Hur multiplicerar man med vanliga fraktioner. Regler för multiplikation av fraktioner för numret

Multiplikation och uppdelning av fraktioner.

Uppmärksamhet!
Detta ämne har ytterligare
Material i en speciell avsnitt 555.
För dem som är starkt "inte mycket ..."
Och för dem som är "mycket ...")

Denna operation är mycket mer trevligare tillägg-subtraktion! Eftersom det är lättare. Jag påminner dig: För att multiplicera fraktionen på fraktionen måste du multiplicera siffrarna (det kommer att vara det resulterande) och nämnare (det här kommer att vara nämnaren). Dvs:

Till exempel:

Allt är extremt enkelt. Och snälla leta inte efter en gemensam nämnare! Behöver inte honom här ...

För att dela upp fraktionen för fraktionen måste du vända om andra(Detta är viktigt!) Fraktion och multiplicera dem, dvs:

Till exempel:

Om multiplikation eller division med heltal och fraktioner fångades - inget hemskt. Som med tillägget gör vi en fraktion med en enhet i denominatorn - och framåt! Till exempel:

I gymnasiet är det ofta nödvändigt att hantera tre våningar (eller till och med fyra våningar!) Droks. Till exempel:

Hur man tar med denna fraktion till ett anständigt sinne? Ja, väldigt enkelt! Använd division i två punkter:

Men glöm inte om divisionens ordning! Till skillnad från multiplikation är det väldigt viktigt här! Naturligtvis, 4: 2, eller 2: 4 är vi inte förvirrade. Men i den tre våningar fraktionerna är det lätt att göra ett misstag. Obs! Till exempel:

I det första fallet (uttryck till vänster):

I det andra (uttryck till höger):

Känner du skillnaden? 4 och 1/9!

Och vad är Divisionsordningen? Eller fästen, eller (som här) längden på horisontella linjer. Utveckla ögonmätaren. Och om det inte finns några parenteser, eller dash, som:

dela sedan-multiplicera i några, vänster till höger!

Och fortfarande väldigt enkelt och viktig mottagning. I handlingar med grader, han, hur kan jag komma till hands! Vi delar upp enheten till någon fraktion, till exempel, senast 13/15:

Fraktionen vände sig över! Och det händer alltid. När du delar 1 till någon fraktion, som ett resultat, får vi samma fraktion bara inverterad.

Det är alla handlingar med fraktioner. Saken är ganska enkel, men misstagen ger mer än tillräckligt. Observera det praktiska rådet, och deras (fel) blir mindre!

Praktiska tips:

1. Det viktigaste när du arbetar med fraktionella uttryck är noggrannhet och uppmärksamhet! Det här är inte vanliga ord, inte bra önskningar! Detta är ett hårt behov! Alla beräkningar på tentamen gör som en fullständig uppgift, med fokus och tydligt. Det är bättre att skriva två extra linjer i utkastet, än att ackumuleras vid beräkning av sinnet.

2. I exemplen med olika arter Fraktioner - Gå till vanliga fraktioner.

3. Alla fraktioner skärs tills det stannar.

4. Multi-våning fraktionella uttryck Vi reduceras till vanlig med hjälp av division i två punkter (följ divisionsbeställningen!).

5. Enhet av fraktion delas i åtanke, bara vända fraktionen.

Här är de uppgifter du behöver bryta. Svar ges efter alla uppgifter. Använd materialet i detta ämne och praktiska råd. Räkna hur många exempel du kan lösa korrekt. Första gången! Utan en räknare! Och gör trogen slutsatser ...

Kom ihåg - det rätta svaret, den som härrör från den andra (ännu mer - den tredje) tiderna - inte beaktas! Sådan är ett hårdt liv.

Så, vi bestämmer oss i provläget ! Detta är redan förberett för tentamen, förresten. Vi löser exemplet, kontrollera, lösa följande. De bestämde allt - de kontrollerade igen från den första till sist. Endast senare Vi tittar på svaren.

Beräkna:

Har du klippt?

Vi letar efter svar som sammanfaller med din. Jag registrerade dem specifikt i disarray, bort från frestelsen, så att säga ... så de besvaras, den punkt med kommatecken spelas in.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Och nu gör vi slutsatser. Om allt hände - är jag glad för dig! Elementära beräkningar med fraktioner - inte ditt problem! Du kan göra mer allvarliga saker. Om inte...

Så du har ett av två problem. Eller både på en gång.) Brist på kunskap och (eller) ouppmärksamhet. Men det här löst Problem.

Om du gillar den här sidan ...

Förresten har jag ett annat par intressanta platser för dig.)

Det kan nås i att lösa exempel och ta reda på din nivå. Test med omedelbar kontroll. Lär dig - med intresse!)

Du kan bekanta dig med funktioner och derivat.

) Och nämnaren på denominatorn (vi får en denominator i arbetet).

Formel multiplikationsfraktioner:

Till exempel:

Innan du fortsätter med multiplikation av siffror och nämnare är det nödvändigt att kontrollera möjligheten att skära fraktionen. Om det visar sig förkorta fraktionen, blir du lättare att utföra beräkningar.

Uppdelning av vanlig fraktion på fraktionen.

Divisionfraktioner med deltagande av ett naturligt nummer.

Det är inte så läskigt som det verkar. Som i fallet med att lägga till översätter vi ett heltal i fraktionen med en enhet i denominatorn. Till exempel:

Multiplicera blandade fraktioner.

Regler för multiplikation av fraktioner (blandad):

vi omvandlar blandade fraktioner i fel;
minska siffrorna och nämnare av fraktioner;
reducera fraktionen;
om du har fel fraktion, omvandlar vi felfraktionen till en blandad.

Notera! Att multiplicera blandad fraktion Till en annan blandad fraktion måste du börja, leda dem till de felaktiga fraktionerna och multiplicera sedan med multiplikationsstegen av vanliga fraktioner.

Den andra metoden för multiplikation av fraktionen på ett naturligt tal.

Det händer mer bekvämt att använda det andra sättet att multiplicera. vanlig fraci efter nummer.

Notera! För multiplikation av fraktioner på naturligt nummer En nämnare behövs för att dela upp numret, och täljaren lämnas oförändrad.

Från ovanstående är exemplet klart att detta alternativ är bekvämare för användning när fraktionens beteckning är uppdelad utan återstod på ett naturligt tal.

Multi-våningar fraktioner.

I gymnasiet finns tre våningar (eller flera) fraktioner. Exempel:

För att få en sådan fraktion till det vanliga sinne, använd division efter 2 poäng:

Notera!I delningsfraktioner är divisionens ordning mycket viktig. Var försiktig, det är lätt att bli förvirrad här.

Notera, t.ex:

När dela enheter på någon fraktion, kommer resultatet samma fraktion, bara inverterad:

Praktiska tips när du multiplicerar och delar fraktioner:

1. Det viktigaste i att arbeta med fraktionella uttryck är noggrannhet och uppmärksamhet. Alla beräkningar gör noggrant och försiktigt, koncentrerat och tydligt. Bättre skriv ner några onödiga linjer i utkastet, än att bli förvirrad i beräkningarna i sinnet.

2. I uppgifter med olika typer av fraktioner - gå till arten av vanliga fraktioner.

3. Alla fraktioner minskar tills det är omöjligt att skära.

4. Fraktionsprutor med flera våningar är i form av vanligt, med hjälp av divisionen efter 2 poäng.

5. Enhet av fraktion delas i åtanke, bara vända fraktionen.

Multiplikation av vanliga fraktioner

Tänk på ett exempel.

Antag på en tallrik ligger $ \\ frac (1) (3) $ del av äpplet. Det är nödvändigt att hitta $ \\ frac (1) (2) $ del från den. Den nödvändiga delen är resultatet av multiplikationen av fraktionerna på $ \\ frac (1) (3) $ och $ \\ frac (1) (2) $. Resultatet av multiplikation av två vanliga fraktioner är en vanlig fraktion.

Multiplicera två vanliga fraktioner

Regeln för multiplikation av vanliga fraktioner:

Resultatet av multiplikationen av fraktionen på fraktionen är fraktionen, vars täljare är lika med produkten av siffror med multiplicering av fraktioner, och nämnaren är lika med produkten av nämnare:

Exempel 1.

Utför multiplikation av vanliga fraktioner $ \\ frac (3) (7) $ och $ \\ frac (5) (11) $.

Beslut.

Vi använder regeln om multiplikation av vanliga fraktioner:

\\ [\\ Frac (3) (7) \\ cdot \\ frac (5) (11) \u003d \\ frac (3 \\ cdot 5) (7 \\ cdot 11) \u003d \\ frac (15) (77) \\]

Svar: $ \\ Frac (15) (77) $

Om, som ett resultat av multiplicering av fraktioner, erhålls en reducerad eller felaktig fraktion, är det nödvändigt att förenkla det.

Exempel 2.

Utför multiplikation av fraktioner $ \\ frac (3) (8) $ och $ \\ frac (1) (9) $.

