi att hantera täljaren. Cos 41 ° är ett icke-fri värde, så vi kan inte göra någonting med det. Så långt och lämna.

Nu tittar vi på denominatorn:

sIN 131 ° \u003d SIN (90 ° + 41 °) \u003d COS 41 °

Självklart, före oss formeln att föra, ersatte Sinus Cosine. Dessutom ligger vinkeln på 41 ° på segmentet (0 °; 90 °), d.v.s. I det första koordinatkvartalet - exakt som krävs för tillämpningen av formeln att föra. Men då är 90 ° + 41 ° det andra koordinatkvartalet. Den ursprungliga funktionen y \u003d synden x är positiv där, så vi lägger framför cosinusen vid det sista steget "plus" tecken (med andra ord, jag satte inte någonting).

Det återstår att hantera det senaste elementet:

cOS 240 ° \u003d COS (180 ° + 60 °) \u003d -COS 60 ° \u003d -0,5

Här ser vi att 180 ° är en horisontell axel. Följaktligen kommer själva funktionen inte att förändras: det var en cosinus - och cosinusen kommer också att förbli. Men frågan uppstår: Plus eller minus kommer att stå före det erhållna expressionen COS 60 °? Observera att 180 ° är det tredje koordinatkvartalet. Cosinuset är det negativt, därför innan cosinuset i slutet kommer att stå "minus" -tecknet. Totalt, vi får -cos 60 ° \u003d -0,5 design är ett tabellvärde, så allt är lätt övervägt.

Nu ersätter vi de siffror som erhållits i den ursprungliga formeln och får:

Som vi ser är antalet COS 41 ° i numerator och denomoter av fraktionen lätt reducerad, och det vanliga uttrycket förblir, vilket är -10. Samtidigt kan minus antingen tas ut och sätta fraktionerna före skylten eller att "hålla" bredvid den andra faktorn tills det sista steget av beräkningar. Svaret kommer i alla fall att vara -10. Allt, uppgiften B11 är löst!

Uppgift B14 - 2 Alternativ

Gå till den andra uppgiften. Före oss igen, fraktionen:

Tja, 27 ° vi har i det första koordinatkvarteret, så vi kommer inte att ändra någonting här. Men synd 117 ° måste målas (hittills utan någon kvadrat):

sIN 117 ° \u003d SIN (90 ° + 27 °) \u003d COS 27 °

Självklart är vi igen formen av gjutningen: 90 ° är en vertikal axel, därför kommer sinusen att förändras till cosinusen. Dessutom ligger vinkeln a \u003d 117 ° \u003d 90 ° + 27 ° i det andra koordinatkvarteret. Den ursprungliga funktionen Y \u003d sin X är positiv där, därför, innan cosinuset efter att alla transformationer fortfarande är ett tecken "plus". Med andra ord läggs ingenting där - och lämna: COS 27 °.

Vi återvänder till det första uttrycket som du vill beräkna:

Som vi kan se, i denominatorn efter omvandlingen, inträffade den viktigaste trigonometriska identiteten: Sin 2 27 ° + COS 2 27 ° \u003d 1. Totalt -4: 1 \u003d -4 - så vi hittade svaret på den andra uppgiften B11.

Som du kan se, med hjälp av formeln att föra sådana uppgifter från matematiken på matematiken, löses bokstavligen i ett par linjer. Inga bihålor av mängden och cosinusskillnaderna. Allt vi behöver komma ihåg är bara en trigonometrisk cirkel.