Beslut.

Vi använder regeln om multiplikation av vanliga fraktioner:

\\ [\\ Frac (3) (8) \\ cdot \\ frac (1) (9) \u003d \\ frac (3 \\ cdot 1) (8 \\ cdot 9) \u003d \\ frac (3) (72) \\]

Som ett resultat fick de en reduktionsfraktion (på grundval av division med $ 3 $. Täljaren och denominatorn för FRACI divides med $ 3 $, vi får:

\\ [\\ Frac (3) (72) \u003d \\ frac (3: 3) (72: 3) \u003d \\ frac (1) (24) \\]

Sammanfattning:

\\ [\\ Frac (3) (8) \\ cdot \\ frac (1) (9) \u003d \\ frac (3 \\ cdot 1) (8 \\ cdot 9) \u003d \\ frac (3) (72) \u003d \\ frac (1) (24) \\]

Svar: $ \\ Frac (1) (24). $

Vid multiplicering av fraktioner kan skärningar och nämnaren minskas till sitt arbete. I det här fallet nekades numeratorn och denominatorn för Faraty till enkla faktorer, varefter de upprepade multiplikatorerna reduceras och resultatet är.

Exempel 3.

Beräkna fraktionernas arbete $ \\ frac (6) (75) $ och $ \\ frac (15) (24) $.

Beslut.

Vi använder multiplikationsformeln för vanliga fraktioner:

\\ [\\ Frac (6) (75) \\ cdot \\ frac (15) (24) \u003d \\ frac (6 \\ cdot 15) (75 \\ cdot 24) \\]

Självklart finns det siffror i täljaren och denominatorn, som kan vara i par på $ 2 $, $ 3 $ och $ 5 $. Sprid täljaren och denominatorn för enkla faktorer och kommer att göra en minskning:

\\ [\\ Frac (6 \\ cdot 15) (75 \\ cdot 24) \u003d \\ frac (2 \\ cdot 3 \\ cdot 3 \\ cdot 5) (3 \\ cdot 5 \\ cdot 5 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 3) \u003d \\ frac (1) (5 \\ cdot 2 \\ cdot 2) \u003d \\ frac (1) (20) \\]

Svar: $ \\ Frac (1) (20). $

Med multiplikation av fraktioner kan en överföringsrätt tillämpas:

Multiplikation av vanlig fraktion på ett naturligt nummer

Regeln för multiplikation av vanlig fraktion på ett naturligt tal:

Resultatet av multiplicering av fraktionen på ett naturligt tal är den fraktion i vilken täljaren är lika med produkten av multiplayfraktionen på det naturliga numret, och nämnaren är lika med den multipliktmätare

där $ \\ frac (a) (b) är en vanlig fraktion, är $ n $ ett naturligt nummer.

Exempel 4.

Utför multiplikationen av fraktionen $ \\ frac (3) (17) $ $ 4 $.

Beslut.

Vi använder multiplikationsregeln av en vanlig fraktion på ett naturligt nummer:

\\ [\\ Frac (3) (17) \\ cdot 4 \u003d \\ frac (3 \\ cdot 4) (17) \u003d \\ frac (12) (17) \\]

Svar: $ \\ Frac (12) (17). $

Glöm inte att kontrollera resultatet av multiplikation av fraktionen eller felaktig fraktion.

Exempel 5.

Multiplicera fraktionen av $ \\ frac (7) (15) $ med nummer $ 3 $.

Beslut.

Vi använder formeln för att multiplicera fraktionen på ett naturligt nummer:

\\ [\\ Frac (7) (15) \\ cdot 3 \u003d \\ frac (7 \\ cdot 3) (15) \u003d \\ frac (21) (15) \\]

På grundval av division med nummer $ 3 $) kan det bestämmas att den resulterande fraktionen kan reduceras:

\\ [\\ Frac (21) (15) \u003d \\ frac (21: 3) (15: 3) \u003d \\ frac (7) (5) \\]

Som ett resultat fick de fel fraktion. Vi markerar hela delen:

\\ [\\ Frac (7) (5) \u003d 1 \\ frac (2) (5) \\]

Sammanfattning:

\\ [\\ Frac (7) (15) \\ cdot 3 \u003d \\ frac (7 \\ cdot 3) (15) \u003d \\ frac (21) (15) \u003d \\ frac (7) (5) \u003d 1 \\ frac (2) (fem)\\]

Minskat fraktionen kan också ersättas med siffror i en täljare och nämnare på deras sönderdelning till enkla multiplikatorer. I det här fallet kunde beslutet registreras så här:

\\ [\\ Frac (7) (15) \\ cdot 3 \u003d \\ frac (7 \\ cdot 3) (15) \u003d \\ frac (7 \\ cdot 3) (3 \\ cdot 5) \u003d \\ frac (7) (5) \u003d 1 \\ frac (2) (5) \\]

Svar: $ 1 \\ frac (2) (5). $

När du multiplicerar fraktionen på ett naturligt tal kan en rörelseglag användas:

Division av vanliga fraktioner

Divisionsoperationen är tillbaka till multiplikation och dess resultat är en fraktion för vilken du behöver multiplicera en känd fraktion för att få känt arbete Två fraktioner.

Uppdelning av två vanliga fraktioner

Divisionsregeln för vanliga fraktioner:Självklart kan täljaren och denominatorn för den resulterande fraktionen sönderdelas på enkla faktorer och minska:

\\ [\\ Frac (8 \\ cdot 35) (15 \\ cdot 12) \u003d \\ frac (2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 5 \\ cdot 7) (3 \\ cdot 5 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 3) \u003d \\ Frac (2 \\ cdot 7) (3 \\ cdot 3) \u003d \\ frac (14) (9) \\]

Som ett resultat erhölls den felaktiga fraktionen från vilken vi allokerar hela delen:

\\ [\\ Frac (14) (9) \u003d 1 \\ frac (5) (9) \\]

Svar: $ 1 \\ frac (5) (9). $

§ 87. Tillägg av fraktioner.

Tillsats av fraktioner har många likheter med tillägget av heltal. Tillsats av fraktioner Det finns en åtgärd som består i det faktum att flera datainstanser (villkor) är anslutna i ett nummer (mängd) som innehåller alla enheter och aktier av komponenterna i komponenterna.

Vi kommer konsekvent att överväga tre fall:

1. Tillägg av fraktioner med samma nämnare.
2. Tillägg av fraktioner med olika nämnare.
3. Tillägg av blandade nummer.

1. Tillägg av fraktioner med samma nämnare.

Tänk på ett exempel: 1/5 + 2/5.

Ta segmentet AB (figur 17), vi tar det för en och dela med 5 lika delar, Då en del av högtalarna i detta segment kommer att vara lika med 1/5 segment AB, och en del av samma CD-segment kommer att vara 2/5 AB.

Från ritningen kan det ses att om du tar en sektion av annons, kommer det att vara lika med 3/5 AV; Men segmentannons är bara summan av segmenten av AC och CD. Så du kan skriva:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Med tanke på uppgifterna om komponenterna och det mottagna beloppet ser vi att beloppet av beloppet visade sig från tillsatsen av antalet komponenter, och nämnaren förblev oförändrad.

Härifrån får vi följande regel: för att vika fraktionerna med samma nämnare är det nödvändigt att vika sina siffror och lämna samma nämnare.

Tänk på ett exempel:

2. Tillägg av fraktioner med olika nämnare.

Fällande fraktionerna: 3/4 + 3/8 behöver tidigare leda till den minsta gemensamma nämnaren:

Intermediate Link 6/8 + 3/8 kunde inte skrivas. Vi skrev det här för större klarhet.

Således, för att vika fraktionerna med olika nämnare, måste du först leda dem till den minsta vanliga nämnaren, vika sina siffror och underteckna en gemensam nämnare.

Tänk på ett exempel (ytterligare multiplikatorer skrivs över lämpliga fraktioner):

3. Tillägg av blandade nummer.

Flytta siffrorna: 2 3/8 + 3 5/6.

Vi ger först fraktionella delar av våra nummer till en gemensam nämnare och skriva om dem igen:

Lägg nu till samvetsgranna och fraktionella delar:

§ 88. Subtraktion av fraktioner.

Subtraktion av fraktioner bestäms på samma sätt som subtraktion av heltal. Detta är den åtgärd med vilken denna summa av de två komponenterna och en av dem finner den andra termen. Tänk på successivt tre fall:

1. Subtraktion av fraktioner med samma nämnare.
2. Subtraktion av fraktioner med olika nämnare.
3. Subtraktion av blandade nummer.

1. Subtraktion av fraktioner med samma nämnare.

Tänk på ett exempel:

13 / 15 - 4 / 15

Ta segmentet AB (bild 18), vi tar det för en enhet och delar upp i 15 lika delar; Då kommer en del av talmarna i det här segmentet att vara 1/15 från AB, och en del av annonsen på samma segment kommer att motsvara 13/15 AB. Jag kommer att skjuta upp ett annat segment ed lika med 4/15 ab.

Vi måste subtrahera av 13/15 fraktion 4/15. På ritningen betyder det att från segmentannonsen måste du ta bort segmentet Ed. Som ett resultat kommer det att förbli ett segment AE, som är 9/15 segment AB. Så vi kan skriva:

Exemplet som gjorts av oss visar att skillnadsnumreringen visade sig från att subtrahera siffrarna, och nämnaren förblev densamma.

För att göra subtraktionen av fraktioner med samma nämnare, behövde den täljare som lämnats in från den minskade numreringen och lämna den tidigare nämnaren.

2. Subtraktion av fraktioner med olika nämnare.

Exempel. 3/4 - 5/8

Förge dessa fraktioner till den minsta generella nämnaren:

Intermediate Link 6/8 - 5/8 är skrivet här för större klarhet, men du kan fortsätta att hoppa över det.

För att subtrahera fraktion från fraktionen måste du först leda dem till den minsta gemensamma nämnaren, då från täljaren av den reducerade avdragsgilla täljaren subtrabel och under deras skillnad för att underteckna den allmänna nämnaren.

Tänk på ett exempel:

3. Subtraktion av blandade nummer.

Exempel. 10 3/4 - 7 2/3.

Vi ger fraktionerade delar av den reducerade och skickas till den minsta generella nämnaren:

Vi har drat av en hel av hela och fraktionen från fraktionen. Men det finns fall när den fraktionella delen av den subtraherade delen av fraktionerna reduceras. I sådana fall är det nödvändigt att ta en enhet från den reducerade delen av den reducerade, för att krossa den i aktierna, i vilken fraktionell del uttalas och tillägg till den minskade fraktionerna. Och sedan kommer subtraktion att utföras på samma sätt som i föregående exempel:

§ 89. Multiplikation av fraktioner.

När vi studerar multiplikation av fraktioner kommer vi att överväga följande frågor:

1. Multiplicera fraktionen för ett heltal.
2. Hitta fraktionen av detta nummer.
3. Multiplicera ett heltal på fraktionen.
4. Multiplikation av fraktionen på fraktionen.
5. Multiplicera blandat antal.
6. Begrepp av intresse.
7. Hitta procent av detta nummer. Betrakta dem konsekvent.

1. Multiplicera fraktionen för ett heltal.

Multiplikationen av fraktionen för ett heltal är samma betydelse som multiplikationen av ett heltal. Multiplicera fraktionen (multiplikatorn) till ett heltal (multiplikator) - det betyder att utarbeta mängden av samma termer, i vilka varje term är lika med multiplikatorn och antalet komponenter är lika med faktorn.

Så, om du behöver 1/9 för att multiplicera med 7, så kan det här göras så här:

Vi fick lätt resultatet, eftersom åtgärden gjordes till tillsats av fraktioner med samma nämnare. Därav,

Övervägande av denna åtgärd visar att multiplikationen av fraktionen för ett heltal motsvarar en ökning av denna fraktion vid så många gånger som antalet är innehållet i ett antal siffror. Och eftersom ökningen av fraktionen uppnås eller genom att öka sitt nummer

eller genom att minska sin nämnare , vi kan antingen multiplicera siffran till hela, eller dela upp denominatorn om den här uppdelningen är möjlig.

Härifrån får vi regeln:

För att multiplicera fraktionen för ett heltal måste du multiplicera med numret på täljaren och lämna samma nämnare eller, om möjligt dela upp denominatorn till det här numret, vilket lämnar täljaren utan att ändra.

Under multiplikation är förkortningar möjliga, till exempel:

2. Hitta fraktionen av detta nummer.Det finns många uppgifter, när du löser, som du måste hitta, eller beräkna, en del av det här numret. Skillnaden mellan dessa uppgifter från andra är att de ges ett antal av några föremål eller måttenheter och krävs för att hitta en del av detta nummer, vilket också indikeras av en viss fraktion. För att underlätta förståelsen ger vi först exempel på sådana uppgifter, och sedan introducera vägen att lösa dem.

Uppgift 1.Jag hade 60 rubel; 1/3 av dessa pengar jag spenderade på inköp av böcker. Hur mycket kostar boken?

Uppgift 2. Tåget måste passera avståndet mellan städerna i A och B, lika med 300 km. Han har redan passerat 2/3 av detta avstånd. Hur mycket är det kilometer?

Uppgift 3.I byn 400 hus, varav 3/4 tegelstenar, resten är trä. Hur mycket är allt tegelhus?

Här är några av de många uppgifterna att hitta en del av det antal som vi måste träffas. De kallas vanligtvis uppgifter för att hitta fraktionen av detta nummer.

Lösning av problem 1. Av 60 rubel. Jag tillbringade på böcker 1/3; Det betyder att för att hitta kostnaden för böcker behöver du ett nummer 60 för att dela med 3:

Upplösning av uppgift 2.Betydelsen av uppgiften är att hitta 2/3 från 300 km. Jag beräknar första 1/3 från 300; Detta uppnås genom att dela 300 km till 3:

300: 3 \u003d 100 (detta är 1/3 av 300).

För att hitta två tredjedelar från 300 måste du förstoras två gånger två gånger, dvs multiplicera med 2:

100 x 2 \u003d 200 (detta är 2/3 från 300).

Uppgiftslösning 3.Här måste du bestämma antalet tegelhus som utgör 3/4 från 400. Hitta 1/4 från 400 först,

400: 4 \u003d 100 (detta är 1/4 från 400).

För att beräkna tre fjärdedelar från 400 måste det mottagna privata behovet ökas i tre gånger, dvs multiplicera med 3:

100 x 3 \u003d 300 (detta är 3/4 från 400).

Baserat på att lösa dessa uppgifter kan vi härleda följande regel:

För att hitta fraktionsvärde från ett visst nummer måste du dela upp det här numret till fraktionernas denomoter och den mottagna privata multiplicerade till sin täljare.

3. Multiplicera ett heltal på fraktionen.

Tidigare (§ 26) konstaterades att multiplikation av heltal bör förstås som tillsats av samma termer (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). I denna paragraf (punkt 1) konstaterades det att multiplicering av fraktionen för ett heltal - det betyder att det innebär att antalet är lika med den här fraktionen.

I båda fallen var multiplikationen att hitta mängden av samma termer.

Nu går vi till multiplikationen av ett heltal på fraktionen. Här kommer vi att träffas med sådan, till exempel multiplikation: 9 2/3. Det är uppenbart att den tidigare definitionen av multiplikation inte är lämplig för detta ärende. Detta framgår av det faktum att vi inte kan ersätta en sådan multiplikation med tillägg av lika antal.

På grund av detta måste vi ge en ny definition av multiplikation, dvs det, med andra ord, för att svara på frågan om du bör förstå med multiplikation med fraktion, eftersom du behöver förstå denna åtgärd.

Betydelsen av att multiplicera ett heltal för en fraktion upptäcks av följande definition: multiplicera ett helt tal (multiplikator) till fraktionen (multiplikatorn) - det betyder att hitta denna bråkdel av multiplikatorn.

Det är att för att multiplicera 9 med 2/3 - det innebär att hitta 2/3 av nio enheter. I föregående stycke löstes sådana uppgifter. Därför är det lätt att föreställa oss att vi kommer att resultera i 6.

Men nu uppstår en intressant och viktig fråga: Varför är de vid första anblicken olika åtgärderGilla att hitta beloppet lika många Och hitta ett frafriskt nummer, i aritmetik kallas samma ord "multiplikation"?

Det händer eftersom den tidigare åtgärden (upprepningen av antalet flera gånger) och en ny åtgärd (att hitta ett frakterat nummer) ge ett svar på homogena frågor. Så vi fortsätter här från de överväganden som homogena frågor eller uppgifter löses med samma åtgärd.

För att förstå detta, överväga följande uppgift: "1 m SUKNA kostar 50 rubel. Hur mycket kostar det 4 m av en sådan trasa? "

Denna uppgift löses genom att multiplicera antalet rubel (50) med antalet meter (4), dvs 50 x 4 \u003d 200 (gnidning).

Ta samma uppgift, men i det kommer mängden tyg att uttryckas av ett fraktionaltnummer: "1 m Sukna kostar 50 rubel. Hur mycket kostar det 3/4 m av sådan trasa? "

Denna uppgift måste också lösas genom att multiplicera antalet rubel (50) med antalet meter (3/4).

Det är möjligt och flera gånger, utan att ändra betydelsen av problemet, att ändra siffrorna i det, ta till exempel 9/10 m eller 2 3/10 m och så vidare.

Eftersom dessa uppgifter har samma innehåll och skiljer sig endast i antal, kallar vi de åtgärder som används för att lösa dem, samma ord - multiplikation.

Hur är multiplikationen av ett heltal på fraktionen?

Ta de siffror som finns i den senaste uppgiften:

Enligt definitionen måste vi hitta 3/4 av 50. Vi hittar först 1/4 från 50, och sedan 3/4.

1/4 nummer 50 är 50/4;

3/4 nummer 50 smink.

Därav.

Tänk på ett annat exempel: 12 5/8 \u003d?

1/8 nummer 12 är 12/8,

5/99 nummer 12 är uppbyggda.

Därav,

Härifrån får vi regeln:

För att multiplicera ett heltal på fraktionen måste du multiplicera heltalet på flusternumret och den här produkten är gjord av en täljare, och denominatorn undertecknar denominatorn för denna fraktion.

Vi skriver denna regel med bokstäver:

För att göra denna regel bör det förstås helt, det bör komma ihåg att fraktionen kan betraktas som en privat. Därför är regeln som är användbar att jämföra med multiplikationsstegen av numret på den privata, som anges i § 38

Man måste komma ihåg att innan du utför multiplicering, bör du göra (om möjligt) förkortning, t.ex:

4. Multiplikation av fraktionen på fraktionen. Multiplikationen av fraktionen på fraktionen är densamma betydelsen som multiplikationen av ett heltal på fraktionen, det vill säga när fraktionen multiplicerar, är fraktionen nödvändig från den första fraktionen (multiplikatorn) för att hitta en fraktion mot multiplikatorn.

Det är, multiplicerar 3/4 till 1/2 (hälften) - det betyder att hitta hälften från 3/4.

Hur är multiplikationen av fraktionen på fraktionen?

Ta exempel: 3/4 Multiplicera med 5/7. Det innebär att du behöver hitta 5/7 från 3/4. Hitta först 1/7 från 3/4, och sedan 5/7

1/7 nummer 3/4 kommer att uttrycka:

5/7 Numbers 3/4 uttrycks så här:

På det här sättet,

Ett annat exempel: 5/8 Multiplicera med 4/9.

1/9 nummer 5/8 är

4/9 nummer 5/8 består.

På det här sättet,

Från övervägande av dessa exempel kan du dra tillbaka följande regel:

För att multiplicera fraktionen för fraktionen måste du multiplicera siffran till täljaren, och denominatorn är till denominatorn och den första produkten för att göra en täljare och den andra är denominatorn.

Denna regel B. allmän Du kan skriva så här:

Vid multiplicera är det nödvändigt att göra (om möjligt) minskning. Tänk på exempel:

5. Multiplicera blandat antal. Eftersom blandade tal enkelt kan ersättas med felaktiga fraktioner används denna omständighet vanligtvis vid multiplicering av blandade nummer. Detta innebär att i fall där multiplikatorn eller multiplikatorn eller båda fabriken uttrycks av blandade tal ersätts de med felaktiga fraktioner. Flytta till exempel blandat antal: 2 1/2 och 3 1/5. Vi vänder var och en av dem i felfraktionen och sedan multiplicerar vi de resulterande fraktionerna enligt fraktionens regel för fraktionen:

Regel. För att multiplicera de blandade siffrorna måste du förvandla dem till felfraktionen och sedan multiplicera med regeln för fraktionen för fraktionen.

Notera. Om en av faktorerna är ett heltal, kan multiplicering utföras på grundval av distributionslagen så här:

6. Begrepp av intresse. Vid lösning av problem och när vi utför olika praktiska beräkningar använder vi alla slags fraktioner. Men det bör komma ihåg att många värden tillåter inte några, men de naturliga divisionerna för dem. Till exempel kan du ta hundra (1/100) av rubeln, det kommer att vara ett öre, tvåhundra är 2 cop., Tre hundra: 3 Kopecks. Du kan ta 1/10 rubel, det kommer att vara "10 Kopecks, eller en Grivk. Du kan ta en fjärdedel av rubeln, dvs 25 kopecks, hälften av rubeln, dvs 50 kopecks. (Filtrera). Men praktiskt taget tar inte det Till exempel 2/7 rubel eftersom rubeln på sjunde aktierna inte är uppdelad.

Enhetsmätaren, d.v.s. kilo, gör främst decimalavdelningar, till exempel 1/10 kg eller 100 g. Och en sådan lob av ett kilo, som 1/6, 1/11, 1/11, är ovanliga.

I allmänhet är våra (metriska) åtgärder decimal och erkänner decimaler.

Det bör dock noteras att det är extremt användbart och bekvämt i ett brett utbud av fall att använda samma (monotona) metod för uppdelning av värden. Många års erfarenhet har visat att en sådan välfärdig uppdelning är "hundratals" division. Tänk på flera exempel relaterade till de mest olika regionerna av mänsklig praxis.

1. Priset på böcker sjönk till 12/100 tidigare priser.

Exempel. Det tidigare priset på boken är 10 rubel. Hon tappade på 1 rubel. 20 cop

2. Sparningsbiljetter betalas under året till insättare på 2/100 belopp, vilket sätts på besparingarna.

Exempel. På kassan lades 500 rubel, intäkter från detta belopp per år är 10 rubel.

3. Antalet kandidater från en skola uppgick till 5/100 av det totala antalet studenter.

Prima Endast 1200 studenter studerade i skolan, varav 60 personer examen från skolan.

Hundra av numret kallas en procentandel.

Ordet "procentandel" lånas från det latinska språket och dess root "cent" betyder hundra. Tillsammans med förevändningen (Pro Centum), betecknar detta ord "för ett hundra". Betydelsen av ett sådant uttryck följer från de omständigheter som ursprungligen i antika Rom Intresset kallades pengar, som betalade gäldenären till långivaren "för varje hundra". Ordet "cent" hörs i sådana alla kända ord: Centner (ett hundra kilo), Centimetern (Santimeter säger).

Till exempel, istället för att säga att anläggningen för den senaste månaden gav äktenskap 1/100 från alla de produkter som utvecklats av honom, kommer vi att prata så här: fabriken för den senaste månaden gav en procentandel äktenskap. I stället för att prata: Anläggningen har utvecklat produkter för 4/8 mer än den planerade planen, vi kommer att säga: anläggningen har överskridit 4 procent plan.

Ovanstående exempel kan uttryckas annars:

1. Priset på böcker minskade med 12 procent av det tidigare priset.

2. Besparingar Kassaskontor betalar insättare för ett år 2 procent med beloppet på besparingarna.

3. Antalet akademiker av en skola var 5 procent av antalet alla skolelever.

För att minska brevet accepteras istället för ordet "Procentandel" för att skriva en ikon%.

Det är emellertid nödvändigt att komma ihåg att I de beräkningar är ikonen% inte skrivet, det kan spelas in i tillståndet av problemet och i slutresultatet. När du utför beräkning måste du skriva en fraktion med en denominator 100 istället för ett heltal med den här ikonen.

Du måste kunna ersätta ett heltal med det angivna dåliga tecknet med en denominator 100:

Tillbaka måste du vänja dig i stället för en fraktion med en denominator 100 skriv ett heltal med den angivna ikonen:

7. Hitta procent av detta nummer.

Uppgift 1. Skolan fick 200 cu. m brandvägg björk ved stod för 30%. Hur många björk ved?

Betydelsen av denna uppgift är att björkens ved bara var en del av de ved som togs till skolan, och den här delen uttrycks av fraktionen av 30/100. Så vi har uppgiften att hitta fraktionen från numret. För att lösa det måste vi multiplicera med 30/100 (uppgifterna för att hitta en bråkdel av siffror löses genom att multiplicera numret med fraktion.).

Så, 30% av 200 motsvarar 60.

Fraktion 30/100, som inträffade i denna uppgift, medger en minskning till 10. Det skulle vara möjligt att uppfylla denna minskning från början. Lösningen på uppgiften skulle inte förändras.

Uppgift 2. Det fanns 300 barn i olika åldrar i lägret. Barn av de 11 åren stod för 21%, de 12 års barn svarade för 61% och slutligen var 13-åriga barn 18%. Hur många barn hade varje ålder i lägret?

I den här uppgiften måste du utföra tre beräkningar, det vill säga konsekvent hitta antalet barn 11 år, sedan 12 år och slutligen 13 år.

Så här är det nödvändigt att hitta fraktionen tre gånger. Vi gör det:

1) Hur många barn var 11 år gamla?

2) Hur många var 12-åriga barn?

3) Hur många barn var 13 år gamla?

Efter att ha löst problemet är det användbart att vika de hittade siffrorna; Beloppet måste vara 300:

63 + 183 + 54 = 300

Det bör också ägnas åt det faktum att antalet intresse, data i tillståndet av problemet är 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Detta tyder på att det totala antalet barn i lägret togs över 100%.

3 A d och h 3.Arbetaren fick 1200 rubel per månad. Av dessa, 65% han spenderade på mat, 6% - på en lägenhet och uppvärmning, 4% på gas, el och radio, 10% - för kulturella behov och 15% - besparingar. Hur mycket pengar spenderas på det behov som anges i uppgiften?

För att lösa detta problem behöver du 5 gånger för att hitta fraktionen från nummer 1 200. Vi kommer att göra det.

1) Hur mycket pengar spenderas på mat? Uppgiften säger att denna konsumtion är 65% av det totala resultatet, d.v.s. 65/100 från nummer 1 200. Gör en beräkning:

2) Hur mycket pengar betalas för en lägenhet med uppvärmning? Att argumentera som den föregående, kommer vi till följande beräkning:

3) Hur mycket pengar betalades för gas, el och radio?

4) Hur mycket pengar spenderas på kulturella behov?

5) Hur mycket pengar är en arbetstagare som sparas?

För att kontrollera det är användbart att lägga till siffror som finns i dessa 5 frågor. Beloppet bör vara 1 200 rubel. Alla intäkter accepteras för 100%, vilket är lätt att kontrollera genom att vika antalet intresse, uppgifterna om uppgiftsproblemet.

Vi löste tre uppgifter. Trots det faktum att det i dessa utmaningar handlade om olika saker (leverans av ved för skolan, antalet barn i olika åldrar, kostnaden för arbetstagare), löstes de på samma sätt. Detta hände eftersom det i alla uppgifter var nödvändigt att hitta några procent av dessa nummer.

§ 90. Avdelning av fraktioner.

När vi studerar dela fraktioner kommer vi att överväga följande frågor:

1. Delegering av ett heltal.
2. Beslutsfraktion för ett heltal
3. Division av ett heltal på fraktionen.
4. Dela fraktionen på fraktionen.
5. Uppdelning av blandade nummer.
6. Hitta numret på denna fraktion.
7. Hitta ett nummer med sin procentsats.

Betrakta dem konsekvent.

1. Delegering av ett heltal.

Som angivits i Institutionen för heltal kallas divisionen den åtgärd som enligt denna produkt är två adelsmän (delbara) och en av dessa faktorer (divider) en annan fabrik.

Uppdelningen av ett heltal på det hela som vi ansåg i Institutionen för heltal. Vi träffades där två fall av divisioner: division utan återstod, eller "alarm" (150: 10 \u003d 15) och uppdelning med återstoden (100: 9 \u003d 11 och 1 i återstoden). Vi kan därför säga att den exakta divisionen är därför inte alltid möjligt, eftersom den delbara är inte alltid en del av ett heltal. Efter introduktionen av multiplikation av fraktionen kan vi få alla fall att dela heltal som ska övervägas (endast division till noll elimineras).

Till exempel, uppdelat 7 med 12 - det betyder att hitta ett sådant tal, vars produkt till 12 skulle vara 7. En sådan fraktion är 7/12 eftersom 7/12 12 \u003d 7. Ett annat exempel: 14: 25 \u003d 14/25, eftersom 14/25 25 \u003d 14.

För att dela heltalet i det hela taget är det nödvändigt att utarbeta en fraktion, vars täljare är lika med uppdelningen, och nämnaren är en delare.

2. Dela fraktionen för ett heltal.

Dela upp skottet 6/7 med 3. Enligt ovanstående definition av division har vi en produkt (6/7) och en av faktorerna (3). Det är nödvändigt att hitta en sådan andra faktor, som från multiplikation med 3 skulle ge detta arbete 6/7. Självklart borde han vara tre gånger mindre än detta arbete. Så var uppgiften som tilldelats oss att minska 6/7 fraktion 3 gånger.

Vi vet redan att minskningen av fraktionen kan utföras eller genom att minska sin täljare eller genom att öka sin nämnaren. Därför kan du skriva:

I detta fall är täljaren 6 uppdelad i 3, så täljaren ska reduceras med 3 gånger.

Ta ett annat exempel: 5/8 dividerat med 2. Här är Nizer 5 inte dividerat med 2, det betyder att det måste multiplicera denominatorn:

Baserat på detta kan du uttrycka regeln: för att dela upp fraktionen för ett heltal, måste du dela upp den mindre av fraktionen (om möjligt), lämna samma nämnare, eller multiplicera med detta antal av denomoter, vilket ger samma täljare.

3. Division av ett heltal på fraktionen.

Låt det vara skyldigt att dela 5 per 1/2, det vill säga att hitta ett sådant tal att efter multiplikation med 1/2, kommer att ge en produkt 5. Självklart måste detta nummer vara större än 5, sedan 1/2 är Den korrekta fraktionen, men när man multiplicerar numret för rätt fraktion, ska arbetet vara mindre än multipla. För att göra det tydligare skriver vi våra handlingar enligt följande: 5: 1/2 \u003d h. , SO x 1/2 \u003d 5.

Vi måste hitta ett sådant nummer h. Vilket, multiplicerat med 1/2 gav 5. Eftersom multiplicering ett antal 1/2 är att hitta 1/2 av detta nummer, då, därför 1/2 okänt nummer h. lika med 5, och alla siffror h. dubbelt så mycket, det vill säga 5 2 \u003d 10.

Således 5: 1/2 \u003d 5 2 \u003d 10

Kolla upp:

Tänk på ett annat exempel. Låt det vara skyldigt att dela 6 till 2/3. Låt oss försöka först hitta önskat resultat med ritningen (bild 19).

Fig.19.

Jag kommer att avbilda ett segment AB, lika med 6 vissa enheter och dela varje enhet i 3 lika delar. I varje enhet, tre tredjedelar (3/3) i hela segmentet av av 6 gånger mer, t. E. 18/3. Anslut med små fästen 18 av de erhållna segmenten av 2; Det visar sig endast 9 segment. Så är fraktionen 2/3 innehållen i B-enheter av 9 gånger, eller med andra ord en fraktion 2/3 av 9 gånger mindre än 6 hela enheter. Därav,

Hur får man detta resultat utan att skriva med hjälp av endast beräkningar? Vi kommer att argumentera för det här: det tar 6 dividerat med 2/3, dvs det krävs att svara på frågan hur många gånger 2/3 finns i 6. Vi hittar först: hur många gånger 1/3 finns i 6? I en helhet - 3 tredjedelar, och i 6 enheter - 6 gånger mer, dvs 18 av den tredje; För att hitta detta nummer måste vi multiplicera på 3. Så, 1/3 finns i B-enheterna 18 gånger och 2/3 finns i B inte 18 gånger, och dubbelt så många gånger, dvs 18: 2 \u003d 9. Följaktligen Vid delning 6 till 2/3 utförde vi följande åtgärder:

Härifrån får vi regeln för uppdelning av ett heltal på fraktionen. För att dela ett heltal på fraktionen är det nödvändigt att multiplicera detta till den här fraktionens nämnare och, vilket gör den här produkten med en täljare, dela den i täljaren av denna fraktion.

Vi skriver en regel med hjälp av bokstäver:

För att göra denna regel bör det förstås helt, det bör komma ihåg att fraktionen kan betraktas som en privat. Därför är regeln som är användbar att jämföra med divisionens regel av numret på den privata, som anges i § 38. Var uppmärksam på det faktum att det fanns samma formel.

Under divisionen är förkortningar möjliga, till exempel:

4. Dela fraktionen på fraktionen.

Låt det vara skyldigt att dela 3/4 med 3/8. Vad kommer att ange det antal som kommer att resultera i division? Det kommer att svara på frågan hur många gånger fraktionen 3/8 finns i fraktionen 3/4. För att sortera ut det här problemet, gör en ritning (bild 20).

Ta segmentet AB, vi tar det per enhet, dela upp i 4 lika delar och not 3 delar. En högtalare kommer att vara lika med 3/4 segment av. Nu delar vi var och en av de fyra initiala segmenten i hälften, då är segmentet AV uppdelat i 8 lika delar och varje en sådan del kommer att vara lika med 1/8 av segmentet AV. Genom att ansluta bågar med 3 av dessa segment, kommer var och en av segmenten AD och DC att vara lika med 3/8 segment AB. Ritningen visar att segmentet är lika med 3/8 innehållet i ett segment av 3/4, exakt 2 gånger; Så, kan resultatet av divisionen skrivas som:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Tänk på ett annat exempel. Låt det vara skyldigt att dela upp 15/16 till 3/4:

Vi kan argumentera så här: Du måste hitta ett sådant nummer som, efter multiplikation med 3/3, kommer att ge en produkt lika med 15/16. Vi skriver beräkningarna så här:

15 / 16: 3 / 32 = h.

3 / 32 H. = 15 / 16

3/7 av ett okänt nummer h. sminka 15/16

1/4 av ett okänt nummer h. utgöra

32/32 nummer h. utgöra.

Därav,

För att dela fraktionen på fraktionen behöver du således en täljare av den första fraktionen för att multiplicera med nämnaren, och den första fraktorns nämnaren multipliceras med den andra och den första produkten för att göra en täljare och den andra är nämnaren.

Vi skriver en regel med bokstäver:

Under divisionen är förkortningar möjliga, till exempel:

5. Uppdelning av blandade nummer.

Vid uppdelning av blandade tal måste de tidigare adresseras till felaktiga fraktioner och dela sedan de fraktionerade fraktionerna enligt reglerna för delning av fraktionsnummer. Tänk på ett exempel:

Omvänd blandat antal i felfraktionen:

Nu delar vi:

För att dela upp de blandade siffrorna måste du således göra dem till felfraktion och sedan dela med reglerna för fraktion.

6. Hitta numret på denna fraktion.

Bland de olika uppgifterna på fraktionen är det ibland de där någon bråkdel av ett okänt nummer ges och det är nödvändigt att hitta det här numret. Denna typ av uppgift kommer att vara invers till uppgifterna för att hitta fraktionen av detta nummer; Det var ett nummer där och det var nödvändigt att hitta lite fraktion från det här numret, det finns en bråkdel av numret och det är nödvändigt att hitta detta nummer själv. Denna tanke blir ännu tydligare om vi vänder oss för att lösa denna typ av uppgifter.

Uppgift 1.På den första dagen glaserade glaziers 50 fönster, som är 1/3 av alla fönster i det inbyggda huset. Hur många fönster i det här huset?

Beslut. Uppgiften säger att de glödlade 50-fönstren utgör 1/3 av alla fönster hemma, det betyder att hela fönstren är 3 gånger mer, det vill säga

Huset hade 150 fönster.

Uppgift 2. Butiken sålde 1.500 kg mjöl, vilket är 3/8 av den totala reserven av mjöl som har varit i affären. Vad var det första lageret av mjöl i affären?

Beslut. Från det tillstånd av problemet kan det ses att mjölet sålt 1 500 kg är 3/8 av det totala beståndet. Så, 1/8 av detta lager kommer att vara 3 gånger mindre, det vill säga det är nödvändigt att minska det för sin beräkning 3 gånger:

1 500: 3 \u003d 500 (detta är 1/8 lager).

Självklart kommer hela beståndet att vara 8 gånger mer. Därav,

500 8 \u003d 4 000 (kg).

Det första lageret av mjöl i affären var lika med 4 000 kg.

Från övervägande av denna uppgift kan du dra tillbaka följande regel.

För att hitta, numret för detta värde av dess fraktion, är det tillräckligt att dela upp det här värdet till flusternumret och resultatet multiplicera till denomoteren.

Vi löste två utmaningar för att hitta numret på denna fraktion. Sådana mål, som det är särskilt tydligt från det senare, löses av två åtgärder: division (när du hittar en del) och multiplikation (när du hittar hela numret).

Men efter att vi studerat uppdelningen av freaturerna kan ovanstående uppgifter lösas genom en åtgärd, nämligen: uppdelning i fraktion.

Till exempel kan den sista uppgiften lösas genom en åtgärd enligt följande:

I framtiden kommer uppgiften att hitta numret med sin fraktion att lösa i en åtgärd - division.

7. Hitta ett nummer med sin procentsats.

Dessa uppgifter måste hitta ett nummer, vilket vet några procent av detta nummer.

Uppgift 1. I början av året fick jag 60 rubel i sparkcheckningen. inkomst med det belopp som sätter på mig på att spara för ett år sedan. Hur mycket pengar satte jag in i besparingarna? (Kontanter ger insättare på 2% inkomst per år.)

Betydelsen av uppgiften är att en viss summa satte mig på ett sparkonto och låg där. Efter året fick jag 60 rubel från det. Intäkter, som är 2/00 av de pengar jag sätter. Hur mycket pengar gjorde jag?

Följaktligen, att veta några av dessa pengar, uttryckt på två sätt (i rubel och fravia), måste vi hitta hela, så länge som ett okänt belopp. Detta är en vanlig uppgift att hitta numret på denna fraktion. Dessa uppgifter löses genom division:

Så, 3000 rubel sattes i sparkontoret.

Uppgift 2. Fiskare i två veckor slutförde en månadsplan med 64%, förberedde 512 ton fisk. Vad var deras plan?

Från det problemet med problemet är det känt att fiskarna utförde en del av planen. Denna del är 512 ton, vilket är 64% av planen. Hur många massor av fisk måste förbereda enligt plan, är vi okända. Att hitta detta nummer och kommer att lösa problemet.

Sådana uppgifter löses genom division:

Så enligt planen behöver du förbereda 800 ton fisk.

Uppgift 3.Tåget gick från Riga till Moskva. När han passerade den 276 kilometeren frågade en av passagerarna den passande ledaren, vilken del av det sätt de redan hade kört. Ledaren besvarade detta: "30% av hela sökvägen passerade." Vad är avståndet från Riga till Moskva?

Från villkoren för uppgiften är det klart att 30% av Riga till Moskva ligger 276 km bort. Vi måste hitta hela avståndet mellan dessa städer, d.v.s., på den här delen, hitta en hel:

§ 91. ömsesidigt omvända nummer. Byte av division med multiplikation.

Vi tar ett skott 2/3 och omorganiserar täljaren till webbplatsen för denominatorn, det visar sig 3/2. Vi fick en fraktion omvänd det här.

För att erhålla en fraktion, den inversa, är det nödvändigt att sätta sin täljare på denominatorns plats, och nämnaren är på torget i täljaren. På så sätt kan vi få en fraktion omvänd någon fraktion. Till exempel:

3/4, omvänd 4/3; 5/6, omvänd 6/5

Två fraktioner som har den egendom som täljaren först är dengeninatorn för den andra, och denominatorn är det första numret kallas Ömsesidigt omvänd.

Nu tycker vi vilken typ av fraktion kommer att vara omvänd för 1/2. Självklart kommer det att vara 2/1, eller helt enkelt 2. Jag tar reda på fraktionen, inverse detta, vi fick ett heltal. Och det här är inte en enda; Tvärtom, för alla fraktioner med en täljare 1 (enhet) kommer invers att vara heltal, till exempel:

1/3, invers 3; 1/5, omvänd 5

Sedan när vi hittade tillbaka fraktioner träffades vi med heltal, i framtiden kommer vi inte att prata om omvända bedrägerier, utan om omvända nummer.

Vi får reda på hur du skriver ett nummer omvänt till ett heltal. För fraktioner löses det helt enkelt: En nämnare måste sätta numret på täljaren. På det här sättet kan du få det motsatta numret för ett heltal, eftersom något heltal kan vara avsedd att denominatorn 1. Så, är numret, invers 7, vara 1/7, eftersom 7 \u003d 7/1; För nummer 10 kommer omvänden att vara 1/10, sedan 10 \u003d 10/1

Denna tanke kan uttryckas annorlunda: antalet invers till detta nummer erhålls från att dela enheten till det här numret.. En sådan påstående är rättvis inte bara för heltal, utan även för fraktioner. Faktum är att om du vill skriva ett nummer, invers fraktion 5/9, så kan vi ta 1 och dela den senast den 5/9, dvs.

Nu anger vi en fast egendom Ömsesidigt omvända nummer, vilket kommer att vara användbart för oss: produkten av ömsesidigt omvända nummer är lika med en. Verkligen:

Med den här egenskapen kan vi hitta omvända nummer som följer. Låt det vara nödvändigt att hitta numret omvänd 8.

Betecknar hans brev h. , sedan 8. h. \u003d 1, härifrån h. \u003d 1/8. Hitta ett annat nummer, omvänd 7/12 beteckna med sitt brev h. , då 7/12 h. \u003d 1, härifrån h. \u003d 1: 7/12 eller h. = 12 / 7 .

Vi introducerade här ett koncept av ömsesidigt omvända nummer för att öka fördelningen av fraktioner något.

När vi delar upp nummer 6 till 3/5, utför vi följande åtgärder:

Var särskilt uppmärksam på uttrycket och jämföra det med det angivna :.

Om du tar ett uttryck separat, utan anslutning till den föregående, är det omöjligt att lösa frågan från vilken den har sitt ursprung: från division 6 till 3/5 eller från multiplikation 6 till 5/3. I båda fallen visar sig samma sak. Så vi kan säga att uppdelningen av ett nummer till en annan kan ersättas med multiplicering dela in i numret, omvänd dividerare.

Exempel som vi ger nedan bekräftar fullständigt denna slutsats.

Gå redan dessa rakes! 🙂

Multiplikation och uppdelning av fraktioner.

Uppmärksamhet!
Detta ämne har ytterligare
material B. Speciell sektion 555.
För dem som inte är mycket "inte så mycket. "
Och för dem som "väldigt mycket. ")

Allt är extremt enkelt. Och snälla leta inte efter en gemensam nämnare! Behöver inte honom här ...

För att dela upp fraktionen för fraktionen måste du vända om andra (Detta är viktigt!) Fraktion och multiplicera dem, dvs:

Om multiplikation eller division med heltal och fraktioner fångades - inget hemskt. Som med tillägget gör vi en fraktion med en enhet i denominatorn - och framåt! Till exempel:

I gymnasiet är det ofta nödvändigt att hantera tre våningar (eller till och med fyra våningar!) Droks. Till exempel:

Hur man tar med denna fraktion till ett anständigt sinne? Ja, väldigt enkelt! Använd division i två punkter:

I det första fallet (uttryck till vänster):

I det andra (uttryck till höger):

Känner du skillnaden? 4 och 1/9!

Och vad är Divisionsordningen? Eller fästen, eller (som här) längden på horisontella linjer. Utveckla ögonmätaren. Och om det inte finns några parenteser, eller dash, som:

dela sedan-multiplicera i några, vänster till höger!

Och en mycket enkel och viktig teknik. I handlingar med grader, han, hur kan jag komma till hands! Vi delar upp enheten till någon fraktion, till exempel, senast 13/15:

Fraktionen vände sig över! Och det händer alltid. När du delar 1 till någon fraktion, som ett resultat, får vi samma fraktion bara inverterad.

Det är alla handlingar med fraktioner. Saken är ganska enkel, men misstagen ger mer än tillräckligt. Observera det praktiska rådet, och deras (fel) blir mindre!

2. I exemplen med olika typer av fraktioner - vänder vi oss till vanliga fraktioner.

3. Alla fraktioner skärs tills det stannar.

4. Flera våningar fraktionella uttryck reduceras till vanliga, med hjälp av division i två punkter (följ divisionsordningen!).

Kom ihåg - det rätta svaret, den som härrör från den andra (ännu mer - den tredje) tiderna - inte beaktas! Sådan är ett hårdt liv.

Vi letar efter svar som sammanfaller med din. Jag spelade in dem i oordning, bort från frestelsen, så att säga. Här är de svar, den punkt med kommatecken spelas in.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Och nu gör vi slutsatser. Om allt hände - är jag glad för dig! Elementära beräkningar med fraktioner - inte ditt problem! Du kan göra mer allvarliga saker. Om inte.

Så du har ett av två problem. Eller både på en gång.) Brist på kunskap och (eller) ouppmärksamhet. Men. Det löst Problem.

I en speciell avsnitt 555, "Fraktioner" demonterade alla dessa (och inte bara!) Exempel. Med detaljerade förklaringar som, varför och hur. En sådan ansvarsfriskrivning hjälper till med brist på kunskap och färdigheter!

Ja, och på den andra frågan finns det något.) Ganska praktiskt råd, hur man blir försiktig. Jaja! Råd som kan gälla alla.

Förutom kunskap och vård behövs en viss automatism för framgång. Var ska man ta det? Jag hör en tung suck ... Ja, bara i praktiken, det finns ingen plats mer.

Du kan använda 321start.ru för träning. Där i alternativet "försök" finns det 10 exempel för alla. Med omedelbar kontroll. För registrerade användare - 34 exempel från enkel till hårda. Det är bara för fraktioner.

Om du gillar den här sidan.

Förresten har jag ett annat par intressanta platser för dig.)

Här kan du träna i att lösa exempel och lära dig din nivå. Test med omedelbar kontroll. Lär dig - med intresse!)

Och här kan du bekanta dig med funktioner och derivat.

Regel 1.

För att multiplicera fraktionen på ett naturligt tal är det nödvändigt att multiplicera sin täljare till det här numret, och denominatorn lämnas oförändrad.

Regel 2.

För att multiplicera fraktionen för fraktionen är det nödvändigt:

1. Hitta produkten av täljare och produkten av nämnare av dessa frän

2. Den första produkten registreras av en täljare, och den andra är denominatorn.

Regel 3.

För att utföra multiplikation av blandade tal måste de registreras i form av felaktiga fraktioner och använd sedan reglerna för multiplikation av fraktioner.

Regel 4.

För att dela upp en fraktion till en annan är det nödvändigt att multiplicera med numret, den omvända delaren.

Exempel 1.

Beräkna

Exempel 2.

Beräkna

Exempel 3.

Beräkna

Exempel 4.

Beräkna

Matematik. Andra material

Erektion av numret i en rationell grad. (

Erektion av en naturlig grad. (

Allmän intervallmetod för att lösa algebraiska ojämlikheter (av Kolchanov A.V.)

Metod för att ersätta multiplikatorer för att lösa algebraiska ojämlikheter (av Kolchanov A.V.)

Tecken på delbarhet (Lunga Alena)

Kontrollera dig själv på "multiplikation och division av vanliga fraktioner"

Multiplikation av fraktioner

Multiplikation av vanliga fraktioner övervägs i flera möjliga alternativ.

Multiplikation av vanlig fraktion

Detta är det enklaste fallet där du behöver använda följande. regler för multiplikation av fraktioner.

Till multiplikalfraktion, det är nödvändigt:

täljaren av den första fraktionen är att multiplicera den andra fraktionen på täljaren och deras arbete är att skriva till täljaren av den nya fraktionen;

nalinatorn för den första fraktionen multipliceras med den andra fraktorns nämnare och deras arbete för att skriva till dennominatorn för den nya fraktionen;

Innan du multiplicerar siffrorna och nämnare, kontrollera om det är omöjligt att skära fraktionen. Att reducera fraktioner i beräkningar kommer att underlätta dina beräkningar.

Multiplikation av fraktioner på ett naturligt tal

Till fraktion multiplicera till ett naturligt nummer Det är nödvändigt att multiplicera flusteret till det här numret, och fraktionernas denomoter är oförändrad.

Om det, som ett resultat av multiplicering, visade sig felfrakt, glöm inte att göra det till blandat antal, det vill säga att markera hela delen.

Multiplicera blandade nummer

För att multiplicera blandade tal måste du först vända dem till felfraktionen och sedan multiplicera i enlighet med multiplikeringsstegen av vanliga fraktioner.

Ett annat sätt att multiplicera fraktionen på det naturliga numret

Ibland när man beräknar det är bekvämare att använda ett annat sätt att multiplicera den vanliga fraktionen.

För att multiplicera fraktionen på ett naturligt tal är en denoter av en fraktion att dela upp i detta nummer, och täljaren är kvar för samma.

Som det kan ses från exemplet är det här alternativet bekvämare att använda regeln om skytten är uppdelad utan ett kvarvarande på ett naturligt tal.

Divisionfraktion

Hur man delar upp fraktionen på numret snabbare? Vi kommer att undersöka teorin, gör en slutsats och se exempel som att dividera fraktionen på numret kan utföras enligt en ny kort regel.

Vanligtvis utförs fördelningen av fraktionen enligt reglerna för fraktning av fraktioner. Det första numret (fraktion) multipliceras med den omvända. Eftersom det andra numret är heltalet invers mot det - fraktionen, vars täljare är lika med en, och nämnaren är ett givet nummer. Schematiskt dela fraktionen på det naturliga numret ser ut så här:

Härifrån avslutar vi:

för att dela upp fraktionen med numret är det nödvändigt att multiplicera nämnaren till det här numret, och siffran lämnar detsamma. Regeln kan formuleras även kortfattat:

vid delning av fraktionen går numret till denominatorn.

Utför uppdelningen av den fraktade av numret:

För att dela upp fraktionen till numret kommer täljaren att skriva om oförändrad, och nämnaren multiplicerar på det här numret. Reducera 6 och 3 till 3.

När du delar upp fraktionen omskrivs numret på täljaren, och denominatorn multiplicerar med det här numret. Minska 16 och 24 till 8.

När du delar upp fraktionen går numret till denominatorn, så täljaren lämnas densamma och denominatorn multiplicerar till divideraren. Minska 21 och 35 till 7.

Multiplikation och uppdelning av fraktioner

Förra gången lärde vi oss att vika och dra av fraktionen (se lektion "tillägg och subtraktion av fraktioner"). Det svåraste ögonblicket i handlingarna var att föra fraktioner till den allmänna nämnaren.

Nu är det dags att hantera multiplikation och division. Goda nyheter Det är att dessa operationer utförs ännu enklare än tillägg och subtraktion. Till att börja med, överväga det enklaste fallet när det finns två positiva fraktioner utan en vald del.

För att multiplicera två fraktioner är det nödvändigt att multiplicera sina siffror och nämnare. Det första numret kommer att vara täljaren av den nya fraktionen, och den andra är denominatorn.

För att dela två fraktioner måste du multiplicera den första fraktionen till den "inverterade" andra.

Av definitionen följer att uppdelningen av fraktioner reduceras till multiplikation. För att "vända" fraktionerna är det tillräckligt att ändra täljaren och denominatorn på platser. Därför kommer vi att överväga hela lektionen multiplicerar mest.

Som ett resultat av multiplikation kan det uppstå (och ofta det förekommer) en brist på fraktion - det måste naturligtvis minskas. Om bråkdelen efter alla nedskärningar var felaktig, bör den fördelas till hela delen. Men vad som helst kommer inte att vara när det är att multiplicera, det är att ta med en gemensam nämnare: inga metoder för "tvärgående", de största multiplikatorerna och de minsta vanliga multiplarna.

En uppgift. Hitta värdet av uttrycket:

Per definition har vi:

Multiplikation av fraktioner med en hel del och negativa fraktioner

Om i fraktioner är närvarande hel delDe måste översättas till fel - och bara för att multiplicera enligt de ovan ovan.

Om det finns en minus i en denoter i en beteckning eller före den, kan den nås ut ur multiplikation eller helt borttagen enligt följande regler:

Dessutom ger minus minus;
Två negativ är jakande.

Hittills har dessa regler endast uppfyllts när de lägger till och subtraherar negativa fraktionerNär det var nödvändigt att bli av med hela delen. För arbetet kan de generaliseras för att "bränna" flera minuses på en gång:

Jag drar ut minusarna i par tills de helt försvinner. I extrema fall kan en minus överleva - den som inte hittade ett par;
Om det inte finns några minusor, är operationen klar - du kan gå vidare till multiplikation. Om den sista minus inte går ut, eftersom han inte hittade ett par, uthärde vi det utanför multiplikationen. Det visar sig en negativ fraktion.

Alla fraktioner översätts till fel, och då uthärar vi minuserna utanför multiplikationen. Vad som återstår, multiplicera med de vanliga reglerna. Vi får:

Återigen påminner jag dig om att minus, som står inför fraktionen med hela delen som framhävs, hör till hela fraktionen, och inte bara till sin hela del (det gäller de två sista exemplen).

Var också uppmärksam på negativa siffror: När de multiplicerar är de i parentes. Detta görs för att separera minuserna från multiplikationsskyltarna och göra hela posten mer exakt.

Reduktion av fraktioner "på flugan"

Multiplikation är en mycket mödosam operation. Numren här är ganska stora, och för att förenkla uppgiften kan du försöka minska fraktionen mer att multiplicering. I huvudsak är i huvudsak siffrorna och deominanterna av fraktioner vanliga multiplikatorer, och därför kan de skäras med hjälp av fraktionens huvudsakliga egenskaper. Ta en titt på exemplen:

I alla exempel märks de siffror som utsattes för reduktion, och det som var kvar från dem.

Observera: I det första fallet minskade multiplikatorerna helt. Det finns få enheter i sin plats, som i allmänhet inte kan skriva. I det andra exemplet var det inte möjligt att uppnå en fullständig reduktion, men den totala volymen av beräkning minskade fortfarande.

Använd dock inte denna teknik när du lägger till och subtraherar fraktioner! Ja, ibland finns det liknande nummer som du vill klippa. Här, se:

Så du kan inte göra!

Ett fel uppstår på grund av det faktum att mängden uppstår när du lägger till fraktionen i täljaren, och inte produkten av siffror. Därför är det omöjligt att tillämpa fraktionens huvudsakliga egendom, eftersom i denna egendom. vi pratar Det handlar om multiplikation av siffror.

Andra grunder för skärning av fraktioner existerar helt enkelt inte, så rätt lösning Den tidigare uppgiften ser ut så här:

Som du kan se var det rätta svaret inte så vackert. I allmänhet var försiktig.

Divisionfraktioner.

Beslutsfraktion på ett naturligt tal.

Exempel på fissionfraktioner på ett naturligt tal

Uppdelning av ett naturligt antal fraktor.

Exempel på naturlig numrerad division

Uppdelning av vanliga fraktioner.

Exempel på uppdelning av vanliga fraktioner

Uppdelning av blandade nummer.

konvertera blandade fraktioner till felaktiga;
multiplicera den första fraktionen på fraktionen, inverse andra;
minska den resulterande fraktionen;
om det visade sig felfraktionen för att omvandla en oregelbunden fraktion till en blandad.

Exempel på dividering av blandade nummer

1 1 2: 2 2 3 \u003d 1 · 2 + 1 2: 2 · 3 + 2 3 \u003d 3 2: 8 3 \u003d 3 2 · 3 8 \u003d 3 · 3 2 · 8 \u003d 9 16

2 1 7: 3 5 \u003d 2 · 7 + 1 7: 3 5 \u003d 15 7: 3 5 \u003d 15 7 · 5 3 \u003d 15 · 5 7 · 3 \u003d 5 · 5 7 \u003d 25 7 \u003d 7 · 3 + 4 7 \u003d 3 4 7

Alla obscena kommentarer kommer att tas bort, och deras författare är svartlistade!

Välkommen till Onlinemschool.
Jag heter Dovgik Mikhail Viktorovich. Jag är ägare och författare till den här sidan, jag skrev allt teoretiskt material, och utvecklade också online övningar och miniräknare som du kan använda för att studera matematik.

Fraktion. Multiplikation och uppdelning av fraktioner.

Multiplicera vanlig fraktion för fraktion.

För att multiplicera vanliga fraktioner måste du multiplicera siffran till täljaren (vi får produkttornet) och nämnaren till denominatorn (vi får en denominator av arbetet).

Formel multiplikationsfraktioner:

Notera! Här behöver du inte leta efter en gemensam nämnare !!

Uppdelning av vanlig fraktion på fraktionen.

Uppdelningen av en vanlig fraktion på fraktionen händer: vrid den andra fraktionen (dvs ändra täljaren och denominatorn på platser) och sedan är fraktionerna vikta.

Divisionsformulering av vanliga fraktioner:

Multiplikation av fraktionen på det naturliga numret.

Notera! När du multiplicerar fraktionen på ett naturligt tal multipliceras Fluster-täljaren med vårt naturliga nummer, och fraktionens territor är kvar för densamma. Om resultatet av arbetet var felaktigt fraktion, var noga med att markera hela delen, vrida den felaktiga fraktionen i blandningen.

Divisionfraktioner med deltagande av ett naturligt nummer.

Det är inte så läskigt som det verkar. Som i fallet med att lägga till översätter vi ett heltal i fraktionen med en enhet i denominatorn. Till exempel:

Multiplicera blandade fraktioner.

Regler för multiplikation av fraktioner (blandad):

vi omvandlar blandade fraktioner i fel;
minska siffrorna och nämnare av fraktioner;
reducera fraktionen;
om du har fel fraktion, omvandlar vi felfraktionen till en blandad.

Notera! För att multiplicera den blandade fraktionen på en annan blandad fraktion, måste du börja, leda dem till de felaktiga fraktionerna, och sedan multiplicera med multiplikationsregeln av vanliga fraktioner.

Den andra metoden för multiplikation av fraktionen på ett naturligt tal.

Det är bekvämare att använda det andra sättet att multiplicera en vanlig fraktion för ett nummer.

Notera! För att multiplicera fraktionen på ett naturligt tal är en denominator av en fraktion att dela upp i detta nummer, och täljaren lämnas oförändrad.

Från ovanstående är exemplet klart att detta alternativ är bekvämare för användning när fraktionens beteckning är uppdelad utan återstod på ett naturligt tal.

Multi-våningar fraktioner.

I gymnasiet finns tre våningar (eller flera) fraktioner. Exempel:

För att få en sådan fraktion till det vanliga sinne, använd division efter 2 poäng:

Notera! I delningsfraktioner är divisionens ordning mycket viktig. Var försiktig, det är lätt att bli förvirrad här.

Notera, t.ex:

När dela enheter på någon fraktion, kommer resultatet samma fraktion, bara inverterad:

Praktiska tips när du multiplicerar och delar fraktioner:

2. I uppgifter med olika typer av fraktioner - gå till arten av vanliga fraktioner.

3. Alla fraktioner minskar tills det är omöjligt att skära.

4. Fraktionsprutor med flera våningar är i form av vanligt, med hjälp av divisionen efter 2 poäng.

I närheten och inte den avancerade sången "Spring Tango" (tiden kommer - fåglar från södra anländer) - Musik. Valery Myaev lade sig själv, missförstått, misshandlad, i den meningen att jag inte gissade, alla verb med inte separat skrev, jag visste inte om fördömandet. Det händer, […]
Sidan hittades inte i den tredje sista läsningen Ett paket av regeringens handlingar antogs, vilket gav skapandet av särskilda administrativa distrikt (SAR). På grund av utgången från Europeiska unionen kommer Förenade kungariket inte att ingå i den europeiska momszonen och [...]
Den kombinerade undersökningskommittén kommer att framgå under hösten, kommer den gemensamma utredningskommittén att framgå under hösten. Konsekvensen av alla kraftstrukturer kommer att samlas under ett tak med det fjärde försöket under hösten 2014, enligt Izvestia, president Vladimir Putin [...]
Patent för algoritmen som patent på algoritmen ser ut som ett patent för algoritmpreparatet förbereder sig tekniska beskrivningar Metoder för lagring, bearbetning och överföring, signaler och / eller data Det är vanligtvis inte inlämnat för att patentera speciella svårigheter, och [...]
Det som är viktigt att veta om den nya propositionen på pensionerna den 12 december 1993, Ryska federationens konstitution (med beaktande av de ändringar som gjorts av de ryska federationens lagstiftning i Ryska federationens konstitution 30.12.2008 N 6 -Fkz, från 30.12.2008 N 7-FKZ, från [...]
Chastushki pro pension kvinna cool för jubileele män för jubileele män - kör för jubileum kvinnor - engagemang till kvinnors pensionärer komiska kommer intressanta tävlingar för pensionärer värd: kära vänner! För en minut av uppmärksamhet! Känsla! Bara [...]